UNA INTRODUCCIÓN A LOS TENSORES PARA ESTUDIANTES DE FÍSICA E INGENIERÍA Joseph C. Kolecki Administración Nacional de Aeronáutica y Espacio Centro de Investigación Glenn Cleveland, Ohio 44135
El análisis tensorial es el tipo de tema que puede hacer que incluso el mejor de los estudiantes se estremezca. estremezca. Mi propio instructor de postgrado en el tema se llevó gran parte del miedo al hablar de d e un ritmo implícito en la notación peculiar utilizado tradicionalmente, y me me ayudó a ver cómo juega este este ritmo de su camino a través de los diversos formalismos.
Antes de tomar esa clase, había gastado muchos años "jugando" por mi cuenta con tensores. Encontré que va a ser tremendamente tremendamente difícil, pero fui capaz, con el tiempo, tiempo, hacer una copia de algunas consideraciones físicas y geométricas que ayudaron a hacer el tema un poco más transparente. Hoy en día, a veces es difícil no pensar en términos de los tensores y sus conceptos asociados.
Este artículo, solicitado y enormemente reforzado por Marlo Jacob, a quien he conocido sólo por e-mail, es un intento para registrar esos primeros conceptos relativos a los tensores. Su objetivo es servir de puente desde el punto donde los estudiantes universitarios universitarios más "dejan fuera" en sus estudios de matemáticas en el lugar donde la mayoría de los textos sobre análisis tensorial comienzan. Se supone un conocimiento básico de vectores, matrices y la física. Un enfoque semi-intuitivo a esas nociones subyacentes del análisis tensorial que se da a través de los escalares, vectores, díadas, tríadas, y productos de vector de orden superior similares. El lector debe estar preparado para hacer algo de matemáticas y de pensar. Para aquellos estudiantes que desean ir más allá de este humilde comienzo, sólo puedo recomendar mí del profesor de la sabiduría: sabiduría: encontrar el ritmo ritmo en las matemáticas y que le irá bastante bien.
Inicios
El corazón de todas las matemáticas son los números.
Si yo fuera a preguntar cuántas canicas tú tenías en una bolsa, es posible que conteste, "Tres." Encontraría tu respuesta muy satisfactoria. El número 'desnudo' 3, una magnitud, es suficiente para proporcionar la información que busco. Si yo fuera a preguntar, "¿Qué tan lejos está a tu casa?" Y le respondí, "Tres", sin embargo, me miro con curiosidad y te pregunto, "tres qué?" Evidentemente, para esta pregunta, se requiere más información. El número 3 desnudo ya no es suficiente; Requiero un número 'denominador' - un número con un nombre. Supongamos que eres un duplicado, "Tres km." El número 3 se llama ahora como representante de un determinado número de km. Tales números son a veces llamadas escalares. La Temperatura está representado por una escalar. La energía total de un sistema termodinámico está también representada por un escalar. Si yo fuera junto a preguntar "¿Y cómo hago para llegar a tu casa desde aquí?" Y le dijiste: "Sólo caminar tres km," de nuevo me miro con curiosidad. Esta vez, ni siquiera un número denominador es suficiente; es necesario especificar una distancia o magnitud, sí, pero ¿en qué dirección? “solo camina 3 Km al norte.” El denominador número 3 Km ahora tiene la información
direccional adicional requerida atribuida a esto. Tales números son llamados vectores. La velocidad es un vector con una magnitud y una dirección; por lo que es un impulso. Muy a menudo un vector es representado por componentes. Si tu fueras a llamarme que para ir desde aquí hasta tu casa yo debo caminar 3 cuadras al este, dos cuadras al norte, y subir 3 pisos, el vector que se extiende desde aquí hasta tu casa tendría 3 componentes espaciales: -
3 cuadras este, 2 cuadras norte, 3 pisos arriba.
Físicamente, los vectores son usados para representar ubicaciones, velocidades, aceleraciones, densidades de flujo, campos cuánticos, etc. Las ecuaciones que definen el campo gravitatorio en la dinámica clásica (Ley de la Gravitación Universal de Newton), y del campo electromagnético en la electrodinámica clásica (Cuatro ecuaciones de Maxwell) están dadas en forma vectorial. Los vectores son cantidades de orden superior de escalares, las realidades físicas que se corresponden con lo general son más complejas que las representadas por escalares.
Una mirada cercana a vectores
La acción de un vector es igual a la suma de las acciones de sus componentes. Por lo tanto, en el ejemplo dado anteriormente, el vector de "aquí" a "su casa" se puede representar como: = (3 ) + (2 ) + (3 )
Cada componente de V contiene una parte vectorial y una parte escalar. Los componentes escalar vectorial de V puede ser representados como siguen: -
: = 3 , = 2 , = 3
Vectorial: dejar (i) ser un vector unitario al este, (j) ser un vector unitario apuntando al norte, y (k) un vector unitario apuntando hacia arriba. (N. B.: los vectores unitarios no son no-denominadores, tienen magnitud unitaria, y son usados solo para especificar la dirección.)
Entonces el vector total, en términos e estos componentes escalares y unitarios, pueden ser escritos como: = + +
Esta notación es estándar en todos los libros de física e ingeniería. Esto también es usado en libros sobre matemáticas introductorias. Siguiendo, dejarnos ver como se combinan los vectores. Primero que todo, conocemos que los números pueden ser combinados en varios caminos para producir nuevos números. Por ejemplo, seis es la suma de tres y tres o del producto de dos y tres. Una lógica similar colocada para vectores. Las combinaciones de reglas vectoriales incluyendo suma vectorial, multiplicación escalar( o punto) y (en tres dimensiones) la multiplicación cruz. Dos vectores, U y V, pueden ser añadidos para producir un nuevo vector W: =+
