PGSD Diktat Konsep Dasar Matematika

MATEMATIKA DASAR

Isrok’atun, S.Pd.Si., M.Pd.

UPI KAMPUS SERANG 2010

KATA PENGANTAR

Assalamu’alaikum Assalamu’alaikum Wr. Wb. Dengan segala kerendahan hati, kami panjatkan puji dan syukur ke Hadirat Allah SWT yang telah melimpahkan Rahmat dan Karunia-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan buku “Matematika Dasar” ini. Tulisan ini disusun dalam rangka untuk melengkapi kebutuhan mahasiswa PGSD ataupun guru SD terhadap materi matematika terkait konsepkonsep dasar yang ada dalam matematika. Dalam buku ini, materi m ateri matematika disajikan se-diskriptif se-diskriptif mungkin, supaya lebih

mudah

dipahami.

Melalui

buku

ini,

diharapkan

pembaca

dapat

mengkonstruksi pemahaman tentang konsep-konsep matematika dasar secara baik dan benar, sebagai bekal pengenalan matematika yang lebih kompleks. Dengan pemahaman yang baik dan benar inilah, nantinya dapat dibelajarkan ke siswa juga dengan baik dan benar, sehingga materi dapat tersampaikan sebaik mungkin. Pada kesempatan ini, penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu sampai terselesaikannya tulisan ini. Khususnya, kepada suamiku tercinta yang selalu men- suport dan juga selaku editor. Tak lupa, penulis ucapkan terima kasih kepada anakku tersayang, telah bersedia berbagi waktu, disela-sela tidurnya. “ You are my soul ”. ”. Penulis menyadari bahwa dalam penyusunan buku ini, masih banyak kekurangan. kekurangan. Oleh karena itu, penulis mengharapkan mengharapkan saran, kritik, serta masukan tambahan dari para pembaca semua yang sifatnya melengkapi demi tercapainya tercapainya kesempurnaan buku ini. Akhirnya, penulis berharap semoga tulisan ini dapat bermanfaat bagi pembaca pada khususnya, dan dunia pendidikan dalam meningkatkan kualitas pengajaran matematika pada umumnya. umumnya. Wassalamu’alaikum Wassalamu’alaikum Wr. Wb. Serang, Agustus 2012 Penulis

ii

KATA PENGANTAR

Assalamu’alaikum Assalamu’alaikum Wr. Wb. Dengan segala kerendahan hati, kami panjatkan puji dan syukur ke Hadirat Allah SWT yang telah melimpahkan Rahmat dan Karunia-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan buku “Matematika Dasar” ini. Tulisan ini disusun dalam rangka untuk melengkapi kebutuhan mahasiswa PGSD ataupun guru SD terhadap materi matematika terkait konsepkonsep dasar yang ada dalam matematika. Dalam buku ini, materi m ateri matematika disajikan se-diskriptif se-diskriptif mungkin, supaya lebih

mudah

dipahami.

Melalui

buku

ini,

diharapkan

pembaca

dapat

mengkonstruksi pemahaman tentang konsep-konsep matematika dasar secara baik dan benar, sebagai bekal pengenalan matematika yang lebih kompleks. Dengan pemahaman yang baik dan benar inilah, nantinya dapat dibelajarkan ke siswa juga dengan baik dan benar, sehingga materi dapat tersampaikan sebaik mungkin. Pada kesempatan ini, penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu sampai terselesaikannya tulisan ini. Khususnya, kepada suamiku tercinta yang selalu men- suport dan juga selaku editor. Tak lupa, penulis ucapkan terima kasih kepada anakku tersayang, telah bersedia berbagi waktu, disela-sela tidurnya. “ You are my soul ”. ”. Penulis menyadari bahwa dalam penyusunan buku ini, masih banyak kekurangan. kekurangan. Oleh karena itu, penulis mengharapkan mengharapkan saran, kritik, serta masukan tambahan dari para pembaca semua yang sifatnya melengkapi demi tercapainya tercapainya kesempurnaan buku ini. Akhirnya, penulis berharap semoga tulisan ini dapat bermanfaat bagi pembaca pada khususnya, dan dunia pendidikan dalam meningkatkan kualitas pengajaran matematika pada umumnya. umumnya. Wassalamu’alaikum Wassalamu’alaikum Wr. Wb. Serang, Agustus 2012 Penulis

ii

Teruntuk: Teruntuk ::

My partner in adventure , Budi Sigit Purwono My future , Haysen Pramudya Yuwono My parents , Bapak Sardi Hadisiswoyo & Ibu Jiyah

“Hanya dengan cinta, hidup ini terasa indah” indah”

= Terima kasih =

iii

DAFTAR ISI

Daftar Isi

Halaman

Cover .............................................................................................

i

Kata Pengantar .............................................................................................

ii

Persembahan ................................................................................................

iii

Daftar Isi........................................................................................................

iv

Halaman

BAB I. HIMPUNAN

A. Pengertian Himpunan ...........................................................................

1

B. Hubungan Dua/Lebih Himpunan...........................................................

3

C. Sifat-sifat pada Operasi Himpunan .......................................................

8

BAB II. RELASI DAN FUNGSI

A.

Relasi ...................................................................................................

9

B.

Fungsi ..................................................................................................

11

BAB III. SISTEM BILANGAN

A. Bilangan Asli ........................................................................................

16

B. Bilangan Bulat .....................................................................................

17

C. Bilangan Rasional ................................................................................

17

D. Bilangan Real ......................................................................................

18

E. Bilangan Kompleks ..............................................................................

18

F. Operasi pada Bilangan ........................................................................

18

BAB IV. PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINE AR

A. Persamaan Linear ...............................................................................

20

B. Pertidaksamaan Linear ........................................................................

24

BAB V. DERET

A. Barisan dan Deret Aritmatika ...............................................................

29

B. Barisan dan Deret Geometri ................................................................

31

C. Deret Tak Hingga ................................................................................

32

BAB VI. LOGARITMA

.................................................................................

33

BAB VII. GEOMETRI TRANSFORMASI

A. Translasi...............................................................................................

36

B. Refleksi.................................................................................................

39

C. Rotasi ...................................................................................................

42

D. Dilatasi .................................................................................................

44

iv

BAB VIII. LOGIKA MATEMATIKA

A. Pernyataan dan Negasinya .................................................................

47

B. Tautologi .............................................................................................

61

C. Kuantor ...............................................................................................

67

BAB IX. PEMECAHAN MASALAH MATEMATIKA

A. Masalah Matematika ...........................................................................

69

B. Pemecahan Masalah Matematik .........................................................

70

DAFTAR PUSTAKA .....................................................................................

74

SOAL-SOAL

76

................................................................................................

TENTANG PENULIS ....................................................................................

-Selamat Membaca- -- Selamat Membaca -

v

89

BAB I HIMPUNAN

A. Pengertian Himpunan Dalam kehidupan sehari-hari seringkali kita mendengar istilah seperti, himpunan mahasiswa Indonesia, gugus pramuka siaga, perkumpulan pengurus Masjid Ar Rahman ataupun masih banyak lagi. Tapi apa sih yang dimaksud dengan himpunan, gugus, dan perkumpulan di sini? Himpunan mahasiswa Indonesia, m engandung arti bahwa yang tergabung di dalamnya hanyalah mahasiswa-mahasiswa Indonesia, bukan mahasiswa selain dari negara Indonesia. Sedangkan gugus pramuka siaga, hanya untuk himpunan pramuka yang termasuk dalam golongan siaga saja, bukan yang lain. Begitu pula untuk perkumpulan pengurus Masjid Ar Rahman, hanya untuk himpunan/perkumpulan pengurus Masjid Ar Rahman saja, bukan pengurus masjid yang. Himpunan dalam konteks matematika dapat diartikan sebagai suatu kumpulan dari objek-objek (berbeda) yang didefinisikan dengan jelas. Objekobjek dari himpunan yang dimaksud adalah suatu objek yang dapat ditentukan dengan pasti termasuk dalam himpunan tersebut atau tidak termasuk dalam himpunan tersebut. Objek yang termasuk dalam himpunan itu disebut anggota/unsur atau elemen dari himpunan tersebut. Nama suatu himpunan ditulis dengan huruf kapital, seperti A, B, C, dan seterusnya. Sementara anggota dari suatu himpunan disimbolkan dengan huruf alfabet kecil, seperti a, b, atau c,

a,b,c”. Sedangkan notasi “a∈A” dibaca “a adalah anggota/elemen dari A sedangkan jika tertulis “d ∉A” dibaca “d bukan sehingga dapat ditulis, misalkan “A=

anggota/elemen dari A”. 1. Keanggotaan suatu Himpunan Setiap objek dalam himpunan disebut anggota atau elemen atau unsur.

∈

Anggota suatu himpunan dinyatakan dengan simbol “ ”, jika bukan anggota

∉

himpunan dinyatakan dengan symbol “ ”. Banyaknya anggota himpunan A adalah jumlah semua anggota himpunan A, yang ditulis “n(A)”.

Matematika Dasar-Isro’s Docs

1

Contoh:

1,2,3, maka dapat ditulis

∈ 1,2,3 atau 1 ∈ P 2 ∈ 1,2,3 atau 2 ∈ P 3 ∈ 1,2,3 atau 3 ∈ P

P=

1

2. Menyatakan suatu Himpunan a. Cara daftar (tabulasi) yaitu cara menyatakan suatu himpunan dengan cara mendaftar/menuliskan anggota-anggota himpunan tersebut di antara kurung kurawal buka ( { ) dan kurung kurawal tutup ( } ), dan setiap dua anggota dipisahkan dengan tanda koma (,). Contoh: 1) P=

2,3,5,7 adalah

himpunan empat bilangan prima pertama, atau

himpunan bilangan prima satu angka. Dalam mendaftar anggotaanggotanya, urutan anggota-anggotanya tidak diperhatikan, sehingga himpunan tersebut dapat pula dinyatakan sebagai

7,3,5,2, dan seterusnya.

2,3,5,7, 2,5,3,7,

2) Dalam matematika, suatu himpunan mungkin hanya mempunyai satu anggota atau disebut juga singleton, misal Q=

, yaitu himpunan

sebuah nama bulan yang diawali dengan huruf a. 3) Bahkan dalam matematika mungkin terdapat suatu himpunan yang tidak mempunyai anggota atau yang disebut himpunan kosong, dan diberi simbol

  atau �. Misalnya, himpunan bilangan prima yang kurang dari 0 � ?

2. Bagaimana dengan

dan

4) Apabila suatu himpunan mempunyai banyak anggota, maka dapat dinotasikan dengan menuliskan tiga atau empat anggota dan diikuti tiga titik. Tiga atau empat anggota yang dituliskan harus dapat memberi petunjuk untuk menentukan anggota-anggota berikutnya. Misalkan,

0,1,2,3,4,…  adalah himpunan (semua) bilangan cacah; S= 1,2,3,… adalah himpunan bilangan asli. Tetapi jika hanya dituliskan S=1,2,3,…, maka himpunan ini mempunyai dua kemungkinan, yaitu 1,2,3,4,5,…  atau dapat pula S= 1,2,3,5,8,13,… . Penulisan seperti ini harus dihindari, R=

supaya tidak menimbulkan salah arti.


2

b. Cara deskripsi yaitu cara menyatakan suatu himpunan dengan kata-kata atau kalimat. Contoh: B adalah himpunan bilangan bulat; G adalah himpunan bilangan buat ganjil. c. Cara notasi pembentuk himpunan yaitu menyatakan suatu himpunan dengan

cara

menuliskan/menyebutkan

syarat

keanggotaan

suatu

himpunan. Untuk menyatakan syarat keanggotaan suatu himpunan adalah dengan cara menuliskan satu huruf sembarang sebagai peubah dari anggota-anggotanya. anggota-anggotanya. Syarat keanggotaan k eanggotaan ini harus terdefinisi dengan jelas, artinya sesuatu objek harus dapat ditentukan dengan pasti, apakah termasuk anggota himpunan tersebut atau tidak. Contoh:

1,2,3,4,… 1,2,3,4,…  dapat dinyatakan himpunan, yaitu A=x|x ∈ bilangan asli asli. Himpunan A=

dengan notasi pembentuk

B adalah himpunan bilangan bulat, jika G adalah himpunan semua bilangan bulat yang ganjil, maka G dapat ditulis G=

2n+1|nϵB 2n+1|nϵB G=2n+ 2n + 1|n bilan bilangan gan bula bulatt.

singkatnya

G=

atau

x|x x|x = 2n+ 2n + 1,nϵB 1,nϵB atau lebih dapat

pula

ditulis

Apabila banyak anggota suatu himpunan adalah berhingga, maka himpunan itu disebut himpunan berhingga (finite ( finite set ). ). Dan apabila banyaknya anggota suatu himpunan adalah tak hingga, maka himpunan tersebut disebut himpunan tak hingga (infinite (infinite set ). ). Sebagai contoh:

1,2,3,4,…,128999 1,2,3,4,…,128999 adalah suatu himpunan berhingga. E=x|0 < x < 1 dan x bilangan real real  adalah suatu himpunan tak hingga. D=

B. Hubungan Dua/Lebih Himpunan Tiap dua himpunan atau lebih mempunyai hubungan, diantaranya: 1. Himpunan yang satu merupakan himpunan bagian yang lain 2. Dua himpunan saling saling lepas (asing) 3. Dua himpunan sama 4. Dua himpunan himpunan yang ekuivalen Berikut akan dijelaskan secara lebih rinci.


3

Himpunan Bagian

1,5 dan B=0,1,2,3,4,5. Perhatikan bahwa, 1 dan 5 masing-

Misalkan A=

masing merupakan anggota dari himpunan A dan himpunan B. dapat dikatakan bahwa setiap anggota himpunan A merupakan anggota dari himpunan B juga. Hal seperti ini dikatakan bahwa himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan B. Dengan kata lain, himpunan A adalah himpunan bagian dari

⊂ ),

⊂

himpunan B (dapat ditulis A B jika jika setiap anggota A merupakan anggota B. A

B dapat pula dibaca “A termuat dalam B”, yang sama artinya dengan “B memuat

⊃

A” yang diberi simbol dengan “B A”. Apabila A bukan himpunan bagian B, atau

⊄

A tidak termuat dalam B, disimbolkan dengan A B. Memperhatikan pengertian dari

⊂

himpunan bagian, benarkah bahwa A A, untuk setiap himpunan A? Bagaimana pula dengan

∅ ⊂ A,

benarkah ? Inilah yang dikatakan bahwa A dan

∅

adalah himpunan

bagian tak sejati (improper (improper subset ) dari A, sedangkan selain A dan

∅

(jika ada)

disebut himpunan bagian sejati (proper (proper subset ) dari A. Untuk selanjutnya, jika tidak ada keterangan apa-apa, maka yang dimaksud himpunan bagian adalah mencakup himpunan bagian sejati dan himpunan bagian tak sejati. Banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari suatu himpunan yang beranggotakan n , adalah 2n. Silahkan Anda buktikan !

a,b,c a,b,c, maka banyaknya himpunan bagian dari A adalah 2 = ∅, ∅, a, b, c, a,b a, b, a,c a, c, b,c b, c, A. Banyaknya anggota himpunan A diberi Jika A=

3

simbol n(A), banyak anggota himpunan bagiannya diberi simbol n(2 n(A))

Dalam

suatu pembicaraan atau pembahasan, kadang kita perlu membatasi supaya pembahasan kita terfokus pada permasalahan yang sedang dibahas. Dalam pembahasan himpunan, kita perlu menetapkan suatu himpunan yang anggotaanggota atau himpunan bagian himpunan bagiannya merupakan sumber pembahasan. Himpunan seperti inilah yang dikatakan himpunan semesta atau semesta pembicaraan (universal (universal set ), ), yang sering disimbolkan S atau U. Himpunan semesta yang ditetapkan tergantung pada permasalahan yang sedang

dibahas,

tetapi

harus

diingat

bahwa

himpunan-himpunan

pada

permasalahan yang dihadapi harus merupakan himpunan bagian-himpunan bagian dari himpunan semesta yang dipilih. Hubungan antar dua atau beberapa himpunan dapat digambarkan dalam suatu diagram, yang disebut Diagram Venn-Euler atau sering disebut Matematika Dasar-Isro’s Docs

4

Diagram Venn saja. Himpunan semesta biasa digambarkan sebagai persegi panjang dan himpunan bagian-himpunan bagian-himpunan bagiannya digambarkan sebagai kurvakurva tertutup sederhana. sederhana. Dua Himpunan Saling Lepas

1,2,3,4,5 dan B=6,7,8,9,100, maka A dan B dikatakan saling

Jika A=

lepas, dan disimbolkan A//B, dibaca A lepas dengan B. Dua himpunan yang tidak kosong A dan B dikatakan saling lepas, jika kedua himpunan tersebut tidak mempunyai anggota persekutuan, atau setiap anggota A bukan anggota B dan setiap anggota B bukan anggota A. Dua Himpunan Sama Perhatikan himpunan A dan B berikut ini.

1,2,3,4 dan B=2,4,1,3. Samakah himpunan A dengan himpunan B?

A=

Dua himpunan A dan B dikatakan sama (ditulis A=B) jika setiap anggota A merupakan anggota B, dan setiap anggota B merupakan anggota A. Atau dapat

⊂

⊂

ditulis lebih singkat menjadi A=B jika hanya jika A B dan B A. Himpunanhimpunan A dan B dikatakan sama (A=B) jika A merupakan himpunan bagian dari B dan B merupakan himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka

≠

dikatakan bahwa A tidak sama dengan B (A B). Dua Himpunan Ekuivalen Sebuah himpunan A=

1,3,5,7,9 dan

himpunan B=

a,i,u,e,o a,i,u,e,o.

Kedua

himpunan tersebut mempunyai jumlah banyak anggota yang sama, yaitu lima. Oleh karena itu dikatakan, himpunan A ekuivalen dengan himpunan B, dan

∼

disimbolkan A B. Dua himpunan berhingga A dan B dengan n(A)=n(B), yaitu banyaknya anggota A sama dengan banyaknya anggota B, maka dikatakan bahwa

∼

himpunan A ekuivalen dengan himpunan B (A B). Apabila himpunan A sama

∼

∼

dengan B, maka A B, tetapi jika A B belum tentu himpunan A sama dengan B. Mengapa demikian?


5

Dua Himpunan Beririsan

1,2,3,4,5,6 dan B=1,3,5,7,9. Perhatikan masing-masing

Misalkan A=

anggota dari kedua himpunan tersebut. 1, 3, dan 5 adalah anggota yang dimiliki

1,3,5 adalah anggota persekutuan A dan B, atau yang dapat ditulis A∩B=1,3,5. Simbol “A∩B” dibaca “A irisan B”. oleh A maupun B. Dengan kata lain,

Sedangkan gambar diagram Venn -nya adalah sebagai berikut. S

A

B

Perhatikan daerah arsiran di atas, daerah tersebut adalah daerah yang

∩ 1,3,5.

menunjukkan A B=

∩

Bagaimana dengan B A?

Irisan dari himpunan A dan himpunan B adalah himpunan semua anggota persekutuan himpunan A dan himpunan B, atau dengan kata lain, himpunan yang anggota-anggotanya adalah semua anggota A yang sekaligus sebagai anggota B. Atau didefinisikan juga sebagai berikut.

∩ x|x ∈ A ∧ x ∈ B atau A∩B=x|x ∈ A dan x ∈ B

A B=

Gabungan Dua Himpunan

∪

Gabungan himpunan A dan B (ditulis A B, dibaca A gabungan/union B) adalah himpunan dari semua anggota himpunan A atau himpunan B, yang dapat ditulis,

∪ x|x ∈ A∨ x ∈ B atau A∪B=x|x ∈ A atau x ∈ B

A B=

Bila digambarkan dengan diagram Venn, maka representasinya adalah sebagai berikut. S

A

B

∪

Bagaimana jikalau B A?


6

Komplemen suatu Himpunan Misalkan S adalah suatu himpunan semesta, maka komplemen himpunan A (disimbolkan

A atau A, dibaca A komplemen) adalah himpunan dari semua

anggota himpunan semesta S yang bukan merupakan anggota A. Atau dapat ditulis,

A=x|x ∈ S∧x ∉ A atau A=x|x ∈ S dan x ∉ A Dengan demikian, maka

A⋃A = S, (A) = A, S = ∅, dan ∅ = S Bila digambarkan dengan diagram Venn, maka representasinya adalah sebagai berikut. S A

A

Sebagaimana bunyi hukum de Morgan,

(A∩B) = A ∪ B dan (A∪B) = A ∩ B Silahkan Anda buktikan, sebagai latihan!

Selisih Dua Himpunan Himpunan A dikurangi himpunan B (ditulis A-B, dibaca A kurang B) adalah himpunan dari anggota-anggota himpunan A yang bukan merupakan anggota B. Atau dapat ditulis,

A− B = x|x ∈ A∧x ∉ B atau A− B = A∩ B Bila digambarkan dengan diagram Venn, maka representasinya adalah sebagai berikut. S

A

B


7

Perkalian Dua Himpunan Jika A dan B adalah dua buah himpunan tidak kosong, maka himpunan hasil perkalian dari A ke B (produk Cartesius dari A ke B) adalah himpunan

∈ ∈

semua pasangan berurutan (x,y) dengan x A, y B, atau yang dapat ditulis,

A� B = (x,y)|x ∈ A∧y ∈ B Simbol “A�B” dibaca “A kros B, atau A kali B, atau A silang B”. Dalam pasangan berurutan, sepasang x dan y, dengan x pada urutan pertama dan y pada urutan kedua, ditulis (x,y). Yang harus diingat, bahwa pasangan berurutan (x,y) berbeda dengan pasangan berurutan (y,x). Contoh.

1,2,3 dan B=a,b, maka AxB=(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b), sedangkan BxA=(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3)

Misalkan A=

Perhatikan pada contoh tersebut, n(A)=3 dan n(B)=2, maka n(

BxA)=2x3=6.

n(

AxB)=3x2=6,

Bagaimana kesimpulan Anda dalam hal ini?

C. Sifat-sifat pada Operasi Himpunan 1. Komutatif A ∩ B = B ∩ A dan A U B = B U A 2. Asosiatif (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (A U B) U C = A U (B U C) 3. Distributif A ∩ (B U C) = (A

∩ B)

A U (B ∩ C) = (A U B)

U (A ∩ C) ∩ (A

U C)

4. Hukum de Morgan

(A∩B) = A ∪ B (A∪B) = A ∩ B Silahkan Anda buktikan, sebagai latihan!


8

BAB II RELASI DAN FUNGSI

A. Relasi Istilah relasi yang dapat diartikan ‘hubungan’, tentunya sudah sering kita dengarkan dalam kehidupan sehari-hari. Seperti hubungan ‘anak’ dengan ‘ayah’, hubungan ‘guru’ dengan ‘murid’, dan masih banyak lagi. Dalam matematika, untuk mendefinisikan sebuah relasi, perlu dipahami terlebih dahulu tentang pengertian himpunan, pasangan berurutan, produk Cartesius , dan kalimat terbuka. Apa yang dimaksud ‘kalimat terbuka’ disini? Untuk lebih jelasnya, perhatikan kasus berikut.

Haysen,Haydar,Nisa Himpunan nomor sepatu, B=36,37,38,39,40 Himpunan tiga siswa SMP, A=

Deskripsi: Haysen biasa menggunakan sepatu nomor 38, tetapi kadang pula memakai sepatu nomor 39 jika lain mereknya. Sementara Haydar bernomor sepatu 38. Dan Nisa bernomor sepatu 36, tetapi untuk merek tertentu, nomor tersebut kekecilan untuk kakinya, sehingga harus memilih sepatu dengan nomor 37. Analisis: Dari deskripsi di atas, dapat kita tentukan suatu relasi dari himpunan A (siswa SMP) ke himpunan B (nomor sepatu), yang relasinya disebut “nomor sepatunya” atau “memakai sepatu nomor”. Jika relasi tersebut digambarkan dalam diagram panah, maka hasilnya adalah sebagai berikut. A Haysen Haydar Nisa

B

36 37 38 39 40

Tanda panah menyatakan pasangan anggota-anggota himpunan yang berelasi, dan anak panah menunjukkan arah relasi tersebut, yaitu dari A ke B. Matematika Dasar-Isro’s Docs

9

arah tersebut tidak boleh terbalik, karena relasi dari A ke B tidak sama dengan relasi dari B ke A. Selain dalam bentuk diagram panah, relasi ini juga dapat dinyatakan dalam bentuk pasangan berurutan, yaitu misalnya (Haysen,38), dan demikian juga untuk pasangan-pasangan relasi yang lain. Jadi, jika relasi tersebut kita tulis dalam bentuk pasangan berurutan, maka

(Haysen,38),(Haysen,39),(Haydar,38),(Nisa,36),(Nisa,37)

R=

Coba Anda analisa, bagaimana jika dibuat relasi dari B ke A! Dengan demikian, apa yang dimaksud relasi?

Relasi (atau yang sering ditulis “R”) dengan suatu kalimat terbuka dari himpunan A dan B adalah sebuah himpunan yang anggota-anggotanya semua pasangan berurutan (x,y), dengan

x ∈ A dan y ∈ B, sedemikian hingga kalimat

terbuka tersebut menjadi bernilai benar.

∈

Perlu diketahui, jika (a,b) R, artinya aRb, dan dibaca “a berelasi R dengan b”,

∉ Sedangkan, 36,37,38,39 dikatakan sebagai range (daerah hasil)

sedangkan jika (x,y) R, artinya xRy, dan dibaca “x tidak berelasi dengan y”.

Selain menyatakan sebuah relasi dengan diagram panah dan pasangan berurutan, dapat juga dinyatakan dalam bentuk diagram Koordinat/Grafik. B

40 39 38 37 36

Haysen

Haydar

Nisa

A

Dari contoh kasus di atas, maka diperoleh:

Haysen,Haydar,Nisa=himpunan A Kodomain (K)=36,37,38,39,40=himpunan B Range (Rg)=36,37,38,39 Domain (D)=

Jika kita perhatikan, relasi R dari A ke B, kemudian kita bandingkan dengan produk Cartesius (perkalian himpunan) dari A ke B, jelaslah bahwa relasi R itu merupakan himpunan bagian dari A x B. Matematika Dasar-Isro’s Docs

10

Dengan demikian, jika A dan B adalah himpunan yang diketahui, dan di antara anggota-anggotanya ditentukan suatu relasi R dari A ke B, maka relasi R ini merupakan himpunan bagian dari A x B. Domain dari relasi R tersebut adalah himpunan bagian dari A yang terdiri dari elemen pertama dari semua pasangan berurutan anggota R. Sedangkan range dari relasi R terdiri dari elemen kedua pada semua pasangan berurutan pada R. Dapat juga dituliskan,

x|x ∈ A,(x,y) ∈ R Range= Rg =y|y ∈ B,(x,y) ∈ R Domain = D =

Setiap relasi R dari himpunan A ke himpunan B, yang didefinisikan

(x,y)|x ∈ A,y ∈ B,kalimat terbuka P(x,y) benar selalu mempunyai relasi invers R dari himpunan B ke himpunan A, yang didefinisikan R =(y,x)|(x,y) ∈ R. Jadi, jika R sebuah relasi dari A ke B, maka R adalah sebuah relasi dari B ke A. Unsur-unsur relasi R dicari berdasar pada, jika (x,y) ∈ R, maka (y,x) ∈ R, dengan titik (y,x) diperoleh dengan cara mencerminkan titik (x,y) terhadap R=

garis y=x. Akibatnya, titik (y,x) adalah peta (bayangan) titik(x,y) dalam pencerminan terhadap garis y=x. B. Fungsi Perhatikan relasi ‘anaknya’ dari himpunan anak-anak (A) ke himpunan ayah-ayahnya (B), sebagaimana ditunjukkan diagram panah berikut. A

B

Adi

Ahmad

Budi

Kardi

Andi

Karto

Dodi

Cokro

Setiap anak hanya mempunyai satu ayah, sehingga setiap anggota A dipasangkan dengan tepat satu anggota B. Relasi yang demikian, dinamakan fungsi (pemetaan). Dengan kata lain, fungsi adalah suatu bentuk yang khusus dari relasi. Suatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi yang memasangkan setiap anggota dari A dengan tepat satu anggota dari B, yang disimbolkan,

f:A → B.


11

f:A → B. Grafik f ∗ dari fungsi f terdiri dari semua pasangan berurutan dengan a ∈ A Misalkan, f suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B, jadi

sebagai anggota pertama, dan petanya (bayangannya) adalah f(a) sebagai anggota ke dua. Secara matematis, dapat dituliskan,

f ∗ = (a,b)|a ∈ A,b = f(a) Perlu diperhatikan, bahwa f ∗, yaitu grafik fungsi f:A → B adalah himpunan bagian dari A x B.

f ∗ ⊂ A x B dan f ∗ memiliki sifat sebagai berikut: 1. Untuk setiap a ∈ A, ada pasangan berurutan (a,b) ∈ f ∗ 2. Tidak ada dua pasangan berurutan berlainan dalam

f ∗ yang memilki elemen

pertama sama.

∈

Dengan demikian, untuk setiap a A ada tepat satu elemen b sehingga (a,b)

∈ B, sedemikian

∈ f ∗. Sifat 1) menjamin bahwa tiap elemen a ∈ A mempunyai peta

dalam himpunan B. Sedangkan sifat 2) menjamin bahwa peta ini adalah tunggal.

f ∗ mendefinisikan sebuah fungsi dari A ke B. Jadi, ada korespondensi antara fungsi f:A → B dengan himpunan bagian

Dengan demikian,

dalam A x B yang memiliki sifat 1) dan 2). Dengan kata lain, suatu fungsi f dari A ke B adalah himpunan bagian dari A x B yang bersifat bahwa setiap a

∈ A,

sebagai anggota pertama hanya dalam satu pasangan berurutan yang berada di

f ∗. Sama haknya pada relasi, dalam fungsi juga terdapat domain, kodomain, dan

f:A → B, maka Domain = D = x|x ∈ A,(x,y) ∈ f  Kodomain = K = B, f(A) ⊆ B Range = Rg = y|y ∈ B,(x,y) ∈ f = f(A)

range, yaitu jika

Berdasarkan jenis range-nya, fungsi dibedakan menjadi beberapa macam.


12

Fungsi Into

f:A → B dan f(A) ⊂ B, maka f dinamakan fungsi into. Hal ini berarti,

Jika

ada elemen B yang bukan merupakan peta (bayangan) dari elemen A. Contoh:

f:A   B

A

B

a a a

b b b

Fungi Onto

f:A → B dan f (A) = B, maka f dinamakan fungsi onto. Hal ini berarti, bahwa setiap b ∈ B merupakan peta (bayangan) dari paling sedikitnya satu Jika

elemen A. Contoh:

f:A   B A

B

a a a

b b


13

Fungsi 1-1 (satu-satu) Misalkan,

f:A → B dan untuk setiap a,a ∈ A, dengan a ≠ a berlaku

f (a) ≠ f (a), maka dinamakan fungsi 1-1 (satu-satu). Contoh:

1.

2.

f:A   B A

B

a a a

b b b

f:A   B A

B

a a

b b b

Coba perhatikan kembali contoh no.1 dan 2 di atas, bandingkan! Kesimpulan apa yang anda dapatkan? Fungsi Konstan Jika

f

f:A → B bersifat bahwa setiap elemen A dipetakan pada satu elemen

B, maka dinamakan fungsi konstan. Contoh: A

a a a

B

b


14

Fungsi Identitas Jika

f:A → B dengan B = A dan f (a) = a, ∀ a ∈ A, maka f dinamakan

fungsi identitas. Contoh: A

B

a a a

a a a

f:A → B dan b ∈ B, maka invers (terhadap fungsi f) yang dilambangkan f  (b) adalah himpunan anggota dalam  yang elemen petanya adalah . Sehingga dapat dituliskan, f  = x|x ∈ A,f (x) = b Perlu diperhatikan bahwa f  (b) ⊆ A,sedangkan f  dibaca “invers fungsi f”. Misalkan f:A → B. Pada umumnya f (b) dapat lebih dari satu elemen, tetapi dapat pula kosong. Jika f:A → B suatu fungsi yang 1-1 dan onto (satu-satu onto), maka untuk setiap b ∈ B, himpunan f  (b) terdiri atas tepat satu elemen dalam A. Dengan demikian, ada aturan yang mengaitkan tiap elemen b dalam B dengan satu elemen tunggal f (b) di A. Akibatnya, f  adalah sebuah fungsi dari B ke A. Jadi, f :B → A adalah suatu fungsi. Jika f:A → B adalah fungsi 1-1 dan onto (1-1 onto), maka f  :B → A Misalkan, diketahui suatu fungsi

adalah sebuah fungsi juga. Jika demikian halnya, maka disebut fungsi invertible .


15

BAB III SISTEM BILANGAN

Perhatikan tabel berikut! ��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

Dalam matematika, sistem bilangan dapat diartikan sebagai himpunan dari bilangan-bilangan, beserta operasi-operasi yang berlaku di dalamnya, seperti penjumlahan, perkalian, ataupun operasi lainnya. Bilangan adalah suatu unsur dalam matematika yang tidak didefinisikan. Bilangan dibedakan antara nilai dan lambangnya. Bilangan adalah suatu hal yang penting dalam matematika, matematika tidak akan terlepas dari bilangan. Sistem bilangan setidaknya, meliputi: bilangan asli, bilangan cacah, bilangan bulat, bilangan rasional, bilangan real, serta bilangan kompleks. Coba Anda perhatikan kembali tabel di atas! A. Bilangan Asli Himpunan bilangan asli adalah himpunan bilangan yang lebih besar dari 0 (nol). Himpunan bilangan ini dinotasikan dengan . Oleh karena itu dapat dituliskan dengan, = 1,2,3,4,5, … 


16

Bilangan asli memiliki setidaknya 2 tujuan, yaitu 1) untuk menghitung (cardinal number ); 2) untuk menyatakan tingkatan (ordinal number ). Jika dalam himpunan tersebut ditambahkan dengan nol, maka menjadi himpunan bilangan cacah, yaitu:

+0=0,1,2,3,4,5,…  B. Bilangan Bulat Untuk menyatakan bilangan yang bernilai 2 kurangnya 0, adalah negatif 2 atau -2. Suhu di daerah kutub rata-rata 20 o dibawah 0o dinyatakan -20o, untuk itu kita harus memperluas himpunan bilangan cacah dengan himpunan bilangan lain yaitu dengan himpunan lawan dari bilangan asli atau himpunan bilangan bulat negatif yang disebut bilangan bulat yaitu: {…,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...}. Sesuai dengan namanya, bulat, berarti tidak menyertakan pecahan, baik itu positif, negatif, ataupun bilangan nol. Dalam bilangan bulat, dikatakan positif jika bilangan tersebut lebih besar dari 0, dan dikatakan negatif jika bilangan tersebut lebih kecil dari 0. Bagaimana dengan 0 itu sendiri? Bilangan nol kita pergunakan untuk penulisan nilai tempat pada suatu sistem numerasi, sehingga kita dapat membedakan antara bilangan 21, 20, dan 201. Bilangan bulat dinotasikan dengan

ℤ (Zahlen, German for numbers )

sehingga,

ℤ=…,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,5,… C. Bilangan Rasional Jika pecahan tidak termasuk dalam bilangan bulat, maka ia dapat dikelompokkan ke dalam bilangan rasional. Bilangan rasional adalah bilangan

 

yang dapat dinyatakan sebagai , dimana a,b

∈ ℤ dan b≠0, dan diberi simbol ℚ

(quotient ).

 , dimana a,b ∈ ℤ dan b≠0? Inilah yang disebut dengan bilangan irrasional ( ℚ ), Bagaimana dengan bilangan yang tidak dapat dinyatakan dengan

seperti

√ 2, , dan . Jika kita perhatikan tidak semua desimal adalah merupakan

bilangan rasional. Bagaimana mengidentifikasikan hal ini?


17

D. Bilangan Real Gabungan antara bilangan rasional dan bilangan irasional adalah bilangan real, dan dinotasikan

ℝ. Dengan perluasan dari bilangan asli, bilangan

cacah, bilangan bulat, bilangan rasional, bilangan irasional, dan bilangan real, maka himpunan titik-titik pada garis bilangan (grafik

Cartesius )

dapat

dikorespondensikan satu-satu dengan setiap bilangan real. Bilangan real dapat diilustrasikan dalam sebuah diagram Venn , sebagai berikut.

ℝ ℚ

ℚ

Jika kita mendengar bilangan real, apakah ada bilangan yang unreal ? Ada, yaitu bilangan imajiner, seperti

i = √ −1.

Bilangan imajiner ini banyak

dipakai pada bilangan kompleks.

E. Bilangan Kompleks Bilangan kompleks biasa digunakan dalam menyatakan sebuah vektor. Sebuah vektor mempunyai besaran dan arah. Bilangan kompleks dapat dinyatakan sebagai penjumlahan, selisih, atau hasil kali antara bilangan real dengan bilangan imajiner. Contoh dari bilangan kompleks, seperti halnya: dimana

a,b ∈ ℝ dan i ∈ bilangan imajiner.

ai+b,

F. Operasi pada Bilangan Operasi hitung pada sistem bilangan ada 4 (empat) macam, yaitu operasi tambah, operasi kurang, operasi kali, dan operasi bagi. Yang menjadi dasar adalah operasi tambah. Pengurangan adalah operasi invers dari operasi tambah, perkalian adalah penjumlahan berulang dan pembagian adalah operasi invers dari perkalian. Selanjutnya keempat operasi itu dikembangkan pula menjadi proses operasi perpangkatan dan operasi logaritma.


18

Sifat-sifat Operasi dalam Bilangan 1. Komutatif a+b=b+a axb=bxa 2. Asosiatif (a + b) + c = a + (b + c) (a x b) x c = a x (b x c ) 3. Distributif (a + b) x c = (a x c) + (b x c) (a – b) x c = (a x c) – (b x c) (a + b) : c = (a : c ) + (b : c) (a – b) : c = (a : c) – (b : c) Pangkat Rasional 1. Pangkat bulat positif  an •

am x an = am+n

•

am : an = am-n

•

(am)n = amxn

(ab)n = an x bn

•

•



n

=



2. Pangkat bulat negatif dan nol •

•

a =  a = 1

3. Pangkat pecahan dan bentuk akar •

•

a = √ a a = √ a

Bentuk akar •

a√ n + b√ n = (a + b) √ n


19

BAB IV PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR

A. PERSAMAAN LINEAR Apa yang dimaksud dengan persamaan linear? Dasar dari suatu persamaan adalah sebuah pernyataan matematika yang terdiri dari dua buah ungkapan yaitu pada ruas kanan dan ruas kiri yang dipisahkan oleh tanda “=” (sama dengan). Sedangkan linear artinya “lurus”. Dengan demikian, persamaan linear adalah sebuah persamaan yang jika digambarkan dalam sebuah grafik, grafiknya akan berbentuk garis lurus. Hal ini karena dalam persamaan linear hanya ada satu variabel peubah, yang jika varibel tersebut disubstitusikan ke dalam persamaan (pernyataan matematika), menyebabkan persamaan (pernyataan matematika) tersebut bernilai benar. Contoh bentuk-bentuk persamaan linear: 1. 2. 3.

x = 10 4x+1 = 16 3x+2 = x+ 29

Perhatikan kembali ketiga contoh di atas!

x

Nilai adalah nilai yang belum diketahui, yang dalam sebuah persamaan disebut sebagai variabel. Sebuah penyalesaian dari suatu persamaan adalah sebuah atau sebarang bilangan (nilai) pengganti variabel yang jika disubstitusikan ke dalam persaman linear, menjadikan persamaan/pernyataan matematika tersebut bernilai benar. Coba Anda cari contoh bentuk persamaan linear dikaitkan dengan kehidupan keseharian kita!

Berdasarkan pada banyaknya macam variabel yang harus dicari nilainya dalam sebuah persamaan linear, persamaan linear ada beberapa macam. Mulai dari persamaan linear dengan satu variabel, persamaan linear dengan dua variabel, dan seterusnya. Akan tetapi sebagai batasan, dalam kesempatan ini, kita hanya akan membahas mengenai persamaan linear dengan satu variabel. Adapun bentuk umum persamaan linear dengan satu variabel: ax + b = c, dimana a


≠ 0 20

Contoh: 1.

5x = 45, persamaan ini mempunyai penyelesaian bilangan 9. Karena 5(9)=45 adalah benar. Bilangan -8 bukan sebuah penyelesaian dari 5x = 45, karena 5(8)=45 adalah salah.

2.

3z+12 = 2z+7,

jika kita selesaikan persamaan ini, maka mempunyai

penyelesaian -5, karena 3(-5)+12=2(-5)+7 adalah sebuah pernyataan yang benar. Dalam rangka menyelesaikan sebuah bentuk persamaan linear (mencari nilai variabelnya), ada dua prinsip yang dapat kita gunakan, yaitu: 1. Prinsip penjumlahan/pengurangan Untuk sebarang bilangan real, a, b, dan c, jika a = b maka a+c = b+c, menjumlahkan kedua ruas, kanan dan kiri dengan bilangan yang sama a-c = b-c,

mengurangi kedua ruas, kanan dan kiri dengan bilangan yang sama

2. Prinsip perkalian/pembagian Untuk sebarang bilangan real, a, b, dan c, jika a = b maka a.c = b.c,

mengalikan kedua ruas, kanan dan kiri dengan bilangan yang sama

 = ,  

membagi kedua ruas, kanan dan kiri dengan bilangan yang sama

Contoh: 1. Selesaikanlah

3x+19 = 31

Penyelesaian:

3x+ 19 = 31 3x+ 19−19 = 31 −19,

kedua ruas dikurangi dengan bilangan yang sama, yaitu 19

3x = 12

3x = 12,

kedua ruas dikalikan dengan bilangan yang sama, yaitu

x =4 Matematika Dasar-Isro’s Docs

 

21

2. Selesaikanlah

3(y− 1)−1 = 2−5(y+ 5)

Penyelesaian:

3(y−1)− 1 = 2 −5(y+5) 3y−3 −1 = 2−5y− 25, sifat distribusi 3y−4 = −5y−23 3y−4 +4 = −5y− 23+4, kedua ruas ditambah 4 3y = −5y− 19 3y+sy = −5y−19+5y, kedua ruas ditambah 5y 8y = −19  kedua ruas dikalikan 8y = −19,  y = − 198 Persamaan Ekuivalen Perhatikan contoh berikut!

4x = 16 −5x = −20 2x+ 7 = 15 3x− 5 = x+3 Keempat

persamaan

tersebut

penyelesaian yang sama, yaitu

dikatakan

ekuivalen,

karena

bentuk

persamaan

mempunyai

x|x = 4.

Persamaan Pecahan Yang

membedakan

disini,

hanya

karena

linear-nya

menggunakan unsur bilangan pecahan, contoh:

 +  =     Coba Anda selesaikan persamaan di atas!


22

Persamaan dengan Harga Mutlak Harga mutlak dari sebuah bilangan real

|x| =

x selalu bernilai positif atau nol.

x ≥0 -x, jika x < 0

x, jika

Contoh: 1. |23|=23=|-23| 2. |-41|=-(-41)=41 3. |0|=0 Contoh: Selesaikan

|x−2| = 3

Penyelesaian:

|x−2| = 3, persamaan ini mempunyai dua kemungkinan nilai, yaitu x−2 = 3 atau –(x− 2) = 3 masing-masing persamaan merupakan bagian dari penyelesaian.

x−2 = 3 x− 2+ 2 = 3+ 2 x = 5, II. –(x− 2) = 3 −x+ 2− 2 = 3 −2 −x = 1 x = −1, I.

baru salah satu dari penyelesaian

kedua ruas dibagi dengan -1

Dari persamaan I) dan II) diperoleh himpunan penyelesaian, yaitu

5,−1

Mengapa demikian?


23

B. PERTIDAKSAMAAN LINEAR Sebagaimana

telah

diungkapkan

pada

bagian

terdahulu,

bahwa

persamaan linear adalah sebuah pernyataan matematika yang terdiri dari dua buah ungkapan yaitu pada ruas kanan dan ruas kiri yang dipisahkan oleh tanda “=” (sama dengan), yang jika digambarkan dalam sebuah grafik, maka akan menghasilkan garis linear/lurus. Sekarang apa bedanya dengan pertidaksamaan linear? Yang membedakan hanya tanda pemisah antara pernyataan di ruas kanan dan kiri. Apa yang dimaksud pertidaksamaan? Pertidaksamaan, disimbolkan dengan

≠.

Ini artinya dapat berupa: simbol

> < ≥ ≤

dibaca: lebih dari atau lebih besar kurang dari atau lebih kecil lebih dari atau sama dengan kurang dari atau sama dengan

Lambang-lambang tersebut digunakan pada materi pertidaksamaan. Pada kesempatan ini, hanya akan membahas materi pertidaksamaan linear satu peubah. Pertidaksamaan linear dengan satu peubah adalah pertidaksamaan yang hanya mempunyai satu peubah, misalnya x saja, y saja, atau z saja, ataupun dengan nama variabel lain, dengan pangkat tertinggi peubahnya adalah satu. Adapun prinsip-prinsip operasi bilangan yang berlaku disini, sama dengan prinsip yang berlaku pada persamaan linear, hanya saja ada sedikit perbedaan yaitu, pada prinsip perkalian/pembagian, jika kedua ruas dikalikan/dibagi dengan bilangan negatif yang sama, maka “tanda” harus diubah dari atau

≥, ataupun sebaliknya (menyesuaikan).

< atau ≤ menjadi >

Contoh: Menggunakan prinsip penjumlahan/pengurangan

13 > 7 13 +5 > 7 +5, 18 > 12 2. a+1 < 5 a+ 1− 1 < 5− 1, a< 4 1.


kedua ruas ditambah dengan 5

kedua ruas ditambah dengan -1

24

Contoh: Menggunakan prinsip perkalian/pembagian

12 < 17 5 (12) < 5(17), 60 < 85 2. 10 > 4 −7(10) < −7(4), −70 < −28 3. 6 < 9 −  (6) > −  (9), −2 > −3 1.

kedua ruas dikalikan dengan 5

kedua ruas dikalikan dengan-7

kedua ruas dikalikan dengan

− 

Contoh: Tentukan himpunan penyelesaiannya,

3x−5 < x+2

Penyelesaian:

3x− 5 < x+2 3x− 5+ 5 < x+ 2+ 5, 3x < x+ 7 3x− x < x− x+ 7, 2x < 7  (2x) <  (7),   x < 3 12

kedua ruas ditambah dengan 5

kedua ruas ditambah dengan –x


Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah

 

x|x < 3 .

Contoh: Carilah himpunan penyelesaian dari

2 < x+ 5 < 9

Penyelesaian:

2 < x+ 5 < 9 Untuk menyelesaikan soal ini, ada dua langkah, karena pada soal ini menggunakan kombinasi pertidaksamaan.


25

Langkah 1

2 < x+ 5 kedua ruas ditambah dengan -2 2− 2 < x+ 5− 2, 0 < x+ 3 kedua ruas ditambah dengan –x 0− x < x− x+ 3, −x < 3 kedua ruas dikalikan dengan -1 −1(−x) > −1(3), x > −3 ……………………1) Langkah 2

x+5 < 9 kedua ruas ditambah dengan -5 x+ 5− 5 < 9− 5, x < 4 ………………………2) Dari 1) dan 2), didapat bahwa nilai x antara -3 dan 4 Sehingga dapat ditulis,

−3 < x < 4 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah

x| −3 < x < 4.

Dapatkah diselesaikan dengan cara yang lebih sederhana, coba Anda pikirkan!

PERTIDAKSAMAAN BENTUK PECAHAN Untuk

menyelesaikan

pertidaksamaan

bentuk

pecahan

ini,

dapat

menggunakan perkalian peubah (variabel). Contoh: Selesaikan

z > 7 − z 3 4 Penyelesaian: z > 7 − z 3 4 12 > 127− , 4z > 84 −3 4z+3z > 84−3+3, 7z > 84  (7z) >  (84),   z > 12 Matematika Dasar-Isro’s Docs

kedua ruas dikalikan dengan 12\

kedua ruas ditambah dengan 3z

kedua ruas dikalikan

  26

Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari

   − 4 < 1+ 

Penyelesaian:

   −4 < 1 +  (x−1) −4 < ( −1)1 +  ,

3−4(x−1) < (x− 1) +1 3−4x+4 < x 7−4x < x 7− 7− 4x < x− 7, −4x < x−7 −4x− x < x− x− 7, −5x < −7 (−5x) < (−7), −x < − , x > 75

kedua ruas dikalikan dengan x-1


kedua ruas ditambah dengan –x


 

jika kedua ruas dibagi dengan -1 maka

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah

x|x > .

PERTIDAKSAMAAN LINEAR DENGAN HARGA MUTLAK Jika,

|x| < , |x| > ,

−a < x <  maka x < − atau x > , untuk a > 0 maka

Sebagai contoh: Carilah himpunan penyelesaian dari

 < 4

Penyelesaian:

1−3x 5 < 4 −4 <  < 4, −20 < 1 −3x < 20 −20−1 < 1− 1−3x < 20−1, −21 < −3x < 19


kedua ruas dikalikan dengan 5


27

−  (−21) >  (3x) > −  (19), 7 > x > − 193 Jadi himpunan penyelesaiannya


− 

x|−  <  < 7.

Adakah cara yang lebih mudah dan sederhana, coba Anda pikirkan!

Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari

|3−4x| > 5

Penyelesaian:

|3− 4x| > 5 1. 3− 4x > 5 kedua ruas ditambah -3 3− 3− 4x > 5− 3, −4x > 2  kedua ruas dikalikan − − (−4x) < − 2,  x < −  ………………………..1) 2. 3− 4x < −5 kedua ruas ditambah -3 3− 3− 4x < −5−3, −4x < −8 −  (−4x) < −  (−8), kedua ruas dikalikan −  x > 2 ………………………….2) Dari 1) dan 2) didapat himpunan penyelesaian dari

x|x < − 12 atau x > 2.

|3 −4x| > 5,

yaitu

Adakah cara yang lebih mudah dan sederhana, coba Anda pikirkan!


28

BAB V DERET

Sebelum berbicara deret dan macam-macam deret bilangan, setidaknya kita harus memahami terlebih dahulu mengenai barisan bilangan. Apa yang dimaksud barisan bilangan? Barisan bilangan adalah susunan bilangan yang memiliki pola atau aturan tertentu antara satu bilangan dengan bilangan berikutnya. Jika bilangan pertama

u , bilangan kedua (suku kedua) u , bilangan ketiga (suku ketiga) u , …, dan bilangan ke-n (suku ke-n) adalah u , maka barisan bilangan itu dituliskan sebagai u , u , u , …, u , …, u . Sebagai contoh: barisan bilangan, 1, 9, 25, 49, … atau dapat pula ditulis 1 , 3, 5 , 7 , … Jika suku-suku barisan tersebut dijumlahkan, maka diperoleh bentuk u + u + u + …+ u + …, u . Bentuk inilah yang kita kenal sebagai deret. Dalam bentuk penjumlahan beruntun, u juga dapat disebut sebagai suku penjumlahan (suku pertama)

yang ke-n. Jika n merupakan bilangan asli berhingga, maka deret tersebut dinamakan sebagai deret berhingga. A. Barisan dan Deret Aritmatika Untuk mengenali ciri yang ada pada suatu barisan aritmatika, simaklah barisan-barisan bilangan berikut ini. a. 1, 6, 11, 16, … b. 6, 4, 2, 0, … Perhatikan bahwa pada masing-masing barisan bilangan di atas mempunyai ciri tertentu, yaitu selisih dua suku yang berurutan selalu mempunyai nilai yang tetap (konstan). Barisan bilangan yang mempunyai ciri semacam dinamakan barisan aritmatika dan selisih dua suku yang berurutan disebut beda dari barisan aritmatika tersebut, yang dilambangkan dengan b. Sebagai contoh: a. Untuk barisan 1,6,11,16, …; beda b= 16-11 = 11-6 = 6-1 = 5 b. Untuk barisan 6, 4, 2, 0, …; beda b= 0-2 = 2-4 = 4-6 = -2 Dengan demikian, suatu barisan disebut barisan aritmatika, jika untuk

u - u = b, dengan b adalah suatu konstanta yang tidak bergantung pada n dan u = a+(n-1)b. sebarang nilai n berlaku hubungan:


29

u , u , u , …, u , merupakan suku-suku barisan aritmatika, maka bentuk u + u + u + …+ u dinamakan sebagai deret aritmatika. Jumlah n suku pertama dilambangkan dengan S , dan S ditentukan oleh S = u + u + u + …+ u + u + u . Substitusi u = a, u = a+b, u = a+2b, …, u = u -2b, dan u = u Jika

b, maka diperoleh:

S = a+ (a+b)+ (a+2b)+ …+ (u −2b)+ (u − b)+ u ………..*) Jika urutan suku-suku penjumlahan pada persamaan …*) itu dibalik, maka diperoleh:

S = u + (u − b)+ (u −2b) + …+ (a+2b) +(a+b)+ a ………..**) Jumlahkan masing-masing ruas kanan pada persamaan …*) dengan persamaan …**), sehingga diperoleh:

2S = (a+ u) + (a+ u) + (a+ u) + (a+ u)+ … + (a+ u) + (a+ u) + (a+ u) 2S = n(a+u), sehingga S =  (a+u) Berdasarkan hasil perhitungan tersebut, jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika dapat ditentukan melalui hubungan sebagai berikut. Jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika dengan

u + u + u + …+ u ditentukan

S =  (a+u)

Dengan n= banyaknya suku, a= suku pertama, dan

u = suku ke-n

Contoh: Hitunglah jumlah deret aritmatika 2 + 4 + 6 + … +60! Penyelesaian: Diketahui a= 2, b= 2, dan

u = 60, maka

60 = 2+(n-1)2

⟺ n = 30  Sehingga S = (2+60) = 15 x 62 = 930.  60 = 2n

Jadi, jumlah deret aritmatika 2 + 4 + 6 + … +60 adalah 930.


30

B. Barisan dan Deret Geometri Untuk memahami ciri pada barisan geometri, simaklah barisan-barisan bilangan berikut ini. a. 2, 6, 18, 54, … b. -32, 16, -18, 4, … Perhatikan bahwa pada masing-masing barisan bilangan tersebut mempunyai ciri tertentu yaitu perbandingan dua suku yang berurutan mempunyai nilai tetap (konstan). Barisan bilangan yang mempunyai ciri seperti itu dinamakan sebagai barisan geometri dan perbandingan dua suku yang berurutan disebut rasio (dilambangkan dengan r). Sebagai contoh, nilai rasio barisan-barisan di atas dapat ditetapkan sebagai berikut.

  =  = 3        b. r =  =  =  = −  a. r = =

Dengan demikian, suatu barisan

∈

u , u , u , …, u disebut barisan

geometri, jika untuk sebarang nilai n bilangan asli kurang dari n, maka berlaku hubungan:

  = r,

dengan r adalah suatu konstanta yang tidak bergantung

pada n. Jika

u , u , u , …, u merupakan barisan geometri, maka u + u +

u + …+ u dinamakan deret geometri.

Misalkan bahwa jumlah n suku pertama dari deret geometri dilambangkan

S , maka S = u + u + u + …, u S = a+ ar+ ar …+ ar …………….*)

dengan

Kalikan persamaan …*) dengan r, maka diperoleh

rS = ar+ ar + ar …+ ar+ ar ………………..**) Kurangkanlah masing-masing ruas pada persamaan …*) dengan persamaan …**), sehingga diperoleh:

S - rS = a−ar (1-r) S = a(1-r ) ) () atau S = S = ( () () Berdasarkan hasil perhitungan di atas, jumlah n suku pertama suatu deret geometri dapat ditentukan melalui hubungan sebagai berikut. Matematika Dasar-Isro’s Docs

31

Jumlah n suku pertama suatu deret geometri

u + u + u +

…+

u ditentukan

dengan

) () atau S = S = ( () ()

r

Dengan n= banyaknya suku, a= suku pertama, dan = rasio Contoh: Hitung jumlah enam suku pertama pada deret geometri berikut ini! a. 27 + 9 + 3 +…

 

b. 2 + 3 + + …

Penyelesaian: a. 27 + 9 + 3 +…, deret geometri dengan a= 27 dan r=

 ) (  )  ( S = () = () =  = 40 

 

Jadi, jumlah enam suku pertama dari 27 + 9 + 3 +… adalah

  ) S = (() =

b. 2 + 3 + + …, deret geometri dengan a= 2 dan r=

() = 41   ()

 

 

Jadi, jumlah enam suku pertama dari 2 + 3 + + … adalah

40 

41 

C. Deret Geometri Tak Hingga Jika banyak suku-suku penjumlahan deret geometri itu bertambah terus mendekati tak hingga, maka deret geometri semacam ini dinamakan sebagai deret geometri tak hingga. Deret geometri tak hingga ditulis sebagai berikut.

u + u + u + …+ u + … = a+ar+ar + ar + …+ ar + … Jumlah dari deret geometri tak hingga dilambangkan S~ dan S~ diperoleh dari S dengan proses limit n mendekati tak hingga. Selanjutnya nilai S~ ditentukan dengan menggunakan rumus sebagai berikut.

S~ = 

a+ar+ar + ar + …+ ar + … dikatakan 1. Mempunyai limit jumlah atau konvergen, jika dan hanya jika | r |< 1 2. Tidak mempunyai limit jumlah atau divergen, jika dan hanya jika | r |> 1 Deret geometri tak hingga


32

BAB VI LOGARITMA

Logaritma merupakan invers dari perpangkatan suatu bilangan. Apakah Anda pernah mempelajari materi “Bilangan Berpangkat”? Kalau belum, maka tak ada salahnya mengulang materi tersebut. Permasalahan tentang logaritma banyak ditemukan pada permasalahan Fisika, Kalkulus, Persamaan Diferensial, ataupun bidang ilmu lainnya. Logaritma sering digunakan untuk memecahkan persamaan yang per-pangkat-annya tidak diketahui. Differensial-nya mudah dicari, oleh karena itu logaritma sering digunakan sebagai solusi dari integral. Dalam persamaan

b = x, � dapat dicari dengan peng-akar-an, � dicari dengan

logaritma, sementara � dapat dicari dengan fungsi eksponensial. Perhatikan tabel berikut dan lengkapilah!

Problem

Perpangkatan

   

 =    =    = ⋯  … =   = ⋯  … = 

… …

    �

Logaritma

 =     =     =   …   =  



��



Hasil

− − …

− …

…



…

�

 = 

…

��

…

…

…







�

Jika angka 3 Anda ganti dengan a, maka Anda akan dapatkan suatu bentuk umum, yaitu:

 =  ⟺  =   =  Matematika Dasar-Isro’s Docs

33

Dimana:

 > 0   ≠ 

�

: bilangan pokok (basis),

�

: bilangan yang ditarik logaritmanya (numerus),

�

: hasil penarikan logaritma (pangkat)

> 0

Perhatikan:

 =  ⟺  =   =  ⟺  =  Masih bingungkah?

SIFAT-SIFAT LOGARITMA

≠

Jika �� dan � bilangan real positif serta � �� maka

 =  +      2.  =  −     3.   =     4.  =    5.  .  =    6.  =  ⟺  =     7.   =   , 1.

dimana ��

∈  dan  ≠ 

Catatan: 

Jika

bilangan pokok

logaritma tidak

ditulis, berarti

bilangan pokok

logaritmanya adalah 10.  

 = , dimana  ≈ ,  adalah cara penulisan untuk (), bedakan dengan  = . Dalam logaritma naturalis,

≠

Sifat 1: Jika �� dan � bilangan real positif serta � �� maka

 =  +  Bukti: Misalkan

 =  dan  = , maka

 =  dan  =  Matematika Dasar-Isro’s Docs

34

. = . . =   = +  = + , terbukti    Jadi:  = +  Untuk pembuktian sifat-sifat lainnya, silahkan Anda coba sebagai latihan!


35

BAB VII GEOMETRI TRANSFORMASI

Transformasi atau perpindahan yang akan dipelajari pada kesempatan ini meliputi, translasi (pergeseran), refleksi (pencerminan), rotasi (perputaran), dan dilatasi (perkalian). Transformasi yang dimaksud dalam materi ini adalah transformasi bidang, yaitu memetakan tiap titik pada bidang ke suatu titik pada bidang tersebut. Hal yang sangat bermanfaat untuk mempelajari transformasi ini dalam rangka pengembangannya adalah apabila transformasi tersebut dilakukan pada bidang koordinat Cartesius . Oleh karena itu, untuk mempelajari materi ini Anda harus sudah memahami dengan baik tentang bidang koordinat Cartesius serta beberapa persamaan garis lurus yang ‘istimewa’, misalnya persamaan garis �� , dan sebagainya.

Banyak persoalan-persoalan persoalan-persoalan dalam matematika, fisika, teknik, ataupun ilmu lainnya, yang dengan menggunakan matematika menjadi lebih mudah dan sederhana apabila diselesaikan dengan menggunakan transformasi. Berikut akan dijelaskan jenis transformasi satu persatu: A. TRANSLASI Perhatikan gambar sebuah benda di bawah ini!

bergeser posisi awal A

posisi akhir B

Sebuah pigura foto yang mengalami perpindahan, dalam hal ini adalah pergeseran dari suatu tempat, yaitu posisi awal yang setelah bergeser menempati suatu posisi akhir, sebagimana dapat dilihat pada gambar di atas. Perhatikan sekali lagi, di sini yang benda hanya mengalami pergeseran saja, dengan tidak mengalami


36

perubahan bentuk ataupun ukurannya. Inilah yang dimaksud dengan translasi. Apa itu translasi?

Translasi atau pergeseran adalah suatu transformasi yang m emindahkan titik (benda) pada bidang dengan jarak dan arah tertentu. Misalkan pada contoh gambar di atas, posisi awal itu kita namakan A dan posisi akhir kita namakan B,

⟶B”, maka jarak/panjang translasi dinyatakan oleh panjang

dapat dituliskan “A

ruas garis AB dan arah translasi dinyatakan dengan anak panah. Untuk selanjutnya, panjang dan arah pergeseran pada translasi A

⟶B dinyatakan

 . AB menyatakan besar (panjang) translasi dan anak panahnya AB  disebut vektor translasi. menyatakan arah dari A menuju m enuju B. selanjutnya AB

dengan simbol

Perhatikan contoh berikut! berikut ! F

C D

E

B

A

Pada gambar di atas,

 menjadi ∆ABC ditranslasikan dengan vektor BE

∆DEF. Pada translasi ini, A⟶D, B⟶E, dan C⟶F, sehingga vektor-vektor  , BE  , dan CF mempunyai besar (panjang) dan arah yang sama. Dengan kata AD  = BE  = CF . lain, AD ∆DEF disebut bayangan (peta translasi) dari ∆ABC oleh translasi dengan  . Perhatikan bahwa hasil translasi, yaitu ∆DEF dan segi tiga yang vektor BE ditranslasikan, yaitu ∆ABC merupakan dua segi tiga yang kongruen.


37

Ada cara lain yang dapat digunakan untuk menggambarkan suatu translasi pada bidang koordinat Cartesius yaitu dengan menggunakan suatu pasangan bilangan. y A’ B’ D’

A B D

x

C’

C

Pada gambar di atas, tampak vektor-vektor translasi yang diwakili oleh ruas garis-ruas garis dengan anak panah yang besar dan arahnya sama. Translasi dengan vektor ini menyatakan bahwa setiap titik pada bidang ditranslasikan dua satuan ke kanan dan tiga satuan ke atas, yang dapat ditulis

23.

Misalnya, pada translasi

23 ini, titik A(1,3) dipetakan ke titik A’(3,6). Titik

B(-5,2) dipetakan ke titik B’(-3,5). Titik C(-4,-5) dipetakan ke titik C’(-2,-2). Titik

D(4,0) dipetakan ke titik D’(6,3). Apakah Anda dapat menyimpulkan bahwa pada

t itik P’(x+2,y+3)? Sehingga secara umum 23 ini, titik P(x,y) dipetakan ke titik a Anda dapat menyimpulkan bahwa translasi   memetakan titik Q(x,y) ke titik b

translasi

Q’(x+a,y+b)? Coba Anda pikirkan! Secara umum, dapat dituliskan: T=

ba: P(x,y) ⟶ P’(x+ a, y + b)

Dimana, titik P’ disebut bayangan titik P oleh translasi T=


23 38

Contoh: Tentukan bayangan titik (3,-7) oleh translasi Penyelesaian:

42

Misalkan titik P (3,-7), maka

42 : P(3,-7) ⟶ P’(3+4,-7+2) = P’(7,-5). 4 Jadi bayangan titik (3,-7) oleh translasi   adalah (7,-5). 2 T=

Suatu vektor translasi, selain dapat dinyatakan dengan dua huruf besar dengan anak panah di atasnya, dapat pula dinyatakan dengan sebuah huruf kecil yang dibubuhi garis di bawahnya, seperti berikut. R

v

Q

Sehingga dapat dikatakan

QR = v .

B. REFLEKSI Ketika kita sedang bercermin, di belakang cermin tampak bayangan kita. Bayangan itu sama dengan kita, baik bentuk mapun besarnya, perbedaannya terletak pada arahnya, yaitu berlawanan, karena kita dan bayangan kita saling berhadapan. C

G B=F

A

E m

Perhatikan gambar di atas! Garis m dipandang sebagai cermin. Oleh

∆EFG. Dalam matematika, dapat dikatakan juga bahwa oleh cermin m bayangan dari ∆EFG adalah ∆ABC. Apabila refleksi diberi simbol M, maka pencerminan oleh garis m ditulis M . Dengan cermin m ini, bayangan dari


∆ABC

adalah

39

pencerminan oleh garis m, bayangan

∆ABC ⟶ ∆EFG.

∆ABC adalah ∆EFG, yang dinotasikan M:

Dengan demikian, apa pengertian refleksi?

Refleksi (pencerminan) adalah suatu transformasi yang memindahkan titiktitik dengan menggunakan sifat bayangan oleh suatu cermin. Pencerminan dilambangkan dengan

M, dimana � adalah sumbu cermin.

Bangun (bentuk) dan besar benda dan bayangan selalu sama, sehingga

≅

benda dan bayangannya dikatakan kongruen, yang diberi notasi “ ”.

M, ∆ABC sama dan sebangun dengan ∆EFG, sehingga dapat ditulis ∆ABC ≅ ∆EFG. Bayangan titik B adalah titik F, sehingga Pada pencerminan

B=F. Suatu titik yang bayangannya adalah titik itu sendiri disebut titik tetap (invarian). Jadi, titik B tersebut adalah suatu titik invarian, sehingga dapat dikatakan bahwa semua titik-titik pada cermin merupakan titik-titik invarian. Jika titik A dan E dihubungkan, maka garis AE tegak lurus terhadap garis m (cermin). Bayangan AD adalah ED, dan bayangan ED adalah AD, sehingga bayangan AE adalah EA. Padahal AE sama dengan EA, maka bayangan AE adalah garis itu sendiri. Selanjutnya, dikatakan bahwa garis AE terhadap pencerminan dengan garis m merupakan garis tetap (garis invarian), tetapi tidak titik per titik . Contoh: Tentukan bayangan sebuah jajar genjang ABCD oleh pencerminan terhadap sumbu y y D -7,7

C(-4,8)

x A(-6,-3)

B(-3,-2)


40

Penyelesaian:

M: ABCD ⟶ A’B’C’D’ Maka, bayangan titik sudut-titik sudutnya adalah sebagai berikut.

M: A(-6,-3) ⟶ A’(6,-3) B(-3,-2) ⟶ B’(3,-2) C(-4,8) ⟶ C’(4,8) D(-7,7) ⟶ D’(7,7) Memperhatikan koordinat suatu titik dan koordinat bayangannya, dapat ditarik kesimpulan bahwa:

M: P(a,b) ⟶ P’(-a,b) Coba Anda pikirkan, bentuk umum untuk pencerminan dengan sumbu-sumbu ‘istimewa’ yang lain, sebagai latihan!

Contoh: Diketahui, A(3,-2), B(1,5), dan C(-5,2). Titik-titik ini dicerminkan terhadap garis x=-1, dan hasil pencerminan tersebut dicerminkan lagi terhadap garis x=5. Tentukan bayangan terakhir dari titik A, B, dan C tersebut! Penyelesaian:

M ∘ M = translasi 120  karena jarak cermin x=5 dan x=-1 adalah 6. Sehingga,

M ∘ M: A(3,-2) ⟶ A”(3+12,-2) = A”(15,-2) B(1,5) ⟶ B”(1+12,5) = B”(13,5) C(-5,2) ⟶ C”(-5+12,2) = C”(7,2) Jadi, bayangan terakhir dari titik A, B, dan C adalah A”(15,-2), B”(13,5), dan C”(7,2). Atau dapat juga diperoleh dengan cara mencerminkan satu per satu.


41

C. ROTASI Apa yang Anda ketahui tentang rotasi? Coba, perhatikan ilustrasi berikut. C’ B’ A’ O



C A B

Pada gambar di atas, tampak bahwa

∆ABC diputar dengan pusat 0 sejauh

α menjadi ∆A’B’C’. Atau dapat dikatakan, pada rotasi dengan pusat 0 dan sudut putar α , membawa ∆ABC ke ∆A’B’C’. Rotasi dengan pusat 0 dan sudut putar α , ditulis dengan R(0, α ). R(0, α ): ∆ABC ⟶ ∆A’B’C’, dibaca “rotasi dengan pusat 0 dan sudut putar α , memetakan (membawa) ∆ABC ke ∆A’B’C’ “. Dalam hal ini ∆A’B’C’ disebut peta (bayangan) dari ∆ABC oleh R(0, α). Tanda anak panah, menyatakan arah perputaran. Arah perputaran ditunjukkan oleh besarnya sudut putar

α. Jika besarnya sudut putar positif, maka

arah perputarannya positif yaitu berlawanan arah dengan arah jarum jam. Jika besarnya sudut putar negatif, maka arah perputarannya juga negatif, yaitu searah dengan arah jarum jam. Contoh: 1. R(0,

30) adalah suatu rotasi dengan pusat 0 dan sudut putar 30 dengan arah

positif. 2. R(0,

−45) adalah suatu rotasi dengan pusat 0 dan sudut putar 45, tetapi

dengan arah negatif. Perhatikan kembali gambar di atas! R(0,

α): ∆ABC ⟶ ∆A’B’C’, maka: 1. ∠AOA′ = ∠BOB′ = ∠COC′ = α 2. ∆A’B’C’ ≅ ∆ABC 3. Mempunyai tepat satu titik invarian, yaitu pusat perputaran O


42

Contoh: Perhatikan gambar berikut! C

D 0

B

A

Gambar di atas adalah suatu persegi panjang ABCD. 0 adalah titik pusat persegi panjang tersebut (titik potong kedua diagonalnya). Maka, R(0,

180): A ⟶ C B ⟶D C⟶A D⟶B

Jadi, R(0,

180

): ABCD

⟶ CDAB

Sehingga bayangan dari persegi panjang ABCD oleh R(0,

180) tetap merupakan

bangun persegi panjang ABCD tersebut.

360): ABCD ⟶ ABCD

Sedangkan, jika R(0,

Sekiranya jelas, bahwa bayangan dari persegi panjang ABCD oleh rotasi

360) dengan pusat 0 adalah persegi panjang itu sendiri. Dalam satu

satu putaran (

putaran, persegi panjang menempati bingkai (tempat semula) sebanyak 2 kali, yaitu ketika rotasi setengah putaranj (

180) dan ketika rotasi satu putaran (360).

Yang selanjutnya, dikatakan bahwa persegi panjang mempunyai simetri putar tingkat 2. Masih ingat tentang simetri putar? Contoh:

Pada pencermian terhadap sumbu y yang diteruskan dengan pencerminan terhadap garis y=x, membawa titik-titik P(1,-3) dan Q(2,4) berturut-turut ke

P dan Q. Nyatakan komposisi dua pencerminan tersebut sebagai suatu rotasi searah jarum jam! Nayatakan pula transformasi itu sebagai suatu rotasi berlawanan arah jarum jam! Penyelesaian:

M: P(1,-3) ⟶ P Q(2,4)

(1,3)

⟶ Q(2,-4)


43

M: P ⟶ P (1,3)

(3,1)

Q(2,-4) ⟶ Q(-4,2)

Atau,

M ∘ M : P(1,-3) ⟶ P

(3,1)

⟶ Q(-4,2) M ∘ M = R(0, 90) = R(0,− 270) Q(2,4)

R(0, R(0,

90 −270

) adalah rotasi berlawanan arah jarum jam (arah positif) ) adalah rotasi searah jarum jam (arah negatif)

D. DILATASI Apa yang Anda ketahui tentang dilatasi? Coba, perhatikan ilustrasi berikut.

D

C

A

B

S

R

P

Q

O

Pada gambar di atas, tampak dua persegi panjang ABCD dab PQRS. Mari kita lihat perbandingan panjang sisi-sisi persegi pajang ABCD dengan sisi-sisi psesgi panjang PQRS. AD : PS = 3 : 6 = 1 : 2 AB : PQ = 2 : 4 = 1 : 2 Dapat ditulis, PS : AD = PQ : AB = 1 : 2

    =  =  = 2 Jika ditarik garis yang menghubungkan titik P dan A, Q dan B, S dan D, serta R dan C, maka masing-masing garis hubung itu akan melalui titik O. Sehingga akan diperoleh perbandingan OP : OA, OQ : OB, OR : OC, dan OS : OD yang selalu sama dengan 2 : 1. Atau,

 =  =  =  =  = 2      Matematika Dasar-Isro’s Docs

44

Ternyata nilai perbandingan ini sama dengan nilai perbandingan panjang sisi persegi panjang PQRS dan sisi persegi panjang ABCD, yaitu sama dengan 2. Jika diketahui letak titik O dan persegi panjang ABCD serta nilai perbandingan itu, maka kita dapat menentukan persegi panjang PQRS. Proses menentukan persegi panjang PQRS jika diketahui sebuah titik invarian O, persegi panjang ABCD dan nilai perbandingannya, itulah yang disebut melakukan dilatasi. Dengan demikian, apa yang dimaksud dilatasi? Dilatasi adalah suatu transformasi yang mengubah jarak titik-titik dengan faktor pengali tertentu. Selanjutnya, titik invarian O disebut pusat dilatasi, dan nilai perbandingan itu disebut faktor skala. Dilatasi dengan pusat O dan faktor skala 2, ditulis [O,2], sehingga untuk contoh gambar dilatasi di atas, ditulis: [O,2]: □ ABCD

⟶ □ PQRS

Dibaca : dilatasi dengan pusat O dan faktor skala 2, membawa persegi panjang ABCD ke persegi panjang PQRS. Jika, [O,2]:

O, :

□ ABCD

□

ABCD

⟶ □ PQRS disebut juga perbesaran, sedangkan

⟶ □ PQRS disebut pengecilan.

Apabila Anda perhatikan, koordinat titik bayangan dengan titik semula terdapat hubungan, yaitu koordinat titik bayangannya sama dengan 2 kali koordinat titik semula. Sehingga apabila suatu dilatasi dengan pusat O dan faktor skala k, maka akan memetakan titik P(a,b) ke titik P’(ka,kb). [O,k]: P(a,b)

⟶ P’(ka,kb)

Jika pada rumus tersebut, k=1 maka akan diperoleh bahwa, [O,1]: P(a,b)

⟶ P’(a,b)

Oleh karena koordinat titik P sama dengan koordinat P’, ini artinya P dan P’ berimpit. Jadi, dilatasi [O,1] tidak mengubah suatu bangun (bangun tersebut tetap). Dilatasi seperti ini dinamakan sebagai transformasi identitas. Apakah [O,1] juga merupakan transformasi identitas, silahkan Anda pikirkan!


45

Contoh: Tentukan bayangan titik-titik A(3,-2) dan B(-5,1) pada dilatasi dengan pusat P(4,2) dan faktor skala 6! Penyelesaian:

⟶ A’(x,y), maka

Jika [P,6]: A(3,-2)

x = 6(3-4)+4 = -2 y = 6(-2-2)+2 = -22 Jadi, A’(-2,-22)

⟶ B’(x,y), maka

Jika [P,6]: B(-5,1)

x = 6(-5-4)+4 = -50 y = 6(1-2)+2 = -4 Jadi, B’(-50,-4)

⟶ A’(-2,-22) & B’(-50,-4).

Akibatnya, [P,6]: A(3,-2) & B(-5,1)


Bingungkah?

46

BAB VIII LOGIKA MATEMATIKA

Logika merupakan salah satu bidang ilmu yang mengkaji prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penarikan kesimpulan yang absah, baik yang bersifat deduktif maupun induktif. Logika adalah sebuah cabang filsafat yang praktis. Praktis disini berarti logika dapat dipraktekkan dalam kehidupan sehari-hari. Logika lahir bersama-sama dengan lahirnya filsafat di Yunani. Dalam usaha untuk memasarkan pikiran-pikirannya serta pendapat-pendapatnya, filsuffilsuf Yunani Kuno tidak jarang mencoba membantah pikiran yang lain dengan menunjukkan kesesatan penalarannya. Logika digunakan untuk melakukan pembuktian logika, menyatakannya ke dalam bentuk inferensi yang berlaku dan yang tidak berlaku. Secara tradisional, logika dipelajari sebagai cabang filosofi, tetapi juga bisa dianggap sebagai cabang dari matematika. Logika tidak bisa dihindarkan dalam proses hidup mencari kebenaran. Logika merumuskan hukum-hukum yang dapat digunakan sebagai alat untuk menilai apakah hasil suatu pemikiran benar/absah atau tidak. Hukum-hukum itu akan digunakan pada proses pemikiran itu sendiri. Hal ini dapat memperbaiki cara berpikir kita, yaitu dengan jalan mempelajari logika dalam rangka menertibkan cara berpikir. A. PERNYATAAN DAN NEGASINYA Perhatikan contoh-contoh kalimat berikut ini. 1. Sebuah segi empat mempunyai 4 sisi 2. Ibu kota provinsi Jawa Tengah adalah Semarang 3. 9 adalah bilangan prima 4. 12 kurang dari 7

Kita dapat menentukan nilai kebenaran (benar atau salah) dari kalimatkalimat tersebut. Kalimat 1 dan 2 bernilai benar, sedangkan kalimat 3 dan 4 bernilai salah. Kalimat yang mempunyai nilai benar saja atau nilai salah saja adalah kalimat-kalimat yang menerangkan (kalimat deklaratif). Kalimat inilah yang disebut sebagai pernyataan . Dengan kata lain,


47

pernyataan adalah kalimat yang bernilai benar atau bernilai salah, tetapi tidak sekaligus bernilai kedua-duanya. Kalimat yang tidak dapat ditentukan nilai kebenarannya bukan merupakan pernyataan, misalkan 1. Apakah Haysen berada di rumah? (kalimat ta nya) 2. Alangkah indahnya lukisan itu (kalimat yang mengungkapkan suatu perasaan ) 3. Tutuplah jendelanya! (kalimat perintah ) 4. Semoga Anda lekas sembuh (kalimat harapan ) Kalimat-kalimat tersebut tidak bernilai benar dan juga tidak bernilai salah. Kalimat-kalimat seperti itu, tidak dibicarakan dalam materi ini. Kalimat yang akan dibicarakan dalam materi ini adalah kalimat yang merupakan kalimat. Selanjutnya, untuk menyingkat penulisan, suatu pernyataan diberi lambang dengan huruf alfabet kecil, misal a, b, s, dan sebagainya. Sementara, untuk nilai benar dan salah berturut-turut disingkat dengan B dan S. Contoh: 1. ‘Sebuah segi tiga mempunyai tiga sisi’, diberi lambang “a” 2. ‘9 adalah bilangan prima’, diberi lambang “b” 3. ’15 terbagi habis oleh 3’, diberi lambang “p” Pada contoh tersebut, pernyataan a bernilai B, pernyataan b bernilai S, sedangkan pernyataan p bernilai B. Perhatikan pada contoh no.2, “b” menyatakan ‘9 adalah bilangan prima’, dan pernyataan “b” ini bernilai S, sedangkan pernyataan ‘9 bukan bilangan prima’ bernilai B. Dikatakan bahwa, pernyataan ‘9 bukan bilangan prima’ merupakan negasi (sangkalan/ingkaran) dari pernyataan ‘9 adalah bilangan prima’. Selanjutnya, ‘negasi dari b’ dilambangkan dengan “~b”. Pada contoh no.3, maka “~p” menyatakan, ’15 tidak terbagi habis oleh 3’. Disini, “p” bernilai B sementara “~p” bernilai S. Dengan demikian, apa itu negasi? Negasi suatu pernyataan adalah suatu pernyataan yang bernilai salah apabila pernyataan semula bernilai benar, dan bernilai benar apabila pernyataan semula bernilai salah.


48

Contoh: 1. “a” menyatakan ‘Tembok itu berwarna putih’, maka “~a” adalah ‘Tembok itu tidak berwarna putih’. 2. “d” menyatakan ‘Ida suka mangga’, maka “~d” adalah ‘Ida tidak suka mangga’ 3. “p” menyatakan ’Siti lebih tinggi daripada Ani’, maka “~p” adalah ‘Siti tidak lebih tinggi daripada Ani’ Pada contoh no.1, pernyataan ‘Tembok itu berwarna hitam’ bukan merupakan

negasi

dari

‘Tembok

itu

berwarna

putih’.

Sebab

apabila

kenyataannya ‘Tembok itu berwarna hijau’ maka dua pernyataan tersebut semuanya bernilai salah. Demikian pula untuk contoh no.3, negasi dari ‘Siti lebih tinggi daripada Ani’ bukan ‘Siti lebih rendah daripada Ani’, sebab apabila kenyataannya, ‘Siti sama tinggi dengan Ani’, maka dua pernyataan terakhir tersebut, semuanya bernilai salah. Pernyataan dan negasinya mempunyai nilai-nilai kebenaran yang selalu berbeda, artinya jika pernyataannya bernilai B, maka negasinya bernilai S, atau sebaliknya jika pernyataannya bernilai S, maka negasinya bernilai B. Sebagaimana dapat dilihat pada tabel berikut. Tabel 8.1 Nilai Kebenaran dari Negasi

a

~a

~(~a)

B

S

B

S

B

S

Pernyataan Majemuk Pernyataan majemuk merupakan rangkaian dari dua pernyataan atau lebih dengan kata penghubung. Pernyataan-pernyataan yang dirangkai masingmasing disebut pernyataan tunggal. Sedangkan kata penghubung yang dimaksud, yaitu “dan”, “atau”, “jika …maka”, dan “jika dan hanya jika”. Untuk lambang-lambang dari kata penghubung tersebut, perhatikan tabel berikut:


49

Tabel 8.2 Lambang (simbol) Kata Penghubung

Kata Penghubung

Lambang

∧ ∨ ⟹ ⟺

dan atau jika …maka jika dan hanya jika

1. Konjungsi Perhatikan pernyataan berikut, ‘7 adalah bilangan prima dan genap’ Pernyataan di atas merupakan pernyataan majemuk, karena pernyataan tersebut merupakan rangkaian dari dua pernyataan, yaitu ‘7 adalah bilangan prima’ dan ‘7 adalah bilangan genap’. Jika pernyataan ‘7 adalah bilangan prima’ dilambangkan “a” dan ‘7 adalah bilangan genap’ dilambangkan “b”, maka

∧

pernyataan majemuk tadi dapat dilambangkan “a b” (dibaca ‘a dan b’). Pernyataan seperti inilah yang disebut konjungsi. Jadi, apa itu konjungsi? Yaitu pernyataan majemuk yang hanya menggunakan kata penghubung “dan”

∧

( ). Nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk tergantung dari nilai kebenaran pernyataan-pernyataan tunggalnya. Nilai kebenaran dari konjungsi dua pernyataan, ditentukan dengan aturan sebagai berikut.

∧

Konjungsi dua pernyataan a dan b (a b) bernilai B, jika dan hanya jika dua pernyataan a dan b masing-masing bernilai B, sedangkan untuk nilai-nilai

∧

kebenaran a dan b lainnya, “a b” bernilai S. Dengan memperhatikan bahwa, satu pernyataan mempunyai dua kemungkinan nilai, yaitu B atau S, maka aturan tersebut dapat dinyatakan dalam tabel kebenaran sebagai berikut. Tabel 8.3 Nilai Kebenaran Konjungsi

∧

a

b

a b

B

B

B

B

S

S

S

B

S

S

S

S


50

Contoh: 1. a: Jakarta adalah Ibu Kota negara RI (B) b: Bandung terletak di Pulau Jawa (B)

∧

a b: Jakarta adalah Ibu Kota negara RI dan Bandung terletak di Pulau Jawa (B) 2. p: 7 adalah bilangan prima (B) q: 7 adalah bilangan genap (S)

∧

p q: 7 adalah bilangan prima dan 7 adalah bilangan genap (S) 3. m: 8 lebih besar dari 13 (S) n: matahari terbit dari arah timur (B)

∧

m n: 8 lebih besar dari 13 dan matahari terbit dari arah timur (S) 4. s: seekor lembu berkaki seribu (S) t: 4 membagi habis 13 (S)

∧

s t: seekor lembu berkaki seribu dan 4 membagi habis 13 (S) Perhatikan kembali contoh di atas! Bahwa ternyata, nilai kebenaran

konjungsi ditentukan oleh nilai-nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan tunggalnya, dan tidak perlu memperhatikan ada atau tidaknya hubungan antara pernyataan-pernyataan tunggalnya tersebut.

2. Disjungsi Pernyataan majemuk yang hanya menggunakan kata penghubung “atau”

∨

( ) disebut disjungsi. Jika a dan b masing-masing pernyataan, maka disjungsi a

∨

dan b, ditulis “a b” dan dibaca ‘a atau b’. Misalnya, a= Amin pergi ke pasar b= Amin bermain bola

∨

a b= Amin pergi ke pasar atau Amin bermain bola Nilai kebenaran dari disjungsi ditentukan oleh nilai-nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan tunggalnya, dengan aturan sebagai berikut:

∨

Disjungsi dua pernyataan a dan b (a b), dibaca ‘a atau b’) bernilai S jika dan hanya jika, dua pernyataan a dan b masing-masing bernilai S, sedangkan untuk

∨

nilai-nilai kebenaran a dan b lainnya, a b bernilai B. Sesuai dengan adanya dua kemungkinan bagi suatu pernyataan, maka aturan tersebut dapat dinyatakan dalam tabel kebenaran sebagai berikut. Matematika Dasar-Isro’s Docs

51

Tabel 8.4 Nilai Kebenaran Disjungsi

∨

a

b

a b

B

B

B

B

S

B

S

B

B

S

S

S

Aturan atau tabel nilai kebenaran tersebut dapat pula dikatakan bahwa disjungsi dua pernyataan bernilai B, apabila sekurang-kurangnya satu dari pernyataan-pernyataan tunggalnya bernilai B. Contoh: 1. a: Surabaya terletak di Provinsi Jawa Timur (B) b: satu minggu terdiri dari 7 hari (B)

∨

a b: Surabaya terletak di Provinsi Jawa Timur atau satu minggu terdiri dari 7 hari (B) 2. p: 5 adalah bilangan prima (B) q: 18 terbagi habis oleh 8 (S)

∨

p q: 5 adalah bilangan prima atau 18 terbagi habis oleh 8 (S) 3. m: sebuah segi tiga mempunyai 4 sisi (S) n: sebuah segi empat mempunyai 5 diagonal (S)

∨

m n: sebuah segi tiga mempunyai 4 sisi atau sebuah segi empat mempunyai 5 diagonal (S)

Negasi dari Disjungsi dan Konjungsi Konjungsi dan disjungsi masing-masing merupakan suatu pernyataan. Akibatnya, negasi dari konjungsi dan disjungsi mempunyai makna yang sama dengan negasi suatu pernyataan. Oleh karena itu, nilai kebenaran dari negasi konjungsi dan disjungsi, harus mengacu pada aturan tentang nilai kebenaran konjungsi dan disjungsi. Untuk lebih jelasnya, perhatikanlah tabel nilai kebenaran berikut ini.


52

Tabel 8.5 Nilai Kebenaran Negasi dari Konjungsi

a

b

~a

~b

a b

∧

~(a b)

∧

~a ~b

∨

B

B

S

S

B

S

S

B

S

S

B

S

B

B

S

B

B

S

S

B

B

S

S

B

B

S

B

B

Pada tabel di atas, tampak bahwa urutan nilai kebenaran pada kolom ke6 sama dengan urutan nilai kebenaran pada kolom ke-7, maka dapat disimpulkan bahwa,

∧

∨

~(a b) = ~a ~b Negasi dari konjungsi dua pernyataan, sama dengan disjungsi dari negasi masing-masing pernyataan tunggalnya. Contoh: Tentukanlah negasi dari pernyataan berikut ini. 1. Amin pergi ke toko dan Amin membeli buku 2. 4+5=9 dan 9 adalah suatu bilangan prima 3. Adi rajin belajar dan Tina tidak lulus ujian 4. 7 lebih besar dari 5 dan 6 adalah bilangan komposit

Penyelesaian: 1. Amin tidak pergi ke toko atau Amin tidak membeli buku

≠

2. 4+5 9 atau 9 bukan suatu bilangan prima 3. Adi tidak rajin belajar atau Tina lulus ujian 4. 7 tidak lebih besar dari 5 atau 6 bukan bilangan komposit Selanjutnya, kita akan membicarakan negasi dari disjungsi dua pernyataan. Perhatikan contoh berikut. Misalkan, a= 8 adalah suatu bilangan prima (S) ~a= 8 bukan suatu bilangan prima (B) b= 20 terbagi habis oleh 4 (B) ~b= 20 tidak terbagi habis oleh 4 (S)


53

Maka,

∨ ~a∨~b ~a∧~b a b

bernilai B, maka ~(ab) bernilai S

∨

∨

bernilai B, maka ~(a b) ~a ~b

∨

bernilai S, dan nilai kebenaran dari ~(a b) sama dengan nilai

∧

kebenaran dari ~a ~b Kesimpulan ini secara umum dapat kita susun dalam tabel nilai kebenaran sebagai berikut. Tabel 8.6 Nilai Kebenaran Negasi dari Disjungsi

∧

a

b

~a

~b

a b

∨

~(a b)

∨

~a ~b

B

B

S

S

B

S

S

B

S

S

B

B

S

S

S

B

B

S

B

S

S

S

S

B

B

S

B

B

∨

Tampak pada tabel di atas, bahwa urutan nilai-nilai kebenaran dari ~(a b)

∧

sama dengan ~a ~b, sehingga dapat disimpulkan,

∨

∧

~(a b) = ~a ~b Negasi dari disjungsi dua pernyataan sama dengan konjungsi dari negasi pernyataan-pernyataan tunggalnya. Contoh: Tentukan negasi dari disjungsi pernyataan-pernyataan berikut ini dan tentukan pula nilai kebenaran dari negasi tersebut! 1. Yogyakarta terletak di Pulau Bali atau 4+7=11 2. 8 membagi habis 36 atau 8 lebih besar dari 13 3. 47 adalah suatu bilangan prima atau 7-3=4 4. Bendera RI berwarna merah putih atau Bandung adalah ibu kota RI Penyelesaian:

≠

1. Yogyakarta tidak terletak di Pulau Bali dan 4+7 11 (S) 2. 8 tidak membagi habis 36 dan 8 tidak lebih dari 13 (B)

≠

3. 47 bukan suatu bilangan prima dan 7-3 4 (S) 4. Bendera RI tidak berwarna merah putih dan Bandung bukan ibu kota RI (S) Matematika Dasar-Isro’s Docs

54

3. Implikasi Perhatikan contoh berikut ini. ‘Jika Ani lulus ujian, maka Ani diajak piknik’. Kalimat ini merupakan pernyataan majemuk. Pernyataan-pernyataan tunggalnya adalah ‘Ani lulus ujian’ dan ‘Ani diajak piknik’. Kata penghubungnya adalah “jika …maka …”. Pernyataan majemuk seperti ini disebut implikasi. Apabila pernyataan ‘Ani lulus ujian’ dilambangkan “a”, dan ‘Ani diajak piknik, dilambangkan “b”, serta lambang untuk kata penghubung “jika …maka …”

⟹”, maka pernyataan ‘Jika Ani lulus ujian maka Ani diajak piknik’, dilambangkan dengan “a⟹b” (dibaca: “jika a maka b”). Pada implikasi “a⟹b”, pernyataan tunggal “a” disebut pendahulu adalah “

(antecedent ) dan pernyataan “b” disebut pengikut (consequent ). Nilai kebenaran suatu implikasi tergantung pada nilai kebenaran dari pendahulu dan pengikutnya, yaitu dengan aturan sebagai berikut. Suatu implikasi bernilai S jika dan hanya jika pendahulunya bernilai B dan pengikutnya bernilai S, sedangkan untuk nilai-nilai kebenaran pendahulu dan pengikutnya yang lain, implikasi tersebut bernilai B. Jika pendahulunya dilambangkan “a” dan pengikutnya dilambangkan “b”, maka nilai kebenaran implikasi “a

⟹b” dapat dinyatakan dalam tabel kebenaran

sebagaimana berikut ini. Tabel 8.7 Nilai Kebenaran Implikasi

a

⟹b

a

b

B

B

B

B

S

S

S

B

B

S

S

B

Dari tabel di atas, dapat diambil kesimpulan, apabila pengikut suatu implikasi bernilai B, maka implikasi tersebut bernilai B, tanpa memperhatikan nilai kebenaran dari pendahulunya. Apabila pendahulu suatu implikasi bernilai S, maka implikasi tersebut bernilai, tanpa memperhatikan nilai kebenaran dari pengikutnya.


55

Contoh: 1. a: 9 adalah suatu bilangan bulat (B) b: 6 mempunyai dua faktor prima (B)

⟹b: Jika 9 adalah suatu bilangan bulat, maka 6 mempunyai dua faktor

a

prima (B) 2. p: Semarang ibu kota Provinsi Jawa tengah (B) q: Tuti adalah presiden RI (S)

⟹q: Jika Semarang ibu kota Provinsi Jawa tengah, maka Tuti adalah

p

presiden RI (S) 3. m: matahari terbit dari barat (S) n: Indonesia merdeka tahun 1945 (B)

⟹n: Jika matahari terbit dari barat, maka

m

Indonesia merdeka tahun

1945 (B) 4. s: 5 lebih besar dari 9 (S) t: 4 membagi habis 13 (S)

⟹t: Jika 5 lebih besar dari 9, maka 4 membagi habis 13 (B)

s

Negasi suatu Implikasi Perhatikan implikasi berikut ini! ‘Jika 7 suatu bilangan prima, maka 8 lebih besar dari 5’. Misal, a= 7 suatu bilangan prima (B) b= 8 lebih besar dari 5 (B)

⟹b” bernilai B

maka, “a

~a= 7 bukan suatu bilangan prima (S) ~b= 8 tidak lebih besar dari 5 (S)

⟹~b” bernilai B Karena “a⟹b” dan “~a ⟹~b” masing-masing bernilai B, maka “~a⟹~b” bukan negasi dari “a ⟹b”. Untuk menentukan negasi dari suatu implikasi, maka, “~a

perhatikan tabel nilai kebenaran berikut ini.


56

Tabel 8.8 Nilai Kebenaran Negasi Implikasi

a

⟹b

⟹b

~( a

)

∧

a ~b

a

b

~b

B

B

S

B

S

S

B

S

B

S

B

B

S

B

S

B

S

S

S

S

B

B

S

S

Tampak bahwa, urutan nilai kebenaran dari “ ~( a

∧

⟹b

)” sama dengan urutan

nilai kebenaran dari “a ~b”. hal ini dapat dikatakan, bahwa negasi dari suatu implikasi adalah suatu konjungsi dari pendahulu dan negasi pengikut implikasi it u.

⟹b) = a∧~b

~(a Contoh:

Tuliskan negasi dari implikasi berikut ini! 1. Jika Siti tidak pergi ke Jakarta, maka siti ikut kena musibah 2. Jika Amin belajar giat, maka Amin akan lulus ujian 3. Jika guru rajin mengajar, maka muridnya akan pandai

Penyelesaian: 1. Siti tidak pergi ke Jakarta dan Siti tidak ikut kena musibah 2. Amin belajar giat dan Amin akan lulus ujian 3. Guru rajin mengajar dan muridnya tidak akan pandai Konvers, Invers, dan Kontrapositif dari suatu Implikasi Perhatikan contoh implikasi berikut ini! ‘Jika matahari terbit dari Barat, maka Tuti lulus ujian’ Pendahulu dari implikasi ini adalah ‘matahari terbit dari Barat’ dan pengikutnya adalah ‘Tuti lulus ujian’. Kita dapat membentuk implikasi tersebut dengan menukarkan pendahulu dengan pengikutnya dan atau sebaliknya. ‘Jika Tuti lulus ujian, maka matahari terbit dari Barat’, implikasi baru yang dibentuk dengan cara ini, disebut konvers dari implikasi semula. Jika diketahui

⟹b”, maka konversnya adalah “b⟹a”. Konvers dari “a⟹b” adalah “b⟹a”

“a


57

Suatu implikasi, selain dapat dibentuk konversnya, dapat pula dibentuk implikasi baru lainnya. Perhatikan contoh berikut ini! ‘Jika Ani dapat mengendarai sepeda, maka Ani mendapat hadiah’ Misal, a= Ani dapat mengendarai sepeda b= Ani mendapat hadiah Negasi dari pernyataan-pernyataan di atas adalah: ~a= Ani tidak dapat mengendarai sepeda ~b= Ani tidak mendapat hadiah Implikasi yang akan dibentuk “~a

⟹~b”,

yaitu ‘Jika Ani tidak dapat

mengendarai sepeda, maka Ani tidak mendapat hadiah’. Implikasi baru ini disebut invers dari implikasi semula. Invers dari “a

⟹b” adalah “~a⟹~b”

Selain konvers dan invers, dapat pula dibentuk implikasi baru yang lain, yaitu pendahulu dan pengikutnya, dari implikasi yang diketahui, masing-masing dinegasikan, selanjutnya ditukarkan tempatnya. Implikasi baru seperti ini, disebut kontrapositif dari implikasi semula. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut! ‘Jika Dita rajin belajar, maka Dita naik kelas’ Misal, a= Dita rajin belajar b= Dita naik kelas Negasi dari pernyataan-pernyataan di atas adalah: ~a= Dita tidak rajin belajar ~b= Dita tidak naik kelas Implikasi yang akan dibentuk adalah ‘Jika Dita tidak rajin belajar, maka

⟹~a”.

Dita tidak naik kelas’, yang dilambangkan dengan ““~b

⟹b” adalah “~b⟹~a”

Kontrapositif dari “a

Perlu diketahui, bahwa nilai kebenaran dari suatu implikasi selalu sama dengan nilai kebenaran kontrapositifnya. Tidak percaya? Coba perhatikan!


58

Tabel 8.9 Nilai Kebenaran Kontrapositif dari Implikasi

a

⟹b

⟹~a

~b

a

b

~a

~b

B

B

S

S

B

B

B

S

S

B

S

S

S

B

B

S

B

B

S

S

B

B

B

B

Sehingga dapat diambil kesimpulan, bahwa nilai kebenaran suatu implikasi sama dengan kebenaran dari kontrapositifnya. (a

⟹b) = (~b⟹~a)

4. Biimplikasi

⟹b” dan konversnya, yaitu “b⟹a”! Jika dibentuk dan konversnya, maka menghasilkan “(a⟹b) ∧

Perhatikan implikasi “a konjungsi antara implikasi

⟹a)”. Kita akan menentukan nilai kebenaran konjungsi ini jika diketahui nilai-

(b

nilai kebenaran dari a dan b, dengan hasil tabel sebagai berikut. Tabel 8.10 Nilai Kebenaran dari Konjungsi

a

⟹b

b

⟹a

⟹b) ∧ (b⟹a)

(a

a

b

B

B

B

B

B

B

S

S

B

S

S

B

B

S

S

S

S

B

B

B

Dari tabel di atas, dapat disimpulkan bahwa nilai kebenaran dari “(a

⟹b) ∧

⟹a)”, hanya B apabila nilai kebenaran dari a sama dengan nilai kebenaran b,

(b

dan bernilai S apabila nilai-nilai kebenaran dari a dan berbeda. Selanjutnya, konjungsi “(a

⟹b) ∧ (b⟹a)” ditulis secara singkat menjadi

⟺b” (dibaca: ‘a jika dan hanya jika b’) dan disebut biimplikasi dari a dan b.

“a

Guna memudahkan, untuk selanjutnya, ‘jika dan hanya jika’, cukup ditulis “jhj”.

⟹b) ∧ (b⟹a) = a⟺b

(a


59

Oleh karena itu, nilai kebenaran dari “(a kebenaran dari “a

⟹b) ∧ (b⟹a)” sama dengan nilai

⟺b”. Sehingga, dapat dibuat tabel yang lebih sederhana.

Tabel 8.11 Nilai Kebenaran Biimplikasi

⟺b

a

a

b

B

B

B

B

S

S

S

B

S

S

S

B

Negasi dari suatu Biimplikasi Perhatikan contoh biimplikasi berikut! ‘7 suatu bilangan prima jhj 7 membagi habis 42’ Biimplikasi bernilai B, karena kedua pernyataan tunggalnya masing-masing bernilai B. apabila masing-masing pernyataan tunggal tersebut dinegasikan dan dibentuk biimplikasi baru, yaitu ‘7 bukan suatu bilangan prima jhj7 tidak membagi habis 42’, maka biimplikasi baru tersebut juga bernilai B. Ternyata, biimplikasi baru ini bukan negasi dari biimplikasi semula, mengapa demikian?

Jadi, apa negasi dari “a

⟺b” ?

⟺b” adalah singkatan dari “(a⟹b) ∧ (b⟹a)”, sehingga ~( a⟺b) = ~((a⟹b) ∧ (b⟹a)) = ~(a⟹b) ∨ ~(b⟹a) , negasi konjungsi = (a∧~b) ∨ (b∧~a) , negasi implikasi

Biimplikasi “a

Didapat,

⟺b) = (a∧~b) ∨ (b∧~a)

~(a

Silahkan Anda cek dengan membuat ta bel kebenarannya, sebagai latihan!


60

B. TAUTOLOGI Perhatikan contoh berikut ini! ‘Adi mempunyai sepeda atau Adi tidak mempunyai sepeda’ Pernyataan majemuk ini bernilai B, untuk setiap nilai kebenaran dari pernyataan tunggalnya. Misal, a= Adi mempunyai sepeda, bernilai B ~a= Adi tidak mempunyai sepeda, bernilai S

∨

Maka, “a ~a” bernilai B

∨

Begitu pula apabila a bernilai S, maka ~a bernilai B, sehingga “a ~a” bernilai B. pernyataan majemuk yang selalu bernilai B untuk setiap nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan tunggalnya seperti itu disebut tautologi. Contoh: ‘Jika Siti naik kelas dan Siti tidak naik kelas, maka Siti dibelikan sepeda’ Misal, p= Siti naik kelas ~p= Siti tidak naik kelas q= Siti dibelikan sepeda Pernyataan majemuk tersebut, dapat dinyatakan dengan lambang,

∧ ⟹ q

(p ~p)

Akan ditunjukkan bahwa pernyataan majemuk di atas adalah suatu tautologi, dalam tabel kebenaran.

∧ ⟹ q”

Tabel 8.12 Tabel Kebenaran “(p ~p)

∧

∧ ⟹q

p

q

~p

p ~p

(p ~p)

B

B

S

S

B

B

S

S

S

B

S

B

B

S

B

S

S

B

S

B

Dari tabel, tampak bahwa pada kolom terakhir nilai kebenaran selalu B, oleh karena itu pernyataan ini termasuk tautologi.


61

Contoh:

∧ ⟹(p∨q)” adalah suatu tautologi?

Periksa, apakah pernyataan majemuk “(p q) Penyelesaian:

Cara 1. Dengan menyusun tabel nilai kebenarannya

∧ ⟹(p∨q)” p∨q (p∧q) ⟹(p∨q)

Tabel 8.13 Nilai Kebenaran “(p q)

∧

p

q

p q

B

B

B

B

B

B

S

S

B

B

S

B

S

B

B

S

S

S

S

B

∧ ⟹(p∨q)” selalu

Tampak pada kolom terakhir, bahwa pernyataan majemuk “(p q)

bernilai B, sehingga pernyataan majemuk tersebut merupakan suatu tautologi. Cara 2.

∧ ⟹(p∨q)” merupakan suatu implikasi. Jika p bernilai B, tanpa memperhatikan nilai kebenaran q, maka (p∨q) pasti bernilai B. Sehingga Pernyataan majemuk “(p q)

implikasi itu bernilai B, karena pengikutnya bernilai B. Dan jika p bernilai S, tanpa

∧

memperhatikan nilai kebenaran q, maka (p q) bernilai S. sehingga implikasi itu bernilai B, karena pendahulunya bernilai S. Jadi, untuk setiap nilai kebenaran

∧ ⟹(p∨q)” selalu bernilai B, sehingga

dari p dan q, pernyataan majemuk “(p q) pernyataan majemuk itu suatu tautologi.

Berikut ini akan dipelajari tautologi-tautologi yang digunakan sebagai dasar dalam penyusunan argumen yang absah.


62

Modus ponens Akan kita periksa, apakah pernyataan majemuk “((p

⟹q)∧p)⟹q”

termasuk tautologi. Perhatikan tabel kebenaran berikut! Tabel 8.14 Nilai Kebenaran “((p

⟹q

⟹q)∧p) ⟹q”

⟹q)∧p

p

(p

⟹q)∧p) ⟹q

p

q

((p

B

B

B

B

B

B

S

S

S

B

S

B

B

S

B

S

S

B

S

B

Dari tabel, tampak bahwa nilai kebenaran “((p

⟹q)∧p)⟹q” selalu bernilai

⟹q)∧p)⟹q” adalah suatu tautologi. Tautologi

B. Dengan kata lain, bentuk “((p

seperti ini disebut aturan detasemen atau modus ponens .

⟹q)∧p)⟹q disebut modus ponens

((p

Modus Tollens Selain pernyataan majemuk di atas, ada juga pernyataan majemuk

⟹q)∧~q)⟹~p”. pernyataan majemuk ini juga merupakan suatu tautologi.

“((p

Tautologi bentuk ini dinamakan modus tollens .

⟹q)∧~q)⟹~p disebut modus tollens

((p

Untuk pembuktiannya (tabel kebenaran), silahkan Anda buat sebagai latihan!

Modus Tollendo Ponens

∨ ∧ ⟹q” merupakan suatu

Akan ditunjukkan/dibuktikan bahwa “(p q) ~p) tautologi. Perhatikan tabel kebenaran berikut!

∨ ∧ ⟹q”

Tabel 8.15 Nilai Kebenaran “(p q) ~p)

∨

∨ ∧

∨ ∧ ⟹q

p

q

~p

p q

p q ~p

B

B

S

B

S

B

B

S

S

B

S

B

S

B

B

B

B

B

S

S

B

S

S

B


(p q) ~p)

63

∨ ∧ ⟹q” selalu bernilai B. Tautologi

Dari tabel, tampak bahwa “((p q) ~p) seperti ini disebut modus tollendo ponens .

∨ ∧ ⟹q disebut modus tollendo ponens

((p q) ~p)

Modus tollendo ponens tersebut dapat dituliskan dalam bentuk yang kelihatannya berbeda, tetapi pada prinsipnya sama, yaitu:

∧ ∨ ⟹q, atau ((p∨q) ∧~q) ⟹p, atau (~q∧(p∨q)) ⟹p, atau (~p∨q)∧p) ⟹q, atau (p∨~q)∧~p) ⟹~q.

1. (~p (p q)) 2. 3. 4. 5.

Pernyataan-pernyataan majemuk tersebut masing-masing disebut pula modus tollendo ponens. Silogisme Adapula jenis tautologi yang berbentuk “((p

⟹q)∧(q⟹r))⟹(p⟹r)”, yang

dinamakan aturan silogisme. ((p

⟹q)∧(q⟹r))⟹(p⟹r) disebut aturan silogisme

Bukti, sebagai latihan!

Empat tautologi yang telah kita pelajari, yaitu modus ponens, modus tollens, modus tollendo ponens, dan silogisme, masing-masing digunakan untuk menyusun argumen yang absah. Empat tautologi tersebut masing-masing merupakan implikasi, sehingga masing-masing tautologi tersebut dinamakan pula tautologi implikatif. Perhatikan, bahwa pendahulu dari tiap-tiap tautologi implikatif itu merupakan konjungsi. Tiap pernyataan majemuk atau pernyataan tunggal dalam pendahulu ini disebut premis argumen , sedangkan pengikut dari tiap-tiap tautologi implikatif itu disebut kesimpulan . Selanjutnya, argumen yang absah yang dibentuk dari tautologi implikatif itu disusun sebagai berikut.


64

1. Susunan argumen menurut modus ponens p

⟹q

(premis)

p

(premis)

∴q

(kesimpulan)

Contoh: Jika Siti naik kelas, maka Siti dibelikan sepeda Siti naik kelas

∴ Siti dibelikan sepeda 2. Susunan argumen menurut modus tollens p

⟹q

(premis)

~q

(premis)

∴ ~p

(kesimpulan)

Contoh: Jika Andi lulus ujian, maka Andi dapat hadiah Andi tidak dapat hadiah

∴ Andi tidak lulus ujian 3. Susunan argumen menurut modus tollendo ponens p

∨ q

(premis)

~p

(premis)

∴q

(kesimpulan)

Contoh: Pagi ini Joni pergi ke sekolah atau Joni pergi ke toko Pagi ini Joni tidak pergi ke toko

∴ Pagi ini Joni pergi ke sekolah 4. Susunan argumen menurut aturan silogisme

⟹q q ⟹r ∴ p ⟹r p


(premis) (premis) (kesimpulan)

65

Contoh: Jika Ani rajin belajar, maka Ani naik kelas Jika Ani naik kelas, maka Ani dapat hadiah

∴ Jika Ani rajin belajar, maka Ani dapat hadiah Perhatikan, bahwa suatu argumen terdiri atas premis-premis dan kesimpulan. Premis-premis terdiri atas pernyataan majemuk atau pernyataan tunggal yang bernilai benar. Dalam matematika, premis-premis itu biasa dikenal dengan ‘ketentuan’ atau ‘yang diketahui’. Dari premis-premis itu diturunkan suatu kesimpulan (konklusi). Suatu pernyataan baik pernyataan majemuk atau pernyataan tunggal mempunyai nilai B atau S (tidak keduanya), tetapi dari suatu argumen adalah absah atau tidak absah (tidak keduanya). Untuk memeriksa apakah suatu argumen absah atau tidak, argumen tersebut dapat dibentuk menjadi berupa implikasi. Selanjutnya, dari implikasi tersebut kita buktikan apakah ia suatu tautologi atau bukan. Jika implikasi tersebut merupakan tautologi, maka argumen tadi absah. Tetapi jika bukan, maka argumen tadi dinyatakan tidak absah. Contoh: Apakah argumen ini absah? Jika Amin lulus ujian, maka Amin dapat hadiah Ternyata, Amin dapat hadiah

∴

Amin lulus ujian

Penyelesaian: Misal, p= Amin lulus ujian q= Amin dapat hadiah maka, susunan argumen tersebut menjadi, p

⟹q

(premis)

q

(premis)

p

(kesimpulan)

∴

⟹q)∧q)⟹p”.

Bentuk implikasinya adalah “((p


66

Untuk memeriksa apakah implikasi ini merupakan tautologi, akan dibuat tabel kebenaran sebagai berikut. Tabel 8.16 Nilai Kebenaran “((p

⟹q

p

⟹q)∧q)⟹p”

⟹q)∧q

(p

⟹q)∧q)⟹p

((p

p

q

B

B

B

B

B

B

S

S

S

B

S

B

B

B

S

S

S

B

S

B

Dari tabel, tampak bahwa “((p

⟹q)∧q)⟹p”

bukan merupakan tautologi.

Akibatnya, argumen tersebut tidak absah. C. KUANTOR Kuantor adalah kata-kata yang jika ditambahkan pada suatu kalimat terbuka dapat mengubah kalimat terbuka tersebut menjadi sebuah kalimat tertutup atau pernyataan. Kuantor ada 2 macam, yaitu: 1. Kuantor umum (universal ) 2. Kuantor khusus (eksistensial ) Untuk memahami pengertian kuantor universal dan kuantor eksistensial, perhatikan pernyataan berikut. 1. ‘Semua siswa SMAN 1 Serang kelas X-1 pandai’ Pernyataan ini mengandung arti bahwa setiap siswa SMAN 1 Serang kelas X-1 adalah siswa yang pandai. Pernyataan yang menggunakan kata semua atau setiap seperti pada pernyataan di atas disebut pernyataan berkuantor universal (umum). Kata semua atau setiap disebut kuantor universal. Secara umum, pernyataan berkuantor universal ‘Semua A adalah B’

∈

∈

ekuivalen dengan pernyataan implikasi ‘jika x A, maka x B’. 2. ‘Beberapa siswa SMAN 1 Serang kelas X-1 pandai’ Pernyataan ini mengandung arti bahwa dari himpunan siswa SMAN 1 Serang kelas X-1 secara keseluruhan ada yang pandai, tetapi ada pula yang tidak pandai. Pernyataan yang menggunakan kata beberapa atau ada seperti


67

pada pernyataan di atas disebut pernyataan berkuantor eksistensial (khusus). Kata beberapa atau ada disebut kuantor eksistensial. Secara umum, pernyataan berkuantor eksistensial ‘Beberapa A adalah B’

∈

ekuivalen dengan ‘Sekurang-kurangnya ada sebuah x A yang merupakan

∈

x B’.


68

BAB IX PEMECAHAN MASALAH MATEMATIKA

A. MASALAH MATEMATIKA Sebelum

menjelaskan

pengertian

tentang

pemecahan

masalah

matematika, terlebih dahulu akan dijelaskan pengertian masalah itu sendiri. Suatu situasi dikatakan masalah bagi seseorang jika ia menyadari keberadaan situasi tersebut, mengakui bahwa situasi tersebut memerlukan tindakan dan tidak dengan segera dapat menemukan pemecahannya. Suatu masalah merupakan kesenjangan antara keadaan sekarang dengan tujuan yang ingin dicapai, sementara kita tidak mengetahui apa yang harus dikerjakan untuk mencapai tujuan tersebut. Dengan demikian, masalah dapat diartikan sebagai pertanyaan yang harus dijawab pada saat itu, sedangkan kita tidak mempunyai rencana solusi yang jelas. Berdasarkan beberapa pengertian tentang masalah (problem ) yang telah dikemukakan di atas, maka dapat dikatakan bahwa suatu situasi tertentu dapat merupakan masalah bagi orang tertentu, tetapi belum tentu merupakan masalah bagi orang lain. Dengan kata lain, suatu situasi mungkin merupakan masalah bagi seseorang pada waktu tertentu, akan tetapi belum tentu merupakan masalah baginya pada saat yang berbeda. Suatu masalah biasanya memuat suatu situasi yang mendorong seseorang untuk menyelesaikannya, akan tetapi tidak tahu secara langsung apa yang harus dikerjakan untuk menyelesaikannya. Jika suatu masalah diberikan kepada seorang anak dan anak tersebut langsung mengetahui cara menyelesaikannya dengan benar, maka soal tersebut tidak dapat dikatakan sebagai masalah. Ada perbedaan mendasar antara mengerjakan soal latihan dengan menyelesaikan masalah dalam belajar matematika. Dalam mengerjakan soalsoal latihan, siswa hanya dituntut untuk langsung memperoleh jawabannya, misalkan menghitung seperti operasi penjumlahan dan perkalian, menghitung nilai fungsi trigonometri, dan lain-lain. Sedangkan yang dikatakan masalah dalam matematika adalah ketika seseorang siswa tidak dapat langsung mencari solusinya, tetapi siswa perlu bernalar, menduga atau memprediksikan, mencari rumusan yang sederhana lalu membuktikannya. Ciri bahwa sesuatu dikatakan Matematika Dasar-Isro’s Docs

69

masalah ialah membutuhkan daya pikir/nalar, menantang siswa untuk dapat menduga/memprediksi solusinya, serta cara untuk mendapatkan solusi tersebut tidaklah tunggal, dan harus dapat dibuktikan bahwa solusi yang didapat adalah benar/tepat. B. PEMECAHAN MASALAH MATEMATIK Pemecahan masalah matematika dapat dipandang dari dua hal, 1) pemecahan masalah matematika sebagai alat pembelajaran; 2) pemecahan masalah matematika sebagai tujuan dari proses pembelajaran. Pemecahan masalah sebagai alat pembelajaran di sini, mengandung arti bahwa pemecahan masalah matematika berkedudukan sebagai pendekatan yang digunakan dalam pembelajaran. Pemecahan masalah matematika yang digunakan di sini dapat sebagai strategi pembelajaran ataupun sebagai model pembelajaran yang digunakan dalam suasana kegiatan belajar mengajar (KBM). Sementara,

pemecahan

masalah

sebagai

tujuan

dari

proses

pembelajaran, adalah bahwa pemecahan masalah (problem solving ) matematik sebagai suatu kemampuan, artinya sebagai suatu cara untuk menyelesaikan masalah matematika dengan menggunakan penalaran matematika (konsep matematika) yang telah dikuasai sebelumnya. Ketika siswa menggunakan kerja intelektual dalam pelajaran, maka sangat beralasan bahwa pemecahan masalah yang diarahkan sendiri untuk diselesaikan merupakan suatu karakteristik penting. Dalam sebuah proses pembelajaran tertentu, harapannya adalah supaya siswa dapat meningkatkan kemampuan pemecahan masalah matematik yang ia miliki. Untuk selanjutnya, pemecahan masalah matematika yang dibahas dalam materi ini adalah pemecahan masalah matematika yang digunakan sebagai tujuan dari proses pembelajaran (problem solving mathematics ). Problem solving melibatkan konteks yang bervariasi yang berasal dari penghubungan masalah-masalah dalam kehidupan sehari-hari untuk situasi matematika yang ditimbulkan. Siswa dapat memecahkan beberapa masalah yang dimunculkan bagi mereka oleh orang lain. Akan tetapi lebih mudah bagi mereka

untuk

memformulasikan

masalah

mereka

sendiri

berdasarkan

pengalaman pribadi dan ketertarikan. Problem solving adalah komponen penting untuk belajar matematika di masa sekarang. Dengan problem solving , siswa akan mempunyai kemampuan Matematika Dasar-Isro’s Docs

70

dasar yang bermakna lebih, dari sekadar kemampuan berpikir, dan dapat membuat strategi-strategi penyelesaian untuk masalah-masalah selanjutnya. Para siswa didorong supaya berpikir bahwa sesuatu itu multidimensi sehingga mereka dapat melihat banyak kemungkinan penyelesaian untuk suatu masalah. Problem solving dapat mempertajam kekuatan analisis dan kekuatan kritis siswa. Cara untuk mempersiapkan siswa menjadi problem solver yang efektif adalah dengan memberi mereka banyak contoh yang mencakup berbagai teknik problem solving. Dalam pemecahan masalah biasanya ada 5 langkah yang harus dilakukan, yaitu: 1. Menyajikan masalah dalam bentuk yang lebih jelas 2. Menyatakan masalah dalam bentuk yang operasional (dapat dipecahkan) 3. Menyusun hipotesis-hipotesis alternatif dan prosedur kerja yang diperkirakan baik untuk dipergunakan dalam memecahkan masalah itu 4. Mengetes hipotesis dan melakukan kerja untuk memperoleh hasilnya (pengumpulan data, pengolahan data, dan lain-lain), hasilnya mungkin lebih dari satu 5. Memeriksa kembali (mengecek) apakah hasil yang diperoleh itu benar, atau mungkin memilih alternatif pemecahan yang terbaik Secara singkat, solusi soal pemecahan masalah memuat 4 langkah fase penyelesaian, yaitu: 1. Memahami masalah 2. Merencanakan penyelesaian 3. Menyelesaikan masalah sesuai rencana 4. Melakukan pengecekan kembali Problem solving harus menjadi bagian integral dari proses pengajaran yang dijalankan. Hal ini disebabkan karena matematika adalah salah satu ilmu yang lebih mementingkan proses daripada hasil atau jawaban itu sendiri. Dari jawaban yang diberikan seorang siswa dalam memecahkan masalah matematik, sangat diperhatikan dari mana jawaban itu diperoleh termasuk ketepatan penggunaan langkah-langkah, aturan, dan konsep.


71

Sebagai tujuan, kemampuan pemecahan masalah dapat dirinci dengan indikator sebagai berikut. 1. Mengidentifikasi kecukupan data untuk pemecahan masalah 2. Membuat model matematik dari suatu situasi atau masalah sehari-hari dan menyelesaikannya 3. Memilih dan menerapkan strategi untuk menyelesaikan masalah matematika dan atau di luar matematika 4. Menjelaskan atau menginterpretasikan hasil sesuai permasalahan asal, serta memeriksa kebenaran hasil atau jawaban 5. Menerapkan matematika secara bermakna Beberapa contoh soal pemecahan masalah matematik, diantaranya sebagai berikut: 1. Dari 3 huruf A, B, C dan 3 angka 1, 2, 3 akan dibuat pelat nomor motor yang dimulai dengan 1 huruf diikuti 2 angka, dan diakhiri dengan 1 huruf. Oleh karena khawatir tidak ada yang mau memakai, pembuat pelat nomor tidak diperbolehkan membuat pelat nomor yang memuat angka 13. Berapa banyak pelat nomor yang dapat dibuat? 2. Reuni 27 Tahun kelas III IPA 4 SMA Negeri 1 Gombong baru saja berlangsung. Reswit yang sangat ingin mengikuti reuni ini terpaksa membatalkan pada saat terakhir karena harus rapat dengan rekan bisnisnya dari Jerman. Dalam sms -nya kepada sahabat karibnya Ikhwan, Reswit menanyakan berapa orang yang hadir dalam reuni tersebut. Dalam sms balasannya, Ikhwan menceritakan bahwa teman-teman yang sudah lama tidak bertemu saling bernostalgia mengingat kisah-kisah lucu, indah, dan menyenangkan saat mereka di SMA. Rasanya kenangan ini baru terjadi kemarin. Saat reuni akan berakhir, setiap yang hadir saling berjabat tangan, dan Ikhwan menghitung ada 300 jabat tangan yang terjadi (tidak ada satu orang pun yang berjabat tangan lebih dari 1 kali dan berjabat tangan dengan dirinya sendiri). Berapa orangkah yang hadir dalam reuni tersebut? 3. Jika 2 buah dadu dilempar bersamaan, tentukan peluang angka pada salah satu dadu yang merupakan pembagi mata dadu yang lain! 4. Seorang guru baru saja menjelaskan tentang cara menentukan peluang dengan menggunakan bantuan diagram pohon. Ia melihat murid-muridnya tampak lelah dan lesu karena telah berkonsentrasi penuh selama 1 jam Matematika Dasar-Isro’s Docs

72

pelajaran untuk dapat memahami teori peluang yang merupakan topik yang cukup sukar. Untuk menciptakan suasana yang menarik, guru meminta seorang siswanya untuk maju ke depan kelas dan memainkan permainan berikut: 4 uang koin (uang logam) akan ditos secara bersamaan. Jika muncul tepat 2 gambar, siswa memenangkan permainan tersebut dan mendapat hadiah sebuah buku kumpulan soal-soal teori peluang. Jika kejadian lain yang terjadi, siswa kalah. Berapakah peluang siswa untuk memenangkan permainan ini? 5. Tersedia 15 kunci berbeda dan ada 1 kunci yang dapat digunakan untuk membuka sebuah pintu. Kunci diambil satu persatu tanpa pengembalian. Berapa peluang kunci yang terambil dapat digunakan untuk membuka pintu pada pengambilan ke sepuluh? 6. Tiga buah dadu dilempar bersama. Berapa peluang mendapatkan mata dadu berjumlah kurang dari 18? 7. Jika 2 dadu dilempar bersamaan, tentukan peluang jumlah atau hasil kali angka pada kedua sisi dadu yang muncul merupakan bilangan ganjil! Bagaimana proses pengerjaannya? Silahkan Anda coba sebagai latihan!

Tugas: Coba Anda buat soal (minimal 5 nomor) dalam versi soal pemecahan masalah matematik beserta cara penyelesaiannya, dari kedelapan bab sebelumnya!


73

DAFTAR PUSTAKA

Abdurahman, M dan Mulyati, Y. S. (2000). Intisari Matematika untuk SMA. Bandung: Pustaka Setia. Anonim (2010). Number System . Wikipedia [Online]: Free Encyclopedia. Hamzah (2003). Meningkatkan Kemampuan Memecahkan Masalah Matematika Siswa Sekolah Lanjutan Tingkat Pertama Negeri di Bandung melalui Pendekatan Pengajuan Masalah . Bandung: Disertasi SPs UPI. Tidak diterbitkan. Isrok’atun (2006). Pembelajaran Matematika dengan Strategi Kooperatif Tipe STAD untuk Meningkatkan Kemampuan Pemecahan Masalah dan Komunikasi Matematik Siswa . Bandung: Tesis SPs UPI. Tidak diterbitkan. Kantowski, M.G. (1981). “Problem Solving”. Mathematics Education Research: Implications for the 80’s. Virginia: NCTM. Kurnianingsih, S., Kuntarti, dan Sulistyono. (2004). Matematika SMA untuk Kelas X . Jakarta: Erlangga. NCTM (2000). Defining Problem Solving . [Online]. Tersedia: http://www.learner.org/channel/courses/teachingmath/gradesk_2/session_ 03/sectio_03_a.html. [10 September 2004]. Ruseffendi, E.T. (1991). Pengantar kepada Membantu Guru Mengembangkan Kompetensinya dalam Pengajaran Matematika untuk Meningkatkan CBSA. Bandung: Tarsito. Setyawan, A dan Setiawan, W. (2008). Statistika dan Peluang . UPI Kampus Serang: Tidak diterbitkan. Silver, E.A. (1997). Fostering Creativity through Instruction Rich in Mathematical Problem Solving and Problem Posing . [Online]. Tersedia: http://66.102.7.104/search?q=cache:Fw8Lg-xQoFwJ:www.fizkarlsruhe.de/fiz/publications/zdm/zdm973a3.pdf+fostering+creativity,+Ed ward+A.+Silver&hl=id. [12 Februari 2005]. Suherman, E., Turmudi, Suryadi, D., Herman, T., Suhendra, Prabawanto, S., Nurjanah, dan Rohayati, A. (2003). Strategi Pembelajaran Matematika Kontemporer . Bandung: UPI. Sujono (1988). Pengajaran Matematika untuk Sekolah Menengah . Jakarta: Depdikbud, Dikti P2LPTK. Sukirman (2008a). Matematika, Modul ‘Himpunan, Relasi, dan Fungsi’ . Jakarta: Universitas Terbuka. Matematika Dasar-Isro’s Docs

74

Sukirman (2008b). Matematika, Modul ‘Logika’ . Jakarta: Universitas Terbuka. Sukirman (2008c). Matematika, Universitas Terbuka.

Modul

‘Pemecahan

Masalah’ .

Jakarta:

Sukirman (2008d). Matematika, Modul ‘Transformasi’ . Jakarta: Universitas Terbuka. Thomas, D. A. (2002). Modern Geometry . USA: Bob Pirtle. Utari-Sumarmo (2005). “Pembelajaran Matematika untuk Mendukung Pelaksanaan Kurikulum Tahun 2002 Sekolah Menengah”. Makalah pada Seminar Pendidikan Matematika di FMIPA Universitas Negeri Gorontalo, Gorontalo. Widagdo, D. (2007). Pembelajaran Matematika SD, Modul ‘Bilangan Berpangkat dan Logaritma’ . Jakarta: Universitas Terbuka. Widagdo, D dan Tarhadi. (2008). Matematika, Modul ‘Persamaan dan Pertidaksamaan Linear’ . Jakarta: Universitas Terbuka. Wirodikromo, S. (2006). Matematika SMA 3 IPA. Jakarta: Erlangga.


75

SOAL-SOAL BAB I HIMPUNAN

1. Himpunan-himpunan berikut ini, manakah yang objek-objeknya didefinisikan dengan jelas? a. Himpunan sepuluh penyanyi tercantik b. Himpunan nama bulan yang dimulai dengan huruf D c. Himpunan semua orang yang tinggi badannya lebih dari 2 meter d. Himpunan 8 rumah besar e. Himpunan 5 aktor yang paling cerdas f. Himpunan semua huruf yang ada di dalam buku ini g. Himpunan semua mahasiswa Indonesia h. Himpunan semua mahasiswa yang pandai 2. Tuliskan

himpunan-himpunan

berikut

ini

dengan

cara

mendaftarkan

anggotanya a. Himpunan semua huruf pembentuk kata ‘matematika’ b. Himpunan bilangan genap positif

x −5x+4 = 0 d. Himpunan bilangan real yang memenuhi persamaan x  +x+1 = 0 c. Himpunan bilangan real yang memenuhi persamaan

e. Himpunan semua bilangan bulat positif yang terdiri tepat dua angka f. Himpunan semua bilangan prima di antara 0 dan 40 g. Himpunan bilangan bulat yang terbagi habis oleh 5 h. Himpunan semua konsonan pembentuk kata ‘yogyakarta’

x|x bilangan asli, B=x|x bilangan bulat, dan Q=x|x bilangan rasional, tuliskanlah himpunan-himpunan berikut ini dengan

3. Apabila A=

cara mendaftarkan anggotanya

x|x ∈ B ∧ −2 <  < 8 b. T =x ∈ B|x terbagi oleh 13 c. F =x ∈ B|x genap ∧ x < 100 d. E =y|y = 2n−1,n ∈ A e. I =x ∈ B|x+1 = x a. H =


76

4. Benar

atau

salahkah pernyataan-pernyataan

berikut

ini!

Jika

salah,

betulkanlah!

⊂ ⊂ ⊂ b. Jika a∈A, A⊂B dan B⊂C, maka a∈C c. Jika a∈A dan A∈B, maka a⊂B d. Jika a∈A dan a∈B, maka A⊂B e. Jika a∈A dan A⊂B, maka a∈B f. Jika a∈B, C⊂B dan C⊂A, maka a∈A 5. Misalkan, A=x|x bilangan asli sebagai himpunan semesta G=2x|x bilangan asli T=3x|x bilangan asli dan E=4x|x bilangan asli a. Jika A B dan B C, maka A C

Tentukanlah!

G b. G∩T c. T∩E d. G∩E e. G∪E a.

f. G-E g. E-G

T A-E

h. Ai.

3,5,7,9,11,12,13, maka banyaknya himpunan bagian dari D

6. Jika diketahui D=

yang masing-masing mempunyai dua anggota adalah …. 7. Diketahui, H=

2,5,8,11,… . Tuliskan himpunan H tersebut dengan notasi

pembentuk himpunan! 8. Buktikan Hukum de Morgan, berikut:

(A∩B) = A ∪ B b. (A∪B) = A ∩ B  a.

9. Suatu himpunan bilangan asli terdiri dari 10 bilangan yang habis dibagi 6, 15 bilangan yang habis dibagi 2, 10 bilangan yang habis dibagi 3, dan satu bilangan yang tidak habis dibagi 2 ataupun 3. Berapa banyak unsur bilangan tersebut? Matematika Dasar-Isro’s Docs

77

BAB II RELASI DAN FUNGSI

1,2,3,4 ke himpunan B=2,4,6,8.

1. Diketahui, Relasi “Faktor dari” himpunan A= Nyatakan relasi tersebut dengan: a. Diagram panah b. Himpunan pasangan terurut c. Diagram Cartesius

(1,5),(2,10),(3,15),(4,20). Tentukan:

2. Diketahui, Relasi R=

a. Daerah asal (domain) -nya b. Daerah hasil (range) -nya c. Diagram panah dan diagram Cartesius-nya, serta d. Aturan relasinya

x|0 <  ≤ 10, ∈ bilangan genap dan B=x|0 <  <

3. Diketahui himpunan A=

6,x ∈ bilangan prima.

R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B

dengan aturan “kelipatan dari”. Tentukan: a. Himpunan pasangan terurut dari R b. Diagram panah dan diagram Cartesius (grafik) dari R

(x,y)|x + y = 4,x,y ∈ bilangan real, carilah….

4. Diketahui R=

a. Daerah asal (domain)-nya b. Daerah hasil (range)-nya 5. Diketahui himpunan G=

1,2,4,6.

Himpunan G tersebut akan direlasikan

dengan dirinya sendiri dengan aturan “membagi habis”: a. Sajikanlah R dalam himpunan pasangan terurut b. Sajikanlah R ke dalam diagram panah

R sebagai himpunan pasangan terurut 6. Diketahui f:R ⟶ R dengan f (x) = x  + 1, untuk setiap x∈ R. c. Tentukan pula

a. Hitunglah f(2) dan f(-3) b. Jika f(a)=50, carilah a

x|−2 ≤ x ≤ 2,x ∈ R dan f:A ⟶ R ditentukan untuk setiap x∈ A.

7. Jika A=

oleh

f (x) = x  + 2,

a. Lukis grafik dari f b. Tentukan daerah hasilnya


78

8. Diketahui

f:A ⟶ B, seperti ditunjukkan dengan diagram panah di bawah ini.

Tentukan: a. b.

f (a) f (b) dan f (c) A

B

w x y z

a b c

9. Lukislah grafik berikut untuk x real a.

f (x) = ||

≤≤1 1, jika 1≤  ≤ 2 2, ika 2≤  ≤ 3 0, jika 0

b. g(x)=

10. Dalam himpunan bilangan real, diketahui

f (x) = x + 1 dan g(x) = x− 3.

a. Carilah g(f(2)), f(g(2)), g(f(-1)), dan f(g(-1)) b. Apakah g(f(x))=f(g(x))?


79

BAB III SISTEM BILANGAN

1. Buatlah definisi yang tepat untuk himpunan bilangan prima? Bila diperlukan, gunakan contoh! 2. Tuliskan daftar anggota bilangan cacah genap! 3. Buktikan bahwa

√ 2 bukan bilangan rasional!

4. Jika pecahan merupakan bilangan rasional, apakah demikian halnya dengan desimal? Beri penjelasan secukupnya!

 

5. Jika diketahui , dimana a

 ? Jelaskan! 

6. Apakah bilangan

∈ ℤ bukanlah bilangan rasional, bagaimana dengan

√ 2, , dan  merupakan bilangan real? Jelaskan!

7. Samakah desimal dengan pecahan? Jelaskan dengan membuat suatu kontradiksi (deduktif)!

ℚ dan ℚ menurut konsep himpunan? 9. Bagaimana keterkaitan antara P,,c,ℤ,ℚ,ℝ,dan ℂ dalam persepsi himpunan 8. Bagaimanakah

bagian? Jelaskan! Keterangan : P (bilangan prima), c (bilangan cacah), dan

ℂ (bilangan

kompleks) 10. Tuliskan beberapa kegunaan bilangan kompleks dalam bidang matematika ataupun bidang sains lainnya!


80

BAB IV PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR

1. Selesaikanlah 2z-(9z+8)=(5-2z)-3(2z-3)+29! 2. Selesaikanlah

 −  = 1 !  

3. Tentukan himpunan penyelesaian soal-soal berikut. a. |3x|= 12 b. 3|x-3|= 9 4. Hasil ketiga kali tes seorang siswa SD di Serang 87%, 64%, dan 78%. Berapakah skor tes yang ia dapatkan pada tes ke empat supaya reratanya 80%? 5. Salah satu sudut sebuah segi tiga ukurannya lima kali sudut pertama. Sedangkan sudut ketiga besarnya

2 kurang dari sudut pertama. Berapakah

besar masing-masing sudut segi tiga tersebut? 6. Jumlah dua bilangan bulat berurutan 35. Tentukan bilangan bulat itu!

Tentukan himpunan penyelesaian dari soal-soal berikut.

>

7. 9(2-5m)-4 13m+8(3-7m)

<  9. |x|<    10. x+  <    11. |-x-2|<  12. |3x+5|>2

8. 6z 2-4(2-3(z-5))


81

BAB V DERET

1. Hitunglah jumlah semua bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 1000! 2. Diketahui suku ke-3 barisan geometri adalah 36 dan suku ke-5 nya adalah 81. Tentukan suku pertama dan rasionya! 3. Diketahui barisan aritmatika 5, 8, 11, …, 125, 128, 131. Tentukan suku tengahnya! 4. Tentukan k, jika diketahui deret aritmatika 2+5+8+…+k = 345! 5. Suatu deret aritmatika mempunyai suku pertama 4 dan beda 3. Jika jumlah n suku pertama adalah 180. Tentukan nilai n! 6. Jika k+1, k-5, membentuk deret geometri, maka tentukanlah harga k! 7. Suatu deret geometri U1=3 dan U5=48. Maka carilah suku ke-7 dari deret tersebut! 8. Suatu tali dibagi menjadi 6 bagian dengan yang paling pendek 3 cm dan yang paling panjang 96 cm, maka berapakah panjang tali semula? 9. Jumlah penduduk suatu kota setiap 10 tahun menjadi 2 kali lipat. Menurut perhitungan pada tahun 2050 nanti akan menjadi 3,2 juta orang. Ini berarti pada tahun 2000 jumlah penduduk kota itu mencapai berapa orang? 10. Suatu bola tenis dijatuhkan ke lantai dari tempat yang tingginya 1 meter. Setiap kali setelah bola itu memantul ia mencapai ketinggian yang sama dengan tiga perlima dari tinggi yang dicapai sebelum pemantulan terakhir. Berapakah panjang lintasan bola sampai pada akhirnya bola tersebut berhenti memantul? 11. Limit jumlah suku-suku bernomor ganjil dari suatu deret geometri tak hingga sama dengan 18. Deret geometri tak hingga itu sendiri mempunyai limit jumlah 24. Tentukan rasio r dan suku pertama (a ) dari deret geometri tersebut!


82

BAB VI LOGARITMA

1. Nyatakan dalam bentuk perpangkatan yang sesuai:

log 4 = x   b. = log2   c. loga = 5 d. logn = b a.

2. Tentukan x dari:

x = log2 b. x = loga a.

3. Sederhanakanlah: a.

log 32− log  

log5+log2  c. log3+log4+log −log 2  b.

4. Selesaikanlah:

log45+ log72− log81 b. log1+ log1+ log1 c. Carilah x, jika diketahui log8 + log4− log2 = 2 a.

Hitunglah!

   

log 81 x log  = ⋯ 6. log 243− log343 = ⋯   7. Tentukan x, jika  log729 = 1   8. Jika log  = x, maka log  = ⋯          = ⋯ 9. Nilai dari    .  10. Diketahui, log5 = n, maka log125 dapat dinyatakan dengan …. 11. Diketahui, log16 = p, maka log32 dapat dinyatakan dengan …. 12. Diketahui, log3 = a dan log7 = b. Maka log6 dapat dinyatakan dengan …. 5.


83

BAB VII GEOMETRI TRANSFORMASI

1. Benar atau salahkah pernyataan berikut? Jika salah, berikan alasan pembenarannya! Bila pada suatu bangun dilakukan translasi, maka: a. Semua titik bergerak sepanjang jarak yang sama b. Semua titik bergerak dengan arah yang sama c. Semua ukuran panjang dalam bangun itu tetap d. Luas bangun bayangannya sama dengan luas bangun sebelum dilakukan translasi e. Paling sedikit ada satu titik invarian f. Translasi tersebut dapat diwakili oleh sebuah ruas garis berarah (vektor) g. Bangun bayangannya kongruen dengan bangun semula 2. Suatu translasi

u membawa titik A(5,-7) ke titik B(-1,3), dan translasi v

membawa titik B ke titik C(-7,-1) a. Tentukan

u dan v

w yang langsung membawa titik A ke t itik C a 3 3. Translasi   dilanjutkan dengan translasi  , menghasilkan suatu translasi b 2 −36 . Tentukanlah a dan b! b. Tentukan translasi

4. Diketahui A(2,1), B(5,1), C(3,5), dan D(6,5)

a. Bangun apakah segi empat ABCD tersebut? b. Tentukan bayangan titik-titik tersebut pada pencerminan terhadap garis x=7! 5. Diketahui titik A(-7,-4), B(1,-5), dan C(-2,1). Titik-titik ini dicerminkan terhadap garis y=2 dan peta-petanya dicerminkan lagi terhadap garis y=7. Tentukanlah bayangan terakhir dari titik-titik A, B, dan C tersebut! 6. Diketahui titik-titik A(1,2), B(-1,6), dan garis x=2. Tentukan koordinat titik T pada garis x=2 sedemikian sehingga AT+BT terpendek!

∆

7. Diketahui ABC yang koordinat titik-titik sudutnya A(15,11), B(-3,12), dan C(-

∆

5,6). Tentukanlah bayangan ABC pada rotasi berikut ini:

90) b. R(O,180 ) a. R(O,


84

c. R(O,

−90)

8. Carilah bayangan titik-titik A(4,2), B(-2,3), C(-1,10), dan D(-2,-1) pada dilatasi berikut ini. a. [O,5] b. [O,1] c. [O,-3] d. [O,-1] 9. Diketahui titik-titik A(11,6), B(9,6), P(17,9), dan Q(21,9). Tentukanlah titik pusat dilatasi dan faktor skalanya, apabila bayangan A dan B berturut-turut adalah P dan Q! 10. Diketahui sembarang

∆ABC. Garis-garis berat (membagi dua sama panjang

sisi di hadapan sebuah sudut) BE dan CF berpotongan di titik G. Tariklah garis yang menghubungkan titik-titik F dan E. a. Buktikan bahwa FE//BC b. Buktikan bahwa BG : GE = CG : GF = 2 : 1


85

BAB VIII LOGIKA MATEMATIKA

1. Kalimat-kalimat

berikut

ini,

manakah

yang

merupakan

pernyataan?

Tentukanlah nilai kebenaran dari pernyataan tersebut, dan tuliskanlah negasinya! a. 12 adalah suatu bilangan asli b. Berapakah 6 ditambah 9? c. Dilarang mengganggu binatang buas! d. 39 adalah suatu bilangan prima e. Siapakah namamu dan dimanakah rumahmu? f. 2 adalah bilangan prima dan genap g. Jajar genjang adalah suatu segi empat h. 4 x 8 = 32 atau 32 : 8 = 4 i.

5 = 25 atau √ 5 = 5

j. Semoga Anda selamat sampai tujuan 2. Misalkan, p= 15 terbagi habis oleh 3 q= 27 adalah bilangan prima Tuliskanlah pernyataan-pernyataan berikut ini dalam kalimat sehari-hari dan tentukan nilai kebenarannya! a. ~p b. ~q

∧ d. ~p∨q e. ~p∧~q f. p∨~q c. p ~q

g. ~(~p)

∧

h. ~p q 3. Misalkan, a= Ida adalah gadis cantik b= Ida berambut keriting Tuliskan pernyataan-pernyataan berikut ini dengan menggunakan lambang-

∨ ∧, atau ~

lambang a, b, ,

a. Tidak benar bahwa Ida bukan gadis cantik b. Ida adalah gadis cantik yang berambut keriting Matematika Dasar-Isro’s Docs

86

c. Ida bukan gadis cantik, tetapi berambut keriting d. Ida adalah gadis cantik yang tidak berambut keriting e. Ida berambut keriting, tetapi bukan gadis cantik 4. Diketahui bahwa a= Siti sedang belajar, dan b= Ani sedang memasak. Notasikan kalimat berikut dengan a dan b! a. Siti sedang belajar hanya apabila Ani sedang memasak b. Jika Siti sedang belajar, maka Ani tidak sedang memasak c. Ani tidak sedang memasak, apabila Siti sedang belajar d. Siti tidak sedang belajar, jhj Ani sedang memasak

⟹q” bernilai S. Tentukan nilai kebenaran dari

5. Diketahui bahwa implikasi “p

pernyataan-pernyataan berikut ini.

⟹q b. p⟹~q c. q⟹p d. (p∧q) ⟹~q e. p⟹(p∨~q) a. ~p

6. Tuliskan negasi, konvers, invers, dan kontrapositif dari implikasi berikut ini, dan tentukanlah nilai kebenaran masing-masing! a. Apabila 10 adalah bilangan prima, maka 10 membagi habis 30 b. Segi empat adalah persegi, jika dan hanya jika diagonal segi empat itu sama panjang c. Jika sisi-sisi yang berdekatan dari suatu segi empat sama panjang, maka segi empat itu adalah belah ketupat 7. Pernyataan-pernyataan berikut ini, manakah yang merupakan tautologi? Apabila pernyataan itu suatu tautologi, tunjukkan jenis tautologi yang mana!

∨ ∧ ⟹p b. ((a⟹~b) ∧(~b⟹c)) ⟹(a⟹c) c. ((u⟹~w) ∧w) ⟹~u d. ((~p⟹q) ∧~p) ⟹q e. ((~a⟹~b) ∧b) ⟹~a a. ((p ~q) q)

8. Argumen berikut ini absah atau tidak? Jika absah, tunjukkan jenis argumen manakah yang digunakan! Tunjukkan, jika tidak absah! a. Jika motorku rusak, maka saya diantar ke kampus oleh ibu. Ternyata motorku tidak rusak. Matematika Dasar-Isro’s Docs

87

PGSD Diktat Konsep Dasar Matematika

Recommend Documents