Introdução aos Tensores

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INTRODUÇÃO AOS TENSORES

Introdução aos Tensores pág. 1. Conceitos preliminares.......................................... ................................................................ ............................................. ......................................... ..................3 2. Vetores e tensores contravariantes. Invariantes........................................... ............................................................... .....................4 3. Vetores e tensores covariantes. Tensores mistos. ............................................ .............................................................. ..................5 4. Operações fundamentais com tensores.......................................... ................................................................ ..................................... ...............6

a) Adição e subtração .................................................... ........................................................................... ............................................. .................................. ............6 b) Multiplicação externa.......................................... ................................................................. ............................................. ........................................ ..................7 c) Contração de um tensor misto ........................ ................................................ ............................................... ............................................ .....................7 d) Multiplicação interna ............................................ .................................................................. ............................................. ....................................... ................7 e) Tensores simétricos e anti-simétricos ................................................................ ................................................................................ ................7 f) Lei do quociente ........................................... .................................................................. ............................................. ............................................ ......................... ... 8 5. Tensores relativos ........................................... ................................................................. ............................................ ............................................. .......................... ... 9 6. O elemento de comprimento de arco e o tensor métrico ............................................ ................................................. ..... 10

a) O tensor fundamental covariante.............................................. ..................................................................... ........................................ .................10 b) O tensor fundamental fundamental contravariante ............................................ ................................................................... ................................... ............12 c) A formação for mação de novos tensores por meio dos tensores fundamentais ............................... ...............................12 d) Magnitude de um vetor e ângulo entre vetores ............................................. ................................................................ ...................13 e) Propriedades do determinante métrico ........................... .................................................. .............................................. ........................... .... 14 7. Componentes físicos de um tensor .......................................... ................................................................ .......................................... ....................14 8. Equação da linha geodésica ......................................... ................................................................ ............................................. ............................... .........17 9. Lei de transformação dos símbolos de Christoffel .......................................... .......................................................... ................19 10. Derivada covariante .......................................... ................................................................. ............................................. .......................................... ....................21

a) Derivada covariante de tensores............................................ .................................................................. ........................................... .....................21 b) Derivada covariante covariante de tensores relativos......................................... .............................................................. ............................... ..........25 11. Derivada intrínseca ou absoluta .......................................... ................................................................ ............................................. ......................... 28 12. Formas tensoriais do gradiente, divergência, laplaciano e rotacional ........................... ........................... 29

a) Gradiente .......................................... ................................................................. ............................................. ............................................ ................................... .............29 b) Divergência .......................................... ................................................................ ............................................. ............................................. ............................... .........29 c) Laplaciano ............................................ .................................................................. ............................................. ............................................. ............................... .........30 d) Rotacional ............................................. ................................................................... ............................................ ............................................ ............................... .........31 13. Tensor de curvatura ou de Riemann-Christoffel ............................................ ............................................................ ................31 14. Problemas propostos ............................................. ................................................................... ............................................. ....................................... ................34 15. Soluções dos problemas propostos .......................................... ................................................................ .......................................... ....................40 Apêndice A – Coordenadas curvilíneas ........................................... .................................................................. ....................................... ................68 Apêndice B – A convenção de Einstein para somatórios ............................................. ...................................................... .........88 Apêndice C – Algumas técnicas do Cálculo de Variações ........................................... .................................................. ....... 103 Referências bibliográficas........................................... ................................................................. ............................................. ..................................... ..............118

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Prefácio

Se Deus não existe, nada se perde por se acreditar nele; mas, se existe, perde-se tudo por não se acreditar. Blaise Pascal

Este texto didático foi preparado para o ensino do tópico sobre tensores da ementa de Métodos Matemáticos Aplicados II, disciplina que todo aluno de Física na Universidade Federal Fluminense deve cursar. Procurou-se versar sobre tantos conceitos e métodos quantos podem ser expostos e devidamente exercitados em cerca de 24 horas de aula. A profundidade com que os mesmos foram abordados foi definida por esse limite temporal bem como pelo fato de ser o texto destinado a alunos de graduação. Pré-requisitos específicos são matrizes e coordenadas coordenadas curvilíneas; pré-requisitos genéricos são as disciplinas de Cálculo e Álgebra Linear constantes em qualquer grade curricular de Física. Especialmente importante no estudo de tensores é a desenvoltura na utilização da convenção de Einstein para a notação de somatórios; nesse intento provê-se um apêndice, a ser lido pelos que ainda não dominem aquela notação. Proporcionam-se também apêndices sobre coordenadas coordenadas curvilíneas e, visando ao estudo das geodésicas, sobre algumas técnicas do Cálculo de Variações. O autor é particularmente grato aos seus alunos pela depuração de vários erros tipográficos e estimaria a contribuição de qualquer leitor nesse sentido, estando o correio eletrônico abaixo à disposição para a comunicação de qualquer tipo de erro presente nesta obra. OBERTO TOSCANO COUTO R OBERTO [email protected]

Universidade Federal Fluminense Departamento de Matemática Aplicada Niterói, Julho de 2003



























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1. Conceitos preliminares

Equation Section 1 A descrição matemática das leis físicas, para ser válida, deve ser independente do sistema de coordenadas empregado: as equações matemáticas que expressam as leis da natureza devem ser covariantes, isto é, invariantes na sua forma sob mudanças de coordenadas. É exatamente o cumprimento dessa exigência que leva os físicos ao estudo do Cálculo Tensorial, de capital im portância na Teoria Teoria Geral da Relatividade Relatividade e muito útil em vários vários outros ramos da Física. Suponha que estejamos trabalhando com N variáveis reais x1 , x 2 " x N . A razão dessa maneira de escrevê-las, com superíndices em vez de subíndices, ficará mais clara adiante. Tais variáveis são denominadas coordenadas ; a um conjunto de seus valores chamamos de ponto; já a totalidade de pontos correspondentes a todos os valores das coordenadas constitui um espaço de N dimensões, aqui denotado por V N . Diz-se que tal espaço V N é descrito no sistema de coordei

, onde está implícito que i = 1, 2" N . A estratégia usada para desenvolver a geometria do espaço V N consiste em tomar concepções geométricas ordinárias e estender suas definições àquele espaço, sempre com o cuidado de que suas restrições ao nosso espaço tridimensional euclidiano reproduzam as definições familiares. Por exemplo, uma curva é definida como a totalidade t otalidade dos pontos dados pelas equações nadas x

x

i

=

f

i

(t ) (i = 1, 2" N ) ,

(1-1)

chamadas parametrização parametrização da curva, sendo t o parâmetro e f i (t ) N funções. Dissemos acima que é um princípio básico do Cálculo Tensorial que não fiquemos restritos a um único sistema de coordenadas. Devemos desenvolver relações que sejam válidas, não em um sistema de coordenadas apenas, mas em todos. Nesse sentido, considere outras N variáveis x′i dadas através de N funções das coordenadas xi , x′i

=

f i ( x1 , x 2 " x N )

(i = 1, 2 " N ) .

(1-2)

Estas equações definem para cada ponto x1 , x 2 " x N um conjunto novo de coordenadas i 1 2 N x′ , x′ " x′ , o novo sistema de coordenadas x′ . Admitimos que o jacobiano

∂ x′1 ∂ x1

"

∂x′1 ∂x N

∂ x′i # = # J ′ = N ∂ x j ∂ x′ ∂x′ N " ∂ x1 ∂x N

(1-3)

nunca se anule para que a Eq. (1-2) possa ser invertida: x

i

=

1

2

i N g ( x ′ , x′ " x′ )

(i = 1, 2 " N ) .

(1-4)



























4


Denotaremos a Eq. (1-2) mais sucintamente na forma x′

i

= x′ i ( x ) ,

(1-6)

pois a notação desempenha um papel importantíssimo no Cálculo Tensorial e a Eq. (1-6) é mais fácil de se escrever do que a Eq. (1-2). Nessa notação, a Eq. (1-4) seria xi = xi ( x ′) . Em geral, os sistemas de coordenadas xi , x′i , etc, que surgirão no decorrer da exposição podem ser quaisquer sistemas de coordenadas curvilíneas (e.g., as coordenadas cilíndricas ou as esféricas), a não ser que se diga explicitamente tratar-se de um sistema de coordenadas específiespecífico. Contudo, às vezes, enfatizaremos o caráter genérico das coordenadas referindo-se a elas como coordenadas curvilíneas . 2. Vetores e tensores contravariantes. Invariantes.

Equation Section (Next) Considere um ponto P de coordenadas xi e um ponto vizinho Q de de coordenadas xi + dxi

JJJ JJJG

. Esses dois pontos definem um deslocamento infinitesimal, caracterizado pelo vetor PQ ; no sistema de coordenadas xi , esse vetor é descrito pelas N grandezas dxi , que podem ser chamadas de seus componentes naquele sistema de coordenadas. Usemos agora um sistema de coordenadas x′i diferente. Neste, os componentes daquele

JJJ JJJG

vetor são dx′i . Os componentes de PQ nos dois sistemas conectam-se pela equação (note o uso da convenção de Einstein para o somatório)

∂ x′i dx′ = ∂ x j i

dx j

,

(2-1)

que são lineares e homogêneas. homogêneas.

JJJ JJJG

O vetor PQ há de ser considerado como tendo um significado absoluto, mas os números que o descrevem, seus componentes, dependem do sistema de coordenadas empregado, embora, uma vez conhecidos num sistema, podem ser calculados em qualquer outro através da Eq. (2-1). O conjunto dos componentes dxi do deslocamento infinitesimal é o protótipo de uma classe de entes geométricos denominados vetores contravariantes , assim definidos: Qualquer conjunto de N grandezas X i definidas num ponto P ∈ V N que se transformem sob mudança de coordenadas de acordo com a equação x′i ∂ X ′ = j ∂ x i

X j

,

(2-2)

P . Assim, o deslocamento infinitesimal é um exemplo de vetor contravariante. Um outro exemplo, agora com componentes finitos, são as derivadas τ i ≡ dxi / dt calculadas num ponto de uma curva como a da Eq. (1-1); é o chamado vetor tangente , cuja transformação segundo a é dito formar os componentes de um vetor contravariante em



























5


Prosseguimos definindo entes da classe contravariante que apresentem características mais complicadas que o vetor contravariante como segue: 2 Um conjunto de N grandezas T ij que se transformem sob mudança de coordenadas de acordo com a equação

∂ x′i ∂x′ j kl ij ′ T = k l T ∂ x ∂x

(2-4) a

é dito formar os componentes de um tensor contravariante de 2 ordem.

A extensão dessa definição de tensores contravariantes para ordens superiores a 2 é imediata e não precisa ser escrita aqui. Mas, indo na direção oposta, notamos que um vetor contravariante é um tensor contravariante de 1 a ordem e isto sugere a existência de um tensor contravariante de ordem zero, uma única grandeza ( N 0 = 1 componente) que se transforme segundo a relação de identidade T ′( x′)

= T ( x) ;

(2-5)

tal grandeza é denominada invariante e seu valor independe do sistema de coordenadas empregado. Na realidade, trata-se de uma função do ponto P do espaço V N , f (P ) , cujos valores de pendem do ponto P mas não do sistema de coordenadas usado para representar cada ponto. Assim, um invariante em V N é uma função tal qual f (P ) , que também recebe a denominação de função escalar , ou simplesmente escalar . As grandezas T ′( x ′) e T ( x ) na equação acima, de mesmo valor, são vistas como os componentes de uma função escalar nos sistemas de coordenadas x′i e xi , respectivamente. 3. Vetores e tensores covariantes. Tensores mistos.

Equation Section (Next) Seja φ uma função escalar das coordenadas (um invariante). Pela regra da cadeia,

∂φ ∂φ ∂ x j = . ∂ x′i ∂x j ∂x′i

(3-1)

Esta lei de transformação das N grandezas ∂φ / ∂ x i parece com a descrita pela Eq. (2-2), mas, com um pouco mais de atenção, vemos que as variáveis x j e x′i aparecem em lugares trocados nas derivadas ∂ x j / ∂x′i . Assim como os componentes do deslocamento infinitesimal são o protótipo do vetor contravariante, as derivadas parciais de um invariante, tais quais ∂φ / ∂ x j (que definem os componentes do gradiente de φ , como veremos na Seç. 12a), são o protótipo dos chamados vetores covariantes , assim definidos: Um conjunto de N grandezas X i que se transformem transformem de acordo acordo com a equação equação

∂ x j X i′ = ∂ x′i

X j

(3-2)




























6

Encarando o vetor covariante como um tensor covariante de 1 a ordem, não temos dificuldades em definir tensores covariantes de ordens mais altas. Por exemplo: N 2 grandezas T ij que se transformem segundo a equação x k ∂x l ∂ Tij′ = T kl ∂ x′i ∂x′ j

(3-3)

a

é dito formar um tensor covariante de 2 ordem.

Note que os invariantes também podem ser considerados como tensores covariantes de ordem zero. Uma vez definidos os tensores contravariantes e os covariantes, não é difícil definir tensores com caráter tanto contravariante quanto covariante –– são os chamados tensores mistos . Por i exemplo, suponha que N 3 grandezas T jk se transformem segundo a equação xl ∂x m ∂x′ k n ∂ Tij′ = T lm ; ∂ x′i ∂x′ j ∂x n k

(3-4)

dizemos serem elas os componentes de um tensor misto de 3 a ordem, com um índice contravari(1, 2) ]. Note que ante e dois índices covariantes; também dizemos que esse tensor é do tipo ti po 21 [ou (1, os tensores covariantes e os contravariantes podem ser vistos como casos especiais de tensores mistos; um tensor contravariante de 2 a ordem é do tipo 20 e um tensor covariante de 3 a ordem é do tipo 30 . O delta de Kronecker é melhor denotado como δ i j pois é um tensor de 2 a ordem do tipo 11 ; de fato, observe que

∂ x′i ∂x′i ∂x k ∂x′i ∂xl k δ′ = δ l . = = ∂ x′ j ∂x k ∂x′ j ∂x k ∂x′ j i j

(3-5)

Um tensor pode ser dado em um único ponto P do espaço V N , ao longo de uma curva, por todo um subespaço de V N ou todo o V N em si. Nos três últimos casos dizemos estar diante de um campo tensorial , assim enfatizando que tensores se encontram definidos num continuum. Por exemplo, três funções das coordenadas Vi ( x1 ,x2 , x3 ) (i = 1, 2, 3) são os componentes de um campo vetorial covariante num volume V se em cada ponto de V elas se transformarem como os componentes de um vetor covariante. A importância dos tensores na Física Matemática e Geometria reside no fato de que uma equação tensorial, se verdadeira num sistema de coordenadas, sê-lo-á em todos (cf. Prob. 1). 4. Operações fundamentais com tensores

Equation Section (Next) a) Adição e subtração Dois tensores de mesma ordem e tipo podem ser somados ou subtraídos, resultando noutro





























7


b) Multiplicação externa externa Através da multiplicação de cada componente de um tensor de ordem m por cada componente de um tensor de ordem n obtemos os componentes de um tensor de ordem m + n chamado produto externo (ou produto direto) daqueles tensores. Por exemplo, o produto externo dos tensores U ikl e W jm é o tensor Tijklm = U ikl W jm ; outros exemplos: Tijk

= U ij W k ,

T

ijkl

= U ij W kl

e

Tijkl

= U ij W kl .

A prova do caráter tensorial desses produtos externos é obtida usando as leis de transformação dos tensores que entram como fatores (cf. Prob. 4). c) Contração de um tensor misto Fazemos a contração de um tensor misto qualquer igualando um índice covariante a um índice contravariante e somando com respeito a esse índice (a repetição do índice já indica somatório segundo a convenção do somatório), assim formando um tensor cuja ordem é duas unidades a menos que a do tensor original. Por exemplo, do tensor misto de 4 a ordem T ijkl , igualando os índices i e k , obtemos o tensor misto de 2 a ordem T jl

= T ijil

e deste, com uma segunda contração (igualando j e l), obtemos o tensor de ordem zero T

= T j j = T ijij .

Acima, após as contrações, os tensores resultantes, r esultantes, mesmo sendo, em geral, diferentes do tensor original, continuam denotados pela letra T ; no caso, a distinção é feita através dos índices (claramente, o tipo do tensor T jl é distinto do tipo de T ijkl ). Para ilustrar uma maneira de provar que o resultado da contração realmente possui caráter tensorial, façamos a contração dos índices í ndices j e k na Eq. (3-4); vemos que o resultado Ti ≡ T ij j é de fato um tensor:

∂ xl ∂x m ∂x′ j n ∂xl ∂xm n ∂xl Ti ′ = Tij′ = Tlm = Tlm = ∂ x′i ∂x′ j ∂xn ∂x′i ∂xn ∂x′i j

N

δ m

Tlnn

∂xl = i ∂x ′

Tl

.





























8

INTRODUÇÃO AOS TENSORES ijk

Tlm

= T lmkji

(4-1)

para todas as combinações dos índices i e k então o tensor é simétrico pois apresenta simetria nesses índices. A simetria assim definida é uma propriedade que independe do sistema de referência. De fato, para um tensor T ij , segue da Eq. (2-4) que

∂ x′i ∂x′ j kl ∂x′i ∂x′ j lk ∂x′i ∂x′ j kl ij ′ T = T T T = = = l k l k (1) ∂x ∂x ( 2) ∂x ∂x (3) ∂ x k ∂x l

T′

ji

,

(4-2)

onde na passagem (1) são trocados os papéis das letras k e l (∗), na passagem (2) é usada a simetria de T ij e na passagem (3) é usada a Eq. (2-4). Dizemos que um tensor é anti-simétrico em relação a dois índices contravariantes ou covariantes se os dois componentes que se obtêm pela troca dos dois índices considerados forem nulos ou diferirem apenas no sinal; neste caso, o próprio tensor é dito anti-simétrico . Assim, se ijk Tlm

= −T lmkji

(4-3)

para todas as combinações dos índices i e k então o tensor é anti-simétrico pois apresenta antisimetria nesses índices. Em quatro dimensões, observe que, dos 16 componentes do tensor anti-simétrico T ij , os quatro componentes T ii (sem somatório) são nulos; os 12 restantes, quando não nulos, serão iguais em módulo e de sinais contrários aos pares, de modo que, genericamente, apenas seis componentes são independentes (um hexavetor ). ). Similarmente vemos que, genericamente, os tensores anti-simétricos de terceira ordem T ijk têm somente quatro componentes independentes, independentes, enquanto o tensor anti-simétrico T ijkl tem só um. Não há tensores anti-simétricos de ordem su perior a quatro em quatro dimensões (cf. Prob. 13). Note que a simetria ou anti-simetria refere-se a dois índices contravariantes ou a dois índices covariantes. Assim, não dizemos haver simetria quando Ti j = T ji ; tal relação, em geral, não se transmite de um sistema de coordenadas para outro. f) Lei do quociente Suponhamos que não saibamos se um ente U seja um tensor. Se um produto interno de U





























9


5. Tensores relativos

Equation Section (Next) As grandezas T ji " tensor relativo de peso W ∈ ] , contra" são ditas componentes de um tensor relativo variante nos superíndices e covariante nos subíndices , se elas se transformarem de acordo com a equação i l i" k " ∂ x′ ∂x W ′ " , T j " = J T l " k j ∂ x ∂x′

(5-1)

onde J é o jacobiano dado pelas Eqs. (1-5) e (1-3), admitido positivo. É comum se denotarem os tensores relativos por meio das letras góticas (e.g., T e G são as letras T e G); mas, por causa da dificuldade de manuscrevê-las, usaremos letras de mão (e.g., A, a, B, b, F, f , T, t ). Seguindo a prática adotada antes, referimo-nos aos tensores relativos de ordem 0 e 1 como escalares relativos e vetores relativos , respectivamente. Há certas nomenclaturas adotadas para tensores relativos de certos pesos: (a) quando W = 0 , dizemos que as grandezas formam um tensor absoluto , que é o tensor até então estudado; (b) quando W = −1 , o tensor relativo tam bém é conhecido como capacidade tensorial ; e (c) quando W = 1 , o tensor relativo recebe tam bém o nome de densidade tensorial (se de ordens 0 e 1 dizemos densidade escalar e densidade vetorial , respectivamente). Neste último caso, o nome vem do fato de a grandeza física ρ (densidade) ser dessa categoria, à qual empresta o seu nome. Realmente, considere a expressão da massa total num volume V onde se encontra matéria distribuída com densidade ρ ( x) . Mudando de coordenadas segundo a lei de transformação xi = xi ( x ′) , vemos através da integral que fornece a massa total M , M

=

∫

V

ρ ( x) d

3

i x ∂ ρ [ x ( x′)] x= ∂ x′ j V

∫

3

d x′

=

∫

ρ ′( x′) d 3 x′

,

V

que a densidade de matéria nas novas coordenadas é dada por ρ ′( x ′) = |∂x i / ∂x′ j | ρ ( x ) , ou seja, a grandeza física ρ ( x) é um escalar relativo de peso 1 (uma densidade escalar). As operações de adição, subtração, multiplicação, etc, de tensores relativos são semelhantes às de tensores absolutos. É fácil mostrar que (cf. Prob. 19): – dois tensores relativos relativos de mesma ordem, tipo e peso podem podem ser somados, somados, sendo o resultado resultado um tensor relativo de mesma ordem, tipo e peso – tensores relativos podem ser multiplicados interna ou externamente, sendo o produto um tensor relativo cujo peso é a soma dos pesos dos fatores





























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x k ∂x′ j l ∂ j Wi′ = Wk ⇒ |Wi′ | = |Wkl | i l ∂ x′ ∂x j

( peso 0) .

(5-4)

Consideremos agora, no espaço de três dimensões, o símbolo de Levi-Civita E ijk . Para investigar seu caráter tensorial, notamos que, usando a expressão do determinante em termos desse símbolo, podemos dizer que o jacobiano é dado por

∂ xi ∂x j ∂x k J = E ijk 1 . 2 3 ∂ x′ ∂x′ ∂x′

(5-5)

Portanto, pela Eq. (B-35), temos que

∂ xi ∂x j ∂x k = J E lmn , l m n ∂ x′ ∂x′ ∂x′

E ijk

ou, multiplicando por J −1 e tendo em conta que E lmn = E lm′ n (a definição do símbolo de LeviCivita é a mesma em qualquer sistema de coordenadas) E lmn

−1

= J

E ijk

∂ xi ∂x j ∂x k = E lm′ n , l m n ∂ x′ ∂x′ ∂x′

(5-6)

revelando que E ijk é um tensor relativo covariante de 3 a ordem de peso –1. Por um raciocínio análogo também mostramos que x′l ∂x′ m ∂x′ n ∂ ′ n = J E ijk i E lm , j k ∂ x ∂x ∂x

revelando que

E ijk

(5-7)

também é um tensor relativo contravariante de peso 1, o que justifica a nota-

ção alternativa E ijk para o símbolo de Levi-Civita. Em resumo, o símbolo de Levi-Civita é um tensor relativo de 3a ordem que é denotado por E ijk se for considerado covariante e de peso –1 e por E ijk , se contravariante e de peso 1. 6. O elemento de comprimento de arco e o tensor métrico

Equation Section (Next)





























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uma forma quadrática dos diferenciais das coordenadas coordenadas em sua expressão mais geral, denominada forma fundamental fundamental ou forma métrica métrica (ou simplesmente métrica): ds 2

=

gij dx dxi dx j

,

(6-3)

onde

∂ x′ k ∂x′ k gij ( x) ≡ ∂ xi ∂x j

[ x′ k : coordenadas cartesianas]

(6-4)

é o chamado tensor métrico ou tensor fundamental do espaço, claramente simétrico. É fácil mostrar que gij , de fato, se transforma como um tensor covariante de 2 a ordem, pois, sob a mudança de coordenadas xi para x′′i ( x′i são cartesianas), temos que

∂ x′ k ∂x′ k ∂x′ k ∂x′′ m ∂x′ k ∂x′′ n ∂x′′ m ∂x′′ n ∂x′ k ∂x′ k ∂x′′ m ∂x′′ n ′′ n ( x′′) . (6-5) gij ( x) ≡ gm = = i = i m n j x x x ∂ xi ∂x j ∂x′′m ∂x i ∂x′′ n ∂x j ∂x ∂x j ∂x′′ ∂ ∂ ∂ ′ ′  ′′ ( x′′ ) g mn

Logo, ds2 , sendo o produto dos tensores no 2 o membro da Eq. (6-3), é também um tensor: um invariante, no caso, como é de se esperar, uma vez que a distância entre dois pontos não deve depender das coordenadas utilizadas no seu cálculo. Entretanto, existem "espaços" onde não é possível introduzir um sistema de coordenadas cartesianas. Como exemplo, temos o "espaço" bidimensional formado pelos pontos na superfície de uma esfera de raio R, onde a distância entre dois pontos infinitesimalmente próximos é dado em termos das coordenadas esféricas θ e ϕ (co-latidude e longitude, respectivamen r espectivamente) te) por ds

2

=

2

R dθ

2

+ R2 sen 2 θ dϕ 2 .

Não existem coordenadas (digamos ξ e η ) em termos da qual essa forma quadrática tome a forma ds 2 = d ξ 2 + dη 2 , como a da Eq. (6-2) com N = 2 . Uma maneira de introduzir tais espaços nos nossos estudos consiste em definir espaços dotados do conceito de distância como segue: Temos um espaço métrico ou riemanniano sempre que a distância quadrática infinitesimal puder ser escrita como uma forma quadrática dos diferenciais das coordenadas que seja invariante; i.e. ds 2

=

gij dx dx i dx j

= invariante .

(6-6)































12


No Prob. 23 mostramos que as grandezas gij na Eq. (6-6) podem ser sempre consideradas como os componentes de um tensor covariante de 2 a ordem simétrico [a prova apresentada na Eq. (6-5) baseia-se na Eq. (6-4), que foi deduzida a partir da Eq. (6-2), e só vale, portanto, na hipótese de o espaço admitir as coordenadas cartesianas]. cartesianas]. b) O tensor fundamental fundamental contravariante Sejam g ≡ | gij | o determinante do tensor métrico, denominado determinante métrico e admitido nesta exposição que nunca se anula, e G ij o co-fator de gij nesse determinante; sabemos que gik G jk

=

gki G kj

= δ i j g ,

(6-8)

de acordo com as regras ordinárias para o desenvolvimento de determinantes. Definamos agora as grandezas G ij ij g ≡ . (6-9) g

Pelas relações dadas na Eq. (6-8) vemos que tais grandezas satisfazem as equações gik g jk

= δ i j .

(6-10)

Lembrando que, para qualquer matriz (aij ) , o elemento aij−1 da sua inversa é dado por ai−j 1

=

A ji / a

,

(6-11)

onde A é o co-fator do elemento a no determinante a | a | , e considerando a simetria de































13


onde dizemos que o tensor T teve seu índice m abaixado como i na primeira operação e seu índice n levantado como j na segunda. Dado um tensor, este e os que dele resultam abaixando e levantando índices são denominados tensores associados ; usamos a mesma letra para denotá-los (T nos exemplos acima). Tensores associados são vistos como representações de um mesmo objeto geométrico (de fato, a relação X i = gij X j estabelece um isomorfismo entre os vetores covariantes e contravariantes associados) –– exemplos: (a) gij , g ij e δ i j (= gik g kj ) são diferentes representações da métrica do espaço; (b) o vetor contravariante dx j e o vetor covariante dxi

=

gij dx j

JJJ JJJG

representam o mesmo deslocamento deslocamento infinitesimal PQ desde o ponto P ( x j ) até o

ponto Q ( x j + dx j ) . A liberdade de levantar e abaixar índices exige cuidado com a ordem horizontal na qual os índices contravariantes e covariantes são escritos. Por exemplo, em geral, X i j será diferente de X j i , sendo iguais quando X ij for simétrico: X i j

− X ji =

gik X kj

− gik

X

jk

=

(

gik X kj

−

X jk

)=0

⇔

X kj

=

X jk

.

Por esta razão, daqui por diante evitaremos escrever um subíndice e um superíndice na mesma linha vertical. (Nos espaços vagos é comum escrever pontos – e.g: T ..ij kl ; no caso acima teríamos j

X i . e X j. i –– prática que não adotaremos.)

Ressalva: Nas coordenadas cartesianas x′i , o tensor métrico é dado pela Eq. (6-7) e, portanto, Ai′ = gij′ A′ j = A′ i , mostrando que os componentes cartesianos de um vetor não se distinguem quanto ao tipo contravariante ou covariante; isso,































14


e) Propriedades do determinante métrico Substituindo T ij por gij na Eq. (5-2) obtemos g′

=

2

(6-15)

;

J g

ou seja, como qualquer determinante de um tensor de 2 a ordem covariante, o determinante métrico é um escalar relativo de peso 2 . Tirando a raiz quadrada de ambos os membros da equação acima obtemos (admitindo g > 0) g′

=

J

g

(6-16)

,

ou seja, g é um escalar relativo de peso 1. Ele desempenha um papel importante nas integrações; por exemplo, temos que dV

≡

g dx1 dx2 " dx N

= Invariante .

(6-17)

De fato, usando a Eq. (6-16) obtemos dV ′

=

g ′ dx′1dx′ 2 " dx′ N

g J dx′1 dx′ 2 " dx′ N

=

=

g dx1 dx2 " dxN

=

dV .

Assim, concluímos que, se φ for um invariante, então

∫

V′

φ ′ dV ′

=

∫

φ dV .

(6-18)

V

A Eq. (6-17) é usada para definir o elemento de volume no V N . Essa definição decorre do fato de que aquela equação é obtida naturalmente partindo das coordenadas cartesianas x′i . Re-
































15

Essa é uma expressão invariante que, em coordenadas cartesianas zi (nas quais Z i e ζ i são os componentes cartesianos dos vetores X i e ξ i , respectivamente), toma a forma (∗) X i ξi

= Z i ζ i .

(7-2)

Sendo esse produto escalar dos vetores Z i e ζ i a projeção ortogonal usual de Z i na direção de ζ i , justificada está a definição na Eq. (7-1). No caso de um tensor de 2 a ordem, os seus componentes físicos são calculados nas direções de dois vetores unitários ξ i e η i (que podem coincidir), sendo definidos como segue:

(= T

Tij ξ iη j

ij

ξi η j

= T i j ξi η j , etc. etc. )

(7-3)

A extensão da definição de componentes físicos de tensores para os casos de ordem superior a 3 é óbvia. Ressalva: Geralmente, os vetores unitários ξ i , η i ao longo dos quais os com ponentes físicos são calculados são aqueles tangentes t angentes às curvas coordenadas. Admitiremos que esse é o caso ao nos referirmos aos componentes físicos de um tensor, que serão, então, denotados com uma barra em cima: X ξ ≡ X i ξ i , Tξη ≡ T i j ξi η j , etc. Um exemplo para clarear mais as idéias: na notação ordinária, os componentes G físicos de um vetor X são, G no sistema de coordenadas esféricas, os coeficientes dos G G G G G versores na equação X = X r er + X θ eθ + X ϕ eϕ , pois X r = er ⋅ X = ri Z i , X θ

G G

= eθ ⋅ X =

cartesianos de

θ i Z i e X ϕ

G G G

G G

= eϕ ⋅ X = ϕ i Z i , onde ri , θi , ϕ i e Z i são os componentes G

X

respectivamente. respectivamente.































16


donde calculamos ξ 1 e, abaixando o índice, também ξ 1 , ξ 2 e ξ 3 : ξ1

= 1/

g11

⇒

ξi

=

gij ξ j

=

gi1ξ 1

= gi 1 /

.

g11

(7-4)

Portanto, de acordo com a definição dada na Eq. (7-1), o componente físico do vetor X i ao longo da curva de x1 é dado por X1 = X i ξ i = X 1 ξ 1 = X1 / g11 . Ao longo das curvas de x 2 e x3 temos resultados similares. Logo, os componentes físicos de X i no sistema de coordenadas curvilíneas considerado são X1 / g11 , X 2 / g 22 e X 3 / g33 ; (7-5) estes são calculados em termos dos componentes covariantes X 1 , X 2 e X 3 . Para calcular os componentes físicos em termos dos componentes contravariantes, usamos a expressão na Eq. (7-1) que envolve esses componentes: X1 = X iξ i = X i gi1 / g11 = X 1g11 / g11 = X 1 g11 é o componente físico ao longo da curva de x1 ; este e os outros dois são X 1 g11

,

X 2 g 22

e

X 3 g33

.

(7-6)

Em resumo: X 1

=

X 1 g11

=

X

1

g11

,

X 2

=

X 2 g 22

=

X

2

g 22

,

X 3

=

X 3 g33

=

X

3

g33

. (7-7)

No caso de um tensor de 2 a ordem, os componentes físicos são calculados pelo mesmo

































17


(T ij )

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

T11 g11 T21 g 22 g11 T31 g33 g11

T 13

T 12 g11 g 22

g11 g 33 T 23

T 22 g 22

g 22 g 33

T32

T 33 g 33

g 3 3 g 22

⎞ ⎟ ⎛ T 11 g11 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ T 21 g 22 g11 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ T 31 g33 g11 ⎟ ⎠

T 12 g11 g 22

T 22 g 2 2

T 32 g 33 g 22

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ 23 T g22 g33 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ T 33 g 3 3 ⎠ T 13 g11 g33

(7-8) Os manuais de fórmulas matemáticas geralmente listam os fatores de escala hi , em termos dos quais o elemento de comprimento de arco é dado por ds

2

= h12 ( dx1 )2 + h22 (dx2 )2 + h32 ( dx2 )2 , N

N

N

g11

g 22

g33

donde facilmente concluímos que

(7-9)

































18


∂s ∂ x k

∂ = ∂x k =

e que

g ij

2s

i

gij x x

i j δ k x

(

j gij ∂x i j ∂( gij x i x j ) i ∂x x + x = = k k i j  s 2 ∂x ∂x ∂x k 2 gij x x

1

j

+ x

i

j δ k

) =

g kj x j

(

+ gik x i 2s

2 g kj x j = 2s

=

)

g kj x j s

1 ∂ 1 ∂gij i j ∂s i j   ( gij x x ) = x x ; = k k k   2 2 s s ∂ x ∂x ∂x

esses resultados substituídos na Eq. (8-4) fornecem j d ⎛ g kj x

⎜

dt ⎝

s

⎞ − 1 ∂gij x i x j = 0 . ⎟ ⎠ 2s ∂x k

Até agora usamos um parâmetro completamente genérico ao longo da geodésica, solução da equação acima. Se tomarmos como parâmetro o comprimento de arco medido desde o ponto P 1 então s = 1 e s = 0 , passando a equação acima a ter a forma

































19


cuja solução fornece a parametrização x k ( s ) da geodésica no espaço que é caracterizado pela métrica gij . Note pela Eq. (8-5) que o símbolo de de Christoffel de 1 a espécie é simétrico nos dois primeiros índices (i e j, no caso) e, portanto, pela Eq. (8-6), que também o de 2 a espécie é simétrico, mas nos dois índices inferiores. Da Eq. (8-6) é fácil deduzir que ⎧ k ⎫ (8-8) ⎨ ⎬ g km = [ij , m] . ij ⎩ ⎭ Um meio mnemônico de memorizar as Eqs. (8-6) ( 8-6) e (8-8) é considerar válidas as operações de levantar e abaixar índices para os símbolos de Christoffel. Assim, na Eq. (8-6), o índice l de [ij , l ] é levantado como k para se obter ijk e, na Eq. (8-8), o índice k de ijk é abaixado como m

{}

{}

para se obter [ij, m] . As seguintes relações envolvendo os símbolos de Christoffel e a métrica são úteis nas aplicações e são deduzidas nos exercícios resolvidos (cf. Probs. 37 e 38):

∂gij

































20


′ ∂g jk ∂ = ∂ x′i ∂x′i

(

∂ x m ∂x n g mn ∂x′ j ∂x′ k

)

∂gmn ∂xl ∂x m ∂x n ∂2 x m ∂x n ∂x m ∂2 x n = + g mn + . ∂x l ∂x′ i ∂x′ j ∂x′ k ∂x′ i ∂x′ j ∂x′ k ∂x′ j ∂x′ i ∂x′ k

(

)

j Rk Rj ′ / ∂x′i ⎯i⎯ Desta equação, com duas permutações (∂g jk ⎯ → ∂gik′ / ∂x′ j ⎯⎯ ⎯→ ∂ gij′ / ∂ x′k ) , ob-

temos no sistema xi os dois últimos termos da Eq. (9-1); substituindo nesta os resultados, encontramos 2 m 1 ∂g mn ∂xl ∂x m ∂x n 1 ∂ ∂ ∂ x xn xm ∂2 xn ⎛ [ij , k ]′ = + g ⎜ + 2 ∂ xl ∂x′i ∂x′ j ∂x′k 2 mn ⎝ ∂x′i ∂x′ j ∂x′k ∂x ′ j ∂x ′i ∂x ′k ∂ 2 x m ∂x n ∂x m ∂ 2 x n 1 ∂g mn ∂xl ∂x m ∂x n 1 ⎛ + + gmn ⎜ j i k + i 2  ⎝ ∂x′ ∂x′ ∂x′ ∂ xl ∂x′ j ∂x′i ∂x′k 2 ∂x ′ ∂x ′ j ∂x ′ k

⎞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎟ ⎠

lRm

1 ∂g mn ∂xl ∂x m ∂x n 1 ∂ 2 x m ∂x n ∂ x m ∂ 2 x n ⎞ ⎛ − − g mn ⎜ k i + i k j ⎟ l k i j j 2  2 ⎝ ∂ x ∂x′ ∂x′ ∂x′ ∂x′ ∂x′ ∂x′ ∂ x′ ∂x′ ∂x′ ⎠ l , m , n → n ,l , m

































21


ou, trocando a por n,

⎧ k ⎫′ ∂ x′k ∂x l ∂x m ⎧ n ⎫ ∂x′ k ∂ 2 x m ⎨ ⎬ = n ⎬+ m i j . i j ⎨ i j l m ⎩ ⎭ ∂ x ∂x′ ∂x′ ⎩ ⎭ ∂x ∂x′ ∂x′

(9-3)

Esta é a lei de transformação do símbolo de Christoffel de 2 a espécie. Novamente note que é o segundo termo no 2 o membro que impede que ijk se transforme como um tensor do tipo 21 .

{}

Da (9-3) podemos calcular em termos dos símbolos de Christoffel de 2 a espécie uma ex pressão para ∂ 2 x m / ∂x′i ∂x′ j . Multiplicando tal equação por ∂ x a / ∂x′ k , obtemos

∂ x a ⎧ k ⎫′ ∂x a ∂x′ k ∂xl ∂x m ⎧ n ⎫ ∂x a ∂x′ k ∂2 x m , ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬+ ∂ x′ k ⎩ ij ⎭ ∂x′k∂xn ∂x′ i ∂x′ j ⎩ lm ⎭ ∂x′k∂xm ∂x′ i ∂x′ j δ na

donde

a δ m



































22


i ∂V ′a ∂x′a ∂xi ∂V j j ∂x = j + V n i ∂ x′ n ∂ ∂ ∂ ∂x′ n x x x ′    j → k

⎡ ∂x′ a ⎧ k ⎫ ∂x′l ∂x′m ⎧ a ⎫′ ⎤ ⎬ ⎥ ⎢ k ⎨ ij ⎬ − i j ⎨ ⎣ ∂x ⎩ ⎭ ∂x ∂x ⎩ lm ⎭ ⎦

i a m ∂ x′ a ∂xi ∂V k ∂x i ∂x′l ⎧ a ⎫′ j ∂x ∂x′ ⎧ k ⎫ j ∂x ′ = k +V − V ⎬ n i n k ⎨ ⎬ j n i ⎨ ij lm ∂ x ∂x′ ∂x ∂x′ ∂x ⎩ ⎭  ∂ ∂ ∂ x x x ′ ⎩ ⎭    V ′m

δ nl



































23


∂V j′ ⎧ k ⎫′ ∂ x a ⎧ k ⎫′ ∂V j′ ′ − Va k ⎨ ⎬ = i − V k ⎨ ⎬ = j⎭ ∂ x′i  ∂x′ ⎩ ij ⎭  ∂x ′  ⎩ i    ′ V k

( ∗)

∂ x a ∂x k ∂V a ∂x l ∂x m ⎧ a ⎫ = j i k − i V ⎬ j a ⎨ lm ⎭ ∂ ∂x′ ∂x′  x′ ∂x′ ∂x ⎩  a→m

=

e k→l

∂ x m ∂xl ∂V m

a → k

−

∂xl ∂x m

⎧

V k ⎨

k ⎫

⎬



































24


′ ′ ∂ x′ a ∂xb ∂x r ⎛ ∂T s ∂T j′ a ⎞ m ⎧ a ⎫ a ⎧k ⎫ k ⎧s ⎫ s ⎧m ⎫ b ′ ′ + − = + − T T T T ⎜ ⎟⎟ , ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ j k b m i s j i ⎜ r im ⎭ ij ⎭ r k r b ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ x x x x x ′ ′ ′ ⎩ ⎩ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎝⎠         ( ∗)

( ∗)

onde vemos que os termos marcados por ( ∗), um tensor de 3 a ordem do tipo 12 , é a derivada covariante desejada: ∂T b s s k ⎧s ⎫ s ⎧m ⎫ (10-4) Tb ; r ≡ T T + − ⎨ ⎬ ⎬ . b m ⎨ ∂ r ⎩ k⎭ ⎩ b⎭




































25

sultado seja um tensor) são multiplicações do tensor por símbolos de Christoffel de 2a espécie. Ora, estes símbolos se anulam num sistema de coordenadas cartesianas: nestas, o tensor métrico é constante [cf. Eq. (6-7)] e a Eq. (8-5) mostra que os sím bolos de Christoffel de 1a espécie devem ser nulos e, por conseguinte, também os de 2a espécie [cf. Eq. (8-6)]. Portanto, num sistema de coordenadas cartesianas , todos aqueles termos "corretivos" são nulos e a derivada covariante reduz-se à derivada parcial usual . Ao ler esta seção, o aluno deve ter ficado intrigado sobre o que tem a derivada covariante




































⎡ ∂f ′ ⎢ i − Wf ⎣ ∂ x′

′ ′ ⎧⎨ k ⎫⎬ ⎤⎥ = ⎩ ki ⎭ ⎦

J

W

26

⎧ a ⎫⎤ ∂ xl ⎡ ∂f − f W ⎨ ⎬⎥ , ∂x′i ⎢⎣ ∂xl ⎩ al ⎭ ⎦

onde vemos que os termos entre colchetes é um vetor relativo covariante de peso W (pois se transforma como tal); a expressão desses termos é usada para definir a derivada covariante de f (um escalar relativo de peso W ): f ;l ≡

⎧s⎫ ∂f f − W ⎨ ⎬ . l ∂ ⎩ sl ⎭

(10-10)






































27

Olhando para as fórmulas de derivadas covariantes de tensores relativos deduzidas acima,






































28






































29

A derivada intrínseca é facilmente estendida ao caso de um tensor genérico; por exemplo,






































Obtemos div F

30

divergência em termos dos componentes covariantes do vetor, usando a






































d) Rotacional

31























































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































62


=

V θ ;θ

∂ x ∂x ∂V x ∂x ∂y ∂V x ∂y ∂x ∂V y ∂y ∂y ∂V y + + + θ θ x ∂θ∂θ ∂ x ∂θ∂θ ∂y ∂ ∂ ∂  ∂θ∂θ ∂ y r

2

N

2

2

sen θ 2

N

2

− r sen θ cosθ −1

N

− r senθ cosθ 2 y 3 2 2

r

2

cos2 θ

N

2 x

= r sen θ (2 sen θ + cos θ ) + 2 r cos θ (cos θ − sen 2 θ ) –––––––––––––––––––––––––––––––––––– (59) ––––––––––––––––––––––––––––––––––––– Podemos definir a velocidade e a aceleração respectivamente pelas equações v i ≡ dxi / dt

e ai ≡ δv i / δ t , sendo t o tempo, pois assim são tensores (um vetor contravariante) que, em coordenadas cartesianas, coincidem com a definição usual daquelas grandezas. –––––––––––––––––––––––––––––––––––– (60) ––––––––––––––––––––––––––––––––––––– a

=

i

δ v i

∂v i = j ∂ x =

=v

δ t

i

dx j ; j

dt

⎡ ∂v i ⎧ i ⎫⎤ = ⎢ j + v k ⎨ ⎬⎥ ⎩ jk ⎭⎦ ⎣ ∂ x

∂v i = j ∂x

dx j dt

⎧ i ⎫ dx j k dv i ⎧ i ⎫ dx j +⎨ ⎬ +⎨ ⎬ v = dt dt ⎩ jk ⎭ dt ⎩ jk ⎭ dt ⎧ i ⎫ dx j dx k +⎨ ⎬ ⎩ jk ⎭ dt dt

dx j

d 2 xi

⎧ i ⎫ k dx j + ⎨ ⎬v dt ⎩ jk ⎭ dt d dx i ⎧ i ⎫ dx j dx k = +⎨ ⎬ dt dt ⎩ jk ⎭ dt dt

dx j

dx k dt

dt 2 –––––––––––––––––––––––––––––––––––– (61) –––––––––––––––––––––––––––––––––––––

No sistema de coordenadas coordenadas polares, polares, a velocidade velocidade possui os seguintes: seguintes: a) Componentes contravariantes: v i = dxi / dt ; ou seja: r

v

=

dr dt

= r 

e

θ

v

=

d θ dt

= θ 

b) Componentes físicos [use a Eq. Erro! Fonte de referência não encontrada. e o Prob. 52]: vr

=

 g rr v r = r

N

e

vθ

1

=

gθθ v θ

= r θ 

N

r

–––––––––––––––––––––––––––––––––––– (62) –––––––––––––––––––––––––––––––––––––

a) Componentes contravariantes: a = i

a

r

=

d 2r dt 2

⎧ r ⎫ dr dr +⎨ ⎬ ⎩rr ⎭ dt dt N

0

θ

a

=

d 2θ dt 2

⎧ θ ⎫ dr dr +⎨ ⎬ ⎩rr ⎭ dt dt N

0

2 i

d x 2

dt

⎧ i ⎫ dx j +⎨ ⎬ ⎩ jk ⎭ dt

dx

k

dt

; ou seja:

⎧ r ⎫ dr dθ ⎧ r ⎫ dθ dr +⎨ ⎬ +⎨ ⎬ θ r d t d t ⎩ ⎭ ⎩θ r ⎭ dt dt N

0

N

0

⎧ θ ⎫ dr dθ ⎧ θ ⎫ dθ dr +⎨ ⎬ +⎨ ⎬ θ r d t d t ⎩ ⎭ ⎩θ r ⎭ dt dt N

1/ r

N

1 / r

⎧ r ⎫ d θ dθ  2 +⎨ ⎬ = r − r θ θ θ d t d t ⎩ ⎭ N

− r

⎧ θ ⎫ dθ dθ  2rθ +⎨ ⎬ = θ + θ θ d t d t r ⎩ ⎭ N

0



























63


–––––––––––––––––––––––––––––––––––– (64) –––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Devemos calcular

δ V i δ t

= Vi ; j

⎧⎪ δ Vr / δ t = Vr ; r r + Vr ; θ θ  x , isto é ⎨  ⎩⎪ δ Vθ / δ t = Vθ ; r r + Vθ ; θ θ j

∂ z j ⎞ ⎛ Cálculo dos componentes covariantes ⎜ Vi = i Z j ⎟ ⎝ ⎠ ∂ x ∂ x ∂y sen θ − r cosθ ) sen θ = r sen 2 θ − r senθ cosθ Vr = Vx + Vy = Vx cos θ + Vy sen θ = (r se ∂r ∂r 0 N

N

y − x

Vθ =

∂ x ∂y V x + Vy = − Vx r sen θ + Vy r cos θ = (r se sen θ − r cosθ ) r cosθ = r 2 senθ cosθ − r 2 co s2θ ∂θ ∂θ 0 N

N

y − x

Parametrizaçã Parametrizaçãoo da reta y = x + 1 (a abscissa x será o parâmetro parâmetro t : t = x)

⎧ r = x2 + y 2 = x 2 + ( x + 1) 2 ⎪ ⎨ ⎪θ = arctan y / x = arctan x + 1 x ⎩

⎧ r (t ) = 2t 2 + 2t + 1 ⎪ x = t ⎯⎯⎯ → ⎨ ⎪θ (t ) = arctan t + 1 t ⎩

Dessa parametrização obtemos as seguintes expressões, necessárias mais adiante: −1 2t + 1 dr t + 1 t = = , θ  = 2 , sen θ (t ) = , cos θ (t ) = r dt r (t ) r (t ) r (t ) r (t )

Cálculo das derivadas covariantes Vi ; j =

∂V i ⎧ k ⎫ − V ⎨ ⎬ k ∂ x j ⎩ ij ⎭

Adotando a notação explicada no Prob. 58, temos ∂V r ⎧ r ⎫ ⎧ θ ⎫ Vr ; r = − Vr ⎨ ⎬ − V θ ⎨ ⎬ = sen 2 θ − sen θ cos θ ∂r ⎩ rr ⎭ ⎩ rr ⎭ N

0

Vr ;θ

=

N

0

∂V r ⎧ r ⎫ ⎧ θ ⎫ − Vr ⎨ ⎬ − V θ ⎨ ⎬ ∂θ ⎩ rθ ⎭ ⎩ r θ ⎭ N

0

N

1/ r

= 2r sen θ cos θ − r cos 2 θ + r sen 2 θ − r sen θ cos θ + r cos 2 θ = r sen θ cos θ + r sen 2 θ Vθ ; r

=

∂V θ ⎧ r ⎫ ⎧ θ ⎫ − Vr ⎨ ⎬ − V θ ⎨ ⎬ ∂ ⎩θ r ⎭ ⎩θ r ⎭



























64


Vθ ;θ

=

∂V θ ⎧ r ⎫ ⎧ θ ⎫ − Vr ⎨ ⎬ − V θ ⎨ ⎬ ∂θ ⎩θθ ⎭ ⎩θθ ⎭ N

N

− r

0

= r 2 cos 2 θ − r 2 sen 2 θ + 2r 2 sen θ cos θ +

r 2 sen 2 θ

− r 2 sen θ cos θ

= r 2 cos 2 θ + r 2 sen θ cos θ Cálculo das derivadas intrínsecas δ V r δ t

= Vr ; r r + V r ;θ θ  = ⎡⎣ sen 2 θ (t ) − sen θ (t ) cos θ (t ) ⎤⎦ =

δ V θ δ t

2t + 1 −1 + ⎡⎣ r (t ) sen θ (t ) cos θ (t ) + r (t ) sen 2 θ (t ) ⎤⎦ 2 r (t ) r (t )

⎫ sen θ (t ) ⎧ senθ(t) − 2(t + 1) cosθ (t) ⎬ = 0 ⎨ 2t se r (t ) ⎩ t / r (t ) ⎭ (t + 1) / r (t )

= Vθ ; r r + V θ ;θ θ  2t + 1 −1 2 ] 2 2 2 = [ r sen θ co + [ ] r cos θ + r sen θ co cos θ − r cos θ r t cos θ 2 () r (t ) = [ 2t sen θ − 2(t + 1) cos θ ] cos θ = 0 0

Observe que, sobre a reta dada, (V x ,V y ) = (0,1) , um campo eqüipolente; por isso que a derivada intrínseca é nula ao longo daquela reta. –––––––––––––––––––––––––––––––––––– (65) –––––––––––––––––––––––––––––––––––––

a) Em coordenadas polares Componentes covariantes:

∂φ ∂φ e ∂r ∂θ

Componentes físicos: ( grad φ )r =

1 ∂φ hr ∂r

=

b) Em coordenadas coordenadas esféricas Componentes covariantes: Componentes físicos:

∂φ ∂φ ∂φ , e ∂ϕ ∂r ∂θ

1 ∂φ 1 ∂φ ∂φ e ( grad φ )θ = = hθ ∂θ r ∂θ ∂r



























65


–––––––––––––––––––––––––––––––––––– (66) ––––––––––––––––––––––––––––––––––––– F r

= Fr / hr = Fr ,

F θ

=

Fθ / hθ

=

F ϕ

Fθ / r ,

=

=

Fϕ / hϕ

Fθ / (r se n θ ) ,

g

= r 2 sen θ

∂ g F i ) i ( g ∂x 1 ⎡∂ ∂ F θ 2 ∂ ⎛ F ϕ 2 ⎞⎤ = 2 Fr r 2 sen θ ) + ( r sen θ + ⎜ r sen θ ⎟ ⎥ ⎢ ∂θ r ∂ϕ ⎝ r sen θ ⎠⎦ r sen θ ⎣ ∂r ∂ 1 ∂ 2 1 1 ∂F ϕ = 2 ( r F r ) + ( F θ sen θ ) + r sen θ ∂θ r sen θ ∂ϕ r ∂r 1

div F i =

(

)

–––––––––––––––––––––––––––––––––––– (67) –––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Neste problema adotamos a notação notação explicada no Prob. 58.

∇ 2φ (r ,θ ) =

θθ

g φ ; rr + g φ ;θθ = g rr

rr

∂ φ ∂r

( )

+ g θθ ; r

∂φ ∂θ

( )

;θ

Usando o Prob. 52, temos que

=1 ⇒

g rr

=1

= r2 ⇒

gθθ

= 1/ r 2

g rr gθθ

Abaixo usamos os símbolos de Christoffel em coordenadas polares já calculados no Prob. 56:

∂φ ∂r

( )

∂ ∂φ ∂φ ⎧ r ⎫ ∂φ ⎧ θ ⎫ ∂ 2φ = − ⎨ ⎬− ⎨ ⎬= ∂r ∂r ∂r ⎩ rr ⎭ ∂θ ⎩ rr ⎭ ∂r 2 ; r

( )

N

N

0

∂φ ∂θ

( )

;θ

0

∂ ∂φ ∂φ ⎧ r ⎫ ∂φ ⎧ θ ⎫ ∂ 2φ ∂φ = − ⎨ ⎬ − ⎨ ⎬ = 2 + r ∂θ ∂θ ∂r ⎩θθ ⎭ ∂θ ⎩θθ ⎭ ∂θ ∂r

( )

N

N

− r

0

∂ 2φ 1 ∂ 2φ ∂ 2φ 1 ∂φ 1 ∂ 2φ φ ∂ ∇ φ (r ,θ ) = 1 ⋅ 2 + 2 = 2 + + + r r ∂r r 2 ∂θ 2 r ∂θ 2 ∂r ∂r ∂r

(

2

)

■

–––––––––––––––––––––––––––––––––––– (68) –––––––––––––––––––––––––––––––––––––

⎧ ϕ ⎫ ⎧3⎫ 1 ∂g33 1 ∂gϕϕ , i.e., ⎨ ⎬ = . ⎨ ⎬= ⎩ 32 ⎭ 2 g33 ∂x 2 ⎩ ϕθ ⎭ 2 gϕϕ ∂θ o

Cálculo do 1 membro



























66


Tendo em conta que x

= r sen θ cos ϕ ,

y

= r sen θ sen ϕ ,

z

= r cosθ

temos que

∂ 2 x = − r cos θ sen ϕ , ∂ϕ ∂θ

∂ 2 y = r cos θ cos ϕ ∂ϕ ∂θ

⎧ ∂ϕ − y / x 2 = = ⎪ 2 ∂ x 1 + ( y / x ) ⎪ ⎪ 1/ x ⇒ ⎨ ∂ϕ = = 2 ∂ y 1 + ( / ) y x ⎪ ⎪ ∂ϕ ⎪ =0 ⎩ ∂ z

−y −r sen θ sen ϕ − sen ϕ = = 2 2 2 2 r sen θ x + y r sen θ x r sen θ cos ϕ cos ϕ = = r sen θ x2 + y 2 r 2 sen 2 θ

e que

ϕ = arctan

y x

Logo,

⎧ ϕ ⎫ cos ϕ − sen ϕ + ( r cos θ cos ϕ ) = cot θ sen 2ϕ + cot θ cos 2ϕ = cot θ ⎨ ⎬ = (− r cos θ sen ϕ ) r sen θ r sen θ ⎩ ϕθ ⎭

)

(

• Cálculo do 2o membro: gϕϕ

2

2

= hϕ = r sen

2

θ

1 ∂gϕϕ 1 ⇒ = 2 2 2r 2 sen θ co sθ = cot θ 2 gϕϕ ∂θ 2r sen θ

■

■

–––––––––––––––––––––––––––––––––––– (69) –––––––––––––––––––––––––––––––––––––

∇ 2φ =

=

=

1 g

1 g

∂φ ⎞ ⎟ ∂ x j ⎠

∂ ⎛ ⎜ ∂ x i ⎝

gg

∂ ⎛ ⎜ ∂ x1 ⎝

∂φ g g11 1 ⎞⎟ + ∂ x ⎠

ij

1 g

∂ ⎛ ⎜ ∂x 2 ⎝

g g 22

∂φ ⎞ 1 ∂ ⎛ ⎟+ ⎜ ∂x 2 ⎠ g ∂x 3 ⎝

g g 33

∂φ ⎞ ⎟ ∂x3 ⎠

1 1 ∂ 2 ∂ ⎛ r 2 sen θ 1 ∂φ ⎞ ∂φ + θ r ⋅ ⋅ sen 1 ⎟ 2 ∂r r 2 sen θ ∂θ ⎜⎝ r sen θ ∂r r 2 ∂θ ⎠ 1 ∂φ ⎞ 1 ∂ ⎛ 2 r sen θ 2 + ⎜ ⎟ r sen 2 θ ∂ϕ ⎠ r 2 sen θ ∂ϕ ⎝

(

)





























67


–––––––––––––––––––––––––––––––––––– (70) ––––––––––––––––––––––––––––––––––––– g

g 22

∇2ψ =

=

= hu hv hϕ = (u 2 + v 2 ) u v

=

gvv

1 ⎧ ∂ ⎡ g

⎨ 1⎢ ⎩ ∂ x ⎣

=

1 gvv

g g

11

=

1 hv 2

=

1 u 2 + v 2

∂ψ ⎤ ∂ ⎡ + ∂x1 ⎥⎦ ∂x 2 ⎢⎣

g g

=

g uu

=

33

=

g ϕϕ

=

g

22

∂ψ ∂x 2

1

g11

⎤+ ∂ ⎡ ⎥⎦ ∂x3 ⎢⎣

g g

guu

1 gϕϕ

33

=

=

1 hu2

1 2

hϕ

=

=

1 u 2 + v 2 1 2 2 u v

∂ψ ⎤ ⎫ ⎬ ∂x3 ⎥⎦ ⎭

⎧⎪ ∂ ⎡ 2 2 1 ∂ψ ⎤ ∂ ⎡ 2 2 1 ∂ψ ⎤ u + v ) u v (u + v ) u v 2 ( + ⎨ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ (u + v 2 ) ∂u ⎦ ∂v ⎣ (u 2 + v 2 ) ∂v ⎦ (u 2 + v 2 ) uv ⎩⎪ ∂u ⎣ ∂ ⎡ (u 2 + v 2 ) u v 1 ∂ψ ⎤ ⎫⎪ ⎥ ⎬ 2 2 u v ∂ϕ ⎦ ⎪ ∂ϕ ⎢⎣ ⎭ 1

⎧1 ∂ = 2 2 ⎪⎨ (u + v ) ⎪⎩ u ∂u 1

(

∂ψ + 1 ∂ u v ∂v ∂u

)

(

∂ψ + v ∂v

)

u 2 + v 2 u 2 v 2

∂ 2ψ ⎪⎫ ⎬ ∂ϕ 2 ⎪⎭

■





























68


Apêndice A – Coordenadas curvilíneas

Equation Section 1 a) Preliminares i) Revisão de alguns conceitos em coordenadas cartesianas

G

G

Considere um campo escalar f ( x , y , z ) e um campo vetorial F ( x, y, z) = e x Fx ( x, y, z) + G G e y Fy ( x, y , z ) + ez Fz ( x, y, z ) . Vale recordar as seguintes definições: G ∂

∇ ≡ e x

∂ x

G ∂

+ ey

G ∂ f

∇ f ≡ e x

∂ x

G ∂

∂y

+ ez

G ∂f

+ ey

∂y

∂z

:

operador nabla ou del

G ∂f

+ ez

∂z

:

gradiente de f

G G ∂ G ∂ G ∂ G G G ∂F ∂F ∂F ∇ ⋅ F ≡ ⎛⎜ e x + ey + ez ⎞⎟ ⋅ ( ex Fx + e y Fy + e z Fz ) = x + y + z : ∂y ∂z ⎠ ∂x ∂y ∂z ⎝ ∂ x

∇

2

f

∂ 2 f ∂ 2 f ∂ 2 f = ∇ ⋅ ∇f ≡ 2 + 2 + 2 : ∂ x ∂y ∂z df

G

dF

≡

laplaciano de f

∂ f ∂f ∂f dx + dy + dz : ∂ x ∂y ∂z G

G

(a divergência do gradiente de f )

diferencial de f

G

∂F ∂F ∂F ≡ dx + dy + dz : ∂ x ∂y ∂z

G

divergência de F

G

diferencial diferencial de F

A expressão de df também pode ser escrita como segue: df

JJ JJG G ∂ f G ∂f G ∂f ⎞ G G G ⎛ = ⎜ e x + e y + ez ⎟ ⋅ ( ex dx + e y dy + e z dz ) = ∇f ⋅ dr . ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂ x JJ JJG G

(A-1) G

Observe que o deslocamento infinitesimal dr ≡ e x dx + ey dy +





























69


As coordenadas polares ρ e ϕ de um ponto P do plano xy. A lei de transformação de coordenadas entre elas e as cartesianas é a seguinte:

P

y

ρ

⎧ x = ρ cos ϕ ⎨ ⎩ y = ρ sen ϕ

x

As coordenadas cilíndricas ρ , ϕ e z de um ponto P do espaço. Elas são formadas pela coordenada cartesiana z de P e pelas coordenadas polares ρ e ϕ da projeção desse ponto no plano xy. A lei de transformação é

z

P z

ϕ

y

ρ

x

z

θ

r

x

⎧ x = ρ cos ϕ ⎪ = ρ sen ϕ ⎨ y ⎪ z = z ⎩

( ρ ≥ 0 , 0 ≤ ϕ < 2π , z ∈ \ )

As coordenadas esféricas r , θ e ϕ de um ponto P do espaço. A lei de transformação é

P y

ϕ

( ρ ≥ 0 , 0 ≤ ϕ < 2π )

⎧ x = r sen θ cos ϕ ⎪ = ⎨ y r sen θ sen ϕ ⎪ z = r cos θ ⎩

( r ≥ 0 , 0 ≤ θ < π , 0 ≤ ϕ < 2π )

A nomenclatura mais usada para as diversas coordenadas de um ponto P do espaço é a seguinte: x é a abscissa , y é a ordenada e z é a cota de P . Já ρ e r são as coordenadas radiais , respectivamente. Quanto às coordenadas angulares, ϕ é a longitude (ou cilíndrica e esférica , respectivamente. azimute) de P e θ é a co-latitude (pois é o complemento da latitude , que é a posição angular de P em relação ao plano xy). iii) O laplaciano em coordenadas polares, cilíndricas e esféricas.





























70


∂ 2 f 1 ∂f 1 ∂2 f ∂2 f ∇ f ( ρ , ϕ , z ) = 2 + + + ∂ ρ ρ ∂ρ ρ 2 ∂ϕ 2 ∂ z 2

2

(cilíndricas)

∂ 2 f 1 ∂f 1 ⎡ 1 ∂ ⎛ ∂f ⎞ 1 ∂ 2 f ⎤ ∇ f (r ,θ , ϕ ) = 2 + + 2⎢ ⎜ sen θ ⎟ + 2 ⎣ θ θ r r ∂ ∂ ⎝ ∂θ ⎠ sen θ ∂ϕ 2 ⎥⎦ sen r ∂r 2

(esféricas)

(A-4)

(A-5)

Uma das maneiras de realizar as deduções consiste em transformar a expressão do laplaciano como é definido nas coordenadas cartesianas para as coordenadas desejadas, pela aplicação reiterada da regra da cadeia. Façamos isso para o caso mais simples. Vamos deduzir o laplaciano em coordenadas polares [i.e., a Eq. (A-3)], a partir da definição ∇ 2 f ( x, y ) = f xx + f yy (essa notação de diferenciação parcial é utilizada abaixo). Utilizando a notação f ( x, y ) = f ( ρ , ϕ ) e o esquema de composição de funções seguinte, temos, pela regra r egra da cadeia: x

ρ

( y ) ( ϕ ) 6 f 6

⇒

fx

=

f ρ ρ x

+

.

f ϕ ϕ x

Derivando essa expressão novamente em relação a x (agora aplicando a regra da cadeia para derivar f ρ e f ϕ do mesmo modo como se fez para f acima), obtemos f xx

=(

f ρρ ρ x

+

)

+

f ρ ρ xx

+(

fϕρ ρ x

+

fϕϕ ϕ x ϕ x

fϕϕ

+ 2 ρx ϕx

f ρϕ

+ ρ xx

fρ

+ ϕ xx

f ρ ρ yy

+(

fϕρ ρ y

+

fϕϕ ϕ y ϕ y

+ 2ρyϕy

f ρϕ

+ ρ yy

fρ

+ ϕ yy

f ρϕ ϕ x ρ x

= ρ x2 f ρρ + ϕ x2

)

f ϕ

+

f ϕ ϕ xx

.

Neste resultado, trocando x por y y, obtemos f yy

=(

f ρρ ρ y

+

)

f ρϕ ϕ y ρ y

= ρ y2 f ρρ + ϕ y2

fϕϕ

+

)

f ϕ

+

f ϕ ϕ yy

.

Logo,

∇2 f =

f xx

+

f yy

=

( ρ x2 + ρ y2 ) f ρρ + (ϕ x2 + ϕ y2 ) fϕϕ + 2 ( ρ x ϕ x + ρ y ϕ y ) f ρϕ + ( ρ xx + ρ yy ) f ρ + (ϕ xx + ϕ yy ) f ϕ . (A-6)





























71


ϕ x

∂ − y / x 2 = [ arctan ( y / x) + δ ] = = ∂ x 1 + ( y / x )2 ϕ xx

=

−y −y , = 2 2 x +y ρ 2

∂ ( − y ρ −2 ) = 2 y ρ −3ρ x = 2 y3 x = 2 xy4 . ∂ x ρ ρ ρ

Nas duas primeiras expressões acima, podemos simplesmente substituir x e y um pelo outro, já que a expressão de ρ é simétrica com respeito a essa troca, para obter

= y / ρ ,

ρ y

ρ yy

= x 2 / ρ 3 .

Já ϕ não exibe tal simetria; suas derivadas em relação a y devem ser calculadas normalmente: ϕ y

=

1 / x ∂ = [ arctan ( y / x ) + δ ] = ∂ y 1 + ( y / x)2

ϕ yy

=

x x

2

+

y

2

=

x 2

ρ

,

∂ . ( x ρ −2 ) = −2 x ρ −3ρ y = −2 x3 y = −2 xy ∂ y ρ ρ ρ 4

Assim, ρ x2

+ ρ 2y = ϕ x2

x2 / ρ 2

+ ϕ y2 = ρ x ϕ x

ρ xx

+ ρ yy =

+

y2 / ρ 2

y2 / ρ 4

= ( x 2 + y 2 ) / ρ 2 = ρ 2 / ρ 2 = 1 ,

+ x 2 / ρ 4 = ρ 2 / ρ 4 = 1 / ρ 2 ,

+ ρ y ϕ y = − xy / ρ 3 + xy / ρ 3 = 0 y2 / ρ 3 ϕ xx

+ x2 / ρ 3 = ρ 2 / ρ 3 = 1 / ρ , + ϕ yy = 0 .

A substituição desses resultados na Eq. (A-6) fornece a Eq. (A-3) desejada. A utilização do método acima (regra da cadeia) para obter o laplaciano em coordenadas esféricas envolve muitas contas (tente!). Para isso, adotamos um outro método, que, além de fornecer o resultado mais rapidamente, é válido para toda uma classe de sistemas de coordena-































72


t

= t ( x, y , z ) ,

u

= u ( x, y , z ) ,

v

= v ( x, y, z ) ,

o que implica num jacobiano J = ∂ ( x, y, z ) / ∂ (t , u,v ) que não se anula. (Na prática, o jacobiano pode se anular em certos pontos, onde, então, considerações especiais devem ser levantadas.) Assim, a cada ponto P ( x , y, z) do espaço podemos associar um único terno ( t ,u,v ) formado pelas chamadas coordenadas curvilíneas . O sistema composto pelas três equações acima define uma transformação de coordenadas . Exemplo – Coordenadas esféricas –– t = r , u = θ , v = ϕ :

= x(r ,θ , ϕ ) = r sen θ cos ϕ y = y (r ,θ , ϕ ) = r sen θ sen ϕ z = z (r ,θ , ϕ ) = r cos θ r > 0 , θ ∈ (0, π ) , ϕ ∈ [0, 2π ) ∂( x , y, z ) 2 = r sen θ ∂(r ,θ ,ϕ )

x

x2

+ y2 + z2

r

= r ( x , y, z ) =

θ

= θ ( x, y, z ) = arccos

(z/

x2

+ y2 + z2

)

= ϕ ( x, y, z ) = arctan ( y / x) + δ onde ( x, y, z ) ∈ ( \ 3 − eixo z) e δ como já definido

ϕ

O vetor posição de um ponto do espaço pode ser escrito como uma função vetorial das G G coordenadas coordenadas cartesianas, r ( x , y, z) , ou curvilíneas, r (t , u,v ) . Considere um ponto P 0 do espaço, de coordenadas cartesianas ( x0 , y0 , z0 ) e curvilíneas (t0 , u0 ,v 0 ) . Mantendo u = u0 = const. , v = v 0 = const. e G ∂r (t , u , v ) variando t , obtemos uma curva passando por P 0 , que é a ∂t 0 0 0 G t cresce P 0 imagem da função vetorial r (t , u0 ,v 0 ) e que se define co G r (t 0 , u 0 ,v 0 ) mo sendo a curva de t (mostrada na figura à direita). Re-
































73

que uma curva coordenada é a interseção de duas superfícies coordenadas; e.g., a curva de t , na qual só t varia, é a interseção i nterseção das superfícies coordenadas coordenadas u = u0 e v = v 0 . Exemplos: i) No sistema cartesiano:

– as curvas da coordenada x são retas paralelas ao eixo x. – as superfícies coordenadas coordenadas são são planos paralelos aos planos xy, xz ou yz. ii) No sistema de coordenadas esféricas:

– as curvas da coordenada r são semi-retas partindo da origem (raios). – as curvas da coordenada θ são semicircunferências centradas na origem que começam e terminam no eixo z. – uma curva da coordenada ϕ é uma circunferência centrada num ponto do eixo z e paralela ao plano xy. – as superfícies coordenadas são superfícies esféricas de centro na origem (r = r 0 ) , su perfícies cônicas (de uma só folha) com o vértice na origem (θ = θ 0 ) e co-axiais com o eixo z bem como semiplanos semiplanos com a borda no eixo z (ϕ = ϕ 0 ) . G G

G

Sejam et , eu e ev vetores unitários e tangentes respectivamente às curvas de t , u e v , apontando na direção de crescimento dessas coordenadas; denominamo-los versores . A figura à esquerda abaixo mostra, interceptando-se num ponto P , as curvas de t e de u bem como os res pectivos versores versores nesse ponto. ponto.































74


onde

G r

=

G

x e x

e, portanto,

+

G

y ey

G

G

G

G

+ z ez = x(t , u,v ) ex + y (t , u ,v ) ey + z(t, u,v ) ez

G

∂ r ∂x G ∂y G ∂z G = e + e + e , etc , ∂t ∂t x ∂t y ∂t z e com

G

∂ r = ht ≡ ∂t

2 2 ⎛ ∂x ⎞ + ⎛ ∂y ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ∂t ⎠ ⎝ ∂t ⎠

∂z ⎞ 2 ⎛ + ⎜ ⎟ , etc . ⎝ ∂t ⎠

Os parâmetros ht , hu e hv são chamados fatores de escala . Para interpretá-los geometricamente, calculemos um elemento de comprimento de arco na curva coordenada de t : ds

=

G

JJ JJG

dr u e v fixos

G

∂r ∂ r = dt = ∂t ∂t

dt

= ht dt

(se dt > 0 ) .

Logo, genericamente, temos que, multiplicando o fator de escala de uma coordenada pelo diferencial dela obtemos o elemento de comprimento de arco da sua curva coordenada. Os versores definem um sistema de eixos local em cada ponto do espaço. Eles,

obviamente, são ortogonais se o sistema de coordenadas curvilíneas for ortogonal. Nesse caso, por conve G G G niência, as coordenadas são ordenadas no terno ( t ,u,v ) de modo que et - eu - ev , nessa ordem, forme um trio "destro" (i.e., para o qual vale a regra da mão direita). Obviamente, trios "sinistros" (consoante a regra da mão esquerda) também podem ser empregados. Apenas no caso de G um sistema ortogonal, os versores são normais às superfícies coordenadas ( et é normal à super G fície t = const., eu o é à u = const., etc). Note que, em geral, os ângulos entre os eixos podem variar de um ponto a outro e, mesmo que esses ângulos permaneçam os mesmos (e.g., todos retos, no caso de um sistema ortogonal),































75


G r

G

G

G

= e x r sen θ cos ϕ + ey r sen θ sen ϕ + ez r co s θ

G

G

G

hr hθ er ⋅ eθ

G

= ( ∂ r / ∂ r ) ⋅ ( ∂ r / ∂ θ ) = G G G G G G = (e x sen θ cos ϕ + ey sen θ sen ϕ + ez cos θ ) ⋅ ( ex r cos θ cos ϕ + e y r cos θ sen ϕ − e z r sen θ ) = (sen θ cos ϕ ) ( r cos θ cos ϕ ) + (sen θ sen ϕ) ( r cos θ sen ϕ) + (cos θ ) ( − r sen θ ) θ cos θ cos 2 ϕ = rsen + r sen θ cos θ sen 2 ϕ − r sen θ cos θ = 0 r sen θ cosθ

G

O deslocamento infinitesimal, sendo a diferencial de r (t , u,v ) [cf. Eq. (A-2)], é dado por JJ JJG dr

G

= dr

G

∂r = ∂t

G

G

G G ∂r ∂ r dt + du + dv = ht dt et + hu du eu + hv ∂u ∂v

G

dv ev

(A-10)

e, portanto, o elemento de comprimento arco é ds

=

JJ JJG dr

=

G

ht et dt

G

G

+ hu eu du + hv ev dv =

ht2 dt 2

+ hu2 du 2 + hv 2 dv 2 .

(A-11)

O elemento de volume pode ser calculado multiplicando-se os três elementos de comprimento de arco, mutuamente perpendiculares, correspondentes correspondentes às três curvas coordenadas: dV

= (ht dt ) (hu du ) (hv

dv ) = ht hu hv dt du du dv

donde, tendo em conta que dV = | J | dt dt du dv , tiramos que

,

(A-12)































76


G

G G ∂r = − e x r sen θ sen ϕ + e y r sen θ cos ϕ ⇒ ∂ϕ G

er

G

eθ

G

=

1 ∂ r

hr ∂ r

G

G

G

G

G

G

= ex sen θ cos ϕ + ey sen θ sen ϕ + ez cosθ

G

=

1 ∂ r hθ ∂θ

G

∂ r = r sen θ hϕ = ∂ϕ

= e x cos θ cos ϕ + e y cos θ sen ϕ − ez senθ

G

G G 1 ∂ r = − e x sen ϕ + e y cos ϕ eϕ = hϕ ∂ϕ

G

ds

hr 2 dr 2

=

+ hθ2 dθ 2 + hϕ 2 d ϕ 2 =

dV

dS dS

= hr hθ

hϕ dr dθ dϕ

dr 2

+ r 2 dθ 2 + r 2 sen 2 θ d ϕ 2

2 = r sen θ

dr dθ dϕ

| J |

= hθ hϕ dθ dϕ = r02 sen θ dθ dϕ é o elemento de área da superfície esférica

r

= r 0 = const.

= hr hϕ dr d ϕ = r sen θ0 dr d ϕ é o elemento de área da superfície cônica θ = θ 0 = const. dS

= hr hθ dr dθ = r dr dr dθ é o elemento de área da superfície plana ϕ = ϕ 0 = const.

Vale a pena listar os fatores de escala dos principais sistemas de coordenadas:

•

h ρ

= 1,

hϕ

= ρ

•

h

=1

h

=1

(coordenadas polares) h

=1

(coordenadas cartesianas)

































77


ou seja, o gradiente de f é dado por

∇ f =

1 ∂ f G 1 ∂f G 1 ∂f G et + eu + ev . ht ∂t hu ∂u hv ∂v

(A-15)

Nota: Uma outra maneira maneira de se obter tal expressão expressão do gradiente em coordenadas coordenadas curvilíneas é a seguinte: seguinte: (∇ f )t

G

∂r 1 ∂f G ∂f G ∂f G ⎛ ∂x G ∂y G ∂z G ⎞ = et ⋅ ∇f = ∇f ⋅ = ex + e + e ⋅⎜ e + e + e ⎟ ∂t ∂y y ∂z z ⎝ ∂t x ∂t y ∂t z ⎠ ht ht ∂x 1 ⎛ ∂ f ∂ x ∂f ∂y ∂f ∂z ⎞ 1 ∂f = + + , ⎜ ⎟ = ∂y ∂t ∂z ∂t ⎠ ht ⎝ ∂x ∂t ht ∂t 1

G

(

)

(A-16)

onde empregamos empregamos a regra da cadeia. De modo análogo obtêm-se obtêm-se (∇ f )u = (∂f / ∂u) / hu e (∇ f )v = (∂f /∂v ) / hv .

Concluímos que o operador nabla tem a seguinte expressão: G e

∂

G

e

∂

G

e

∂

































78


=

1

{

}

[ Fu ht hv ] (t , u + du , v ) − [ Fu ht hv ] (t ,u ,v ) dt dv ht hu hv d t d u dv       ∂ ( F h h ) du ∂u u t v

=

∂ ( Fu ht hv ) . ht hu hv ∂u 1

Expressões análogas a esta são obtidas para os outros dois pares de faces opostas: 1

G JJG

{ F ⋅ dS }faces ortodV gonais a G

=

et

1

G JJG

{ F ⋅ dS }faces ortodV gonais a G

ev

=

1 ht hu hv

1 ht hu hv

Adicionando-as, encontramos o resultado desejado:

∂ (F h h ) , ∂t t u v ∂ (F ∂v v

ht hu )

.

































79


JJJJJG

G JJG

JJJJJG JJJJJG

mado como o valor de F ⋅ dr na extremidade do lado: P 0 no lado P 0 P 1 e P 2 no lado P 3 P 2 JJJJJG JJJJJG

JJJJJG

bem como P 0 no lado P 2 P 0 e P 1 no lado P 1 P 3 (lados orientados positivamente em relação à G

normal ev ). Assim, a circulação na borda de dS é

{

JJG G JJ

} de

F ⋅ dr borda dS

=

{

G JJG

F ⋅ dr

}P P

JJJJJJ JJJJJJG 0

1

G

+

{

G JJG

F ⋅ dr

}P P

JJJJJJG JJJJJJG 3

2

G

+

{

G JJG

F ⋅ dr

}P P 1

G

+

JJJJJJG

G G G = ⎡⎣ F ⋅ et ht dt ⎤⎦ + ⎡⎣ F ⋅ (−et ) ht dt ⎤⎦ + ⎡⎣ F ⋅ eu hu P0 P2

3

{

G JJG

}

JJJJJJG F ⋅ dr JJJJJJG P 2P 0

G

⎡ F ⋅ (− eG u ) hu + ⎦ P1 ⎣

du ⎤

du ⎤

⎦ P0

= ⎡ ( Ft ht ) (t ,u ,v ) − ( Ft ht ) (t ,u + du ,v ) ⎤ dt + ⎡ ( Fu hu ) (t + dt ,u ,v ) − ( Fu hu ) (t ,u ,v ) ⎤ du ⎣ ⎣  ⎦  ⎦ −

∂ ( F h ) du ∂u t t

∂ ∂ = ⎡⎢ ( Fu hu ) − ( Ft ht ) ⎤⎥ dt du . ∂u ⎣ ∂t ⎦

∂ ( F h ) dt ∂t u u

































80


G

G

G

Considere o campo escalar f ( r ,θ ,ϕ ) e o campo vetorial F (r ,θ ,ϕ ) = Fr er + Fθ eθ + G Fϕ eϕ . Tendo em conta que hr = 1 , hθ = r e hϕ = r sen θ , temos que:

∇ f

1 ∂ f G 1 ∂f G 1 ∂f G er + eθ + eϕ hr ∂ r hθ ∂θ hϕ ∂ϕ

=

G

∂f G 1 ∂f G 1 ∂ f G er + eθ + eϕ ∂r r ∂θ r sen θ ∂ϕ

⎡∂ ⎤ ∂ ∂ ( ) + ( ) + ( ) F h h F h h F h h r θ ϕ ⎢ ∂θ θ r ϕ ∂ϕ ϕ r θ ⎥⎦ hr hθ hϕ ⎣ ∂ r ⎤ 1 ⎡ ∂ 2 ∂ ∂ θ θ = 2 + + r F r F r F ( se s e n ) ( s e n ) ( ) r θ ⎢ ∂θ ∂ϕ ϕ ⎥⎦ r sen θ ⎣ ∂ r ∂ 1 ∂ 1 1 ∂F ϕ = 2 (r 2 Fr ) + (sen θ F θ ) + r sen θ ∂θ r sen θ ∂ϕ r ∂ r

∇⋅F =

∇2 f =

=

1 hr hθ hϕ

1

⎡ ∂ 1 ∂ f ⎢ ⎢⎣ ∂ r hr ∂r

(

hθ hϕ

)

+

∂ 1 ∂f ∂θ hθ ∂θ

(

hr hϕ

)

+

∂ ⎛ 1 ∂ f h h ∂ϕ ⎜⎝ hϕ ∂ϕ r θ

⎞⎤ ⎟⎥ ⎠ ⎥⎦

































81


É instrutivo substituir G nesta equação as expressões dos versores esféricos em termos dos G G versores cartesianos (∗) ∇ × F = e z = ∇ × ( x e y ) , assim se obtendo o rotacional em coordenadas G

G

cartesianas, nas quais, podemos então notar que o campo vetorial considerado é F = x e y (de G G G G fato, substitua nesta equação x = r sen θ cos ϕ e e y = er sen θ sen ϕ + eθ cos θ sen ϕ + eϕ cos ϕ e obtenha a expressão original do campo em coordenadas esféricas). Exercício do uso de coordenadas curvilíneas

Exercício 1: Considere as coordenadas cilíndricas parabólicas (u ,v , z ) , definidas pela seguinte lei de transformação t ransformação entre as coordenadas cartesianas e elas: x

= (u 2 −v 2 ) / 2 ,

y

= uv

,

z = z

[ u , v , z ∈ \ ] .

a) Determine os fatores de escala e os versores.

∂ x

∂x

∂x

⎫

G

⎧ ∂r

∂x

∂y

∂z



































82


G

G

c) Expresse o campo vetorial A = z e x

G

G

A = z e x

Au

G

=

G G

A ⋅ eu

A(u ,v , z )

=

=

z u

G

Au eu

+ Av

ev

G

G

nesse sistema.

G

+ (u 2 − v 2 ) ey − 3 uv ez

+ (u 2 −v 2 )v , 2 2 u +v G

G

+ 2 x ey − 3 y ez

G

Av

+ Az ez =

=

z u

G G

A ⋅ ev

(∗)

− zv + (u 2 −v 2 ) u = , 2 2 u +v

A z

=

G G

A ⋅ ez

= −3 uv

G + (u 2 −v 2 )v G − z v + (u 2 −v 2 ) u G eu + ev − 3 u v ez 2 2 + 2 + 2

■



































83


f) Determine Determine o quadrado quadrado do elemento elemento de comprimento comprimento de arco. arco.

ds 2

=

hu2 du 2

+ hv 2 dv 2 + hz2 dz 2 = ( u2 +v 2 ) du 2 + ( u2 +v 2 ) dv 2 +

dz 2

■

g) Determine o elemento de volume e o jacobiano da transformação para as coordenadas curvilíneas.

dV

=

hu hv hz du dv dz

∂( x , y, z ) = ∂(u ,v , z )

= ( u2 +v 2 ) du dv dz

hu hv hz

=

u

2

+v 2

■

■



































84


G

G

∇ × B =

1 hu hv hz

G

G

hu eu

hv ev

hz ez

∂ / ∂u

∂ / ∂v

∂ / ∂z =

hu Bu

hv Bv

hz Bz

G

1 u 2 +v 2

u 2 +v 2 eu

∂ / ∂u u 2 +v 2 Bu

G

G

u 2 +v 2 ev

ez

∂ / ∂ v

∂ / ∂z

u 2 +v 2 Bv

Bz

i) Usando as expressões da divergência e do rotacional obtidas no item (h), calcule

G

G G

∇ × A , onde A (r )

G

∇ ⋅ A

e

é o campo vetorial dado no item (c). Faça os cálculos também em coordenadas cartesianas, obtendo, obviamente, o mesmo resultado.



































85


JJG

Exercício 2: Escolha um sistema de coordenadas coordenadas apropriado apropriado e calcule dS e dS para cada superfície: z

ρ 0

superfície cilíndrica

Coordenadas cilíndricas

y x



































86


pi

∂T 1 ∂ = = m ∂ui 2 ∂ui

2

  1 1 2 ∂u j 2  ∂u j ∑ j h j u j = 2 m ∑j h j ∂ui = 2 m ∑j h j 2 u j ∂ui = m hi2 ui ⇒ ui = pi / mhi2 . 2 2

N

{ 10 sese j j ≠= ii Logo, T

=

1 1 2 2 2 2 2 m∑ hi ( pi mhi ) = pi hi . ∑ 2 i 2m i





































87


G

⎛ ∂e ∂

∂2 ⎞

G

⎡ ∂e

1

∂

∂ ⎛ 1

∂ ⎞⎤






































Apêndice B – A convenção de Einstein para somatórios

88






































Aij A jk δ kl

=

Aij Ajl

δ kl δ k

= δ l

89





































90


ou seja,

E123

= E 231 = E 312 = 1

E 1 32

= E 213 = E 321 = −1

E 12 2

= E131 = E 332 = 0 , etc. Tal é o





































91


∇

2

G

V

G

=e ∂ ∂

V

G

laplaciano de V





















































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































Introdução aos Tensores

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