14) Polinomios, Operaciones

Fatela Preuniversitarios

MATEMÁTICA GUÍA º 14 “POLIOMIOS, OPERACIOES" En esta guía se tratará sobre: Polinomios: Definiciones básicas. Operaciones entre polinomios: Suma. Resta. Multiplicación. División. Regla de Ruffini. Relación entre Dividendo, Divisor, Cociente Cociente y Resto. Teorema del Resto. Potenciación de Polinomios.

POLIOMIOS: DEFIICIOES BÁSICAS. Un polinomio es una "expresión "expresión algebraica entera". Se entiende por esto a una expresión matemática que involucra letras y números, donde la incógnita (x) aparece sólo elevada a exponentes naturales (enteros positivos) y multiplicada por números reales llamados coeficientes. También puede tener un término constante, llamado término independiente, que correspondería a una potencia de exponente cero de "x". an : Coeficiente Principal

n : Grado

n

n −1

P(x) = an x + an −1 x

Término Principal

a2 : Coeficiente Cuadrático

n −2

+ an −2 x

Término Cuadrático

a1 : Coeficiente Lineal

2

+… + a2 x + a1 x + a0

Término Lineal

Con n ∈ ℕ 0 y [∀ i / i ∈ ℕ 0 ∧ (0 ≤ i ≤ n)] : ai ∈ ℝ

Término Independiente

ℕ0

=

{0}

ℕ∪

Matemática - Polinomios, Operaciones. - 1 -19

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Con el símbolo ℕ 0 se denotan todos los números naturales más el cero. El polinomio es entonces una sumatoria de términos; compuestos cada uno de ellos por un coeficiente (número real) y una parte literal (por letras). Según el número de términos que lo componen, recibe el nombre de monomio, binomio, trinomio, cuatrinomio, etc. Cuando hay más de un término se designa genéricamente como polinomio, vocablo que se forma con el prefijo "poli" (muchos) y "nomio" (de nombre o denominación). De esta forma un polinomio es una expresión matemática con muchos "nombres" o denominaciones". Coeficiente

Parte Literal 3

Polinomios

P(x) = −2 x

Monomio

Q(x) = 3 x − 2

Binomio

R(x) = x2 − 2 x + 7

Trinomio

3 2 S(x) = 5 x + 3 x − x + 2

Cuatrinomio

Definiciones: Grado de un polinomio:"n" Es el mayor exponente al que aparece elevada la incógnita "x". Por lo tanto es un número natural, o puede ser cero.

Término Principal : Es el término donde la incógnita aparece elevada a su máximo exponente o sea al grado del polinomio.

Coeficiente Principal : Es el coeficiente del término principal, o sea el número real que multiplica a la potencia de mayor grado de "x".

Término Independiente : Es el llamado término de grado cero y es un número real y constante, pues en este término no aparece la variable "x".

Término Lineal : Es el término de primer grado del polinomio. De allí la expresión "lineal" que hace referencia a línea recta.

Coeficiente Lineal : Es el coeficiente del término lineal. Como todos los coeficientes es un número real.










Polinomio Mónico, o ormalizado: Es un polinomio cuyo coeficiente principal es igual a uno. P(x) = x + 3 Q(x) = x2 − 5 x + 1

Polinomios Mónicos, o Normalizados

6 R(x) = x − 1

S(x) = x3 + 3 x2 − 5 denado todos los términos se Polinomio Ordenado : En un polinomio or denado ordenan con las potencias de "x" en forma creciente o decreciente. Lo más común es el ordenamiento en forma decreciente de los exponentes de "x", con el término principal en primer lugar. P(x) = x − 5 x + 3 x + 1

Polinomio Ordenado en forma decreciente

Q(x) = − 1 + 2 x2 − 3 x3 + 7 x4

Polinomio Ordenado en forma creciente

3

2

R(x) = x3 + 3 x2 − 5 x5

Polinomio desordenado

Polinomio Completo : Un polinomio está completo cuando aparecen en el mismo los términos correspondientes a todas las potencias de "x" desde el término principal hasta el término independiente. Si un polinomio careciera de alguna potencia de "x", hay que agregar el término correspondiente a dicha potencia con un coeficiente igual a cero, para completar al polinomio. 5 2 P(x) = x − 5 x + 3 x

5

4

3

Polinomio Ordenado pero Incompleto

2

P(x) = x + 0 x + 0 x − 5 x + 3 x + 0

Muy Importante: Si falta el término

Polinomio Completo y Ordenado










o aplicar la regla de Ruffini, dado que en estas operaciones se debe reservar una columna para cada potencia de "x".

Polinomio Reducido: Todo polinomio debe expresarse en forma reducida, lo que implica que deben operarse los términos que tengan la misma parte literal (iguales potencias de "x"), de modo que quede sólo un término por cada potencia de "x". P(x) = x5 − 5 x2 + 3 x2 + 2 x 5

Polinomio no Reducido

2

P(x) = x − 2 x + 2 x

Polinomio Reducido

En general, trabajaremos con polinomios con una sola incógnita (casi siempre "x", pero podría haber otra letra). A veces pueden aparecer otras letras en la parte literal de los términos de un polinomio además de la incógnita. Para encontrar el grado del polinomio hay que prestar atención a la letra que se indique como incógnita y no distraerse con otras letras que pudiera haber. 5

2

2

6

Polinomio en "x" de grado n = 5

5 2 2 4 Q(s) = t − 2 s x − 5 s

Polinomio en "s" de grado n = 4

P(x) = x − 5 a b x + 3 a x + 2

Letras que se indican como incógnitas Por todo lo expuesto, en los polinomios o expresiones algebraicas enteras no se permiten más que potencias naturales de "x", de modo que no son polinomios expresiones que tengan a la incógnita: Dividiendo en fracciones (o sea con potencias de exponente negativo). Como exponentes en potencias (funciones de tipo exponencial). Como argumento de logaritmos (funciones de tipo logarítmico). Como argumento de funciones trigonométricas (seno, coseno, etc.). Para Practicar

1) Determinar si las siguientes expresiones algebraicas

a) 5 x3 + 2 x2 − 1

son polinomios:

d) − 3 x3 + 2 x2 − sen(x+1) + 2










g) 12 x + 2 x −3

Respuestas:

2

h) x3 + 3 x2 − 4 x +

−1

a) Sí e) No

b) No f) Sí

c) Sí g) No

5 x2

−1

d) No h) No

2) Dados los siguientes polinomios, completar la tabla:

Polinomio

3

7

P(x) = x + 3 − x +

Incógnita

Grado

Coeficiente Principal


5x

Q(s) = s2 x3 + 3 s5 − x6 s3 2

4

R(t) = 3 t − t + 2 a − 3 b 2 2 3 S(x) = x + 5 x − x + 3

3

OPERACIOES ETRE POLIOMIOS A) SUMA: Para sumar polinomios, hay que tener en cuenta que sólo se pueden sumar los términos que tienen igual parte literal, o sea iguales letras elevadas al mismo exponente. Se suman entonces los coeficientes de los términos de la misma parte literal y se repite idéntica la parte literal. Conviene en estos casos escribir los polinomios de modo tal que los términos de igual parte literal queden alineados verticalmente, por ejemplo: Sumar P(x) = − 3 x3 + 5 x2 − 7 3

+

y 2

P(x) = − 3 x + 5 x Q(x) =

P(x) + Q(x) =

Q(x) = − 2 x2 − 3 x +1 −7

2

−2x −3x+1 3

3x +3x

2

3x

6










polinomios es un caso particular de suma, sólo que hay que afectar al segundo polinomio por el signo menos, lo que implica un cambio de signo para todos los términos de dicho polinomio. 3 2 Dados P(x) = − 3 x + 5 x − 7

2 Q(x) = − 2 x − 3 x + 1 :

y

Obtener el polinomio: P(x) − Q(x)

P(x) − Q(x) = P(x) + [ − Q(x)]

Q(x) = − 2 x2 − 3 x +1 ⇒ − Q(x) = − (− 2 x2 − 3 x + 1) = 2 x 2 + 3 x − 1 P(x) = − 3 x3 + 5 x2

+− Q(x) =

−7

2

+2x +3x−1

3 2 P(x) − Q(x) = − 3 x + 7 x + 3 x − 8

C) MULTIPLICACIÓ: Comenzaremos multiplicando dos monomios: 2

Por ejemplo, si:

y

P(x) = − 3 x

2

P(x) . Q(x) = − 3 x .

2 5

x

3

⇒

−

6 5

5

Q(x) =

2 5

x3

P(x) . Q(x) = −

x

6 5

x

5

Se multiplican los coeficientes entre sí y las partes literales también entre sí, en este último caso se aplican las propiedades de potencias de igual base. Ahora multiplicaremos un monomio por un polinomio: Por ejemplo, si:

P(x) = − 3 x2

y

2

Q(x) = 5 x − 7 x + 3

2 2 4 3 2 P(x) . Q(x) = − 3 x . (5 x − 7 x + 3) = − 15 x + 21 x − 9 x












Si la multiplicación es entre dos polinomios: 2

P(x) = − 3 x + 2 x

Por ejemplo, si:

2

Q(x) = 5 x2 − 7 x + 3

y

2

P(x) . Q(x) = (− 3 x + 2 x) . (5 x − 7 x + 3) =

Se aplica la propiedad distributiva del producto respecto a la suma.

4 3 2 3 2 P(x) . Q(x) = − 15 x + 21 x − 9 x + 10 x − 14 x + 6 x

P(x) . Q(x) = − 15 x4 + 31 x3 − 23 x2 + 6 x Otra forma más cómoda de hacer este producto es: 2

5x −7x+3

Se realiza el producto como si se tratara de una multiplicación entre números, y se van ordenando los términos de modo que queden alineados verticalmente los que tienen igual parte literal, para luego sumar estos términos.

2

−3x +2x

+ − 15 x

4

3 2 10 x − 14 x + 6 x 3 2 + 21 x − 9 x

4

3

2

− 15 x + 31 x − 23 x + 6 x

Cuando se multiplican dos polinomios, el polinomio producto obtenido tiene como grado la suma de los grados de los polinomios operados. Para Practicar

1) Dados los polinomios:

P(x) = 3 x + 1 2 Q(x) = x − 2 x + 5 , hallar: 3

a) P + Q − R b) 3 Q − ½ P c) P . Q + R










D) DIVISIÓ: Antes de explicar el proceso a realizar para dividir dos polinomios, comenzaremos por un repaso del procedimiento que se sigue para realizar la división entre dos números. Divisor

Dividendo 9

2

1

4

Cociente

Resto

9

2

8

4

1 Hallar el resto implica restar el dividendo con el producto cociente por divisor

+

9

2

8

4

1 O lo que es igual, sumar el dividendo con el producto cociente por divisor cambiado de signo

Un proceso parecido a éste seguiremos para dividir polinomios Para dividir polinomios: El polinomio dividendo debe estar completo y ordenado en forma decreciente. El polinomio divisor sólo debe estar ordenado en forma decreciente. Se procede de la siguiente manera: 1) Se toma el término principal del polinomio dividendo y se lo divide










6) Se repite el procedimiento con el polinomio que va quedando a la izquierda (volviendo al paso 1), hasta que el polinomio que quede sea estrictamente de menor grado que el polinomio divisor. 7) Una vez llegado a este punto, el polinomio que queda a la izquierda es el resto y se ha obtenido ya completo el polinomio cociente, quedando finalizada la división. 4

2

Por ejemplo, realizar la división: (2 x − 3 x + 5 x) : (x − 2) Comenzamos completando y ordenando el dividendo: 4 3 2 D(x) = 2 x + 0 x − 3 x + 5 x + 0 4 3 2 2x +0x −3x +5x+0

+ − 2 x 4 + 4 x3

x−2 2

2 x3 + 4 x + 5 x + 15 = C(x)

3

2

+4x −3x

+ − 4 x 3 + 8 x2

Cálculos Auxiliares 2x 4

2

+

+5x +5x 2

− 5 x + 10 x

+

+ 15 x + 0 − 15 x + 30

R(x) = 30

En este caso el Resto es un polinomio de grado cero

x 4x 3 x 5x 2 x 15x x

= 2x

3

= 4x

2

= 5x = 15

Cuando se dividen dos polinomios, el grado del polinomio cociente es igual a la diferencia entre el grado del dividendo y el del divisor. En este ejemplo el dividendo es de cuarto grado y como el divisor es de primer grado el










Condición necesaria para aplicar la Regla de Ruffini: El divisor debe ser de la forma: x − a

Regla de Ruffini

2 x4 − 3 x2 + 5 x x−2

=

2 x 4 + 0 x3 − 3 x2 + 5 x + 0 x−2 Coeficientes del polinomio Dividendo completo y ordenado

Término independiente del Polinomio divisor cambiado de signo "a"

2

2 ×

2

3

0 +

−3

4

8

10

30

4

5

15

30 = R x

+

2

0

5 +

C(x) = 2 x + 4 x + 5 x + 15

+

Resto

Cociente

Para aplicar la Regla de Ruffini, se procede de la siguiente manera: 1) Se colocan en una misma fila todos los coeficientes del polinomio dividendo completo y ordenado. 2) Trazamos debajo un par de líneas, una horizontal y otra vertical, como muestra el dibujo. 3) En el ángulo de la izquierda se coloca el término independiente del polinomio denominador cambiado de signo, que también equivale a la raíz o cero del mismo polinomio. Le llamaremos "a".










(cuando el divisor es de la forma: x − a) es un número constante o sea un polinomio de grado cero. 8) Los restantes números de la última fila son los coeficientes del polinomio cociente completo y ordenado. Para Practicar

a)

D( x )

b)

D( x )

c)

D( x )

d)

D( x )

d(x )

d( x )

d( x )

d( x )

=

=

operación completa, y cuando sea posible aplicar la regla de Ruffini para verificar los resultados obtenidos.

x+2 5

C(x) = − 5 x4 + 8 x3 − 23 x2 + 45 x − 114 R(x) = 250 x − 341

6

−2 x + 3 x − 5 x + x + 1

x2 + x − 3

C(x) = −6 x6 + 6 x5 −5 x4 + 10 x3 −10 x2 + 8 x −8 R(x) = 10

5 x 4 − 2 x 2 − 6 x7 + x5 + 2 x +1 3

=

C(x) = 3 x4 − 6 x3 + 14 x2 − 28 x + 50 R(x) = − 100

3 x5 + 2 x3 − 6 x

3

=

1) Realizar las siguientes divisiones, efectuando la

4

5

C(x) = x3 + x2 − 5 x + 1 R(x) = − 10 x + 2

−6 x − 5 x + x + x + 1

x2 − 1

RELACIÓ ETRE DIVIDEDO, DIVISOR, COCIETE Y RESTO Veremos ahora la relación que existe en toda división entre el Dividendo, el divisor, el cociente y el resto. divisor: d

Dividendo: D

Resto: R

9

2

1

4

Cociente: C












Para Practicar

1) Verificar los resultados obtenidos en las divisiones realizadas anteriormente, mediante la fórmula que relaciona: Dividendo, divisor, cociente y resto.

TEOREMA DEL RESTO El Teorema del Resto se emplea para obtener el resto de una división sin realizar la misma y aún sin aplicar la Regla de Ruffini. Tiene la misma validez que la Regla de Ruffini: se aplica sólo para divisiones por un polinomio divisor de la forma: x − a, o sea para divisores mónicos o normalizados de primer grado. Como veremos más adelante, cuando se intenta factorear un polinomio es importante conocer el resto de la división de dicho polinomio por otro de la forma: x − a, incluso antes de realizar la división, porque se busca que el resto sea cero, con lo cual la división será exacta y dicha división se podrá igualar al cociente obtenido. Cuando ello no ocurre y el resto es distinto de cero se busca otro polinomio divisor de la forma "x − a" hasta hallar uno para el cual el resto sea cero y por lo tanto la división sea exacta. En estos casos es útil el Teorema del Resto, donde se buscará obtener en forma rápida el resto de una división sin siquiera intentar realizarla. Al dividir polinomios, se cumple:

D(x) = C(x) × d(x) + R(x)

Si el polinomio divisor es de la forma: x − a










Si al dividir dos polinomios:

D(x) d(x)

el resto es cero, se dice que:

D(x) es divisible por d(x). La división es exacta. Si d(x) = x − a, entonces "a" es una raíz o cero de D(x), puesto que D(a) = R = 0 d(x) es un factor de D(x): Si R = 0

Para Practicar

⇒

D(x) d(x)

= C(x)

⇒

D(x) = C(x) . d(x)

1) Calcular el resto de las divisiones realizadas antes, por medio de la aplicación del Teorema del Resto en los casos que corresponda.

2) Halla el valor de “k” para que: 5 x2 – k x + 3 sea divisible por x + 2. (k = − 23/2)

3) Encuentra el valor de “k” de modo que –1 sea raíz del polinomio: 4

2

P(x) = x – 3 x + k x + 2

(k = 0)

4) Calcular “a” y “b” para que se cumpla cumpla que: P(x) = x2 + 2 a x + b tenga como raíces a “ 5” y “0”.

(a = 5/2; b = 0)










Cubo de un Binomio 3

2

2

2

(a + b) = (a + b) . (a + b) = (a + 2 a b + b ) . (a + b) a2 + 2 a b + b 2

3

×

(a + b)

2

2

3

2

3

a b+2ab +b 3

2

3

2

a +2a b+ab

2

a +3a b+3ab +b Para Practicar

c) (− 7 x2 − 5 x3)2

2

Cubo de un binomio

2

3

Cuatrinomio Cubo Perfecto

1) Resolver las siguientes potencias cuadráticas y cúbicas de los siguientes binomios:

a) (− 5 x3 + 2 x5)2 b) (2 x4 − 11 x3)3

3

(a + b) = a + 3 a b + 3 a b + b

6

8

10

(25 x − 20 x + 4 x ) 12

(8 x

11

− 132 x 4

+ 726 x 5

10

9

− 1 331 x ) 6

(49 x + 70 x + 25 x )










Trabajo Práctico º 14 : "Polinomios, Operaciones" 14.1) Determinar si las siguientes expresiones algebraicas son polinomios: e) e2 x3 − 2 x2 − tg(π) x + 1

a) 5 x3 + 2x − 5 b)

3 5

5 3 2 x + π x − 6 x + ln 3

g) x3 + 3 x2 − cos(π/4) x − 1

c) 5 x3 − 7 x2 − sen(πx) d) − 4 x3 + 2 x2 − 3 x − 1 +

f) x2 − 7 x + log x (5)

5

h) x5 − 7 x−2 + x3 − 1

x

14.2) Dados los siguientes polinomios, completar la tabla:

Polinomio

Incógnita

P(r) = r 3 + 3 b7 − r 5 + a 2 3

5

6

Q(t) = s t − 5 s − t s

3

Grado












c)

D( x ) d( x )

=

3 x 3 − 5 x 2 + x5 − x + 2 2

x + 2x − 3

d)

D( x ) d( x )

=

6 x 4 + 5 x 2 + x 3 − x5 − 5 x2 + 3

14.5) Verificar los resultados obtenidos en las divisiones realizadas en el ejercicio anterior, mediante la fórmula que relaciona: Dividendo, divisor, cociente y resto.

14.6) Calcular el resto de las divisiones realizadas antes, por medio de la aplicación del Teorema del Resto en los casos que corresponda.

14.7) Halla el valor de “k” “k” para que: 3 k x2 – 5 x + 1 sea divisible por x − 3. 14.8) Encuentra el valor de “k” de modo que – 5 sea raíz del polinomio: 4

2

P(x) = x − 5 x − 2 k x + 20

14.9) Calcular “a” y “b” para que se cumpla que: P(x) = x2 + ¼ a x − 3 b tenga como raíces a “ −3” y “2”. 2 14.10) Calcular “a” y “b” “b” para que se cumpla que: P(x) = − 3 a x + b x − 2

deje resto −7 al dividirse por x + 1 y tenga a “2” como raíz.

14.11) Resolver las siguientes potencias cuadráticas y cúbicas de los siguientes binomios:












14.13) Si P1(x) = x3 − 1/27;

3

2

P2(x) = a3 x + a2 x + a1 x + a0 y Q(x) = P1(x) + P2(x) y además es un Cuatrinomio Cubo Perfecto, entonces los coeficientes de P2(x) valen:

a)

a3 = 0 ; a2 = 2

b)

a3 = 1 ; a2 = − 1 ; a1 = 3 ; a0 = 1

c) d) e)

a3 = 0 ; a2 = − 1 ; a1 = 1/3 ; a0 = 0

; a1 = 2 ; a0 = 1

a3 = 1 ; a2 = − 2 ; a1 = 1/3 ; a0 = 3 inguna Respuesta Anterior es Correcta

14.14) Si P1(x) = 2 x3 + 4 x2 − 5 x + 4; P2(x) = a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0; 3

2

Q(x) = − x + 6 x − 7 x + 3 y además Q(x) = P 1(x) − P2(x) entonces los coeficientes de P 2(x) valen:

a)

a3 = − 3; a2 = 2 ; a1 = − 2; a0 = − 1










Respuestas del trabajo Práctico º 14: "Polinomios, Operaciones" 14.1) a) No e) Sí

b) Sí f) No

c) No g) Sí

d) No h) No

14.2) Incógnita

Grado



3 7 5 P(r) = r + 3 b − r + a

r

5

−1

3b +a

Q(t) = s2 t3 − 5 s5 − t6 s3

t

6

−s

−5s

x

4

1

3 t5

Polinomio

5

4

3

R(x) = 3 t − x + x − 3 x

3

7

5










14.9) a = 4 ; b = 2 14.10) a = 4/9 ; b = 11/3 14.11)

a) 9 x6 − 12 x5 + 4 x4 b) − 216 x9 − 756 x11 − 882 x13 − 343 x15 c) x8 − 8 x7 + 16 x6 d) 125 x12 − 150 x10 + 60 x8 − 8 x6

14.12) Opción a) 14.13) Opción c) 14.14) Opción b)

14) Polinomios, Operaciones

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