Prueba de bondad de ajuste: distribuciones de Poisson Ya vimos la prueba de bondad de ajuste para poblaciones multinomiales. En general, la prueba de bondad de ajuste puede usarse con cualquier distribución de probabilidad hipotética. Miremos el uso de la prueba de bondad de ajuste para el caso en que se tiene la hipótesis de que la población tiene una distribución de Poisson. Para esta prueba de bondad de ajuste y en el uso de la distribución chi-cuadrada se sigue el mismo procedimiento general aplicado para la prueba de bondad de ajuste.
Distribución de Poisson Ejemplo, las llegadas de los clientes al Dubek’s Food Market en Tallase, Florida. Se han presentado recientemente algunos problemas de personal, los gerentes solicitan los servicios de una empresa de consultoría para que les ayude en la programación de los empleados de las cajas. Después de revisar el avance de las filas en las cajas, la empresa de consultoría sugerirá un procedimiento para la programación de los empleados de cajas. Este procedimiento se basa en un análisis matemático de las filas y sólo es aplicable si el número de llegadas de clientes durante un determinado lapso de tiempo sigue una distribución de Poisson. Por tanto, antes de poner en marcha el procedimiento de programación, habrá que recolectar datos sobre las llegadas de los clientes y realizar una prueba estadística para ver si es razonable suponer que las llegadas de los clientes siguen una distribución de Poisson.
DISTRIBUCIÓN DE POISSON. Esta distribución es una de las más importantes distribuciones de variable discreta. Sus principales aplicaciones hacen referencia al modelado de situaciones en las que nos interesa determinar el número de hechos de cierto tipo que se pueden producir en un intervalo de tiempo o de espacio, bajo presupuestos de aleatoriedad y ciertas circunstancias restrictivas. Otro de sus usos frecuentes es la consideración límite de procesos dicotómicos(es decir se refiere a la DIVISIÓN en 2 partes.) reiterados un gran número de veces si la probabilidad de obtener un éxito es muy pequeña. Variable discreta Una variable discreta es aquella que toma valores aislados, aislad os, es decir no admite valores intermedios entre dos valores específicos. Por ejemplo: El número de hermanos de 5 amigos: 2, 1, 0, 1, 3.
Variable continúa Una variable continua es aquella que puede tomar valores comprendidos entre dos números. Por ejemplo: La altura de los 5 amigos: 1.73, 1.82, 1.77, 1.69, 1.75. Las llegadas de los clientes a la tienda se definen en términos de cantidad de clientes que entran en la tienda durante intervalos de 5 minutos. Por tanto las hipótesis nulas y alternativa en este estudio son las siguientes: Ho: La cantidad de clientes que entran en la tienda durante intervalos de 5 minutos tiene una distribución de probabilidad de Poisson Ha: La cantidad de clientes que entran en la tienda durante intervalos de 5 minutos no tienen una distribución de probabilidad de Poisson Si una muestra de llegadas de clientes indica que no se puede rechazar Ho, Dubeck’s procederá a poner en marcha el proceso de programación de la empresa de consultoría. Pero, si la muestra lleva a rechazar Ho, no se podrá suponer que las llegadas siguen una distribución de Poisson y habrá que considerar otro procedimiento de programación. Para probar la suposición de que las llegadas de los clientes en las mañanas de los días entre semana siguen una distribución de Poisson, un empleado de la tienda toma una muestra aleatoria de 128 intervalos de 5 minutos, en las mañanas de tres semanas consecutivas. Durante cada uno de los intervalos de 5 minutos que forman la muestra, el empleado registra el número de llegadas de clientes. El empleado determina el número de intervalos de 5 minutos en los que no h ubo ninguna llegada, el número de intervalos de 5 minutos en los que hubo una llegada, el número de intervalos de 5 minutos en los que hubo dos llegadas, etc. Las frecuencias observadas en las 10 categorías. Numero de Llegada de clientes 0 1 2 3 4
Frecuencia observada 2 8 10 12 18
5 6 7 8 9
22 22 16 12 6 128
Se debe usar la prueba de bondad de ajuste para determinar si las muestras de los 128 lapsos favorecen la hipótesis de que las llegadas tienen una distribución de Poisson. Para usar la prueba de bondad de ajuste, se necesitan considerar, las frecuencias esperadas para cada una de las 10 categorías, lapsos de tiempo en los que llegarán cero clientes, un cliente, dos clientes, etcétera. Para esto necesita la función de probabilidad de Poisson.
μ representa
la media o número esperado de llegadas de clientes en lapsos de 5
minutos, x representa la variable aleatoria del número de llegadas de clientes en un lapso de 5 minutos f(x) es la probabilidad de x llegadas de clientes en un lapso de 5 minutos. e representa el valor de 2,7183 μ =
Sumatoria (número de clientes* Numero de Llegada de clientes/ Frecuencia observada) numero de llegada de clientes frecuencia numero de llegada de clientes*frecuencia X
observada 0
2
0
1
8
8
2
10
20
3
12
36
4
18
72
5
22
110
6
22
132
7
16
112
μ
8
12
96
9
6
54
128
640
= 640/128 = 5
Con este valor como media poblacional aplicamos la distribución de Poisson, una estimación de la función de probabilidad de Poisson es:
Entonces, la probabilidad de que lleguen cero clientes en un lapso de cinco minutos es f(0) =0.0067, la probabilidad de que llegue un cliente en un lapso de 5 minutos es f(1) = 0.0337, etc. La frecuencia esperada en cada una de las categorías se encuentra multiplicando su probabilidad por el tamaño de la muestra. Por ejemplo, el número de lapsos de tiempo con cero llegadas es (0.0067)(128) = 0.86, el número esperado de lapsos de tiempo con una llegada es (0.0337)(128) = 4.31, etcétera. FRECUENCIAS ESPERADAS EN LAS LLEGADAS DE LOS CLIENTES A DUBEK’S SUPONIENDO QUE SIGAN UNA DISTRIBUCIÓN DE POISSON CON μ = 5 Probabilidad de numero de
frecuencia
Poisson
llegada de clientes
observada
f(x)
0
2
0,006737722
0,8624284160
0,8600
1
8
0,033688609
4,312141946
4,31
2
10
0,084221522
10,78035486
10,78
3
12
0,140369204
17,96725811
17,97
4
18
0,175461505
22,45907263
22,46
5
22
0,175461505
22,45907263
22,46
6
22
0,146217921
18,71589386
18,71
7
16
0,104441372
13,36849561
13,36
128* (f (x))
8
12
0,065275857
8,355309759
8,36
9
6
0,036264365
4,641838755
4,65
0,018132183
4,08
4,0800
10 y mas
123,9200
128,0000
Antes de hacer los cálculos habituales para comparar las frecuencias observadas y esperadas, hay que observar que en la tabla hay cuatro categorías que tienen una frecuencia esperada menor que cinco. Esto viola los requerimientos para el uso de la distribución chi-cuadrada. Sin embargo, no es una dificultad, ya que se pueden combinar categorías menores que cinco para satisfacer la condición de que la frecuencia esperada sea “por lo menos cinco”. Aquí, se combinan 0 y 1 en una sola categoría y también se combinan 9 y “10 o más” en una sola categoría. De esta manera se satisface la regla de un mínimo de cinco como frecuencia esperada en cada categoría.
FRECUENCIAS OBSERVADAS Y ESPERADAS EN LAS LLEGADAS DE LOS CLIENTES A DUBEK´S, DESPUÉS DE COMBINAR CATEGORÍAS | Numero de Llegada de clientes
Frecuencia 1 2 3 4 5 6 7 8 9
mas
observada 10 10 12 18 22 22 16 12 6 128
Probabilidad Número de esperado De lapsos de 5 minutos Poisson con X llegadas, F(x) 128 f (x) (ei) 0.0403 5.17 5,1700 0,084221522 10,78035486 10,78 0,140369204 17,96725811 17,97 0,175461505 22,45907263 22,46 0,175461505 22,45907263 22,46 0,146217921 18,71589386 18,71 0,104441372 13,36849561 13,36 0,065275857 8,355309759 8,36 0,0541 8.73 8,73 128,0000
Recordemos que la prueba de bondad de ajuste se centra en las diferencias entre frecuencias observadas y esperadas, fi - ei. Por tanto, para calcular el estadístico de prueba chi-cuadrada se usarán las frecuencias observadas y esperadas en las llegadas de los clientes a dubek´s, después de combinar categorías.
CÁLCULO DEL ESTADÍSTICO DE PRUEBA CHI-CUADRADA PARA EL ESTUDIO DE DUBEK’S FOOD MARKET
Frecuencia Frecuencia
Numero de llegada de clientes
observada fi 1
Esperada ei
10
Cuadrado de Diferencia la diferencia Dividido entre la frecuencia Diferencia Al cuadrado esperada ( fi - ei)
5,17
4,8300
( fi - ei) 2 23,3289
( fi -ei)2/ei 4,5123
2 3 4 5 6 7
10 12 18 22 22 16
10,78 17,96 22,45 22,45 18,71 13,36
-0,7800 -5,9700 -4,4600 -0,4600 3,2900 2,6400
0,6084 35,6409 19,8916 0,2116 10,8241 6,9696
8
12
8,35
3,6400
13,2496
9 mas
6 128
8,77 128,0000
-2,7300
7,4529 Varianza
0,0564 1,9778 0,882 0,009 0,5785 0,5216 1,5955 0,8749
X2=11,008 X2=11,008
El valor del estadístico de prueba es X2 =11.008 Antes de buscar en la tabla de chi-cuadrada debemos encontrar los grados de libertad = k-p-1 donde k es el número de categorías y p es el número de parámetros poblacionales estimados a partir de los datos muestrales entonces k=9 y p = 1 por que solo se halló la media muestral entonces GL=9-1-1=7 GRADOS LIBETAD = 7 Suponga que en la prueba de la hipótesis nula de que la distribución de probabilidad de las llegadas de los clientes es una distribución de Poisson se usa 0.05 como nivel de significancia. Para probar esta hipótesis, se necesita determinar el valor-p correspondiente al valor del estadístico de prueba X 2 =11.008 hallando el área en la cola superior de la distribución chi-cuadrada con 7 grados de libertad.
Valor-p X2 = 11.008 corresponde a un área, en la cola superior de valor-p(0,25 y 0, 10) y un valor critico (9,037 y 12,017), Por tanto se sabe que el valor-p para 0.05 = 14.067 0.25 a 0.10<=0.05 No se cumple, por lo tanto no se rechaza Ho, entonces se acepta Como el valor-p > α=0.05, no se puede rechazar Ho. De manera que no se puede rechazar la suposición de que la distribución de probabilidad de las llegadas de los clientes, en las mañanas entre semana, siga una distribución de probabilidad de Poisson. De esta manera, los administradores de Dubek’s pueden continuar con el procedimiento de programación para las mañanas de los días entre semana.
Valor critico X2>= X2α se rechaza la hipótesis nula (9,037 y 12,017)>= 14.067 No se cumple, por lo tanto, no se rechaza Ho, entonces se acepta Ejercicio 1. Al parecer el número de accidentes automovilísticos por día en una determinada ciudad tiene una distribución de Poisson. A continuación se presentan los datos de una muestra de 80 días del año anterior. ¿Estos datos apoyan la creencia de que el número de accidentes por día tiene una distribución de Poisson? Use α = 0.05.
