Ejercicio de congruencia lineal

Definición de congruencia. congruencia. Si a y b son enteros y m es un entero positivo, entonces se dice que a será congruente con b módulo m si a   . Esto se denota como  ± b es un múltiplo de     m recibe el nombre de módulo de la congruencia y b recibe el nombre de residuo de a(mod m). Si   , entonces     , para algún entero k . Definición de congruencia lineal. Una congruencia de la forma    , donde m es un entero positivo, a, b y x (desconocido) son enteros, se llama congruencia lineal. Cualquier valor de x que satisfaga   , se denomina solución de la congruencia. Cualquier valor de x que es solución de la congruencia   , se denomina inverso de un módulo m. Teorema.

Si a y b son primos relativos, r elativos, entonces la congruencia    tiene una solución única o el inverso de a módulo m es único.

Ejercicio de congruencia lineal 4x

. mcd(4,7)=1. La solución se obtiene determinando m y n tales que 4m+7n=1. Evidentemente m=2 y n=-1. Por tanto 4(2)+7(-1)=1 y por ello 4(6)+7(-3)=3 o también 4(12)+7(6)=6 por tanto x=6 es una solución de la congruencia dada. En forma modular x . Esto significa que x= «,-8,-1,6,13,20,« satisfacen la congruencia dada.

Nota: 4m+7n=1; por el algoritmo de Euclides 7=4(1)+3 por tanto 3=7-4x1 4=3(1)+1 por tanto 1=4-3x1=4-(7-4x1)=4-7+4=2x4+(-1)x 7. Así m=2 y n=-1

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= 2(21) + 1 21 = 2(10) + 1 10 = 2(5) + 0 5 = 2(2) + 1 2 = 2(1) + 0 1 = 2(0) + 1