DIADAS Y TENSORES Victor Daniel Rojas Cerna 16 de noviembre de 2017 Un poco de historia.
En matem´ atica atica un tensor es cierta clase de identidad geom´etrica, etrica, que generaliza los conceptos de escalar, vector y operador lineal de una manera que sea independiente de cualquier sistema de coordenadas elegido. Los tensores son de especial importancia en f´ısica. Los tensores pueden ser representados por una matriz de componentes en algunos casos. Este articulo procura proporcionar una introducci´ on on no t´ecnica ecnica a la idea de tensores, y proporcionar una introducci´ on on a los art´ art´ıculos que describen tratamientos diversos, complementarios de la teor t eor´´ıa de d e tensores detalladamente. La palabra lo introdujo William Rowan Hamilton en 1846, pero la uso para lo que actualmente se conoce como modulo. La palabra se uso en su acepci´on on actual por Waldemar Voigt en 1899. La notaci´ on fue desarrollada alrededor de 1890 por Gregorio Ricci-Curbastro on bajo el titulo de geometrisdiferencialabsoluta, y lo hizo accesible a muchos matem´ aticos aticos con la publicaci´on on del texto cl´asico asico de Tullio Levi-Civita el italiano; con posteriores traducciones). traducciones). calculodiferencialabsoluto en 1900 (en italiano; La aceptaci´ on mas amplia del calculo tensorial se alcanzo con la introducci´ on on on de la teor´ teor´ıa de la relatividad relatividad general por parte de Einstein Einstein alrededor alrededor de 1915. La relatividad general se formula totalmente en el lenguaje de los tensores, que Einstein hab´ıa ıa aprendido apre ndido del mismo Levi-Civita con gran gr an dificultad. dificultad . Pero los tensores se utilizan utilizan tambi´ tambi´en en dentro dentro de otros campos por ejemplo la mec´ anica de medios continuos (v´ease ease tensor de tensiones t ensiones o elasticidad elast icidad lineal).
Diadas:
Una diada es un objeto formado con dos vectores con cierta ordenaci´ on, on, para los vectores vectores A y B , AB es una diada. Aunque algunas veces se usa la super-flecha con los vectores, es decir se une con una flecha de doble sentido.
1
Productos Diadicos.
Operaci´ on representada por dos vectores, en especial en del espacio, que es lo fundamental para lo que estamos estudiando: AB. Se puede operar con un vector C tomando la posici´on de pre-factor o pos-factor. C.AB = (C.A)B AB.C = A (B.C ) = (B.C )A Producto de tres vectores.
En el espacio tomamos el vector A , y el vector unitario n , entonces tendremos que: A = λn + β (n × A). Bases Ortogonales.
Dada la base ortogonal a1 , a2 , a2, donde a1 ×a2 = a 2 as´ı tendremos que el vector A, se puede expresar como: A = A 1 a1 + A2 a2 + A3 a3 la cual se puede simplificar en su notaci´ on, y escribiremos: A = A 1 a1 + A2 a2 + A3 a3 = A i ai , i = 1, 2, 3. Representaci´ on de indices.
Lo que hemos hecho es una representaci´ on de indices y hemos convenido lo que significa, lo cual sera fruct´ıfero cuando trabajemos con gradientes, rotacionales, divergencias. Consecuencias: A.B = a i .b j Ai Bi , i , j = 1, 2, 3. Demostraci´on: A.B = a1.a1 j A1 B1 + a 2 .a2 j A1 B2 + a 1 .a3 j A1B3 + a 2 .a1 j A2 B1 + a 2 .a2 j A2B2 + a2 .a3 j A2 B3 + a3 .a1 j A3B1 + a3 .a2 j A3 B2 + a3 .a3 j A1 B3
As´ı tendremos que : A.B = A 1 B1 + A2 B2 + A3 B3 . Producto vectorial. A × B = a 1 × b j , i , j = 1, 2, 3.
Demostraci´on: A × B = a1 × a 1A1 B1 + a 1 × a 2 A1B2 + a 1 × a 3 A1 B3 + a 2 × a 1A2 B1 + a 2 × a2 A2 B2 + a3 × a3 A3 B3 + a3 × a1 A3 B1 + a3 × a2 A3 B2 + a3 × a3 A3 B3
Efectuando los productos, tenemos: A × B = a 3A1 B2 − a2 A1B3 − a3 A2 B1 + a1 A2 B3 + a2 A3 B1 − a1 A3 B2 = (A2 B3 − A3 B2 )a1 + ( A3 B1 − A1B3 )a2 + ( A1 B2 − A2 B1 )a3 Producto Diadico:
AB = a i Ai B j b j , i , j = 1, 2, 3.
2
Delta de Kronacker
Definimos el delta de Kronacker como: ii .ik = δ ik = δ ik =
1
, i = k 0, i = k
Consecuencia: A.B = A i B j δ ij Simbolo de Levi-Civita
En matem´ aticas, y en particular en calculo tensorial, se define el s´ımbolo de Levi-Civita, tambi´en llamado el s´ımbolo de la permutacion, como sigue: ijk
+1 −10
si (i,j,k) es (1, 2, 3), (2, 3, 1) o (3, 1, 2) si (i,j,k) es (3, 2, 1), (1, 3, 2) o (2, 1, 3) de otro modo i = j o j = k o k = i
nombrado as´ı por Tullio Levi-Cevita. Se utiliza en muchas a´reas de las matem´aticas y en f´ısica. Por ejemplo, en el ´algebra lineal, el producto cruzado de dos vectores se puede escribir como: Consecuencia: A × B = a i A j Bk ijk , i , j = 1, 2, 3. Demostraci´on: A × B = a 1 A1B1 111 + a1 A1 B2 112 + a1 A1 B3 113 + a1 A2 B1 121 + a1 A2 B2 122 + a1 A2 B3 123 + a1 A3 B1131 + a1 A3 B2 132 + a1 A3 B3 133 + a2A1 B1 211 + a2 A1 B2 212 + a2 A1 B3 213 + a2 A2 B1221 + a2 A2 B2 222 + a2 A2 B3 223 + a3A1 B1 311 + a3 A1 B2 312 + a3 A1 B3 313 + a3 A2 B1321 + a3 A2 B2 322 + a3 A2 B3 323 + a3A3 B1 331 + a3 A3 B2 332 + a3 A3 B3 333 A × B = a 1 A2B3 123 + a1 A3 B2 132 + a2 A1 B3 213 + a2 A3 B1 231 + a3 A1 B2 312 + a3 A2 B1 321 = a 1 A2 B3 (1)+ a1 A3 B2 (−1) + a2 A1B3 (−1) + a2 A3 B1 (1)+ a3 A1 B2 (1)+ a3 A2 B1 (−1) A × B = (A2 B3 − A3 B2 )a1 + ( A3 B1 − A1 B3 )a2 + ( A1 B2 − A2 B1 )a3
El tensor cuyas componentes son dadas por el s´ımbolo de Levi-Civita (un tensor covariante de rango 3) a veces se llama el tensor de permutacion. El s´ımbolo de Levi-Civita se puede generalizar a dimensiones mas altas. ijkl...
+1 +10
si (i,j,k,l... ) es una permutacion par de (1, 2, 3,...) si (i,j,k,l... ) es una permutacion impar de (1, 2, 3,...) si los dos indices son los mismos
Ver permutacion par o grupo sim´ etrico para una definici´ on de ’permutacion par’ y de ’permutacion impar’. 3
Ejemplo de aplicaci´ on :τ ij = λδ ij ekk + ueij i, j, k = 1, 2, 3. τ 11 = λδ 11 (e11 + e22 + e33 ) + ue11 τ 12 = λδ 12 (e11 + e22 + e33 ) + ue12 τ 13 = λδ 13 (e11 + e22 + e33 ) + ue13 τ 21 = λδ 21 (e11 + e22 + e33 ) + ue12 τ 22 = λδ 22 (e11 + e22 + e33 ) + ue22 τ 23 = λδ 23 (e11 + e22 + e33 ) + ue23 τ 31 = λδ 31 (e11 + e22 + e33 ) + ue31 τ 32 = λδ 32 (e11 + e22 + e33 ) + ue32 τ 33 = λδ 33 (e11 + e22 + e33 ) + ue33
= λ (e11 + e22 + e33) + ue11 = eu 12 = eu 13 = eu 21 = λ (e11 + e22 + e33) + ue22 = eu 23 = eu 31 = eu 32 = λ (e11 + e22 + e33) + ue33
Otro ejemplo. Desarrollar T = a ji δ ji i, j = 1, 2, 3. T = a 11 δ 11 + a12 δ 21 + a13 δ 31 + a21 δ 12 + a22 δ 22 + a23δ 32 + a31 δ 13 + a32 δ 23 + a33 δ 33 T = a 11 + a22 + a33
Gradiente: f un campo escalar, expresemos convenientemente el gradiente. ∇f = f 1 a1 + f 2a2 + f 3 a3 = f i ai i = 1, 2, 3. Laplaciano. ∆u = u 11 + u22 + u33 = u ii , i = 1, 2, 3. Divergencia. divf = (f .ai )i , i = 1, 2, 3 ´ Algebra de diadas.
Si tenemos los vectores A,B, C, ..., H y sea la diada A = A B +C D +E F +G H La diada A = a i Aij a j , i , j = 1, 2, 3. A = 1A11 a1 + 1A12 a2 + 1A13 a3 + 2A21 a1 + 2A22 a2 + 2A23 a3 + 3A31 a1 + 3A32 a2 + 3A33a3 La transpuesta de la diada. → − Dada la diada A, denotamos la transpuesta de la diada como A = ai Aij a j siempre que la diada A = a i Aij a j Suma y resta de diadas. A = a i Aij a j , B = a i Bij a j definimos: A + B = a i Aij a j + ai Bij a j = a i (Aij + Bij )a j
A − B = a i Aij a j + −overlineai Bij a j = a i (Aij − Bij )a j
4
Producto de diadas.
1.Diada por un escalar: mA 2.Producto escalar de vector y diada. V.A = V k ak .ai Aij a j V.A = V 1 a1 .a1 A1 j a j +V 1 a1 .a2 A2 j a j +V 1 a1 .a3 A3 j a j +V 2 a2 .a1 A1 j a j +V 2 a2 .a2 A2 j a j + V 2 a2 .a3 A3 j a j + V 3 a3 .a1 A1 j a j + V 3 a3 .a2 A2 j a j + V 3a3 .a3 A3 j a j V.A = V 1 A1 j a j + V 2A2 j a j + V 3 a3 .a3 A3 j a j = V i Aij a j
De igual manera: A.V = a i Aij a j .a j V j = a i Aij V j Ejercios: − → 1.V .A = A .V → − 2.A.V = V . A Producto Vectorial vector-diada.
V × A = V k ak × ai Aij j A × V = a i Aij j × V k ak Yuxtaposicion de vector-diada.
V A = a k ai a j V k Aij la direcci´ on la da la diada.
on la da el vector AV = a i a j ak V k Aij la direcci´ Producto escalar de diadas.
Dadas las diadas A, B definimos el producto escalar de diadas como: A.B = a i Aij a j .ak Bkl al
Demostrar que :A.B = a i Aij B jl al Ejercicio:A.B = (A .B ) Doble producto escalar. A : B = a i Aij a j : a k Akl al = a i .al .a j .ak Aij Bkl al Doble producto de diadas A B : C D = (A.C )(B.D ) Doble producto vectorial-diada
A × ×B = a i × al a j × ak Aij Bkl
5
Diada unitaria.
la diada unitaria I El factor de identidad o diada unitaria I , se define or la relacion I .V = V .I = ai ai
Demostracion: I.V = a i ai .a j V j I.V = a 1 a 1 .a1 V 1 + a1 a 1 .a2 V 2 + a2 a 2 .a1 V 1 + a2 a 2 .a2 V 2 + a2 a 2.a3V 3 + a3 a 3 .a1 V 1 + a3 a3 .a2 V 2 + a3 a3 .a3 V 3 I.V = a 1 V 1 + a2 V 2 + a3 V 3 Traza de una diada.
la traza de una diada A se representa por |A| y se define por el doble producto escalar de la diada A y la diada unitaria I .
|A| = A : I = A ii = A 11 + A22 + A33. Vector rotaci´ on de una diada.
El vector rotacion de una diada se representa por A se define por el doble producto escalar-vectorial de la diada unitaria I y la diada A.
A = I × .A = a i ai × .a j A jk = (ai × a j )(ai .a j )A jk A = (a1 × a1 )(a1 .a1)A1k + (a1 × a2 )(a1 .a2 )A2k + ( a1 × a3 )(a1 .a3 )A3k + ( a2 × a1 )(a2 .a1)A1k +(a2 × a2 )(a2 .a2 )A2k +(a2 × a3 )(a2 .a3 )A3k +(a2 × a3 )(a2 .a3 )A3k + (a3 × a1 )(a3 .a1 )A1k + (a3 × a2 )(a3.a2 )A2k + (a3 × a3 )(a3 .a3 )A3k A = − a2 A3k + a3 A1k + a1 A2k
Demostrar que: |A B | = A.B A B = A × B. Reciproca de una diada.
Se define la reciproca de una diada A, en caso exista una diada A−1 tal que cumpla A−1 .A = A.A−1 = I . Para calcular A−1 se expresa la diada en la forma:A = a i ci . A = a 1 c1 + a2 c2 + a3 c3 A−1 = (c1 .c2 ×c2 )−1 {(overlinec3 ×c2 )a1 +overlinec3 ×c1 )a2 +overlinec1 ×c2 )a3 }
6
0. La condici´ on necesaria y suficiente para que ∃ A−1 es que: c1 .c2 × c2 = Ejercicios: 1.∈ijk − ∈ist = δ ij δ kt − δ jt δ ks . 2.δ ij δ jk = 3. 3.ijk − jkt = 6. 4.ijk A j Ak = 0. 5.Demostrar que el producto vectorial x = (x1 , x2 , x3 ), y = (y1 , y2, y3 ) z = x × y = ∈ijk x j yk Introducci´ on a Tensores.
Tensor esfuerzo en f´ısica. T m =
F F:fuerza, A:´area. A
7
