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con sus a p l i c a c i o n e s Luis A. Santaló
manuales
f ó r m u l a s
In t e g r a l e s
«-00 | A | = J L f ' ' 4 k J
y como (fig. 77)
J ü L *
O
o
s = OQ = o tg cp , ds = --------- ííq)
r = ---------- i sen 0 = eos q>,
eos'·' qp
queda
A
'
V
'
eos cp
,/.
4jt J
-»/·
I
Y _
o
^
2
k 0
7. Caso de una curva cerrada. Es interesante el caso en que la linea de torbellino es una curva cerrada F , tal que pueda aplicarse a ella y a una superficie que la tenga por contorno el teorema de Stokes En este caso, aplicando a (26) la fórmula 22.10 resulta
da
(28)
siendo S una superficie cualquiera cuyo contorno sea F . El sustraendo del segundo miembro es nulo, puesto que V . (E / r^ ) = — V . V ( l / r ) = — A ( 1/r ) = 0 . E n cuanto al mi nuendo, se puede poner É/r^ = — Vj> (l /i ·) , indicando que el ope rado r V se refiere al punto P (que no pertenece al campo de integración S y en el cual está aplicado el vector A ) y perm utar con V ^ /, j que se refiere a los puntos Q de la superficie S , quedando (29) 8
o bien, según la notación de derivada direccional (1 3 .5 ) ,
r 8 ' - ) 8
Como siempre se puede tomar una superficie S que no pase por P , resulta T e o r . 9: El campo A engendrado por una línea de torbellino cerrada F es el gradiente de la función potencial
B en todos los puntos no pertenecientes a V , 184
23. C a m p o s d e G r a d i e n t e s y d e R o t o r e s
En esta expresión, S es una superficie cualquiera cuyo contorno rs 1’ y Y es la circulación correspondiente a esta curva; r es la dis(¡ini ia del punto de S correspondiente al elemento da al punto P del ( iiiiipo. Al hacer la integración, P es fijo, de manera que resulta = fp iP) · 8. Ángulo sólido. Consideremos en un plano dos semirrectas O A , Olí a partir de un punto O (fig 78). El ángulo que forman, o sea el conjunto de todas las semirrectas de origen O comprendidas entre ellas.
Figura
78
ÍC. puede medir por la longitud del arco de circunferencia de radio uni(l;i
f ó r m u l a s
In
t e g r a l e s
ángulo sólido elemental, será (32)
=
1CCS 0 1 L do
siendo O el ángulo entre OP y la norm al N a la superficie en el punto P y r=\OP\. En vez de tomar el valor absoluto de esta proyección conviene con siderarla inclusive con el signo, tomando eos O en vez de | eos 0 ] . Con
ello el ángulo sólido depende del sentido de la norm al N , pero un a vez fijado éste, tendrá un valor bien determinado· Además, si un mismo ra dio vector desde O corta más de una vez a la superficie, los elementos de ángulo sólido correspondientes a los distintos puntos de intersección se sumarán algebraicamente, que es lo que en general interesa. Por ejemplo, si S es una superficie cerrada que no se atraviesa a sí misma y que por tanto limita cierto volumen del espacio, el ángulo sólido total según el cual es vista desde O vale siempre 4 jt si O es interior y O si O es exterior. En efecto, tomando la normal siempre hacía el exterior del volumen, el valor de eos 0 será positivo en los puntos en que la prolongación del radio vector sale del volumen (como el Pi de la fig. 80) y negativo en aquellos en que entra en el volumen (como el P j de la fig. 80) . Por consiguiente si O es interior, en las partes de la esfera unidad sobre las cuales se proyectan más de un punto de S , cada elemento proyectado de signo negativo se compensa con otro positivo, quedando únicamente una sola proyección. En consecuencia la proyección de toda la super ficie S cubre una sola vez a la esfera unidad y por tanto el ángulo só lido correspondiente vale 4 j t . En cambio, si O es exterior, cada radio vector por O corta a 5 en un número par de puntos, a los cuales co-
"w r
Vcclorcs y tensores con sus aplicaciones
23. C a m p o s d e G r a d i e n t e s y d e R o t o r e s
responden alternativamente los signos + y —, de manera que la proyrci'ión total vale cero, como dijimos. Con este convenio, la expresión analítica del ángulo sólido total sef’.ún el cual se ve la superficie S desde O será I
(S3>
a= S
8
«icndo N el versor norm al a 5 en el punto P , E el versor de la diiiTción OP y r = \OP \ .
Recordando la notación usual para la derivada de una función según la normal a una superficie, y siendo E / t"'^ = — V (1 /r) , (33) se puede cscribir también
(34)
í ¡
= -J '( n .v Í ) . , = 8
8
Com parando con (31) , resulta que si la superficie S tiene por contorno la curva F , la relación entre Q y la función potencial (p lirl campo engendrado por F (considerada como línea de torbellino) , (35)
cp = 5) S está dada por su ecuación vectorial X = X (u , v) , teniendo en 187
f ó r m u l a s
In t e g r a l e s
cuenta 20.10 y 20.34 la expresión del ángulo sólido según el cual es vísta desde el origen O , toma la forma (X.X.E) (36) du A dv .
“ = /
Si S es un a superficie abierta limitada por un contorno T , el ángulo sólido £2 según el cual es vista desde el origen O , se puede expresar por una
