Problemas de congruencia de triángulos 1) En la siguiente figura, hallar “φ”.
Solución: De acuerdo a la siguiente figura:
Del ΔABC :
mACˆ B = 2φ y mABˆ H = 180°-13φ
ˆ D = 6φ Además que: ΔADC es isósceles y por tanto: mCA Por A trazamos un segmento AE ( E punto interior del ΔAHD )
mEAˆ D = 2φ ; luego: ΔAED ΔABC (criterio LAL) ˆ A = 2φ Entonces ED = AE = AB = BC , a demás: mED ˆ De la figura mHAE = 4φ ˆ E = 3φ. ΔABD: mBD De modo tal que :
Por propiedad triangular:
X=120°-θ
Aplicada en la figura sombreada,tendremos que:
mABˆ D = 120°-3φ Sin embargo: mABˆ H = mABˆ D entonces: 180°-13φ=120°-3φ entonces: φ = 6° 2)De la figura; hallar el valor de “α”.Si: AB=BC=CD
Solución:
De acuerdo a la figura:
ˆ D = mDCˆ A =45-α y mADˆ C =135° ΔABC: mBA Sobre AC se construye el triángulo equilátero AEC (ver figura) Entonces: AE = CE = AC.
ˆ B = mECˆ B =15° Luego: mEA Unamos E con B entonces: ΔEAB
ΔECB (criterio LLL) ˆ ˆ ˆ Luego: mAEB = mBEC =30° y mEBA = 135° De la figura: ΔAEB ΔADC (criterio ALL) Por lo tanto: α=30°
3) En la figura mostrada, calcular “θ”.
Solución:
De acuerdo a la figura: ΔABC: mBCˆ A =40° En el mismo triángulo tracemos la ceviana BM de modo tal que:
mQBˆ M =60° y mMBˆ C =40°.
ˆ A =80°. Luego: ΔBMC es isósceles (BM = MC) pues: mABˆ M = mBM ΔABM es isósceles AB = AM Unamos Q con M entonces: ΔBAQ ΔMAQ (criterio LAL) ˆ A =20° entonces: mBMˆ Q =60°. Luego mQM Se deduce que ΔBQM es equilátero entonces BM = MQ = QB. Por lo tanto: ΔQMC es isósceles: QM = MC entonces Por propiedad de triángulos: 2θ = 20° Finalmente : θ = 10°
mMQˆ C = θ
4) En la figura mostrada, hallar “x”.
Solución:
Se construye ΔPQR isósceles ( PO = OR)
mOPˆ R = mORˆ P =4x ΔPON: mPOˆ N = 2x ΔPON ΔDRO (criterio LAL) Luego
entonces : θ = 4x .......(1) ΔPOR : 4x + 2x + θ + θ + 4x= 180° .......(2) (1) en (2) : x = 10° 5)
De la siguiente figura , hallar “x”.
Solución:
De la figura: Unimos B con D luego: ΔBDC es isósceles , se traza CM BD entonces CM es bisectriz y mediana, entonces: BM = MD = a ΔADB: Por D se traza DL AB ΔALD ΔBMC (criterio ALA) entonces: LD = BM = a ΔBLD: rectángulo y notable de 30° y 60°. ΔBMC: rectángulo mMBˆ C = 90° - α Luego en el punto B : x = 30° + 90° - α Por lo tanto x = 120° - α
6)
De la figura , hallar “θ”, si BC = CD.
Solución:
ΔABC : mBCˆ A = 51° Se prolonga AB, de manera que el ΔCAE sea isósceles entonces : AE = AC. Luego: mAEˆ C = mACˆ E = 77° Por tanto: mECˆ B = 26° ΔBEC es isósceles entonces : BC = EC = 2a Prolongamos AD hasta cortar a EC en M, luego AM es bisectriz y mediana Pues el ΔAEC es isósceles entonces: CM = ME = a ΔDMC es rectángulo notable 30° y 60° de donde: mMCˆ D = 60° Pero de la figura: 60° = θ + 36° Por lo tanto: θ = 34° 7)
De la figura, hallar “α”
Solución:
ˆ B mCBˆ A = 80° entonces BC = AC ΔABC: es isósceles pues mCA Sobre AB se construye ΔBLA equilátero entonces BL = LA = AB mBLˆ A mLAˆ B mLBˆ A = 60° Por tanto: mC Bˆ L = 20° ΔBLC ΔALC (criterio LLL) entonces: mLCˆ B mLCˆ A = 10° ΔMBC ΔLCA (criterio LAL) por tanto : α = 10° Y además que:
8) De la siguiente figura, hallar “Ф”.
Solución:
ΔABL es rectángulo isósceles por tanto:
mABˆ L mLBˆ C = 45°-Ф
ˆ C = 90°-Ф y mALˆ C = 90°. Además que: mL A Se prolonga AL y se baja BE AL. ΔBEL es rectángulo notable 45°-45° entonces: BE = LE = a ΔALC ΔAEB (criterio ALA) entonces: AL = BE = a ΔAEB es rectángulo notable 53°/2-127°/2 entonces: Ф = 53°/2
Ahora para que se diviertan un buen rato les dejo 3 ejercicios. Para facilitarle las cosas les daré las respuestas mas no así sugerencias o algo por el estilo que con lleven a la solución del problema, ahora les toca sufrir a ustedes como sufrí yo para resolver estos 8 problemas, pues bien SUERTE¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡ 1) En la siguiente figura, hallar “θ”
RPTA: θ = 15° 2) De la figura, hallar “x”.
RPTA: x = 10° 3) En la figura mostrada se tiene un rectángulo ABCD en el cual
mOMˆ A mBPˆ Q . Si MN y PQ se intersectan En “O” de modo que: PO 2 , OQ 4 y MO 5 . Hallar NO . AD = 2CD, y donde
RPTA: x = 7
Huaral(Perú),13 de enero de 2002
Julio A. Miranda Ubaldo Profesor de matemáticas Especialidad: geometría Email:
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