DIKTAT MATEMATIKA DASAR

MATEMATIKA DASAR UNTUK SAINS & TERAPAN (VERSI MODUL KULIAH)

Basic Mathematical For Science & Applied (Lecture Module Version)

x2

lim  a 2  b 2 dx x 

x1

DISUSUN OLEH: Baiq Desy Aniska Prayanti, M.Sc Maxrizal, M.Sc.

FAKULTAS PERTANIAN PERIKANAN DAN BIOLOGI UNIVERSITAS BANGKA BELITUNG 2016

1

Matematika Dasar Untuk Sains & Terapan by Bq. Desy A.P. & Maxrizal

DAFTAR ISI

Daftar Isi ................................................................................. Bab 1. Himpunan .................................................................... Bab 2. Sistem Bilangan........................................................... Bab 3. Fungsi .......................................................................... Bab 4. Limit ............................................................................ Bab 5. Turunan ....................................................................... Bab 6. Integral ........................................................................ Bab 7. Bank Soal .................................................................... Daftar Pustaka .........................................................................

2


CHAPTER I HIMPUNAN (SETS)

A. Pengertian Himpuan

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menjumpai istilah kelompok atau grup. Misalknya kelompok pemuda desa, grup tari, grup paduan suara ataupun kumpulan mahasiswa dari suatu program studi di universitas.

Definisi 1. Himpunan (sets) adalah kumpulan objek-objek yang didefinisikan dengan jelas.

Contoh 1. a. Kumpulan mahasiswa jurusan Pertanian se-Indonesia. b. Kumpulan mahasiswa jurusan Biologi yang berumur kurang dari 19 tahun. c. Kumpulan mahasiswa peminat UKM Marching Band dan UKM Penelitian.

Dalam matematika, tidak semua pengelompokkan benda disebut dengan himpunan.

Contoh 2. a. Kumpulan mahasiswa jurusan Pertanian yang ganteng dan imut-imut. b. Kumpulan masakan Bangka yang enak. c. Kumpulan mahasiswa yang berbadan tinggi.

Perhatikan bahwa contoh-contoh diatas melibatkan sisi kualitas sehingga menimbulkan sifat ambiguitas. Kita tidak bisa mendefinisikan dengan jelas, kriteria-kriteria ganteng ataupun kriteria suatu makanan dikatakan enak. Pada intinya, setiap

3


kelompok yang tidak dapat didefinisikan dengan jelas bukanlah suatu himpunan.

Test 1. (Question and Answer) Randam Sampel : 5 orang mahasiswa. 1. Berilah dua contoh himpunan! 2. Berilah tiga contoh yang bukan himpunan!

B. Notasi Himpunan

Himpunan biasanya dinyatakan dengan huruf kapital seperti

A, B, C,

dan diikuti oleh tanda kurung kurawal

  . Anggota

atau elemen dari himpunan berupa huruf, biasanya dinyatakan dalam huruf kecil.

Contoh 3. a.

A  1, 2,3

b. B   x x  3, x 



c. C  a, b, c, d 

Berdasarkan Contoh 3, 1 adalah anggota dari himpunan A dinotasikan 1 A dan d adalah anggota himpunan C , dinyatakan sebagai d  C . Selanjutnya, a bukan anggota dari himpunan A dinotasikan a  A . Banyaknya anggota himpunan A ada 3 dan dinotasikan n  A  3 atau A  3 .

Selanjutnya cara penyajian pada contoh a ) dan c) disebut bentuk pendaftaran (tabular-form) dan cara penyajian pada contoh b) disebut bentuk perincian (set-builder form).

Contoh 4. 1. Misalkan A  1,3,5,

4




2. B   Andi, Canas, Toni Bentuk diatas bisa diubah menjadi bentuk perincian (set-builder form). 1. A  x x adalah bilangan ganjil 2. B   x x adalah pelajar pemenang lari 100m  Perhatikan bahwa pada bentuk pendaftaran (tabular-form), semua elemen/anggota himpunan dituliskan dalam kurung kurawal. Sedangkan pada bentuk perincian (set-builder form), elemen himpunan hanya diwakili dengan sifat/ketentuan yang sesuai.

Test 2. (Question and Answer) Randam Sampel : 8 orang mahasiswa. 1. Berilah dua contoh cara penyajian himpunan dengan pendaftaran (tabular-form)! 2. Berilah dua contoh cara penyajian himpunan dengan bentuk perincian (set-builder form)! 3. Ubahlah bentuk berikut ke cara penyajian himpunan dengan pendaftaran (tabular-form)! a.

A   x x adalah mahasiswa berawalan huruf Y 

b. B   x x adalah bilangan prima genap 4. Ubahlah bentuk berikut ke cara penyajian himpunan dengan bentuk perincian (set-builder form)! a.

A  1, 4,9,16, 25,



b. B  becak , bemo, bajaj

C. Jenis-Jenis Himpunan a. Himpunan kosong (null sets)

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota. Notasi untuk himpunan kosong adalah

5



atau  .


Contoh 5. 1. A   x x adalah manusia normal berkaki empat



2. B  x x 2  4 dan x  ganjil



Jelas bahwa A   , karena tidak ada manusia normal yang berkaki empat. Sedangkan

B   , karena tidak ada angka

ganjil yang memenuhi persamaan itu. Nilai x yang mungkin hanyalah 2 atau 2 .

Test 3. (Question and Answer) Randam Sampel : 2 orang mahasiswa. Berilah dua contoh himpunan kosong!

b. Himpunan semesta (universal sets)

Himpunan

yang

memuat

semua

anggota

yang

sedang

dibicarakan disebut himpunan semesta.

Contoh 6. 1. Misalkan A  1,3,5,

.

Himpunan semesta dari A

adalah himpunan bilangan asli

  , yaitu

S

.

2. Misalkan diberikan beberapa himpunan berikut ini. A   x x adalah mahasiswa agribisnis 

Himpunan semesta S   x x adalah mahasiswa FPPB

Test 4. (Question and Answer) Randam Sampel : 4 orang mahasiswa. Tentukan himpunan semesta dari himpunan berikut ini! 1. A  1, 2,3 2. K  mawar, melati, anggrek 3. S   x x adalah ikan karnivora 4. C   x x adalah hewan mamalia 6


c. Himpunan bagian (subsets)

Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika setiap anggota A merupakan anggota B , yang dinotasikan dengan A  B . Jika paling sedikit ada satu anggota dari A bukan merupakan anggota B maka A bukan himpunan bagian dari B , dinotasikan A  B .

Contoh 7. 1.  merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan. 2. Misalkan A  2,3 dan B  1, 2,3, 4 maka jelas A B.

Perhatikan bahwa A  B dibaca A subset B atau bisa juga dinyatakan sebagai B super set dari A . Jika himpunan A memiliki n anggota maka banyak himpunan bagian dari A adalah 2n . Misalkan A  1, 2,3 maka himpunan bagiannya adalah

  , 1 , 2 , 3 , 1, 2 , 1,3 , 2,3 dan

1, 2,3 . Test 5. (Question and Answer) Randam Sampel : 5 orang mahasiswa. Manakah yang merupakan himpunan bagian dari A   x x adalah bilangan bulat antara 0 dan 10 .

1. C  0,1, 2,3 2. K  7,8 3. S   x x adalah bilangan genap antara 0 dan 10

1 2 3  4. C   , ,  2 3 4 5. G  x x adalah bilangan prima genap

7


d. Keluarga himpunan (family of sets)

Himpunan A dinamakan keluarga himpunan jika semua elemennya berupa himpunan.

Contoh 8. 1. A  1 , 1, 2 2. B   x x bilangan genap , a, b, c ,  Selanjutnya

C  0, 1 , a, b

bukan

merupakan

contoh

keluarga himpunan karena ada satu anggota yang bukan merupakan himpunan yaitu 0 .

Test 6. (Question and Answer) Randam Sampel : 2 orang mahasiswa. 1. Berilah satu contoh keluarga himpunan! 2. Berilah satu contoh yang bukan keluarga himpunan!

e. Himpunan kuasa (power sets) Himpunan kuasa  2 A  adalah keluarga himpunan dari semua himpunan bagian dari himpunan A .

Contoh 9. 1. Diberikan A  1, 2 , maka banyak himpunan bagian dari A adalah 22  4 yaitu , 1 , 2 , 1, 2 . Jadi 2 A  , 1 , 2 , 1, 2 . 2. Diberikan B  a , maka banyak himpunan bagian dari B adalah 21  2 yaitu , a . Jadi 2B  , a .

Test 7. (Question and Answer) 8


Randam Sampel : 3 orang mahasiswa. Tentukan himpunan kuasa dari himpunan berikut! 1. A  a, b 2. B   x x adalah bilangan ganjil antara 0 dan 5 3. C  1, 2,3

f. Himpunan terhingga (finite) dan himpunan tak terhingga (infinite)

Himpunan terhingga adalah himpunan yang banyak anggotanya berhingga.

Contoh 10. 1. Himpunan  2. Himpunan dengan n anggota. 3. M  ayam, itik , bangau

Himpunan

tak

berkorespondensi

terhingga satu-satu

adalah dengan

himpunan

bilangan

asli,

yang yaitu

himpunan yang banyak anggotanya tak terhingga.

Contoh 11. 1. Himpunan bilangan asli. 2. Himpunan bilangan bulat. 3. M   x x adalah bakteri di dunia

Test 8. (Question and Answer) Randam Sampel : 4 orang mahasiswa. 1. Buatlah dua contoh himpunan terhingga! 2. Apakah himpunan berikut terhingga? a.

A   x x adalah nama  nama hari

b. B   y y adalah bilangan ganjil

9


g. Himpunan terhitung (countable) dan tak terhitung (uncountable)

Himpunan terhitung adalah himpunan terhingga (finite) atau tak terhingga (infinite).

Contoh 12. 1. A  a, b, c 2. Himpunan bilangan ganjil.

Himpunan tak terhitung adalah himpunan yang tidak terhitung jumlahnya. Himpunan bilangan Real

 

adalah contoh himpunan yang tak

terhitung. Hal ini cukup beralasan karena kita tidak bisa menentukan berapa banyak bilangan Real yang terletak diantara dua bilangan bulat yang berurutan. Sifat bilangan Real akan kita bicarakan lebih mendalam pada bab 2.

Test 9. (Question and Answer) Randam Sampel : 2 orang mahasiswa. Apakah himpunan berikut terhitung? 1. A  x x adalah nama  nama planet 2. B   y y adalah nama  nama presiden di bumi

h. Himpunan saling lepas (disjoint sets)

Himpunan A dan B dikatakan saling lepas jika himpunan A dan B tidak memiliki elemen yang sama.

Contoh 13. Misalkan himpunan A  1, 2,3 dan B  a, b maka himpunan A dan B dikatakan saling lepas. 10


Test 10. (Question and Answer) Randam Sampel : 3 orang mahasiswa. Apakah kedua himpunan berikut saling lepas? 1. A  x x adalah nama  nama planet

B  Venus, Bumi 2. K   y y adalah bilangan genap L   x x adalah bilangan ganjil

3. C  0, 2 D   x x adalah salah satu faktor dari 14

D. Kesamaan Himpunan

Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika setiap elemen dari A merupakan elemen dari B dan sebaliknya.

Contoh 14. 1. A  1, 2,3 dan B  3, 2,1 maka A  B . 2. C  1, 2, 2, 2,1 dan D  2,1, 2 maka C  D .





3. E  5, 6 , F  x x 2  11x  30  0 maka E  F . Perhatikan bahwa jika ada elemen yang sama cukup dihitung sekali dan pada himpunan urutan elemen tidak dipermasalahkan. Berdasarkan sifat himpunan bagian, himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika berlaku A  B dan B  A .

Test 11. (Question and Answer) Randam Sampel : 2 orang mahasiswa. Apakah kedua himpunan berikut sama? 1. K   y y adalah bilangan genap , L   , 2,0, 2, 2. C  





D   x x adalah bilangan prima genap lebih dari 2 11


E. Representasi Himpunan

Ada dua cara untuk menyajikan himpunan yaitu menggunakan diagram Venn dan diagram garis. Diagram Venn biasanya lebih umum digunakan karena dapat menyajikan elemen himpunan dengan jelas.

a. Diagram Venn

Pada diagram Venn, daerah persegi untuk menggambarkan himpunan semesta dan daerah lingkaran untuk menggambarkan himpunan di dalamnya.

Contoh 15. 1. Misalkan S  a, b, c, d , e , A  a, b dan B  c, d  .

2. Diberikan diagram Venn sebagai berikut.

Dari diagram diperoleh S  a, b, c, d , e , A  S dan

B  c, d  . Perhatikan bahwa berlaku B  A .

12


Pada contoh 1, himpunan A dan B tidak dapat diperbandingkan (not comparable) sedangkan pada contoh 2, himpunan A dan B dapat diperbandingkan (comparable).

Test 12. (Question and Answer) Randam Sampel : 2 orang mahasiswa. Buatlah diagram Venn untuk himpunan berikut! 1. Himpunan Semesta S  a, b, c, d , e, f  ,

A  a, e , B  a, d  dan C  a, d , e 2. Himpunan Semesta S   x x adalah nama  nama hari

A  senin, rabu dan B  rabu, sabtu .

b. Diagram garis

Cara kedua untuk menyatakan hubungan antar himpunan dengan menggunakan diagram garis. Pada diagram garis A  B dinyatakan sebagai

Contoh 16. 1. Misalkan A  1, 2,3 , B  3 dan C  1, 2 .

Jelas bahwa B  A , C  A dan B  C . Dengan kata lain, B dan C tidak dapat dibandingkan.

13


2. Perhatikan diagram garis berikut ini!

Jelas bahwa B  A  E , B  A  F , C  A  E ,

C  A  F , B  C dan E  F .

Test 13. (Question and Answer) Randam Sampel : 4 orang mahasiswa. 1. Buatlah diagram garis untuk himpunan berikut! a.

A  a, e , B  a, d  dan C  a, d , e

b. A  senin , B  senin, rabu

C  senin, rabu, kamis 2. Buatlah diagram garis untuk himpunan berikut! a.

A B C ,D E C .

b.

A  D ,C  E  F , D  F  H .

F. Operasi Pada Himpuan

Jika kita memiliki dua himpunan atau lebih, kita bisa mengoperasikan himpunan-himpunan tersebut. Beberapa operasi yang dikenakan pada himpunan:

a. Irisan A  B   x x  A dan x  B

b. Gabungan A  B   x x  A atau x  B

c. Penjumlahan A  B   x x  A , x  B , x  A  B

d. Selisih A  B   x x  A dan x  B 14


e. Komplemen Ac   x x  A dan x  S 

Contoh 17. 1. Diketahui S  1, 2,

,10 , A  2,3 dan

B  2, 4,6,8,10 maka diperoleh a.

A  B  2

b. A  B  2,3, 4, 6,8,10 c.

A  B  3, 4,6,8,10

d. A  B  3 e. B  A  4,6,8,10 f.

Ac  1, 4,5,6,7,8,9,10

g. Bc  1,3,5,7,9 2. Perhatikan diagram Venn berikut ini!

Berdasarkan

diagram

diperoleh

S  a, b, c, d , e, f , g , h a.

A  a, b, f , h

b. B  c, d , g c. C  d , e, f , g , h d. A  B   e.

15

A  C   f , h


Test 14. (Question and Answer) Randam Sampel : 6 orang mahasiswa. Diberikan A   x 0  x  10, x  dan semesta S   x 0  x  12, x 



, B   x 5  x  9, x 



Tentukan! 1. A  B 2. A  B 3. A  B 4. A  B 5. B  A 6.

 A  B

c

7.

 A  B

c

G. Sifat-Sifat Operasi Himpunan

Beberapa sifat yang berlaku pada operasi himpunan:

a. Sifat komutatif A  B  B  A dan A  B  B  A .

b. Sifat Asosiatif

 A  B   C  A   B  C  dan  A  B  C  A   B  C  . c. Sifat Distributif

A   B  C    A  B    B  C  dan A   B  C    A  B   B  C  . d. Sifat Identitas

A   , A  S  A , A   A dan A  S  S . e. Sifat Idempoten A  A  A dan A  A  A .

f. Sifat De Morgan

 A  B

16

c

 Ac  Bc dan  A  B   Ac  Bc . c




,

Contoh 18. Diberikan himpunan semesta S  a, b,

, z , A  a, b dan

B  C  a, e . Tentukan  A  B   C ! Perhatikan bahwa  A  B   C  A   B  C   a .

Test 14. (Question and Answer) Randam Sampel : 2 orang mahasiswa. Diberikan A  rabu, kamis, jumat , B   jumat , sabtu , dan semesta S   x x adalah nama  nama hari Tentukan! 1.

 A  B

c

2.

 A  B

c

H. Task and Exercise

1. Manakah yang merupakan himpunan bagian dari

A  1, 2,

, 20 . Berikan penjelasanmu !

a. M  0,3,6,9 b. N   x x bilangan bulat antara 11 dan 12 c. O  19, 20, 21 d. A  x x bilangan prima kurang dari 23 2. Diberikan S  1, 2,

, 7

A  1, 2 . B  3,5, 7 Tentukanlah: a.

A B

b. A  B c.

A B

d. A  B 17


e.

Ac  Bc

f.

 A  B

c

g.

 A  B

c

h. Diagram Venn

3. Perhatikan diagram Venn di bawah ini!

Tentukan himpunan dari a. Laut b. Sungai c. Danau d. Laut  Danau e. Laut  Sungai f. Sungai  Danau g. Laut  Danau  Sungai

4. Berikut ini daftar olahraga favorit beberapa mahasiswa Agribisnis. A menyukai sepak bola dan futsal. B menyukai bulutangkis. C tidak menyukai sepak bola, dan menyukai futsal. D menyukai semua jenis olahraga. E tidak menyukai semua jenis olahraga yang ada. a. Buatlah diagram Venn untuk masalah di atas! b. Siapa yang menyukai futsal dan Bulutangkis!

18


5. Diberikan S  1, 2,3, 4,5 ,  A  B   1, 2 dan c

Ac  2 . Tentukan: a. B c

19

b.

 A  B

c.

 A  B

d.

 A  B

c


CHAPTER II SISTEM BILANGAN PART 1 (Numbers System)

A. Bilangan Real

Sistem bilangan terdiri atas dua himpunan utama yaitu himpunan bilangan real

I  .

 

dan himpunan bilangan imajiner

Gabungan antara bilangan real dan imajiner dinamakan

dengan bilangan kompleks

 

.

Himpunan bilangan real terdiri atas bilangan rasional dan irrasional. Berikut ini diberikan diagram garis untuk himpunan bagian dari bilangan real.

B. Bilangan Bulat

Bilangan bulat positif berbentuk dikenal dengan bilangan asli

 



 1, 2,3,



atau lebih

. Bilangan asli digunakan

untuk menghitung buku-buku, teman dan uang.

20


Selanjutnya 

bilangan

 1, 2, 3,



bulat

negatif

. Gabungan antara

membentuk bilangan bulat



berbentuk 

, 0 dan

 .

Task 1 (Quetion and Answer) Sebutkan dua contoh penggunaan bilangan bulat negatif dalam kehidupan nyata!

C. Bilangan Pecahan

Bilangan pecahan berbentuk

a , dengan a, b  b

dan b  0 .

Bilangan pecahan bisa berbentuk pecahan biasa, pecahan campuran dan pecahan desimal.

Task 2 (Question and Answer) 1. Ubahlah bilangan berikut ke dalam pecahan biasa! a. 0,5 b. 4

1 3

2. Ubahlah bilangan berikut ke dalam pecahan campuran! a.

7 3

b. 2,5

D. Bilangan Rasional

Gabungan antara pecahan dan bilangan bulat dinamakan bilangan rasional. Secara umum bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dibentuk menjadi

a dengan a, b  b

b0 .

21


dan

Contoh 1. 1.

1 3 , merupakan contoh bilangan rasional 2 4

2. 4 juga bilangan rasional karena bisa dibentuk dari atau

8 2

16 dan seterusnya. 4

Task 3 (Question and Answer) Apakah bilangan berikut bilangan rasional? a. 100 b. 0,875 c.

11 17

E. Bilangan Irrasional

Bilangan irrasional terlahir dari pengukuran panjang sisi miring pada suatu segitiga siku-siku. Misalkan c adalah sisi miring dan

a, b adalah alas dan tinggi segitiga siku-siku maka berlaku teorema pythagoras, yaitu:

a 2  b2  c 2 Jika diketahui a  b  1 cm maka diperoleh c  2 . Nah,

2

termasuk bilangan irrasional karena tidak bisa dibentuk menjadi

a . Jika dihitung menggunakan kalkulator b

2  1, 4142135

Jelas bahwa, billangan irrasional merupakan bilangan desimal.

Jadi, bilangan irrasional adalah bilangan yang berbentuk akar dan tidak bisa dibentuk menjadi

a dengan a, b  b

dan b  0 .

Seperti pada bilangan rasional, bilangan irrasional juga dapat dinyatakan dalam desimal. Namun, pada bilangan irrasional, desimal tidak berakhir dan tidak berulang mengikuti suatu pola, 22


misalnya pada

3  1,7320508075

. Berikut perbedaaan

bilangan rasional dan irrasional dalam bentuk bilangan desimal.

Contoh 2. Buktikan 0,333

adalah bilangan rasional!

Jawab: Misalkan x  0,333

. Dengan teknik manipulasi, kita peroleh 100 x  33,333 10 x  3,333 90 x  30 x

Jadi 0,333



1 3

bilangan rasional.

Contoh 3. Buktikan 1,1818

bilangan rasional.

Jawab: Misalkan x  1,1818

Dengan teknik manipulasi, kita peroleh

100 x  118,1818 x  1,1818 99 x  117



117 99 13 x 11

x

Jadi 1,1818

bilangan rasional.

Perhatikan bahwa bilangan desimal yang mempunyai akhir atau akan berulang dalam daur (siklus) yang tetap selamanya merupakan bilangan rasional.

Task 4 (Question and Answer) 1. Manakah yang merupakan bilangan irrasional? a. 23

4


b. 1  2

3 2 5 2 

c.

d. 5 2 e. 3,75 2. Buktikan bilangan di bawah ini rasional x  0,136136136

a.

b. x  0, 271717171 x  0,1999999

c.

d. x  2,567567 x  0,3999999

e.

3. Apakah bilangan 0,12345678910111213

rasional atau

irrasional? 4. Apakah bilangan 0,10100100010000

rasional atau

irrasional?

F. Sifat Urutan Pada Bilangan Real

Karena sifat urutan pada bilangan real maka diantara dua bilangan real pasti terdapat bilangan real yang lain. Misalkan maka pasti terdapat c 

a, b 

, karena c 

ab 2

begitu

seterusnya. Dengan demikian, diantara dua bilangan real yang sangat dekat pasti terdapat bilangan real yang lain. Bilangan ini bisa berupa bilangan rasional ataupun bilangan irrasional.

Contoh 4. Carilah suatu bilangan rasional dan irrasional yang terletak diantara a  0,12345678

dan b  0,12345700

!

Jawab: Dipilih r  0,123456800000 karena

berakhir

dengan

s  0,123456801001000100001

24

merupakan bilangan rasional perulangan

nol.

merupakan

Dipilih bilangan


irrasional karena pola penyisipan nol yang semakin banyak. Jadi terlihat bahwa a  r  s  b .

Selanjutnya, gabungan antara bilangan rasional dan irrasional dinamakan bilangan real.

Task 5 (Question and Answer) 1. Carilah sebuah bilangan rasional dan irrasional diantara 0,123456

dan 0,123467

!

2. Carilah dua bilangan irrasional yang jumlahnya bilangan rasional!

G. Sifat Himpunan Bilangan Real

Himpunan bilangan real dapat dinyatakan pada sebuah garis bilangan dengan mengambil titik nol sebagai titik awal. Selanjutnya, kita definisikan titik-titik di sebelah kanan nol sebagai bilangan real positif dan titik-titik di sebelah kiri nol sebagai bilangan real negatif. Setiap titik-titik itu hanya mewakili satu bilangan real.

Perhatikan bahwa pada garis bilangan ini, 1  2 atau 2  2 . Jelaslah bahwa pada bilangan Real mengenal sifat urutan. Beberapa sifat urutan yang dikenal pada bilangan Real,yaitu:

a. Trikotomi Jika x, y 

maka berlaku x  y atau x  y atau x  y

b. Transitif Untuk x, y 

, jika x  y dan y  z maka berlaku x  z

c. Penambahan Untuk x, y, z 

, berlaku x  y jika dan hanya jika

xz  yz . 25


d. Perkalian Untuk x, y, z 

dan z  0 , jika x  y maka berlaku

xz  yz . Jika z  0 maka berlaku xz  yz .

Misalkan a, b 

dan a  b maka beberapa himpunan dapat

dinyatakan pada selang atau interval itu, diantaranya: a.

 a, b   x a  x  b

b.

 a, b  x a  x  b

c.

 a, b  x a  x  b

d.

 a, b   x a  x  b

e.

 a,    x x  a

f.

 a,    x x  a

g.

 ,b   x x  b

h.

 ,b  x x  b

26


i.

 ,   

Task 6 (Question and Answer) 1. Nyatakan apakah urutan berikut benar atau salah! a. 2  20 b. 3  c.

2 3

6 14  7 15

d. 1  1 4 5

e.   

1 2

2. Nyatakan himpunan berikut kedalam selang (interval) dan simbolnya, untuk x bilangan Real. a.

x3

b. 12  x  7 c. 12  x  13 d. x  5 dan x  10 e.

x  1 dan x  4

H. Pertidaksamaan Misalkan diberikan a, b 

maka berdasarkan sifat urutan pada

bilangan real berlaku x  y atau x  y atau x  y . Pernyataan x  y , x  y , x  y dan x  y disebut pertidaksamaan.

a. Pertidaksamaan Linear

Pertidaksamaan

linear

merupakan

pertidaksamaan

yang

melibatkan salah satu ruas atau kedua ruasnya bentuk linear (peubah pangkat satu). Pada bagian ini kita akan membahas 27


himpunan penyelesaian dari f  x   0 , f  x   0 , f  x   0 dan

f  x  0 .

Contoh 5. Tentukan himpunan penyelesaian dari 2 x  4  0 . Jawab: Diketahui 2 x  4  0 sehingga diperoleh 2x  4  0 2x  4 x2

Jadi HP   x x  2, x 

   2,   .

Contoh 6. Tentukan himpunan penyelesaian dari 4 x  6  2 x  4 

1 x 1 2

Jawab: Diketahui 4 x  6  2 x  4 

1 x  1 sehingga diperoleh 2 1 x 1 2 dan 4 x  8  x  2

4 x  6  2 x  4 dan 2 x  4   2  6x 1  x 3 1  x 3

dan

3x  6

dan

x2

 1   1  Jadi HP   x   x  2, x      , 2 . 3    3 

Task 7 (Question and Answer) Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut! a.

x45

b. 3x  2  10 c. 5  2 x  7 d. 5  3x  2x  4  x e. 4x  1  11 28


b. Pertidaksamaan Kuadrat dan Polinomial

Pertidaksamaan kuadrat adalah pertidaksamaan yang melibatkan bentuk kuadarat pada salah satu ruas atau kedua ruasnya. Hal yang sama juga didefiniskan pada pertidaksamaan polinomial (bentuk pangkat tiga atau lebih)

Contoh 7. Tentukan himpunan penyelesaian dari x2  3x  4  0 Jawab: Diketahui x2  3x  4  0 . 1. Mencari titik kritis. Dengan cara faktorisasi, diperoleh

x 2  3x  4  0

 x  4  x  1  0 x  4  x  1 2. Uji selang diantara titik kritis. Jika x  0 maka x2  3x  4  02  3  0   4  4 . Perhatikan bahwa untuk x  0 berlaku nilai negatif

 4 

.

Karena nol berada pada 1  x  4 dan bernilai negatif maka sisi kiri dan kanan bernilai positif.

Jadi HP   x 1  x  4, x 

   1, 4 .

Perlu diingat bahwa tanda  atau  akan selalu bergantian selama tidak ada akar kembar.

29


Contoh 8. Berdasarkan data pada Contoh 7, diperoleh

himpunan

penyelesaian dari x2  3x  4  0 adalah daerah yang bertanda positif, yaitu x  1 atau x  4 . Jadi HP  x x  1  x  4, x 

   , 1   , 4 .

Contoh 9. Tentukan himpunan penyelesaian dari x3  7 x2  12 x  0 Jawab: Diketahui x3  7 x2  12 x  0 . 1. Mencari titik kritis. Dengan cara faktorisasi, diperoleh

x3  7 x 2  12 x  0 x  x  3 x  4   0 x  0  x  3 x  4 2. Uji selang diantara titik kritis. Jika x  1 maka x3  7 x2  12  13  7 1  12  6 . 2

Perhatikan bahwa untuk x  1 berlaku nilai positif  6  . Karena

x  1 berada pada 0  x  3 dan bernilai positif maka sisi kiri dan kanan bernilai negatif.

Jadi HP   x 0  x  3  x  4, x 

  0,3  4,   .

Contoh 10. Tentukan himpunan penyelesaian dari  x  1 x  1  x  2   0 2

Jawab: Diketahui  x  1 x  1  x  2   0 . 2

1. Mencari titik kritis. Dengan cara faktorisasi, diperoleh

30


 x  1 x  1  x  2   0 2

x  1  x  1  x  2 2. Uji selang diantara titik kritis. Jika x  0 maka  x  1 x  1  x  2   2 . Perhatikan bahwa 2

untuk x  0 berlaku nilai negatif  2  . Karena x  0 berada pada 1  x  1 dan bernilai negatif maka sisi kiri bernilai positif. Sedangkan sisi kanan tetap bernilai negatif karena 1 merupakan akar kembar.

Jadi HP  x 1  x  2, x 

   1, 2 .

Task 8 (Qustion and Answer) Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut! 1. x2  x  12  0 2. x2  9  0 3. x2  5x  6  0 4. 3x2  11x  4  0

Task and Exercise 1. Ubahlah bilangan berikut ke dalam pecahan biasa! a. 0,525 b. 3

11 13

c. 11

5 2

d. 0,7122222222 2. Nyatakan apakah urutan berikut benar atau salah! a. 12  0 b. 

11 2  13 3

c. 0  

31

14 15


d. 

14 1  3 5 7

3. Buktikan bilangan di bawah ini rasional! a.

x  0,789789

b. x  0,11111 c.

x  4,1999999

d. x  2,5611000 4. Apakah bilangan di bawah ini rasional atau irrasional? Berikan alasanmu! a. 0,1009998979695 b. 0,41401400140001 c. 0,123456789100000 d. 0,123321123321 5. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut! a. 6x  10  5x  16 b. 2x  16  x  25 c. 2 x2  5x  3  0 d. 4 x2  5x  6  0 e.

 x  2 2x  13x  7   0

f.

 2x  3 3x  1  x  5  0 2

6. Manakah yang merupakan bilangan irrasional? a.

625

b. 1  70 c.

13 7 5 7 

d. 5 64

32


CHAPTER II SISTEM BILANGAN PART 2 (Numbers System)

a. Pertidaksamaan Pecahan

Pertidaksamaan

pecahan

adalah

pertidaksamaan

yang

f  x dengan g  x   0 pada salah g  x

melibatkan bentuk pecahan satu ruas atau kedua ruasnya.

Contoh 1. Tentukan himpunan penyelesaian dari

x 1 0 x 3

Jawab: 1. Mencari titik kritis. Titik kritis diperoleh pada x  1 atau x  3 . (Faktorisasi pada pembilang dan penyebut) Karena  x  3 penyebut maka  x  3  0 , yaitu x  3 . (Titik x  3 bukan himpunan penyelesaian)

2. Uji selang diantara titik kritis. Jika x  0 maka

x 1 1   tanda +  . x 3 3

Jadi HP   x 1  x  3, x 

  1,3 .


4x 1 2 x 1

Jawab: 1. Mencari titik kritis. 33


Ubahlah

4x 1  2 . (Ruas kanan harus nol) x 1

4x 1 2 x 1 4x 1 2  0 x 1 1 4 x  1 2  x  1  0 x 1 x 1 4x 1 2x  2 0 x 1 2x 1 0 x 1 Titik kritis diperoleh pada x  

1 atau x  1 . 2

(Faktorisasi pada pembilang dan penyebut) Karena  x  1 penyebut maka  x  1  0 , yaitu x  1 . (Titik x  1 bukan himpunan penyelesaian)

2. Uji selang diantara titik kritis. Jika x  0 maka

2x 1  1 tanda   . x 1

 1  Jadi HP   x x   atau x  1 , x   . 2  

Task 1 (Question and Answer) Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan pecahan berikut! a.

x5 0 2x 1

b.

2x  3 0 x 1

c.

1 5 x

d.

7 3 2x

34


b. Pertidaksamaan Irrasional

Pertidaksamaan melibatkan

Irrasional

bentuk

tak

adalah rasional

pertidaksamaan atau

bentuk

yang akar.

Pertidaksamaan irrasional juga bisa berbentuk pecahan, yaitu f  x

0 .

g  x

f  x   0 . Adapun teknik menyelesaikan

Misalkan diberikan

pertidaksamaan irrasional yaitu:

f  x   0 (syarat)

a.

b. Kuadratkan kedua ruas, untuk menghilangkan akar c. Iriskan penyelesaian a) dan b)


4 x  2

Jawab: 1. Menentukan f  x   0 . (Perhatikan di dalam akar) 4 x  0 4 x

2. Mengkuadratkan kedua ruas



4 x



2

 22

4 x  4 0 x 3. Menentukan irisan Perhatikan

bahwa

HP   x 0  x  4, x 

x4

dan

x0

sehingga

   0, 4 .


2 x 1 x

Jawab: 1. Menentukan f  x   0 . (Perhatikan di dalam akar) 35


2 x  0 2 x

2. Mengkuadratkan kedua ruas. (Ingat ruas kanan harus nol)

2 x 1 x 2 x 1 x2 2 x 1  0 x2 2  x  x2 0 x2 Titik kritis (Faktorisasi pembilang dan penyebut) Dengan rumus ABC diperoleh x  2 atau x  1 .

x 2 yaitu x  0 (akar kembar) Uji selang diantara titik kritis Untuk x  1 maka

2  3x  x 2  6  tanda +  . x2

HP   x x  2 atau x  1, x 

.

3. Menentukan irisan Perhatikan bahwa x  2 dan  x  2 atau x  1 sehingga HP   x x  2 atau1  x  2, x 

.

Task 2 (Question and Answer) Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan irrasional berikut! a.

2x 1  3

b.

5 x  4

c.

x 3 1 2

d.

1 3 x 1

36


I. Persamaan Nilai Mutlak Misalnya diberikan x 

, nilai mutlak x , dinotasikan dengan

x didefiniskan  x , jika x  0 x   x , jika x  0 Dari definisi kita dapatkan bahwa 3  3 dan 2  2 . Beberapa sifat nilai mutlak, yaitu: a.

ab  a b

b.

a a  dengan b  0 b b

c.

a  b  a  b (Ketaksamaan Segitiga)

d.

a b  a  b

Contoh 5. Tentukan himpunan penyelesaian dari 2 x  1  3 Jawab:

2 x  1 Ingat kembali definisi nilai mutlak 2 x  1   .   2 x  1 Untuk 2 x  1  3 maka x  2 . Untuk   2 x  1  3 maka x  1 . Jadi HP   x x  1  x  2, x 



Contoh 6. Tentukan himpunan penyelesaian dari 4 x  3  1  x Jawab:

 4 x  3 Berdasarkan definisi nilai mutlak 4 x  3   dan     4 x  3 1  x 1 x   .  1  x  37


Ada 4 kemungkinan penyelesaian, yaitu: a. 4 x  3  1  x b.   4 x  3  1  x c. 4 x  3   1  x  d.   4 x  3   1  x  Perhatikan bahwa bentuk a) dan d) sama. Bentuk b) dan c) juga sama. Dengan kata lain kita cukup menentukan a) dan b) saja (cukup memutlakkan salah satu ruas). Untuk 4 x  3  1  x maka x 

4 . 5

Untuk   4 x  3  1  x maka x 

2 . 3

 2 4  Jadi HP   x x   x  , x   3 5   (Cara Lain: Kedua ruas dikuadratkan)

Task 3 (Question and Answer) Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan nilai mutlak berikut! a.

x 3  7

b.

2x 1  6

c.

x  1  1 (Konsep penting)

d.

10 1 x 1

J. Pertidaksamaan Nilai Mutlak Pertidaksamaan nilai mutlak adalah pertidaksamaan yang melibatkan nilai mutlak. Sifat-sifat persamaan nilai mutlak, diantaranya: a.

x  a  a  x  a

b.

x  a  x  a atau x  a

c.

x  y  x 2  y 2 (dikuadratkan kedua ruas)

38


Contoh 7. Tentukan himpunan penyelesaian 2 x  1  4 Jawab: Ingat kembali sifat x  a  a  x  a .

2x 1  4  4  2 x  1  4  4  2 x  1 atau 2 x  1  4 3 5  x atau x 2 2  3 5  Jadi HP   x x    x  , x   2 2  

Contoh 8. Tentukan himpunan penyelesaian

x  2 1 3

Jawab: Ingat kembali sifat x  a  a  x  a .

x  2 1 3 x  1   2  1 3  3  x  6  3  3  x  6 atau x  6  4  3 x Jadi HP   x 3  x  10, x 

atau

x  10



Contoh 9. Tentukan himpunan penyelesaian 3x  1  2 x  6 . Jawab: Sulit dikerjakan karena ada dua tanda mutlak, alternatifnya mengkuadaratkan kedua ruas.

39


3x  1  2 x  6  3 x  1  2 x  12   3x  1   2 x  12  2

2

 9 x 2  6 x  1  4 x 2  48 x  144  5 x 2  54 x  143  0   5 x  11 x  13  0  11  Jadi HP   x 13  x  , x   5  

Task 4 (Question and Answer) Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan nilai mutlak berikut! a.

x 1  4

b.

4 x  2  10

c.

2

d.

x2  x7

5 1 x

K. Latihan Soal

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan pecahan berikut. a.

1 4 3x  2

b.

3 2 x5

c.

x2 2 x4

d.

2x 1 1 x 3

e.

2x 1 2 x5

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan nilai mutlak berikut. a. 40

2x 1  3


b. 11  2 x  3 c.

x 1  x 1 2

d.

3x  1  x  5

e.

x 1  4 x  0

3. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan mutlak berikut ini. a.

x 1  4

b.

3x 1  4 5

c.

3x  1  2 x  6

d.

3 1 2x  3

e.

1

4 3 x

4. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan irrasional berikut ini.

41

a.

4x 1  2

b.

1 2 2x 1

c.

5  3x  1

d.

4x 1 1 1 2x

e.

1  2x  3  4x


CHAPTER III FUNGSI (FUNCTION) PART I

A. Pengertian Fungsi

Diberikan dua buah himpunan tak kosong yaitu himpunan A dan B . Elemen pada himpunan A dapat dihubungkan dengan elemen pada himpunan B , hubungan atau aturan ini dinamakan relasi.

Relasi yang mengaitkan setiap elemen A dengan tepat satu elemen B disebut dengan fungsi. Fungsi dari himpunan A ke B ditulis f : A   B , dimana A disebut sebagai daerah asal atau domain  D f



dan B disebut

sebagai daerah kawan atau kodomain. Selanjutnya a  A disebut sebagai pra-bayangan (pre-image) dari b

dan

f  a   B disebut sebagai bayangan (image) dari a . Himpunan R f  b  B b  f  a  , a  A disebut sebagai daerah hasil atau range.

Berikut ini ilustrasi dari suatu fungsi.

Fungsi

bukan

fungsi,

sebab

ada

elemen A yang mempunyai 2 kawan

42


bukan fungsi sebab ada elemen

A

yang

tidak

mempunyai

kawan.

Untuk lebih mudahnya memahami definisi fungsi pahami 2 aturan berikut ini: 1) Setiap elemen himpunan A harus habis terkait dengan elemen himpunan B . 2) Tidak boleh membentuk cabang seperti ini.

Contoh: Diberikan himpunan A  x, y, z dan himpunan B  1, 2, . didefinisikan suatu fungsi x  1, y  2, z  1 atau

f : A  B

sebagai berikut:

f  x   1, f  y   2, f  z   1 . Dari

contoh diatas dapat dikatakan bahwa 

image dari x adalah 1 atau x adalah pre-image dari 1



image dari y adalah 2 atau y adalah pre-image dari 2



image dari z adalah 1 atau z adalah pre-image dari 1

Diperoleh R f  1, 2 .

Task 1 (Question and Answer) Diberikan himpunan A  a, b, c, d  dan himpunan B  0,1 . didefinisikan

suatu

fungsi

f : A   B sebagai

berikut:

f  a   1, f  b   0, f  c   1, f  d   1 . Tentukan! a. Image dari a b. Pre-image dari 1 c. R f

43


B. Notasi Fungsi Fungsi f  x 

dibaca “f dari x” atau “f pada x”. Jika

f  x   4 x  2 maka f 1  4.1  2  6 f  2   4.  2   2  6 f  a   4a  2 f  s  h   4  s  h   2  4 s  4h  2

Contoh: Diberikan f  x   x 2  2 x . Diperoleh a.

f  4   42  2.4  8

f 4  h  4  h  2 4  h 2

 16  8h  h 2  8  2h

b.

 8  6h  h 2 c.

f  4  h   f  4  8  6h  h2  8  6h  h2

d.

f  4  h   f  4  6h  h 2 h  6  h     6h h h h

Contoh: Diberikan f  x   x  3 . tentukan nilai x jika a.

f  x   7 . Diperoleh f  x  7 x 3  7 x  73 x  10

b.

f  x   2 . Diperoleh f  x   2 x  3  2 x  2  3 x 1

44


c.

f  x 

1 . Diperoleh 2 1 2 1 x3  2 1 x  3 2 7 x 2 f  x 

Task 2 (Question and Answer) 1. Untuk f  x   x 2  1 , tentukan nilai a.

f 1

b.

1 f  3

c.

f  2h 

d.

f  2 

e.

f  k  2

2. Untuk g  y   a.

1 , tentukan nilai y 1

g  0

b. g  y 2  c.

g  2 

d. g  2  x  e.

1 g  4

3. Tentukan nilai x pada fungsi dibawah ini:

45

a.

f  x   2 x  1 dan f  x   9

b.

f  x   x 2  1 dan f  x   3

c.

f  x   x 2  2 x  3 dan f  x   0


C. Grafik Fungsi

Suatu fungsi dapat disajikan dalam bentuk grafik dengan memperhatikan pasangan-pasangan terurut dari fungsi tersebut. Jika daerah asal (domain) dan daerah hasil (range) merupakan bilangan riil maka fungsi dapat diganbar dengan menggunakan sistem koordinat Cartesius.

Contoh: Diberikan f  x   x  4

D. Jenis-Jenis Fungsi

Berikut ini disajikan beberapa jenis fungsi: a. Fungsi injektif (satu-satu, into) adalah jika setiap elemen himpunan A memiliki pasangan yang berbeda pada himpunan B. b. Fungsi surjektif/onto (pada) adalah jika setiap elemen himpunan B memiliki pasangan pada himpunan A. c. Fungsi bijektif (satu-satu dan pada) adalah jika setiap elemen himpunan B memiliki pasangan tepat satu pada himpunan A. Dengan kata lain suatu fungsi dikatakan

46


bijektif jika fungsi tersebut merupakan fungsi injektif dan surjektif.

Fungsi injektif,

Fungsi surjektif,

bukan surjektif

bukan injektif A

B

A a b c

1

a

2

b

3

c

4

dc

Bukan fungsi satu-ke-satu

B 1 2 3

Bukan fungsi

maupun pada A

B

A

a

1

b

2

c

3

dc

4

B

a

1

b

2

c

3

dc

4

Task (Question and Answer)

1. Tentukan jenis fungsi berikut: a.

f  x   x 2 pada f :

b.

f  x   x  1 pada f :

c.

f  x   2x f :











E. Invers Fungsi

Jika f adalah fungsi berkoresponden satu-ke-satu (bijektif) dari A ke B, maka kita dapat menemukan balikan (invers) dari f. Balikan fungsi dilambangkan dengan f

–1

. Misalkan a adalah

anggota himpunan A dan b adalah anggota himpunan B, maka f 1

(b) = a jika f(a) = b.

47


Fungsi injektif (not surjektif)

Fungsi

surjektif

(not

injektif) Tidak memiliki invers fungsi

Tidak memiliki invers

fungsi A

B

A a b c

1

a

2

b

3

c

4

dc

B 1 2 3

Mengapa contoh di atas tidak memiliki invers fungsi?

Not injektif dan not surjektif Tidak memiliki invers fungsi

A

B

a

1

b

2

c

3

dc

4

Fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu sering dinamakan juga fungsi yang invertible (dapat dibalikkan), karena kita dapat mendefinisikan fungsi balikannya. Sebuah fungsi dikatakan not invertible (tidak dapat dibalikkan) jika ia bukan fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, karena fungsi balikannya tidak ada.

Contoh: Tentukan balikan fungsi f(x) = x – 1. Jawab: Fungsi f(x) = x – 1 adalah fungsi yang berkoresponden satu-kesatu, jadi balikan fungsi tersebut ada. Misalkan f(x) = y, sehingga y = x – 1, maka x = y + 1. Jadi, balikan fungsi balikannya adalah f-1(y) = y +1. 48


F. Operasi Aljabar Pada Fungsi Diberikan f  x  dan g  x  . Pada kedua fungsi itu bisa dikenakan operasi, yaitu: a. Penjumlahan dan pengurangan fungsi Prinsip dasar penjumlahan dan pengurangan adalah mengoperasikan suku-suku yang sejenis.

Contoh: Diberikan f  x   3x3  2 x  1 dan g  x   x3  4 maka

f  x   g  x   4 x3  2 x  3

f  x   g  x   2 x3  2 x  5

b. Perkalian dengan skalar Prinsip dasarnya sama dengan sifat distributif.

Contoh: Diberikan f  x   3x3  2 x  1 maka 2 f  x   6 x3  4 x  2 .

c. Perkalian antar fungsi Prinsip dasar perkalian antar suku. Contoh: Diberikan f  x   2 x  1 dan g  x   x3  1 maka

f  x  .g  x   2 x 4  x 3  2 x  1 .

d. Pembagian antar fungsi Pembagian yang dibahas tidak melibatkan pembagian yang bersisa.

Contoh: Diberikan f  x   x 2  5x  6 dan g  x   x  3 maka

49


f  x   x  3 x  2     x  2 . g  x  x  3

G. Komposisi Dua Fungsi.

Misalkan g adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B, dan f adalah fungsi dari himpunan B ke himpunan C. Komposisi f dan g, dinotasikan dengan f  g, adalah fungsi dari A ke C yang didefinisikan oleh (f  g)(a) = f(g(a))

Contoh: Diberikan fungsi f(x) = x – 1 dan g(x) = x2 + 1. Tentukan f  g dan g  f Jawab: a. (f  g)(x) = f(g(x)) = f(x2 + 1) = x2 + 1 – 1 = x2. b. (g  f)(x) = g(f(x)) = g(x – 1) = (x –1)2 + 1 = x2 - 2x + 2.

Contoh: Diberikan fungsi f  x   2 x  1 dan g  x   x 2  2 . Tentukan

f

g  0  dan  g f  0 

Jawab: Perhatikan bahwa f  0   2  0   1  1 dan g  0   02  2  2 a.

f

g  0  f  g  0   f  2   2  2   1  3

b.

g

f  0  g  f  0   g 1  12  2  1

Contoh: Diberikan fungsi f  x   2 x  1 dan  f g  x   x 2  3x  2 . Tentukan g  x  . Jawab: Perhatikan bahwa 50


f

g  x   x 2  3x  2

f  g  x    x 2  3x  2 2  g  x    1  x 2  3x  2 2  g  x    x 2  3x  3 g  x 

x 2  3x  3 2

Contoh: Diberikan fungsi f  x   x  1 dan  g f  x   x 2  3x  2 . Tentukan g  x  . Jawab: Perhatikan bahwa

g

f  x   x 2  3x  2

g  f  x    x 2  3x  2 g  x  1  x 2  3x  2

Misalkan y  x  1 maka x  y  1 , sehingga diperoleh g  y    y  1  3  y  1  2 2

g  y   y2  2 y 1 3y  3  2 g  y   y2  5 y  2

Jadi g  x   x 2  5x  2 .

H. Latihan 1. Diberikan f  x   x 4  1 dan g  x   x  1 . Tentukan: a.

 f  g  x 

b.

 f  g  x 

c.

 fg  x 

 f  d.    x  g

2. Diberikan f  x   2 x  1 , g  x   x 2 dan h  x   4 . Tentukan: a. 51

f

g  x 


52

b.

g

f  x 

c.

f

h  x  .

d.

 h g  x 

e.

f

g  2 


BAB IV LIMIT (Pertemuan Ke-9)

A. Pendahuluan Limit

Diberikan f  x  

x2 1 . Perhatikan tabel di bawah ini. x 1

x

-1

0

0,8

0,9

1

1,1

1,2

2

3

f  x

0

1

1,8

1,9

?

2,1

2,2

3

4

Perhatikan bahwa fungsi f  x  

x2 1 tidak terdefinisi pada x 1

x  1 . Tetapi kita bisa menarik kesimpulan “ f  x  mendekati 2

jika x mendekati 1. Dalam lambang matematis, dinyatakan sebagai lim x 1

Note: dibaca “limit dari

x2 1 2 x 1

x2 1 untuk x mendekati 1 adalah 2. x 1

Jika kita seorang good algebra, kita dapat mengetahui bagaimana cara memvalidasi fakta diatas. lim x 1

 x  1 x  1  lim x  1  1  1  2 x2 1  lim   x 1 x  1 x1 x 1

Definisi (Pengertian limit secara intuisi) Jika lim f  x   L maka kita dapat menyatakan “ jika x dekat x c

tetapi berlainan dari c , maka f  x  dekat ke L . CONTOH 1. Carilah lim  4 x  5 . x 3

Penyelesaian: Jika jika x dekat 3 , maka 4 x  5 dekat ke 4.3  5  7 . Kita nyatakan

lim  4 x  5  7 x 3

53


CONTOH 2. Carilah lim x 3

Penyelesaian:

(Bisa

x2  x  6 . x 3

diselesaikan

dengan

menggunakan

kalkulator seperti tabel bagia awal) Dengan aljabar lim x 3

 x  3 x  2   x  2  3  2  5 x2  x  6  lim x 3 x 3 x 3

STOP!!! RED LIGHT Dengan aljabar, carilah limit fungsi di bawah ini! 1. lim x 1

x 2  3x  4 x 1

2 x2  5x  3 2. lim x 3 x3

3. lim x 9

x 9 x 3

4. lim

x2  x  6 x2

5. lim

t 2  5t  6 t2  t  2

x 2

x 3

Definisi (Limit kiri dan limit kanan) Jika lim f  x   L maka kita dapat menyatakan “ jika x dekat x c

tetapi pada sebelah kanan c , maka f  x  dekat ke L . Jika

lim f  x   L maka kita dapat menyatakan “ jika x dekat tetapi

x c 

pada sebelah kiri c , maka f  x  dekat ke L .

TEOREMA A

lim f  x   L x c

jika

dan

hanya

jika

lim f  x   L

x c 

lim f  x   L .

x c 

54


dan

Secara sederhana, lim f  x   L jika dan hanya jika limit kanan x c

sama dengan limit kiri.

CONTOH 3. Perhatikan grafik di bawah ini!

 x 2  2 x  2, untuk x  1 Jika f  x    . 3  x, untuk x  1 Tentukan nilai lim f  x  . x 1

Jawab: Berdasarkan grafik,

lim x 2  2 x  2  1 . (limit kiri)

x 1

dan lim 3  x  2 (limit kanan)

x 1

Karena limit kiri tidak sama dengan limit kanan maka lim f  x  x 1

tidak ada. STOP!!! RED LIGHT (No. 27 di Purcell, Hal 78)

55


For the function f , find the indicated limit or function value, or state that it dose not exist.

lim f  x 

b.

f  3

c.

d. lim f  x 

e.

f 1

f.

g. lim f  x 

h. lim f  x 

i.

a.

x 3

x 1

x 1

x 1

f  1

lim f  x 

x 1

lim f  x 

x 1

STOP!!! RED LIGHT (No. 29 di Purcell, Hal 78) Sketch the graph of  x , if x  0  f  x  x , if 0  x  1 1  x , if x  1 

Then find each of the following or state that it dose not exist. a. lim f  x 

b. lim f  x 

f 1

d. lim f  x 

x 0

c.

x 1

x 1

B. TEOREMA LIMIT Sifat-sifat limit fungsi 1. lim k  k x a

2. lim x  a x a

3. lim  kf  x    k lim f  x  x a

x a

4. lim  f  x   g  x    lim f  x   lim g  x  x a

x a

x a

5. lim  f  x  .g  x    lim f  x  .lim g  x  x a

x a

x a

f  x  f  x   lim x a  6. lim  , untuk g  x   0  x a g  x   g  x   lim x a



7. lim  f  x    lim f  x  n

x a

x a



n

8. Untuk setiap polinomial

P  x   an x n  an1 x n1 

 a1 x  a0

maka lim P  x   P  b  x b

56


Bagian ini tanpa kita sadari, telah kita pelajari (saya anggap sudah mahir)

C. KEKONTINUAN FUNGSI

DEFINISI (Kekontinuan di satu titik) Kita namakan f kontinu di c jika beberapa selang terbuka disekitar

c

terkandung

dalam

daerah

asal

f

lim f  x   f  c  . x c

Bahasa yang lebih sederhana Suatu f dikatakan kontinu pada c jika 1. lim f  x  ada x c

2.

f  c  ada

3. lim f  x   f  c  x c

57


dan

CONTOH. Diberikan f  x  

x2  4 . Perhatikan bahwa f  2  x2

tidak terdefinisi, f  x  diskontinu pada x  2 dan lim f  x   4 . x 2

Tetapi jika kita definisi kembali menjadi

 x2  4 ; untuk x  2  f  x   x  2 4 ; untuk x  2  Perhatikan bahwa lim f  x   f  2   4 sehingga f  x  kontinu x 2

pada x  2 .

STOP!!! Dalam soal-soal 1-7, nyatakan apakah fungsi yang ditunjukkan kontinu atau tidak di 2. Jika tak kontinu jelaskan sebabnya! a.

f  x   4 x 2  2 x  12

c.

3x 2 g  x  x2

e.

g  x  x  3

b.

f  x 

8 x2

d. g  x   x  1

f.

t2  8 ; jika t  2  h t    t  2 12 ; jika t  2 

TASK OF THIS WEEK!!!! 1. Dengan aljabar, carilah limit fungsi di bawah ini! a. lim

x2  2x  3 x 3

b. lim

x3  16 x2  4 x

x 3

x 0

x3  8 c. lim x 2 x  2

d. lim

x2  4 x  4 x 3

e. lim

u 2  6u  7 u2 1

x 3

u 1

2. Perhatikan grafik di bawah ini! 58


For the function f , find the indicated limit or function value, or state that it dose not exist.

lim f  x 

b.

f  3

c.

d. lim f  x 

e.

f 1

f.

g. lim f  x 

h. lim f  x 

i.

a.

x 3

x 1

x 1

x 1

f  1

lim f  x 

x 1

lim f  x 

x 1

3. Dengan aljabar, carilah limit fungsi yang lebih rumit di bawah ini! x 4  x3  2 x 2  1 a. lim x 3 3x 2  5 x  7

b. lim

x14  3x11  2 x3  6 3x9  2 x  1

c. lim

x 2  2 x  24 x4

d. lim

x 2  7 x  10 x2

e. lim

u 2  2u u2  4

x 1

x 4

x 2

u 2

4. Dalam soal-soal a-f, nyatakan apakah fungsi yang ditunjukkan kontinu atau tidak di 2. Jika tak kontinu jelaskan sebabnya! a.

t3  8 f t   t 2

c.

f t  

59

4t  8 t 2

 4t  8 ; jika t  2  b. g  t    t  2  ; jika t  2 2 d.

x  3 f t    2 x 1

; jika t  2 ; jika t  2


e.

g  x 

x2  9 x 3

f.

3t  4 ; jika t  2 h t    ; jika t  2 2

5. Dalam soal-soal di bawah ini, di titik mana, jika ada, fungsi tak kontinu?

f  x 

2x  3 x  x6

b. g  x  

x 2x  x 1

a.

2

2

6. Andaikan 1  f  x   ax  b 1 

; jika x  0 ; jika 0  x  1 ; jika x  1

Tentukan a dan b sehingga f kontinu dimana-mana!

60


BAB V TURUNAN (Pertemuan Ke-10)

A. MOTIVASI

Masalah turunan dimotivasi oleh garis singgung dan kecepatan sesaat. Garis singgung dipengaruhi oleh kemiringan  mtan  . mtan  lim msec  lim h 0

h 0

f c  h  f c h

CONTOH: Cari kemiringan garis singgung pada kurva y  f  x   x 2 di titik  2, 4  . Penyelesaian: mtan  lim h 0

f  2  h   f  2 h

2  h  lim

2

 22

h 0

h 4  4h  h 2  4  lim h 0 h h 4  h  lim h 0 h 4

NOTE: Cara ini hanya motivasi, pembahasan berikutnya ada cara yang lebih praktis.

Kecepatan sesaat. Jika kita mengendarai motor dari kota A ke B yang berjarak 80 km dalam waktu 2 jam, maka kecepatan rata-rata kita adalah 40 km tiap jam. Artinya kecepatan rata-rata adalah jarak antara posisi pertama ke posisi kedua dibagi dengan waktu tempuh.

61


Tapi selama perjalanan speedometer tidak selalu menunjukkan angka 40 km. Jadi apa yang diukur oleh speedometer? Tentu saja bukan kecepatan rata-rata. Kita perhatikan kasus yang lebih akurat yaitu kecepatan sesaat pada benda jatuh. v  lim vrata rata  lim h 0

h 0

f c  h  f c h

CONTOH. Persamaan benda jatuh di ruang hampa s  16t 2 meter, dengan t dalam detik. Hitunglah kecepatan sesaat dari sebuah benda jatuh, beranjak dari posisi pada diam t  3,8 detik dan pada t  5, 4 detik. Penyelesaian: Kita hitung kecepatan pada t  c detik.

v  lim h 0

f c  h  f c h

16  c  h   16c 2  lim h 0 h 2 16c  32ch  16h 2  16c 2  lim h 0 h  lim  32c  16h  2

h 0

 32c

Jadi kecepatan pada 3,8 detik adalah 32(3,8)=121,6 meter/detik. Pada 5,4 detik adalah 32(5,4)=172,8 meter/detik.

CONTOH: Berapa lama waktu yang diperlukan oleh benda jatuh pada Contoh di atas untuk mencapai kecepatan sebesar 112 meter/detik? Penyelesaian: Kita hanya perlu menyelesaikan persamaan 32c=112. Diperoleh

c

112  3,5 detik. 32

62


B. TURUNAN

Definisi. Turunan fungsi f adalah fungsi lain f ' yang nilainya pada sebarang bilangan c adalah f '  c   lim h 0

f c  h  f c h

asalkan limit itu ada.

C. ATURAN PENCARIAN TURUNAN

Teorema A. (Aturan Fungsi Konstanta) Jika f  x   k maka f '  x   0 atau D  k   0 , untuk k sebarang konstanta. CONTOH: Turunan dari f  x   2016 adalah f '  x   0 .

Teorema B. (Aturan Fungsi Identitas) Jika f  x   x maka f '  x   1 atau D  x   1 . CONTOH: Turunan dari f  x   x adalah f '  x   1 .

Teorema C. (Aturan Pangkat) Jika f  x   x n maka f '  x   nx n1 atau D  x n   nx n1 , dengan

n bilangan positif. CONTOH: Turunan dari f  x   x10 adalah f '  x   10 x9 .

Teorema D. (Aturan Kelipatan Konstanta) Jika k suatu konstanta dan f suatu fungsi yang terdeferensial maka  kf  '  x   k. f '  x  atau D k. f  x   k.Df  x  . CONTOH:

Turunan

dari

f  x   7 x10

adalah

D  7 x10   7.D  x10   7.10 x9  70 x9 .

63


Teorema E. (Aturan Jumlah) Jika f dan g fungsi-fungsi yang terdeferensialkan, maka

 f  g  ' x  f ' x  g ' x

atau

D  f  x   g  x   Df  x   Dg  x  .

CONTOH:

Turunan

dari

f  x   x3  x 2

adalah

f '  x   3x 2  2 x .

Teorema F. (Aturan Selisih) Jika f dan g fungsi-fungsi yang terdeferensialkan, maka

 f  g  ' x  f ' x  g ' x

atau

D  f  x   g  x   Df  x   Dg  x  .

CONTOH:

Turunan

dari

f  x   x 2  x5

adalah

f '  x   2 x  5x 4 .

STOP!!!! Carilah turunan dari a.

f  x   5x2  7 x  6

b.

f  x   4 x6  3x5  10 x 2  5x  16

c.

f  x   100  x 2  100 x10  x99

Teorema G. (Aturan Hasil Kali) Jika f dan g fungsi-fungsi yang terdeferensialkan, maka

 f .g  '  x   f '  x  g  x   f  x  g '  x 

atau

D  f  x  .g  x   Df  x  g  x   f  x  Dg  x  .

CONTOH: Tentukan turunan dari h  x    3x 2  5 2 x 4  x  . Penyelesaian:

f  x   3x 2  5 maka f '  x   6 x g  x   2 x 4  x maka g '  x   8 x3  1

64


 f .g  '  x   f '  x  g  x   f  x  g '  x 

 6 x.  2 x 4  x    3x 2  5 8 x3  1

Sampai sini OKE. Lebih oke lagi, jika disederhanakan!!!

STOP!!! Diketahui h  x    x 2  1 x100  2 x3  4  . Tentukan a. h '  x  b. h '  0  c. h ' 1

Teorema H. (Aturan Hasil Bagi) Jika

f

dan g fungsi-fungsi yang terdeferensialkan dan

f ' x g  x  f  x g ' x f  maka   '  x   g 2  x g

g  x  0

atau

 f  x   Df  x  g  x   f  x  Dg  x  . D  g 2  x  g  x  CONTOH: Tentukan turunan dari h  x  

 3x  5 .

x

2

 7

Penyelesaian:

f  x   3x  5 maka f '  x   3 g  x   x 2  7 maka g '  x   2 x f ' x g  x  f  x g ' x  f    ' x  g 2  x g 

3  x 2  7    3x  5 2 x

x

2

 7

2

Sampai sini OKE. Lebih oke lagi, jika disederhanakan!!!

STOP!!! Diketahui h  x  

x 2  12 . Tentukan 2 x  x3

a. h '  x  65


b. h '  0  c. h ' 1

Teorema I. (Aturan Pangkat Negatif) Jika f  x   x  n maka f '  x   nx  n1 atau D  x  n   nx  n1 , dengan n bilangan negatif. CONTOH: Turunan dari f  x   x 10 adalah f '  x   10 x 11 .

LEBIH BANYAK LATIHAN!!!! 1. Carilah f '  x  dari a.

f  x   2 x3

d.

f  x 

g.

f  x    x 2  17  x 4  1

5 x3

b.

f  x    x2

c.

f  x   3x 3

e.

f  x   2 x 4  3x

f.

f  x   x  x 2  12 

h.

f  x 

i.

f  x 

2x 1 3x  5

2. Jika f  0   4 , f '  0   1 , g  0   3 dan g '  0   10 . Tentukan: a.

 f  g  '  0

c.

 f .g  '  0 

b.

 f  g  '  0

f  d.   '  0  g

3. Tinggi s dalam kaki dari sebuah bola di atas tanah pada saat t detik diberikan oleh s  16t 2  40t  100 a. Berapa kecepatan sesaat pada t  2 ? b. Kapan kecepatan seseatnya 0 ?

D. TURUNAN SINUS DAN KOSINUS

Teorema A. Turunan dari f  x   sin x adalah f '  x   cos x

dan turunan

dari f  x   cos x adalah f '  x    sin x . 66


x2  2 x  1 x2  1

CONTOH:

f  x   3sin x

Turunan

adalah

f  x   3  cos x   3cos x .

Fungsi trigonometri yang lain dapat dicari dengan bantuan fungsi sinus dan cosinus. CONTOH: Tentukan turunan dari f  x   tan x . Penyelesaian: Perhatikan bahwa f  x   tan x 

sin x . cos x

Misalkan g  x   sin x maka g '  x   cos x dan h  x   cos x maka h '  x    sin x .

f ' x 

g ' x h  x  g  x h ' x h2  x 

cos x.cos x  sin x   sin x  cos 2 x cos 2 x  sin 2 x  cos 2 x 1  cos 2 x  sec 2 x



STOP!!!! Tentukan turunan dari fungsi berikut! (Hint: semua aturan turunan berlaku juga di sinus dan kosinus) a.

f  x   3sin x  5cos x

c.

y  cot x 

e.

y

67

cos x x

cos x sin x

b. y  sin x cos x d. y  f.

sin x sin x  cos x

x2  1 y x sin x


E. ATURAN RANTAI

Teorema A. (Aturan Rantai) Andaikan y  f  u  dan u  g  x  menentukan fungsi komposit

y  f  g  x     f g  x  . Jika g terdeferensial di x dan f terdeferensial di u  g  x  , maka f g terdeferensial di x dan

f

g  '  x   f '  g  x   .g '  x  atau Dx y  Du y.Dxu .

CONTOH: Tentukan turunan dari y   2 x 2  4 x  1

60

.

Penyelesaian: Misalkan y  u 60 dan u  2 x2  4 x  1 Du y  60u 59

Dxu  4 x  4 Sehingga Dx y  Du y.Dxu  60u 59  4 x  4   60  2 x 2  4 x  1

59

PERHATIKAN!!!

 4x  4 SECARA

GAMPANG

KITA

NYATAKAN!!! y   2 x 2  4 x  1

60

1. Turunkan seperti biasa y '  60  2 x 2  4 x  1

59

2. Turunkan yang ada di dalam kurung y '  60  2 x 2  4 x  1 .  4 x  4  59

LEBIH BANYAK SOAL Tentukan turunan dari 1. y  sin  x3  3x 

 x 1  2. y     2x  3 

13

68


3. y  7 x 2  sin x 4. y  sin 3  4 x 

TUGAS 1. Carilah f '  x  dari a.

f  x   4 x2  6

d.

f  x 

g.

f  x    x 2  17   x 4  1

5x  1 x3

b.

f  x   3x

c.

f  x   3x

e.

f  x   100  2 x 4

f.

f  x    x  1  x 2  x 

i.

f  x 

2

h.

f  x

 2 x  1  3x  5

3

2. Jika f 1  2 , f ' 1  1 , g 1  6 dan g ' 1  2 . Tentukan: a.

 f  g  ' 1

c.

 f .g  ' 1

b.

 f  g  ' 1

 f  d.   ' 1 g

3. Tinggi s dalam kaki dari sebuah bola di atas tanah pada saat t detik diberikan oleh s  16t 2  20t  5 c. Berapa kecepatan sesaat pada t  1 ? d. Kapan kecepatan sesaatnya 0 ? 4. Tentukan turunan dari: a.

y  cos x  sin x

b. y  x 2 .sin x c.

y

1  sin x cos x

5. Dengan aturan rantai, tentukan turunan dari: a.

y   2  9x 

15

b. y   5 x 2  2 x  8

5

c.

69

y

 3x

1

4

 x  8

9


x x 1

d. y  sin  3x 2  11x  e.

70

y  cos5  3x 


BAB V TURUNAN Bagian II (Pertemuan Ke-11)

A. NOTASI LEIBNIZ

Notasi Leibniz:

f  x    f  x dy y  lim  lim  f ' x dx x0 x x0 x

CONTOH. Tentukan

dy jika y  x3  3x 2  7 x . dx

Penyelesaian:

dy d 3   x  3x 2  7 x   3x 2  6 x  7 dx dx

Aturan Rantai Lagi Andaikan y  f  u  dan u  g  x  . Dalam notasi Leibniz, aturan rantai berbentuk

CONTOH. Tentukan

dy dy du  . . dx du dx

12 dy jika y   x3  2 x  . dx

Penyelesaian: Misalkan u  x3  2 x maka y  u12 .

dy dy du  . dx du dx  12u11  3 x 2  2   12  x3  2 x 

11

 3x

2

 2

STOP!!! Tentukan

71

dy dy du dv dy  . . ) jika y  cos3  x 2  1 . (Hint: dx du dv dx dx


B. TURUNAN TINGKAT TINGGI

Kita telah memperkenalkan 3 notasi untuk turunan (sekarang disebut turunan pertama) Turunan

Notasi f '

Notasi y '

Notasi D

Notasi Leibniz

Pertama

f ' x

y'

Dx y

dy dx

Kedua

f ''  x 

y ''

Dx2 y

d2y dx 2

Ketiga

f '''  x 

y '''

Dx3 y

d3y dx 3

Ke n

f n  x

yn

Dxn y

dny dx n

CONTOH. Jika y  x10  7 x 2 . Tentukan

d3y d4y dan dx 3 dx 4

Penyelesaian:

dy  10 x9  14 x dx d2y  90 x8  14 2 dx

d3y  720 x 7 3 dx d4y  5040 x 6 4 dx

Kecepatan dan percepatan CONTOH. Sebuah benda bergerak sepanjang garis koordinat sehingga posisi s  nya memenuhi, s  2t 2  12t  8 , dengan s dalam cm dan t dalam detik. Tentukan kecepatan benda pada saat t  1 dan t  6 ! Kapan kecepatannya 0 ? Kapan kecepatannya positif? Penyelesaian: 72


v  t  adalah kecepatan saat t.

v t  

ds  4t  12 dt

Maka v 1  4 1  12  8 cm/detik dan v  6   4  6   12  12 cm/detik. Kecepatan 0 pada saat 4t  12  0 , yaitu t  3 . Kecepatan positif pada saat 4t  12  0 yaitu t  3 . (GAMBAR ada pada HAL 152)

Perhatikan

bahwa,

v t  

kecepatan

ds dt

dan

percepatan

garis

koordinat

dv d 2 s a t    . dt dt 2

LEBIH BANYAK SOAL 1. Sebuah

titik

bergerak

sepanjang

mendatar sedemikian hingga posisinya pada t dinyatakan oleh s  t   t 3  12t 2  36t  30 . s dalam meter dan t dalam detik. a. Kapan kecepatanya nol? b. Kapan kecepatannya positif? c. Kapan titik bergerak mundur (yaitu, ke kiri)? d. Kapan percepatannya positif? 2. Andaikan sebuah bola dilempar ke atas dari puncak sebuah gedung yang tingginya 160 kaki dengan kecepatan

awal

64

kaki/detik.

Persamaan

yang

menggambarkan kejadian ini adalah

s  16t 2  64t  160 . a. Kapan ia mencapai ketinggian maksimum? b. Berapa ketinggian maksimumnya? c. Kapan ia akan membentur tanah? d. Dengan laju berapa ia membentur tanah? e. Berapa percepatannya pada t  2 ?

73


C. PENDIFERENSIALAN IMPLISIT CONTOH. Tentukan kemiringan (gradien) di titik  2,1 pada kurva y3  7 y  x3 . (Ini persamaan implisit) Penyelesaian: Caranya diferensialkan kedua ruas terhadap x dan samakan hasil-hasilnya. Diperoleh

3y2

dy dy  7  3x 2 dx dx

Bagaimana menghitungnya????

d d d 1. y 3   1 . y 3  1.  y 3   dx dx dy dy  0. y 3  3 y 2 dx dy  3y2 dx Next 3y2

dy dy 7  3x 2 dx dx

dy  3 y 2  7   3x 2 dx dy 3x 2  dx  3 y 2  7 

Dengan

demikian,

kemiringan

di

titik

(2,1)

adalah

3 2 dy 3x 2 12 6     2 2 dx  3 y  7  3 1  7 10 5 2

(CONTOH LAIN di halaman 160)

STOP!!!! 1. Tentukan persamaan garis singgung di titik (1,2) pada kurva x3 y  y 3 x  10 ! 2. Tentukan persamaan garis singgung di titik (2,1) pada kurva x2 y 2  3xy  10 y !

74


D. LAJU YANG BERKAITAN

CONTOH. Sebuah balon dilepas pada jarak 150 kaki dari seorang pengamat yang berdiri di tanah. Jika balon naik secara lurus ke atas dengan laju 8 meter/detik, seberapa cepat jarak antara pengamat dan balon bertambah pada waktu balon pada ketinggian 50 kaki? Penyelesaian: Andaikan t menyatakan waktu setelah balon dilepas (dalam detik). Andaikan h menyatakan ketinggian balon dan s jaraknya dari pengamat. (jarak dari pengamat ke titik pelepasan balon tidak berubah).

dh 8 . dt

Dari soal diketahui: Yang ditanya adalah

ds pada saat h  50 . dt

Perhatikan bahwa berlaku Pythagoras

s 2  h2  1502 Selanjutnya, kita diferensialkan secara implisit terhadap t dan memakai aturan rantai.

2s

ds ds dh dh  2h atau s  h dt dt dt dt

Karena h  50 maka s 2  502  1502  s  50 10 . Selanjutnya,

ds dh h dt dt ds 50 10  50  8  dt ds 8   2,53 dt 10 s

75


CONTOH. Air dituangkan ke dalam bak bentuk kerucut dengan laju 8 dm/menit. Jika tinggi bak adalah 12 dm dan jari-jari permukaan atas adalah 6 dm, seberapa cepat permukaan air naik bila tinggi permukaan air adalah 4 dm? Penyelesaian: Diketahui: Laju 8 dm/menit artinya

dV 8 . dt

Ditanya: seberapa cepat air  dh  naik   saat h  4 .  dt 

Hubungan antara V dan h ada pada rumus volume kerucut

1 yaitu V   r 2 h . 3

Perhatikan bahwa pada rumus terdapat r yang tidak kita inginkan. Dengan memakai konsep kesebangunan, kita dapatkan

r 6 h  r h 12 2 Selanjutnya, kita peroleh V 

 h3 12

. Sekarang diferensialkan

secara implisit pada t.

dV 3 h 2 dh dV  h 2 dh   atau dt dt 12 dt 4 dt Karena

dV  8 dan h  4 maka dt

  4  dh 2

8

4

dt



dh 2   0, 637 dt 

Jadi, bila ketinggian air 4 dm, permukaan air naik dengan laju 0,637 dm/menit.

TUGAS 1. Tentukan

76

d3y dari dx 3


a.

y  x 3  3x 2  2 x  8

b. y  c.

x 2x 1

y  x  x 2  1

3

d. y  x.cos  x  e.

y  sin 3  2 x 

2. Dua partikel bergerak sepanjang garis koordinat. Pada akhir t detik, jarak-jarak berarah mereka dari titik asal, dalam meter, masing-masing diberikan oleh s1  4t  3t 2 dan s2  t 2  2t

a. Kapan mereka mempunyai kecepatan yang sama? b. Kapan mereka mempunyai laju yang sama? (laju sebuah partikel adalah nilai mutlak kecepatannya) c. Kapan mereka mempunyai posisi yang sama? 3. Sebuah bola dilempar langsung ke atas pada ketinggian

s  16t 2  48t  256 kaki setelah t detik (Ingat contoh sebelumnya) a. Berapa kecepatan awalnya? b. Kapan ia mencapai ketinggian maksimum? c. Berapa ketinggian maksimumnya? d. Kapan ia akan membentur tanah? e. Dengan laju berapa ia membentur tanah? 4. Tentukan persamaan garis singgung di titik (4,1) pada kurva

y  xy 2  5 !

  5. Tentukan persamaan garis singgung di titik  ,1 pada 2 

kurva sin  xy   y ! 6. Rusuk kubus yang berubah bertambah panjang dengan laju 3 cm/detik. Berapa kecepatan pertambahan volume kubus pada saat panjang rusuk kubus 10 cm? 7. Sebuah tangga panjang 20 dm bersandar di dinding. Jika ujung bawah tangga di tarik sepanjang lantai menjauhi dinding dengan kecepatan 2 dm/detik, seberapa cepat 77


ujung atas tangga bergeser menuruni dinding pada waktu ujung bawah tangga sejauh 4 dm dari dinding? 8. Seorang anak menerbangkan layang-layang. Jika tinggi layang-layang 90 dm di atas tingkat tangan anak itu dan angin meniupnya pada arah mendatar dengan laju 5 dm/detik, seberapa cepat anak tersebut mengulur benang pada saat panjangnya 150 dm? (Anggap benang membentuk

sebuah

garis,

walaupun

sebenarnya

anggapan ini tidak realistis)

78


BAB VI PENGGUNAAN TURUNAN

A. LEBIH

BANYAK

MASALAH

MAKSIMUM-

MINIMUM

CONTOH. Kotak persegi panjang dibuat dari selembar papan, panjang 24 inci dan lebar 9 inci, dengan memotong bujur sangkar identik pada keempat pojok dan melipat ke atas sisi-sisinya. Cari ukuran kotak yang volumenya maksimum! Penyelesaian:

Andaikan x adalah sisi bujur sangkar yang harus dipotong dan V adalah volume kotak yang dihasilkan.

V  x  9  2 x  24  2 x   216 x  66 x 2  4 x3 Perhatikan bahwa berlaku 0  x  4,5 . Jadi masalah kita akan memaksimumkan V pada  0; 4,5 . dV  216  132 x  12 x 2 dx  12 18  11x  x 2   12  9  x  2  x 

Syarat agar ukuran maksimum adalah

dV 0 . dx

12  9  x  2  x   0 79


Diperoleh x  2 atau x  9 . Tapi x  9 tidak pada selang

0; 4,5 , jadi bukan solusi. Titik kritis kita adala 0, 2 dan 4,5. Silakan dihitung mana ukuran yang paling maksimum dari dua x yang kita dapatkan! (Lanjutkan sendiri). Biasanya akan pada nilai x yang diperoleh yaitu x=2.

CONTOH. Seorang peternak mempunyai 100 meter kawat berduri yang akan dipakai membuat dua pagar yang identik yang berdampingan. Berapa ukuran seluruh kelilingnya agar luas maksimum? Penyelesaian: Andaikan x adalah lebar dan y adalah panjang seluruh keliling. Karena tersedia 100 meter berlaku

3x  2 y  100 3 y  50  x 2 Luas total yang diberikan

3 L  xy  50 x  x 2 2 Karena harus terdapat 3 sisi sepanjang x , kita lihat bahwa

0 x

100 . Jadi masalah kita memaksimumkan L pada 3

 100  0, 3  .

Syarat agar luas maksimum adalah

dL 0 . dx

dL  50  3 x dx 0  50  3 x x

Titik kritis adalah 0,

x

80

50 3

100 50 dan . Biasanya solusi ada di 3 3

50 . 3


STOP!!! 1. Carilah dua bilangan tak negatif yang jumlahnya 10 dan hasil kalinya maksimum. (petunjuk: jika x salah satu bilangan, maka 10-x adalah bilangan yang lain) 2. Dono mempunyai 200 m kawat berduri yang ia rencanakan untuk memagari halaman berbentuk persegi panjang untuk anjingnya. Jika ia ingin agar luasnya maksimum, berapa ukuran yang seharusnya? 3. Buktikan bahwa untuk persegi panjang dengan keliling K, yang luasnya maksimum adalah bentuk persegi panjang.

B. PENERAPAN EKONOMI

Beberapa simbol:

x adalah banyak barang p  x  adalah harga tiap satuan barang (produk). R  x  adalah pendapatan total, yaitu R  x   x. p  x  C  x  adalah biaya total P  x  adalah total laba (keuntungan) Maka berlaku P  x   R  x   C  x   x. p  x   C  x 

CONTOH.

Andaikan

C  x   8300  3, 25x  40 3 x

rupiah.

Carilah biaya rata-rata tiap satuan dan biaya marjinal serta hitung keduanya jika x  1000 . Penyelesaian: Biaya rata-rata C  x  8300  3, 25 x  40 3 x  x x

Biaya rata-rata

dC 40  2  3, 25  x 3 dx 3 Subsitusikan nilai x  1000 . 81


TUGAS 1. Hitung volume terbesar dari kotak terbuka yang dapat dibuat dari selembar papan luas 24 inchi kuadrat dengan cara memotong bujur sangkar berukuran sama pada sudut-sudutnya dan melipat sisi-sisi ke atas (Lihat contoh). 2. Kawat sepanjang 16 inchi dipotong menjadi dua. Satu potong ditekuk untuk membentuk bujur sangkar dan yang lainnya ditekuk untuk membentuk lingkaran. Dimana kawat harus dipotong agar jumlah luas bujur sangkar dan luas lingkaran minimum? Maksimum? (Pertimbangkan juga kemungkinan tanpa memotong) 3. Petani Badu mempunyai 80 kaki kawat duri yang ia rencanakan untuk memagari kandang persegi panjang sepanjang satu sisi gudangnya sepanjang 100 kaki, seperti gambar di bawah ini (sisi sepanjang gudang tidak memerlukan kawat berduri). Berapa ukuran kandang yang mempunyai luas maksimum?

4. Petani Badu pada soal 4) memutuskan membuat tiga kandang yang identik dengan 80 kaki kawat berdurinya, seperti gambar di bawah ini. Berapa ukuran total lingkupan agar kandang seluas mungkin?

5. Total biaya untuk memproduksi dan memasarkan x satuan komoditi tertentu diberikan oleh

82


C  x 

80000 x  400 x 2  x3 40000

Untuk nilai x berapakah biaya rata-rata menjadi minimum? 6. Total biaya untuk memproduksi dan memasarkan 100x satuan komoditi tertentu tiap minggu adalah

C  x   1000  33x  9 x 2  x3 Cari a) tingkat produksi yang membuat biaya marjinal minimum dan b) biaya marjinal minimum.

83


BAB VII INTEGRAL

A. ANTI TURUNAN (INTEGRAL TAK TENTU)

DEFINISI. Kita sebut F suatu anti turunan dari f , jika

F ' x  f  x . CONTOH. Carilah suatu anti turunan dari f  x   4 x3 . Penyelesaian:

F  x   x 4  C . Mengapa C ?

NOTASI UNTUK ANTI TURUNAN Kita menggunakan notasi Leibniz yaitu



dx .

TEOREMA A. (Aturan Pangkat) Jika r adalah sebarang bilangan rasional kecuali -1 maka r  x dx 

x r 1 C r 1

CONTOH. Carilah anti turunan dari f  x   1 . Penyelesaian:

1dx  x  C . Berilah alasanmu? CONTOH. Carilah anti turunan dari f  x   x5 . Penyelesaian:

x6  x dx  6  C . Cek turunannya, agar lebih meyakinkan. 5

TEOREMA B.

 sin x dx   cos x  C dan  cos x dx  sin x  C 84


TEOREMA C (Kelinearan dari



dx ). Andaikan f dan g

mempunyai anti turunan (integral tak tentu) dan andaikan k suatu konstanta, maka: a.

 kf  x  dx  k  f  x  dx

b.

  f  x   g  x  dx  f  x  dx  g  x  dx

c.

  f  x   g  x  dx  f  x  dx  g  x  dx

TEOREMA D (Aturan pangkat yang diperumum) Andaikan g suatu fungsi yang dapat dideferensialkan dan r suatu bilangn rasional yang bukan -1, maka:

 g  x   g x g ' x dx          r 1

r 1

r

C

Teorema ini, sering dinamakan teknik subsitusi.

CONTOH: Carilah

x

4

 3x 

30

 4x

3

 3 dx .

Penyelesaian:

x

4

 3x 

30

 4x

3

x  3 dx 

4

 3x 

31

31

C

Note: teknik ini bisa digunakan jika salah satu suku merupakan turunan pertama dari suku lainnya.

LEBIH BANYAK KENAL TEKNIK SUBSITUSI CONTOH: Carilah

x

3

 6 x   6 x 2  12 dx 5

Penyelesaian: Andaikan u  x3  6 x maka

du   3x 2  6   du   3x 2  6  dx dx

5  u6  3 2 5 5 x  6 x 6 x  12 dx  u 2 du  2 u du  2     6  C .    

Gantikan kembali nilai u  x3  6 x . SELESAI

85


SOAL-SOAL 1. Carilah anti turunan dari fungsi berikut! a.

f  x  4

b.

f  x   2x  4

c.

f  x   3x 2  2

d.

f  x   5x4   

2 3

e.

f  x  x

f.

f  x   6 x2  6 x  1

2. Gunakan teknik subsitusi atau TEOREMA D, untuk menyelesaikan integral tak tentu berikut! a.

 3x  1 .3 dx

b.

x

c.

  5x

3

d.

x

 3x  2  .  2 x  3 dx

e.

 3x

4

2

2

 4  .2 x dx 3

 18 .15 x dx 7

2

3x 2  7 dx

B. INTEGRAL TENTU

TEOREMA DASAR KALKULUS

TEOREMA A. (Teorema Dasar Kalkulus) Andaikan f kontinu (karenanya terintegralkan) pada [a,b] dan andaikan F sebarang anti turunan dari f pada selang ini. Maka b

 f  x  dx  F b   F  a  a

2

CONTOH. Hitung

  4 x  6 x  dx . 2

1

Penyelesaian:

86


2

  4 x  6 x  dx  2 x 2

2

1

 2 x3   8  6    2  2   12 2

1

TEOREMA B (Kelinearan integral tentu) Andaikan f dan g terintegralkan pada [a,b] dan andaikan k suatu konstanta, maka kf dan f+g terintegralkan a.

b.

c.

b

b

a

a

 kf  x  dx k  f  x  dx b

b

b

a

a

a

b

b

b

a

a

a

  f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx

SOAL-SOAL 1. Menggunakan teorema dasar kalkulus, tentukan: 2

a.

 x dx 3

0

2

b.

 x dx 4

1 2

c.

  3x

3

 2 x  3dx

1

4

d.

1

w

3

dw

1

4

e.



t dw

0

TUGAS 1. Carilah anti turunan dari fungsi berikut

87

a.

f  x   18x8  25x 4  3x 2

b.

f  x   x 2  20 x7  7 x 4  3

c.

f  x 

1 4  x5 x3


d.

f  x 

4 x 6  3x5  8 x5

e.

f  x 

2 x3  3x 2  1 x2

2. Carilah integral tak tentu dari: a.

x

3

 x dx

b.

x

2

 1 dx

c.

 y

d.

 y y

e.

 3sin t  2cos t  dt



2

 4 y  dy 2

2

2

 4  dy 2

3. Gunakan metode subsitusi, untuk soal-soal di bawah ini. a.

 5x

2

 1 5 x3  3x  8 dx

b.

  5x

2

 1 5 x3  3x  2 dx

c.

 3t

2t 2  11 dt

d.

 sin

e.

x

3

4

6

x cos x dx

 1 x3 dx 5

4

4. Menggunakan teorema dasar kalkulus, tentukan: 1

a.

 (2 x

3

 5) dx

0

2

b.

 x

 7 x  5dx

4

1 0

c.

  3x

13

 2 x  3dx

1

 2

d.

 cos w dw 0

4

e.



t  t 2 dw

0

88


1

f.

x

2

 1 2 x dx 10

0 1

g.

 3x

2

x3  1 dx

0

89


DAFTAR PUSTAKA

Purcell, Edwin J and Dale Varbegr. 2007. Calculus , Ninth Editions . New York. Pearson Education, Inc. . Stewart, J. 1998. Kalkulus , Jilid 1 Edisi Keempat. Jakarta. Erlangga. Yahya, Y. 2004. Matematika Dasar Untuk Perguruan Tinggi. Jakarta. Ghalia Indonesia. Yohannes. 2012. Diktat Bahan Kuliah Matematika. Jurusan Teknik Sipil Unila. Lampung. Djohan, W dan Budhi, W.S. 2007. Diktat Kalkulus 1. Jurusan Matematika. ITB. Bandung.

90


DIKTAT MATEMATIKA DASAR

Recommend Documents