DISTRIBUCIONES DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD Una distribución de probabilidad ayuda a describir un experimento o predecir futuros resultados cuadro de efectúa un determinado número de repeticiones. Una distribución de probabilidad corresponde a una distribución de frecuencias relativas de la población: son distribuciones teóricas que se emplean como patrones de referencia para analizar distribuciones empíricas (reales), interpretndose como se distribuye la población en cada punto P ( X = x ) o con!unto de puntos P ( X ≤ x )
DISTRIBUCIONES DISCRETAS "as distribuciones discretas incluidas en el módulo de #$lculo de probabilidades% son: • • • • • •
Uniforme discreta &inomial 'ipereomtrica *eomtrica &inomial +eativa oisson
Distribución Uniforme Uniforme discreta (a,b) (a,b)
-escrib -escribee el compor comportam tamien iento to de una una variab variable le discret discretaa que puede tomar tomar n valore valoress distintos con la misma probabilidad cada uno de ellos. sta distribución asina iual probabilidad a todos los valores enteros entre el límite inferior y el límite superior que definen definen el recorrido recorrido de la variable. /i la variable variable puede tomar valores entre a y b, debe ocurrir ocurrir que b sea mayor mayor que a, y la variable toma los valores enteros empezando empezando por a, a01, a02, etc. 3asta el valor mximo b. or e!emplo, cuando se observa el número obtenido tras el lanzamiento de un dado perfecto, los valores posibles 4 siuen una distribución uniforme discreta en 51, 2, 6, 4, 7, 89, y la probabilidad de cada cara es 18. Valores: Valores:
x : a ,a + 1, a + 2,... , b , +úmeros enteros Parámetros: Parámetros: a : mí nimo,aentero
b : m á ximo imo , b ente enterro con con a < b
Ejercicio 1 l temario de un examen para un proceso selectivo selectivo contiene contiene 7; temas, de los cuales se eleir uno por sorteo. /i una persona no 3a estudiado los 17 últimos temas ¿Cuál es la
ro!a!ili"a" "e #ue arue!e el e$a%en&
Soluci'n "a variable que representa el número del tema seleccionado para el examen siue una distribución uniforme con parmetros a<1 y b<7;. "a persona aprueba el examen si le toca un tema del 1 al 67= por tanto, la probabilid probabilidad ad que se pide es la cola a la izquierda izquierda de 67. Uniforme discreta (a,b) a<>alor mínimo 1 b<>alor b<>alor mximo 7; unto ( 67 67 estudio unto N 17 no estudio
Probabilidad Probabilidad Pr [ X = k ] =
Valor m í nimo a 1 = = =0.02 Valor alor m á ximo ximo b 50
Probabilidad Probabilidad que aprueve Pr [ X X ≤ k ] =
Punt Punto o K K 35 = = = 0 . 7 Valor m á ximo b 50
Pprobabilidad Pprobabilidad que desaprueve Pr [ X > k ] =
Punt Punto o N N 15 = = =0.3 Valor m á ximo b 50
DISTRIBUCI)N BINO*IAL +,- n- n#. sta distribución aparece de forma natural al realizar repeticiones independientes de un experimento que tena respuesta binaria, eneralmente se clasificada como #xito% o #fracaso%. "a posibilidad de obtener x triunfos en n pruebas independientes. ste modelo se aplica a poblaciones finitas de las que se toma elementos al azar con reemplazo, y tambin a poblaciones conceptualmente infinitas, como por e!emplo las piezas que produce una mquina, siempre que el proceso de producción producción sea estable. n
x
P ( x )= C x p q
n− x
Don"e/ x :0,1,2,... , n , x signi signiic ica a nume numero ro detriun detriunos os
Parámetros/
n : n!merode pruebas,n > 0 entero
p : probabilidad de " xito , 0 < p < 1
n
C x =
n# ( n− x ) # x #
n # =n ( n−1 ) ( n −2 ) $ % 2 % 1 , 0 # =1 $aracterísticas:
&edia=esperan'a matematica = ( =np Varian'a =) =√ npq
Ejercicio 1 /i la prueba es el lanzamiento de una moneda se tiene (cara) < 12 < y (sello) < 12 < q "a probabilidad de obtener 2 caras en 4 lanzamientos ser: x =2, n= 4, p =1 / 2, q=1 / 2
P ( x = 2 )=C 2 4
( )( )= ( / )= 1
2
1
2
2
6 1 2
2
4
0.375
Ejercicio 0 Un tratamiento de cierta enfermedad tiene una posibilidad de ;.8 de aliviar todos los sinos y síntomas= determinar la probabilidad que de 8 pacientes tratados, curen exactamente 2.
P=0.6, q =2 / 6 =0.3 * 0.4 6
2
4
P ( x = 2 )=C 2 ( 0.6 ) ( 0.4 ) =15 ( 0.009216 )=0.138 "a posibilidad que a lo ms 2 pacientes se me!oren esta dado por:
P ( x ≤ 2 ) = p ( x = 0 ) + p ( x =1 ) + p ( x =2 ) 6
0
6
6
1
5
6
2
P ( x ≤ 2 ) =C 0 ( 0.6 ) ( 0.4 ) + C 1 ( 0.6 ) ( 0.4 ) + C 2 ( 0.6 ) ( 0.4 )
P ( x ≤ 2 ) =( 0.4 ) + 6 ( 0.6 ) ( 0.4 ) + 15 ( 0.6 ) ( 0.4 ) 6
5
2
4
4
P ( x ≤ 2 ) =0.17 ara 1;; pacientes se espera que me!oren:
(= np=100 ( 0.6 ) = 60 pacientes con varien'a ) =√ npq=100 ( 0.6 ) ( 0.4 )= 4.89 * 5 pacientes
Distri!uci'n ier2eo%3trica +N-R-n. "a distribución 3ipereomtrica suele aparecer en procesos muestrales sin reemplazo, en los que se investia la presencia o ausencia de cierta característica. insese, por e!emplo, en un procedimiento de control de calidad en una empresa farmacutica, durante el cual se extraen muestras de las cpsulas fabricadas y se someten a anlisis para determinar su composición. or tanto, esta distribución es la equivalente a la binomial, pero cuando el muestreo se 3ace sin reemplazo. l número de #xitos% en una muestra aleatoria de tama?o n, extraída sin reemplazo de la población, es una variable aleatoria con distribución 3ipereomtrica de parmetros +, @ y n. $uando el tama?o de la población es tan rande la distribución 3ipereomtrica se aproxima en tal caso a la binomial. Valores: x: max{0,n-(N-R)}, ..., min{R,n}, donde max{0,n-(N-R)9 indica el valor mximo entre 0 y n-(N-R) y min{R,n} indica el valor mínimo entre R y n. Parámetros/
> N : tama?o de la población, N 0 entero 0 R: número de xitos en la población, + entero
n: número de pruebas,
n > 0 entero
C N − + n− k
(¿ ¿ k )( C +
N
C n
)
, k = exitosenlamuestra
p ( x =k ) =¿
Ejercicio 1 n una florería 3ay 2; variedades de flores, de las cuales A son diferentes clases de rosas. BCue probabilidad 3ay de que al extraer una muestra al azar de12 flores, se
incluyan 6 clases de rosasD s una distribución 3ipereomtrica, con los siuientes parmetros: N =tama-o de poblacin =20 n =tama-odemuestra =12 += "xitosen la poblacin=rosas =8
k ="xitos en la muestra=rosas= 3
la probabilidad es:
C N − + n− k
(¿ ¿ k + )( C N
C n
)
=
(C )( C 8
20− 8
3
12− 3
20
C 12
) ( 56 ) ( 220 ) = =0.09780109375 =0 . 0978 125970
P ( x =3 ) =¿
Distri!uci'n 4eo%3trica +. /i una variable aleatoria discreta E definida en un espacio de probabilidad representa el número de repeticiones necesarias de un experimento de &ernoulli para obtener el primer xito, entonces tiene por función de densidad: EF1 "a distribución eomtrica se utiliza en la distribución de tiempos de espera, de manera que si los ensayos se realizan a intervalos reulares de tiempo, esta variable aleatoria proporciona el tiempo transcurrido 3asta el primer xito. sta distribución presenta la denominada #propiedad de 'arGov% o de falta de memoria, que implica que la probabilidad de tener que esperar un tiempo t no depende del tiempo que ya 3aya transcurrido. Valores:
x :0,1,2,... Parámetros/ x− 1
P ( X = x )= q
p
P ( x = x )= variable aleatoriacon distribuci n geom" trica . X = Numero de experimentos /asta que aparece el1 er " xito.
p= probabilidad de " xito q = probabilidad de racaso( 1− p )
Eje%lo 1 -el salon el 8;H de los alumnos son 3ombres, calcular probabilidad de extraer el 1er 3ombre a la cuarta ocasión que extraemos un alumno.
-efinir xito: sea 3ombre.
x = 4 p=0.60
q = 0.40 P ( X = 4 ) =( 0.40 )
4−1
( 0.60 )=( 0.40 )3 ( 0.60 )=0.0384
Eje%lo 0 Una maquina detecta fallas en los productos que elabora una fabrica. /i los productos tienen una probabilidad de falla del 7H, calcular la probabilidad de que la maquina encuentre su primer producto defectuoso en la octava ocasión que selecciona un producto para su inspección. -efinir xito: sala defectuoso el producto. E
Eje%lo 5 n el salón 3ay A alumnos de o!os cafs, I de o!os azules, J de o!os neros, y 1; de o!os verdes= si extraemos 8 alumnos, calcular la probabilidad de que este último tena los o!os claros. -efinir xito: tena o!os claros.
X =6 p=0.5588 q = 1−0.5588 =0.4412 P ( X =6 )=( 0.4412 ) 5 ( 0.5588 ) =0.0093
Distri!uci'n Bino%ial ne2ativa +r-.
Una eneralización obvia de la distribución eomtrica aparece si se supone que un experimento se continúa 3asta que un determinado suceso, de probabilidad p, ocurre por r-sima vez. "a variable aleatoria que proporciona la probabilidad de que se produzcan k fracasos antes de obtener el r Fsimo xito siue una distribución binomial neativa de parmetros r y p, &+(r , p). "a distribución eomtrica corresponde al caso particular en que r<1. Un e!emplo es el número de lanzamientos fallidos de un dado antes de obtener un 8 en tres ocasiones, que siue una &+ (6,18). "a distribución binomial neativa fue propuesta, oriinalmente, como una alternativa a la distribución de oisson para modelar el número de ocurrencias de un suceso cuando los datos presentan lo que se conoce como variación extraFoisson o sobredispersión. Valores:
x :0,1,2,... Numero de internos
Pará%etros p : probabilidad de "xito , 0 < p < 1 q: posibilidad de fracaso
k : n!mero de "xitos, r 0
(
)
r k P ( X = x )= k + r − 1 p q , k −1
( )
P ( X = x )= x −1 p ( 1 − p) k −1 k
x − k
Ejercicio 1 Si la probabilidad de que un niño expuesto a una enfermedad contagiosa la contraiga es 0,40, ¿Cuál es la probabilidad de que el décimo niño expuesto a la enfermedad sea el tercero en contraerla? Solución
(
)
()
10 − 3 7 3 = 9 0.43 ( 0.6 ) = 0.0645 P ( X =10 ) = 10 −1 0.4 ( 1 − 0.4 )
3 −1
2
Ejercicio 2 En un proceso de manufactura se sabe que un promedio de en cada 0 productos es defectuoso, ¿cual es la probabilidad que el quinto !"# articulo examinado sea el primero !# en estar defectuoso?
X =artículos deectuosos P=1 / 10 =0,1 q =1−0,1 =0,9 x =5 ensa0os K =1
0.1 ¿( 0.9)
4
=0.066 =6.6
(−)
()
1 5− 1 P ( X = x )= 5−1 0.1 (1−o .1 ) = 4 ¿
1 1
0
Distri!uci'n Poisson +la%!"a. "a distribución de oisson, que debe su nombre al matemtico francs /imeón -enis oisson (1JA1F1A4;), ya 3abía sido introducida en 1J1A por Kbra3am -e Loivre como una forma límite de la distribución binomial que sure cuando se observa un evento raro despus de un número rande de repeticiones1;. n eneral, la distribución de oisson se puede utilizar como una aproximación de la binomial, &in(n, p), si el número de pruebas n es rande, pero la probabilidad de xito p es peque?a= una rela es que la aproximación oissonFbinomial es #buena% si
n 20 y p≤ 0,05 y #muy buena% si
n 100 y p≤ 0,01 . "a distribución de oisson tambin sure cuando un evento o suceso #raro% ocurre aleatoriamente en el espacio o el tiempo. l concepto de evento #raro% o poco frecuente debe ser entendido en el sentido de que la probabilidad de observar G eventos decrece rpidamente a medida que G aumenta. /upónase, por e!emplo, que el número de reacciones adversas tras la administración de un frmaco siue una distribución de oisson de media lambda<2. "a distribución de oisson tiene iuales la media y la varianza. /i la variación de los casos observados en una población excede a la variación esperada por la oisson, se est ante la presencia de un problema conocido como sobredispersión y, en tal caso, la distribución binomial neativa es ms adecuada. Valores:
x :0,1,2,...
Parámetros: Lambda:
media de la distribución, lambda > 0
e = 2.71821 −( np )
p ( x ) =
e
( np ) x
x #
Eje%lo 1 Una compa?ía de seuros contra incendios, aseura 1;,;;; casa dispersas por todo lima suponiendo la probabilidad de que una cosa cualquiera sea destruida por el !ueo,
durante un a?o cualquiera sea
P=1 / 5000
, Bcual es la probabilidad de que es fueo
destruya ;, 1,2,M de las 1;,;;; durante un a?o determinadoD /i
n =10,000 P =
1 5000
entoncesnp= 2
Nenemos − ( 2)
p ( x = 0 ) =
e
p ( x = 1 ) =
e
p ( x = 2 ) =
e
( 2 )0
0# −( 2)
( 2 )1
=0.2706
1# −( 2)
( 2 ) x
2#
=0.1353
=0.2706
Eje%lo 0 "a posibilidad que un individuo sufra una reacción por una inyección de un determinado suero es ;.;;1, determine la probabilidad de que un total de 2;;; individuos. a) xactamente 2 individuos sufran reacción b) Las de 2 individuos tenan reacción
n =2000, p =0.001, np =2 −2
2
e 2 =0.2706 a ¿ P ( x = 2 )= 2# b ¿ P ( x > 2 ) =1−[ P ( x =0 ) + P ( x = 1 )+ P ( x =2 ) ] −2
0
−2
1
−2
2
e 2 e 2 e 2 + + ] P ( x > 2 )= 1−[ 0# 1# 2# P ( x > 2 )= 1−0.6765 = 0.3235 "a distribución de poissón tiene muc3as aplicaciones que no se relaciona con la binomial, en este caso np = 1 y se calcula la probabilidad de obtener x xitos por: − 1 x
e 1 P ( x )= con x = 0,1,2,3,4 $ n , $ x #
Caracter6sticas/ &edia=esperan'a matemática = ( = 1 ( promedio de exitos ) 2
varian'a =) = 1 desviacionestandar = √ 1
Eje%lo 0 Uma empresa recibe un promedio de trez c3eques sin fondos por dia, la probabilidad de que reciba exctamente uno, un dia determinado es:
como 1= 3 ( promedio ) −3
1
−3
1
e 1 e 3 = =0.1493 p ( x = 1 ) = 1# 1#
DISTRIBUCION CONTINUAS Las distribuciones continuas incluidas en el módulo de “Cálculo de probabilidades” son: Uniforme Normal Lognormal Logística eta !amma "#ponencial $i%cuadrado • • • • • • • •
Distribución Uniforme
(a , b)
La distribución uniforme es &til para describir una 'ariable aleatoria con probabilidad constante sobre el inter'alo [ a ,b ] en el (ue está de)nida* "sta distribución presenta una peculiaridad importante: la probabilidad de un suceso dependerá e#clusi'amente de la amplitud del inter'alo considerado + no de su posición en el campo de 'ariación de la 'ariable* Cual(uiera sea la distribución de cierta 'ariable -, la 'ariable transformada
2 = 3 ( X ) sigue una distribución uniforme en el inter'alo
[ 0,1 ]. "sta propiedad es fundamental por ser la base para la generación de n&meros aleatorios de cual(uier distribución en las t.cnicas de simulación*
Campo de variación: a≤x≤b Parámetros:
a : mínimo del recorrido b : máximo del recorrido
( x )=
1
b −a
Eje%lo 1 l precio medio del litro de asolina durante el próximo a?o se estima que puede oscilar entre 14; y 18; ptas. -onde:
b : es el extremosuperior ( enele4emplo, 160 ptas .) a : es el extremoinerior ( enele4emplo, 140 ptas .)
or lo tanto, la función de distribución del
( x )=
eje%lo sería: 1
160−140
= 0.05
s decir, que el valor final est entre 14; ptas. y 141 ptas. tiene un 7H de probabilidad, que est entre 141 y 142, otro 7H, etc.
El valor %e"io "e esta "istri!uci'n se calcula/ 5 ( x )=
a +b 2
n el e!emplo:
5 ( x )=
140 + 160 2
=150
or lo tanto, el precio medio esperado de la asolina para el próximo a?o es de 17; ptas.
Eje%lo 0 l volumen de precipitaciones estimado para el próximo a?o en la ciudad de /evilla va a oscilar entre 4;; y 7;; litros por metro cuadrado. $alcular la función de distribución y la precipitación media esperada:
( x )=
1 500− 400
=0.01
s decir, que el volumen de precipitaciones est entre 4;; y 4;1 litros tiene un 1H de probabilidades= que est entre 4;1 y 4;2 litros, otro 1H, etc.
El valor %e"io esera"o es/ 5 ( x ) =
400 + 500 2
= 450
s decir, la precipitación media estimada en /evilla para el próximo a?o es de 47; litros. Distribución Normal
( X , ( , ) 2)
La distribución normal es, sin duda, la distribución de probabilidad más importante del Cálculo de probabilidades + de la "stadística* ue descubierta por /e oi're 123345, como apro#imación de la distribución binomial* /e todas formas, la importancia de la distribución normal (ueda totalmente consolidada por ser la distribución límite de numerosas 'ariables aleatorias, discretas + continuas, como se demuestra a tra'.s de los teoremas centrales del límite* Las consecuencias de estos teoremas implican la casi uni'ersal presencia de la distribución normal en todos los campos de las ciencias empíricas: biología, medicina, psicología, física, economía, etc* "n particular, muc6as medidas de datos continuos en medicina + en biología 1talla, presión arterial, etc*5 se apro#iman a la distribución normal* $unto a lo anterior, no es menos importante el inter.s (ue supone la simplicidad de sus características + de (ue de ella deri'an, entre otras, tres distribuciones 1$i%cuadrado, t + 5 (ue se mencionarán más adelante, de importancia cla'e en el campo de la contrastación de 6ipótesis estadísticas* La distribución normal que da defnida por: 7alores para la 'ariable
P ( x )=
1
√ 2 7)
−6 < x < 6
−( x − ( )2
e
2
2 )
uncion robablidad
e =2.7182 $
7 =3.14159 $
Distri!uci'n nor%al estan"ari7a"a Nodas las variables de distribución normal N ( X , ( ,) (=0
distribución normal ms simple con
2
)
pueden transformarse en otra 2
y
) =1 ,
N ( ' , 0.1 )
a esta
distribución se llama normal estandarizada o normal reducida: -istribución normal estandarizada esta definida por:
−3.9 < 8 < 3.9 P ( 8 ) =
1
√ 2 7
− 8 2
e
2
dode 8 =
X − ( )
Caracter6sticas &edia= ( =0 2
Variana'a=) =1 9esviacion estandr =) =1
Ejercicio 1 "as notas de 1AA estudiantes de maister de la universidad católica del erú seún sus notas en el siclo de verano 1IAA -O/N@O&U$OP+ - "P/ NNU-OK+N/ - LK*O/N@ - "K U+O>@/O-K$KNP"O$K /U/ +PNK/ >@K+P 1IAA +Q
+otas
romedio intervalico (xi)
Rrecuencia (ni)
Rrecuencia relativa (3i)
1.
;77 ;8;
7J.7
;J
;.;6J
2.
;8; ;87
82.7
11
;.;7I
6.
;87 ;J;
8J.7
17
;.;A;
4.
;J; ;J7
J2.7
2;
;.1;8
7.
;J7 ;A;
JJ.7
28
;.16A
8.
;A; ;A7
A2.7
6;
;.18;
J.
;A7 ;I;
AJ.7
28
;.16A
A.
;I; ;I7
I2.7
2;
;.1;8
I.
;87 1;;
IJ.7
17
;.;A;
1;.
1;; 1;7
1;2.7
11
;.;7I
11.
1;7 11;
1;J.7
;J
;.;6J
2* "as notas de los 1AA estudiantes de la universidad católica se distribuyen en forma normal como se ve en el cuadro, la media A2.7
(=
∑ x n = 15510 =82.5 i
i
N
188
∑ ( X − ( ) n = n ∑ X ∋−(∑ Xi n ) ) = 2
i
2
2
2
i
i
i
2
N
N
188 ( 1309175 )−( 15510)
2
2
) =
( 188 )2
=157.4468
) =√ 157.4468 = 12.55 a) -etermine la probabilidad de que: i) ii) iii)
Un estudiante eleido al azar tena una nota ente A7 y I;. Un estudiante tena una nota mayor que 1;;. Nena exactamente una nota de J;.
b) i) ii) iii)
B$uantos estudiantes tienen una nota de entre A7 y I;D B$uantos tienen una nota mayor que 1;;D "a nota por deba!o de la cual esta el J7H de la población.
Soluci'n8 a/ i5
P ( 85 ≤ X ≤ 90 ) = probabilidad de que la notadel estudiante este entre 85 0 90 standarizando las notas A7 y I;:
8 1=
X 1 − ( )
=
85 −82.5 12.55
= 0.19
8 2=
P ( 8 =0.19 ) =
P ( 8 = 0.9 )=
√ 2 ( 3.1416 )
√ 2 ( 3.1416 )
)
= 90−82.5 = 0.59 12.55
−0.192
1
1
X 2 − (
= 0.0754
2
2.72
−0.592
2.72
=0.2224
2
P ( 8 =0.9 )− P ( 8 =0.19 )=0.147
ii5
P ( x > 100) .Flos estudiantes con natas mayores que 1;; deben tener al menos una nota de 1;;.7
8 =
X − ( 100.5−82.5 = =1.43 ) 12.55
P ( 8 =1.43 ) =
− 1.43 2
1
√ 2 ( 3.1416 )
2.72
2
=0.4236
P ( 8 > 1.43 )=0.5 − P ( 8 =1.43 )= 0.5 −0.4236 = 0.0764
iii5
P ( X =70 ) .F los alumnos con nota de exactamente J;, realmente deben tener un calificativo de ente 8I.7 y J;.7
P (69.5 ≤ X ≤ 70.5 ) :
8 1=
8 2=
X 1 − ( )
X 1 − ( )
= 69.5
−82.5
12.55
=
70.5 −82.5 12.55
=−1.03
=−0.95
P ( 8 =−1.03 )
1
√ 2 ( 3.1416 )
2.72
1.03 2
2
=0.3485 2
P ( 8 =−0.95 )=
1
√ 2 ( 3.1416 )
0.95
2.72
2
=0.3289
P (−0.95 ≤ 8 ≤−1.03 )= P ( 8 =−1.03 )− P ( 8 =−0.95 )
¿ 0.348 − 0.3289 =0.0196
b: i5
Conociendo la probabilidad p + el numero de elementos de la población N, el numero de estudiantes con nota entre 89 + 0 esta dada por; NP =188 ( 0.147 )=27.6 =28 estudiantes*
ii5
Los estudiantes con nota ma+or de 200 sera:
N: = NP =188 ( 0.0764 ) = 14.3=15
iii5
"l
75 =es elarea ( probabilidad ) con8 =1.15 porque
0.75 2
=0.375 luego la
nota (ue esta por deba
X −82.5 12.55
X =( 12.55 ) ( 1.15 ) + 82.5 X =96.93 untos Distribución Beta (p,q)
La distribución beta es posible para una 'ariable aleatoria continua (ue toma 'alores en el inter'alo ?0,2@, lo (ue la 6ace mu+ apropiada para modelar proporciones* "n la inferencia ba+esiana, por e
"a distribución de probabilidad beta es una función de densidad con dos parmetros 0≤ 0 ≤1 definida en el intervalo cerrado . /e utiliza frecuentemente como modelo para fracciones, tal como la proporción de impurezas en un producto químico o la fracción de tiempo que una maquina estn en reparación.
Uno de los principales recursos de esta distribución es el a
9unci'n "e "ensi"a" b− 1
1− 0 ¿
¿
0 ( x )=
; ( a + b ) ; ( a ) ; ( b )
&edia=
x
a− 1
a −1
¿
(1 − x )b−1 o tambien ( 0 )=¿
p p + q
Varian'a=
pq
( p + q + 1 ) ( p + q )2
Eje%lo 1 Un distribuidor de gasolina llena los tan(ues de depósito cada lunes* Be 6a obser'ado (ue la cantidad (ue 'ende cada semana se puede modelar con la distribución beta con a =4, b =2 * "ncuentre la probabilidad (ue al menos en una semana 'enda al menos un 0= Solución Bea # porción de combustible (ue 'ende semanalmente 1'ariable aleatoria continua con 'alor entre 0 + 25 su densidad de probabilidad ; ( 4 + 2 ) 4−1 2− 1 ( x )= ( x ) = x ( 1 − x ) ; ( 4 ) ; ( 2 )
( x )=
( x )=
( x )=
; ( 6 ) 4 −1 2− 1 x ( 1− x ) ; ( 4 ) ; ( 2 ) 5# 3# x1#
x (1 − x ) 3
5 x 4 x 3 # 3# x1# 3
1
3
x ( 1− x )
( x )= 20 x ( 1 − x )
1
1
1
∫ 20 x ( 1− x ) dx=20 3
0.9
(
5 x
@eemplazamos en el punto
4
− 4 x 5
20
)=
5 x
4
−4 x 5
+1-:8;. lueo restamos
1 5 (¿¿ 4 )− 4 ( 1 ) ¿=1 para x =1 < ¿
5
0.9 5
pra x =0.9 < 5 (¿ ¿ 4 )− 4 ( 0.9 )=¿ ;.I1A74
¿
1−0.91854 =0.08146
"a probabilidad que >enda al menos el I;H del la asolina es
0.08148 x 100= 8.146
Distri!uci'n 4a%%a +a-. s una distribución adecuada para modelizar el comportamiento de variables aleatorias continuas con asimetría positiva. s decir, variables que presentan una mayor densidad de sucesos a la izquierda de la media que a la derec3a. n su expresión se encuentran dos parmetros, siempre positivos, (S) y (T) de los que depende su forma y alcance por la derec3a, y tambin la función *amma (S), responsable de la converencia de la distribución.
Una forma de interpretar (T) es #tiempo promedio entre ocurrencia de un suceso%. @elacionndose con el parmetro de la oisson como T<1V. Klternativamente V ser el ratio de ocurrencia: V<1T. "a expresión tambin ser necesaria ms adelante para poder llevar a cabo el desarrollo matemtico.
( x )=
1
= ; ( > ) >
x
> −1
− x
e = , x > 0
Bi D2, entonces se tiene la distribución e#ponencial negati'a de = =
parámetro
1
1
Ejercicio0 /i un componente elctrico falla una vez cada 7 3oras, Bcul es el tiempo medio que transcurre 3asta que fallan dos componentesD B$ul es la probabilidad de que transcurran 12 3oras antes de que fallen los dos componentesD > =2 1 1 allo 1 1 = = = entonces , = = = =5 /oras / 1 allo 1 1 1 5 /oras 1 5
5 ( x )=>%= =2 % 5= 10 /oras
( x )=
( x )=
uv =¿
1 5 ; ( 2 ) 2
1 25
[
25
uv =¿
e
5
, x> 0
− x 1
5
x e
1 25
, x> 0
(− xe
− x
5
∫ x
5
− x
−∫ −5 e 5
− x
12
1
x
− x
2− 1
1
5
e
dx <
0
(−5 xe 25 1
1 25
− x
W
12
∫¿ 0
− x
−25 e 5
5
)]
)
12
1 25
∫¿ 0
− x
¿
xe
− x
5
5
u= x
−e 5
du =1 − x
dv = e
5
∫e
< v=
− x 5
− x
dx =−5 e
5
?
EeemplaAamos
(
− 12
12 e
−12
5
5
−e
5
)( −
−0
0e
5
5
−0
)
− e 5 =1− 0.31 =0.69
Distribución Eponencial
@esulta que la exponencial es un caso especial de la distribución amma, ambas tienen un ran número de aplicaciones. "as distribuciones exponencial y amma !uean un papel importante tanto en teoría de colas como en problemas de confiabilidad. l tiempo entre las lleadas en las instalaciones de servicio y el tiempo de falla de los componentes y sistemas elctricos, frecuentemente involucran la distribución exponencial. "a relación entre la amma y la exponencial permite que la distribución amma se utilice en tipos similares de problemas. "a variable aleatoria x tiene una distribución exponencial, con parmetro b, si su función de densidad es:
, x X ;
= f(x) < ; en cualquier otro caso
donde b X ; "a media y la variancia de la distribución exponencial son:
m=b 0 s 2=b 2 @elación con el proceso de oisson. "as aplicaciones ms importantes de la distribución exponencial son aquellas situaciones en donde se aplica el proceso de oisson , es necesario recordar que un proceso de oisson permite el uso de la distribución de oisson. @ecurdese tambin que la distribución de oisson se utiliza para calcular la probabilidad de números específicos de #eventos% durante un período o espacio particular. n muc3as aplicaciones, el período o la cantidad de espacio es la variable aleatoria. or e!emplo un ineniero industrial puede interesarse en el tiempo N entre lleadas en una intersección conestionada durante la 3ora de salida de traba!o en una ran ciudad. Una lleada representa el evento de oisson. "a relación entre la distribución exponencial (con frecuencia llamada exponencial neativa) y el proceso llamado de oisson es bastante simple. "a distribución de oisson se desarrolló como una distribución de un solo parmetro l, donde l puede interpretarse como el número promedio de eventos por unidad de #tiempo% . $onsidrese a3ora la variable aleatoria descrita por el tiempo que se requiere para que ocurra el primer evento. Lediante la distribución de oisson, se encuentra que la probabilidad de que no ocurran en el espacio 3asta el tiempo t est dada por: =
K3ora puede utilizarse lo anterior y 3acer que E sea el tiempo para el primer evento de oisson. "a probabilidad de que el período 3asta que ocurre el primer evento de oisson exceda x es la misma que la probabilidad de que no ocurra un evento de oisson en x. sto último por supuesto est dado por
. $omo resultado,
(E Y x) < ntonces, la función de distribución acumulada para x es: (;Z E Z x) < 1 F K3ora, con ob!eto de que se reconozca la presencia de la distribución exponencial, puede derivarse la distribución acumulada anterior para obtener la función de densidad:
f( x) <
"a cual es la función de densidad de la distribución exponencial con
.
+ótese que la media de la distribución exponencial es el parmetro , el recíproco del parmetro en la distribución de oisson. l lector debe recordar que con frecuencia se dice que la distribución de oisson no tiene memoria, lo cul implica que las ocurrencias en períodos de tiempo sucesivos son independientes. Kquí el parmetro importante
es el tiempo promedio entre eventos. n teoría de la
confiabilidad, donde la falla de un equipo concuerda con el proceso de oisson, recibe el nombre de tiempo promedio entre fallas. Luc3as descomposturas de equipo siuen el proceso de oisson, y entonces la distribución exponencial es aplicable. n el siuiente e!emplo se muestra una aplicación simple de la distribución exponencial en un problema de confiabilidad. "a distribución binomial tambin !uea un papel importante en la solución.
Ejercicio 1 n un experimento de laboratorio se utilizan 1; ramos de . /abiendo que la duración media de un tomo de esta materia es de 14; días, Bcuantas idas transcurrirn 3asta que 3aya desaparecido el
de este materialD
Soluci'n/ l tiempo de desinteración de un tomo de distribución exponencial:
es una v.a. de
$omo el número de tomos de existentes en una muestra de 1; ramos es enorme, el 3istorama de frecuencias relativas formado por los tiempos de desinteración de cada uno de estos tomos debe ser extremadamente aproximado a la curva de densidad, ! . -el mismo modo, el políono de frecuencias relativas acumuladas debe ser muy aproximado a la curva de su función de distribución " . ntonces el tiempo que transcurre 3asta que el del material radiactivo se desintera es el percentil I;, t I;, de la distribución exponencial, es decir
Eje%lo0 /e 3a comprobado que el tiempo de vida de cierto tipo de marcapasos siue una distribución exponencial con media de 18 a?os. B$ul es la probabilidad de que a una persona a la que se le 3a implantado este marcapasos se le deba reimplantar otro antes de 2; a?osD /i el marcapasos lleva funcionando correctamente 7 a?os en un paciente, Bcul es la probabilidad de que 3aya que cambiarlo antes de
a?osD
Soluci'n/ /ea la variable aleatoria que mide la duración de un marcapasos en una persona. Nenemos que
W ntonces
n seundo luar
"ueo como era de esperar, por ser propio a un mecanismo exponencial,
o sea, en la duración que se espera que tena el ob!eto, no influye en nada el tiempo que en la actualidad lleva funcionando. s por ello que se dice que [[la distribución exponencial no tiene memoria\.
Distribución !i"cuadrado
Un caso especial, muy importante, de la distribución *amma se obtiene cuando a<12 y p
, el estadístico:
tiene una distribución muestral que es una "istri!uci'n ji
-onde n es el tama?o de la muestra, s2 la varianza muestral y la varianza de la población de donde se extra!o la muestra. l estadístico !iFcuadrada tambin se puede dar con la siuiente expresión:
Proie"a"es "e las "istri!uciones ji
"a función de densidad de la distribución E 2 esta dada por:
para xX;
Elemplo 1 $os siguientes son los pesos, en decagramos, de 0 paquetes de semillas de pasto distribuidas por cierta compañ%a& 4'(4, 4'(, 4"(), 4*(0, 4'(, 4"(+, 4"(), 4'(+, 4"( - 4'( Encuentre un inter.alo de confian/a de +" para la .arian/a de todos los paquetes de semillas de pasto que distribu-e esta compañ%a, suponga una poblaci1n normal( Solución:
2rimero se calcula la des.iaci1n estándar de la muestra&
al ele.ar este resultado al cuadrado se obtiene la .arian/a de la muestra s3 0()'( 2ara obtener un inter.alo de confian/a de +" se elige un 3 0(0"( espués con el uso de la tabla con + grados de libertad se obtienen los .alores de 5(
Se puede obser.ar en la gráfica anterior que el .alor de 5 corre en forma normal, esto es de i/quierda a derec6a( 2or lo tanto, el inter.alo de confian/a de +" para la .arian/a es&
7raficamente&
Se obser.a que la .arian/a corre en sentido contrario, pero esto es s1lo en la gráfica( $a interpretaci1n quedar%a similar a nuestros temas anteriores referentes a estimaci1n( Con un ni.el de confian/a del +" se sabe que la .arian/a de la poblaci1n de los pesos de los paquetes de semillas de pasto esta entre 0(8" - 0(+8" decagramos al cuadrado(
