DOS MUESTRAS: PRUEBA SOBRE DOS PROPORCIONES
Cuando se desea probar la hipótesis de que las proporciones en dos poblaciones no son diferentes, las dos proporciones muéstrales se emplean para determinar el error estándar de la diferencia entre proporciones. La estimación conjunta de la proporción poblacional, basada en las proporciones obtenidas en dos muestras independientes, es:
El error estándar de la diferencia entre proporciones que se usa para probar la suposición de no diferencia es:
La hipótesis nula por probar es normalmente de la forma,
×
Contra una hipótesis alternativa de uno o dos extremos. La fórmula para obtener el estadístico
para probar la hipótesis nula de que no hay
diferencia entre dos proporciones poblacionales es:
Para que la diferencia de las proporciones
muéstrales tenga una distribución
aproximadamente normal, los tamaños de las muestras deben ser grandes y las proporciones no deben estar muy cerca de
EJEMPLO: Una
muestra de
50
familias de una comunidad muestra que
10
de ellas están viendo un programa
especial de televisión sobre la economía nacional. En una segunda comunidad
15
familias de una
muestra aleatoria de 50 están viendo el programa especial de televisión, a continuación se prueba la hipótesis de que la proporción general de televidentes en las dos comunidades no difiere, usando el nivel de significancia de
1%:
0 -2.57
2.57 -1.15
El valor calculado para , está en la región reg ión de aceptación de la hipótesis nula. Por lo tanto no se puede rechazar rechaza r la hipótesis hipótesis de que no hay hay diferencia en la proporción de televidentes en las dos comunidades.
EJERCICIO:
En un sondeo de opinión en el ITESCAM, 60 de 200 estudiantes del sexo masculino han expresado su disgusto sobre la forma de dirigir el directivo de la institución, de la misma forma han opinado 75 de 300 alumnos del sexo femenino. Se quiere saber si existe una diferencia real de opinión entre los alumnos y las alumnas del ITESCAM. Para realizar el contraste de hipótesis de las proporciones utilice un nivel de significancia de 5%.
0
-1.96
1.96 1.23
Se acepta la hipótesis hipótesis nula con un nivel de significancia significancia de .95%. Esto se puede puede observar en la gráfica en donde
que cae dentro del área de aceptación, que
por lo tanto, se puede puede concluir que no exista exista diferencias significativas reales reales entre las dos opiniones emitidas por los alumnos y alumnas lo que indica que los dos opiniones están en concordancia de que los directivos están dirigiendo mal a la institución.
DOS MUESTRAS: PRUEBAS APAREADAS
En muchas muchas situaciones las muestras se extraen como pares de valores valores tal como se determina el nivel de productividad de los trabajadores, antes y después de un programa de capacitación. A esta clase de datos e les denomina observaciones apareadas o pares asociados. También a diferencia de las muestras independientes, a dos muestras que contienen observaciones apareadas se les denomina muestras dependientes. El método apropiado para probar la diferencia entre las medias de dos muestras, es decir, para observaciones apareadas, consiste primero en determinar la diferencia entre cada par de valores, y después probar la hipótesis nula de que la diferencia poblacional promedio es 0. Por ello desde el punto de vista de los cálculos, se aplica una aprueba a una muestra de valores . La diferencia promedio para el conjunto de observaciones apareadas es:
La fórmula de desviaciones y la formula abreviada para la distribución estándar y las diferencias entre observaciones apareadas son, respectivamente:
El erro estándar del promedio de las diferencias entre observaciones apareadas:
Como el error estándar del promedio de las diferencias se calcula con base en las diferencias observadas en las muestras apareadas (es decir se desconoce el valor poblacional ) y como por lo general se supone que los valores tienen una distribución normal, la distribución resulta apropiada para probar la hipótesis nula de que
El estadístico de prueba que se utiliza para probar la hipótesis de que no existe diferencia entre las medias de un conjunto de observaciones apareadas es:
EJEMPLO:
Un
fabricante de automóviles obtiene datos de rendimiento de gasolina para un amuestra de automóviles automóviles es diversas categorías de peso utilizando gasolina común, con y sin un determinado aditivo. Por supuesto se afinan las máquinas de acuerdo con las mismas especificaciones antes de realizar cada prueba y se utilizan los mismos conductores para las dos condiciones (de hecho el conductor no sabe qué tipo de gasolina se utiliza en las pruebas). Con los datos de rendimiento de la tabla, se prueba la hipótesis de que no existe diferencia entre el kilometraje promedio que se obtiene con y sin el aditivo, utilizando un nivel se significancia del 5%. Automóvil
K ilometraje ilometraje c on on
aditivo 9.41 9.18 8.18 7.51 7.28 6.59 6.21 5.79 5.62 5.21
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
9.28 9.15 8.28 7.59 7.21 6.62 6.13 5.64 5.51 5.13
0.13 0.03 -0.10 -0.08 0.07 -0.03 0.08 0.15 0.11 0.08
0.0169 0.0009 0.01 0.0064 0.0049 0.0009 0.0064 0.0225 0.0121 0.0064
70.54
0.44
0.0874 0.0874
sin aditivo
70.98
T OT AL
K ilometraje ilometraje
-2.262
0
2.262 1.60
El valor calculado de de +1.60 se encuentra en la región de aceptación de la hipótesis nula. nula. Por ello se acepta la hipótesis hipótesis nula de que no existe existe diferencia en el rendimiento rendimiento que se obtiene por litro de gasolina gasolina con y sin aditivo.
EJERCICIO:
Para comparar las calidades ante el desgaste de los tipos de neumáticos para automóviles, un neumático tipo se asignan al azar y se montan en los rines posteriores de cada uno de cinco automóviles. Después de los automóviles recorren un número específico de millas y se registra el desgaste de cada neumático. neumático. Con un nivel se significancia del 5%.
DESGASTE PROMEDIO PARA DOS TIPOS DE NEUMATICOS
Automóvil
N eumáti c o A eumáti c
N eumáti c o B eumáti c
1
10.61
10.60
2
9.82
3
.01
0.0001
9.84
-.02
0.0004
12.33
11.30
.03
0.0009
4
9.71
9.65
.06
0.0036
5
8.82
8.73
.09
0.0081
51.29
50.12
.17
0.0131
-2.776
0
2.776
1.77 Para comparar las calidades ante el desgaste de los tipos de neumáticos para automóviles, un neumático tipo se asignan al azar y se montan en los rines posteriores de cada uno de cinco automóviles. Después de los automóviles recorren un número específico de millas y se registra el desgaste de cada neumático. neumático. Con un nivel se significancia del 5%.
El valor calculado de de +1.77 se encuentra en la región de aceptación de la hipótesis nula. Por ello se acepta la hipótesis nula con un nivel de significancia del 5%de que no existe existe diferencia en los tipos de neumáticos escogidos escogidos al azar.
