Aplicaciones de los tensores en ingeniería civil Tensor En matemáticas y en física, un tensor es cierta clase de entidad algebraica de varias componentes, que generaliza los conceptos de escalar, vector y matriz de una manera que sea independiente de cualquier sistema de coordenadas elegido. Una vez elegida una base vectorial, las componentes de un tensor en una base vendrán dadas por una multimatriz. El orden de un tensor será el número de índices necesario para especificar sin ambigüedad una componente de un tensor: un escalar será considerado como un tensor de orden 0; un vector, un tensor de orden 1; y dada una base vectorial, los tensores de segundo orden pueden ser representados por una matriz. Las cantidades geométricas y físicas pueden ser categorizadas considerando los grados de libertad inherentes a su descripción. Las cantidades escalares son las que se pueden representar por un solo número, por ejemplo masa y temperatura. Hay también cantidades tipo vector, por ejemplo fuerza, que requieren una lista de números para su descripción. Finalmente, las cantidades tales como formas cuadráticas requieren naturalmente una matriz con índices múltiples para su representación. Estas últimas cantidades se pueden concebir solamente como tensores. Realmente, la noción tensorial es absolutamente general. Los escalares y los vectores son casos particulares de tensores. La propiedad que distingue un escalar de un vector, y distingue ambos de una cantidad tensorial más general es el número de índices en la matriz de la representación. Este número se llama rango de un tensor. Así, los escalares son los tensores de rango cero (sin índices), y los vectores son los tensores de rango uno. No todas las relaciones en la naturaleza son lineales, pero la mayoría es diferenciable y así se pueden aproximar localmente con sumas de funciones multilineales. Así la mayoría de las magnitudes en física se pueden expresar como tensores. Un ejemplo simple es la descripción de una fuerza aplicada al movimiento de una nave en el agua. La fuerza es un vector, y la nave responderá con una aceleración, que es también un vector. La aceleración en general no estará en la misma dirección que la fuerza, debido a la forma particular del cuerpo de la nave. Sin embargo, resulta que la relación entre la fuerza y la aceleración es lineal. Tal relación es descrita por un tensor del tipo (1, 1), es decir, que transforma un vector en otro vector. El tensor se puede representar como una matriz que cuando es multiplicada por un vector, dé lugar a otro vector. Así como los números que representan un vector cambiarán si uno cambia el conjunto de coordenadas,
los números en la matriz que representa el tensor también cambiarán cuando se cambie el conjunto de coordenadas. En la ingeniería, las tensiones en el interior de un sólido rígido o líquido también son descritas por un tensor. Si un elemento superficial particular dentro del material se selecciona, el material en un lado de la superficie aplicará una fuerza en el otro lado. En general, esta fuerza no será ortogonal a la superficie, sino que dependerá de la orientación de la superficie de una manera lineal. Esto es descrito por un tensor del tipo (2, 0), o más exactamente por un campo tensorial del tipo (2, 0) puesto que las tensiones pueden cambiar punto a punto. Algunos ejemplos bien conocidos de tensores en geometría son las formas cuadráticas, y el tensor de curvatura. Algunos ejemplos de tensores físicos son el tensor de energíamomento, el tensor de polarización y el tensor dieléctrico.
Tensor deformación El tensor deformación o tensor de deformaciones es un tensor simétrico usado en mecánica de medios continuos y mecánica de sólidos deformables para caracterizar el cambio de forma y volumen de un cuerpo. En tres dimensiones un tensor (de rango dos) de deformación tiene la forma general:
( )
Donde cada una de las componentes del anterior tensor es una función cuyo dominio es el conjunto de puntos del cuerpo cuya deformación pretende caracterizarse. El tensor de deformaciones está relacionado con el tensor de tensiones mediante las ecuaciones de Hooke generalizadas, que son relaciones de tipo termodinámico o ecuaciones constitutivas para el material del que está hecho el cuerpo. Téngase en cuenta que estas componentes
en general varían de punto a punto del
cuerpo y por tanto la deformación de cuerpos tridimensionales se representa por un campo tensorial. En mecánica de medios continuos se distingue entre varios tipos de tensores para representar la deformación. Los tensores finitos de deformación miden la verdadera deformación, pueden usarse tanto deformaciones grandes como pequeñas y pueden dar cuenta de no linealidades geométricas. Cuando las deformaciones son pequeñas con bastante adecuación se puede usar el tensor infinitesimal de deformaciones que se obtiene despreciando algunos términos no lineales de los tensores finitos. En la práctica
más común de la ingeniería para la mayoría de aplicaciones prácticas se usan tensores infinitesimales. Además para los tensores finitos se diferencia entre tensores materiales y tensores espaciales según sea el sistema de coordenadas usado para representarlo.
