Método de Jacobi y Gauss

Método de Jacobi y Gauss-Seidel: Visual Basic 6 Agosto 31, 2008 Son dos métodos númericos, que nos permite hallar soluciones a sistemas con el mismo número de ecuaciones que incognitas. En los dos métodos se realiza el siguiente proceso, con una pequeña variación en GaussSeidel Tenemos estas ecuaciones: 5x-2y+z=3 -x-7y+3z=-2 2x-y+8z=1

1. Despejar cada incógnita en función de las demás. x=(3+2y-z)/5 y=(x-3z-2)/-7 z=(1-2x+y)/8

2. Dar valores iniciales a las incógnitas x1=0 y1=0 z1=0

Por Jacobi: Reemplazar en cada ecuación los valores iniciales, esto nos dará nuevos valores que serán usados en la próxima iteración x=(3+2*0-0)/5=0,60 y=(0-3*0-2)/-7=0,28 z=(1-2x+y)/8=0,12

Por Gauss-Seidel Reemplazar en cada ecuación los valores mas próximos hallados. x=(3+2*0-0)/5=0,6 y=(0,6-3*0-2)/-7=0,2 z=(1-2*0,6+0,2)/8=0

Se realiza cuantas iteraciones se desee, usando como valores iniciales los nuevos valores hallados. Se puede detener la ejecución del algoritmo al calcular el error del cálculo, el cual lo podemos hallar con esta fórmula: sqr( (x1-x0)^2 + (y1-y0)^2 +(z1-z0)^2 ) Con jacobi

Con Gauss-Seidel

La principal diferencia, es que como el método de gauss_seidel utiliza los valores inmediatamente encontrados, entonces hace que todo el proceso sea más rápido, y como consecuencia hace de éste, un método mas eficaz. Las fórmulas usadas en la hoja de excel para el método de Jacobi son

=(3+2*D5-E5)/5 =(C5-3*E5-2)/-7 =(1-2*C5+D5)/8 =RAIZ((C6-C5)^2 + (D6-D5)^2 + (E6-E5)^2)

Que corresponde a la variable X,Y,Z y Error respectivamente. Y para el método de Gauss-Seidel: =(3+2*J5-K5)/5 =(I6-3*K5-2)/-7 =(1-2*I6+J6)/8 =RAIZ((I6-I5)^2 + (J6-J5)^2 + (K6-K5)^2)

El código fuente y el ejecutable del programa en visual basic 6 puede ser descargado de ACÁ La clave del comprimido es

Descomposición LU y método de Gauss-Seidel Resumen: A lo largo de las páginas de este trabajo se presenta un marco teórico que introduce a cada tema, al tiempo qu e se muestran en total cuatro ejercicios resueltos con explicaciones detalladas sobre cada proceso realizado.

476 visitas

Rating:

Tell a Friend

Autor: Jaime Montoya

INTRODUCCIÓN En el presente documento se explican detalladamente dos importantes temas: 1. Descomposición LU. 2. Método de Gauss-Seidel. Se trata de dos importantes herramientas que sirven para encontrar soluciones de sistemas de ecuaciones. A lo largo de las páginas de este trabajo se presenta un marco teórico que introduce a cada tema, al tiempo que se muestran en total cuatro ejercicios resueltos con explicaciones detalladas sobre cada proceso realizado. Además de las explicaciones, se muestran continuamente imágenes y matrices que permiten comprender con toda claridad cada uno de los procesos que se van siguiendo en el análisis de cada paso realizado. Las explicaciones son detalladas y tienen el fin de permitir al lector comprender cada tema aun cuando sea primera vez que lo estudie. Normalmente estos temas tienen procesos largos y por ell o son ideales para programar por computadora y no solamente para hacerlos sobre el p apel. Programar estos temas permite incluso obtener una mejor comprensión de la teoría aquí presentada. OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL: · Comprender las diferentes formas de solucionar sistemas de ecuaciones lineales por medio de los métodos de descomposición LU y Gauss-Seidel. OBJETIVOS ESPECÍFICOS: · Proporcionar al estudiante una idea clara y comprensible de los métodos de descomposición LU y Gauss-Seidel. · Mostrar cómo aplicar los métodos mencionados para facilitar l a solución de sistemas de ecuaciones, y poder así programar dichos métodos en la computadora. DESCOMPOSICIÓN LU

Su nombre se deriva de las palabras inglesas “Lower" y “Upper”, que en español se traducen como “Inferior” y “Superior”. Estudiando el proceso que se sigue en la descomposición LU es posible

comprender el por qué de este nombre, anali zando cómo una matriz original se descompone en dos matrices triangulares, una superior y otra inferior. La descomposición LU involucra solo operaciones sobre los coeficientes de la matriz [A], proporcionando un medio eficiente para calcular la matriz inversa o resolver sistemas de álgebra lineal. Primeramente se debe obtener la matriz [L] y la matriz [U]. [L] es una matriz diagonal inferior con n úmeros 1 sobre la diagonal. [U] es una matriz diagonal superior en la que sobre la diagonal no necesariamente tiene que haber números 1. El primer paso es descomponer o transformar [A] en [L] y [U], es decir obtener la matriz triangular inferior [L] y la matriz triangular superior [U]. PASOS PARA ENCONTRAR LA MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR (MATRIZ [U]) 1. Hacer cero todos los valores abajo del pivote sin convertir este en 1. 2. Para lograr lo anterior se requiere obtener un factor el cual es necesario para convertir a cero los valores abajo del pivote. 3. Dicho factor es igual al número que se desea convertir en cero entre el número pivote. 4. Este factor multiplicado por -1 se multiplica luego por el pivote y a ese resultado se le suma el valor que se encuentra en la posición a cambiar (el valor en la posición que se convertirá en cero). Esto es: - factor * pivote + posición a cambiar PASOS PARA ENCONTRAR LA MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR (MATRIZ [L]) Para encontrar la matriz triangular inferior se busca hacer ceros los valores de arriba de cada pivote, así como también convertir en 1 cada pivote. Se utiliza el mismo concepto de “factor” explicado anteriormente y se ubican todos los “factores” debajo de la diagonal s egún corresponda

en cada uno. Esquemáticamente se busca lo siguiente: Debido a que [A] = [L][U], al encontrar [L] y [U] a partir de [A] no se altera en nada la ecuación y se tiene lo siguiente:

Por lo tanto, si Ax = b, entonces LUx = b, de manera que Ax = LUx = b. PASOS PARA RESOLVER UN SISTEMA DE ECUACIONES POR EL MÉTODO DE DESCOMPOSICIÓN LU 1. Obtener la matriz triangular inferior L y la matriz triangular superior U. 2. Resolver Ly = b (para encontrar y). 3. El resultado del paso anterior se guarda en una matriz nueva de nombre “y”. 4. Realizar Ux = y (para encontrar x). 5. El resultado del paso anterior se almacena en una matriz nueva llamada “x”, la cual brinda los

valores correspondientes a las incógnitas de la ecuación. EJEMPLO 1 DE DESCOMPOSICIÓN LU PROBLEMA: Encontrar los valores de x1, x2 y x3 para el siguiente sistema de ecuaciones: NOTA: Recuérdese que si la matriz es 2x2 se hará 1 iteración; si es 3x3, 2 iteraciones; si es 4x4, 3 iteraciones; y así sucesivamente. SOLUCIÓN:

ITERACIÓN 1 factor 1 = (a21 / a11) = 5 / 4 = 1.25 factor 2 = (a31 / a11) = 1 / 4 = 0.25 Encontrando [U] fila 2 = - (factor 1) * (fila 1) + (fila 2) fila 3 = - (factor 2) * (fila 1) + (fila 3) a11 = a11 a12 = a12 a13 = a13 a21 = - (1.25) * (4) + (5) = 0 a22 = - (1.25) * (- 2) + (1) = 3.5 a23 = - (1.25) + (- 1) + (- 1) = 0.25 a31 = - (0.25) * (4) + (1) = 0 a32 = - (0.25) * (- 2) + (2) = 2.5 a33 = - (0.25) * (- 1) + (- 1) = - 0.75

Encontrando [L]

ITERACIÓN 2 factor 3 = (u32 / u22) = 2.5 / 3.5 = 0.7142857143 Encontrando [U] fila 3 = - (factor 3) * (fila 2) + (fila 3) a31 = - (2.5 / 3.5) * (0) + (0) = 0 a32 = - (2.5 / 3.5) * (3.5) + (2.5) = 0

a33 = - (2.5 / 3.5) * (0.25) + (- 0.75) = - 0.9285714286

Encontrando [L]

Ahora ya se tiene la matriz [U] y la matriz [L]. El siguiente paso es resolver Ly = b para encontrar la matriz y. En pocas palabras es como que se pidiera resolver el siguiente sistema de ecuaciones, encontrando los valores de y1, y2 y y3: Al resolver el sistema anterior, se obtienen los siguientes valores para y1, y2 y y3: El último paso es resolver Ux = y para encontrar la matriz x. En otras palabras es como que se pidiera resolver el siguiente sistema de ecuaciones, encontrando los valores de x1, x2 y x3: La solución del sistema es: Este es finalmente el valor de x1, x2 y x3; es decir, la respuesta del ejercicio utilizando la descomposición LU. EJEMPLO 2 DE DESCOMPOSICIÓN LU PROBLEMA: Encontrar los valores de x1, x2 y x3 para el siguiente sistema de ecuaciones: SOLUCIÓN:

ITERACIÓN 1 factor 1 = (a21 / a11) = 5/11 = 0.4545454545 factor 2 = (a31 / a11) = 4/11 = 0.3636363636 Encontrando [U] fila 2 = - (factor 1) * (fila 1) + (fila 2) fila 3 = - (factor 2) * (fila 1) + (fila 3) a11 = a11 a12 = a12 a13 = a13 a21 = - (0.4545454545) * (11) + (5) = 0 a22 = - (0.4545454545) * (- 3) + (- 2) = - 0.6363636365 a23 = - (0.4545454545) + (- 2) + (- 8) = - 7.0909090919 a31 = - (0.3636363636) * (11) + (4) = 0 a32 = - (0.3636363636) * (- 3) + (- 7) = - 5.909090909 a33 = - (0.3636363636) * (- 2) + (2) = 2.7272727272

Encontrando [L]

ITERACIÓN 2 factor 3 = (u32/u22) = - 5.909090909 / - 0.6363636365 = 9.285714284 Encontrando [U] fila 3 = - (factor 3) * (fila 2) + (fila 3) a31 = - (9.285714284) * (0) + (0) = 0 a32 = - (9.285714284) * (- 0.6363636365) + (- 5.909090909) = 0 a33 = - (9.285714284) * (- 7.0909090919) + (2.7272727272) = 68.57142857

Encontrando [L]

Ahora ya se tiene la matriz [U] y la matriz [L]. El siguiente paso es resolver Ly = b para encontrar la matriz y. En pocas palabras es como que se pidiera resolver el siguiente sistema de ecuaciones, encontrando los valores de y1, y2 y y3: Al resolver el sistema anterior, se obtienen los siguientes valores para y1, y2 y y3: El último paso es resolver Ux = y para encontrar la matriz x. En otras palabras es como que se pidiera resolver el siguiente sistema de ecuaciones, encontrando los valores de x1, x2 y x3: La solución del sistema es: Este es finalmente el valor de x1, x2 y x3; es decir, la respuesta del ejercicio utilizando la descomposición LU. MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL El método de Gauss-Seidel es un método iterativo y por lo mismo resulta ser bastante eficiente. Se comienza planteando el sistema de ecuaciones con el que se va a trabajar: De la ecuación 1 despejar x1, de la ecuación 2 despejar x2, …, de la ecuación n despejar xn. Esto da el siguiente conjunto de ecuaciones: Este último conjunto de ecuaciones son las que forman las fórmulas iterativas con las que se va a estar trabajando. Para comenzar el proceso iter ativo, se le da el valor de cero a las variables x2,…, xn; esto dará un primer valor para x1. Más precisamente, se tiene que:

Enseguida, se sustituye este valor de x1 en la ecuación 2, y las variables x3,…, xn siguen teniendo

el valor de cero. Esto da el siguiente valor para x2: Estos últimos valores de x1 y x2, se sustituyen en la ecuación 3, mientras que x4,…, xn siguen

teniendo el valor de cero; y así sucesivamente hasta llegar a la última ecuación. Todo este paso arrojará una lista de primeros valores para las incógnitas, la cual conforma el primer paso en el proceso iterativo. Para una mejor comprensión esto se simbolizará de esta forma: Se vuelve a repetir el proceso, pero ahora sustituyendo estos últimos datos en vez de ceros como al inicio. Se obtendrá una segunda lista de valores para cada una de las incógnitas, lo cual se simbolizará así: En este momento se pueden calcular los errores aproximados relativos, respecto a cada una de las incógnitas. La lista de errores se presenta a continuación: El proceso se vuelve a repetir hasta que: donde se debe prefijar convenientemente. EJEMPLO 1 DEL MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL PROBLEMA: Usar el método de Gauss-Seidel para aproximar la solución del sistema: hasta que:

SOLUCIÓN: Primero se despejan las incógnitas x1, x2 y x3 de las ecuaciones 1, 2 y 3 respectivamente. Se tiene: Estas últimas son el juego de fórmulas iterativas que se estará utilizando. Puesto que todavía no se puede calcular ningún error aproximado, se repite el proceso pero ahora con los últimos datos obtenidos para las incógnitas:

Es así como se tiene la segunda lista de valores de aproximación a la solución del sistema: Ahora se pueden calcular los errores absolutos para cada una de las incógnitas: Puesto que no se ha logrado el objetivo, se debe repetir el mismo proceso con los últimos valores

obtenidos de cada una de las incógnitas. Nótese que aunque el error aproximado ya cumple con ser menor al 1%, esto se debe cumplir para los tres errores aproximados. Por lo tanto se repite el mismo proceso. Omitiendo los pasos intermedios, se obtiene: En este caso se tienen los siguientes errores aproximados: Se puede observar que ahora se ha cumplido el objetivo para cada uno de los errores aproximados. Por lo tanto, se concluye que la solución aproximada es: Importante observación respecto al método de Gauss-Seidel: Es lógico preguntarse si siempre el método de Gauss-Seidel converge a la solución del sistema de ecuaciones y también es lógico esperar que la respuesta es NO. Un resultado de Análisis numérico da una condición suficiente para la convergencia del método. Teorema: El método de Gauss-Seidel converge a la solución del sistema si se cumple la condición de que la matriz de coeficientes del sistema sea una matriz diagonalmente dominante, es decir, si se cumple la siguiente condición: La condición de ser una matriz diagonalmente dominante simplemente significa que los elementos de la diagonal son mayores (en valor absoluto) que la suma de los valores absolutos de los demás elementos del mismo renglón. Nótese que en el ejemplo anterior, la matriz sí es diagonalmente dominante y por lo tanto, el método de Gauss-Seidel sí converge a la solución del sistema. Sin embargo, la condición de la matriz diagonalmente dominante, solamente es una condición suficiente pero no necesaria, es decir, existen sistemas de ecuaciones que no cumplen con la condición y que sí convergen a la solución y también existen sistemas de ecuaciones que no cumplen con la condición y que no convergen a la solución. Finalmente, obsérvese que aunque un sistema no cumpla con la condición de ser diagonalmente dominante, es posible a veces, lograr que sí se cumpla con esta condición mediante un intercambio de renglones, como se verá en el siguiente ejemplo: EJEMPLO 2 DEL MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL PROBLEMA: Usar el método de Gauss-Seidel para aproximar la solución del sistema:

SOLUCIÓN: En este caso se puede observar que el sistema no es diagonalmente dominante, lo cual se comprueba con los siguientes cálculos: Primera fila: |a11| > (|a12| + |a13|) 5 > (1.4 + 2.7) 5 > 4.1; es cierto. La condición se cumple para la primera fila. Segunda fila: |a22| > (|a21| + |a23|) 2.5 > (0.7 + 15) 2.5 > 15.7; no es cierto.

La condición no se cumple para la segunda fila. |a33| > (|a31| + |a32|) 4.4 > (3.3 + 11) 4.4 > 14.3; no es cierto. La condición no se cumple para la tercera fila. Para que el sistema sea diagonalmente dom inante, la condición debe cumplirse para todas l as filas. Por lo tanto, el sistema anterior no es diagonalmente dominante. NOTA: Recuérdese que la diagonal principal está compuesta por a11, a22 y a33. Sin embargo, al hacer el intercambio del renglón 2 por el renglón 3, se tiene el siguiente sistema: En este caso se puede observar que el sistema sí es diagonalmente dominante, lo cual se comprueba con los siguientes cálculos: Primera fila: |a11| > (|a12| + |a13|) 5 > (1.4 + 2.7) 5 > 4.1; es cierto. La condición se cumple para la primera fila. Segunda fila: |a22| > (|a21| + |a23|) 11 > (3.3 + 4.4) 11 > 7.7; es cierto. La condición se cumple para la segunda fila. |a33| > (|a31| + |a32|) 15 > (0.7 + 2.5) 15 > 3.2; es cierto. La condición se cumple para la tercera fila. Para que el sistema sea diagonalmente dominante, la condición debe cumplirse para todas las filas. En este caso efectivamente la condición se cumple para todas las filas, por lo cual el sistema anterior es diagonalmente dominante. Por lo tanto se procede a despejar x1, x2 y x3 de las ecuaciones 1, 2 y 3 respectivamente: Se comienza el proceso iterativo sustituyendo los valores de x2 = 0 x3 = 0 en la ecuación 1 para obtener x1: Ahora se sustituye x1 = -18.84 y x3 = 0 en la ecuación 2 para obtener x2: Por lo tanto los valores obtenidos en la primera iteración son: Puesto que sólo se tiene la primera aproximación de la solución del sistema, se debe seguir avanzando en el proceso iterativo. Sustituyendo x2 = -3.152 y x3 = -0.04613 en la ecuación 1, se obtiene x1 = -19.69765; sustituyendo x1 = -19.69765 y x3 = -0.04613 en la ecuación 2, se obtiene x2 = -3.42775; sustituyendo x1 = -19.69765 y x2 = -3.42775 en la ecuación 3, se obtiene x3 = 0.05207. Por lo tanto, la segunda aproximación es:

Ahora se pueden calcular los errores aproximados para cada una de las incógnitas: Puesto que no se ha cumplido el objetivo, se debe seguir avanzando en el proceso iterativo. Se resumen los resultados de esta manera: Tercera iteración: Cuarta iteración:

Así, el objetivo se ha logrado hasta la cuarta iteración y se tiene que los valores aproximados de la solución del sistema son: CONCLUSIÓN Luego de haber estudiado a profundidad estos tem as o herramientas para resolver sistemas de ecuaciones, se concluye que para resolver estos sistemas de ecuaciones lineales existen diferentes métodos, pero dependerá del gusto de cada persona elegir uno en específico. Sin embargo, muchas veces la elección no será arbitraria, pues cada método tiene sus ventajas y sus desventajas. Algunos métodos son más exactos, otros más fáciles de programar, otros más cortos, etc. Para ser capaces de elegir un método apropiado, lo primero que se necesita es comprender cómo se desarrolla cada uno de estos procesos. Luego de la elaboración de este reporte, ya se tiene una buena base y el conocimiento de los temas para poder comenzar a programar en la computadora estos procesos. Como se mencionó en la introducción, los dos métodos estudiados en este trabajo son ideales para programarlos por computadora, pues son iterativos y muy largos. Trabajar esto en papel podría resultar extremadamente largo y tedioso. Por ello son métodos ideales para trabajarlos en computadora. El aprendizaje adquirido en esta investigación ha sido de gran valor y seguramente servirá de la misma manera a aquellos quienes posteriormente lean estas explicaciones y lo expuesto en este reporte. BIBLIOGRAFÍA 1. C. Chapra, S.; P. Canale, R. Métodos Numéricos para Ingenieros. (3ª ed.). McGrawHill. 2. Factorización LU. Wikipedia. Extraído el 22 Enero, 2007, de http://es.wikipedia.org/wiki/Factorizaci%C3%B3n_LU 3. MÉTOTO DE GAUSS-SEIDEL. Universidad Autónoma de Ciudad Juárez (UACJ). Extraído el 22 Enero, 2007, de http://docentes.uacj.mx/gtapia/AN/Unidad3/Seidel/SEIDEL.htm AUTOR Método de Gauss-Seidel Anuncios Google



MBA Cursada Virtual www.Centrum.Pucp.edu.pe/MBA - Reconocida Escuela de Negocios de Perú. Inscríbete a las Charlas.







Aprender Inglés www.GanandoConIngles.com - ¿Busca una Perfecta Pronunciación? Aquí Tiene la Respuesta. Descúbrala Programa: Excel Avanzado www.bsgrupo.com - Programa tablas dinámicas,macros y gráficos.Inicio OnLine 24 Setiembre Cursos de francés en Lyon www.institut-lyonnais.com - A la segunda ciudad de Francia Desde 212 €/mes

El método de eliminación para resolver ecuaciones simultáneas suministra soluciones suficientemente precisas hasta para 15 o 20 ecuaciones. El número exacto depende de las ecuaciones de que se trate, del número de dígitos que se conservan e n el resultado de las operaciones aritméticas, y del procedimiento de redondeo. Utilizando ecuaciones de error, el número de ecuaciones que se pueden m anejar se puede incrementar considerablemente a más de 15 o 20, pero este método también es impráctico cuando se presentan, por ejemplo, cientos de ecuaciones que se deben resolver simultáneamente. El método de inversión de m atrices tiene limitaciones similares cuando se trabaja con números muy grandes de e cuaciones simultáneas. Sin embargo, existen varias técnicas que se pueden utilizar, para resolver grandes números de ecuaciones simultáneas. Una de las técnicas más útiles es el método de Gauss-Seidel. Ninguno de los procedimientos alternos es totalmente satisfactorio, y el método de Gauss-Seidel tiene la desventaja de que no siempre converge a una solución o de que a vece s converge muy lentamente. Sin embargo, este método co nvergirá siempre a una solución cuando la magnitud del coeficiente de una incógnita diferente en cada ecuación del conjunto, sea suficientemente dominante con respecto a las magnitudes de los otros coeficientes de esa ecuación. Es difícil definir el margen mínimo por el que ese coeficiente debe dominar a los otros para asegurar la convergencia y es aún más difícil predecir la velocidad de la convergencia para alguna combinación de valores de los coeficientes cuando esa converge ncia existe. No obstante, cuando el valor absoluto del coeficiente dominante para una incógnita diferente para cada ecuación es mayor que la suma de los valores absolutos de los otros coeficientes de esa ecuación, la convergencia está asegurada. Ese conjunto de ecuaciones simultáneas lineales se conoce como sistema diagonal. Un sistema diagonal es condición suficiente para asegurar la co nvergencia pero no es condición necesaria. Afortunadamente, las ecuaciones simultáneas lineales que se derivan de muchos problemas de ingeniería, son del tipo en el cual existen siempre coeficientes dominantes. La secuencia de pasos que constituyen el mé todo de Gauss-Seidel es la siguiente: 1. Asignar un valor inicial a cada incógnita que aparezca en el conjunto. Si es posible hacer una hipótesis razonable de éstos valores, hacerla. Si no, se pueden asignar valores seleccionados arbitrariamente. Los valores iniciales utilizados no afectarán la convergencia como tal, pero afectarán el número de iteraciones re queridas para dicha convergencia.

2.Partiendo de la primera ecuación, determinar un nuevo valor para la incógnita que tiene el coeficiente más grande en esa ecuación, utilizando para las otras incógnitas los valores supuestos. 3.Pasar a la segunda ecuación y dete rminar en ella el valor de la incógnita que tiene el coeficiente más grande en esa ecuación, utilizando el valor calculado para la incógnita del paso 2 y los valores supuestos para las incógnitas restantes. 4.Continuar con las ecuaciones restantes, determinando siempre el valor calculado de la incógnita que tiene el coeficniente más g rande en cada ecuación particular, y utilizando siempre los últimos valores calculados para las otras incógnitas de la ecuación. (Durante la primera iteración, se deben utilizar los valores supuestos para las incógnitas hasta que se obtenga un valor calculado). Cuando la ecuación final ha sido resuelta, proporcionando un valor para la única incógnita, se dice que se ha completado una iteración. 5.Continuar iterando hasta que el valor de cada incógnita, deter minado en una iteración particular, difiera del valor obtenido en la iteración previa, e n una cantidad menor que cierto seleccionado arbitrariamente. El procedimiento queda entonces completo. Refiriéndonos al paso 5, mientras menor sea la magnitud del se leccionado, mayor será la precisión de la solución. Sin embargo, la magnitud del epsilon no especifica el error que puede existir en los valores obtenidos para las incógnitas, ya que ésta es una función de la velocidad de convergencia. Mientras mayor sea la velocidad de convergencia, mayor será la precisión obtenida en los valores de las incógnitas para un dado.

Método Gauss Seidel By geronimo | Marzo 2, 2008

Este es uno de los métodos mas interesantes del análisis numérico y particualmente útil ya que nos permite encontrar la solución de un sistema de “n” ecuaciones con “n” incógnitas.

Para comenzar es preciso mencionar que es un método iterativo, es decir que debe aplicarse recursivamente hasta encontrar una solucion adecuada o con un error considerablemente pequeño. En cada iteración obtenemos una solución posible del sistema con un error determinado, a medida que aplicamos nuevamente el método, la solución puede ser más precisa, entonces se dice que el sistema converge, pero si al aplicar el método reiteradas veces la solución tiene un error (ya explicaremos como se calcula este error) cada vez mayor se dice que el sistema no converge y no se puede resolver el sistema de ecuaciones por este método.

Bien proseguiré con la explicación del método y luego aclararé los detalles necesarios para determinar la eficacia del mismo. Teniendo el siguiente sistema de ecuaciones:

Despejamos x1 de la ecuación 1, x2 de la ecuación 2, … , xn de la ecuación n, quedando:

Desde la formula anterior resultan las fórmulas que se deberán ir aplicando en las diferentes iteraciones. Para comenzar a aplicar el método debemos asignar un valor arbitrario a las variables x2,…xn con el fin de obtener x1. Lo mas conveniente en este caso es que los

valores comiencen en cero, lo cual nos facilitaría el trabajo ya que se reduce el cálculo de las primeras soluciones, entonces de esto resulta que:

Ahora despejamos x2 de la ecuación 2 y reemplazamos a x1 por el valor obtenido en la ecuación anterior. De esto nos queda:

Una vez que tenemos x2, despejamos x3 de la ecuación 3 y así sucesivamente con las n ecuaciones, cada vez asignando el valor de las x1, x2, … xn-1 obtenido en el paso anterior. Cuando hemos despejado las xn, tenemos lo que se conoce como primera solución o solución de la primer iteración:

Con los nuevos valores de x1, x2,…,xn aplicamos los mismos pasos anteriores pero con los

nuevos valores de las xn, de esta manera conseguimos una segunda solución:

Al tener esta segunda solución estamos en condiciones de calcular el error que se calcula como sigue:

Así, repetimos el método tantas veces hasta que el error sea muy pequeño o los suficientemente aceptable. Ahora solo queda mencionar que para que un sistema sea convergente se debe cumplir que la matriz de coeficientes sea diagonalmente dominante, y para ello se debe verificar la siguiente expresión:

Si no se cumple esa condición, se puede permutar las filas de la matriz, con el fin de poder convertirla en una diagonalmente dominante.

Ahora mostraré un ejemplo, mediante el uso de un programa hecho en Visual Basic que hice para aplicar el método. El programa podrá ser descargado desdeaqui. Para que todos los puedan ver y tratar de entender el funcionamiento del método. Al iniciar el programa indico que la matriz de coeficientes es de 3 filas y 3 columnas (la matriz siempre tiene que ser cuadrada). Entonces supongamos los siguientes coeficientes:

Luego cargo la matriz ―b‖ que es la que contiene el valor de los resultados de las

ecuaciones:

Hago clic en el botón verificar convergencia y si el programa me dice que se verifica, indico cuantas iteracciones quiero realizar y pulso en el botón ―Calcular solución‖. De esta forma el programa me arroja la solución del sistema (el valor de x1, x2,…xn) y me muestra el error, denominado por el programa co mo ―Norma Infinito‖.

Se puede apreciar que la norma infinito no las muestra en notación científica, ya que es un error muy pequeño. También el programa tiene la opción de guardar todas las iteracciones que hizo, hasta llegar a la ultima, esta opción es muy útil ya que se pude ver como fueron variando las soluciones hasta llegar a la última iteracción indicada, a medida que se hacen mas iteracciones, mas precisa es la solución. Para finalizar, aquí muestro la secuencia que me arrojó el programa para este ejemplo: Resolucion de Sistema de Ecuaciones Lineales -------------------------------------------Matriz A -------9 -3 2 -5 25 3 -4 2 11 Matriz B --------9 2 15 -------------------------------------------Solucion N°:1 ------------

X1=-1 X2=-0,12 X3= 1,02181818181818 Norma Infinito: 1,02181818181818 ——————————————–

Solucion N°:2 ————

X1=-1,26707070707071 X2=-0,296032323232323

X3= 0,956707438016529 Norma Infinito: 0,267070707070707 ——————————————–


X1=-1,31127909397 X2=-0,297060711355984 X3= 0,940818640621087 Norma Infinito: 4,42083868992962E-02 ——————————————–








X1=-1,30744386900444 X2=-0,294498906525456

X3= 0,941747485184833 Norma Infinito: 1,06424485053491E-05 ——————————————–







Descargar Programa Método Gauss Seidel

Resolver por el método de Gauss los sistemas

1 2

3

4

5

6

7

8 Método De Gauss-Seidel

Método de Gauss-Seidel La iteración de Gauss-Seidel se define al tomar Q como la parte triangular inferior de A incluyendo los elementos de la diagonal: Si, como en el caso anterior, definimos la matriz R=A-Q y la ecuación se puede escribir en la forma: Qx(k) = -Rx(k-1) + b Un elemento cualquiera, i, del vector Qx(k) vendrá dado por la ecuación: Si tenemos en cuenta la peculiar forma de las matrices Q y R, resulta que todos los sumandos para

los que j > i en la parte izquierda son nulos, mientras que en la parte derecha son nulos todos los sumandos para los que . Podemos escribir entonces: |=|| | |=|| | de donde despejando xi(k), obtenemos: Obsérvese que en el método de Gauss-Seidel los valores actualizados de xi sustituyen de inmediato a los valores anteriores, mientras que en el método de Jacobi todas las componentes nuevas del vector se calculan antes de llevar a cabo la sustitución. Por lo contrario, e n el método de Gauss-Seidel los cálculos deben llevarse a cabo por orden, ya que el nuevo valor xi depende de los valores actualizados de x1, x2, ..., xi-1. En la figura se incluye un algoritmo para la iter ación de Gauss-Seidel. Figure: Algoritmo para la iteración de G auss-Seidel. | |

http://www.uv.es/diaz/mn/node36.html UNIVERSIDAD AUSTRAL DE INSTITUTO DE INFORMATICA CAMPUS PUERTO MONTT, CHILE PROGRAMA QUE IMPLEMENTA EL METODO DE GAUSS SEIDEL CON PIVOTEO PARA LA ASIGNATURA DE SOFTWARE NUMERICO. CREADO POR VICTOR MUNZENMAYER A. #include #include #include #include #define L 10 #define P L float A[L][P],MATRIZ[L][P],VECTOR[L],X[L],CX[L],C[L],RESULTADOS[L],tabla[1000]; float a, b, c, d, e, f; int it,ini,n,x,y,z,cont=0; void Gauss_Seidel(int n) { for(x=0;x

Método de Jacobi y Gauss

Recommend Documents