CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

GEOMETRÍA ELEMENTALPARATRAZOS

MáximoCusseinCárdenas

Nohaydudadequelasgráficascomputarizadaspuedenmejorar laenseñanzayelentendimientodelamayoríadelostópicosgeométricos; noserequiereintroducirnuevostópicosparahacerusode noserequiereintrodu cirnuevostópicosparahacerusodeestasnuevasherramientas. estasnuevasherramientas. Enmiopinión,losviejostópicosvistosdesdeunángulocontemporá Enmiopinión,losviejostópicosvistosde sdeunángulocontemporáneopuedensertan neopuedensertan frescosyestimulantesparalosalumnos,comolosnuevos.¡Y frescosyestimulantesparalosalumn os,comolosnuevos.¡Y sonmuchos!Enmuchos paíseshayunatendenciaatomaralaligeraestehecho,posiblem paíseshayunatendenciaatoma ralaligeraestehecho,posiblementeporquelaenseñanza enteporquelaenseñanza delacienciahasidomásbiendescriptivaynoexplicativa,esdecir,nomatemática. Porelcualpongoenlíneaestefolleto.Paralosquegustendegeometría.


Geometría Aplicación 1 hallar “x” en:

CASOS ESPECIALES EN CONGRUENC CONGRUENCIA IA Congruencia Congruenci a en triángulos rectángulos

MáximoCusseinCárdenas En:

B

Si:

m

x

n

M

Teorema dela base media N

=y (porqu (porqueM eMN N

AC)

TRAZOS Y PROPIEDADES Observación:Serealizarálasdemostracionesmáscomplicadasa lasnecesarias. 1)¿Quéhacer encasodelsiguiente? B

a

m

x =2a

n

y A

x

x

Solución:

C

X

Corolario:

2

n

B a x

C

a

SetrataBM,interioryM terioryM ACformando 1ro Trazo Trazointerior: interior: SetrataBM,in

x =2a

m

C

A

n =m

m

AMB=2.Enconsecuencia AMB=2.En consecuenciasetiene: setiene: B

a b

Observación:

x

B

x

x A

Civiana interior

X

N

D

E

MNno es paralelo paral elo a AC

Teoremadelamedianarelativa alahipotenusa x=m

a M

PrimerosededucequelamBCE=mBEC=x (EnelEBCisósceles) LuegosededucequemCED= Ahorael Ahora el ABE ABEDEC( DEC(casoA-L-A);po casoA-L-A);portan rtantoa= toa=b,el b,el cualdacomoconsecuenciaunEBCequilátero.

a

x

2

2

A

y

2a

A

C

M

2do Trazo Trazoexterior: exterior: AnálogamentealexteriorsetrazaBM

m

m

C

B

x=60º

Ceviana exterior

Notables:

Aplicación 2 hallar “x” en:

60º

45º

a 2

a

2n

n 2

M

45º

30º a

x

C

ro

Paraelloesnecesarioha necesariohaceruncambio ceruncambiode de 3 Trazo Trazoespecial: especial: Paraelloes

n 3

variable:=2 Esdecir:

APLICACIONES DE CONGRUENCIA A

Teorema Teor ema dela bisectriz Deun ángulo

a

b

B

O

a=b

A

60º-

b

Esdecir Esde cir el AOBe AO Bess isósceles de base base AB A

37º

2a 25a a

74º

37º/2

16º

17 a

81º

Setrazo 76º a

a

C

Resulta:

24a

3a 5 2 a

2

7a

AOCes AOC esisós isóscele celess

El AOB AOB  C COB OB Caso: L-L-L

2)¿Quéhacer enun enundelasigu delasiguienteforma? ienteforma?

a

53º/2

10 a

donde: AO=OC

A

a 5

3a

4a

El

2

2

53º 5a

B

O

3 3

B

D

Segundo trazo

Notablesaproximados:

a=b

a

2

Primer trazo

15º 4a

Teorema dela mediatriz Teorema Deun segmento

C

Primero:ElDABDOC(casoL-L-L) Portantolam ABD=mOCD=,enconsecuenciala medidade medid adell ACB=6 ACB=60º0ºPorúltimo Porú ltimo,ene ,enell ABCPo ABCPorteo rteorema rema x+(+60º)+60º-=180º x=60º

4

Resulta:

B

n O

O

2 a

75º

m=n

60º

x

6 a

Si:OMesbisectriz

m

Solución

2 a

6

M

14º

8º 7a

4a

2


Geometría


SOLUCIÓN14: 25k 23º

Entoncesesnecesariountrazointeriortalqueformeunisósceles. 1ero 16º

17 24k

8k

30º

60º

44º

x 48k

30º

45º

x

45º

7

16º

Lucia

24

16º

17

25

n n

17

4k

45º

x

29º 45º

24k

Flor Aronés

24k

24k

7

45º 7

Jalacha Tomayro

7

x=30º

MariaLuz Cusi

x+60º=90º x=30º

25k

11

x

x=45º

1er tipodetrazo: Seconstruyeuntriánguloequiláteroenfunción delladomayor. 30º

TRAZOS 6.¿Comotrazar enelsiguientecaso?

SOLUCIÓN13: 24k

;<30º

7

45º

SOLUCIÓN12:

8.¿Cuálessonlasconstruccionesenestetipodetriángulo?

45º 30º

24k

x+60º=90º

44º

n

Finalmenteseobtiene: 7

24k

4k

n

45º

74º

25

4k

29º

60º

4k

4k

25

x

4k

53º

30º

30=5(6)

48k

30º

25k

x

21º 3(6)=18

24k

16º

74º

74º

Yeny Huyhua

53º

30

Serecomiendatrazarunacevianaexteriorparaformaruntriángulo isósceles.

4(6)=24

18

Recuerda:

37º 24

Aurelia Diaz

Cabo Flores

25k

48k

30

11

x

30º

7.¿Quétrazosedeberealizar enelsiguientecaso?

53º

24k 44º

30º

11 60º

74º

x

Finalmenteseobtiene: 30º

21º 74º

16º

7 24

16º 24

24k

7 48k

60º 24k

Recordar:

74º

Wily kiwy

n

30º

CesarFlores

x=74º

n Walter Janampa

Observación:Enlasolucióndelosproblemas;seaplicaráelcaso final,porqueyasedemostródedondevieneelgráficofinal.


Geometría Solución17:


Solución21: Realizamoseltrazoconocidoymencionado. Constituimosel ABNequilatero

B B

B

3

3

20º

50º 10º

A

º

n

N

30º

x +40º

x

30º 2 0 º 0

C

30º

50º

A

1

50º

x 10º

N

C

30º n

Trazamos:

2n

n

B

B

x

m

20º

A

60º 10º 10º

E n+m

n

B

50º

n

x 50º

1

30º 2 0 º 0 º

M +40º

x A

20º

C

Noris Chavez

M

B

N

Delaconstrucciónsetiene: ABC ACM(Caso A-L-A) B

A

40º

A

3 + 2 0 º

n

3

50º

A

50º

50º

x C

C

X=3 x

L

x 10º

30º n

D

C

n

=40ºPorqueel ABDLEA Porloque: 40º= Porúltimo: +x+10º=90º 40º+x+10º=90º

A

60º 10º 10º

x=40º

20º

x 50º

B

50º M

1

30º 2 0 º 0

Solución20:

º

B +40º

x A

20º

N

Solución19: Primerotrazamoslaalturarelativaalabase.

C

A

El

+ 2 0 º

ABNMAC(CasoL-A-L) X=20º

20º

20º

C

x

30º

60º-x

30º

M

A x 10º

30º 30º

30º

30º n

n

Recuerde: 30º 30º 2n

6 0 º - x

x

M

Delgráficosededucequeel

Yovana Palomino

Yessica Flores

ABC

x=60º-x=20º x=40º

x X=10º

D

Solución18:

60º 10º 10º

ADM(CasoL-A-L)

50º


Geometría

Solución22


Solución23

Seobtienelosiguiente: B

Solución24

2)

1)

B

60º-2

70º X

60º+2

40º

60º X 1 0 º

70º

60º+

A

10º

Reordar: º 30 º 30

x

60º+

60º-

20º 10º

40º 10º

C

A

º 60

60º-

D

40º 10º

50º

10º

10º

10º

x

110º

C

60º+2

Recordar: º 30

60º E

Recordar:

+θ

2

º º 0 0 3 3

30º 60

60º-

60º-2

θ º+ _

60º-2

2θ

_

60º-2

RubénTomayro

Haciendolaconstrucciònseobtiene:

RocióÁlvaro

x

Seconstruyeel  ABE equilátero. Consecuencia:

60º

Jhonny Meza

θ 2 - º 120

2

B

2

D

60º X 1 0 º

θ 2

θ 0º - 3

D

A

0 3 º

50º

B

40º 10º

10º

10º

40º

C 40º

60º

x

Roxana LaCatalinita

E

x

A

50º

50º

C

AEC.

x= 2

20º 10º

Aplicandolapropiedadseñalada:

ADC

60ºx

60º-2

x

10º

AnabelaAlca 60º

X = 30º

EL

ABCBCD x=40º

x x=30º


Geometría


Seconstruyeel

EBCequilátero

D

C

Solución27

Solución26

Soluciòn:25

B

B

Solución28

20º

Seconstruyeel  ACD equilátero.

80º

B

B

X

30º

60º+

20º

60º x 60º

10º

20º

c

60º+

60º

A

60º-2θ

A

A

60º

D

Despuésdeconstruirel  ACE equilátero.luegoel ACB ECD(L-A-L)

D

C

B

BCD

ECA

E

X

60º

60º

20º

20º

40º

20º

20º

x A

1 0 º

º 40

A

E

20º

D

E

º 20

2

2

C

60º 3 0 º

30º N

X=

40º

20º

B

X

20º

X 30º 30º

C

60º

*

A

D

D

Comoel  ABC ACD(L-A-L) Enconsecuenciaseobtiene.

C 20º

B

* D

Yosmil Espilco

Comoel ACD

B

B 3

º0

x

X

A

º

E C

3 0 º

60º

D

B

20º

N 60º

20

EAD(L-L-L)

C

E

x A

20º

D

x

C

D

60º

º

20º

º

X=20º

E

X= 30º

20º

20º

c A

40º

20º

1 0 º

20º

20º

20º

X 30º 30º

60º

E

º 40

A

º

Delcual 2X=60º. X=30º

E

C


Geometría

Tenerpresenteelsiguiente

B

B

A

TrazoEspecial:


º 0 º 3 0 3

C

B C

30º

c

A

30º K

C q

A

B

Recordar

N

D PrimeroconstruimoselABNequiláteroportanto: CONSECUENCIA

B

30º 30º

30º 30º

º º 0 0 3 3

C

AdaLuz Oré

c

A

_

30º+X

_

30º+X

60º

30º-X

N

NelsonMéndez -

LuegoprolongamosBCenKdetalmaneraquem

Delomensionado,trazamosKNdelcualtraecomo D consecuenciaelAKNisóscelesymKAM=30º-X


Geometría


B

B

M

º 0 º 3 0 3

º-X 30

C c

A

X 30º-

C

c

30º

A

3 0 º -X

30º 3 0 º -X

K

K

3 0 º - X

3 0 º - X

Recordando

N

D AhoraconstruimoselAKMequiláteroycomo consecuencialamBAM=30º-X

30

º-X

N

M

=

B

M

30º

º 0 º 3 0 3

A

30º

L

30º

VictorPillacaQuispe

C

L

30º

=

K

B

c

A

º 0 º 3 0 3

M

30º 3 0 º -X

ComoLespuntomedio ademásACesmediatriz delsegmentoMK.

K 3 0 º - X

º-X 30 c

A N

DespuésdehacereltrazoMBseverificaque: D K A N @ D M A B (casoL-A-L),portantotodoslosdatosquese cumple en el D K A N tienen que cumplirse en el D M A B oseaquieredecirqueel D M A B Eestambiénisósceleselcual seespecificaráenelotrográfico.

30º 3 0 º -X

X 30º-

- L X - 60º-

0 3

º

0 3

º

C

K 3 0 º - X

N


Geometría

=

A

PROBLEMAS

M

M

=

Problema29

=

C

A

C

=

K


30º

X

K 30º

CarlosConteña Problema30

X Finalmente,despuesdetrazarMC,sellegaalaconclusión D dequeelACKesisósceles(MC=CK).Porúltimo;m D MCB=120º-X 24º

54º

Problema31 B M

30º-

6 0º - X

º-X 30 c

A

30º 3 0 º - X

- L º 60

X

3

X 0º12

º 0

3

0

º

C

30º

54º

-X

X

Problema32

K 42º

3 0 º - X X

N

84º


Geometría

Solución29


AhoraconstruimoselABMequiláteroyluegole @ trazamoselMCdelcualobservamosque:elABNMBC (casoL-A-L).Quieredecir: -

Comolafigurapresentalascualidadesparaxhacereltrazo anterior,entoncesconstruimoselBCNequilátero.Ysi observamoslaprolongacióndelCKenAcumpleelrequisito quelamKBA=30ºylamedidadelABNesiguala30º-x (mABN=30º-x.) -

B

Consecuentes M

B

3 0 º

30º

3 0 º - x

30º 30º

B

X

K

-

Entoncesello loaplicamos.

A

K

A

M

-

3 0º

B 3 0 º - x

30º A

K

30º

3 0 º - x

C

30º

M

X

WalterPalomino

30º A

K

C

30º

N

B

30º

3 0 º - x

X

30º

30º

30º

30º

N

N

SoniaNavarro

30º A

3 0 º - x

K

3 0 º - x

C

30º

Comonoshabíamos anticipadoenelcaso anteriorentoncesles señalamoslosnuevos datos. ConstruimosMKy luegoaplicamosel teoremadela bisectrizinterior. ( AK=MK )

60º-x

B

= 60º-x

30º

3 0 º - x

X

A

3 0 º - x

N

3 0 º - x

M

- - - 60º-X

K

AnaArtiaga 3 0 º - x

30º 30º

C


Geometría

Consecuencia finaldeltrazo: verpáginas 25-35.

B


Solución30

3 0 30º º - x

X

3 0 º - x

30º

Primeroobservamoselsiguienteacontecimiento: M

- 6 - 0 º

- X

- - A

B

3 0 º - x

120º-2X 30º

60º-X K

C C

24º

30º

A B

Construimosel  equiláteroABN.

30º 30º

3 0 º - x

N

C 24º

M 12 0º - X 2

Paraapreciarmejorla soluciónnos concentramosenel MCK:isósceles. 6 0º - X

A

C

12 0º - X 2

N B

(120º-2X)+(120º-X)+(60º-X)=180º X=24º

B

30º 30º

K

Lito Alca

30º 30º

C

A

C

A

6 º

6 º

6 º N

N

Karina CárdenasC.


Geometría

B

!ProlongamosACenKtalquemCAK=30º. -


queenconsecuencia:mMKC=36°.

30º 30º

C

K

6º

-

=

M 36º =

=

6º C

C

(casoL-A-L).

N

30º 30º

36º K

M

!Seconstruyeel AKMequil tero !LuegosetrazaMBtalque: ABM NAK

C

6º 24º 30º 6º

A

30º 30º

6º

M

24º 30º 6º

A

B

!Primeronosdamoscuentaqueel KMBisó sceles,

= 36º

= 36º

K

K

N

30º 30º

B

Carlos Torres

KMCisó sceles.

30º 30º

M

HéctorSuyca B

36º

A B

72º

C

6º 24º 30º 6º

=72°

MiguelÁngelMolina

M

A 6º

A K

6º 24º 30º 6º

30º 30º

6º

72º C

36º K

N

6º

72º

36º K

6º

M

Seconcluyeque: BC=AK=KN.

6º

6º N

CarlosRupire N


Geometría

Solución 30


Solución 31

!SetrazaBP(PenlaprolongacióndeCA).Detalformaque -

isóscelesPB=BC. Ademá sm APB=m delcualyaanunciamossustrazos. B 30º

b

36º

24º 30 º

º 6 3

6 º

a

X

M

L

N

C Recordar:(Enelproblemaanteriorserecalcalospasos)

B

30º

72º

6 º

P

6 º

a

54º

24º

R

24º

A Esdecirllegamosalasiguienteconclusión:(verpag.34-36.) º 72

B 30º

X

54º

24º

P

PBCes ACB=24ºobservamosel ABP

-

36º

X

º 0 3

30º

30º 72º

6 º

54º

6 º

º 72

24º+x

A

24º M

3

0

º

24º 24º

C

30 º

º 6 3

6 º

N 6 º

6 º

ExtraemoslosángulosPBNyABM,paracompararque: NPB BAM.(casoL-A-L)

36º

P

54º

A N

54º

24º+X

M

30

54º

24º

M

30 º 3

A

b

º 6

96º 6 º

b 54

El PBN ABM(casoA-L-A) Esdecir:(96º)-(--)-(54º). Entoncesa=b Ysia=bel RBLesisósceles (RB=BL=a=b). X=24

C

X N

a

30º=24º+X X=6º

a

96 º

72º

6 º

B

6 º

P

B

º 0 3

B 30º

6 º 30º

º 72

L


Geometría

Solución 32


D

º 6 2 1

º 0 3

º 4 5

6

º 2 7

º 0 3

2 4

º 0 3

º

º 4 2

º 4 8

º 6 3

º 4 5

º 4 5

º 0 3

º 4 5

º

E º 4 2

º 4 5

B º 6 2 1

º 4 8

º

º

6

6

) 6 3

º 4 5 º 4 5

4

C

3 . g a p

)

r

e Lv( A :

º 6 2 1

-

. )

n

L

ó c c u r t s

X

: s m e d A

X

A

D

( -

) º 6 2 1( -) -( :

. B

n

o c e d s è u p s e

-

o s a (c E D

B



ri

C c e A d  l s E E

º X

=

0 3


Geometría

Propiedad01


AhoratrazamosMAparaidentificarel ALM ANM (Caso:L-L-L)delcualsededuceque=-------------- II

X=60º

60º-

B X

60º Demostración:

B

60º

Primeroconstruimosel ABCequiláteroyluegoel MNCtambiénequilátero. Enconsecuencia: LBA NCA(Caso:L-A-L) delcuálLA=NA= También:x+=+60º

M

X

L

60º

I

M

X

L

60º60º 60º

A 60º60º

A

D

C

Delaecuación

D I

X+=+60º

X+ =

+60º

X=60º

II

==

C


Geometría


Propiedad:03

Propiedad:02

X=120º-θ

X =2θ

120º-2θ

x

Θ

2

Demostración Demostración 90-θ

Realizamoseltrazoenformaanálogaalademostraciónanterior,y aplicamoslapropiedad.

Propiedad:

2

y X

2

90-θ

X=2 y=2 EdsonPalomino

Θ

TrazamosBDparaobtenerel -

60º

ABDISÓ SCELES

B 120º-2θ

JhonQuispe

90-θ

x

Θ

90-θ 2

X=2

D

A

C


Geometría

AhoratrazamosAMbisectriz,alturamedianaymediatriz. LuegoDHaBC B


-

-

PorúltimoobservamosqueelDBHesnotablede30º-60º. B

-

-

90-θ

3 0 º

90-θ

-

-

M

M

-

H

-

=

90-θ

-

90-θ

90-θ

D

D A

90-θ

=

A

TrazamosDHBC,paraformar:DHC -

-

C

AMD

C

Propiedadadicional:

-

B

90-θ

Finalmente:X=(90º- θ)+30º X=120º-θ

X=60º

Θ -

2θ

X

M H

-

Demostración

= -

90-θ D

90-θ

Recordar: =

120º-2θ

90º-

A

2θ

90º-

Consecuencia

120º-2θ

2θ

Θ

Θ

2θ

C

30º 2a

30º-θ

30º

LeonardoTomayro

0 3

EstefhCusi

º-

θ

90º-

90º-

θ

X=30º-

X=60º

θ

Θ

30º

X

θ

30º-

θ

2θ

+30º+θ


Geometría


B

Propiedad:04

TrazamosAMBDy bisectriz,medianay 90º-θ mediatriz. -

-

-

X=θ

3 0 º

-M

120º-θ

90º-θ D A

2

TrazamosDHaBC dondeseformael BHDnotablede:30ºB 60º(DH=a) -

-

-

Demostración PrimerotrazamosBDdetalmodo quemABD=mADB=90º-θ -

90º-θ 2

÷2

-M

Demétr io Janampa

-

90-θ

90º-θ

30º

3 0 º

2

H

90º-θ

90-θ

B

C

2a

D 3 0 º

RuthCuenca

A -

-

-

-

B

90º-θ

3 0 º

C

-M

90º-θ D

2

-

DanielConde

A

H

90º-θ D --

MarcoAlfaro

-

C

A DelgráficoelAMD=DHC portanto:X=θ

C


Geometría

Propiedad:05

TrazamosL//LqueenconsecuenciaseobtienemADN=X 2 1 L 1

B X=2θ


120º-θ

B L 2

120º-θ

D C

A

D X

60º

120º

A

Demostración:

Consecuencia

Recordar:

N Recordar:

C TRAZAMOSL//L 3 4

= + +

B

B

A

B

A D =

120º-θ

JustinianoTomayro GodelinaChavez

ObservandoelcasoanteriortrazamosBM//ADyen consecuencia:BM=MD=AB=AD=ymBMD=X -

D 120º+X A

C

-

L 4

L 3


Geometría

L 1


Recordar: L 2

B X

M

120º-θ

Marleni Oré

TrazamosBDyaplicamosla propiedadmensionadop anteriormente -

D X A

60º

L 1

120º L 2

B

M

N

C

X

Recordar:

60º 60º

60º 60º D X

L 1

FénixGarcía

TrazamosMCtalquese formeel MCDequil tero.

A

L 2

-

B

M X

120º-θ

D X A N

60º

120º

N

X=2θ

60º

120º

C

C


Geometría

Propiedad:06


ProlongamosCDenMtalqueseformaelMBCHDA, porlotanto:HD=BM=a. B -

B

X

X=120º-2θ

90-θ

X

=

M

H =

D

90-θ

D

2θ C

A

A Recordar:

Demostración: θ º90

2θ

Recordar:

=

2a DelMBD(notable de30º-60º)porlo quemMDB=30º.

X

9 0 º - θ

=

Mirasol Díaz

B

X=30º

B 9 0 -θ

=

X 90-θ

C

=

H

M

ElmerC.CH.

= 3 0 º

H =

D

90-θ

B

A

D

9 0 -θ

A

3 0 º -

=

M

Recuerda :

-

-

-

-

C

θ

C

H = 3 0 º

D A X=90º-θ+30º- θ X=120º-2 θ

YolandaFlores

C


Geometría

Propiedad:07


TrazamosANyaplicamos eltrazoconocido(ABNC: equilatero) -

X=

Si:

N

B 60º 120º-2θ

120º-2θ

D A

2θ

60º C

Recuerdatambién;elsiguientetrazo: Demostración: Paraelloesnecesarioconocereltrazodelasiguientefigura: --

Recuerda:

-

=

--

-

=

Primertrazo Figura: 120º-2 θ

120º-2 θ

EstefanyT.F

60º

Aplicamoslomensionadoenelgráficopuestoquesepresentalas condiciones:

N

B 60º 120º-2θ Segundotrazo

120º-2 θ

60º

=

60º- θ

= 60º

D A

60º

JavierFlores

C


Geometría


Problema34

Problema33

Recordar:

X X=θ

5X

X

3θ

2θ 3X

4X

2

Problema36

Problema35

AnaOré N

B 60º

X

2θ

120º-2θ

40º

30º

=

=

X

2X

3X

Problema38

Problema37 D

X

A

X=θ

60º

3θ

3θ 2θ

C

20º

Problema40

Problema39 40º40º

20º 10º

40º

X

X

40º 100º

20º


Geometría

Problema41


Problema42

Solución 33 Primeroconstruimosel  ABC

5X

 ANC. P

x

X

X 2X Problema44

3X Problema43

3X X B

2 60º

A

C

100º 7

N 2θ

X

-

-

20º

X

-

Problema45

Recordar:

x

Problema46

X=120º-θ 2

X 2X

60º

l

l2

l2

P 45º

Problema47

X

ThaniaFlores

l

Problema48

X l2

X

120º-θ

B

2X

-

-

54º

θ =15º PeroX=120º- θ X=120º-15º

2

24º

l

Enel APC 3θ +120º-θ +2θ =180

A

C

X N

X=105º


Geometría


Solución 34

Solución 35

TrazamosANparaformarel  ABNisósceles.

70º

B

4X

X

L

8X A

30º

3X

4X

4X

40º

X

C

N

M

Recordemoslaconsecuenciadeltrazoenlasiguientefigura:

Recuerda: 90º-θ

b b 3X

2X

X

X

Aplicamoslaconstrucción mencionadoen  NBC.

B

B

4X X

a a

2(10º)

X

Aplicamoseltrazoyvemosque Seconstruyeelcaudrilátero

70º X=10º

X

L 2X

C

N

120º-4x 8x+120º-4X=180º

8X

a

70º

X

100º=120º-20º

b 4X

4X A M

2θ

Karina Flores

X

2X

4X

X=15º

90º-θ

a

a

M

2θ

L

8X A

90º-θ

=

a

a

Delgráficoobservamos: BN=a+b. Porlotanto: MC=a+b. Queenconsecuencia tenemosMN=a.

PilarLinares

4X

2θ

40º

2X

2X N

b

C

30º

40º

X


Geometría

Solución: 36


B

Solución: 37 Construimosel ANC

B

X

ADC

X

N 3θ

A

-

2θ

2θ 2θ

C

-

3X

3X

A

B

2X

D

C

D

X=120º-2θ

Construimosel AND congruenteal BCD.Y observamoselABDN 120º-2X

N

2θ

A

C LuisBeltran

2X

MaríaSoledad Chipana

B

120º-2 θ

X

B Luegonosfijamosenel ABD 3X+θ+3X=180º Como: θ=120º-2X 3X+120º-2X+3X=180º X=15º

X

N 3θ

-

2θ

2θ 2θ

A Ahoraenel ABC 3θ+X+2θ=180º A

2X X

X 2X

2X D

C

120-2θ

Θ=20º

C

-

D

Como:X=120º-2θ X=120º-2(20º) X=80º


Geometría


Construimosel AMD

Solución: 38 Primeroanotamos lasprimeras consecuencias

NAB

B

B

20º 120-X X

120-X X M 20º 20º

A

C

D

Recordar: 120º-X

Recordar:

2θ

C

D

20º

20º+X

20º

20º

A

N

40º

X

20º

=2X

2θ

ElizabethOré

EnlafiguraobservamoselcuadriláteroABDMcóncavoconlascondiciones paraaplicarlapropiedad:

IvanJessa Comolafigurapresentalascondicionesparahacereltrazodeceviana exterior,loaplicamos:

B

20º

B

20º

120-X X

120-X X

M 20º 20º N

20º N

40º A

20º

20º+X D

C

20º A

X

20º

20º D

Luego:20º=2X X=10º

C


Geometría

B

Solución: 39


Solución: 40

40º 40º

Primerohacemoslasiguienteconstrucciónylosdatos consecuentesdelosmismos.

N

D 20º

A

80º

40º 10º

X

X

C

B

80º D

70º

40º

100º -X 40

90º-θ

80º 20º A

2θ

90º-θ

2θ

90º-θ

C

2θ

120º-X

B

=2X

AnaTorres

40º 40º

D

N 20º A

80º

40º 10º

70º

X

80º 70º

D

ElezabethCusi

Finalmente;enelñcudrilátero cóncavoNACD. (80º=120º-(20º))cumplela condicióndeloscóncavos:

80º

X=20º

N

B 100º

120º-X -X 40

X=40º/2

40º

X

C

40º Aplicamoslapropiedadenel cuadriláterosombreado: 20º=2X X=10º

80º 20º


Geometría

Solución: 41


Solución: 42

Primerocolocamoslosvaloresdelosángulosquepartencomoconsecuencia delosdatos. LuegotrazamoslacevianaexteriorCNquecumplalassiguientes

2θ

2θ

2θ

C X

B

d Luegodehacereltrazo(DM)setraza B -

5X

5X

-

DByseverificaque: ABD MDC Enconsecuencia:el ABDesisósceles (m ABD=X Λ AD=BD) X

Nelson

5X

X

3X

3X

3X Construimosel CMN

D

N

D

A C

ABC

X

X

B

X

5X

X

2X

4X

M =

2X

B 120º2X (Propiedaddecóncavo

X

B 5X

M

+ +

N

D

C

3X X

Aplicamoslapropiedad(mBDC=5X)

X

3X

3X

2X

A

5X

X A

5X

X

Crisanto Rojas

X

)

dConstruimos DPC ADB

4X

dLuegoenel DBC:

D

M 5X

X 3X A

12º-2X

3X D

EnelcaudriláteroDCMNcóncavomCDN=120º-2X(Propiedad) Ahora3X+5X+120º-2X=180º X=10º

5X+120º-2X+3X=180º

4X P

X X

X 2X

X

N

2X A

X 2X

M

2X X

C

C


Geometría

B

Solución: 43 Construimosel AFC


Solución: 44

60º

ADC

E

B

80º

100º

60º+θ

7

D

60º

20º

X F

A

C

A Recordar:

X

C

90º-θ

Construimossegúnlo expuestodelasiguiente

N

Recordar: D 60º+θ

2θ

90º-θ

2θ

2θ

90º-θ

20º

=60º

80º

B

Segundino Meza

B 100º

60º

D

E JoséMolina

80º

60º+θ

60º

PorloexpuestomEAF=60º

20º

X

C

A

7 Construimosahorael ABM

60º

60º+θ

A Segunlafigurael AECes isósceles(mSEAC=mAEC) X=7

ADC

F Recuerde:

X

C

120º-2θ

2θ

D JesúsLinares

X=2X


Geometría

Solución: 46


B PrimeroconstruimoselBED(notablede45º-45º)

B

l

60º 45º

l

45º 60º

E

E

60º l2

l2

l l

45º 45º

45º A

45º

60º

X

D

Aplicandolapropiedad:X=90º/2 X=45º

C

l

60º EricaT.F.

B

60º

30º 60º

2n

2n

60º

2θ

E 60º

2n

30º

2

45º 45º

2

2θ

60º D

X l

X

YulizaLinares

3

3

l

A

60º

2θ

l2

C

D

X l

Observación:formasdereconoceralnotables

60º

l

60º 45º

60º

A

45º

45º

C


Geometría


Solución: 45

N 20º

B

100º

80º

l2

º 100º 20

-

-

X 2X B

SeprolongaelBDparatrazarleAE//BC decualel ADE DBC AE=lΛ BD=DE

-

l

=

D A

C

D

80º

60º A

20º

X

l

C

=

Recuerda:

2X

l2

l

Extraemosel ABCque resultacomoconsecuencia delostrazos.

B

l

l

LuisDueñas

X 2X l2

120º-2(10º) B

X

45º

l2

45º

E

Extrayendolasiguientefigura notamosqueesfactibleaplicar lapropiedaddeloscuadriláteros cóncavos. X=10º

l

=

l

100º M

2(10º)

A

20º

D

X

N M

l

C

= 2X

l2

E

l

Despuesdeconstruirdel AENisósceles X=45º

X N


Geometría


Solución: 47 Solución: 48

TrazamosAM//BCdelcualel ADM BDC B -

-

X

24º

2X l

l3

-

A

D

30º

C

X

64º

-

6º

24º

24º30º

72º 3 6 º 6º

Recuerda:

l

30º

78º

30º

6º

= =

36º

30º

2θ

2X

2n

60º

6º

30º

M

3

3

YenitoChipana Despuesderealizarlaconstrucciónseobserva queeltrianguloBCDisósceles(BD=BC)

JaimeRayme Aplicamoslapropiedad ABM

B

B 6º

B

X l3 l3

72º 3 6

º

30º 6º

A

30º A

30º

2l

l

M

78º

6º

=

=60º 84º

54º 36º

A

D

X C

6º

X=84º

l 2X

24º30º

60º

X

60º 2X M

X=30º


Geometría

Ejercicios

1.-Hallar “x” e “y”

a)

3 2

15

x

8

b)

h)

y

q

x

i)

y

48

X

23

7

q

20º+

20º

58º

66º

75

X

61º

c)

D)

3

a

10

X

20

5

X

c)

y

16

5

b)


X

21º+ X

7

44

21º

8

48º

c)

y

j)

25

3

4

X

44

-3

a)

5 3

X

X

62º

20º

k)

3-1

6

X

29

10º

56º

b)

4

5Hallar “x” en: 42º

12

X

21

21º

a) 32º

l)

y

35

X

X

X

15

25

e)

a

4

y

7 2

a

d)

23

48

d)

X

3Hallar “x”

c)

3

2

X

12º

X

8

75

28º 66º

16º

X

24º

f)

2

a) q

x

15 2

g)

b)

2.-Hallar “x” y

4Hallar “x” y “a”

20º

q

X

b)

y 4

b 2

a

18º

42º

X

34º

b

X

45

10º

X

a) 3

10º+

26º

69º

X

63º


Geometría

c) 25º

7Hallar “X” en:

b b)

10º


70º

63º

Xº

10º

20º

120º 35º

40º

18º

X

10º

90º-3x

2X

20º

40º

40º

d)

c) 27º

Xº

5º 90º-3x

69º

120º 10º

10º

33º

2X

20º 40º

90º-3x

2X

50º

9º

e)

42º

32º

d)

6º

Xº 90º-3x

80º

28º

120º

120º

X

5º

90º-3x/2

2X

6º 12º

20º

f)

48º

54º

20º

23º

e)

7º

90º -

37º

Xº

3x 2

120º

X

90º-3x/2

65º X

6º

12º 24º 36º

6Hallar “x”

48º

5º 50º

a)

f) 63º

Xº

90º -

120º

X

3x 2

66º

6º

120º

18º 7º

X 17º

6º

34º 26º

48º

43º


Geometría

8Hallar “x” a)

10Hallar “x”

9Hallar “x”

a)

50º

a)

Xº


f)

b

xº

b

xº

a

a

10º

Xº

7

7

20º

b +10º

95º

b + 20º

b +10º

b + 20º

7

5º

7

5º

b)

48º

Xº

xº

b)

a)

b

g)

12º

Xº

b

a

18º

18º

xº

a

15

15

98º 8º

b + 15º

8º

b + 30º

b + 15º

b + 30º

c) Xº

46º

c)

xº

q

h)

c) 14º

Xº

xº

q

a

a

16º

100º

10º

q + 13º

10º

q + 13º

q + 26º

q + 26º

20

20

d) 46º

d)

Xº

d)

q

i)

18º

Xº

xº

q

a

a

12º

12º

110º

xº

3q

2q

20º 20º

3q

2q

8

8

e) X

Xº

X

39º

e)

j

e) a

21º

Xº

a

9º

111º

21º 21º

2X

3X

2X

3X

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

Recommend Documents