Distribuciones de Probabilidad

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA “Norte de la Universidad Peruana”

FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL: INGENIERÍA CIVIL

1.VARIABLE 1. VARIABLE ALEATORIA Se llama variable aleatoria (v.a.) a toda aplicación o función que asocia a cada elemento del espacio muestral (Ω) de un experimento, un número real.

Ejemplo 1: Consideremos el experimento que consiste en revisar tres componentes de una bomba centrífuga, que pueden ser defectuosos (D) y no defectuosos d efectuosos (N) ε = Revisar tres componentes de una bomba centrífuga, centrífuga , el espacio muestral será: Ω=

{ NNN, NND, NDN, DNN, NDD, DND, DDN, DDD }

Definimos la variable aleatoria (v.a.) X = como el número de componentes defectuosos X(CCC)=3 X(CCS)=X(CSC)= X(CSS) =2 X(SSC)=X (CSS)=X(SCS)=1 X(SSS)=0 La variable aleatoria toma 4 valores diferentes: X = 3,2,1,0

Las variables aleatorias las podemos clasificar en: §

Discretas, Discretas, si puede tomar un número finito o infinito numerable de valores enteros

Porque solo puede tomar tomar valores enteros y un número número finito de ellos. ellos. Por ejemplo: X: Variable que nos define el número de trabajadores aprobados en una capacitación capacitación de un grupo de 40 (1, 2 ,3…ó los 40). pág. - 1 -



PROPIEDADES DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA(X) D ISCRETA(X) •0≤p(x)≤1 Las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma x deben ser

mayores o iguales a cero y menores o iguales a 1

•Σp (xi) = 1 La sumatoria de las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma x

debe ser igual a 1

FUNCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETA Sea X una que:

variable aleatoria discreta .

La función de probabilidad de X es una función función p(x) tal

VALOR ESPERADO Y VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA El valor esperado y varianza de una variable aleatoria discreta X, se definen por:

E X    x px 

§

Continuas si Continuas si dado un intervalo (a,b) la variable puede tomar todos los valores comprendidos entre a y b.

X : Variable que nos define defi ne la concentración en gramos de plata pl ata de algunas muestras de mineral (14.8 gr, 12.1,10.0, 42.3, 15.0, 18.4, 19.0, 21.0, 20.8, …,∞) PROPIEDADES DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA (X) •p(x) ≥0 Las probabilidades asociadas a cada uno de l os valores que toma x deben ser mayores

o iguales a cero. Dicho de otra forma, la función de densidad de probabilidad deberá tomar solo valores mayores o iguales a cero. •El área definida bajo la función de densidad de probabilidad deberá ser de 1

pág. - 2 -



EJERCICIOS DE VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

1. Un ingeniero, jefe de una planta de producción, sabe que todos los años tienen supervisiones generales de los procesos de producción para detectar fallas y realizar correcciones. Por la experiencia acumulada durante años sabe que el número de supervisiones anuales se distribuye con arreglo, según la Tabla Nº 1: a) Calcular el valor de A. Tabla Nº 1 b) Calcular el número 2 3 4 5 esperado de supervisiones Nº de supervisiones 1 Probabilidad (A-3)/15 A 1/15 3/15 (A-1)/15 anuales. c) Calcular la varianza y la desviación típica del número de supervisiones anuales. d) Probabilidad de que en un año elegido al azar se celebren más de 3 supervisiones. e) Probabilidad de que en un año elegido al azar se celebren menos de 2 supervisiones. f) Probabilidad de que en un año elegido al azar se celebren por lo menos 4 supervisiones. g) Probabilidad de que en un año elegido al azar se celebren a lo más 2 supervisiones. h) Probabilidad de que en un año elegido al azar se celebren por lo menos 2 y a lo más 4 supervisiones. 2. A partir del experimento aleatorio consistente en lanzar tres monedas a la vez, consideramos la variable aleatoria X = “nº de caras obtenidas”.

a) Determina la distribución de probabilidad de la variable. b) Calcula P ( X  2) , P ( X  3) , P (1  X  2,5) c) Calcular la probabilidad P 1  X  3 d) Determine el número esperado de caras y su desviación estándar. 3. Sea X el número de defectos diarios de artículos industriales que produce una Fábrica. La función de probabilidad para X es: Nº de defectos Probabilidad

1 3k

2 k

3 K+0.2

4 0.2

5 k

Calcule: a) El valor de la constante K sabiendo que la distribución es de probabilidad. b) La probabilidad de que el número de defectos diarios en los artículos sea menor a 3. c) La probabilidad de que el número de defectos diarios en los artículos sea a lo más 2. d) La probabilidad de que el número de defectos diarios en los artículos sea más de 2. e) La probabilidad de que el número de defectos diarios en los artículos no sea a lo más 3. f) La probabilidad de que el número de defectos diarios en los artículos sea por lo menos 1 y a lo más 4. g) Determine el número esperado de defectos diarios y su desviación estándar.

pág. - 3 -



4. Sea X el número de fallas de una probeta de concreto. La función de probabilidad para X es: Nº de fallas Probabilidad

1 0,01

2 a

3 0,4

4 0.2

5 0,1

6 0,09

Calcule: a) El valor de a. b) La probabilidad de que el número de fallas es 3. c) La probabilidad de que el número de fallas es a lo más 4 d) La probabilidad de que número de fallas es por lo menos 2. e) La probabilidad de que número de fallas como máximo es 3. f) Hallar el nº esperado de accidentes mensuales y su desviación estándar. 5.

Una variable aleatoria X puede tomar los valores 30, 40,50 y 60 con probabilidades 0.40; 0.20; 0.10 y 0.30. Represente en una tabla su función de probabilidad y determine las siguientes probabilidades. a) P(X≥60) b) P(X<40) c) P(30≤X) d) P(50≥X) e) P(40
P( 40 ≤ X ≤

60)

Estimado Estudiante Desarrollar del libro de Probabilidad y Estadística de Wallpolle, los ejercicios 3.1 al 3.16 de las páginas 88 – 89.

pág. - 4 -



2. DISTRIBUCIONES

DE PROBABILIDAD:

2.1. Distribuciones de Probabilidad Discreta En una distribución de probabilidad de la variable aleatoria discreta podemos calcular la probabilidad de que la variable aleatoria tome un determinado valor - Distribución Bernoulli - Distribución Binomial - Distribución Poisson 2.2. Distribuciones de Probabilidad Continua En una distribución de probabilidad de la variable aleatoria continua podemos calcular la probabilidad de que la variable pueda asumir cualquier valor dentro de un intervalo de la recta numérica o de un conjunto de intervalos - Distribución Normal - Distribución Normal Estándar - Distribución t de Student - Distribución Chi-cuadrado - Distribución F

2.1. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA Estudiaremos tres tipos de distribuciones de probabilidades discretas: la Bernoulli, la Binomial y la de Poisson. Aunque existen otras distribuciones de probabilidades discretas como la Distribución Geométrica y la Hipergeométrica, sólo nos ocuparemos de las tres primeras

2.1.1. DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Bernoulli (o distribución dicotómica), nombrada así por el matemático y científico suizo Jacob Bernoulli, es una distribución de probabilidad discreta, que toma valor 1 para la probabilidad de éxito (p) y valor 0 para la probabilidad de fracaso

(q = 1 − p).

Si X es una variable aleatoria que mide "número de éxitos", y se realiza un único experimento con dos posibles resultados (éxito o fracaso), se dice que la variable aleatoria X se distribuye como una Bernouilli de parámetro p. X Be (p)

pág. - 5 -



Su función de probabilidad es: La media o valor esperado y la varianza de una variable que sigue una Dist. De Bernoulli queda definida de la siguiente manera : Esperanza matemática:

Varianza:

Un experimento al cual se aplica la distribución de Bernoulli se conoce como Ensayo de Bernoulli o simplemente ensayo, y la serie de esos experimentos como ensayos r epetidos.

Ejemplos de Ensayos de Bernoulli 1. Lanzar una moneda 2. Rendir un Examen 3. Encender una máquina, etc

2.1.2. LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL 

Esta distribución se origina en los Ensayos o Experimentos Bernoulli que consiste en realizar 1 experimentos que tiene dos resultados posibles, llamados “éxito” y “fracaso”.



Experimento Binomial: Es aquel que consiste en realizar “n” veces ensayos de Bernoulli, en el cual se debe cumplir lo siguiente: a. Cada ensayo tienen solo dos resultados posibles. b. Los ensayos son independientes. c. La probabilidad de éxito “p” es constante en cada ensayo.



Esta distribución tienen las siguientes características: 1.Su variable aleatoria está definida como: X: Numero de éxitos en “n” ensayos.

2.Su recorrido o rango es: R x = {0,1,2,3,4,5, …, n} 3.

Su función de probabilidad está dada por:

 n  x n  x f ( x)  P ( X  x)    x  p q , x  0,1,2,..., n   pág. - 6 -



4.Sus parámetros son :

n : Tamaño de muestra. p : Probabilidad de éxito en cada uno de los ensayos o proporción de interés. 5. 6.

B ( n, p ) Su notación es : X Uso de tabla: Para el uso de tabla tener en cuenta lo siguiente A. B. C. D. E. F. G.

P ( X ≤ a ) = Usar directamente la tabla P(X>a)=1- P(X≤a) P ( X ≥ a ) = 1 - P ( X ≤ a - 1 ) P(X=a)=P(X≤a) -P(X≤a-1) P ( a ≤ X ≤ b ) = P ( X ≤ b ) - P ( X ≤ a -1 ) P ( a ≤ X < b ) = P ( X ≤ b -1 ) - P ( X ≤ a-1 ) P ( a < X < b ) = P ( X ≤ b -1 ) - P ( X ≤ a )

Ejemplo 1: En una caja de un almacén, hay 12 artículos eléctricos de los cuales 3 son defectuosos. Si se extrae una muestra aleatoria de 5 a partir de los artículos de la caja. ¿Cuál es la probabilidad de que: •

Ninguno sea defectuoso.

•

Exactamente 1 sea defectuoso.

•

Menos de 2 sean defectuosos.

Ejemplo 2: La probabilidad de error de un determinado programa de automatización industrial es 0,28. Calcular la probabilidad de que una vez instalado en 15 máquinas: a) Ninguna tenga error b) Todos tengan un error c) Dos de ellas tengan error Solución: pág. - 7 -



Se trata de una Distribución Binomial de parámetros B (15 , 0, 28) a)

P ( X= 0 ) =

b)

P(X= 15) =

c)

P (X = 2) =

15 0 15 15

15 2

0.28 0

0.7215 = 0.00724

0.28 15

0.72 0 = 5.097.10 -9

0.28 2

0.72 13 = 0.11503

Ejemplo 3: Un ingeniero se presenta a un examen de selección múltiple que contiene 8 preguntas cada una con tres respuestas opcionales. Si el ingeniero está adivinando al responder cada pregunta y además se sabe que para aprobar el examen debe responder correctamente 6 o más preguntas. ¿ Cuál es la probabilidad de aprobar el examen?. Solución: 1. Definimos la variable aleatoria X tal que: X = Número de respuestas correctas en las 8 preguntas Rx = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 2. Puesto que cada pregunta consta de una respuesta correcta y dos respuestas incorrectas: P ( E) = 1/3 = p y P ( F ) = 2/3 = q 3. Luego la distribución de probabilidad de X es:

4. Sea A, el evento: “ Aprobar el examen”, entonces:

Ejemplo 4: La probabilidad de que un trabajador tenga un accidente es del 40 por 100. Hallar:

pág. - 8 -



a) El número esperado de trabajadores con accidentes en una fábrica de 1000. b) La varianza Solución: a) 1000* 0.40 = 400 trabajadores b) 1000 * 0.40 * 0.60 = 240 trabajadores 2 ESTUDIO DE CASOS CASO Nº 01: El almacenero del laboratorio reporta que de las treinta puntas de prueba de osciloscopios el 20% están malogradas, él desea saber la probabilidad de que: a) Estén malogradas 4 puntas de prueba. b) Ninguna punta de prueba esté malograda c) A lo más 3 puntas de prueba están malogradas d) Más de 2 puntas de prueba estén malogradas CASO Nº 02: Una cadena grande de tiendas compra cierto tipo de dispositivo electrónico de un fabricante. El fabricante indica que el porcentaje de defectuosos es de 3%. a. El inspector de la cadena elige 20 artículos al azar de un cargamento ¿Cuál es la probabilidad de que haya a lo mas dos artículo defectuoso? b. El inspector de la cadena elige 10 artículos al azar de un cargamento ¿Cuál es la probabilidad de que haya al menos un artículo defectuoso? CASO Nº 03: La probabilidad de fallar durante el vuelo para cada uno de los seis motores de un avión es de 0.0005. Suponiendo que los seis motores trabajan independientemente, determine la probabilidad que en un vuelo determinado: a) No ocurra ninguna falla de motor b) No ocurra más de una falla c) Ocurra exactamente dos fallas d) Hallar el valor esperado del número de fallas. CASO Nº 04: Cuando se prueban tarjetas de circuitos empleados en la manufactura de reproductores de discos compactos, a la larga el porcentaje de partes defectuosas es de 5%. Sea X = número de tarjetas defectuosas en una muestra aleatoria de tamaño 25. Determine: a) P ( X ≤ 2) b) P ( X ≥ 5) c) P ( 1 ≤ X ≤ 4) d) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de las 25 tarjetas esté defectuosa? e) Calcule el valor esperado y desviación estándar de X. CASO Nº 05: Se conjetura que hay impurezas en 30% de los pozos de agua potable de cierta comunidad aledaña a una actividad minera. Para obtener algún conocimiento del problema se determina que debería realizarse algún tipo de prueba. Es muy costos probar todos los pozos del área por lo que se eligieron 10 aleatoriamente para la prueba. a. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente tres pozos tengan impurezas, considerando que la conjetura es cierta? b. ¿Cuál es la probabilidad de que más de tres pozos tengan impurezas? c. ¿Cuál es la probabilidad de que más de dos pozos pero menos o igual a 5 pozos tengan impurezas? CASO Nº 06:

pág. - 9 -



Una compañía que produce cristal fino sabe por experiencia que 10% de sus copas tienen imperfecciones y deben clasificar como “de segunda”

a) Entre seis copas seleccionadas al azar ¿ Qué tan probable es que sólo una sea de segunda? b) Entre seis copas seleccionadas al azar ¿ Cuál es la probabilidad de que por lo menos dos sean de segunda? c) Entre 5 copas seleccionadas al azar ¿ Cuál es la probabilidad de que a lo más 4 sean de segunda?

2.1.3. LA DISTRIBUCIÓN POISSON 

La Distribución de Poisson es otra de las distribuciones de probabilidad discretas más importantes porque se aplica en muchos problemas reales.



Esta distribución se origina en problemas que consiste en observar la ocurrencia de eventos discretos en un intervalo continuo (unidad de medida). Ejemplos: 1. Numero de manchas en un metro cuadrado de un esmaltado de un refrigerador. 2. Número de vehículos que llegan a una estación de servicios durante una hora. 3. Número de llamadas telefónicas en un día. 4. Número de clientes que llegan a un banco durante las 10 y 12 p.m. 5. Numero de bacterias en un cm3 de agua.





Esta distribución tienen las siguientes características: 1. Su variable aleatoria está definida como: X: Numero de ocurrencias en 1 unidad de medida (Tiempo, Volumen, Superficie, etc.) 2. Su recorrido o rango es: R x = {0,1,2,3,4,5, ….} 3. Su función de probabilidad está dada por: 4.

f ( x)  P ( X  x) 

e  ( ) x x!

,

x  0,1,2,...

5. Su parámetro es λ : tasa promedio de ocurrencia en 1 unidad de medida.

P( λ ) 5. Su notación es : X Ejemplo 1: Si como promedio un tablero electrónico recibe 0.05 llamadas por segundo, ¿Cuál es la probabilidad de que en un determinado minuto: a. Reciban exactamente dos llamadas. b. Reciban no más de dos llamadas. SOLUCION: Se tiene que λ = 0.05 llamadas por segundo Entonces: λ = 0.05(60) = 3 llamadas por minuto

a. Reciban exactamente dos llamadas. PX  2 

e3 32

 0.224 2! b. Reciban no más de dos llamadas. PX  2  P(X  0)  P(X  1)  P(X  2) -

pág. - 10



e 3 3



0

0!

e 3

3 1



1!

e 3 3



2!

2

 0.497  0.149  0.224  0.423

Ejemplo 2: Un Jefe sanitario realiza una inspección en un centro educativo; sobre la calidad del agua que consumen los estudiantes y que contiene un promedio de 4 bacterias por cm3 a) Hallar la probabilidad de que el inspector no encuentre bacteria alguna en 0.5 cm3 de agua. b) Hallar la probabilidad de que el inspector no encuentre bacteria alguna en 1 cm3 de agua. c) Hallar la probabilidad de que el inspector encuentre a lo más 2 bacterias en 1 cm 3 de agua. Solución: Se define a X como el número de bacterias en una muestra de 1 cm3 de agua a) La probabilidad de que el inspector no encuentre bacteria alguna en 0.5 cm 3 de agua е

P(X = 0) =

2

–

20 0!

= 0.1353

b) Hallar la probabilidad de que el inspector no encuentre bacteria alguna en 1 cm 3 de agua. е

P(X = 0) =

4

–

40 0!

= 0.0183

c) Hallar la probabilidad de que el inspector encuentre a lo más 2 bacterias en 1 cm 3 de agua. P(X ≤ 2) =

P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0.0183 + 0.0733 + 0.1465 = 0.2381.

Ejemplo 3:

pág. - 11 -



ESTUDIO DE CASOS CASO Nº 01: En un paradero de mina, se determino que los trabajadores en horas no punta llegan aleatoriamente a una tasa promedio de 24 trabajadores por hora. Se desea calcular las siguientes probabilidades: a. Cuál es la probabilidad de que lleguen exactamente 20trabajadores durante esa hora? b. Cuál es la probabilidad de que lleguen más de 15 trabajadores durante esa hora? c. Cuál es la probabilidad de que lleguen menos de 15 trabajadores durante esa hora? d. Cuál es la probabilidad de que lleguen más de 18 trabajadores durante esa hora? CASO Nº 02: Un ingeniero Jefe del Área de Control de Calidad de la empresa Coca Cola, realiza un examen de control respecto al agua que está utilizando para la elaboración de Gaseosas. Este líquido contiene ciertas bacterias no nocivas para la salud a razón de 5 bacterias por cm 3. Si toma una muestra de 1 cm 3, calcular las siguientes probabilidades a. Cuál es la probabilidad que la muestra no contenga bacteria alguna? b. Cuál es la probabilidad de que en ½ cm3 haya por lo menos 2 bacteria? c. Cuál es la probabilidad de que en 2 cm3 haya a lo más 8 caterias? CASO Nº 03: En un estudio por parte del Ministerio de Transporte y Comunicaciones (MTC), se ha determinado que en la carretera panamericana con destino a Lima, hay en promedio de 18 accidentes por semana (7 días), calcular las siguientes probabilidades: a. Cuál es la probabilidad de que en una semana no haya ningún accidente. b. Cuál es la probabilidad de que en dos semanas haya 10 accidentes. c. Cuál es la probabilidad de que en 1semana ocurra menos de 15 accidentes. pág. - 12 -



REGLA: (aproximación de la distribución Binomial a la distribución Poisson) Si en una distribución binomial, n es grande (n ≥ 100) y la probabilidad de ocurrencia es pequeña ≤ 0.05 a roximar la distribución Binomial a la distribución Po isson calculando λ = n . CASO Nº 04: En un estudio de Control de Calidad de determino que el 0.01% de los relojes producidos por una empresa Taiwanesa son defectuosos. a. Cuál es la probabilidad de que un pedido de 1000 relojes exista exactamente un reloj defectuoso?. b. Cuál es la probabilidad de que en el mismo pedido de 1000 relojes existan al menos dos defectuosos? CASO Nº 05: En un proceso productivo de tornillos el 0.8% son defectuosos. a. Cuál es la probabilidad de que un lote de 1000 tornillos contenga uno o más defectuosos? b. Cuál es la probabilidad de que en este mismo lote exista exactamente 4 tornillos defectuosos?

ESTADISTICA Y PROBABILIDAD DE AUTOR “ JAY L DEVORE 7 E”

Desarrollar los ejercicios 79-84, propuestos en la Seccion 3.6 pg 125 (septima Edición de Jay L. Devore).

2.2. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTÍNUA Para comprender la diferencia entre las variables aleatorias discretas y las continuas, recordemos primero que para una variable aleatoria discreta podemos calcular la probabilidad de que la variable aleatoria tome un determinado valor. Para las v.a continuas el caso es muy distinto ya que puede asumir cualquier valor dentro de un intervalo de la recta numérica o de un conjunto de intervalos

2.2.1. LA DISTRIBUCIÓN NORMAL: 





La distribución normal, llamada también Curva de Gauss (en recuerdo al científico que lo descubrió), es la distribución de probabilidad más importancia en la Estadística y por ende del Cálculo de Probabilidades. Esta distribución de probabilidad es importante porque las variables aleatorias continuas (peso, edad, talla, producción, gasto en publicidad, temperatura, ventas, PBI, ganancias, etc) que son variables que más se evalúan en una investigación científica o investigación de mercados se aproximan a esta distribución de probabilidad. También es importante porque se utiliza como aproximación de las distribuciones discretas tales como: la Binomial, la Poisson, etc.

CARACTERÍSTICAS pág. - 13 -



1. Tiene como parámetros a y 2. Su función de probabilidad está dada por: 1  X  



1

f ( x) 

2



2 



 

2

,

  X   

Además:

-

+

Donde:

- <

< +

y

>0

3. El promedio  puede tomar valores entre – y + mientras que  > 0, entonces existen infinitas curvas normales. 4. Esta función de probabilidad es asintótica con respecto al eje X, (a pesar de tener recorrido infinito, la curva nunca toca el eje X); además es unimodal y es simétrica con respecto a la media . 5. El areá bajo esta función o curva es 1 ó 100%, de la misma manera se sabe que las áreas comprendidas bajo la curva normal son: 1.

  

2.

 

3.

-

3

2 1



1

2

3

= 68.3%

2 = 95.5%

  3

= 99%

+

7. Para calcular probabilidades en la distribución normal se necesitaran infinitas tablas de probabilidad.

2.2.2. LA DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR: 1. Es una distribución a la cual se le ha modificado la escala original; esta modificación se ha logrado restando la media  al valor de la variable original y dividiendo este resultado por , la nueva variable se denota por Z y recibe el nombre de variable estandarizada

pág. - 14 -



Z 

X



2. La modificación de la escala ha permitido elaborar una tabla para el cálculo de las probabilidades; si esto no hubiera sido posible, sería necesario construir una tabla para cada valor de  y . 3. La función de densidad de la variable estandarizada es: 1

f ( z)



1 2

e2

z

2

4. El promedio (valor esperado) y la varianza de Z son: E(Z) = 0 , V(Z) = 1 5. Notación: Si X es v.a. continua distribuida normalmente con media  y varianza 2 , la denotamos por : X N( , 2). Aplicando esta notación a la variable normal estandarizada Z, escribimos: Z N(0 , 1) , esto se interpreta como, Z tiene distribución normal con media 0 y varianza 1. 6. La superficie bajo la curva normal Z estandarizada también es igual a 1. Por consiguiente, las probabilidades pueden representarse como áreas bajo la curva normal escandalizada entre dos valores. 7. Debido a que la distribución normal es simétrica muchas de las tablas disponibles contienen solo probabilidades para valores positivos de Z. USO DE TABLA: Si se conoce el comportamiento de una variable, es decir, se sabe que tienen una distribución normal, para calcular las diferentes probabilidades se tiene que estandarizar la variable. Una vez estandarizada la variable, recién utilizar la tabla de la distribución normal estandarizada o tabla Z. FORMULAS:

x   a   a   a. P ( x  a)  P ( )  P ( Z  )     x   a   a   b. P ( x  a)  1  P ( x  a)  1  P ( )  1  P ( Z  )     c. P (a  x  b)  P (

a   

 Z 

b   ) 

Ejemplo 1: Las calificaciones de los 500 aspirantes presentados a un examen para contratación laboral, se Distribuye normalmente con media 6,5 y varianza 4.

pág. - 15 -



a.

Calcule la probabilidad de que un aspirante obtenga 8 puntos o más. P ( x ≥ 8)

Luego: P ( z ≥ 0.75) = 1 – P ( z ≤ 0.75) = 1 – 0.773372648 = 0.22662735

b.

c.

Determine el porcentaje aspirantes con calificaciones inferiores o iguales a 5 puntos. P ( x ≤ 5)

calificaciones comprendidas entre 5 y 7,5 puntos? P(5

de

¿Cuántos aspirantes obtuvieron P(5

≤ X ≤ 7.5 )

≤ X ≤ 7.5 ) = P ( X ≤ 7.5 ) - P ( X ≤ 5 ) =

P ( z ≤ 0.5 ) - P ( z ≤ -0.75 ) = 0.69146246 - 0.22662735 = 0.46483511

Multiplicando la probabilidad por el total de aspirantes obtenemos el número de ellos que tienen calificaciones comprendidas entre 5 y 7,5. = 0.46483511 x 500 = 232 aspirantes.

pág. - 16 -



ESTUDIO DE CASOS

CASO Nº 01: El tiempo de duración de los focos de alumbrado eléctrico producidos por una compañía eléctrica tiene una distribución normal con una media de 1000 horas y una desviación estándar de 250 horas. Determinar la probabilidad de que: a. Un foco tomado al azar se queme antes de las 990 horas de funcionamiento b. Un foco se que queme entre 980 y 1120 horas de funcionamiento. c. Un foco dure más de 998 horas CASO Nº 02: NEUMA Perú, es una empresa que produce llantas para automóviles en nuestro país. La vida útil de estas llantas se distribuye aproximadamente como una normal con media y desviación estándar iguales a 32000 y 1000 millas respectivamente. Esta empresa quiere exportar estas llantas por lo que empieza a hacer ciertos cálculos acerca de la calidad de estas llantas, para lo cual se hace las siguientes preguntas: a. Cuál es la probabilidad de una llanta producida por esta empresa tenga una vida útil de 31900 millas. b. Cuál es la probabilidad de una llanta producida por esta empresa tenga una vida útil desde 31000 y 33000 millas. c. Si las empresa fija una garantía de 30000 millas. ¿Qué porcentaje de esta producción necesitará ser reemplazada? CASO Nº 03: El tiempo requerido para realizar una pregunta de examen es una variable aleatoria cuya distribución es aproximadamente normal con media 12.9 minutos y una desviación estándar de 2.0 minutos. ¿Cuáles son las probabilidades de que un alumno resuelva una pregunta del examen en? a. Al menos 11.5 minutos. b. Entre 11.0 y 14.8 minutos. A lo más 12 minutos. Entre 10 y 13 minutos. CASO Nº 04: Una COMPAÑÍA recibe importante cargamento de pernos. Estos se utilizaran en una aplicación que necesita de una torsión de 100J. Antes de que se acepte el cargamento, un ingeniero especialista en control de calidad sacara una muestra de 12 pernos y medirá la torsión para romper a cada uno de ellos. El cargamento será aceptado si el ingeniero concluye que menos de 1% de los pernos tiene torsión de ruptura menor a 100 J. a) Si los doce valores son: 107, 109, 111, 113, 113, 114, 114, 115, 117, 119, 122, 124, calcule la media y la desviación estándar muestral. b) Suponga que se saca una muestra de 12 valores de una población normal, y suponga que la media y la desviación estándar muestrales calculadas en el inciso a) son realmente la media y desviación estándar de la población. Calcule la proporción de pernos cuya torsión de ruptura es a lo más 100 J. ¿Sera aceptado el cargamento? c) ¿Qué pasara si los 12 valores hubieran sido 108, 110, 112, 114, 114, 115, 115, 116, 118, 120, 123, 140? Utilice el método descrito en los incisos a) y b) para determinar si el cargamento hubiera sido aceptado? pág. - 17 -



d) Compare los conjuntos de 12 valores en los incisos a) y c) ¿En que muestra los pernos son más resistentes? CASO Nº 05: La Empresa AJE está produciendo su producto Agua Cielo litro y medio en envase de PET. El contenido promedio de envasado por unidades es de 1500 mililitros con una desviación estándar de 50 mililitros. Según resoluciones de Indecopi, si el producto elaborado no alcanza los 1450 mililitros la empresa será penalizada. Según el Inspector de Calidad las botellas tampoco deben de superarlos 1550 mililitros dado a que puede ocasionar pérdida de líquido al encapsular. Si se envasan 200000 botellas en forma diaria y se selecciona al azar a una unidad cualquiera. ¿Cuál es la probabilidad de que: a. La empresa sea penalizada? b. Se pierda contenido? c. No exista problemas con Indecopi ni al encapsular? d. Determinar cuántas botellas se derramarán si cada envase tiene una capacidadde1575mililitros? e. Si control de calidad debe separar a todas las unidades envasadas con menos de1450omás de 1550mililitros,probablemente,¿Cuántas botellas serán separadas? ESTADISTICA Y PROBABILIDAD DE AUTOR “ JAY L DEVORE 7 E”

Desarrollar los ejercicios 28,29, 32, 33, 36, 37y 46 propuestos en la Seccion 4.3 pg 154 (septima Edición de Jay L. Devore).

2.2.3. LA DISTRIBUCION t DE STUDENT

Hallar las siguientes probabilidades

pág. - 18 -



2.2.4. LA DISTRIBUCION CHI CUADRADO

pág. - 19 -



Sea X una variable que sigue una distribución Chi cuadrado con 10 gl. Hallar a siguientes probabilidades

2.2.5. LA DISTRIBUCION F DE SNEDECOR Es una distribución de probabilidad de gran aplicación en la inferencia estadística , fundamentalmente en la contrastación de la igualdad de varianzas de dos poblaciones normales, y , fundamentalmente en el análisis de la varianza , técnica que permite detectar la existencia o inexistencia de diferencias significativas entre muestras diferentes y que es, por tanto esencial , en todos aquellos casos en los que se quiere investigar la relevancia de un factor en el desarrollo y naturaleza de una característica. La distribución se plantea partiendo de dos variables X e Y tales que :

es decir una chi 2 con m grados de libertad

es decir una chi 2 con n grados de libertad ;

pág. - 20 -



de manera que si establecemos el cociente

, es decir el cociente entre ambas chi2

divididas a su vez, por sus correspondientes grados de libertad tendremos que la función F corresponde a una distribución F de Snedecor con m y n grados de libertad ; es decir una

Sea X una variable que sigue una distribución F con 8 y 10 gl. Hallar a siguientes probabilidades

pág. - 21 -

Distribuciones de Probabilidad

Recommend Documents