Distribución Muestral De Proporciones La necesidad de encontrar la proporción, porcentaje o porciento de una situación dada en una población es tarea frecuente en estadística. La distribución muestral de proporciones es el conjunto de todas las muestras posibles del mismo tamaño extraídas de una población, junto con el conjunto de todas las proporciones muestrales. Existen ocasiones en las cuales no estamos interesados en la media de una muestra, sino que queremos investigar la proporción de personas con cierta preferencia, etc, en la muestra. La distribución muestral de proporciones es la adecuada para dar respuesta a estas situaciones.
Esta distribución se genera de igual manera que la distribución muestral de medias, a excepción de que al extraer las muestras de la población se calcula el estadístico proporción (p=x/n en donde “x” es el número de éxitos u observaciones de interés y “n” el “n” el tamaño de la muestra) en lugar de la media de cada muestra que era lo que calculamos antes.
Diagrama para explicar el concepto de distribución muestral de proporciones.
La distribución muestral de proporciones está estrechamente relacionada con la distribución binomial; una distribución binomial es una distribución del total de éxitos en las muestras, mientras que una distribución de proporciones es la distribución de un promedio de los éxitos. Como consecuencia de esta relación, las afirmaciones probabilísticas referentes a la proporción muestral pueden evaluarse usando la aproximación normal a la binomial, siempre que: np≥5 y n(1-p) ≥ 5 Una distribución binomial es, por ejemplo, si echamos una moneda al aire y observamos el lado que cae. Está claro que sólo hay dos posibilidades. Ahora bien, la probabilidad de que caiga la moneda de cualquier lado es la misma siempre que ésta no esté cargada. Como cada caso tiene igual probabilidad de ocurrir, y siendo la suma de probabilidades siempre igual a 1, entonces la probabilidad de que caiga la moneda de algún ladoes 0.5. Si realizamos el experimento n veces y queremos saber la probabilidad de que salga águila o sol x veces, entonces usamos una distribución binomial.
Generación de la Distribución Muestral de Proporciones
Suponga que se cuenta con un grupo de 12 personas, el cual tiene 4 personas con fobias. Se van a seleccionar 5 personas al azar de ese grupo sin reemplazo. Vamos a generar la distribución muestral de proporciones para el número de personas con fobias. Como se puede observar en este ejercicio la proporción de personas con fobias de esta población es P = 4/12=1/3=0.333 Por lo que podemos decir que el 33% de las personas de este grupo tienen fobias. El número posible de muestras de tamaño 5 a extraer de una población de 12 elementos es 12C5=792, las cuales se pueden desglosar de la siguiente manera:
Para calcular la media de la distribución muestral de proporciones se tendría que hacer la sumatoria de la frecuencia por el valor de laproporción muestral y dividirla entre el número total de muestras. Esto es:
Como podemos observar la media de la distribución muestral de proporciones es igual a la proporción de la población.
La desviación estándar de la distribución muestral de proporciones del ejemplo se puede calcular directamente con los datos:
Sin embargo, podemos usar la distribución binomial lo cual nos da la siguiente fórmula para la desviación estándar de la distribución muestral de proporciones:
Como vimos antes, si contamos con una población finita y un muestreo sin reemplazo, para calcular la desviación estándar usamos la corrección (Como regla aproximada, si el muestreo se hace sin reemplazo y el tamaño de la población es 20 veces el tamaño de la muestra o menor, entonces se puede usar la fórmula):
Para el ejemplo anterior tendríamos la siguiente distribución de probabilidades:
Usando la fórmula tendríamos entonces:
Lo cual es igual al valor de la desviación estándar obtenido antes. La fórmula que se utilizará para el cálculo de probabilidad en una distribución muestral de proporciones está basada en la aproximación de la distribución binomial a la normal. Esta fórmula nos servirá para calcular la probabilidad del comportamiento de la proporción en la muestra.
Esta fórmula se puede comparar a las anteriores si pensamos en que estamos calculando una diferencia entre la proporción de la muestra y la de la población en unidades de desviación estándar, como era el caso de la distribución de medias:
A la fórmula anterior se le puede agregar el factor de corrección (en el denominador):
Sí se cumplen con las condiciones mencionadas anteriormente de que seauna población finita (N/n < 20) y sin reemplazo.
INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOOR DE RIOVERDE
Estadística Inferencial
Ing. Martha Elia Sánchez Núñez
“Distribución Muestral De Proporciones”
Alumno: Benjamín Calistro Paita
Rioverde, SLP. Septiembre 2014
