C U R S O : MATEMÁTICA MATERIAL N° 012-I GUÍA TEORICO PRÁCTICA Nº 11 UNIDAD: GEOMETRÍA CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Y ELEMENTOS SECUNDARIOS CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS 1.
DEFINICIÓN
Dos triángulos son congruentes si y sólo si existe una correspondencia entre sus vértice modo que cada par de lados y ángulos correspondientes sean congruentes.
∆ ABC
≅ ∆ PQR
AB ≅ PQ AC ≅ PR CB ≅ RQ
A≅ B≅ C≅
P Q R
R
C
A
B
Q
P
EJEMPLOS
1.
2.
Los triángulos PQR y TNM de la figura 1, son escalenos. Si ∆PQR ≅ ∆TNM, ento ¿cuál de las siguientes proposiciones es FALSA? M R A) PQ ≅ TN B) PR ≅ TM C) QR ≅ NM D) QRP ≅ NMT N E) PQR ≅ TMN Fig. 1 P Q T En la figura 2, ∆ ABC ≅ ∆ DEF con D ∈ BC , AC // DF , BDE = 80º y ACB = 40º, ¿cuál es la medida del DEF? A) B) C) D) E)
40º 60º 80º 90º No se puede determinar
B
A
E
D
C F
Fig. 2
POSTULADOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
P 1 ALA
: Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales un lado los dos ángulos adyacentes a ese lado. : Dos triángulos son congruentes cuando tienen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos respectivamente iguales. : Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivament iguales. : Dos triángulos son congruentes cuando tiene dos lados y el ángulo opuesto mayor de esos lados respectivamente iguales.
P 2 LAL P 3 LLL P 4 LLA > EJEMPLOS
1.
En la figura 1, DC ⊥ AD y CB ⊥ AB . Si DAC ≅ BAC, es congruente con el triángulo DCA en su orden A) B) C) D) E)
2.
ACD ADC CAD DCA CDA
entonces el triángulo CAB
D
Fig. 1
C A
B
El triángulo ABC de la figura 2, es isósceles de base AB , CD ⊥ AB y AD = DB . Luego, es(son) congruente(s) los siguientes pares de triángulos: I) II) III)
∆ADE con ∆BDE ∆AEC con ∆BEC ∆ADC con ∆BDC
C
E
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I, II y III
A
2
D
B
Fig. 2
ELEMENTOS SECUNDARIOS DEL TRIÀNGULO 1.
ALTURA
Es la perpendicular que va desde el vértice al lado opuesto o a su prolongación. C
C
CD ⊥ AB
H
hc
2.
B
D
A
H = ORTOCENTRO (punto de intersección de las alturas)
B
A
BISECTRIZ
Es el trazo que divide al ángulo en dos ángulos congruentes. C C I = INCENTRO (punto de intersección ACE ≅ ECB de las bisectrices)
I A
OBSERVACIÓN:
E
B
A
B
El punto de intersección de las bisectrices equidista de los lados del triángulo. EJEMPLOS
1.
¿Cuál de las siguientes proposiciones es FALSA? A) B) C) D) E)
2.
En todo triángulo acutángulo, el ortocentro queda siempre en el interior del triáng En todo triángulo rectángulo, el ortocentro siempre coincide con el vértice del án recto En todo triángulo equilátero, el ortocentro queda siempre en el interior del triángu En todo triángulo isósceles, el ortocentro siempre queda en el interior del triángul En todo triángulo obtusángulo, el ortocentro queda siempre en el exterior del trián
En el triángulo isósceles ABC de base AB de la figura 1, I es el incentro. Si ¿cuánto mide el ACB? C A) B) C) D) E)
Faltan datos para determinarlo 20º 40º 50º 80º
I 100º A
Fig. 1 B
3
Fig. 3
AIB = 100º,
3.
TRANSVERSAL DE GRAVEDAD
Es el trazo que une el vértice con el punto medio del lado opuesto. C C G = CENTRO DE GRAVEDAD (punto AR = RB de intersección de las transversales D de gravedad) E G tc A
R
A
B
B
F
OBSERVACIÓN: Si ∆ABC rectángulo en C, entonces= 4.
CR= AR. RB
SIMETRAL
Es la recta perpendicular que pasa por el punto medio de cada lado del triángulo. C C O = CIRCUNCENTRO (centro P PR ⊥ AB de intersección de las simetrales) AR = RB
A
R
B
OA = OB = OC
O A
B
PROPIEDADES
El punto de intersección de las simetrales equidistan de los vértices del triángulo. EJEMPLOS
1.
2.
En el ∆ABC de la figura 1, CE transversal de Gravedad. La medida del ángulo x es A A) 15º B) 20º 70º C) 25º D) 30º E E) 35º Fig. 1 B O es el circuncentro del ∆ABC (fig. 2). Si x es A) B) C) D) E)
10º 20º 50º 80º Otro valor
x
C
OAB = 20º COB y = 80º. La medida del C x 80º
A 4
20º
Fig. 2
O
B
MEDIANA
Es el segmento de recta que une los puntos medios de los lados del triángulo. C No existe punto de CM = MA intersección de las CN = NB medianas MN // AB M N mc A
B
PROPIEDADES
1.
En todo triángulo al trazar las 3 medianas se forman 4 triángulos congruentes. C ∆ADF ≅ ∆DBE ≅ ∆FEC ≅ ∆EFD E
F A
D
B
EJEMPLOS
1.
2.
En el triángulo MNT de la figura 1, MP = 8 cm, Entonces, MN - MT es T A) 2 cm P B) 4 cm C) 6 cm D) 8 cm M E) 10 cm Q N En el triángulo PQR de la figura 2, A) B) C) D) E)
35º 45º 50º 55º 60º
QN = 12 cm
y
PQ es mediana.
Fig. 1
PRQ = 80º y DE es mediana. ¿Cuánto mide x? R E
P
5
D
55º
Fig. 2 x
Q
ALGUNOS TEOREMAS REFERENTES A UN TRIÁNGULO ISÓSCELES Y/O EQUILÁTERO Teorema 1:
En todo triángulo isósceles coinciden los elementos secundarios correspondientes al lado distinto.
C
CD = hc = tc = by = sc
A
α
α
D
AC = BC AB ≠ BC
B
Teorema 2
En todo triángulo equilátero coinciden los elementos secundarios correspondientes a cua lado. Además, coinciden los puntos singulares. C ha = hb = hc ta = t b = t c bα = bβ = bγ Sa = Sb = Sc E F ha = ta = bα = Sa G
H = G = I = 0 A
B
D
EJEMPLOS
1.
El triángulo DEF de la figura 1 es isósceles de base DF . R es punto medio de DF DFE = 50º. ¿Cuánto mide el ángulo REF? F A) 25º B) 30º R C) 40º D) 50º Fig. 1 E) 80º D E
2.
En el triángulo equilátero ABC de la figura 2, E es punto medio de AB y BD es bisectri del ángulo ABC. ¿Cuánto es el suplemento de x + y? C A) 150º y B) 120º C) D 90º Fig. 2 D) 60º x E) 30º A 6
E
B
y
EJERCICIOS 1.
Considerando que la información dada en cada alternativa es acumulativa, determin qué alternativa se puede asegurar que los triángulos de la figura 1, son congruentes. F C A) CAB ≅ FED B) ABC ≅ FDE A DF = 5 cm C) ED = 5 cm D) Fig. 1 BC = 5 cm E) E D B
2.
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? A) B) C) D) E)
Dos triángulos rectángulos que tienen un cateto respectivamente congruente, congruentes. Si dos triángulos rectángulos tienen la hipotenusa congruente, son congruentes. Si dos triángulos rectángulos tienen dos ángulos correspondientes congruen son congruentes. Si dos triángulos rectángulos tienen dos lados correspondientes congruentes, congruentes. Si dos triángulos rectángulos tienen un ángulo respectivamente congruentes, congruentes.
3. En el ∆ABC de la figura 2, D, E y F son puntos medios de los lados. Entonces, el triángulo FEC es congruente al triángulo FDE en su orden C A) B) C) D) E)
FDE EFD FED EDF DEF
F
A
E
D
7
Fig. 2
B
4.
En la figura 3, ∆ABC ≅ ∆MNT, si es FALSO que el lado mayor del ∆MNT es TM el NTM mide 60º el ∆MNT es escaleno NT < MN CA > TM A
A) B) C) D) E)
5.
CAB = 40º,
En la figura 4, ∆QRP ≅ ∆DFE. Si A) B) C) D) E)
62º 64º 74º 106º 116º
QP
ABC = 80º y
C
BCA = 60º, entonces T Fig. 3
B ≅
PR ,
Q
N
M
¿cuánto mide el ángulo exterior HEF? F P Fig. 4
58º
H
R
E
D
6.
Si en el triángulo DEF de la figura 5, MN es mediana, entonces el ángulo NMD mide F A) 40º B) 100º C) 120º D) 130º M N E) 140º Fig. 5 40º D E
7.
¿En qué triángulo al trazar cualquier bisectriz se forman dos triángulos congruentes? A) B) C) D) E)
Rectángulo isósceles Isósceles acutángulo Rectángulo escaleno Equilátero En ninguno
8
8.
En el triángulo SRT de la figura 6, TH es altura, α = 110º y la medida del ángulo x? A) B) C) D) E)
β = 140º. ¿Cuál es
Tα x
20º 30º 50º 60º 70º
Fig. 6 S
H
β
R
9.
En el triángulo ABC de la figura 7, BD es bisectriz del ABC. CAB Si = 70º ACB = 50º, entonces ¿cuánto mide el ángulo x? C A) 30º B) 50º C) 60º D x Fig. 7 D) 70º E) 100º A B
10.
En el triángulo ABC rectángulo en C de la figura 8, CD Transversal de Gravedad. CAD = 50º, entonces el ángulo DCB mide C A) 20º B) 25º C) 30º Fig. 8 D) 40º 5º E) A
11.
D
y
Si
B
Desde el vértice C del triángulo ABC de la figura 9, se ha trazado la altura CD y la bisec CE del ángulo ACB. Entonces, el DCE mide C A) 25º B) 20º C) 15º D) 10º Fig. 9 5º E) 30º 40º A E D B
9
12. En el triángulo LMN de la figura 10, H es el ortocentro y LMN = 66º. Luego, el mide N A) 94º B) 114º C) 118º Fig. 10 D) 123º H E) 124º L M 13. En el ∆ABC (fig. 11), AD transversal gravedad y ángulo ADB es A) 110º B) 100º 90º C) D) 80º E) 60º
CAD = BAD. Entonces, la medida del C D
En la figura 12, los puntos A, B y D son colineales, CBE = 20º, ¿cuánto mide el BED? C E A) 20º B) 36º C) 64º D) 108º E) 116º
A 15.
Fig. 11 B
A
14.
∆ABC ≅ ∆DBE, α = 36º y
Fig. 12
α
B
D
En la figura 13, se tiene que ∆ABC ≅ ∆DBE ≅ ∆DBC. Si BED = 30º, entonces ¿cuánto mide CBD? C A) 30º B) 60º C) 80º D D) 90º E) 120º Fig. 13 A 10
LHN
B
E
16.
En la figura 14, ∆PQR ≅ ∆PST y T pertenece a RQ . Se puede determinar el ángulo PTR si: R (1) QPS = 50º T (2) STP = 65º A) B) C) D) E)
Fig. 14
(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) P Se requiere información adicional
Q S
17.
En la figura 15, el valor de α + δ se puede determinar si: (1)
AD es bisectriz.
C
(2) D punto medio. A) B) C) D) E)
18.
(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional
Fig. 15
δ D
A
α
B
En la figura 16, los triángulos ABC y DAE son rectángulos en A y D respectivamen B ∈ DE . Entonces, ∆ABC ≅∆DAE si: C (1) AC ≅ DE E (2) ACB ≅ DEA A) B) C) D) E)
(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicionalA
G B D
11
Fig. 16
19. Los triángulos ABC y BAD son congruentes figura 17, se puede determinar la medid AEB si: (1)
BAD = 40º
C
(2)
CE ≅ EB ≅ DE ≅ EA
A) B) C) D) E)
(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional
D E Fig. 17
A
B
20. ∆ADC ≅ ∆BEC (figura 18). El ∆DEC es equilátero si: (1) (2) A) B) C) D) E)
C
DAC = 30º
ADC = 120º
(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) A Se requiere información adicional
Fig. 18 D
E
B
RESPUESTAS
Ejemplos Págs.
1
2
1 2 3 4 5 6
E C D B D C
C E B B B E
CLAVES PÁG. 7 1. E 2. D 3. B 4. E 5. E
6. D 7. D 8. A 9. E 10. D
11. E 12. B 13. C 14. C 15. B
16. D 17. E 18. C 19. A 20. B
DCIMA012-I
12
