Vectores y Tensores

Curso avanzado de Fenómenos de Transporte Dr. Juan Carlos Fierro González Departamento de Ingeniería Química Instituto Tecnológico de Celaya

Operaciones con Vectores

Adición y substracción substracción de vectores vectores

Si v y w son ambos vectores, entonces el resultado de las operaciones v + w y v – w son también vectores.

Dichas operaciones cumplen con propiedades conmutativas y

asociativas, de tal modo que: (v + w) = (w + v); (v + w) + u = v + (w + u).

Multiplicación Multiplicación de un vector vector por un escalar escalar

El producto de la multiplicación entre el vector v por el escalar a es un vector cuya magnitud a veces la del vector v, o bien, a v = av

Esta operación cumple con propiedades conmutativas, asociativas y distributivas, de tal modo que: av = va; b(cv) = (bc)v; (a + b + c)v = av + bv + cv

Producto punto entre dos vectores

El producto punto entre dos vectores u y v es un escalar definido por: u · v = uv cos ϕ ; donde ϕ es ϕ es el ángulo comprendido entre los vectores u y v.

Una interpretación geométrica de este producto consiste en definir u · v como la magnitud v del vector v multiplicada por la proyección de u sobre v (o viceversa).

1


Producto cruz entre dos vectores

El producto cruz entre dos vectores u y v es un vector definido por: u × v = {uv sin ϕ }n }nuv; donde nuv es un vector unitario (ver siguiente sección) perpendicular

al plano comprendido entre u y v, apuntando en la dirección en que un tornillo derecho lo haría si fuese girado de u hacia v a través del ángulo ϕ .

Operaciones de vectores en términos de sus componentes en sistemas coordenados

Vectores unitarios

Sean e1, e2, e3 vectores de magnitud unitaria en la dirección de los ejes 1, 2 y 3 de un sistema de ejes coordenados, las combinaciones del producto punto entre ellos resultarían en: e1 · e1 = e2 · e2 = e3 · e3 = 1 e1 · e2 = e2 · e3 = e3 · e1 = 0

Estas operaciones pueden ser generalizadas como ei · e j = δij; donde i y j pueden tomar los valores 1, 2 o 3.

Por lo tanto,

δij = 1, si i = j δij = 0, si i ≠ j El escalar δij es comúnmente denominado delta de Kronecker y es de gran utilidad para simplificar operaciones vectoriales ampliamente utilizadas en la descripción de fenómenos de transporte. transporte.

2


De manera similar, las combinaciones del producto punto entre los vectores unitarios resultan en: e1 × e1 = e2 × e2 = e3 × e3 = 0 e1 × e2 = e3 e2 × e3 = e1 e3 × e1 = e2 e2 × e1 = −e3 e3 × e2 = −e1 e1 × e3 = −e2

Estas operaciones pueden ser generalizadas como e i × e j =

∑ ε

e

ijk k

k

donde ε ijk ijk = 1 si ijk = 123, 231, 312 ε ijk ijk = 0 si dos o más índices son iguales entre sí. ε ijk ijk = −1 si ijk = 321, 213, 132 El escalar ε ijk ijk es comúnmente conocido como símbolo de permutación .

Expansión de vectores en términos de sus componentes. componentes.

Todo vector u puede ser expresado como la suma vectorial de vectores proyectados sobre ejes de un sistema ortogonal. De tal modo que:

3


u = u1e1 + u2e 2 + u3e3 =

3

∑u e

i i

; donde ui es la magnitud escalar que al ser multiplicada por

i =1

cada vector unitario ei resulta en las proyecciones (o componentes) del vector u sobre cada eje coordenado. La representación de un vector en términos de sus componentes es de utilidad para describir varias operaciones vectoriales y tensoriales. Por ejemplo, la suma de dos vectores u y v puede ser representada de manera generalizada como:

u±v=

3

3

3

∑ u e ± ∑ v e = ∑ (u i i

i =1

i i

i =1

i

± vi ) e i

i =1

De manera similar, la multiplicación entre un vector u y un escalar s se puede expresar como:

⎧ 3 ⎫ su = s ⎨∑ uie i ⎬ = ⎩ i =1 ⎭

3

∑ ( su )e i

i

i =1

El producto punto como: 3 3 3 ⎛ ⎧ 3 ⎫ ⎞ 3 3 ⎫ ⎧3 ⎜ ⎟ u ⋅ v = ⎨∑ uiei ⎬ ⋅ ⎨∑ v j e j ⎬ = ∑ ∑ (ei ⋅ e j )ui v j = ∑ ∑ (ui v j )δ ij = ∑ ui v j ⎜ ⎟ i j i ⎭ ⎩ j =1 ⎭ ⎠ i j ⎝ ⎩ i =1

y el producto cruz como: 3 3 3 ⎡⎧ 3 ⎫⎤ 3 3 ⎫ ⎧3 u × v = ⎢⎨∑ uiei ⎬ × ⎨∑ v j e j ⎬⎥ = ∑ ∑ (ei × e j )ui v j = ∑ ∑ ∑ ε ijk ei ui vk ⎭ ⎩ j =1 i j k ⎭⎦⎥ i j ⎣⎢⎩ i =1

e1

e2

e3

= u1 u2 u3 v1

v2

v3

4


Operaciones tensoriales en términos de sus componentes en sistemas de coordenadas ortogonales

Producto diádico

Además de los productos punto y cruz entre dos vectores, existe un tercer tipo de multiplicación multiplica ción cuyo resultado es conocido como producto diádico. En está operación no se utiliza ningún signo de multiplicación y su resultado da lugar a cantidades conocidas como tensores de segundo orden. El producto diádico entre dos vectores unitarios ei y e j se define como eie j. Puesto que la magnitud de los vectores ei y e j es la unidad, el tensor resultante es también unitario, pero como está relacionado con un par de ejes coordenados. Así pues, los tensores de segundo orden especifican el cambio simultáneo de una cantidad en términos de dos direcciones. En problemas que involucran fenómenos de transporte los tensores son de gran utilidad porque en ocasiones se desea conocer como cambia alguna propiedad con respecto a dos direcciones. Un ejemplo sencillo lo constituye la determinación del cambio de momento en en un fluido en el sentido de las x a través de una unidad de área perpendicular a la dirección y (más detalles sobre esto serán proporcionados a lo largo de este curso).

Del mismo modo que un vector puede ser expresado en términos de sus componentes en un sistema de coordenadas como la suma de componentes escalares proyectados sobre los ejes multiplicados por los respectivos vectores unitarios, un tensor de segundo orden puede escribirse como una cantidad que asocia un escalar con un par de ejes coordenados. De este modo, un vector

puede expresarse como:

5

Curso avanzado de Fenómenos de Transporte Dr. Juan Carlos Fierro González Departamento de Ingeniería Química Instituto Tecnológico de Celaya τ

= τ 11e1e1 + τ 12e1e 2 + τ 13e1e3 + τ 21e 2e1 + τ 22e 2e 2 + τ 23e 2e3 + τ 31e3e1 + τ 32e3e 2 + τ 33e3e3 3

3

= ∑ ∑τ ij eie j i =1 j =1

donde los escalares τ ijij son los componentes del tensor de segundo orden

. No es difícil

darse cuenta de que pueden existir tensores de orden n, sin embargo dichos tensores están fuera del alcance del presente curso y la omisión de ejemplos mostrando operaciones con estas cantidades no representa ningún impedimento para comprender problemas de fenómenos de transporte, por lo que en este curso sólo se trabajará con tensores de segundo orden. Existen varios tipos de tensores de segundo orden que deben ser enfatizados.

•

Si τ ijij = τ ji, entonces se dice que el tensor

•

Si τ ijij = –τ –τ ji, entonces se dice que el tensor

•

Si los componentes de un tensor

es simétrico, es antisimétrico,

resultan ser los mismos que los del tensor

con sus índices invertidos (o traspuestos), entonces se dice que el tensor vector traspuesto de +

τ =

•

3

3

i

j

(o

pero es el

+

). De este modo:

∑ ∑τ e e

ji i j

Si los componentes de un tensor están formados por pares ordenados de los componentes de dos vectores u y v, el tensor resultante se conoce como el producto diádico de u y v. Es decir: uv =

3

3

i

j

∑∑u v e e

i j i j

Nótese que uv ≠ vu, pero (vu) = uv +

6


•

Si los componentes del tensor son la delta de Kronecker, el tensor es entonces un tensor unitario . 3

∑ ∑ δ

=

δ

3

i

ij

e i e j

j

Adición de tensores τ + ϖ

3

3

3

3

3

3

i

j

i

j

i

j

= ∑ ∑τ ij e ie j + ∑ ∑ϖ ij eie j = ∑ ∑ (τ ij + ϖ ij )e ie j

Multiplicación Multiplicación de un tensor tensor por un un escalar

⎧3 3 ⎫ 3 3 sτ = s ⎨∑ ∑τ ij ei e j ⎬ = ∑ ∑ {sτ ij }eie j ⎩ i j ⎭ i j Producto dos puntos de dos tensores

⎛ ⎧ 3 3 ⎫ ⎧3 3 ⎫ ⎞⎟ 3 3 3 3 ⎜ ( τ : ϖ ) = ⎨∑ ∑τ ij ei e j ⎬ : ⎨∑ ∑ϖ kl e k el ⎬ = ∑∑∑∑τ ijϖ kl (ei e j : e k el ) ⎜ ⎭ ⎠⎟ i j k l ⎭ ⎩k l ⎝ ⎩ i j 3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

i

j

k

l

i

j

k

l

i

j

= ∑∑∑∑τ ijϖ kl (e j ⋅ ek )(ei ⋅ el ) = ∑ ∑ ∑ ∑τ ijϖ klδ ilδ jk = ∑ ∑τ ijϖ ji Producto punto de dos tensores τ ⋅ϖ

⎧⎪⎛ 3 3 ⎞ ⎛ 3 3 ⎞⎫⎪ 3 3 3 3 = ⎨⎜⎜ ∑ ∑τ ij eie j ⎟⎟ ⋅ ⎜ ∑ ∑ϖ kl e k el ⎟⎬ = ∑∑∑∑τ ijϖ kl (eie j ⋅ e k el ) ⎪⎩⎝ i j ⎠⎪⎭ i j k l ⎠ ⎝ k l

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

i

j

k

l

i

j

k

l

i

l

j

= ∑ ∑ ∑ ∑τ ijϖ kl ei (e j ⋅ ek )el = ∑ ∑ ∑ ∑τ ijϖ klδ jk eiel = ∑ ∑ eiel (∑τ ijϖ jl ) donde puede verificarse que la sumatoria en j corresponde al componente il del tensor resultante del producto.

7


Producto punto de un vector con un tensor 3 3 3 ⎧⎪⎛ 3 3 ⎞ ⎛ 3 ⎞⎫⎪ 3 3 3 ⎜ ⎟ τ ⋅ u = ⎨ ∑ ∑τ ij ei e j ⋅ ⎜ ∑ uk e k ⎟⎬ = ∑ ∑ ∑τ ij uk (ei e j ⋅ e k ) = ∑ ∑ ∑τ ij uk ei (e j ⋅ e k ) ⎜ i j ⎟ ⎪⎩⎝ i j k ⎠⎪⎭ i j k ⎠ ⎝ k 3 3 3 3 ⎧3 ⎫ = ∑ ∑ ∑τ ij uk eiδ jk = ∑ ei ⎨∑τ iju j ⎬ i j k i ⎩ j ⎭

por lo tanto, el componente i del vector resultante del producto es la sumatoria en j.

Producto cruz de un tensor con un vector 3 3 3 ⎧⎪⎛ 3 3 ⎞ ⎛ 3 ⎞⎫⎪ 3 3 3 ⎜ ⎟ τ × u = ⎨⎜ ∑ ∑τ ij eie j ⎟ × ⎜ ∑ uk ek ⎟⎬ = ∑ ∑ ∑τ ij uk (ei e j × ek ) = ∑ ∑ ∑τ ij uk ei (e j × e k ) ⎪⎩⎝ i j i j k ⎠⎪⎭ i j k ⎠ ⎝ k 3 3 3 3 3 3 ⎧3 3 ⎫ = ∑ ∑ ∑ ∑ ε jkl eielτ ij uk ei (e j × ek ) = ∑ ∑ eiel ⎨∑ ∑ ε jklτ ij uk ⎬ i j k l i l ⎩ j k ⎭

donde puede verse que el producto es un tensor cuyo componente il es el resultado de la doble sumatoria en j y k .

Operaciones diferenciales con vectores y tensores

Considere el operador vectorial diferencial nabla ( ) en coordenadas rectangulares: 3 ∂ ∂ ∂ ∂ ∇ = e1 + e2 + e3 = ∑ ei ∂ x1 ∂ x 2 ∂ x3 ∂ xi i

dicho operador tiene componentes como cualquier vector, pero no puede existir por si mismo como cantidad, sino que debe operar sobre cantidades (o funciones) escalares, vectoriales o tensoriales. NOTA: La definición de

presentada arriba es sólo válida para

sistemas de coordenadas rectangulares. Este operador puede escribirse también para otros sistemas de coordenadas ortogonales (ver notas adicionales).

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Gradiente de un campo escalar

Se define como gradiente de un campo escalar a la operación en la que

opera

sobre una función escalar. Por ejemplo, si a es una función escalar de x1, x2, y x3, es decir: a = a( x x1, x2, x3)

el gradiente de a es: 3 ∂a ∂a ∂a ∂a ∇a = e1 + e2 + e3 = ∑ ei ∂ x1 ∂ x2 ∂ x3 ∂ xi i

donde puede verse que el resultado es un vector. El gradiente de a ( a) no cumple con propiedades conmutativas o asociativas, por lo que a≠a

( a)b ≠

(ab)

y sí cumple con propiedades distributivas, o sea (a + b) =

a+

b

Divergencia Divergencia de un campo campo vectorial vectorial

La divergencia de un campo vectorial es el producto punto entre el operador una función vectorial en un sistema de ejes coordenados. Es decir: 3 3 ⎛ ⎧ 3 ⎧ 3 ⎫ ⎞ 3 3 ⎫ ∂ ∂ ∂ u j = ∑ ∑ δ ij u j ∇ ⋅ u = ⎜ ⎨∑ e i ⋅ ⎨∑ u j e j ⎬ ⎟ = ∑ ∑ (ei ⋅ e j ) ⎬ ⎜ ⎩ i ∂ xi ⎭ j ⎟ i j ∂ ∂ x x i j i i ⎩ ⎭ ⎠ ⎝ 3 ∂u =∑ i i ∂ xi

9

y


Al igual que el gradiente de un campo escalar, la divergencia de un campo vectorial no es ni conmutativa, ni asociativa, pero si es distributiva. Es decir:

∇⋅u ≠ u⋅∇ ∇ ⋅ au ≠ ∇a ⋅ u ∇ ⋅ (u + v) = ∇ ⋅ u + ∇ ⋅ v Esta operación es de gran importancia en fenómenos de transporte, como veremos más adelante en este curso, ya que un balance de masa en estado estacionario de un fluido newtoniano incompresible está dado por la divergencia de su velocidad.

“Curl” de un campo vectorial.

Esta operación es el producto cruz entre el operador nabla y una función vectorial en un sistema de ejes coordenados. Es decir: 3 3 3 ⎛ ⎧⎪ 3 ⎫ ⎞⎟ 3 3 ∂ ⎫⎪ ⎧ 3 ∂ ∂ ⎜ ∇ × u = ⎨∑ e j × ⎨∑ uk e k ⎬ = ∑ ∑ (e j × e k ) uk = ∑ ∑ ∑ ε ijk ei uk ⎬ ⎜ ⎪ j ⎟ ∂ ∂ ∂ x x x ⎪ ⎩ ⎭ k j k i j k j ⎭ j j ⎝ ⎩ ⎠

e1

=

e2

e3

∂ ∂ x1

∂ ∂ x2

⎧ ∂u ∂u ⎫ ⎧ ∂u ∂u ⎫ ⎧ ∂u ∂u ⎫ ∂ = ⎨ 3 − 2 ⎬e1 + ⎨ 1 − 3 ⎬e 2 + ⎨ 2 − 1 ⎬e3 ∂ x3 ⎩ ∂ x2 ∂ x3 ⎭ ⎩ ∂ x1 ∂ x2 ⎭ ⎩ ∂ x3 ∂ x1 ⎭

u1

u2

u3

donde puede verse que el i-ésimo componente del vector resultante es: 3

3

∑ ∑ ε

ijk

j

k

∂ u ∂ x j k

Al igual que con las dos operaciones anteriores, el curl de un campo vectorial no es ni conmutativo ni asociativo, pero si es distributivo.

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Gradiente de un campo vectorial

Esta operación está definida por el producto diádico entre el operador nabla y una función vectorial en un sistema de ejes coordenados. Es decir:

⎛ ⎧ 3 ⎫ ⎞ 3 3 ∂ ⎫⎧ 3 ∂ ⎜ ∇u = ⎨∑ ei u j e j ⎬ ⎟ = ∑ ∑ ei e j u j ⎬ ⎨ ∑ ⎜ ⎩ i ∂ xi ⎭ j ⎟ i j ∂ x i ⎩ ⎭ ⎠ ⎝ donde puede verse que el componente ij del tensor de segundo orden resultante de este gradiente es:

∂ u ∂ xi j

Divergencia Divergencia de un campo campo tensorial tensorial

Esta operación está definida como el producto punto entre el operador nabla y un tensor que es una función en un sistema de ejes coordenados. Es decir: 3 3 3 ⎛ ⎧ 3 ⎫ ⎞ 3 3 3 ∂ ⎫ ⎧3 3 ∂ ∂ ⎜ ⎟ ∇ ⋅ τ = ⎨∑ ei ⋅ ⎨∑ ∑ e j ek τ jk ⎬ = ∑ ∑ ∑ (ei ⋅ e j ek ) τ jk = ∑ ∑ ∑ (ei ⋅ e j )e k τ jk ⎬ ⎜ ⎟ ∂ xi ∂ xi i j k ⎭ ⎠ i j k ⎝ ⎩ i ∂ xi ⎭ ⎩ j k 3 3 3 3 ⎧3 ∂ ⎫ ∂ = ∑ ∑ ∑ δ ij e k τ jk = ∑ ek ⎨∑ τ ik ⎬ ∂ xi i j k k ⎩ i ∂ xi ⎭

Laplaciano de un campo escalar Está operación es el resultado de tomar la divergencia del gradiente de una función escalar. Es decir: 3 ⎛ ⎧ 3 ∂ ⎫ ⎧⎪ 3 ∂ ∂a ∂2 ∂a ⎫⎪ ⎞⎟ 3 3 ⎜ ∇ ⋅ ∇a = ⎨∑ ei e j ⋅ =∑ 2a ⎬ ⎟ = ∑ ∑ δ ij ⎜ ⎩ i ∂ xi ⎬⎭ ⎨⎪∑ ∂ ∂ ∂ x x x ⎪ i j i ∂ xi j ⎭ ⎠ i j ⎩ j ⎝

11


La colección de operadores diferenciales operando sobre el escalar a en el resultado de esta operación se conoce como Laplaciano, y se expresa como: 3 ⎛ ⎧ 3 ∂ ⎫ ⎧⎪ 3 ∂ ⎫⎪ ⎞⎟ 3 3 ∂ ∂ ∂2 ⎜ ∇ = ∇ ⋅ ∇ = ⎨∑ ei ⋅ =∑ 2 e j ⎬ ⎟ = ∑ ∑ δ ij ⎜ ⎩ i ∂ xi ⎬⎭ ⎨⎪∑ ∂ ∂ ∂ x x x ⎪ j i j i ∂ xi j i j ⎩ ⎭ ⎠ ⎝ ∂2 ∂2 ∂2 = 2+ 2+ 2 ∂ x1 ∂ x2 ∂ x3 2

Laplaciano de un campo campo vectorial

Se define como la divergencia del gradiente de una función vectorial. Es decir:

⎛ ⎧ 3 ⎫⎪ ⎞ 3 3 3 ∂ ⎫ ⎧⎪ 3 3 ∂ ∂ ∂ ⎜ ∇ ⋅ ∇u = ⎨∑ ei ⋅ ⎨∑ ∑ e j e k uk ⎬ ⎟ = ∑ ∑ ∑ (ei ⋅ e j e k ) uk ⎬ ⎜ ⎩ i ∂ xi ⎭ ⎪ j k ⎟ ∂ ∂ ∂ x x x ⎪ j i j ⎩ ⎭ ⎠ i j k ⎝ 3 3 3 3 3 3 3 ⎛ 3 ∂ 2 ⎞ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∑ ∑ ∑ (ei ⋅ e j )e k u = ∑ ∑ ∑ δ e u = ∑ e ⎜⎜ ∑ 2 uk ⎟⎟ ∂ xi ∂ x j k i j k ij k ∂ xi ∂ x j k k k ⎝ i j k i ∂ xi ⎠ donde puede verse que el k -ésimo -ésimo componente del Laplaciano del vector v es

2

v.

Teoremas integrales de vectores y tensores

Los siguientes teoremas serán de gran utilidad en el planteamiento y resolución de problemas de fenómenos de transporte. La comprensión de estos teoremas es fundamental para este curso.

Teorema de divergencia de Gauss-Ostrogradskii

Si V es un volumen de control confinado en una superficie S, entonces:

∫ (∇ ⋅ v )dV = ∫ (n ⋅ v)dS V

S

12


donde n es un vector unitario normal que apunta perpendicularmente hacia fuera del volumen de control. Existen otros dos teoremas similares que pueden ser utilizados con frecuencia:

∫ (∇a )dV = ∫ (na)dS V

S

∫ (∇ ⋅ τ )dV = ∫ (n ⋅ τ)dS V

S

Teorema de Stokes

Si una superficie S está rodeada por una curva cerrada C , entonces:

∫ (n ⋅ [∇ × v])dS = ∫ (t ⋅ v )dC S

C

donde t es un vector unitario tangencial en la dirección de integración sobre C , y n es un vector unitario normal a S.

Fórmula de Leibniz para la diferenciación de una integral de volumen

Si V es un volumen de control móvil dentro de una superficie S, y vs es la velocidad de cualquier elemento sobre dicha superficie, y si a es una función escalar de posición y tiempo a( x, y, z, t ): ):

∂a

d

adV = ∫ dV + ∫ a( v ∂t dt ∫ V

V

s

13

s

⋅ n)dS

Vectores y Tensores

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