“Universidad naCiOnaL FederiCO viLLarreaL” ESCUELA PROFESIONAL DE TURISMO Y DE NEGOCIOS INTERNACIONALES DOCENTE:
QUISPE SÁNCHEZ, JULIO
ASIGNATURA:
ESTADÍSTICA PARA LOS NEGOCIOS
TURNO:
TARDE
AULA:
C1-1
TEMA:
EJERCICIOS DE MÉTODOS Y DISTRIBUCIONES DE MUESTREO
INTEGRANTES: BARRETO TULLUME, CRISTINA CERPA HUARCAYA, JHORDAN DEL ROSARIO DIOS, JOCELI HINOSTROZA CHAHUA, CAROLINE ROJAS ARCOS, MARICIELO
LIMA – PERÚ
2017
EJERCICIOS DE MÉTODOS Y DISTRIBUCIONES DE MUESTREO 1. La siguiente es una lista de establecimientos de Marco’s Pizza, ubicados en Lucas County (Estados Unidos). Además se indica si la tienda es propiedad de consorcio (C) o de Administrador (M). Se seleccionará una muestra de cuatro establecimientos
y se inspeccionarán en lo que
respecta a comodidad para clientes, seguridad, higiene, y otras características. N° IDENTIF. 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
DOMICILIO 2607 Starr Av. 309 W Alexis Rd 2652 W Central Av 630 Dixie Hwy 3510 Dorr St 5055 Glendale Av 3382 Lagrange St 2525 W Laskey Rd 303 Lousiana Av 146 Main St 835 S McCord Rd 3501 Monroe St 2004 Ottawa River Rd. 2116 N Reynolds Rd. 3678 Rugby Dr 1419 South Av 1234 W Sylvania Av 4624 Woodville Rd 5155 S Main 106 E Airport Hwy 6725 W Central 4252 Monroe 2036 Woodville Rd 1316 Michigan Av
TIPO C C C M C C M C C C M M C C C C C M M C M C C M
a) Los números aleatorios seleccionados son 08, 18, 11, 45, 02, 41, 54. ¿Qué tiendas se escogen?
Las tiendas escogidas serán: Louisiana Av, S Main, Monroe St, W Central Av.
b) Utilice una tabla de números aleatorios para seleccionar su propia muestra de establecimientos. 6 5 4 3 2 1
7 8 9 10 11 12
18 17 16 15 14 13
19 20 21 22 23 24
c) Una muestra ha de constar de cada séptima ubicación. El número 03 (el ID) es el punto de partida. ¿Qué tiendas se incluirán en la muestra?
Las tiendas Dixie, Lagrange, Main St, Ottawa River Rd, South Av, S Main, Monroe.
d) Supóngase que una muestra consta de tres tiendas, dos de las cuales son propiedad del consorcio, y una lo es del administrador. Seleccione una muestra de acuerdo con esta información.
Las muestras serían las tiendas 3 (M), 9 (C), 12 (C).
2. La siguiente es una lista de hospitales en la región de Cincinnati (Ohio) y el norte de Kentucky (Estados Unidos). Además se indica si el nosocomio es un hospital de medicina general y cirugía (M/S), o uno de especialidades (S).
a) Se seleccionará al azar una muestra de cinco hospitales. Los números aleatorios obtenidos son: 09, 16, 00, 49, 54, 12 y 04. ¿Qué hospitales se encuentran en la muestra? Los hospitales que se encuentran en la muestra son: Bethesda North, Mercy Hospital, Children’s Hospital, Good Samaritan, St Francis-St.
b) Utilice una tabla de números aleatorios para determinar su propia muestra de cinco nosocomios. 6 5 4 3 2 1
7 8 9 10 11 12
18 17 16 15 14 13
19 20 21 22 23 24
Los cinco nosocomios serían los hospitales de Bethesda, Mercy HospitalHamilton, Mercy Hospital- Andreson, Christ Hospital, Jewis Hospital.
c) Una muestra consta de cada quinto hospital. Se selecciona 02 como punto de partida. ¿Qué hospitales serán considerados? 6 5 4 3 2 1
7 8 9 10 11 12
18 17 16 15 14 13
19 20 21 22 23 24
Los hospitales seleccionados son: 04, 06, 08, 10, 12. d) Una muestra ha de constar de cuatro hospitales de medicina general y cirugía y una de especialidades. Selecciona un conjunto muestral adecuado. Los hospitales de medicina general y cirugía seleccionados son 01, 03, 05, 07; el hospital de especialidad seleccionado es 24 3. A continuación se indican los 35 miembros de la Asociación de Comerciantes de Automóviles, de Metro Toledo.
N° IDENTIF. 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
AGENCIA Dave White Acura Autofair Nissan Autofair Toyota-Susuki George Ballis Buick GMC Truck Yark Automotive Group Bob Schmidt Chevrolet Browling Green Lincoln Mercury Jeep Eagle Brondes Ford Brown Honda Brown Mazda Charlie´s Dodge Thayer Chevrolet Geo Toyota Spurgeon Chevrolet Motor Sales, Inc. Dunn Chevrolet-Olds Don Sott Chevrolet-Pontiac-Geo,Inc Dave White Chevrolet Go. Dick Wilson Pontiac Doyle Pontiac Buick Franklin Park Lincoln Mercury Genoa Motors
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34
Great Lakes Ford Nissan Grogan Towne Chrysler Hatfield Olds-Honda Kistler Ford, Inc. Lexus of Toledo Mathews Ford Oregon,Inc. Nothtowne Chevrolet-GEO Quality Ford Sales, Inc. Rouen Chrysler Plymouth Jeep Eagle Saturn of Toledo Ed Schmidt Pontiac Jeep Eagle Southside Lincoln Mercury Valiton Chrysler Plymouth Vin Divers Whitman Ford
a) Se desea seleccionar al azar una muestra de cinco comerciantes. Los números aleatorios son: 05, 20, 59, 21, 31, 28, 49, 38, 66, 08, 29 y 02. ¿Cuáles quedarán incluidos? Los comerciantes incluidos son: Autofair Nissan, Bob Schmidt, Brown Honda, Great Lakes Ford Nissan, Grogan Towne Chrylsler, Southside Lincoln, Rouen Chrysler Plymouth, Saturn of Toledo. b) Utilice una tabla de números aleatorios para seleccionar su propia muestra de cinco distribuidores comerciales. 6 5 4 3 2 1
7 8 9 10 11 12
18 17 16 15 14 13
19 20 21 22 23 24
Los distribuidores seleccionados son: 04, 07, 10, 16, 13. c) Una muestra ha de constar de cada séptimo comerciante. El número 04 se selecciona como punto de partida. ¿Qué distribución se considerarán? El séptimo comerciante que se considerará será el número 08 (Brown Honda).
4. A continuación presentamos una lista con los 27 agentes de seguros de Nationwide Insurance, que residen en el área metropolitana de Toledo, Ohio. N° IDENTIF. 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
AGENTE BLY SCOTT 3332 W LASKEY RD COYLE MIKE 5432 W CENTRAL AV DENKER BRETT 7445 AIRPORT HWY DENKER ROLLIE 7445 AIRPORT HWY FARLEY RON 1837 W ALEXIS RD GEORGE MARK 7247 W CENTRAL AV GIBELLATO CARLO 6616 MONROE ST 3521 NAVARRE AV GLEMSER CATHY 5602 WOODVILLE RD GREEN MIKE 4149 HOLLAND SYLVANIA RD HARRIS EV 2026 ALBON RD HEINI BENIE 7110 W CENTRAL HINCKLEY DAVE 14 N HOLLAND SYLVANIA RD JOEHIIN BOB 3358 NAVARRE AV KEISSER DAVID 3030 W SYLVANIA AV KEISSER KEITH 5901 SYLVANIA AV LAWRENCE GRANT 342 W DUSSEL DR MILLER KEN 2427 WOODVILLE RD O'DONNELL JIM 7247 W CENTRAL AV PRIEST HARVEY 5113 N SUMMIT ST RIKER CRAIG 2621 N REYNOLD RD SCHWAB DAVE 572 W DUSSEL DR SEIBERT JOHN H 201 S MAIN SMITHERS BOB 229 SUPERIOR ST SMITHERS JERRY 229 SUPERIOR ST WRIGHT STEVE 105 S THIRD ST WOOD TOM 112 LOUSIANA AV YODER SCOTT 6 WILLOUGHBY AV
a) Se desea seleccionar una muestra aleatoria de cuatro agentes. Los números aleatorios son: 02, 59, 51, 25, 14, 29, 77, 69 y 18. ¿Qué agentes se incluirán en la muestra? Los agentes incluidos en la muestra son: Denker Brett, Wood Tom, Keisser Keith, Priest Harvey.
b) Utilice una tabla de números aleatorios para formar su propia muestra de cuatro agentes. 6 5 4 3 2 1
7 8 9 10 11 12
18 17 16 15 14 13
19 20 21 22 23 24
Los cuatro agente seleccionados son 24, 20, 15, 7. c) Una muestra consta de cada quinto agente. El número 02 se selecciona como punto de partida. ¿Qué aseguradores se incluirán en la muestra? 6 5 4 3 2 1
7 8 9 10 11 12
18 17 16 15 14 13
19 20 21 22 23 24
Los agentes incluidos son: 04, 06, 08, 10,12. 5. una población consiste en los cuatro valores siguientes: 12, 12,14 y 16. a) Enumere todas las muestras posibles de tamaño 2 y calcule la media de cada muestra. MEDIA MUESTRAL
NÚMERO DE MEDIAS
12
1
13
2
14
2
15
1 6
b) Determine el valor medio de la distribución de medias muestrales, y la media de la población. Compare los dos valores. 12+12+14+16
µ=
4
NCn =
𝑁! 𝑛!(𝑁−𝑛)!
=
= 13.5 4!
2!(4−2)!
=6
El valor medio de la distribución de medias muestrales es 6 y la media de la población es 13.5.
6. Una población consta de los cinco valores siguientes: 2, 2, 4, 4 y 8. a) Indique todas las muestras posibles de tamaño 2 y determine la media de cada una. MEDIA MUESTRAL
NÚMERO DE MEDIAS
2
1
3
4
4
1
5
2
6
2 10
b) Calcule el valor medio de la distribución de medias muestrales, y la media poblacional. Compare los dos valores.
µ= NCn =
2+2+4+4+8 5 𝑁!
𝑛!(𝑁−𝑛)!
=
=4
5! 2!(5−2)!
= 10
El valor medio de la distribución de medias muestrales es 10 y la media de la población es 4.
7. Una población está compuesta de los siguientes cinco valores: 12, 12, 14, 15 y 20. a) Enumere todas las muestras posibles de tamaño 3 y calcule la media de cada una. MEDIA MUESTRAL
NÚMERO DE MEDIAS
12
1
13
2
13.5
2
14.5
1
16
2
17
1
17.5
1 10
b) Determine el valor medio de la distribución de medias muestrales y la media poblacional. Confronte los dos valores. µ= NCn =
2+2+4+4+8 5 𝑁!
𝑛!(𝑁−𝑛)!
=
=4
5! 2!(5−2)!
= 10
El valor medio de la distribución de medias muestrales es 10 y la media de la población es 4.
8. una población consiste en los cinco valores siguientes: 0, 0, 1, 3, 6. a) Indique todas las muestras posibles de tamaño 3 y calcule la media de cada una. MEDIA MUESTRAL
NÚMERO DE MEDIAS
0
1
0.5
2
1.5
2
2
1
3
2
3.5
1
4.5
1 10
b) Determine el valor medio de la distribución de medias muestrales y la media poblacional. Coteje los dos valores. µ= NCn =
2+2+4+4+8 5 𝑁!
𝑛!(𝑁−𝑛)!
=
=4
5! 3!(5−3)!
= 10
El valor medio de la distribución de medias muestrales es 10 y la media de la población es 4.
9. En el bufete legal Tybo & Asociates hay seis socios. A continuación se indica el número de casos que cada miembro realmente llevó a la corte en el mes pasado. SOCIO
NÚMERO DE CASOS
RUUD
3
AUSTIN
6
SASS
3
PALMER
3
EILHELMS
0
SCHUELLER
1
a) ¿Cuántas muestras diferentes de tamaño 3 son posibles?
Cuatro muestras de tamaño 3 son posibles.
b) Enuncie todas las muestras ´posibles de tamaño 3 y calcule el número medio de casos en cada una. MEDIA MUESTRAL
NÚMERO DE MEDIAS
0.5
1
1.5
3
2
3
3
4
3.5
1
4.5
3 15
c) Compare el valor medio de la distribución de medias muestrales, con el de la población. µ= NCn =
3+6+3+3+0+1 6 𝑁! 𝑛!(𝑁−𝑛)!
=
= 2.67
6! 2!(6−2)!
= 15
El valor medio de la distribución de medias muestrales es 15 y la media de la población es 2.67.
10. Hay cinco representantes de ventas en la agencia de automóviles MidMotors Ford. A continuación se enlistan cinco representantes y el número de autos que vendieron la semana pasada: REPRESENTANTES VENTAS PETE HANKISH
DE AUTOMÓVILES VENDIDOS 8
CONNIE STALLTER
6
RON EATON
4
TED BARNES
10
PEGGY HARMON
6
a) ¿Cuántas muestras diferentes de tamaño 2 son posibles? Ninguna muestra b) Enuncie todas las muestras posibles de tamaño 2 y calcule la media de cada una. MEDIA MUESTRAL
NÚMERO DE MEDIAS
5
2
6
2
7
3
8
2
9
1 10
c) Compare el valor mediano de la distribución de muestreo de medias, con el de la población. µ= NCn =
8+6+4+10+6 5 𝑁!
𝑛!(𝑁−𝑛)!
=
= 6.8
5! 2!(5−2)!
= 10
El valor medio de la distribución de medias muestrales es 10 y la media de la población es 6.8.
11. El apéndice E es una tabla de números aleatorios. Por tanto, cada número entero del 0 al 9 tiene la misma probabilidad de ocurrencia. a) Elabore una diagrama que muestre la distribución de la población. ¿Cuál es la media poblacional?. µ=
0+1+2+3+4+5+6+7+8+9
La media poblacional es de 4.5.
10
= 4.5
b) A continuación se presentan las primeras 10 filas de cinco dígitos del Apéndice E. Supóngase que estas son 10 muestras aleatorias de cinco valores cada una. Determine la media de cada muestra y represente los valores medios en un gráfico parecido al Diagrama 8-3. Compare la media de la distribución de medias muestrales, con el valor respectivo para la población. 0 9 5 7 6 1 1 8 0 7
2 4 4 7 1 7 3 7 8 8
7 8 9 6 5 1 7 4 9 8
1 7 2 4 4 4 4 5 9 0
1 3 1 0 5 7 8 5 9 4
RESULTADOS POSIBLES
N° DE VECES QUE APARECE
PROBABILIDAD
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
4 7 2 2 8 5 2 9 6 5 50
0.08 0.14 0.04 0.04 0.16 0.1 0.04 0.18 0.12 0.1
µ=
0+1+2+3+4+5+6+7+8+9
NCn =
10 𝑁! 𝑛!(𝑁−𝑛)!
=
5! 2!(5−2)!
= 4.5
= 10
El valor medio de la distribución de medias muestrales es 10 y la media de la población es 4.5.
12. La empresa Scrapper Elevator Co. Tiene 20 representantes de ventas que venden su producto en todo Estados Unidos y Canadá. A continuación se enlistan los números de unidades vendidas durante un mes por cada representante. Supóngase que tales cifras son una población de valores: 2 3 2 3 3 4 2 4 3 2 2 7 3 4 5 3 3 3 3 5
a) Calcule la media poblacional. 66
µ = 20 = 3.3 La media poblacional es 3.3. b) Seleccione al azar cinco muestras de 5 elementos cada una, y calcule la media de cada muestra. Utilice los métodos descritos anteriormente en este capítulo y el Apéndice E, para determinar los integrantes de cada muestra. RESULTADOS POSIBLES 2 3 4
N° DE VECES QUE APARECE 5 9 3
5 7
2 1 20
PROBABILIDAD 0.25 0.45 0.15 0.1 0.05
c) Compare la media de la distribución de medias muestrales, con la media de la población. ¿Se esperaría que fueran iguales? 66
µ = 20 = 3.3 NCn =
𝑁! 𝑛!(𝑁−𝑛)!
=
20! 2!(20−2)!
= 190
El valor medio de la distribución de medias muestrales es 190 y la media de la población es 3.3.
13. Una muestra de 49 observaciones se toma a partir de una población normal. La media muestral es 55, y la desviación estándar de la muestra es 10. Determine el intervalo de confianza de 99% para la media de la población. n = 49
49
= 55
µ=
𝜎 = 10
±z
z = 99% = 2.575
𝜎
√𝑛
µ = 55 ± 2.575
10 √49
µ = 55 ± 3.68 58.68 ≤ µ ≤ 51.32
El intervalo de confianza del 95% varía entre 58.68 y 51.32.
14. Una muestra de 81 observaciones se toma de una población normal. La media muestral es 40, y la desviación estándar de la muestra es 5. Determine el intervalo de confianza de 95% para la media de la población. n = 81
𝜎=5
= 40
µ=
±z
z = 95% = 1.96
𝜎
√𝑛
µ = 40 ± 1.96
5 √81
µ = 40 ± 1.09 41.09 ≤ µ ≤ 38.91
El intervalo de confianza del 95% varía entre 41.09 y 38.91.
15. Una muestra de 10 observaciones se selecciona a partir de una población normal para la cual se conoce que la desviación estándar es 5. La media muestral vale 20. a) Determine el error estándar de la media.
𝑛 = 10
ð=5 ð =
ð
√𝑛
=
5
√10
= 1.58
b) Explique porqué se puede utilizar la fórmula (8-3) para obtener el intervalo de confianza de 95%, aunque el tamaño de la muestra es menor que 30. Porque acepta la teoría del límite central para que asegure una distribución normal de las medias muestrales. c) Determine el intervalo de confianza de 95% para la media de la población.
𝑛 = 10
ð=5
= 20 µ=
±z
z = 95% = 1.96
ð
√𝑛
µ = 20 ± 1.96
5
√10
µ = 20 ± 3.10 16.90 ≤ µ ≤ 23.10 El intervalo de confianza del 95% varía entre 16.90 y 23.10 16. Suponga que se desea utilizar un nivel de confianza de 90 % en vez de los intervalos de 95 % y 99 % empleados en las fórmulas (8-3) y (8-4). ¿Qué valor se usaría para multiplicar el error estándar de la media? z = 90% = 1.645 µ= µ=
±z
s
√𝑛
± 1.645
s
√𝑛
El valor que se usaría para multiplicar en error estándar de la media sería 1.645. 17. Una empresa de investigación realizó una encuesta para determinar la cantidad promedio (media) de dinero que gastan los fumadores consuetudinarios en cigarrillos durante una semana. Una muestra de 49 de tales fumadores reveló que = $ 20 (dólares) y s = $5.
a) ¿Cuál es la estimación puntual? 20 dólares es la estimación puntual. b) Utilice el nivel de confianza de 95% y determine el intervalo de confianza para µ. Explique lo que eso indica. n = 49
= 20 µ=
s=5
±z
z = 95% = 1.96 s
√𝑛
µ = 20 ± 1.96
5
√49
µ = 20 ± 1.40 18.60 ≤ µ ≤ 21.40 El intervalo de confianza del 95% varía entre 18.60 y 21.40. 18. Véase el ejercicio anterior. Suponga que se han incluido en la encuesta a 64 fumadores (en vez de 49), y que la media muestral y la desviación estándar de la muestra conservan los mismos valores (20 $ y 5 $, respectivamente). a) ¿Cuál es la estimación del intervalo de confianza de 95 % de µ? n = 64
= 20 µ=
s=5
±z
z = 95% = 1.96 s
√𝑛
µ = 20 ± 1.96
5
√64
µ = 20 ± 1.23 18.77 ≤ µ ≤ 21.23 El intervalo de confianza del 95% varía entre 18.77 y 21.23 b) Explique por qué el intervalo de confianza es más angosto o estrecho que el que se determinó en el ejercicio anterior. El intervalo de confianza es más angosto porque el tamaño de la muestra es más grande que en el ejercicio anterior: 64 > 49. 19. El propietario de una gasolinería (Al’s Marathon), desea estimar el número medio de galones de combustible que vende a sus clientes. De sus registros selecciona una muestra de 60 ventas y concluye que el número medio de galones vendidos es 8.60, con una desviación estándar de 2.30 galones. a) ¿Cuál es la estimación de la media poblacional?
8.60 galones. La estimación puntual. b) Establezca un intervalo de confianza de 99% para la media poblacional. n = 60
= 8.60
ð = 2.30 µ=
±z
z = 99% = 2.575
ð
√𝑛 2.30
µ = 8.60 ± 2.575
√60
µ = 8.60 ± 0.76 7.84 ≤ µ ≤ 9.36 c) Interprete el significado de la parte b. El intervalo de confianza del 99% varía entre 7.84 y 9.36. 20. Un profesor de inglés contó el número de palabras con errores ortográficos en un ensayo que recientemente asignó a sus alumnos. Para el grupo de 40 estudiantes, el número medio de palabras mal escritas fue de 6.05, y la desviación estándar, de 2.44. Establezca un intervalo de confianza de 95% para el número medio de palabras con errores en la población de estudiantes. n = 40
= 6.05 µ=
ð = 2.44
±z
z = 95% = 1.96
ð
√𝑛
µ = 6.05 ± 1.96
2.44
√40
µ = 6.05 ± 0.76 5.29 ≤ µ ≤ 6.81 El intervalo de confianza del 95% varía entre 5.29 y 6.81. 21. En el ejercicio 19, el propietario de la gasolinería Al’s Marathon determinó el número medio de galones de combustible que adquirieron sus clientes. También estaba interesado en la proporción de mujeres que autocargan gasolina en su vehículo. Después de realizar un estudio con 100 personas del sexo femenino pudo determinar que 80 de las clientes se despachan su propia gasolina. a) ¿Cuál es la proporción estimada de mujeres en la población que se despachan gasolina por autoservicio? p=x/n p = 80/100
p = 0.80 b) Elabore un intervalo de confianza de 95% para la proporción de mujeres que utilizan el autoservicio. Interprételo. z = 95% = 1.96
Π = p ± z√
p(1−p) n
Π = 0.80 ± 1.96√
0.80(0.20) 100
Π = 0.80 ± 0.08 0.72 ≤ π ≤ 0.88 El intervalo de confianza del 95% de la proporción de mujeres que utilizan el autoservicio varía entre 0.72 y 0.88 22. María Wilson considera ser candidata para la alcaldía de la ciudad de Bear Gulch, Montana. Antes de presentar su candidatura, decide realizar un sondeo de electores en dicho lugar. Una muestra de 400 reveló que 300 ciudadanos la apoyarían en la elección de noviembre. a) ¿Qué proporción de la población de electores en Bear Gulch calcula que apoyarían a la candidata Wilson? p=x/n p = 300/400 p = 0.75 b) Especifique un intervalo de confianza de 99% para la proporción de votantes en la población que apoyaría a la Sra. Wilson. z = 99% = 2.575
Π = p ± z√
p(1−p) n
Π = 0.75 ± 2.575√
0.75(0.25) 400
Π = 0.75 ± 0.06 0.69 ≤ π ≤ 0.81 El intervalo de confianza del 99% de la proporción varía entre 0.69 y 0.81. 23. Suponga que una cadena de televisión (Fox) planea sustituir uno de sus programas que se transmite en el horario con mayor número de telespectadores, con una nueva comedia dirigida al público familiar.
Antes de que se tome una decisión final, se elige una muestra aleatoria de 400 televidentes que acostumbran presenciar la televisión durante dicho horario. Después de ver un preprograma de la comedia, 250 de las personas indicaron que sí la verían. a) ¿Cuál es su estimación de la proporción de telespectadores en la población, que verá el nuevo programa? p=x/n p = 250/400 p = 0.63 b) Defina un intervalo de confianza de 95% para la proporción de público que verá el nuevo espectáculo. z = 95% = 1.96
Π = p ± z√
p(1−p) n
Π = 0.63 ± 1.96√
0.63(0.37) 200
Π = 0.63 ± 0.05 0.58 ≤ π ≤ 0.68 El intervalo de confianza del 95% de la proporción varía entre 0.58 y 0.68 24. Un impresor de serigrafías compra vasos de plástico para estampar logotipos para encuentros deportivos y otras ocasiones especiales. El impresor recibe una remesa grande esta mañana y quiere estimar el porcentaje de artículos defectuosos. Una muestra de 200 vasos reveló que 30 de los mismos resultaron con defectos. a) ¿Qué proporción del embarque se estima que esté defectuosa? p=x/n p = 30/200 p = 0.15 b) Establezca un intervalo de confianza de 95% para la proporción de vasos con desperfectos. z = 95% = 1.96
Π = p ± z√
p(1−p) n
Π = 0.15 ± 1.96√
0.15(0.85) 200
Π = 0.15 ± 0.05 0.10 ≤ π ≤ 0.20 El intervalo de confianza del 95% de la proporción varía entre 0.10 y 0.20 25. Una población consiste en 300 artículos. Se selecciona una muestra de tamaño 36. La media es 35, y la desviación estándar, 5. Desarrolle un intervalo de confianza de 95% para la media de la población. N = 300
n = 36
= 35
µ=
ð=5 ð
±z
√𝑛
√
5
µ = 35 ± 1.96
√36
z = 95% = 1.96
𝑁−𝑛 𝑁−1
√
300−36 300−1
µ = 35 ± 1.53 33.47 ≤ µ ≤ 36.53 El intervalo de confianza de 95% varía entre 33.47 y 36.53 26. Una población consta de 500 elementos. Se selecciona una muestra de tamaño 49. La media vale 40, y la desviación estándar, 9. Obtenga un intervalo de confianza de 99% para la media de la población. N = 500
n = 49
= 40 µ=
ð=9
±z
ð
√𝑛
µ = 40 ± 2.575
√
9
√49
z = 99% = 2.575
𝑁−𝑛 𝑁−1
√
500−49 500−1
µ = 40 ± 3.15 36.85 ≤ µ ≤ 43.15 El intervalo de confianza de 99% varía entre 36.85 y 43.15 27. Asistieron 400 espectadores a un partido de los Durhman Bulls en liga menor de béisbol. Una muestra aleatoria de 50 espectadores reveló que el número medio de bebidas de gaseosas que consumieron, fue de 1.86 con una desviación estándar de 0.50. Establezca un intervalo de confianza de 99% para el número medio de refrescos consumidos.
N = 400
n = 50
= 1.86
ð = 0.50
±z
µ=
ð
√𝑛
µ = 1.86 ± 2.575
√
z = 99% = 2.575
𝑁−𝑛 𝑁−1
0.50
√50
√
400−50 400−1
µ = 1.86 ± 0.19 1.67 ≤ µ ≤ 2.05 El intervalo de confianza de 99% varía entre 1.67 y 2.05 28. Hay 300 soldadores empleados en la empresa Maine Shipyards Corp. Una muestra de 30 reveló que 18 se graduaron en un curso técnico especial. Establezca un intervalo de confianza de 95% para la proporción de soldadores egresados de dicha preparación. N = 300
n = 30
p = 18/30 = 0.6
Π = p ± z√
p(1−p)
Π = 0.6± 1.96√
n
√
0.6(0.4) 30
z = 95% = 1.96 N−n N−1
√
300−30 300−1
Π = 0.6± 0.17 0.43 ≤ π ≤ 0.77 El intervalo de confianza de 95% de la proporción varía entre 0.43 y 0.77. 29. Se estima que una población tiene una desviación estándar de 10. Ha de evaluarse la media de la población dentro de 2, con un nivel de confianza de 95%. ¿Qué tamaño se requiere para la muestra? S = 10 ; E = 2 ; Z = 95% = 1.96 n = ( (𝑧 ∗ 𝑠)/𝐸 ) 2 n=(
( 1.96∗10) 2 ) 2
n = ( 9.8 )2 = 96.04
Se requiere una muestra de 96.
30. Se quiere estimar la media poblacional dentro de 5, con un nivel de confianza de 99%. La desviación estándar de la población se determina que es 15. ¿Qué tamaño debe tener la muestra? S = 15 ; E = 5 ; Z = 99% = 2.58
n = ( (𝑧 ∗ 𝑠)/𝐸 ) 2 n=(
( 2.58∗15) 2 ) 5
n = ( 7.74 )2 = 59.9076
Se requiere una muestra de 60.
31. El valor de la proporción de población ha de estar entre ±0.05, con un nivel de confianza de 95%. El mejor cálculo de la proporción de la población es 0.15. ¿Qué tamaño se requiere para la muestra? E = ±0.05 ; Z = 95% = 1.96 ; P = 0.15 𝑍
n = p (1-p) ( )2 𝐸
1.96
n = (0.15)(1-0.15) (±0.05 )2 n = (0.1275) (1536.64) n = 195.9216
Se requiere una muestra de 196.
32. La estimación de la proporción poblacional se encuentra entre ±0.10, con un nivel de confianza de 99%. El mejor cálculo de la proporción de población es 0.45. ¿Qué tamaño necesita tener la muestra? E = ±0.10 ; Z = 99% = 2.58 ; P = 0.45 𝑍
n = p (1-p) (𝐸 )2 2.58
n = (0.45)(1-0.45) (±0.10 )2 n = (0.2475) (665.64) n = 164.7459
Se requiere una muestra de 165.
33. Se planea una encuesta para determinar el tiempo promedio que los ejecutivos de una corporación ven la televisión. Un estudio piloto indico que el tiempo medio por semanas de 12 horas, con una desviación estándar de 3 horas. Se desea estimar el tiempo medio dentro de un cuarto de hora, utilizando el grado de confianza de 0.95. ¿Cuántos ejecutivos deben incluirse en el estudio? S = 3h ; E = 1/4h ; Z = 95% = 1.96 n = ( (𝑧 ∗ 𝑠)/𝐸 ) 2 n=(
( 1.96 ∗ 3) 2 ) 1/4
n = ( 23.52 )2 = 553.1904
Se requiere una muestra de 553.
34. Un procesador de zanahorias corta la parte superior verde de cada una, las lava luego y coloca seis por paquete. Se colocan veinte paquetes en una caja para su envío. Se revisan algunas cajas para determinar su peso. El peso promedio fue de 20.4 libras (lb), y la desviación estándar, de 0.5 lb. ¿Cuántas cajas debe muestrear el procesador para tener un 95% de seguridad de que la media muestral no difiera de la media poblacional en más de 0.2 lb? S = 0.5 lb ; E = 0.2 lb ; Z = 95% = 1.96 n = ( (𝑧 ∗ 𝑠)/𝐸 ) 2 n=(
( 1.96 ∗ 0.5) 2 ) 0.2
n = ( 4.9 )2 = 24.01
Se requiere una muestra de 24.
35. Supóngase que el presidente de un país desea un estimado de la proporción poblacional que apoya su política actual con respecto a una nación pequeña como Haití. Tal funcionario desea que el cálculo se encuentre dentro de 0.04 de la proporción verdadera. Suponga un nivel de confianza de 95%. El secretario de Estado del gobierno estimó la proporción del apoyo a la política actual en 0.60. a) ¿Qué tamaño se requiere para la muestra? E = 0.04 ; Z = 95% = 1.96 ; P = 0.60 𝑍
n = p (1-p) (𝐸 )2 1.96
n = (0.60)(0.40) (0.04 )2 n = (0.24) (2401) n = 576.24 = 577
Se requiere una muestra de 577.
b) ¿De qué tamaño tendría que hacer la muestra si el cálculo del secretario de Estado no estuviera disponible? En relación al tamaño que quiere hacer el secretario poniéndole un cálculo no disponible; se vería en la necesidad de tener una muestra no identificada o sino sus muestras serian demasiado altas.
36. Encuestas anteriores revelaron que 30% de los turistas que van a Las Vegas a jugar, durante un fin de semana gastaron más de $1000 (dólares). La gerencia desea actualizar ese porcentaje.
a) Utilizando el grado de confianza de 0.90, la gerencia desea estimar el porcentaje de turistas que gastan más de $1000 dentro, de 1%. ¿Qué tamaño de muestra debe emplearse? E = 0.01 ; Z = 0.90 = 1.645 ; P = 0.50 𝑍
n = p (1-p) (𝐸 )2 1.645
n = (0.50)(0.50) ( 0.01 )2 n = (0.25) (27060.25) n = 6765.0625 = 6765
Se requiere una muestra de 6765.
b) La gerencia menciono que el tamaño de la muestra señalado en la parte a) es demasiado grande. Sugiera algo que pueda hacerse para reducir la magnitud muestral. Con base en su sugerencia, calcule una vez más el tamaño de la muestra. Con respecto en el resultado de la respuesta “a”, la empresa se le recomienda a saber que sus clientes se moderen en el consumo de su dinero, con respecto al modo de diversión que realizan en Las Vegas. 37. Las tiendas de ventas al menudeo localizadas en el centro comercial de North Towne Square son:
Número 0 1
Tienda Elder Berman Montgomery Ward
Número 13 14
2
Deb Shop Frederick´s of Hollywood Petries Easy Dreams Summit Stationers E B Brown Opticians Kay-Bee Toy & Hobby Lion Store Bootleggers Formal Man Leather Ltd.
15
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
16 17 18 19 20
Tienda El Dalton Bookseller Pats Hallmark Things Remembered Pearle Vision Express Dollar Tree Country Seat Kid Mart Lerner
21 22 23 24
Coach House Gifts Spence Gifts CPI Photo Finish Regis Hairstylists
a) Si se seleccionaron los siguientes números al azar, ¿Qué tiendas de ventas al menudeo deben incluirse en la encuesta? 11 65 86 62 06 10 12 77 04 -En la relación que determinan solo están disponible las tiendas número: 11, 06, 10, 12, 04. b) Seleccione una muestra aleatoria de cuatro tiendas de este tipo. Utilice el apéndice E. -Para seleccionar las tiendas en una muestra aleatoria, hay de diferentes modos muestreo simple, muestreo sistemático, muestreo estratificado y entre otros. Solo pide escoger una muestra de cuatro grupo se puede escoger cualquier tipo de grupos de cuatro. c) Ha de utilizarse un procedimiento sistemático de muestreo. Se solicita información en la primera tienda y después en cada tercer establecimiento comercial. ¿A qué tiendas se recurrirá? -Para realizar un muestreo sistemático, se puede coger al azar un conjunto de tiendas de los 24 que haiga, luego se selecciona una pequeña muestra como referencia, pero determinándole como una división en partes iguales para que asi tenga una muestra probabilística.
38. La siguiente es una lista de médicos familiares. Se seleccionaron aleatoriamente tres facultativos y se les entrevistara para averiguar cuál es el cobro por una consulta de rutina. Se ha codificado a los 39 galenos del 00 al 38. Además, se registra si ejercen solos (S), tienen un socio (P), o si forman parte de un grupo de práctica médica (G). Tipo de Número Médico práctica R. E. Scherbarth, 0 M.D. S Crystal R. Goveia 1 M.D. P 2 Mark D. Hillard. M.D. P Jeanine S. Huttner, 3 M.D. P 4 Francis Aona, M.D. P Janet Arrowsmith, 5 M.D. P 6 7 8 9 10
David Defrance, M.D. Judith Furlong, M.D. Leslie Jackson, M.D. Paul Langenkamp, M.D. Philip Lepkowski,
Número Médico 20 21 22 23 24 25
S S G
26 27 28
S S
29 30
Tipo de práctica
Gregory Yost, M.D. J. Cristian Zona, M.D. Larry Johnson, M.D. Sanford Kimmel, M.D. Harry Mayhew, M.D.
P
Leroy Rodgers, M.D. Thomas Tafelski, M.D. Mark Zilkoski, M.D. Ken Bertka, M.D. Mark DeMichiei, M.D. John Eggert, M.D.
S
P P P S
S G G G P
17
M.D. Wendy Martin, M.D. Denny Mauricio, M.D. Hasmukh Parmar, M.D. Ricardo Pena, M.D. David Rearnes, M.D. Ronald Reynolds, M.D. Mark Steinmetz, M.D.
18 19
Geza Torok, M.D. Mark Young, M.D.
11 12 13 14 15 16
S
31
P
32
P P P
33 34 35
G
36
G
37
S P
38
Jeanne Fiorito, M.D. Michael Fitzpatrick, M.D.
P
Charles Holt, D.O. Richard Koby, M.D. John Meier, M.D. Douglas Smucker, M.D.
P P P
David Weldy, M.D. Cheryl Zaborowski, M.D.
P
P
S
P
a) Si se obtienen del apéndice E los números aleatorios 31, 94, 43, 36, 03, 24, 17 y 09, ¿a qué médicos se entrevistará? A los médicos que están seleccionados en la liste que son: 31, 36, 03, 24, 17 y 09. b) Seleccione al azar una muestra de tamaño cuatro utilizando la tabla números aleatorios del citado Apéndice E. Para establecer una muestra de cuatro, hice referencia con los datos siguientes: 6 5 4 3 2 1
7 8 9 10 11 12
18 17 16 15 14 13
19 20 21 22 23 24
Número de médicos con “s” y ”p”. Número de médicos con “s”, “p” Y “G”. Número de médicos con “s” y “p”.
c) Una muestra ha de constar ahora de cada quinto médico. El número 04 se selecciona como punto de partida. ¿A qué facultativos se les solicitará información? -Se le solicitaría a los médicos que estén en la relación de médicos después del punto de partida del número cuatro. d) Una muestra debe consistir en dos médicos que ejercen solos (S), dos que tienen un socio (P), y uno en práctica de grupo. Obtenga la muestra requerida. Explique su procedimiento. -Para hacer este procedimiento se debe seleccionar a cada médico con su labor que ejercen si son solo, tienen un socio o sino están en práctica de grupo y así determinado una muestra probabilística.
39. ¿Qué es error de muestreo? ¿Puede éste tener un valor igual a cero? Sí así fuera. ¿Qué significaría esto? -El error de muestreo es la desviación de la muestra seleccionada de las verdaderas características, rasgos, comportamientos, cualidades o figuras de toda la población. -Si observamos la fórmula, “e” será cero si la desviación “s” es cero, o bien cuando la muestra n es arbitrariamente grande. - La desviación es cero: significa que todos los elementos son idénticos. - También puede significar que el tamaño de la muestra tiende a infinito. 40. Enumera las razones para muestrear. Dé un ejemplo de cada motivo para realizar la muestra. Existen muchas razones para el uso del muestreo: - Costo reducido. - Mayor rapidez de la información. - Mayores posibilidades de realizar. - Mayor exactitud en las mediciones. En muchos aspectos, mayormente en lo social y económico, la encuesta es la manera de adquirir información para el estudio. La opinión pública sigue siendo un factor importante para los periódicos, estas encuesta por muestreo pueden ser clasificadas como descriptivas o analíticas; lo descriptivo para obtener información de grandes grupos y lo analítico para el estudio comparativo de grupos. 41. Se hará una encuesta en bancos comerciales de una región (III). Algunos son muy grandes, con activos de más de 500 millones de dólares; otros son de tamaño mediano, con activos entre 100 millones y 500 millones de dólares; y los bancos restantes tienen activos de menos de 100 millones. Explique cómo seleccionaría una muestra de tales bancos. Una muestra debe ser representativa si va a ser usada para estimar las características de la población. Los métodos para seleccionar una muestra representativa son numerosos, dependiendo del tiempo, dinero y habilidad disponibles para tomar una muestra y la naturaleza de los elementos individuales de la población. Por lo tanto, se requiere un gran volumen para incluir todos los tipos de métodos de muestreo. Los métodos de selección de muestras pueden ser clasificados de acuerdo a: 1. El número de muestras tomadas de una población dada para un estudio (una encuesta en bancos comerciales de una región). 2. La manera usada en seleccionar los elementos incluidos en la muestra (activos muy grandes de 500 millones de dólares, otros medianos de 100 a
500 millones de dólares, y los restantes de menos de 100 millones de dólares). 42. La empresa Plactic Products considera el diámetro interno de la tubería PVC de plástico que produce. Una máquina extrusióna el material, que después se corta en tramos de 10 pies (3m) de largo. Cada máquina produce aproximadamente 720 tubos durante un periodo de dos horas. ¿Cómo tomaría una muestra de la producción en dicho periodo? Para tomar una muestra en la producción de tubos, te indica que se producen 720 tubos en un periodo de dos horas y que se hacen cortes en tramos de 10 pies (3m) de largo. En relación con esta información se puede determinar de diferentes tipos de muestreo probabilísticos (muestreo aleatorio simple, muestreo aleatorio sistemático, muestreo aleatorio estratificado y entre otros) cuya función básica es saber que parte de una población debe examinarse, con la finalidad de hacer inferencias sobre dicha población.
43. Hay 25 moteles en Goshen, Indiana. El número de habitaciones en cada motel es el siguiente:
a) De acuerdo con la tabla de números aleatorios (apéndice B.6), seleccione una muestra aleatoria de cinco moteles de esta población.
Moteles 84, 75, 72, 88 y 75 b) Obtenga una muestra sistemática seleccionando un punto de partida aleatorio entre los primeros cinco moteles y después haga una selección cada quinto motel.
Moteles 75, 72, 68, 82 y 48
c) Suponga que los últimos cinco moteles son de tarifas rebajadas. Describa la forma en que seleccionaría una muestra aleatoria de tres moteles normales y dos de tarifas rebajadas. Dividiría la población entre los primeros 20 y los últimos 5 moteles, creando 2 grupos, después del primer grupo seleccionarían de manera aleatoria 3 moteles y del segundo grupo 2 moteles.
44. La década pasada, el número medio de miembros de la Information Systems Security Association, que tenían experiencia en ataques por negación de servicios cada año es de 510, con una desviación estándar de 14.28 ataques. Suponga que nada cambia en este ambiente.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que este grupo sufra un promedio de más de 600 ataques los próximos 10 años? 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑍 𝑑𝑒 𝑋̅ 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑋̅ − 𝜇 =𝑍= 𝜎/√𝑛
𝑍=
𝑋̅− 𝜇 𝜎/√𝑛
=
600−510
=Z 19.9
14.28/√10
X=0.10
b) Calcule la probabilidad de que experimenten un promedio de entre 500 y 600 ataques durante los próximos 10 años.
𝑍=
𝑋̅− 𝜇 𝜎/√𝑛
=
500−510
=Z -2.21
14.28/√10
X=-0.4864
𝑍=
𝑋̅− 𝜇 𝜎/√𝑛
=
600−510
=Z 19.9
14.28/√10
X=0.00
0.5000+0.4864=0.9864
c) ¿Cuál es la probabilidad de que experimenten un promedio de menos de 500 ataques durante los próximos 10 años?
0.5000-0.4864=0.0136 45. Suponga que su profesor de Estadística tomó seis exámenes durante el semestre y usted obtuvo las siguientes calificaciones: 79, 64, 84, 82, 92, 77.
En vez de promediar los seis resultados, el profesor indicó que seleccionaría al azar dos calificaciones y presentaría un informe sobre el resultado a la oficina de registro escolar. a) Enuncie todas las muestras posibles de tamaño 2 y calcule la media para cada una (x). 𝑁! 𝑁! (6!) = 5𝐶2 = = = 15 𝑁𝐶𝑛 = 𝑛! (𝑁 − 𝑛)! 𝑛! (𝑁 − 𝑛)! 2! (6 − 2)!
b) Compare el resultado obtenido en a), con el valor de la media de la población ().
𝜇𝑋̅ =
𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑑𝑎𝑠 𝑙𝑎𝑠 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑠 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 (71.5 + 81.5 + 80.5 + 85.5. .84.5) = 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑠 15 = 𝟕𝟒. 𝟐
𝜇=
Σ𝑁 𝑁
=
(79+64+84+82+92+77) 6
=79.66
79,64,79,84,79,82,79,92,79,77,64,84,64,82,64,,92,64,77,84,82,84,92,84,77,82, 92,82,77,92,77.
46. En la oficina del First National Bank, ubicada en el centro de la ciudad, hay cinco cajeros automáticos. La semana pasada cada uno de los cajeros incurrió en el siguiente número de errores: 2, 3, 5, 3 y 5. a) ¿Cuántas muestras de dos cajeros se pueden seleccionar? 𝑁𝐶𝑛
=
𝑁! 𝑁! (5!) = 5𝐶2 = = = 𝟏𝟎 𝑛! (𝑁 − 𝑛)! 𝑛! (𝑁 − 𝑛)! 2! (5 − 2)!
Muestra
Hoteles
Media
b) Escriba todas posibles de la media de cada
1
2y3
2.5
2
2y5
3.5
3
2y3
2.5
4
2y5
3.5
5
3y5
4
6
3y3
3
7
3y5
4
8
5y3
4
9
5y5
5
10
las muestras tamaño 2 y calcule una.
4
3 y5
c) Calcule la distribución muestral de la media y compárela con la media de la población.
𝜇𝑋̅ =
𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑑𝑎𝑠 𝑙𝑎𝑠 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑠 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 (2.5 + 3.5 + 2.5 … + 4) = = 𝟑. 𝟔 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑠 10
𝜇=
Σ𝑁 (2 + 3 + 5 + 3 + 5) = = 𝟑. 𝟔 𝑁 5
47. Dr.Landin tiene cinco estudiantes que realizan un estudio independiente especial este semestre para evaluar el avance en la lectura, el doctor aplico un examen de cinco preguntas con respuestas verdadero y falso. A continuación se presenta el número de respuestas correctas para cada estudiante Estudiante
Numero correcto
Torres
4
Cuevas
3
Flores
3
Ramos
5
Campos
2
a) ¿Cuántas muestras de tamaño 2 son posibles?
𝑁𝐶𝑛
=
𝑁! 𝑁! (5!) = 5𝐶2 = = = 𝟏𝟎 𝑛! (𝑁 − 𝑛)! 𝑛! (𝑁 − 𝑛)! 2! (5 − 2)!
b) Enuncie todas las muestras posibles de tamaño de 2 y calcule las medias muéstrales (4,3) (3,3) (3,5) (5,2) (2,5) (5,3) (3,4) (5,4) (3,2) (5,4)
49. Una muestra aleatoria de 85 dirigentes de grupo, supervisores y personal similar en una empresa reveló que, en promedio, una persona permanece 6,5 años en el puesto antes que se la promueva. La desviación estándar de la muestra fue de 1,7 años. Elabore un intervalo de confianza del 95%.
50. A un inspector sanitario se le asigna como tarea estimar el peso neto medio de paquetes de carne molida que indican en la etiqueta 3 libras. Obviamente se percata de que los pesos no pueden ser exactamente de 3 libras. Una muestra de 36 paquetes revelo que el peso medio es de 3.01Ib con una desviación estándar de 0.03Ib . Determinar el intervalo a un grado del 95% de confianza
n = 36
ẋ = 3.01
ð = 0.03
z = 95% = 1.96
ð
µ=ẋ±z √𝑛 µ = 3.01± 1.96
0.03
√36
µ = 3.01±
3.0002≤ µ ≤ 3.0198
51. Un estudio reciente de 50 estaciones de gasolina de autoservicio en el área de Cincinnati, Ohio revelo que el precio medio de gasolina sin plomo fue de 1.179 dólares por galón y la desviación estándar de 3 centavos por
galón. Determine un intervalo de confianza de 99% para el precio medio poblacional por galón de dicha gasolina. n = 50
ẋ = 1.179
ð = 0.03
z = 99% = 2.575
ð
µ=ẋ±z √𝑛 µ = 1.179± 2.575
0.03
√50
µ = 1.179± 0.0109
1.1681≤ µ ≤ 1.1899
52. Una encuesta reciente a 50 ejecutivos varones desempleados revelo que les tomo 26 semanas en promedio el encontrar otro trabajo. La desviación estándar fue de 6.2 semanas. Determine el intervalo de confianza de 95% para el tiempo medio que tomara a los ejecutivos conseguir otro empleo.
n = 50
ẋ = 26
ð = 6.2
z = 95% = 1.96
ð
µ=ẋ±z √𝑛 µ = 26± 1.96
6.2
√50
µ = 26±1.71855
24.2814≤ µ ≤ 27.71855 53. En el Departamento de Educación de la UR University, los registros de los estudiantes sugieren que la población estudiantil pasa un promedio de 5.5 horas a la semana practicando deportes organizados. La desviación estándar de la población es 2.2 horas a la semana. Basándose en una muestra de 121 estudiantes, Healthy Lifestyles Incorporated (HLI) querría aplicar el teorema central del límite para realizar varias estimaciones.
a) Calcule el error estándar de la media muestral.
𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 = 𝜎𝑋̅= 𝜎
√𝑛
𝜎̅
𝑋=
𝜎 2.2 = =0.2 √𝑛 √121
b) ¿Cuál es la probabilidad de que HLI encuentre una media muestral entre 5 y 6 horas?
𝑍=
𝑋̅− 𝜇 𝜎/√𝑛
=
5−5.5
=Z-2.5 2.2/√121
X=-0.4938
𝑍=
𝑋̅− 𝜇 𝜎/√𝑛
=
6−5.5 2.2/√121
=Z2.5
X=0.4938 0.4938+0.4938=0.9876 c) Calcule la probabilidad de que la media muestral esté entre 5.3 y 5.7
horas. 𝑍=
𝑋̅− 𝜇 𝜎/√𝑛
=
5.3−5.5 2.2/√121
=Z-1
X=-0.3413
𝑍=
𝑋̅− 𝜇 𝜎/√𝑛
=
5.7−5.5 2.2/√121
=Z1
X=0.3413 0.3413+0.3413=0.6826
54. Información en poder del American Institute of Insurance indica que la cantidad media de seguros de vida por familia en Estados Unidos asciende a $110 000. Esta distribución sigue la distribución normal con una desviación estándar de $40 000. a) Si selecciona una muestra aleatoria de 50 familias, ¿cuál es el error estándar de la media?
𝜎𝑋̅= 𝜎 = √𝑛
40000 √50
= 5,656.85
b) ¿Cuál es la forma que se espera que tenga la distribución muestral de la media? Distribución normal estándar c) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar una muestra con una media de por lo menos $112 000? 𝑍=
𝑋̅ − 𝜇 112,000 − 110,000 2,000 = = 𝑍. 3535 𝜎 = 40,000 5,656.85 √𝑛 √50
𝑋 = 0.1368
0.5-0.1368 = 0.3632 d) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar una muestra con una media de más de $100 000? 𝑍=
𝑋̅ − 𝜇 𝜎/√𝑛
=
100,000 − 110,000
−10,000 = 𝑍 − 1.77 𝑋 = −0.4616 5,656.85 40,000/√50 = 0.5 + .4616 = 0.9616 =
55. La american restaurant Association reunió información acerca del número de comidas que los matrimonios jóvenes hacen fuera del hogar a la semana. Una encuesta de 60 parejas reveló que la media muestral del número de comidas fuera de casa fue 2.76ª la semana., con una desviación estándar de 0.75.elabore un intervalo de confianza al 97%para la media poblacional
µ=
±z
s
√𝑛
µ = 2.76 ±2.17*
0.75
√60
µ = 2.5499≤ µ ≤ 2.970
56. Una población normal posee una media de 75 y una desviación estándar de 5. Usted selecciona una muestra de 40. Calcule la probabilidad de que la media muestral: a) Sea menor que 74. 𝑋̅ − 𝜇
𝑍 = 𝜎/
√𝑛
=
74−75 5/√40
=Z -1.26 X=-0.3962
0.5000-0.3962=0.1038 b) Se encuentre entre 74 y 76.
𝑍=
𝑋̅− 𝜇 𝜎/√𝑛
=
74−75 =Z -1.26 5/√40
X=-0.3962
𝑍=
𝑋̅− 𝜇 𝜎/√𝑛
=
76−75 5/√40
=Z 1.26
X=0.3962
0.3962+0.3962=0.7924 c) se encuentre entre 76 y 77.
𝑍=
𝑋̅− 𝜇 𝜎/√𝑛
=
76−75 =Z 1.26 5/√40
=
77−75 =Z 2.52 5/√40
X=0.3962
𝑍=
𝑋̅− 𝜇 𝜎/√𝑛
X=0.4941
0.4941-0.3962=0.0979
d) Sea mayor que 77. 0.5000-0.4941=0.0059
57. De 900 consumidores que se entrevistaron, 414 señalaron que están muy entusiasmados con un nuevo proyecto de decoración de hogar. Elabore el intervalo de confianza de 99% para la proporción de población. n = 900
x = 414
p = 414/900 = 0.46
Π = p ± z√
z = 99% = 2.575
p(1−p) n
Π = 0.46 ± 2.575√
0.46(0.54) 900
Π = 0.46 ± 0.43 0.03 ≤ π ≤ 0.89 El intervalo de confianza del 99% de la proporción poblacional está comprendido entre 0.03 y 0.89. 58. Hay 20 000 electores posibles en un distrito de una región. Se selecciona una muestra de 500 y de ellos 350 dijeron que votarían por el candidato del Partido Demócrata. Utilice el grado de confianza de 0.99 y fije los límites de confianza para la proporción que planea votar por dicho candidato. N = 20 000
n = 500
x = 350
p = 350/500 = 0.7
Π = p ± z√ Π = 0.7± 2.575√
p(1−p) n
√
0.7(0.3) 500
z = 99% = 2.575
N−n N−1
√
20 000−500 20 000−1
Π = 0.7± 0.052 0.648 ≤ π ≤ 0.752 El intervalo de confianza de 99% de la proporción poblacional que va a votar por dicho candidato varía entre 0.648 y 0.752. 59. En un estudio de 1 200 votantes en Oklahoma, 792 pudieron dar el nombre de sus dos senadores. Desarrolle un intervalo de confianza de 95% para la proporción de votantes en esa área que pudo identificar a los senadores respectivos. n = 1 200
x = 792
p = 792/1 200 = 0.66
Π = p ± z√
p(1−p)
Π = 0.66 ± 1.96√
n 0.66(0.34) 1200
z = 95% = 1.96
Π = 0.66 ± 0.027 0.633 ≤ π ≤ 0.687 El intervalo de confianza del 99% de la proporción poblacional está comprendido entre 0.633 y 0.687. 60. La Dra. Martha Fowler, profesora de administración, estudia la relación entre los horarios de trabajo y la vida familiar. En una muestra de 120 personas que laboraban solamente en un turno de noche, encontró lo siguiente: a) El tiempo medio a la semana (en horas) que pasan cuidando a sus hijos fue de 27.2 horas, con una desviación estándar de 10.3 horas. Determine un intervalo de confianza de 95% para el número medio de horas que pasan cuidando a sus hijos. n = 120
ẋ = 27.2
ð = 10.3
z = 95% = 1.96
ð
µ=ẋ±z √𝑛 µ = 27.2 ± 1.96
10.3
√120
µ = 27.2 ± 1.843 25.357 ≤ µ ≤ 29.043 El número medio de horas que pasan cuidando a sus hijos varía entre 25.357 y 29.043 horas. b) Un total de 18 indicó que sus padres también habían trabajado en un horario nocturno. Determine el intervalo de confianza de 90% para la proporción de empleados cuyos padres también laboraron en un turno de noche. n = 120
x = 18
p = 18/120 = 0.15
Π = p ± z√
z = 90% = 1.645
p(1−p) n
Π = 0.15 ± 1.645√
0.45(0.55) 120
Π = 0.15 ± 0.075 0.075 ≤ π ≤ 0.225 El intervalo de confianza del 90% de la proporción poblacional está comprendido entre 0.075 y 0.225.
61. En una encuesta para determinar la popularidad presidencial en un país, se solicitó a cada persona de una muestra aleatoria de 1 000 que dijera si estaba de acuerdo con alguna de las siguientes declaraciones: I. II. III.
El presidente está haciendo un buen trabajo. El presidente realiza un trabajo deficiente. No hay comentario
Un total de 560 personas seleccionaron la primera aseveración, lo que significa que creían que el mandatario estaba haciendo un buen trabajo. a) Elabore un intervalo de confianza de 95% para la proporción de declarantes que estiman que el presidente está efectuando una meritoria labor. n = 1 000
x = 560
p = 560/1 000 = 0.56 Π = p ± z√
z = 95% = 1.96
p(1−p) n
Π = 0.56 ± 1.96√
0.56(0.44) 1000
Π = 0.56 ± 0.031 0.529 ≤ π ≤ 0.591 El intervalo de confianza del 95% de la proporción de declarantes está comprendido entre 0.529 y 0.591. b) Con base en el intervalo de la parte (a), ¿es razonable concluir que una mayoría (más de la mitad) de la población cree que el presidente trabaja adecuadamente? La respuesta es afirmativa, inclusive el intervalo sobrepasa al 0.5 que es la cantidad mínima para confirmarlo. 62. El jefe de la policía de River City informa que en el mes pasado se aplicaron 500 sanciones por infracciones de tránsito. Una muestra de 35 de ellas mostró que el importe medio de la multa es de $54 (dólares), con una desviación estándar de $4.50. Fije un intervalo de confianza de 95% para la sanción media en tal ciudad. N = 500, n = 35, ẋ = 54, ð = 4.50,
z = 95% = 1.96
ð 𝑁−𝑛 µ=ẋ±z √ √𝑛 𝑁−1
µ = 54 ± 1.96
4.5
√35
√
500−35 500−1
µ = 54 ± 1.44 52.56 ≤ µ ≤ 55.44 La sanción media de la ciudad varía entre $52.56 y $55.44 para un nivel de confianza del 95%. 63. Un banco tiene 650 clientes con cuenta de cheques. Una muestra reciente de 50 de ellos mostró que 26 poseen la tarjeta de crédito que maneja el banco. Fije el intervalo de confianza de 99% para la proporción de clientes con cuenta de cheques que disponen de la tarjeta de crédito citada. N = 650
n = 50
x = 26
p = 26/50 = 0.52
π = p ± z√
𝑝(1−𝑝) 𝑛
π = 0.52 ± 2.575√
√
z = 99% = 2.575
𝑁−𝑛 𝑁−1
0.52(0.48) 50
√
650−50 650−1
π = 0.52 ± 0.175 0.345 ≤ π ≤ 0.605 El intervalo de confianza del 99% de la proporción de clientes está comprendido entre 0.345 y 0.605. 64. Se calcula que 60% de las familias en EE. UU. Pueden tener ahora televisión por cable. A usted le gustaría quizá verificar este enunciado para su posible estudio de medios de comunicación masivos. Si desea que su estimación esté dentro de ±5 puntos porcentuales con un nivel de confianza de 95%, ¿de qué tamaño ha de ser la muestra? p = 60% = 0.60
z = 95% = 1.96
E = 0.05
𝑧 2
n = [ ] (𝑝)(1 − 𝑝) n=[
𝐸 1.96 2
0.05
] (0.6)(0.4)
n = 368.79 Usando el grado de confianza de 95%, se requiere una muestra de 369 familias. 65. Se ha de calcular el número medio de días de viaje al año en el caso de vendedores foráneos. Se utilizará el grado de confianza de 0.90. La media de un estudio piloto pequeño fue 150 días, con una desviación estándar de 14. Si se debe calcular la media poblacional en relación con 2 días, ¿cuántos de tales vendedores deberían muestrearse? ð = 14 días
z = 90% = 1.645
E = 2 días
n=[
𝑧(ð) 2
]
𝐸 1.645(14) 2
n=[
]
2
n = 132.60 Se debe muestrar 133 vendedores foráneos para llevar a cabo lo requerido. 66. Se llevará a cabo una encuesta de muestreo para determinar el ingreso familiar medio en cierta área. La pregunta es, ¿cuántas familias deben ser muestreadas? A fin de obtener mayor información acerca del área, se realizó un pequeño estudio piloto y se calculó la desviación estándar de la muestra en $500 (dólares). El patrocinador de la encuesta desea que se use el grado de confianza de 0.95. La estimación debe estar dentro de $100. ¿Cuántas familias deben ser entrevistadas? z = 95% = 1.96
s = $500
n=[ n=[
E = $100
𝑧(𝑠) 2
]
𝐸 1.96(500) 2 100
]
n = 96.04 Usando el grado de confianza de 95%, se requiere una muestra de 97 familias para ser entrevistadas. 67. Suponga que usted planea realizar una encuesta para determinar la proporción de la fuerza laboral que tiene dos o más empleos. Utiliza el grado de confianza de 0.95 y establece que la proporción estimada debe estar dentro del 2% de la proporción de la población. Un estudio piloto reveló que de 5 de las 50 personas muestreadas tienen dos o más empleos. ¿Cuántos integrantes de tal grupo deben ser entrevistados para cumplir con las condiciones planteadas? p = 5/50 = 0.10
z = 0.95 = 1.96
E = 2% = 0.02
𝑧 2
n = [ ] (𝑝)(1 − 𝑝) n=[
𝐸 1.96 2
0.02
] (0.1)(0.9)
n = 864.36 Usando el grado de confianza de 95%, se requiere entrevistar a 865 personas de la población total. 68. Se ha de calcular la proporción de contadores públicos que han cambiado de compañía en tres años dentro de 3%. Debe utilizarse el grado de confianza de 0.95. Un estudio realizado hace varios años reveló que el porcentaje de dichos profesionales era 21.
a) Para actualizar tal estudio, ¿cuántos archivos de contadores públicos deben estudiarse? p = 21% = 0.21
z = 0.95 = 1.96
E = 0.03
𝑧 2
n = [ ] (𝑝)(1 − 𝑝) n=[
𝐸 1.96 2
0.03
] (0.21)(0.79)
n = 708.135 Usando el grado de confianza de 95%, se requiere estudiar 709 contadores públicos según los datos especificados. b) Si no existiera información previa, ¿a cuántos contadores se recurriría? p = 50% = 0.5 (cuando no hay proporción)
z = 0.95 = 1.96
E = 0.03
𝑧 2
n = [ ] (𝑝)(1 − 𝑝) n=[
𝐸 1.96 2
0.03
] (0.5)(0.5)
n = 1 067.11 Si no existiera información previa, la cantidad de contadores sería mayor, es decir, se recurriría a 1 068 contadores públicos. 69. El banco Hunington National Bank, al igual que otros grandes bancos, encuentra que el uso de cajeros automáticos (ATM, de automatic teller machine) reduce el costo de las transacciones bancarias de rutina. Tal banco instaló un ATM en las oficinas corporativas de una compañía. La maquinaria es para uso exclusivo de los 605 empleados de la empresa. Después de varios meses de operación, una muestra de 100 empleados reveló que en un mes usan el cajero automático como sigue: NÚMERO DE VECES QUE SE USA EL ATM
FRECUENCIA
0 1 2 3 4 5 TOTAL
25 30 20 10 10 5 100
a) ¿Cuál es el estimado de la proporción de empleados que no usan el cajero en un mes? 25 𝑥= = 25% 100
Usando los datos proporcionados, aproximadamente el 25% de los empleados no usan el cajero en un mes. b) Establezca un intervalo de confianza de 95% para ese cálculo. ¿Puede el banco tener la seguridad de que al menos 40% de los empleados de la empresa servida utilizará el cajero automático? N = 605 z = 95% = 1.96 E = 0.40 𝑧 2
n=[ ] n=[
𝐸 1.96 2 0.4
]
(𝑝)(1−𝑝)𝑁 𝐸 2 (𝑁+1)+𝑍 2 𝑝(1−𝑝) (0.5)(0.5)605
0.4 2 (605−1)+1.962 0.5(0.5)
n = 37.21 No se puede afirmar que el 40% de los empleados usará el cajero automático debido a que no se sobrepasa a los 37 empleados. c) ¿Cuántas transacciones al mes realiza el empleado promedio de la compañía? 𝑥=
0+1+2+3+4+5 = 2.5 = 3 6
El empleado promedio realiza 3 transacciones al mes, acorde a los datos proporcionados del mes planteado.
