PENGETAHUAN DASAR Bab 1MATEMATIKA 1.1 PENDAHULUAN
Banyak model dan permasalahan ilmu ekonomi yang dinyatakan dengan bahasa matematika dan dianalisis dengan tekni matematika. Perhitungan aljabar akan menjadi bagian dari keseluruhan alat analisis kuantitatif dengan matematika. Mengingat matematika merupakan ilmu yang lebih mudah dipelajari dengan menggunakan contoh, maka dalam buku ini terdapat contoh-contoh yang harus dikerjakan untuk memastikan bahwa ketrampilan penggunaan alat aalisis dengan matematika sudah terkuasai.
1.2 BILANGAN RIIL
Terdapat 4 garis A dengan skala sebagai berikut : a.
Nilai a merupakan bilangan bilangan riil yang ditentukan dengan skala skala yang dibuat b.
Karena a berada di sebelah kiri b, maka dapat dinyatakan sebagai a < b. Jika nilai yang sebenarnya tidak hanya satu titik, maka bisa dinyatakan sebagai a < b jika a < b atau a = b c.
0,1, 2, a, b, ... disebut sebagai bilangan natural d.
Bila a dinyatakan negatif, maka a < 0 (bukan a > 0 atau a > 0). Jadi Jadi nilai - s/d disebut sebagai poros bilangan riil. (Nilai -2, -1, 0, ... disebut nilai bilangan integer (bilangan bulat)
1
Untuk lebih jelasnya, dibawah ini adalah diagram bilangan riil : BILANGAN RIIL
RASIONAL
IRASIONAL
ALJABAR
TRANSENDENTAL
Gambar 1. Diagram Bilangan Riil
1.2.1
Operasi Bilangan Penjumlahan dan Pengurangan
Untuk memudahkan pemahaman, dirumuskan aturan sebagai berikut : 1.
a + ( -b ) = a – b
2.
a + ( +b ) = a + b
3.
a - ( +b ) = a – b
4. a - ( -b ) = a + b Dengan demikian bilangan bisa berubah tanda karena ada tanda di depannya seperti tanda positif atau negatif di depan bilangan x sebagai berikut : 1. + (+x) = x 2. + (-x) = -x 3. - (+x) = -x 4. - (-x) = x
1.2.2
Operasi Bilangan Perkalian dan Pembagian
Abstraksi perkalian : 1. a x ( -b ) = - ( a x b ) = - ab 2. ( -a ) x b = - ( a x b ) = - ab
2
3. ( -a ) x ( -b ) = a x b = ab Abstraksi pembagian :
1.2.3
Hasil Akhir Urut-urutan Perhitungan
Urutan prioritas perhitungan : 1. Perhitungan dalam kurung ( ... ), kemudian { ... }, kemudian [ ... ] 2. Pangkat atau akar 3. Perkalian dan pembagian (terdepan (terdepan didahulukan) 4. Penjumlahan dan pengurangan (terdepan didahulukan)
1.3 BILANGAN PECAHAN
Bilangan pecahan adalah suatu jumlah nilai utuh yang dibagi menjadi beberapa bagian. Bila a adalah bilangan utuh dan b adalah pembagi maka dapat dirumuskan menjadi
. Nilai
b tidak boleh nol ( b 0 ). a disebut sebagai pembilang ( numerator ) dan b disebut penyebut (denumerator ). ). Contoh :
Operasi perkalian :
Untuk pembagian, berlaku :
1.4 BILANGAN DESIMAL
Karena bilangan pecahan tidak semua bisa ditampilkan dengan baik dalam bentuk desimal, maka perlu ada kesepakatan penulisan dengan format desimal digit berapa.
3
Misal satu digit seperti 0,2, 0,5, 0,4, dan seterusnya . Dua digit seperti 0,45, 0,32, 0,86, dan seterusnya. Hasil dari pembatasan penulisa tersebut kadang kala membuat nilai bilangan pecahan berbeda dengan yang semestinya. Misal
, kemudian format dua digit menjadi 0,33,
padahal bisa menjadi 0,3333 ... dan seterusnya.
1.5 PANGKAT DAN EKSPONEN
Bila diketahui x sebagai variabel angka dan n sebagai bilangan integer positif, maka hasil kali x sebanyak n kali disebut sebagai operasi pangkat atau eksponen ( Power and Indices). Contoh : a 5 = a x a x a x a x a
Aturan untuk pangkat dan eksponen : n
m
n+m
1. a x a = a n
m
n–m
2. a : a = a 3. 4. 5. 6. 7.
√
1.6 PENYEDERHANAAN PENULISAN BILANGAN SECARA ALJABAR 3
Suatu penulisan bilangan dibuat terminologi sebagai 7x , dimana x disebut sebagai 3
variabel dan 7 sebagai koefisien dari x .
1.6.1
Perkalian dan Pembagian Variabel dalam Kurung
Bentuk umum perkalian : 1.
a ( b + c ) = ab + ac
2.
( a + b ) ( c + d ) = ac + ad + bc + bd
4
1.6.2
Faktorisasi
Tujuan dari faktorisasi adalah untuk membuat persamaan yang sudah ada dikembalikan menjadi persamaan perkalian dalam kurung yang berdekatan dengan variabel tertentu. Ada dua teknik penyelesaian, yaitu : 1. Teknik penyelesaian sederhana Contoh : ax + ac = a ( x + c ) 2. Teknik penyelesaian dua variabel bilangan dalam kurung 2
2
Contoh : a – b = ( a + b ) ( a – b )
1.7 PERSAMAAN ALJABAR
Persamaan aljabar adalah suatu persamaan yang berisi satu atau lebih nilai bilangan yang tak dikenal. Secara umum nilai bilangan yang tidak dikenal diwakili oleh huruf-huruf x, y dan z. Contoh : x + 2 = 5 Terdapat beberapa macam persamaan aljabar : 1. Persamaan Pembagian Contoh :
=>
x = 12 . 4 x = 48
2. Persamaan Akar Contoh :
√
=>
2
x=5
x = 25
3. Persamaan Logaritma / Pangkat a. Pengubahan logaritma menjadi persamaan pangkat 2
Contoh : log (x) = 2
=>
2
x=2
5
x=4 b. Pengubahan pangkat menjadi persamaan logaritma Contoh :
=>
2
x = log8 => x = 3
PERSAMAAN Bab 2LINIER 2.1 PENDAHULUAN
Bentuk umum persamaan linier : 1. Hubungan antara dua variabel y = ax + b
atau ditulis sebagai : f(x) = ax + b
dimana : y = variabel dependen x = variabel independen a = koefisien x b = konstanta 2. Hubungan antara tiga variabel z = ax + by + c atau z(x, y) = ax + by + c
dimana : z = variabel dependen x = variabel independen a = koefisien x b = koefisien y c = konstanta
Macam persamaan ditinjau dari perbedaan hubungan yang dilihat dari tanda :
6
1. Hubungan dengan tanda di depan koefisien x positif Contoh : y = 3x + 5
x
0 5
1 8
2 11
3 14
4 17
5 20
6 23
7 26
8 29
9 32
10 35
7 -10
8 -12
9 -14
10 -16
Gambar 1. Hubungan Positif
2. Hubungan dengan tanda di depan koefisien x negatif Contoh : y = -2x + 5 x y
0 4
1 2
2 0
3 -2
4 -4
5 -6
6 -8
Gambar 2. Hubungan Hubungan Negatif
3. Hubungan z dengan x positif dan hubungan z dengan y negatif Contoh : z = 2x – 3y
7
x y z
0 1 -3
1 2 -4
2 3 -5
3 4 -6
4 5 -7
5 6 -8
6 7 -9
7 8 -10
8 9 -11
9 10 -12
10 11 -13
Gambar 3. Hubungan Tiga Dimensi
2.2 GRAFIK LINIER MODEL EKONOMI DAN KEUANGAN
Hubungan antar variabel ekonomi, supaya lebih mudah dipahami, dibuat sederhana, yakni menjadi bentuk hubungan linier yang kemudian digambar sebagai grafik atau kurva. Bentuk hubungan linier kasus ekonomi mikro : 1. Kurva Biaya Linier adalah Kurva yang menunjukkan hubungan antara output (barang/jasa yang diproduksi) dengan biaya Rumus
:
Dimana
:
TC = FC + VC
TC = Total Cost Cost (Biaya Total) FC = Fixed Cost (Biaya (Biaya Tetap = konstanta) VC = Variable Cost (Biaya (Biaya Variabel = fungsi Q ; ditulis ditulis VC = f(Q) ) Sehingga persamaan liniernya menjadi : TC = aQ = b
2. Kurva Revenue Linier adalah Kurva yang menunjukkan hubungan antara Revenue (R) dengan Output (Q)
8
Rumus
:
R= Harga x Q
Karena harga pada persaingan sempurna bersifat konstan (harga/unit Q = a), maka R = f(Q)
menjadi R = aQ
3. Kurva Total Produksi Linier adalah Kurva yang menunjukkan hubungan satu input dengan output Rumus :
Q = f(L)
Dimana : Q = output L = input kerja
4. Kurva Permintaan Linier Adalah Kurva yang menunjukkan hubungan hubungan antara harga (P) dengan dengan jumlah barang yang diminta (Q) Rumus : Persamaan Linier :
Q = f(P)
Q = aP + b (nilai a < 0)
5. Kurva Penawaran Linier Adalah Kurva yang menunjukkan hubungan antara harga (P) dengan jumlah barang yang ditawarkan (Q) Rumus : Persamaan Linier :
Q = f(P)
Q = aP + b (nilai a > 0)
6. Kurva Anggaran Belanja
9
Adalah Persamaan linier garis anggaran belanja (B) untuk konsumsi dua macam barang X dan Y Rumus :
B = PxX + PyY
Bentuk hubungan linier kasus ekonomi makro : 1. Kurva Konsumsi Tanpa Pajak Linier Adalah kurva yang menunjukkan hubungan antara konsumsi ( C ) dengan pendapatan ( Y) Rumus : Persamaan Linier :
C = f(Y)
C = a + bY
Dimana : a = konstanta b = Marginal Propensity to Consume (MPC). Nilai b adalah 0 < b < 1
2. Kurva Pajak Linier Adalah kurva yang menunjukkan menunjukk an hubungan antara pajak ( P ) dengan pendapatan Rumus : Persamaan Linier :
(Y)
T = f(Y)
T= tY
( nilai t : 0 < t < 1)
3. Kurva Konsumsi Karena Ada Pajak Linier Adalah kurva yang menunjukkan hubungan antara konsumsi ( C ) dengan pendapatan disposable Rumus :
C = f( Yd ) Yd = Y – T
Karena T = tY, maka Persamaan Linier : C = a + bY – bt(Y)
Bentuk hubungan linier kasus ekonomi keuangan : 1. Hubungan antara jumlah uang beredar (M) dengan uang inti (H) Rumus :
M = f(H)
10
Persamaan Linier :
M = mH
2. Hubungan antara tingkat bunga (r) dengan investasi (I) Rumus :
I = f(r)
Persamaan Linier :
I = a - br
3. Hubungan antara pendapatan (Y) dengan permintaan uang (Md) Rumus :
Md = f(Y)
Persamaan Linier :
Md = kY
4. Perhitungan nilai yang akan datang dengan bunga sederhana Persamaan linier :
FV = PV ( 1 + in )
Dimana : FV = future value PV = present value i = tingkat bunga per periode n = periode perhitungan
2.2.1
Grafik Biaya Produksi Contoh persamaan aljabar : TC = 10 + 2Q
Jika : FC = 10 Q = 0 sampai 5, dan VC = 2Q, maka TC dapat dihitung : Q
FC
VC
TC
0 1 2 3
10 10 10 10
0 2 4 6
10 12 14 16
Q
FC
VC
TC
4 5
10 10
8 10
18 20
11
TC / VC / FC TC = 2Q + 10
FC = 10 VC = 2Q Q
2.2.2
Grafik Total Revenue
Contoh linier : TR = 5Q Gambar persamaan 4. Kurva Biaya Produksi Jika Q = 0 sampai 5, maka maka TR dapat dihitung dihitung : Q 0 1 2 3 4 5
Harga (Q) 5 5 5 5 5 5
TR 0 5 10 15 20 25
TR TR = 5Q
Q Gambar 5. Kurva Total Revenue
12
2.2.3
Grafik Kurva Permintaan
Sesuai ketentuan, sumbu vertikal adalah Q ( satuan unit) dan sumbu vertikal adalah P (harga per unit dalam satuan moneter). Contoh persamaannya adalah Q = 10 – 2P . Jika nilai P dari 0 sampai 5, maka : P
Q
0
10
1
8
2
6
3
4
4
2
5
0
Q
P
Q = 10 – 2P
Q
Gambar 6. Kurva Permintaan
2.2.4
Grafik Kurva Penawaran
Contoh persamaan linier fungsi penawaran Q = 4P – 2. Bila diketahui besarnya harga (P) diantara nilai 0 sampai 5, maka dapat disusun tabel berikut : P
Q
0
-2
1
2
2
6
13
3
10
4
12
5
18 p
Q
Gambar 7. Kurva Penawaran
2.2.5
Grafik Anggaran Belanja (Budget Line )
Garis anggaran dibuat untuk analisa optimalisasi konsumsi terbatas pada dua komoditas yang disebut sebagai konstrain atau kendala atau batasan. Persamaan liniernya muncul dengan pernyataan sebagai berikut : Konsumen memiliki anggaran sebesar 60 yang digunakan untuk belanja barang X dan Y yang masing-masing harganya Px = 3 dan Py = 2. Pernyataan tersebut dirumuskan dalam hubungan linier : 60 = 3X + 2Y . Persamaan ini bukan berupa fungsi. Untuk menggambar dalam grafik maka maka persamaan persamaan tersebut diubah dalam bentuk bentuk fungsi, misal misal Y = f(X) atau X = f(Y). Sebelum digambar, persamaan diubah menjadi Y = f(X), sehingga menjadi – 1,5X. Untuk itu dibuat tabel perhitungan dengan nilai X antara 0 sampai 20 : X
Y
0
30
4
24
8
18
12
12
16
6
0
0
14
Y = 30
Y
Y = 30 – 1,5 X X
Gambar 8. Garis Anggaran Anggaran Y = 30 – 1,5 X
2.2.6
Grafik Konsumsi
Hubungan linier konsumsi dengan pendapatan adalah hubungan linier. Contoh persamaan yang paling sederhana adalah C = 12 + 0,8 Y. Bila dimisalkan Y bernilai antara 0 sampai 100, maka dapat disusun tabel konsumsi sebagai berikut : Y 0 20 40 60 80 100
C 12 28 44 60 76 92 C
C = 12 + 0,8 Y Y = C (garis keseimbangan)
X Gambar 9. Fungsi Konsumsi C = 12 + 0,8 Y
15
2.2.7
Grafik Pajak
Hubungan linier pajak dengan pendapatan adalah hubungan linier yang paling sederhana. Contoh Contoh persamaannya persamaannya adalah T = 0,1 Y . Bila dimisalkan Y sebesar 0 sampai 100, maka hasilnya dapat disusun dalam tabel pajak berikut : Y 0 20 40 60 80 100
T 0 2 4 6 8 10 Pajak
Pendapatan Gambar 10. Kurva Kurva Pajak Pajak
2.2.8
Grafik Konsumsi Setelah Ada Pajak
Hubungan linier konsumsi dengan pendapatan disposible (Yd) adalah hubungan linier antara konsumsi dengan pendapatan yang sudah disesuaikan dengan adanya pajak. Contoh persamaannya adalah C = 12 + 0,8 Y d dan T = 0,1 Y, sehingga disesuaikan menjadi C = 12 + 0,72 Y. Bila dimisalkan Y sebesar 0 sampai 100, sehingga dapat disusun tabel konsumsi sebelum dan sesudah pajak sebagai berikut : Y 0 20 40 60 80
C sebelum pajak 12 28 44 60 76
Pajak 0 2 4 6 8
C setelah pajak 12 26,4 40,8 55,2 69,6
16
Konsumsi dan Pajak Konsumsi sebelum Pajak Keseimbangan
Konsumsi setelah Pajak
Pajak Pendapatan Gambar 11. Kurva Konsumsi Konsumsi Setelah Setelah Pajak
2.2.9
Gambar Tanda Koefisien Positif dan Negatif
Tanda koefisien perlu diperhatikan , karena bila koefisien positif, maka arah garis selalu dari kiri bawah naik ke kanan atas. Sedangkan bila koefisien negatif, maka arah garis dari kiri atas ke kanan bawah. Gambar 12 menggambarkan koefisien negtif dari -1000 sampai -0,001. Bila koefisien mendekat 0 maka garis cenderung tampak sejajar dengan sumbu horizontal dan bila koefisien membesar membesar secara negatif negatif maka garis garis cenderung seajajar dengan sumbu vertikal vertikal (Gambar 13). Y Y = 3 X - 1000
Y = 0,5 X + 250 Y = 0,001 X + 500 X
Gambar 12. Koefisien Koefisien Positif
17
Y
Y = 2000 – 3X
Y = 1000 - X Y = 750 – 0,5 X X
Gambar 13. Koefisien Negatif
2.3 SISTEM DUA PERSAMAAN
Dua persamaan digunakan untuk menyelesaikan masalah seperti ingin mengetahui harga dan kuantitas keseimbangan di pasar. Padahal keseimbangan di pasar akan terjadi bila permintaan berinteraksi dengan penawaran sampai pada posisi permintaan sama dengan penawaran. Misalnya, diketahui dua persamaan linier sebagai y = 5x + 6 dan y = 20 – 2x. Untuk mengetahui berapa x dan y keseimbangan (koordinasi titik potong) digunakan sistem dua persamaan
2.3.1
Solusi Keseimbangan Pasar
Salah satu bidang teori ekonomi adalah ekonomi mikro. Di dalamnya terdapat analisa pasar. Dalam analisa pasar terdapat perhitungan harga dan kuantitas keseimbangan. Salah satu kasus yang terjadi adalah, fungsi linier permintaan Qd = -4P + 240 dan fungsi linier penawaran Qx = 5P - 30. Untuk mengetahui berapa harga dan kuantitas keseimbangan digunakan digunakan solusi keseimbangan pasar dimana bentuk hubungan tersebut tersebut bila diaggap linier maka secara matematis dapat dirumuskan sebagai berikut : Q = aP + b Dimana :
18
Q = output dalam satuan unit ( R+ ) P = harga dalam satuan moneter ( R+ ) a = koefisien P ( R ) b = konstanta ( R ) R+ = bilangan riil positif R = bilangan riil Bila Q = aP + b sebagai hubungan linier fungsi permintaan maka a merupakan bilangan riil negatif ( R- ).
Bila Q = aP + b sebagai hubungan linier fungsi penawaran maka a
merupakan bilangan riil positif ( R+ ). Hal ini berlaku untuk kasus barang normal.
2.3.2
Solusi Keseimbangan Pasar Karena Ada Pajak
Contoh kasus 2.3.1 bila dikembangkan menjadi permasalahan 2.3.2, yakni keseimbangan pasar karena adaya pajak. Pajak adalah beban yag ditanggung oleh masyarakat karena pemerintah ingin mendapat perolehan dari transaksi jual beli di pasar. Contohnya adalah pajak penjualan. Pengaruh yang terjadi terhadap pasar adalah berubahnya fungsi penawaran. Contohnya fungsi permintaan Qd = -P + 125 dan fungs penawaran Qs =
P – 10.
Pemerintah menetapkan menetapkan pajak penjualan sebesar 30/unit. Berapa besar keseimbangan keseimbangan pasar sebelum dan sesudah adanya pajak?
2.3.3
Solusi Keseimbangan Pasar Dua Komoditas
Keseimbangan pasar dua komoditas merupaka pengembangan analisa keseimbangan suatu komoditas. Analisa akan diselesaikan dengan persoalan yang terjadi bila pasar yang dihadapi perusahaan akan memproduksi dua macam barang, yakni Q 1 dan Q2. Harganya juga menjadi P1 dan P2. Contoh kasus : Permintaan dan penawaran dua komoditas : Qd1 = 145 – 2P1 + P2 Qs1 = -45 + P1
19
Qd2 = 30 + P1 - 2P2 Qs2 = -40 + 5P2 Berapa keseimbangan kuantitas dan harga dua macam barang tersebut ?
2.3.4
Solusi Keseimbangan GDP
GDP atau Gross National Product adalah analisa di bidang ekonomi makro yang dipopulerkan dipopulerkan oleh JM. Keynes. Pembahasan model persamaan bisa dibuat menjadi beberapa kelompok : 1. Perekonomian Perekonomian Sederhana Model Persamaan :
Y=C+I C=a+bY I = I0
2. Perekonomian Perekonomian Tertutup Model Persamaan :
Y=C+I+G C = a + b Yd T=tY I = I0 G = G0
Contoh Kurva Perekonomian Tertutup : C, I, G
I C G
Y
2.3.1
Gambar 14. Perekonomian Perekonomian Tertutup
Solusi BEP
20
BEP atau Break Event Point adalah analisa ekonomi yang menggambarkan kegiatan usaha pada posisi biaya produksi sama besar dengan revenue revenue ( C = R ). Contoh kasus : Untuk mendirikan perusahaan diperlukan biaya tetap sebesar Rp 200.000,00. Bila kegiatan usaha dilakukan untuk memproduksi Q sampai kapasitas penuh 1000 unit maka diperlukan biaya variabel sebesar Rp 250,00/unit. Harga output per unit sebesar Rp 750,00. Hitung berapa besarnya BEP ?
2.4 SISTEM TIGA PERSAMAAN
Persamaan yang terrdiri dari tiga variabel akan mencari 3 nilai bilangan yang tidak dikenal, dengan syarat tersedia 3 persamaan. Contoh permasalahanya permasalahanya : Sebuah toko menjual 3 jenis merk barang, A, B dan C dengan harga yang berbeda, yaitu P A, PB, PC. Selama 3 bula dikumpulkan data tentang jumlah dan hasil penjualan : BULAN
A
B
C
Hasil Penjualan (Rp)
Januari
25
62
54
2.765.000
Februari
28
42
58
2.695.000
Maret
45
53
56
3.124.000
Berapa harga rata-rata dari ketiga merk barang tersebut?
21
TUGAS MAHASISWA 1.
Suatu barang jika dijual seharga Rp 5000 perbuah akan terjual sebanyak 3000 buah. Akan tetapi jika dijual dengan harga lebih murah yaitu Rp 4000 per buah, maka jumlah permintaan meningkat menjadi 6000 buah. Bagaimanakah fungsi permintaannya? Gambarkan fungsi permintaan tersebut pada grafik cartesius
2. Penawaran suatu barang sebanyak 500 buah pada saat harga Rp 4000. Apabila setiap kenaikan harga sebesar Rp 1.250 akan menyebabkan jumlah penawaran mengalami peningkatan sebesar 250. Bagaimana fungsi penawarannya dan gambarkan fungsi fungsi penawaran tersebut pada grafik cartesius? 3. Diketahui persamaan harga permintaan dan penawaran : P + 2Qd = 144 dan 4P – 3Qs = 136 Carilah a. Harga (P) dan (Q) keseimbangan b. Gambarkan grafik dua persamaan tersebut c. Bila pemerintah menentukan pajak Rp 5,0 per unit, berapa P dan Q setelah ada pajak?
4. Permintaan dan penawaran komoditas celana panjang : QdC = 410 - 5P C - 2PJ dan QSC = -60 + 3P C Permintaan dan penawaran komoditas jaket : QdJ = 295 – PC – 3PJ dan QSJ = -120 + 2P J Tentukan harga keseimbangan P C, PJ dan kuantitas keseimbangan Q C dan QJ
5. Sebuah toko menjual 3 jenis merk barang, A, B dan C dengan harga yang berbeda P A, P B, dan P C. Selama 3 bulan data dikumpulkan dan hasilnya tampak sebagai berikut : Bulan
A
B
C
Hasil Penjualan
1
25
52
55
2765000
2
30
40
62
2695000
3
26
35
54
3124000
Berapa harga rata-rata ketiga merk tersebut
22
PERSAMAAN Bab 3KUADRAT 3.1 PENDAHULUAN
Bentuk umum fungsi : 1. Fungsi satu variabel : Rumus
:
Contoh
:
y = f(x)
Fungsi satu linier (fungsi linier) : y = ax + b 2. Fungsi dua variabel : y = f(x1 , , x2 ) Rumus
:
Contoh
:
y = (x1 , , x2 )
Fungsi kuadrat : y = ax2 + bx + c 3. Fungsi satu linier (fungsi linier) : y = ax + b
4. Fungsi k variabel
: y = f(x1 , , x2, ...,, xk )
Bentuk umum persamaan kuadrat : y = ax2 + bx + c
atau ditulis sebagai : f(x) = ax2 + bx + c
dimana : a, b, dan c bilangan konstan ddan a 0
3.2 GRAFIK PERSAMAAN KUADRAT
Apabila nilai a > 0, bentuk gambarnya menjadi seperti huruf U. Sementara bila maka gambar garis menjadi
23
a < 0,
Contoh :
Diketahui f(x) = x2 – 5x – 6. Gambarkan fungsinya Penyelesaian : x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
y 18 8 0 -6 -10 -12 -12 -10 -6 0 8 18
y
x
3.2 SOLUSI DUA PERSAMAAN VERSUS PERSAMAAN KUADRAT
Bentuk umum persamaan kuadrat masih merupakan persamaan tunggal sebagai y = f(x). Tidak berbeda dengan persamaan linier, bila hanya satu persamaan maka belum ada titik potong dengan kurva lainnya. Untuk keperluan analisis maka nilai y dimisalkan sebagai nilai tertentu sehingga akan terdapat perpotongan dengan persamaan kuadrat tersebut.
Contoh :
Diketahui y = x2 + x + 30 dan y = 3x + 15. Cari titik potong dua persamaan tersebut?
Aturan dalam Persamaan Kuadrat : 1.
Akar-akar x1 dan x 2 dengan rumus abc : x1,2
b b 2 4 ac 2a
atau x1, 2
b
D
2a
dimana D (diskriminan) = b2 – 4ac 2. Jika D > 0, maka Persamaan Kuadrat Kuadrat mempunyai dua akar real real berlainan ( x1 x 2 ) 3. Jika D = 0, maka Persamaan Kuadrat mempunyai dua akar real kembar ( x1 = x 2 )
24
4. Jika D < 0, maka Persamaan Kuadrat tidak mempunyai akar real
Contoh :
Carilah akar persamaan dari 3x 2 - 9x + 5 = 0 dan gambarkan grafiknya
3.3 PENERAPAN DI BIDANG EKONOMI
Beberapa persoalan ekonomi yang terjadi : 1. Break Event Point (BEP) 2. Keuntungan maksimum dan kerugian minimum 3. Keseimbangan pasar
Contoh :
1.
Diketahui R = 24Q – 2Q2 dan C = 18 + 4Q. Hitung BEP dan keuntungan maksimum
2.
Diketahui fungsi permintaan dan penawaran : P1 = Q2 + 12Q + 32 dan P2 = -Q2 - 4Q + 200. Hitung berapa besar keseimbangan P dan Q dan gambarkan gambarkan fungsinya
Bab 4 25
HUBUNGAN ANTAR VARIABEL 4.1 PENDAHULUAN
Bentuk umum fungsi : 1. Fungsi satu variabel Rumus
:
Contoh
:
y = f(x)
Fungsi satu linier (fungsi linier) : y = ax + b 2. Fungsi dua variabel Rumus
:
Contoh
:
y = (x1 , , x2 )
Fungsi kuadrat : y = ax2 + bx + c 3. Fungsi k variabel Rumus
:
y = f(x1 , , x2, ...,, xk )
Contoh
:
y = ax4
4.2 FUNGSI SATU VARIABEL
Pada hubungan fungsi linier akan terjadi hubungan one to one. Pada fungsi kuadratik akan terjadi hubungan many to one dan akhirnya bentuk fungsi tersebut dirumuskan fungsi polinomial secara umum sebagai :
4.2.1 GRAFIK FUNGSI SATU VARIABEL
Hubungan satu variabel terdiri dari beberapa macam : 1. Monomial
26
4
Y
X
100X 3
X
X
2. Polynomial Y
100X + 1000
3
2
X +X +13X-100 X
4
3
2
X -10X +2X +X
27
3. Pangkat Pecahan Y
X
4. Pangkat Negatif Y
X
28
5. Pangkat Pecahan Y
X
4.2.2 LIMIT
Untuk mengetahui bagaimana suatu fungsi cenderung pada suatu nilai tertentu maka diperlukan alat hitung. Misalnya, ingin mengetahui bagaimana rata-rata biaya produksi berkurang karena adanya peningkatan produksi. Jawabannya adalah dengan menggunakan konsep perhitungan limit. Rumus umum limit adalah : lim f ( x ) L
x c
berarti bahwa bilamana x dekat tetapi berlainan dari c, maka f(x) dekat ke L. Andaikan n bilangan bulat positif, k konstanta, dan f dan g adalah fungsi-fungsi yang mempunyai limit di c, maka : 1.
6. lim lim f ( x) . g ( x) lim f ( x) . lim lim g ( x)
lim lim k k
x c
x c
2. lim lim x c
7. lim lim
x c
x c
3. lim kf ( x) k lim f ( x) xc
x c
f ( x) g ( x)
lim lim f ( x) x c
lim g ( x)
x c
lim lim n f ( x ) x c
n
x c
n
lim lim f ( x) x c
bilamana n genap
29
x c
x c n
xc
xc
,asal lim lim g ( x) 0
lim f ( x) lim lim f ( x) 8. lim
xc
4. lim f ( x) g ( x) lim lim f ( x) lim lim g ( x) xc
xc
asalkan lim lim f ( x) 0 , x c
5. lim f ( x) g ( x) lim f ( x) lim lim g ( x) xc
xc
x c
4.2 3. FUNGSI BERBANDING TERBALIK
Bentuk fungsi berbanding terbalik yang paling sederhana adalah :
dimana x > 0
y
(x) =
x
Contoh :
Diketahui biaya tetap untuk produks barang Q adalah Rp 10 dan biaya variabel Rp 4/unit. Tentukan persamaan total biayanya ( C ) dan biaya rata-ratanya ( AC ), kemudian gambarkan grafiknya.
Penyelesaian :
C = FC + (AVC x Q) = 10 + 4Q AC =
=
Hasilnya bila Q mendekati maka AC = 4. Nilai AC = 4 adalah nilai VC per unit.
30
4.2.4 FUNGSI KEBALIKAN
Fungsi kebalikan digunakan dalam ekonomi agar analisis lebih mudah dilakukan. Contoh yang sering terjadi adalah analisis pasar. Bila dalam teori ekonomi Q = f(P), tetapi dalam menggambar grafik diubah menjadi P = f(Q)
Contoh : Gambar fungsi permintaan Q = 32 – 2P
Penyelesaian : Secara matematis fungsi tersebut adalah Q = f(P). Tetapi untuk menggambar fungsi, maka kurva permintaan ditunjukkan oleh garis vertikal P, sehingga seolah-olah P = f(Q), sehingga persamaan menjadi P = 16 – ½Q Gambar : y
x
4.2.5 FUNGSI EKSPONEN
Bentuk umum fungsi eksponan adalah y = ax. Kebalikan dari fungsi eksponen adalah fungsi logaritma. Kedua fungsi ini dihubungkan dengan : x = ay dihitung sebagai y = xlog a
31
Contoh : Dalam masa resesi pendapatan perusahaan mengalami penurunan sebesar 10% per tahun. Keadaan tersebut dirumuskan dalam fungsi eksponen sebagai berikut : R = 8e -0,1t dimana R adalah pendapatan/tahun, t adalah periode tahun Tentukan pendapatan R sampai tahun ke 2
Penyelesaian : Pendapatan R berdasarkan berdasarkan fungsi R = f(t) adalah : a. t= 0, maka R = 8e 0 = 8 b. t= 1, maka R = 8e-0,1(1) = 8 x 0,9048 = 7,2384 c. t= 2, maka R = 8e -0,1(2) = 8 x 0,8187 = 6,5496
4.3 FUNGSI LEBIH DARI SATU VARIABEL 4.3.1 FUNGSI LOGARITMA
Bentuk y a log f x disebut fungsi logaritma dengan a bilangan pokok (a> 0 dan a 1) serta f(x) disebut numerus dengan f(x) > 0 Contoh : Diketahui fungsi cobb-douglass sebagai Q = A.K.L. Ubah fungsi tersebut menjadi linier
4.3.2 FUNGSI PRODUKSI COBB-DOUGLASS
Bentuk umum fungsi Cobb-Douglass : Q (K, L) = A.K.L Dimana : A = konstanta (koefisen teknis) , = konstanta (elastisitas atau derajat homogenitas)
Q = kuantitas output K = kapital L = labor
32
Contoh : Diketahui fungsi produksi sebagai Q = K 2 + 3KL, dimana fungsi tersebut adalah homogen. Tentukan skala produksinya produksinya
33
DIFERENSIAL
Bab 5 5.1 PENDAHULUAN
Diferensial adalah ilmu matematika yang mempelajari pengaruh perubahan suatu variabel terhadap variabel lain. Contoh di bidang ekonomi :
Konsumen ingin mengetahui pengaruh perubahan harga terhadap jumlah barang yang akan dibeli
Produsen ingin mengetahui perubahan jumlah produksi karena adanya tambahan tenaga kerja
Produsen ingin mengetahui kapan jumlah produksi mencapai posisi yang memberikan keuntungan maksimum Rumus umum untuk diferensial adalah :
Dimana : Q = perubahan jumlah barang P = perubahan harga
= derivasi pertama jumlah barang terhadap barang
5.2 KAIDAH DIFERENSIAL .
2.
d dx
d dx
( c ) 0 , c konstan
( x ) n x n
n 1
34
Misal u dan v adalah fungsi x yang dapat diturunkan, maka : 3. f’(x) = U ± V
f’(x) = U’ ± V’
4. f’(x) = U . V
f’(x) = U’V + V’U
f’(x) =
5. f’(x) =
U V
U ' V V ' U V 2
5.3 NILAI MARGINAL SUATU FUNGSI
Fungsi marginal di bidang ekonomi : Fungsi Utama
Revenue ( R ) Biaya ( C ) Konsumsi ( C ) Produksi
Fungsi Marginal
Contoh Fungsi Utama
Marginal Revenue (MR) Marginal Cost ( MC ) Marginal Propensity To Consume Marginal Physical Produk Tenaga
Perhitungan Marginal
R = 2Q2 + 5Q
MR = 4Q + S
C = 200 + 3Q2
MC = 6Q
C = 50 + 0,8 Y
MPC = 0,8
TP = 50 + 4L
MPPL = 4
Utilitas
Marginal Utilitas
U = 2x2 + 5x
MUx = 4x + 5
Utilitas
Marginal Rate of Substitution
U = f(x1, x2, ..., x k)
MRSx1,x2
Persentase Pajak
Marginal Tax Rate
T = 0,1 Y
T = 10%
Import
Marginal Propensity To Import
M = 10 + 0,2Y
m = 0,2
5.4 DERIVASI ORDE LANJUTAN Turunn ri y = f(x) yitu y’ =
dy dx
adalah turunan pertama dari y terhadap x. Turunan
pertama dari y mungkin juga dapat diturunkan (disebut turunan kedua terhadap x) dan turunannya adalah : y"
dy ' dx
d dy d 2 y dx dx dx 2
35
Hingga, jika y mempunyai mempunyai turunan-turunan yang dapat diturunkan, maka disebut t urunun ke-n dari y terhadap x, untuk n bilangan bulat positif :
y
( n)
d dx
y
( n 1)
d d n 1 y
n1 dx dx
d n y dx n
5.5 MARGINAL REVENUE DAN MARGINAL COST
Penggabungan dua fungsi pada bagian sebelumnya dilakukan dengan membuat persamaan R = C ( revenue = biaya ) sehingga diperoleh hasil BEP. Bagian ini juga akan menggabungkan dua fungsi marginal, yaitu MR = MC dan akan diperoleh hasil nilai posisi keuntungan maksimum atau kerugisn minimum sama dengan verteks.
Kasus :
R = 24Q – 2Q2 C = 18 + 4Q Hitung :
a. MR b. MC c. Nilai Q pada saat BEP d. Keuntungan e. Grafik
5.6 MARGINAL PRODUCT
Marginal Product adalah hubungan variabel tingkat perubahan input ( contohnya tenaga kerja ( L ) ) dengan tingkat perubahan variabel output ( contohnya barang atau jasa ( Q ) ). Perhitungan marginal product berasal berasal dari fungsi produksi ( TP ).
Kasus :
1. Diketahui Q = f(L) =
√
. Hitung MPL dan gambar grafiknya
36
2. Diketahui fungsi produksi sebagai Q = berikut : L = 1, L = 16, L = 100 dan L = 900
√
- 5L. Hitung MPL bila diketahui L sebagai
3. Diketahui fungsi produksi sebagai Q = 15L2 – 0,2L3. Kapa penggunaan L menunjukkan hukum berlakunya MP L menurun?
5.7 MARGINAL PROPENSITY TO CONSUME
Marginal Propensity to Consume (MPC) adalah rate of change konsumsi karena perubahan pendapatan. pendapatan. Besar kecilnya MPC pertama kali ditentukan oleh fungsi konsumsi. Rumus MPC :
37
MAKSIMUM DAN MINIMUM
Bab 6 6.1 PENDAHULUAN
Istilah maksimum atau minimum yang sesuai dengan bidang ekonomi yang dibahas pada bagian ini adalah besarnya variabel variabel dependen pada saat nilai variabel independen tertentu.
6.2 KARAKTERISTIK FUNGSI
Penerapan fungsi dalam bidang ekonomi ekonomi terus terus berkembang, berkembang, walau
tidak akan akan
mendahului ilmu matematika seperti : 1. Fungsi Aljabar a. Polinomial
:
b. Rasional
:
c. Irasional
:
2. Transendental
√
a. Eksponensial :
y = ax
;
y = ex
b. Logaritmik
y = ln x
;
y = log x
:
c. Trigonometri dan kebalikannya kebalikannya d. Hiperbolik dan kebalikannya kebalikannya 3. Composite (Gabungan)
6.2.1 Increasing dan Decreasing Function
Dengan menggunakan perhitungan nilai dari derivasi pertama maka bisa diperoleh tanda increasing (naik) dan decreasing (turun) sebagai berikut : Bila nilai domain naik dan nilai domain positif berarti fungsi increasing Bila nilai domain naik dan nilai domain negatif berarti fungsi decreasing
6.2.2 Fungsi Cembung dan Cekung
38
Fungsi y = f(x) disebut cembung bila kenaikan domain membentuk range mula-mula naik
kemudian turun Fungsi y = f(x) disebut cekung bila kenaikan domain membentuk range mula-mula turun
kemudian naik
6.3 LETAK EKSTRIM
Nilai ekstrim adalah terjadinya peristiwa perubahan x sebagai domain yang mengakibatkan terjadinya perubahan f(x) sebagai range berhenti sejenak ( stationary) kemudian berubah arah secara berlawanan. Jadi suatu nilai x yang ada di sekitar kiri kanan tanda slope f(x) berubah dari positif ( + ) menjadi negatif ( - ) atau sebaliknya. Letak nilai ekstrim tersebut dapat diketahui dengan menggunakan perhitungan tes letak sebagai berikut : 1. Dibuat persamaan derivasi pertama menjadi nol 2. Hitung nilai x sebagai titik berhenti (stationary point) sehingga diperoleh x = a 3. Hitung besarnya derivasi kedua f(x) 4. Gunakan x = a pada langkah ke 2 untuk menghitung f(a) 5. Bila : f”() > 0 mk f(x) minimum p x = f”() < 0 mk f(x) mksimum p x = f”() = 0 mk tes letk ekstrim ggl
Kasus :
1. Diketahui f(x) =
. Lakukan tes letak ekstrim fungsi tersebut dan
hitung berapa besarnya 2. Diketahui f(x) =
tersebut dan hitung berapa besarnya
39
. Lakukan tes letak ekstrim fungsi
6.4 EKSTRIM GLOBAL
Bila dijumlah ada nilai minimum atau maksimum lebih dari satu, maka harus dipilih nilai yang paling maksimum atau disebut disebut nilai ekstrim absolut. Kasus :
Selidiki nilai ekstrim global dari f(x) =
6.5 TITIK BELOK
Ciri terdapatnya titik belok ( inflection) dalam suatu fungsi apabila terdapat nilai derivasi pertama paling tidak berbentuk U atau ∩.
Kasus :
Selidiki titik belok pada =3x3 + 159x2 – 2430x + 10800
6.6 OPTIMALISASI DALAM FUNGSI PRODUKSI
Nilai optimal dalam fungs produksi bisa dilihat dari produk maksimum, APL maksimum dan MPL maksimum. Rumus APL maksimum
:
Rumus MPL maksimum :
Kasus :
Diketahui f(x) = 30L2 – 2L3 Hitung
:
1. Jumlah tenaga yang digunakan saat Q maksimum 2. APL maksimum 3. Buktikan bahwa APL maksimum = MPL
40
6.7 OPTIMALISASI DALAM FUNGSI PROFIT
Fungsi profit adalah fungsi yang secara umum diperoleh dari selisih antara revenue dengan biaya ( R – C ). Bentuk persamaannya adalah :
dimana : = keuntungan
C = Biaya
R = Revenue Syarat pertama yang harus dipenuhi adalah R dan C adalah fungsi variabel yang sama. Jadi bila R = f(Q) maka C = f(Q)
Kasus :
Diketahui sebuah perusahaan perusahaan manufaktur menjual produk per unit dengan harga 200 – 0,01Q. Manajer perusahaan menentukan biaya produksi sebagai fungsi
P= C = 50Q +
20000. Ditanyakan Besar Q yang harus diproduksi supaya perusahaan mencapai profit maksimum
Bab 7
MATEMATIKA KEUANGAN
41
7.1 PERHITUNGAN BUNGA SEDERHANA
Variabel yang diperlukan : 1. Tingkat bunga (interest) adalah balas jasa penyimpanan sejumlah nilai uang tertentu, biasanya di bank atau pinjaman Satuan :
2. Pokok pinjaman atau uang yang dibungakan ( principal) Disimpan dengan satuan moneter (satuan mata uang) 3. Periode atau jangka waktu (t) adalah satuan waktu perhitungan bunga yang diberlakukan
Perhitungan Nilai Bunga
Adalah hasil kali bunga dengan pokok pinjaman dan periode Rumus : I=Pit
Dimana : I = Nilai bunga sederhana P = pokok pinjaman i = tingkat bunga per satuan waktu t t = periode
Kasus :
Sebuah KSP meminjamkan uang sebesar Rp 5.000.000,00 dengan bunga 2% per bulan. Berapa bunga yang harus dibayarkan pada bulan berikutnya?
7.2
PERHITUNGAN NILAI AKHIR DENGAN BUNGA SEDERHANA
42
Rumus : NA = P + P i t
Dimana : NA = nilai akhir dengan bunga sederhana P = pokok pinjaman i = tingkat bunga per satuan waktu t t = periode
Kasus :
Pada kasus 7.3, hitung nilai akhir per hari, bulan dan tahun
7.3 BUNGA MAJEMUK DAN NILAI AKHIR (FV)
Bunga majemuk tidak dibayar per satu periode, tetapi bunga majemuk menghitung bunga selama satu bulan dengan rumus bunga per hari (bunga harian). Perbedaannya terletak pada bunga yang belum dibayarkan yang kemudian secara otomatis akan menjadi pokok pinjaman. Rumus : FV = P (1 + i) t
Dimana : FV = future value = nilai akhir dengan bunga majemuk P = pokok pinjaman i = tingkat bunga per satuan waktu t t = periode
Kasus :
Pokok pinjaman sebesar Rp 5.000.000,00, bunga 9% per tahun. Perhitungan bunga yang diberlakukan adalah per hari. Tentukan FV pada hari ke 258
43
7.4 NILAI SEKARANG ( PRESENT VALUE)
Nilai sekarang merupaka modifikasi rumus perhitungan FV : Rumus : FV = P (1 + i) t
Rumus PV menjadi :
Dimana :
PV = nilai sekarang FV = future value = nilai akhir pada periode t i = tingkat bunga per satuan waktu t
Kasus :
Simpaan yang diharapkan bernilai Rp 20.000.000,00 pada periode 20 tahun mendatang. Bila tabungan yang akan disimpan menjanjikan bunga 12% per tahun dan dihitung setiap bulan, hitunglah PV.
7.5 TINGKAT BUNGA EFEKTIF
Besar kecilnya tingkat bunga diukur dalam jangka waktu atau periode tahunan. Dalam ilmu ekonomi, tingkat bunga tahunan menjadi variabel tingkat bunga nominal ( nominal interest rate). Kenyataannya, perhitungan nilai bunga tidak selalu dihitung dalam periode
tahunan. Bisa menjadi harian, bulanan atau kuartal yang menghasilkan FV atau PV yang berbeda. Perhitungan FV per hari lebih besar dibanding FV per bulan. Demikian juga sebaliknya, perhitungan PV per hari lebih kecil dibanding perhitungan PV per bulan.
Rumus untuk mencari tingkat bunga efektif per tahun :
Dimana :
r = tingkat bunga efektif per tahua (EAR = Effective Annual Rate)
44
i = tingkat bunga nominal per tahun m = berapa kali perhitungan bunga per tahun
Kasus :
1. P = Rp 5.000.000,00 5.000.000,00 i = 9% per tahun Hitung : a. FV periode 10 tahun dihitung nilai bunga per hari b. FV periode 10 tahun dihitung nilai bunga per bulan c. FV periode 10 tahun dihitung nilai bunga per tahun 2. Tingkat bunga nominal 9% per tahun. Hitung : a. Tingkat bunga efektif per tahun ( m = 360) b. Tingkat bunga efektif per bulan ( m = 12)
7.6 NILAI SEKARANG DAN AKHIR DARI ANGSURAN
Perhitungan ini sering digunakan dalam pembayaran cicilan (misal pembelian barang secara kredit, premi asuransi, dana pensiun, dan lainnya). Rumus :
} } }
Dimana : Sn = nilai akhir dari angsuran sebesar R A = nilai akhir sekarang R = angsuran tetap per periode i = tingkat bunga per periode
45
n = lama periode angsuran
Kasus :
Pembelian barang seharga Rp 500.000,00 dengan tingkat suku bunga 9% per tahun a. Berapa harga barang tersebut tersebut setelah 5 bulan b. Berapa angsuran barang tersebut per bulan selama 5 bulan c. Berapa nilai barang sekaran yang diangsur selama 5 bulan
7.7
PERHITUNGAN BUNGA, POKOK DAN SISA PINJAMAN
Dalam kehidupan sehar-hari tanpa disadari kemampuan masyarakat untuk membeli barang dengan harga relatif mahal tidak akan terlaksana bila tanpa adanya pinjaman atau kredit dari bank atau lainnya, atau bisa juga dengan menyimpan sebagian uangnya untuk membeli barang di masa yang akan datang. Variabel yang berkaitan dengan simpan pinjam tersebut antara lain besarnya nominal pinjaman, tingkat bunga nominal, periode pembayaran, besarnya angsuran, dan seterusnya.
Kasus :
Seseorang ingin membeli sebuah rumah senilai Rp 200.000.000,00 dengan uang muka Rp 50.000.000,00. Kekurangan pembayaran dibayar dengan pinjam dari bank dengan tingkat bunga sebesar 10% per tahun. Bunga pinjaman dihitung setiap bulan. Berapa angsuran yang harus dibayar bila waktu pinjam 5 tahun, tahun, 10 tahun dan 15 tahun?
46
DERIVASI PARSIAL
Bab 8 8.1 PENDAHULUAN
Dalam kenyataannya, fungsi ekonomi tidak hanya dipengaruhi oleh satu variabel, melainkan lebih dari dari satu variabel. Misalnya, Misalnya, keuntungan keuntungan ( ) tidak hanya dipengaruhi oleh jumlah produksi ( Q ) satu macam, tetapi menjadi dua macam ( Q 1, Q2 ), sehingga model hubungannya menjadi = f ( Q1, Q2 ). Dengan adanya penambahan variabel independen tersebut, maka analisis yang digunakan tidak lagi diferensial saja, melainkan diferensiasi parsial. Alat analisisnya dinamaka derivasi parsial.
8.2 FUNGSI LEBIH DARI DUA VARIABEL
Notasi fungsi lebih dari dua variabel tidak hanya berupa x saja atau y saja. Karena lebih dari satu variabel, maka fungsinya menjadi z = f (x , y ) , Q = f(P q, Ps, Pk, M, S) ,
= f ( Q1, Q2 )
dan lainnya.
Kasus :
Diketahui f(x, y) = 3x2 + 2xy + y + 1 sebagai fungsi dua variabel x dan y. Bila x = 1 dan y = 1, berapa hasil dari f(1, 1)?
8.3 DERIVASI PARSIAL
Pada fungsi z = (x, y) jika y dipandang sebagai suatu konstanta, maka z adalah fungsi dari x dan turunannya terhadap x adalah :
9
f x 0 x, y 0 f x 0 , y 0 z lim x x 0 x
yang disebut DERIVASI PARSIAL dari z = f(x, y) terhadap x.
47
Jika fungsi z = (x, y) jika x dipandang sebagai suatu konstanta, maka z adalah fungsi dari y dan turunannya terhadap x adalah :
f x0 , y0 y f x0 , y0 z lim y y 0 y yang disebut DERIVASI PARSIAL dari z = f(x, y) terhadap y.
Kasus :
Diketahui f(x, y) = 3x 2y + 2xy + y3 + 10, bagaimana bentuk derivasi parsial untuk x dan derivasi parsial untuk y. Gambarkan
8.4 DERIVASI PARSIAL ORDE LANJUTAN
Turunan parsial dapat diturunkan lagi untuk memperoleh turunan parsial kedua, yaitu: f XX
f 2 f 2 x x x
f 2 f f xy y x y x
f 2 f 2 f yy y y y f 2 f f yx x y x y
Hal ini bisa diderivasi lebih lanjut menjadi orde ketiga, keempat dan seterusnya seterusnya Kasus :
Hitung derivasi parsial orde pertama dan kedua dari f(x, y) = 8x 2y3
8.5 TINGKAT PERUBAHAN SECARA PARSIAL
Pengaruh perubahan variabel independen terhadap variabel dependen untuk kasus dua variabel independen dapat disebut sebagai Small Increment Formula (SIF) dan notasinya :
48
Kasus :
Diketahui fungsi z(x, y) = x2 + 3y. Mula-mula x = 5 dan y = 8. Gunakan rumus SIF untuk menghitung perubahan nilai z karena x berubah menjadi x = 5,021 dan y berubah menjadi y = 7,98
8.6 CHAIN RULE DAN TOTAL DERIVASI
Andaikan x = x(t) dan y = y(t) dapat dideferensialkan di t dan andaikan
z = f(x, y)
dapat dideferensialkan di (x(t), y(t)). Maka z = f(x(t)) dapat dideferensialkan di t dan : dz
1. Diketahui y = u3 dan u = x2. Hitung
x t
dt
Kasus :
z x
z y y t
2. Diketahui R = P.Q dan P = 120 – 6Q. Hitung nilai MR menggunakan Chain Rule
8.7 APLIKASI DERIVASI PARSAL 8.7.1
Derivasi Fungsi Implisit
Jika F(x, y, z) adalah fungsi kesatuan dari x, y dan z maka dapat dirumuskan menjadi persamaan berikut : F(x, y, z) = 0
Asumsi hubungan variabel tersebut (x, y) sebagai domain untuk F(x, y, z) dan (x, y) juga sebagai domain untuk f(x, y). Kemudian menjadi : Fx.dx + Fy.dy + Fz.dz = 0
Karena z = f(x, y) dan juga dz = fx.dx + fy.dy, maka diperoleh :
Dengan syarat F 0, untuk bisa diperoleh :
49
Kasus :
Diketahui x2y = 3, tentukan nilai
8.7.2
Elastisitas Permintaan
Analisis elastisitas ada tiga macam : 1. Elastisitas Harga 2. Elastisitas Silang 3. Elastisitas Pendapatan Bila hubungan tersebut dirumuskan dalam bentuk fungsi lebih dari satu variabel maka menjadi : Q = f(PQ, PA, Y)
dimana : Q = jumlah permintaan PQ = harga Q per unit PA = harga barang alternatif Y = pendapatan konsumen
Perhitungan elastisitas dirumuskan sebagai :
() ()
1.
Elastisitas Harga
2.
Elastisitas Silang
3.
Elastisitas Pendapatan
()
50
Kasus :
Diketahui fungsi permintaan permintaan Q = 100 – 4Pq2 + 3Pa + 0,04 Y½ . Ditanyakan : 1. Besarnya elastisitas harga, elastisitas silang dan elastisitas pendapata 2. Hitung nilai elastisitas 3. Apa yang terjadi bila :
,
, dan
bila PQ = 5, PA = 6 dan Y = 1900
a. Pq turun 25% b. Pa naik 2% c. Y naik 10% 3.7.1
Utilitas
Analisis utilitas adalah analisis yang menggambarkan tujuan konsumen yang selalu ingin mencapai kepuasan maksimum. Bila diketahui kombinasi dua barang x dan y yang akan dikonsumsi maka U = f(x, y). Bila U(x, y) = 100, maka kurva indiference hanya satu, seperti tampak pada gambar di bawah ini : y
U(x, y) =
= 100
x
Dengan menggunakan gambar diatas, dijelaskan utilitas sebesar 100 bisa dicapai dengan berbagai kemungkinan kombinasi barang x dan y, bisa dari 5 dan 30 sampai dengan 180 dan 35. Pergantian dari 5 dan 380 menjadi 30 dan 115 dinamakan Marginal Rate Commodity Substitution (MRCS) yang dirumuskan : MRCS =
Dimana :
51
Ux = Marginal Utility of x Uy = Marginal Utility of y
Kasus :
Diketahui
3.7.2
. Hitung Ux, Uy dan MRCS bila x = 60 dan y = 80
Produksi
Analisis produksi adalah model matematika yang digunakan hampir sama dengan model utilitas yang perbedaan pokoknya terletak pada hubungan antar variabel yang digunakan.
Bila
utilitas
menggambarkan
keputusan
konsumen
maka
produksi
menggambarkan keputusan produsen. Tujuan produsen adalah menggunakan kombinasi berbagai kemungkinan input, sehingga bentuk fungsinya menjadi : Q = f(K, L)
dimana : Q = output K = modal L = tenaga kerja. Dalam produksi, juga dikenal istilah Marginal Rate of Technical Substitution (MRTS) yang dirumuskan : MRTS =
Dimana : Qk = Marginal Product of K = QL = Marginal Product of L =
Kasus :
1.
Fungsi produksi Q (K, L) = K 2 + 2K + 3L3
52
Hitung : a. MPk dan MPL b. MRTS bila K = 3 dan L = 2 c. Besar pengurangan K bila L dinaikkan 5% tanpa mengubah Q d. Gambar kurva produksi Q 2.
Fungsi produksi Q =
Bab 9
OPTIMASI
. Hitung MPk dan MPL , dan MRTS
53
9.1 PENDAHULUAN
Optimasi adalah konsep penting dalam analisa ekonomi :
Perusahaan untuk memaksimalkan laba dan meminimalisasi biaya.
Pemerintah berupaya untuk memperkecil pengangguran, inflasi dan memaksimalkan hasil pajak
Konsumen ingin memperoleh kepuasan maksimum dari produk yang mereka beli
9.2 OPTIMASI TANPA ADA BATASAN
Optimasi tanpa batasan memiliki variabel lebih dari satu ( x , y ) dimana titik stationer pada x = x0 dan y = y0. Jika derivasi pertama secara parsial untuk f kedua variabelnya sama dengan nol, maka dapat dirumuskan : fx(x0, y0) = fy (x0, y0) = 0
Kasus :
Hitung posisi stationer dari fungsi f(x, y) = 3x2 + y2 + 4x – 4y + 7
Selain titik maksimum dan minimum, juga bisa dihitung titik sadel (saddle point). Untuk mengetahui titik ini, menggunakan fungsi diskriminan ( D ) yang dirumuskan : D= fxx . fyy – ( fxy )2
Dengan ketentuan : 1. D < 0, nilai stationer berada pada titik sadel 2. D = 0, nilai stationer berada pada nilai yang tidak jelas 3. D < 0, nilai stationer adalah nilai ekstrim dari fungsi f(x, y)
Nilai ekstrim ada dua kemungkinan, maksimum atau minimum minimum : 1. Maksimum, jika fxx < 0 dan fyy < 0
54
2. Minimum , jika fxx > 0 dan fyy > 0 Kasus :
1. Fungsi f(x, y) = x 3 + 5xy + y3 + 4, hitung nilai diskriminannya diskriminannya 2. Tentukan dan klasifikasikan titik stationer dari f(x, y) = x2 + 3y2– 2xy + 1 3. Fungsi biaya produksi ditentukan oleh dua barang, X dan Y : C (X, Y) = 2 + 3X2 + 2Y2– 0,5 (XY) Fungsi revenue : R (X, Y) = 10X + 15Y Berapa besar produksi X dan Y yang mengakibatkan mengakibatkan profit maksimum
9.3 OPTIMASI DENGAN BATASAN
Batasan atau kendala ( constrain) sering ditemui dalam masalah ekonomi, misalnya konsumen ingin mencapai kepuasan maksimum, ada batasan pendapatan. Ada dua metode yang akan digunakan digunakan dalam bagian ini yaitu metode metode substitusi dan metode lagrange multiplier
9.3.1 Metode Substitusi
Bila yang ditemui fungsi batasan hanya satu variabel, maka persamaan tersebut disubstitusikan pada fungsi objeknya. Dengan demikian pencarian titik stationer sama dengan metode optimasi tanpa batasan. Langkah penghitungannya adalah : 1. Mencari derivasi pertama dan kedua dari fungsi 2. Mencari nilai maksimum atau minimum
Kasus :
1. Seorang produsen mempunyai fungsi produks Q =
dimana K adalah input modal
dan L adalah input tenaga. Biaya per unit penggunaan K dan L adalah 2 dan 1. Berapa biaya terendah akan dicapai bila produsen memproduksi Q sebanyak 240 unit? 2. Seorang produsen menghadapi biaya produksi sebanyak K dan L per unit sebanyak 2 dan 4. Fungsi produksi dirumuskan sebagai Q = 6KL + 2L 3.
55
a. Berapa output maksimum yang yang bisa dicapai bila TIC = 200? b. Berapa biaya minimum input yang harus dikeluarkan dikeluarkan untuk mencapai Q sebanyak 1200 unit?
9.3.2 Metode Lagrange Multiplier (LM)
Pada metode ini jumlah variabel bisa lebih dari dua variabel independen dimana dengan metode lagrange multiplier akan menghasilkan variabel baru sebagai pembantu pemecahan masalah optimasi dengan memisalkan nilai . Variabel digunakan untuk membentuk fungsi baru lagrangian sebagai berikut : F(x, y, ) = f(x, y) + { k - g(x, y) }
Hasil optimum akan diperoleh dengan mencari x = x0, y = y0 dan = 0. Langkah penyelesaiannya penyelesaiannya adalah : 1. Bentuk persamaan lagrangian lagrangian : F = f(x, y) + { k - g(x, y) } 2. Mencari derivasi pertama untuk setiap variabel F 3. Hitung x, y dan dengan persamaan
,
,
4. Gunakan x dan y pada perhitungan 3 untuk mencari nilai f(x, y)
5. Untuk mengatakan optimum sebagai maksimum atau minimum, digunakan perhitungan
nilai determinan matriks hessian atau jacobian Kasus :
1. Sebuah perusahaan memproduksi barang x dan y masing-masing membentuk fungsi harga sebagai p1(x, y) dan p 2(x, y) yang dirumuskan sebagai p 1(x, y) = 20 – x + 2y dan p 2(x, y) = 10 + x – y. Fungsi biaya yang dihadapi sebagai
c(x, y) = 12x + xy + 6y.
Dalam kegiatan usahanya produsen dibatasi oleh jumlah produksi x + y = 20. Berapa unit produksi x dan y untuk mencapai keuntunga maksimum? 2. Suatu perusahaan akan mengalokasikan dana Rp 600.000,00 untuk iklan dan penelitian. Kegiatan usaha perusahaan perusahaan dirumuskan sebagai fungsi penjualan
56
f(x, y) =
unit produk. Berapa besar penjualan maksimum dicapai karena akibat dari penggunaan barang untuk iklan dan penelitian?
Bab 10
INTEGRAL
57
10.1 PENDAHULUAN
Perhitungan integral berkaitan dengan beberapa teori ekonomi, seperti perhitungan marginal revenue, marginal cost, marginal product, dan lainnya. Dengan menghitung integral, fungsi aslinya akan dapat ditemukan lagi. Selain itu, penafsiran secara geometris fungsi juga digunakan untuk mencari besarnya surplus konsumen dan produsen. Integral juga digunakan untuk penghitungan beban pajak yang ditanggung konsumen dan produsen serta hilangnya kesejahteraan sebagai deadweight loss.
10.2 KAIDAH INTEGRAL
Secara simbol integral ditulis :
f ( x) dx F ( x) C dimana :
f (x) adalah integran, yaitu yang dikenai operasi integral
dx adalah diferensial integrator yaitu kepada variabel apa kita akan mengintegralkan
F(x) + C adalah hasil dari proses pengintegralan dengan C adalah konstanta integrasi
dibaca integral
Beberapa kaidah integral :
1.
a
2.
3.
e
4.
a
5.
dx ax C , a konstanta
x dx n
x
x
1
1 n 1
x
n 1
C
dx e x C dx
a x ln a
x dx ln x
C , a konstanta, a > 0
C
58
Jika a konstanta sembarang dan f(x), g(x) adalah sebarang fungsi dalam x maka: 1.
a f ( x) dx
2.
f ( x)
a f ( x) dx
g ( x)dx f ( x) dx
Kasus :
Fungsi MPC = 0,15 +
√
g ( x) dx
dimana Y adalah pendapatan. Hitung besarnya fungsi konsumsi C =
f(y) dan tabungan S = f(Y) bila C = 135 pada saat Y = 100
10.3 INTEGRAL TERBATAS
Sifat integral terbatas : b
1.
f ( x)
a
dx f ( x) dx
a
b
b
2.
3.
4.
c
b
a
a
c
a
a
f ( x) dx
f ( x) dx
f ( x) dx f ( x) dx
f (a x) dx
0
0
2a
a
a
0
0
f ( x) dx 0
f ( x) dx f (2a x) dx 2a
5. Jika f ( 2a – x ) = f (x), maka
f ( x) dx
a
2 f ( x) dx
0
0
2a
Jika f ( 2a – x ) = - f (x), maka
f ( x) dx
0
0
6. Jika np
f ( x) 0
f(x)
fungsi
periodik
dengan
periode
p
dx n f ( x) dx 0
a
7. Jika f(x) fungsi genap, maka
f ( x) a
a
dx 2 f ( x) dx 0
59
p,
f(x)
=
f(x
+
p),
maka
:
a
Jika f(x) fungsi ganjil, maka f ( x) dx
0
a
10.4 INTEGRAL TERBATAS : LUAS AREA DAN PENJUMLAHAN b
Luas daerah di atas sumbu X ( A(R) ) ditentukan ditentuka n oleh : A ( R) f ( x) dx a
b
Luas daerah di bawah bawah sumbu X ( A(R) ) ditentukan ditentukan oleh : A ( R ) f ( x) dx a
b
Luas daerah diantara dua kurva ( A(R) ) ditentukan oleh : A ( R)
f ( x) g ( x) dx a
60
Kasus :
1. Tentukan luas daerah R di bawah kurva y x 4 2 x 3 2 antara x = -1 dan x = 2 2. Tentukan luas daerah R yang dibatasi oleh y 3. Tentukan luas daerah antara kurva y x 4 dan
x
2
4 , sumbu x, x = -2 dan x = 3
3 y
2 x x 2
10.5 SURPLUS PRODUSEN
Surplus produsen berkaitan dengan fungsi penawaran produsen terhadap barang yang diproduksi. Dirumuskan : de
Dimana :
Pb = harga barang per unit yang terjadi di pasar dan P b > 0 Qb = unit barang yang dijual pada P b sesuai b P b = f(Q) f(Q) = kebalikan dari fungsi penawaran Q = f(P)
Kasus :
Produsen menghadapi harga penawaran sebagai kebalikan fungsi penawaran penawaran
+ 250. Berapa besar surplus produsen bila harga barang per unit 506
61
P(Q) =
10.6 SURPLUS KONSUMEN
Surplus konsumen berkaitan dengan fungsi permintaan konsumen terhadap barang yang dikonsumsi. Dirumuskan :
dimana :
Pb = harga barang per unit yang terjadi di pasar dan P b > 0 Qb = unit barang yang dijual pada P b sesuai b P b = f(Q) f(Q) = kebalikan dari fungsi penawaran Q = f(P)
Kasus :
Seorang konsumen menghadapi kurva harga P(Q) = harga barang di pasar 129.
+ 250. Hitung surplus konsumen jika
10.7 BESARNYA DEADWEIGHT LOSS (DWL) KARENA PAJAK
Sering dijumpai beban pajak penjuala akan berakibat hilangnya surplus konsumen dan produsen. Tujuan pajak adalah mengambil alih sebagian kesejahteraan masyarakat baik konsumen maupun produsen untuk menjadi pendapatan pendapatan pemerintah.
Kasus :
Fungsi harga produsen Ps (Q) = 2Q + 250 Fungsi harga konsumen Pd (Q) = -Q + 2500 Fungsi harga produsen setelah ada pajak Pt (Q) = 2Q + 1000 Hitung : 1. Keseimbangan sebelum ada pajak 2. Keseimbangan setelah ada pajak 3. Surplus Konsumen sebelum ada pajak 4. Surplus Konsumen sesudah ada pajak
62
5. Surplus Produsen sebelum ada pajak 6. Surplus Produsen sesudah ada pajak 7. Besarnya DWL 8. Beban pajak yang ditanggung konsumen 9. Beban pajak yang ditanggung produsen
10.8 INVESTASI DAN AKUMULASI KAPITAL
Akumulasi kapital merupakan penjumlahan akibat tambahan stok kapital yang berdasarkan berdasarkan pada proses waktu. Dirumuskan : K(t) =
dimana :
∫ ∫ ∫
K(t) = model stok kapital I(t) = investasi Kasus :
1. Tentukan K(t) dari I(t) = 3t
½
2. Diketahui investasi sebagai persamaan konstanta I = 1000. Berapa besarnya investasi dari t = 0 sampai dengan t = 1 ½
3. Bila 3t (dalam juta rupiah per tahun) yang merupakan aliran kapital tidak konstan , maka hitung akumulasi kapital dari t = 1 sampai t = 4
63
PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR
Bab 11 11.1 PENDAHULUAN
Perekonomian selalu bergerak dinamis. Untuk itu dibutuhkan alat perhitungan matematika yang bersifat dinamis. Dinamis karena sudah memasukkan variabel waktu (t). Contohnya dalam analisa keseimbangan pasar, permintaan tidak hanya bergantung pada harga sekarang, tetapi juga harga masa lalu. Sebelum sampai pada pembahasan persamaan diferensial, akan dibahas dulu pengertian yang membantu, seperti model dinamis, ketentuan model dinamis, sifat-sifat dinamis serta percobaan sistem dinamis.
11.2 MODEL DINAMIS
Bila variabel yang dinamis adalah x, maka besarnya x bisa dibuat rumusan tertentu. Contoh : x(t+1) = 3 + ½ x(t) Tabulasi x(t+1) = 3 + ½ x(t) x(t) adalah : t
xt
t
xt
0
10
8
6,016
1
8
9
6,008
2
7
10
6,004
3
6,5
11
6,002
4
6,25
12
6,001
5
6,125
13
6
6
6,063
14
6
7
6,031
15
6
Model dinamis diatas dinamakan model berulang (recursive). Bila hubungan hanya ditentukan oleh satu periode sebelumnya maka disebut persamaan berulang derajat pertama (first order recursive equation). Bila dua periode sebelumnya dinamakan persamaan berulang
64
t
derajat kedua (second order recursive equation). Nilai x1 = 6 = x* disebut sebagai fixed point atau titik stabil. Dikatakan sebagai titik stabil karena x 1 = 6 = x* stabil karena bila x0 = 3 bukan lagi 10, dan nantinya akan kembali menuju 6 yang disebut dengan global stabil (equilibrium).
11.3 PERHITUNGAN NILAI VARIABEL DINAMIS
Untuk membentuk sistem dinamis yang terukur, diperlukan hal-hal sebagai berikut : 1. Nilai kondisi awal x(0) = x 0 2. Nilai parameter a dan b 3. Nilai berkelanjutan untuk x berdasarkan waktu (t)
11.4 PERCOBAAN SISTEM DINAMIS
Sistem model dinamis mempunyai karakteristik tertentu. Untuk memahaminya perlu adanya percobaan percobaan seperti mengubah beberapa beberapa nilai dalam model. Karena Karena ciri utama dinamis adalah terbentuknya nilai stabil, maka bila variabel yang diubah apkah akan terdapat nilai stabil atau tidak. Perubahan yang akan dilakukan terdiri dari : 1. Perubahan kondisi awal Bila yang diubah adalah kondisi awal maka sistem model dinamis tidak akan berubah. Artinya bila x0 diubah maka tetap akan terdapat nilai stabil. Contoh : Ubah X0 = 10 menjadi X0 = 3 dari x(t+1) = 3 + ½ x(t). Nilai stabil tetap berada pada nilai sebelumnya yaitu x(t) = x(t+1) = x* = 6 2. Perubahan parameter a Kenaikan atau penurunan nilai parameter a akan mempengaruhi nilai stabil Contoh : a = 3, b = 1/2, maka bila a < 0 akibatnya x t < 0 tetapi tetap convergence, nilai x* berubah 3. Perubahan parameter b Kenaikan atau penurunan nilai parameter b akan mempengaruhi nilai stabil
65
Contoh : a = 3, b = 1/2, maka bila b >1 akibatnya x t berubah semakin jauh. Jadi bila b terbatas pada nilai b < 1 bila ingin ditambah. Bila b dikurangi maka akan terbatas pada nilai b > -1, karena bila dikurangi sampai b < -1, maka nilai xt akan semakin jauh. 11.5 PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE PERTAMA
Dalam persamaan diferensial orde pertama perlu dipelajari juga persamaan linier orde pertama yang rumusnya : x(t) = bx (t-1) + a
x* =
( )
x(t) =
Rumus diatas juga dapat diturunkan menjadi :
dimana : t = periode waktu ln = logaritma asli a = konstanta b = koefisien
Kasus :
1. Diketahui persamaan x(t) = 3 + ¼ x(0) dengan x(0) = 5 a. Berapa besar titik keseimbangan (x* ) b. Berp perioe keseimngn (t)’ 2. Seorang nasabah ingin pinjam dana sebesar Rp 15.000.000,00. Tingkat bunga pinjaman per tahun 9,6% dihitung per akhir bulan. Nasabah bersedia bayar pinjaman Rp 400.000,00 per bulan
66
a. Berapa lama pinjaman lunas b. Berapa sisa pinjaman setelah satu tahun berjalan
11.6 STABILITAS
Dalam beberapa model ekonomi sering dijumpai bentuk persamaan diferensial linier orde pertama sebagai berikut : xt = a + bt-1, bila b
1
Kemudian perhitungan nilainya disederhanakan menjadi :
b’A +
A adalah konstan independen i ndependen terhadap t (periode).
1. Bila - < < mk ’ enerung 0 il t esr (menik n is iientifiksi). Mk x t converges pada nilai
, kemudian disebut sebagai nilai keseimbangan ( equilibrium
value). Pertemuan gerakan semakin mengecil atau melemah. Gerakan yang menuju ke
satu titik disebut stabil. 2. Bila b < - atau b > 1 maka xt melebar (diverges), nilai xt membesar tanpa batas. Keadaan ini menggambarkan model persamaan diferensial tidak stabil ( unstable).
Kasus :
Tentukan situasi persamaan diferensial untuk xt = -0,5 xt-1 + 0,25, dimana x0 = 0,5
11.7 MODEL COBWEB
Model sarang laba-laba (Cobweb) digunakan untuk mengetahui fluktuasi secara berkala sekitar harga, persediaan dan permintaan yang bergerak ke arah keseimbangan yang terjadi akibat interaksi antara perubahan harga dan jumlah permintaan berkaitan dengan jumlah penawaran secara periodik. Model matematikanya dapat dibuat sebagai berikut : QSJ = a + b Pt-1
67
QDJ = c + d Pt
Keseimbangan akan terjadi bila Q SJ = QDJ, sehingga persamaannya akan menjadi : Pt =
Jika -1 < (b/d) < 0, maka converges dan menuju keseimbangan pada Kasus :
Diketahui persamaan dan penawaran : QSJ = -12 + 3Pt-1 dan QDJ = 28 – Pt Tentukan apakah pada interaksi penawaran dan permintaan akan terjadi keseimbangan
11.8 PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE KEDUA
Bentuk umum persamaan diferensial orde kedua adalah : Xt + c Xt-1 + b Xt-2 = a
Dimana a, b da c adalah konstan independen terhadap terhadap t. Solusi dalam persamaan diferensial orde kedua dapat dirumuskan sebagai : General Solution = Particular Solution + Complementary Solution
Dimana : Particular Solution : xt = a + b xt-1 atau Xt + c Xt-1 + b Xt-2 = a Complementary Complementary Solution : xt = ’A
11.8.1 Solusi Komplementer
Solusi Komplementer dirumuskan :
Kasus :
Diketahui persamaan linier homogen : Xt -7Xt-1 + 10Xt-2 =0, dimana X0 = 2 dan X1 = 13. Hitung besarnya X10.
68
11.8.2 Solusi Partikular
Karena persamaan bukan homogen maka digunakan persamaan diferensial orde kedua : Xt + c Xt-1 + b Xt-2 = a
{
Dimana a, b dan c adalah konstanta sehingga membentuk membentuk rumusan :
Kasus :
Selesaikan dengan solusi partikular persamaan diferensial untuk X t + 7 Xt-1 + 12 Xt-2 = 4
69
Bab 12
PERSAMAAN DIFERENSIAL
12.1 PENDAHULUAN
Persamaan diferensial tidak jauh beda dengan persamaan diferensi. Pada persamaan diferensi, variabel periode (t) dianggap bilangan bulat (integer), sedang persamaan diferensial, variabel t dianggap kontinu. Contohnya dalam pembahasan pasar, interaksi antara permintaan dan penawaran terjadi secara terus menerus. Perubahan variabel sekarang akan berpengaruh berpengaruh terhadap variabel lain di masa yang akan datang dan hal ini i ni terus berkelanjutan. Sehingga persamaan diferensial dirumuskan : ’(t)
dan seterusnya ’’(t)
Jadi dalam model perubahan harga (P) ditentukan oleh variabel yang berhubungan dengan P dan kemudian diukur dengan derivasi. Dengan menggunakan persamaan diferensial, solusi terhadap variabel perubahan P bisa ditemukan.
12.2 PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE PERTAMA
Bila y(t) adalah fungsi t dan mempunyai bentuk persamaan :
Dimana a dan b adalah konstanta dan bukan nol. Ini adalah persamaan diferensial diferensial orde pertama. Persamaan Persamaan dikatakan homogen bila b = 0, dan tidak ti dak homogen jika b 0. Persamaan diferensial orde pertama dirumuskan :
70
dimana A adalah konstata.
bila a 0 menjadi
Solusi umum persamaan diferensial
Kasus ;
adalah :
1. Selesaikan persamaan diferensial
dimana y = 3 ketika t = 0
2. Diketahui model perubahan penduduk sebagai N(t) dalam juta. Persamaan diferensialnya diferensialnya adalah
Hitung :
. Pada t = 0 N(0) = 220
a. Berapa jumlah penduduk pada tahun ke 10 b. Berapa t bila N(t) = 500
3. Diketahui persamaan diferensial sebagai =0
= (-0,05)y + 4,5 dimana nilai y = 100 pada saat t
Suatu persamaan diferensial dikatakan stabil bila a < 0 dan keseimbangan akan terjadi pada
. Tidak stabil bila a > 0.
12.3 PERSAMAAN DIFERENSIAL NON-LINIER ORDE PERTAMA
Persamaan diferensal non linier orde pertama adalah :
a, b dan n adalah konstanta, sementara n > 1 Kasus :
1. Selesaikan 2. Selesaikan 3. Selesaikan
= y - 2y2 bila y(0) = 1/5 bila y(0) = 1
bila y(1) = -1/2
12.4 PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER ORDE KEDUA
Bentuk umum persamaan diferensial linier orde kedua :
71
12.4.1 Kasus Persamaan Homogen Format persamaan homogen adalah :
Kasus :
Selesaikan
il y(0) = 0 n y’(0) = 4
12.4.2 Kasus Partikular dan Umum Bentuk umum persamaan persamaan yang diselesaikan diselesaikan adalah :
ata y” + ay’ + by c
{
Ada tiga kasus solusi partikular sebagai berikut :
Kasus : Selesikn y” – y’ – 6y = 6 bila diketahui y(0) = 0 dan y(0) = 5 12.4.3 Stabilitas Persamaan diferensial linier orde kedua akan berbentuk dua kemungkinan :
Bila cenderung0 atau ditentukan oleh nilai < 0 atau > 0, solusi y akan membesar bila komplementernya bertendensi 0 sehingga y dan positif. Bila negatif, maka solusi komplementernya
converges menuju nilai solusi partikularnya partikularnya sebesat yag disebut juga nilai keseimbangan. Kasus : Tentukn onverges ri persmn y” – y’ – 6y = 6 bila diketahui y(0) = 0 dan y(0) = 5. Berapa persamaan convergesnya.
72
73
