Luis Santaló - Vectores y Tensores Con Sus Aplicaciones

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con sus aplicaciones Luis A. Santaló

manuales

VICTORES Y TENSORES con sus aplicaciones

l.UIS A. SANTALÓ

l'll Irma (If los vectores y tensores no liiililii nido liastii nliora objeto, en castelliiiiii, lie lina exposición general, coni|ili'lii y sistemática. Hasta el presente el i’iiliiilliinti· tic física, ele matemática o de liiumleria debía recurrir a fuentes o iiiiileilaK'S dispersos, sin lograr un panormiia orgánico. En este libro —que no mipitiii· para el lector más conocimientos previos (|iie los de un cur.so elemental ili· geometría analítica y cálculo infiiiltcsiiiial —se desarrollan el álgebra y el cálculo vectorial y tensorial de mane; til moderna y completa, rigurosa y grailiial. Un gran acopio de ejemplos y i'liTcicios al final de capa capítulo, fru to (le la larga experiencia didáctica del autor, proporciona una valiosa ayuda jil lector, (juien podrá ir verificando, al avan/ar cuda paso, si ha asimilado bien los conocimientos adquiridos. l,os vectores y tensores son objetos geométricos de continua aplicación en las tliversas ramas de las ciencias exactas y de la técnica. Esto se ilustra acaba dam ente en la obra, mediante la pre sentación de gran cantidad de aplica ciones, principalmente a la física (hidro dinámica, termodinámica, electrom agne tismo, teoría de la relatividad, etc.), geometría analítica y diferencial, topo logía, navegación aérea y otros temas. Además del interés que presenta por sus consecuencias prácticas, el conocimiento de los vectores y tensores posee también, como se señala reiteradamente a lo largo del libro, un interés teórico, ya que per mite estudiar las propiedades intrínsecas
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Vcclorcs y tensores con sus aplicaciones

M A NU ALES DE E U D E B A /M A T E M A T IC A

Vectores y tensores con sus aplicaciones

LUIS A. SANTALO

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E D IT O R IA L U N IV E R S IT A R IA DE BUENOS A IR E S

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Primera edición; abril de 1961 Segunda edición; noviembre de 1962 Tercera edición; abril de 1964 Cuarta edición; enero de 1963 Quinta edición; agosto de 1966 Séptima edición; agosto de 1969 Octava edición: octubre de 1970

(C) 1969 EDITORIAL UNIVERSITARIA DE BUENOS AIRES Rivadavia 1571/73 S o d td a á Je Economía M ixta

Fundada por la Universidad de Buenos Aires Heclio el depósito de ley IMPRESO EN LA ARGENTINA — PRINTED IN ARGENTINA

IN T R O D U C C IO N

Cuando Ferm at y Descartes iniciaron la geometría analítica, pu sieron las bases de una de las columnas fundamentales del edificio m a temático. Muchos problemas clásicos quedaron resueltos, y gran cantidad de conocimientos, antes dispersos, fueron sistematizados. Pero al mismo tiempo que se hacía la luz aparecían sombras pro yectadas por el mismo andamiaje analítico, que oscurecían precisamente las partes cuyo estudio constituye el objeto esencial de la geometría. En efecto, al introducir coordenadas para estudiar una figura, aparece todo un ropaje de fórmulas que no son intrínsecas a la misma, sino que de penden de ella y del sistema de coordenadas utilizado. Al estudiar una circunferencia de radio unidad, para poner un ejemplo simple, podemos encontramos tanto frente a la ecuación x* -I— 1 = O , como frente a la. X* + — 2 X — 4· y + 4 = 0: son ecuaciones distintas que representan el mismo ente geométrico. Aparece así la necesidad de saber distinguir, frente a cada problema y en cada momento, cuáles son las propiedades inherentes a la figura que se trata de estudiar y cuáles las accesorias, introducidas parasita riamente como una necesidad del método analítico utilizado. El cálculo vectorial y el cálculo tensorial son los instrumentos que responden a esta necesidad. En ellos, si bien se utilizan coordenadas, las reglas operatorias son tales que siempre dan lugar a propiedades independientes del sistema utilizado. En términos más precisos: sus operaciones y resultados son “invariantes” por cambios de coordenadas. Vamos a dar un simple ejemplo aclaratorio. Supongamos dada en el plano una curva cuya ecuación sea F ( x , y) = 0 , con la función F ( x , y) derivable. El hecho analítico de que en un punto P de la curva la derivada parcial respecto de x sea nula, o sea F i = 0 , ¿signifirará una propiedad geométrica intrínseca de la curva en su punto P ? Es decir: ¿tendrá el punto P alguna propiedad especial que no tengan los jiuntos para los cuales sea F x ¥ -0 ? Evidentemente no, pues basta lomar unos ejes coordenados tales que el eje x sea paralelo a la tangente en f para que dicha condición se cumpla, cualquiera que sea el punto P. 7

V ectores

y

T enso res

Rn cambio, supongamos que en el punto P se cumplan simultáneamente liis dos condiciones F» = O, F„ = 0 . ¿Representará este hecho analítico una propiedad geométrica de la curva? El cálculo vectorial nos dice íiuc sí, puesto qua F * , son componentes de un vector (vector gradiente de F ) , y siempre que se trata de un vector el hecho de ser nulas sus componentes es independiente del sistema de coordenadas. Por otra parte, sabemos bien que las condiciones F* = O, F^ = O indican que el punto P es un punto “singular” de la curva, sin relación alguna con el sistema de coordenadas (cartesianas) utilizado. Este aspecto invariante del cálculo con vectores y tensores es el que hemos procurado hacer resaltar continuamente en el presente libro. Es, sin duda, el más importante y el que motiva su verdadera razón de ser. Se escribe muchas veces que el cálculo vectorial es útil porque “sim plifica los cálculos” o porque “es muy elegante” , razones ambas ciertas pero secundarias: los cálculos vectorial y tensorial son útiles porque no introducen elementos extraños, pues, aun apoyándose en sistemas de coordenadas, sus elementos y sus operaciones tienen carácter intrínseco e invariante. Con ellos, a través del análisis y del álgebra, la geometría vuelve a encontrarse con la unicidad primitiva, en la que cada elemento tiene un bien definido significado geométrico. El presente libro se divide en dos partes; la primera dedicada a los vectores y la segunda a los tensores. En ambas, junto con !a parte teórica necesaria, se dan los indispensables ejemplos y aplicaciones para que los conceptos se comprendan en su real significado y en todo su campo de acción. Los capítulos I y II se ocupan del álgebra vectorial y sus aplicaciones, principalmente a la geometría analítica del espacio, que es en la que el método vectorial puede mostrar sus primeros y más evidentes resultados. El capítulo I I I está dedicado a la definición analítica de vector. Aunque ello significa una repetición de lo que será dicho de manera más general al estudiar los tensores, hemos creído que tiene importancia in sistir en la m anera como, por método analítico, se puede descubrir el carácter intrínseco o no de un elemento geométrico. Los capítulos IV y V tratan de los operadores vectoriales y las fór mulas integrales clásicas que los ligan. Las aplicaciones del análisis vectorial (cap. V I) se refieren, como es costumbre casi general, a la geo metría diferencial, al electromagnetismo y a la mecánica de fluidos. La segunda parte está dedicada a los tensores, con la introducción sobre transformaciones lineales y matrices del capítulo V III. En este punto se presenta la duda de si el estudio de los tensores cartesianos puede o debe suprimirse, puesto que ellos quedan evidentemente com prendidos dentro de los tensores generales del capítulo X. Sin embargo, si bien es cierto que puede hacerse tal supresión sin disminuir el con tenido, hemos creído conveniente dedicarles un capítulo aparte, en razón de que para muchas aplicaciones (cap. IX ) son los cartesianos los únicos H

I n t r o d u c c ió n

tensores que interesan y, por tanto, puede haber muchos lectores para quienes sean ellos suficientes, con lo que les es posible evitar el estudio, siempre pesado al principio, de los tensores en general. Por otra parte, para cualquier lector el estudio previo de los tensores cartesianos antes de los generales no será nunca una perdida de tiempo, sino más bien un recomendable entrenamiento. Sigue después el estudio de los tensores en general y, como aplica ción obligada, la geometría do los espacios de conexión afín y nociones sobre la geometría de los espacios de Ricmann. Term ina el libro con la acostumbrada aplicación de esta última a la teoría de la relatividad general. La impresión de un libro de matemática no ha sido nunca tarea fácil, pero va siéndolo cada vez menos debido, por un lado, a la comple jidad creciente del simbolismo matemático y, por el otro, a la invasión de la linotipo que, en aras de la velocidad, exige una uniformidad incom patible con aquélla. Sin embargo, la Editorial Universitaria de Buenos Aires ha vencido toda clase de inconvenientes y ha conseguido, no sin esfuerzo, dar al presente libro una presentación ejemplar. Séame permitido, en conse cuencia, expresarle aquí mi mayor agradecimiento. Buenos Aires, marzo de 1961.

Primera Parte

VECTORES i*

CAI’JT U L O I

A L G E B R A V E C T O R IA L

1.

VECTORES: SUS CLASES

L M agnitudes escalares y vectoriales. H ay magnitudes que que dan determinadas dando un solo número real: su medida. Por ejemplo: la longitud de una regla, o la masa de un cuerpo, o el tiempo trans currido entre dos sucesos. Tales magnitudes se llaman escalares, y pue den ser representadas por segmentos tomados sobre una recta a partir de un origen y de longitud igual al número real que indica su medida. Otros ejemplos de escalares son: la densidad, el volumen, el trabajo, la potencia. Para otras magnitudes, en cambio, no basta dar un número para determinarlas. Para la velocidad de un punto, por ejemplo, no basta conocer su intensidad, sino que hace falta conocer, además, la dirección y el sentido en que el punto se mueve. La dirección viene dada por una recta, de m anera tal que todas las rectas paralelas tienen la misma dirección, y en cambio rectas no paralelas tienen direcciones diferentes. Cada dirección tiene dos sentidos, determinados por las dos orientaciones posibles de la recta. Lo mismo que con las velocidades ocurre con las fuerzas: su efecto depende no sólo de la intensidad, sino también de la dirección y sentido en que actúan. Estas magnitudes en las cuales hay que distinguir su intensidad (que es una magnitud escalar), su dirección y su sentido, se llaman magnitudes vectoriales. Otros ejemplos son: la aceleración, la cantidad de movi miento, la intensidad de un campo o de una corriente. Las magnitudes vectoriales ya no se pueden representar, como los escalares, por segmentos tomados sobre una misma recta. Hay que tomar segmentos de longitud variable (indicadora de la intensidad) a partir de un punto fijo, los cuales tengan la dirección y el sentido correspon dientes. Resumiendo y precisando, podemos establecer las siguientes defi niciones: D e f . 1: Se dice que una magnitud es un escalar cuando el con13

Ai.oEnnA V e c t o r ia l

imito (Ic sus valores se puede poner en correspondencia biunívoca y continua con el conjunto de los números reales o una parte del mismo. D k f . 2: U na magnitud se llama v e c to ria l cuando el conjunto de sus valores puede ponerse en correspondencia biimívoca y continua con el conjunto de los segmentos orientados que parten de un mismo origen, o con una parte del mismo. Al exigir la continuidad de la correspondencia suponemos, en ambos casos, que nos limitamos a magnitudes que varían con continuidad. C uando se trata de magnitudes que solamente tom an valores discretos (números enteros, por ejemplo, en el caso de escalares o ciertas direcciones especiales en el de vecto riales) también podría hablarse de escalares y vectoriales, pero entonces muchas operaciones que veremos (adición, multiplicación por u n escalar, etc.), podrían no estar definidas, por no ser el resultado un a m agnitud de las consideradas; ello obligaría a hacer cada vez la correspondiente salvedad. Por otra parte, el caso continuo que consideramos es prácticam ente el único que interesa en las aplicaciones. Las magnitudes escalares y vectoriales no son las únicas que interesan en geometría o en física. Por ejemplo, el momento de inercia de u n sistema de masas respecto de los distintos ejes que pasan por un punto fijo no puede carac terizarse por una m agnitud escalar ni vectorial. Tam poco las tensiones de un cuerpo según las distintas direcciones que pasan por un punto constituyen una magnitud escalar ni vectorial. Estas magnitudes se llaman tensoriales, y de ellas nos ocuparemos en la segunda parte.

2. Vectores. U n segmento de recta queda determinado por sus dos puntos extremos. Cuando estos puntos están dados en cierto orden, se dice que el segmento está o rie n ta d o . D e f . 3 : Se llama v e c to r a todo segmento orientado. El primero de los puntos que lo determinan se llama o rig e n y el segundo e x t r e m o del vector. La recta que contiene el vector determina la d ir e c c ió n del mismo y la orientación sobre la recta, definida por el origen y el extremo del vector, determina el se n tid o de este último. Todos los vectores situados

F io u r a 1

sobre una misma recta o rectas paralelas tienen la misma dirección. Sobre cada recta hay dos sentidos opuestos. Toda magnitud vectorial puede representarse por un vector, cuya longitud sea proporcional a la intensidad y cuya dirección y sentido sean 14

1. V e c t o r e s : S u s C l a s e s

los correspondientes a la magnitud. Por ejemplo: la figura 1 representa un vector A cuyo origen es el punto O y el extremo el punto P . D e f . 4 : Se llama módulo de un vector a la longitud del segmento orientado que lo define. El módulo de un vector es siempre un número positivo. Si el vector es A = O P , el módulo se representa por cualquiera de las tres maneras mód A = I A I = I O P I . Cuando el módulo es nulo el segmento se reduce a un punto y no puede hablarse de vector, puesto que faltan la dirección y el sentido. Sin embargo, por comodidad de expresión en muchos enunciados, se con viene en definir como vector nulo al que tiene su módulo igual a cero. Para indicar un vector se usa muchas veces una flecha encima, así A o bien O P . Otras veces se utilizan letras góticas o negritas. Nosotros seguiremos este último criterio, excepto en los casos en que se desee poner de manifiesto el origen y el extremo, en los cuales pondre mos simplemente O P , sin flecha superior. 3. Igualdad de vectores. D e f . 5 : D o s v e c to re s se d ic e n iguales c u a n d o tie n e n el m is m o m ó d u lo y la m is m a d ir e c c ió n y s e n tid o .

F ig u r a 2

Así, los vectores A y B de la figura 2 son iguales, lo cual se escribe A = B. Con este criterio de igualdad, todos los vectores pueden ser tras ladados de m anera que tengan un mismo origen O . De esta manera cada vector y todos sus iguales tendrán un solo representante como vector de origen O . Algunos autores llaman equipolentes a los vectores que hemos de finido como iguales. L a definición que hemoi dado de igualdad ei admiiible, pues ella cumple l.'is tres propiedades que se exigen a toda definición de igualdad entre elementos do un conjunto, a saber:

15

A j -gebra V e c t o r ia l

a) A = r A (propiedad re/Z^xiva) : b) Si A = B , es B = A (propiedad simétrica) ^ e) S i A = B y B = C , e s A = C (propiedad transitiva). Sin embargo, estas propiedades no caracterizan la definición dada de igual dad ; se podrían dar muchas otras sin dejar de cumplirse esas propiedades. Por ejemplo: “Dos vectores son iguales cuando tienen la misma dirección”, “dos vectores son iguales cuando tienen el mismo módulo” , “dos vectores son iguales cuando la recta que los contiene corta a un plano fijo del espacio en un mismo punto” , etc. De todos modos las tres propiedades mencionadas eliminan a otra» definiciones que no serían admisibles. Por ejemplo: “Dos vectores son iguales cuando sus direcciones son perpendiculares” ; esta definición no sería admisible, por no cumplirse la propiedad transitiva.

4. Vectores deslizantes y vectores fijos. L a definición anterior de igualdad corresponde a los que se llaman vectores libres. Como en todo el cálculo vectorial son éstos los que más interesan, y, por otra parte, las reglas de cálculo son las mismas para todos, hemos prescindido de este agregado; en todo el texto, al decir simplemente “vector” sobrentende remos que se trata de lo que algunos autores llaman “vectores libres” . Se hace esta distinción para permitir considerar los llamados vec tores deslizantes y los fijos, los cuales se distinguen únicamente por ser distinta la definición de igualdad adoptada. Así, se llaman vectores deslizantes aquellos que únicamente son igua les cuando tienen el mismo módulo, la misma dirección y sentido y, ade más, actúan sobre una misma recta. Por ejemplo, los vectores de la figura 2, considerados como vectores deslizantes, no son iguales. Para

que sean iguales deben estar sobre una misma recta, por ejemplo los O P y O ' P ' de la figura 3. Los vectores fijos son aquellos que únicamente son iguales cuando tienen el mismo módulo, igual dirección y sentido y, además, el mismo origen. Así, los vectores de las figuras 2 y 3, considerados como fijos, 16

2. Co m p o n e n t e s

y

C o s e n o s D ir e c t o r e s

de

un

V ector

lio «on iguales; para que lo fueran deberían tener el mismo origen y |)(ir tanto estar representados por el mismo segmento orientado. Obsérvese que las definiciones de igualdad para los vectores desli/.iinlc» y fijos cumplen también las tres propiedades (reflexiva, simétrica y transitiva) que mencionamos para los vectores libres. Las fuerzas son el ejemplo típico de vectores deslizantes, puesto que mi cfecto no cambia si se trasladan sobre la recta que las contiene, pero varia si se aplican sobre otra recta paralela. I'',JERCICIOS 1. Demostrar que si O P y OiPi son dos vectores iguales, pero no coincidentcs, los vectores O O i y P P i son tam bién iguales. 2. Si O P y O iP i son dos vectores ¡guales, no coincidentes, buscar la con dición para que: a) Lo» vectores POi y OPt sean perpendiculares entre sí; b) los vectores P O i y O P i tengan el mismo módulo. 3. Sean O P y O Pi dos vectores del mismo origen que forman entre sí un ángulo de 60® y tienen por módulos 2 y 3, respectivamente. H allar el módulo del vector que une los puntos medios de los segmentos O P y O P ¡. 4. D ado un tetraedro regular de arista a , hallar el módulo del vector que une un vértice con el baricentro de la cara opuesta (altu ra del tetraedro).

2. CO M PO N EN TES Y COSENOS D IR EC TO R ES DE U N V EC TO R L Componentes de un vector. Supongamos en el espacio un sis tema de coordenadas cartesianas ortogonales de origen O y ejes x , y , z .

S n iii /*, (x^, y ¡ , z^) , Pj {x a , y t , Zi) el origen y el extremo de un vector ilu d o A (fig. 4 ) .

A

lgebra

V e c t o r ia l

D e f . i : S e lla m a n com ponentes d e u n v e c to r A re s p e c to d e l sis te m a (O ; X , y , z) a las p ro y e c c io n e s d e A so b re los ejes, o sea, a los n ú m e ro s

ai = X2 - X i , flz = y2 - yi , «3 = ¿2 - gl · En general pondremos A ( « i , «2 , ^s) para indicar que fli, fl2 j son las componentes del vector A . Observemos que estas componentes son números que pueden ser positivos o negativos. Hay que tomarlos siempre tal como se definen en ( 1), es decir, como diferencia entre las coordenadas del extremo del vector y las coordenadas del origen. Así, por ejemplo, dos vectores opuestos (de igual módulo y dirección, pero de sentidos opuestos) tienen las componentes iguales en valor absoluto, pero de signos contrarios. Como consecuencia de la definición anterior y de la definición gene ral de igualdad de vectores ( 1 .3 )* se deduce: dos vectores iguales tienen

( 1)

las mismas com ponentes en cualquier sistema de coordenadas.

Como resulta de la figura 4, el vector A es la diagonal de un para lelepípedo recto cuyas aristas son a^, a 2 , «3 . Por tanto, llamando a = I A I(1 .2 ) al módulo de A , se verifica (2)

a=

+ «2^ + «3®

e x p re s ió n q u e se to m a s ie m p re p o s itiv a y q u e n o s d a e l m ó d u lo d e u n v e c to r e n fu n c ió n d e sus c o m p o n e n te s . Nota. Puede tener interés hallar los vectores cuyas componentes y cuyo módulo son números enteros. H ay que resolver en números enteros la ecuación a* = ai’ - f oi’ - f oi’ , o bien, poniendo u = a i / a , v = o tJ a , w = a i/ a , resolver en números racionales la ecuación (3 ) u '- f P ara ello, observemos que una solución trivial es u = l , o = 0 , w = 0 . Poniendo entonce» U-Ì V w (4 ) ----------= — = — = 0

P

q

r

la ecuación (3 ) no» d»

( l + P 0 ) ’ + 9’0' + r*0’ = l de donde

2í

o = y por tanto

1P* (5)

u = l ----- ----

2PQ

. . -,

2/>r

v = —

En consecuencia, poniendo

a = p* + q* + t*

(6) raiults: •

C on

APARTADO

18

m ,

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2. C o m po n e n t e s

y

C o s e n o s D ir e c t o r e s

d e xjn

V ec to r

a, = g’ + r’ — />*, =1, q= 1 , r = l ) : < ji= 1 , oi = 2 , fli = 2 , a = 3 (¡1 = 1 , q z= 1 , r = 2) : a i = 4 , oi = 2 , a. = 4 , a = 6 (p = 1 , 9 = 2 , r =: 3) :a· = 12 , a» = 4 , a, = 6 ,a = 14 {p = 2 , 9 = 1 , r = 2) : a i = 1 , ai = 4 , a, = 8 , a = 9 I,;i explicación geométrica del método seguido es la siguiente: (3 ) repre•cnl.i una esfera cuyos puntos racionales hay que hallar. Conociendo uno de ellos, / ’ (1 , 0 , 0) , cualquier otro se obtendrá cortando la esfera con rectas que pasen por / ’ y tengan sus cosenos directores racionales. Las ecuaciones generales de mili» rectas son las (4) y su ulterior intersección con la esfera es el punto (5 ) . I.ii» ecuaciones (5 ) pueden también considerarse como las ecuaciones param étri<'n» de la esfera (3) . De aqui se deduce que las expresiones (7) no sólo dan lirinp-c soluciones del problema, sino que dan todas las soluciones posibles. (7)

Ejemplos: 1. Las componentes del vector cuyo origen es el punto Pi ( — 1, O, 2) y el extremo el punto Pt (2, - 3 , - 5 ) son ai = 3 , oi = — 3 , a. = — 7 . 2. El módulo del vector de origen Pi ( 2 0 , 1 2 , 5 ) y extremo P i ( — 2 , — 8 , 9) vale a = V ( - 2 2 )’ + 20* + 4’ = 30 . 3. Los vectores situados en planos paralelos al x , y tienen nula su pro yección sobre el eje z y por tanto nula su tercera componente. 4. Los vectores de componentes ( — 3 , 1 , 2 ) y ( 3 , — 1 , — 2) tienen la misma dirección y sentidos opuestos. 2. C o se n o s d ir e c to re s d e u n v e c t o r . D e f . 2 : S e lla m a n cosenos d ir e c to r e s d e u n v e c to r, re s p e c to d e u n siste m a d e c o o rd e n a d a s o rto g o n a le s ( O ; x , y , ¿ ) , a los co sen os d e los

/tu ru lo s <|tic el m is m o f o r m a c o n el s e n tid o p o sitiv o d e los e jes co o r-

(iriiikdoA. 19

A lgebra V e c t o r ia l

Los ángulos hay que tomarlos entre 0° y 180°, de m anera que los cosenos directores pueden ser positivos o negativos. Si los ángulos del vector A (« i, «2 , «3) con los ejes los represen tamos por a , p , Y , los cosenos directores se deducen de las fórmulas (8 ) fli = a eos a , <12 = a eos p , 0 3 = a eos y , que expresan que la proyección de un segmento sobre un eje, es igual a la longitud del segmento por el coseno del ángulo que el mismo forma con el eje (fig. 5 ). Si elevamos estas igualdades al cuadrado y las sumamos miembro a miembro, teniendo en cuenta (2 ) resulta (9) eos“ a + eos* 3 -t- eos* Y = 1 que es la relación fundamental que liga los cosenos directores de un vector. De (2) y (8 ) se deduce también que

(10)

cosa=-------- —-------

, cosp—------- —------- ,

y / + 02^ + 03^

V«i“+ V + a3* a»

cosY = -------------------

,

y/ai^ + a./ + as^

es decir, conocidas las componentes de un vector se puede calcular tanto su módulo como sus cosenos directores (con los cuales queda determi nada su dirección y también su sentido). Es decir: un vector queda completam ente determinado ( módulo, dirección y sentido) por sus Com ponentesEjemplos: 1. Si las componentes de un vector son 1 , — 1 , 2 , sus cosenos directores serán:

eos a = 1 /V 6 , eos P = — 1 /V 6 , eos y = 2 / V 6 . 2. Si el módulo de u n vector es a = 5 y sus cosenos directores son ( — 1/9 , 4 / 9 , 8 /9 ) las componentes serán oi = — 5 /9 ,
3. V ectores paralelos. Si dos vectores A (a-¡ , 0 ^ , 0 3 ) y B {b ^ , 62 , b ,) son paralelos y del mismo sentido, tendrán los mismos cosenos di rectores y por tanto, junto con (8) , tendremos ( 11) fei = eos a , ¿»2 = fe eos P , £>3 = ¿> eos Y . Si son paralelos y de sentidos opuestos, los ángulos que forman con los ejes difieren en 180° y los cosenos directores resultan iguales pero de signos opuestos. Por tanto, en vez de (11) tendremos 20

2. Co m po n e n t e s

Co sen o s D

ir e c t o r e s

de

un

V ectoh

b^ = — b eos ^ , i/, = — ò eos y , o de (8 ) y ( 1 2 ) se deduce fll _ _ «3 _ a 6i 62 bi b viiliciido el signo + en el primer caso y el — en el segundo. Recíprocamente, si estas condiciones se cumplen, dividiendo (8 ) |)(ir las igualdades análogas escritas para el vector B , los cosenos direcliHc.i resultan proporcionales, y como en ambos casos se cumple la cotidirión (9) deberán ser iguales en valor absoluto y por tanto los vcciorcs paralelos. Resulta por consiguiente:

( 12)

h,

y

De (8 )y

= — b eos a ,

(11)

T e o r . 1 : L a c o n d ic ió n necesaria y s u fic ie n te p a ra q u e do s vecto re s Sf an paralelo s es q u e sus c o m p o n e n te s sean p r o p o rc io n a le s, es decir,

S i el va lo r d e estas ig u a ld a d e s es p o s itiv o , los ve c to re s ti e n e n el m is m o s e n tid o y si es n e g a tiv o tie n e n se n tid o s o p u esto s. Ejemplo; Los vectores A (2 , — 4 , 6) y B ( — 1 , 2 , — 3) son paralelos y de sen tidos contrarios, puesto que la razón de sus componentes homólogas es constante c igual a — 2 (negativa). E n cambio los vectores A ( — 9 , 6 , 3 ) y ^ ( — 3 , 2 , 1 ) ion paralelos y del mismo sentido, puesto que la razón de sus componentes honiólogas vale 3 (positiva).

4. Angulo de dos vectores. Sean A ( « i , fl2 , ^3) y B (i>i, í>2, ¿3) dos vectores dados. La proyección de B = OR sobre la recta que con-

tinie A será igual a la proyección de la poligonal O P Q R (fig. 6) i|iin (iciic los mismos extremos y cuyos lados son precisamente las com-

l«)ncnlcs

b i , ¿3 .

21

A

lg e br a

V e c t o r ia l

Por tanto, llamando O al ángulo que forman los dos vectores A y B y a , P , Y a los ángulos de A con los ejes, será 6 eos 0 = 6i eos a + ¿2 eos P + ¿3 eos y o bien, según (8 ) , , >. (1 4 )

o

«1

í>i + flj

62

+

«8

, eos 0 = -------------- ------------- , a b

-___ >1

que es la fórmula que permite calcular el ángulo entre dos vectores dados por sus componentes. Para 0 = Jt/2 debe anularse el numerador de (14) . Por tanto: T eo r. 2:

L a c o n d ic ió n n ecesa ria y s u fic ie n te p a r a q u e los v ecto res

A y B sean p e r p e n d ic u la r e s es q u e e n tr e sus c o m p o n e n te s se c u m p la la relación

(15)

fli í>i + «2

+

«3

63 = O .

Ejemplos: 1. El ángulo entre los vectores A ( — 1 , O, 1) , B ( 2 , 1 , — 3) , según (14) lerá -2 -3 5 eos 6 = ---------------- = — - . yj2 V i? 2 V7 2. Los vectores A ( 3 , — 1 , 2) y B ( — 2 , 4 , 5) son perpendiculares, puesto que te cumple (1 5 ), o sea, — 6 — 4 + 1 0 = 0 . 3. Sean los puntos A de coordenadas ( — 1 , 3 , 2 ) y B d e coordenadas ( 2 , — 1 , - 2 ) . Se desea calcular el ángulo A O B , siendo O el origen de coordenadas. Se tra ta del ángulo entre el vector de componentes ( — 1 , 3 , 2) y el O B de componentes ( 2 , — 1 , — 2 ) . Por tanto, según (1 4 ), es - 2 - 3 - 4 3 co» 0 = -------------------- = ----------------. V l4 V9

VTÍ

EJER C IC IO S 1. H allar el módulo del vector de origen P ( 2 0 , — 5 , 8 ) y extremo P .(-4 ,-3 ,2 ). 2· U n vector tiene un módulo a = 1 3 y sus dos primeras componentes son a, = 3 , n» = 4 . ¿C uál es la tercera componente? S. U n vector de módulo 5 tiene las tres componentes iguales. ¿C uánto valen? 4. I Cuál es la condición para que un vector esté en el plano y , z ? 5. H allar los cosenos directores del vector de componentes (1 , — 1 , 3) . 6 . U n vector forma ángulos iguales con los tres ejes coordenados. H allar lus cosenos directores. Suponiendo que tiene módulo igual a 5 , ¿ cuáles serán lus componentes? 7. H allar los cosenos directores de un vector situado en el plano x , y cuya dirección es la de la bisectriz del cuadrante x , — y . 8 . H allar los cosenos directores de los vectores paralelos al eje r . 9. H allar las componentes del vector de módulo 2 situado en el plano x , y que forma un ángulo de 30° con el eje * .

22

3 . A d ic i ó n

10 IMitiriilri 11. «iHciiivDí 12.

y

S u s t r a c c ió n

de

V ectores

Sea el vector de componentes ( 1 / 3 , — 2 / 3 , 2 /3 ) . H allar las comdel vector de módulo 5 que tiene la misma dirección y sentido. Demostrar que los segmentos que unen los puntos medios de los lados de un cuadrilátero cualquiera forman un paralelogramo. C alcular el ángulo que forman dos diagonales de un cubo.

.S. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE VECTORES 1. Adición de vectores. Para sumar dos vectores A ( a i , a 2jas) y IJ , ¿ 2, 63) se procede de la siguiente manera. A partir del ex tremo A se lleva el vector B; y el vector cuyo origen es el origen de A

y cuyo extremo es el extremo de B , una vez así colocado, es el vector sumn A + B (fig. 7). Al mismo resultado se llega tomando A y B con el mismo origen O y definiendo la suma como la diagonal que pasa por O , del paralelogramo construido sobre A y B (fig. 8). Proyectando la poligonal formada por los vectores A , B y A + B sobre los ejes coordenados, resulta que las componentes del vector suma A -I· B on la suma de las componentes de los vectores A y B . Por rjrm p! ■, al proyectar sobre el eje x (fig. 9) la componente de A -t-B es /«,

/> ,

·.=

P ,P ^

+ P , P s

=

a^ + b , .

So puede por tanto establecer la siguiente Dkf. 1: El vector sum a de otros dos A (fli, a^, a^) y B (&i, &2. í's) es oí vector que tiene por origen y extremo, respectivamente, el orif’CM v el extremo de la poligonal obtenida llevando u n vector a conIíiiii;i('¡('>n del otro. I.as componentes del vector suma son las sumas de la compoiicnlcs, o sea, (11

b^j

,

í7 o —

fe o ,

*í “ í~

b^

,

De osla definición se deduce que la adición de vectores es contn iiliilivn:

A + B = :B + A . D e la fig u r a 7 se d e d u c e i n m e d i a t a m e n t e q u e si l l a m a m o s

5

al 23

A

lgebra

V e c to r ia l

módulo de la suma A + B y a , fe a los módulos de los sumandos, es r* - a* + fe=“ - 2 a fe eos 0 siendo O el ángulo entre los dos vectores. Por otra parte, puesto que los vectores A , B y A + B resultan lados de un triángulo, se cumple la desigualdad |A + B | ^ | A | + | B | valiendo el signo igual únicamente en el caso de ser 0 = O · Es decir: e l m ó d u lo d e la s u m a d e d o s v e c to re s es s ie m p r e ig u a l o m e n o r q u e la

s u m a d e los m ó d u lo s d e los s u m a n d o s , s ie n d o ig u a l ú n ic a m e n t e e n el caso d e te n e r los v e c to re s la m is m a d ir e c c ió n y s e n t id o . Ejemplos: 1. L a suma de los vectores A ( — 3 , 1 , — 2) y B ( 0 , — 3 , 5) es el vector de componentes ( — 3 , — 2 , 3) . 2. L a suma de dos vectores opuestos es el vector nulo. 3. Sea A u n vector fijo y B un vector de módulo fijo pero de dirección variable. Discutir, gráfica y analíticam ente, los intervalos en que puede variar la dirección de B para que el módulo de la suma A + B sea mayor que el mó dulo de A . Análogamente p ara que sea m enor que el módulo de A ,

2. Sustracción de vectores. Dado un vector B (fei, b^, fes) se rer presenta por — B al vector o p u e sto , es decir, al que tiene el mismo mó dulo y la misma dirección, pero sentido contrario. Las componentes de — B son — fei, — fej, — fe». 24

3. A

d ic i ó n y

S u st r a c c ió n

dk

V íc t o r e s

1)ivP. 2: La diferencia A — B de dos vectores esigual a la suma tlfl vector A y del vector — B , opuesto a B . I*or tanto, las componentes del vector diferencia A — B son las difrrcncias de las componentes, o sea, ai bi , «2 bi , 0,3 £>3 . Para verificar geométricamente la diferencia A — Bprocederemos como en el caso de la suma, tomando — B en vez de B . Las figuras

'-B

10 y 11 son las análogas a las figuras 7 y 8 para este caso de la dife rencia de vectores. Obsérvese que la diferencia es la operación inversa de la suma, es decir, de A — B = C , se deduce A = B + C . 3. Suma algebraica de varios vectores. Puesto que restar el vec tor B es lo mismo que sumar el vector — B , cuando se tengan vanos vectores que haya que sumar o restar entre sí bastará siempre consi derar únicamente el caso de una suma A + B + C + . . . + E . Para verificar geométricamente esta suma basta llevar sucesiva mente estos vectores, de m anera que el origen de cada uno coincida con el extremo del precedente. El vector que une el origen del primero A con el extremo del último E , es el vector suma (fig. 12). En particular, si los vectores A , B , . . . , E forman una poligonal ferrada, el vector suma tiene su origen y extremo coincidentes; es diTÍr, es el vector nulo ( 1 .2). Analíticamente, el vector A + B + C + --- + E es el que tiene por roniponentes las sumas «¡i + + Ci + · · · + , 0 2 + b^ + c^ + * · · · + C j, «3 + ¿3 + Cs + . · ■ + ^3 de las componentes respectivas. De iunil (juc la adición de vectores cumpla las propiedades conmutativa y mocialiva de la adición ordinaria entre números reales. 25

Algibra VsCTOIUÍlL 4. Producto de un vector por un escalar. Sea a^, 0 3 ) un vector y X un escalar, o sea un número real cualquiera. D e f . 3 : Se llama producto XA (igual a AX ) del vector A por el escalar \ al vector que tiene; a) el módulo igual al producto del

F io u r a 12

módulo de A por el valor absoluto de X ; b ) la misma dirección que A ; c) el mismo sentido que A si X es positivo y el sentido opuesto si \ es negativo. Las componentes del vector XA son, por tanto, X \ di y X(Z3 . Por ejemplo, la figura 13 representa los vectores A , — 2 A , 3 A°.

F ig u r a 13

Es interesante observar que, según la definición, si a = 1A | y tomamos X = 1 / a , el vector

( 1) 20

A

-

a

3. A d ic ió *

y


de

V íc t o r e s

m·!·.'! nn vector de módulo unidad y de la ivísma dirección y sentido ijiif A .

Diíf. 4: Los vectores de módulo unidad se Ii.\man versares. A cada vector A corresponde el versor (1) que tiene la misma di rección y sentido. Si dos vectores A , B tienen la misma dirección, llamando \ al cociente de los módulos a j b con signo positivo o negativo según que iiiiibos vectores tengan la misma o distinta dirección, según la def. 3 urrá A = XB , que puede escribirse (2)

A

= x

B De esta m anera queda definido el cociente entre dos vectores de ijiual dirección; su valor es el escalar X antes definido. En cambio, el cociente entre vectores de direcciones diferentes no se puede definir. 5. Versores fundamentales. Descomposición canónica de un vector. Sea {O ; X , y , z) un sistema de coordenadai ortogonales (fig. 14).

Sobre cada uno de los ejes y con el sentido coincidente con el sen tido positivo de los mismos, consideremos respectivamente los versores I , J , K . Sus componentes son 1 ( 1 , 0 , 0 ) , J ( 0 , 1 , 0 ) , K ( 0 , o , 1) y se llaman versores fundamentales. Todo vector A ( « i , ü2 , «s) puede escribirse en la forma (3) A = I + a, J + a, K 27

A lg e br a V e c t o r ia l

puesto que, en cfecto, según las reglas de adición de vectores y de m ul tiplicación de los mismos por un escalar, el vector del segundo miembro tiene por componentes C i, 0 2 , Os, es decir, es el vector A . Esta descomposición de un vector como suma de tres vectores en la dirección de los ejes coordenados es muy importante y útil. La lla maremos descomposición canónica de un vector. 6. Descomposición de un vector por sus componentes según tres direcciones dadas. L a descomposición canónica (3) es un caso parti cular de otra descomposición más general.

Sean E , G , H tres vectores no paralelos a un mismo plano y A otro vector cualquiera. Proyectando A sobre cada uno de los vectores E , G , H paralelamente al plano determinado por los otros dos y lla mando A l , A 2, As a los vectores obtenidos como proyección, resulta A = Al + Aa + A3 . Por otra parte, siendo Ai un vector que tiene la dirección de E , es A i = p E siendo p un escalar (igual al cociente entre los módulos de Ai y de E con signo + si estos vectores tienen el mismo sentido y signo — si tienen sentidos opuestos). Análogamente es Ai = q G y As = r H , siendo q , r escalares. Resulta así (4) A = pE + gG + r H . Se puede por tanto enunciar: T e o r . 1: D ados tres vectores E , G , H no paralelos a un mismo plano, todo otro vector A pu ede escribirse en la form a (4 ), es decir, es una combinación lineal de ellos. 28

3 . A d ic i ó n

y

S u st r a c c ió n

de

V ectores

Los escalares p , q , r se llaman c o m p o n e n te s de A según la tem a de vectores E , G , H . 7. Baricentro de un sistema de masas. Por comodidad representaremos en c.ite subapartado a los vectores por las dos letras que indican su origen y su extremo. Por ejemplo, si O , O ' , P son tres puntos, la igualdad O ’O + OP = O'P indica que el vector O ' O , sumado con el O P , d a el vector O 'P (fig. 16). Supongamos un conjunto de n puntos P i (t = 1 , 2 , 3 , . . . , n ) . Tome-

mos un punto cualquiera O del espacio. Dados n números reales cualesquiera formemos el vector OG definido por (5)

O G = i U O P^ . 1

Queremos ver la condición que deben cum plir los X* para que el punto G , extremo del vector O G , sea independiente del punto O , es decir, sea el inismo cualquiera que sea el punto O elegido p a ra form ar la suma (5 ) . Para ello, si O ' es otro punto cualquiera, deberá ser también ((>)

O 'G = 2 h O 'P t , 1

o bien, siendo

O 'G = O 'O + O G ,

O'P* = O 'O + OPt

,

O ’O + O G = 2 X. O 'O + 2 X. O P , = O 'O 2 X, + O G

1

1

1

dn donde (7 )

2X . = 1 . 1

Reciprocamente, si esta condición se cumple, el extremo del vector definido |Mir rl segundo miembro de (6) es el mismo punto G . Por tanto se tiene 'l’i'.oR. 2 : Dados n puntos Pt y n números reales X i, Ca condición necesaria V xulicitnt» para que el punto G definido por la ecuación (5) dependa únicamente lié loi puntos P, y de ¡os números X i, pero no del punto O , es que se cumpla hi Kimiición ( 7) . ( ¡oiisidercmos ahora un sistema de masas puntuales m» colocadas respecllvniiii'iilR rn los puntos Pi . P ara deducir de este sistema un pun to G que delii'iiil.i úiilcuincntc de los puntos Pt y de las masas m t , bastará tom ar

29

A l g e b r a V e c t o r ia l

(8)

Xi = z -------

con

m = 2 m,

m

1

puesto que entonces se cum plirá la condición (7) . Esto justifica la siguiente D e í. 5: D ado u n sistema de masas m i colocadas respectivamente en loi puntos P i le llam a baricentro del sistema, al punto G definido por la igualdad

,

(9)

O G = — Í m tO P i

.

m 1

m =

Í m t

1

el cual es independiente del punto O . En particular, tom ando por O el mismo baricentro G , se verifica la relación

(10)

Sw
Si todas las masas se suponen iguales, el punto G le llama baricentro del sistema de puntos Pt y está definido por (11)

1 « 0G = — 2 0P,

n

1

y también es independiente del punto O que se tome. 8. Coordenadas barícéntricas. Sean P i , P i , P i , P* cuatro puntos fijos del espacio que no estén en un mismo plano. A cada cuaterna de números reales Xi que cum pla la condición (7 ) , la igualdad (5) hace corresponder un punto bien _determ inado G . Recíprocamente, dado un punto G , según (4) está determ inada la descomposición O G = p O P i + q OP, + r OP, y también OPt != Pi OP, + qi OP, + r, OP, . M ultiplicando esta segunda igualdad por X y restando de la prim era resulta (12) O G = ( p - X /,,) O P, + ( 9 - X q,) OP, + (r - X n ) OP, + k O P ,. L a condición j > 4 - g + r — X(/>i + 9 i + r i — 1) = 1 determ ina unívoca m ente X, con cuyo valor (12) tom a la forma (5 ) . Es decir, dado uv punto cualquiera G , «e tiene bien determ inada la descomposición O G en la formü (5) . D e f . 6 : Dados cuatro puntos fijos P j , P ,, P , , P* del espacio, que no estén en un mismo plano, los cuatro números X* ligados por la relación Xi + X * + X « 4 ' X < = l que figuran en la ecuación (5 ) se llaman coordenadas barícén trica s del p u n to G re sp e c to del siste m a d e co o rd en ad as fo rm a d o los p u n to s P j . P ara el caso del plano la definición de coordenadas barícéntricas es com pletam ente análoga, con tal de tom ar como sistema de coordenadas tan sólo tres puntos Pi (no alineados) en lugar de cuatro.

EJER C IC IO S 1. Dados los vectores A (3 , - 2 , 0) , B (5 , - 1 , - 4) , C ( - 4 , 3 , 1) , D (O, O, 1) hallar las componentes de los vectores A - { - B — C — D , A - D + C, A - B - f D - C , A - 2 B + 3 C , 3 A - B - 2 G + D. 2. D ado el vector fijo A y un vector B de igual módulo que A pero de dirección y sentido variables, discutir la diferencia de módulos | A — B | — 1A | viendo en qué casos es mayor, igual o m enor que cero. 3. Los vectores A y B form an entre (í u n ángulo de 45* y el módulo

30

3 . A d ic i ó k

y


de

V ectores

ilr A vale 3 . H allar cuál debe ser el módulo de B para que A — B lea perpendicular a A . 4. En el mismo problema anterior hallar el módulo de B para que A -|- B forme con A un ángulo de 3 0 °. 5. Dem ostrar que |A + B l ^ | A | + | B | y | A | — | B 1 : ^ | A — B j . 6. Dados en el plano , y los vectores cuyo origen común es el origen de coordenadas y cuyos puntos extremos son respectivamente P i ( 0 , l ) , P i ( — 1 , 3 ) , P » ( 2 , — 1} construir gráficamente los vectores O P i — O P t — O P » , O P. + O P, - 2 O P. , O P. - 2 O P, + 3 O P. . 7. Dados cuatro vectores A , B , C , D en el plano, construir gráfica mente la suma A - | - B — C - t - D y comprobar: a) L a propiedad coiunutativa A + B —C + D = A + B + D — C = A — C + D + B ; i ) L a propie usociativa A - | - B — C - j - D — (A B) — (C — D ) * A (B — C "í" D ) · 8. Se tienen tres vectores A , B , C con el origen común O . ¿ Cuál es la condición para que O y los extremos de los vectores sean vértices de un paralelogramo? 9. D em ostrar que si A , B , C son vectores no paralelos a un mismo plano y se cumple la condición a A + PB + y C = 0 , debe ser a = P = y = O . 10. D ado un triángulo P. P , P , y un punto cualquiera G de su plano, llamando Q i a los puntos en que los vectores Pi G cortan al lado opuesto a P i , probar la relación Q iG Qí G Q tG ------------ 1--------------- 1------------ = 1 . G .P. Q2 P 2 Q .P . 11. Probar: a) El centro 1 del círculo inscripto «I triángulo P»P»P· está dado por J=

[a O P, + b O P , + c OP,]

liendo a , b , c los lados y 2 p = a +

b + a.

b) El centro del círculo circunscripto es L = — [(sen 2 a ) O P . + (sen 2 P) O P . + (sen 2 y ) OP,] Si ■Irndo í. = s e n 2 a s e n 2 P + s e n 2 Y ( o , P , y ion los ángulos interiorei (lirl triángulo). e) El baricentro G e» G = z ~ {OPx + O P t + O P ,) . 3 Kn todos los casos O es un punto cualquiera del plano. 12. Si en un tetraedro A B C D dos pares de aristas opuestas son per pendiculares, dem ostrar que también las aristas que form an el tercer p a r ion pripendiculares entre si. 13. D ado u n tetraedro A B C D probar la relación

(D - .4) (B - C)

+ (D - B) (C - A) + {D - C) (A - B) = O.

14. Demostrar que para hallar el baricentro de un sistema de m asai se iiirdrii iiiitituir varias de ellas por su baricentro, »uponiendo en él una masa KH«I « ln lum a de las masas de los puntos correspondientes. 15. Si G ei el baricentro del sistema de m a iai m» colocadas en loi puntoi /'i , driiiuitrar la llamada rtUción d i S u w a r ti

f

31

A lgebra V e c t o r ia l 2 m , O P ,' = m O G * + 2 m , GP,^ tiendo m = 2 m ». 16. Con la misma notación anterior p robar que m ' O G‘ z= m 2 mt O P' — 2 m , m ¡ P i P ' .

«

·.!

17. Buscar a i , Oi, oi de m anera que los vectores a iI + a ,J + a , K , 2 I - 3 J + 5 K , - I + 2 J - K sean linealmente dependientes, o sea que resulten coplanares al llevarlos a partir de un origen común. 18. D em ostrar que con segmentos iguales y paralelos a las medianas de un triángulo cualquiera se puede form ar otro triángulo. Probar que el teorema sigue siendo cierto si se sustituyen las medianas por los segmentos que unen lo· vértices del triángulo con los puntos que dividen al lado opuesto en una razón dada. 19. Sea O u n pu nto del plano del triángulo M N P . Si M ' , N ' , P ’ son los puntos medios de sus lados, dem ostrar que O M + O N + OP = O M ' + O N ' + O P ' .

4. P R O D U C T O ESCALAR Y P R O D U C T O V EC TO R IA L L Producto escalar. D e f . 1 : Se llama producto escalar o interno de dos vectores A , B

al escalar obtenido como producto de los módulos de A y B por el coseno del ángulo formado por los dos vectores. ^ Indicaremos el producto escalar con un punto, de m anera que será (1) A .B = 1A | 1B | cosO = a f e c o s 0 siendo G el ángulo que forman los dos vectores y a , b sus módulos. Como consecuencias inmediatas de la definición' se tiene: a) E l producto escalar es conmutativo:

A .B = B .A . b) L a condición necesaria y suficiente para que dos vectores sean perpendiculares es que su producto escalar sea nulo.

De (1) y (2.14) se deduce: c) M ediante las componentes de los vectores A , B iu producto escalar se expresa (2) A .B = + (22 bi + a¡ b¡ .

(3)

De aquí se deduce: A . (B C) = ai (£>1

+ Ci) + Oj (62 + C2 ) + a^ (63 + Cj)

=

= A .B + A .C es decir; d) E l producto escalar tiene la propiedad distributiva.

Tanto de (1) como de (2) se deduce que tanto el módulo de un vector se puede expresar 32

A .A = A^ = o* y por

4 . P ro ducto E sc a l a r

y

P roducto

V e c t o r ia l

/4) a= |A l= V A * íónnula muchas veces útil. Obsérvese que en el último miembro no se jiucde simplificar la raíz con el exponente, pues \/A^ es el escalar a y en cambio A es un vector. e) Para los versores fundamentales I , J , K , siendo de módulo IItildad y perpendiculares entre sí, resulta (5) P = p = K^=l, I.J = J.K = K.I = 0 . Con la notación del producto escalar, el ángulo 0 entre dos vecto res A , B se calcula por la fórmula

(6)

eos 0 =

—

a b

-

([ue según (2) es la misma fórmula 2.14, ya encontrada.

La proyección OB' del vector B sobre el vector A (fig. 17) vale // eos O , o sea OB' = — a

(7)

.

Ejemplos: 1. El producto escalar de los vectores A ( — 1 , — 1 , 3 ) , B (— 2 , 1 , — 3) •^KÍiii (2) es 2 — 1 — 9 = — 8 .

F ig u r a 18

H. l'.l ángulo que forman los vectores anteriores, según (6) se calcula iiii'iIlHiilr 1,1 fónimla eos O = — 8/V 154 .

33

A

lgebra

V e c t o r ia l

3. Sea el rombo construido sobre los vectores A , B de igual módulo a = b (fig. 18). Los vectores formados por las diagonales son A + B y A — B . Siendo (A + B ) . ( A — B) = A’ — B’ = O, resulta: las diagonales de un rombo «on perpendiculares. 4. Sea un tr i á n ^ l o rectángulo . 4 5 C (fig. 19). Con las notaciones in dicadas en la misma figura es B = — Ai + H , C = Ai + H . Sustituyendo estos valores en la igualdad B .C = O (que expresa que estos dos vectores son perpendiculares), resulta ( - A, + H ) . (A, + H ) = - A ..A . + H* = O 9 «ea, pasando a los módulos, resulta la propiedad elemental A I P = B H . H C .

5. Cauchy'.

De (1 ) y (2 ) se deduce inm ediatam ente la llam ada desigualdad de

2

a. 6 , ^ ( 2 a , ’)'A(2fc,·)'/.

válida p a ra dos ternas de números ( a i , a>, o>) , {bi , b t , bi) cualesquiera.

2. Las dos orientaciones deJ espacio. Consideremos los dos trie dros de la figura 20. Se ve fácilmente que no puede llevarse uno de ellos a coincidir con el otro de m anera que coincidan los ejes del mismo nombre, inclusive con su orientación. En efecto, si se hacen coincidir los orígenes y los ejes x , y d e modo que se superpongan las partes positivas con las positivas, los sentidos de los ejes z resultan opuestos. Se dice que f'>tos triedros tienen dis tinta orientación.

Para distinguir ambas orientaciones; se in tu d u ce la siguiente D ef. 2: U n triedro (O ; x , con las tres aristas dadas en el orden indicado x , y , z dice que es positivo o directo cuando co locando un tornillo (o un sacacorchos) normalmente al plano x ,y y girando de la parte positiva del eje x hacia la parte positiva del eje y , el tomillo avanza hacia la parte positiva del eje z . En caso contrario el triedro se llama negativo o inverso. Según esta definición, el triedro de la figura 20 a) es directo y el de la 20 6) inverso. 34

4. P roducto E sc a l a r

y

P roducto

V e c t o r ia l

l,.t d e fin ic ió n se a p lic a ieru alm en te a to d o s los trie d r o s c o n los ejes i.ileiiiiido», a u n q u e n o se a n o rto g o n a le s . B a s ta , p a r a q u e se a p o sitiv o , i(Mc rl lo n iillo , e n las c o n d ic io n e s d ic h a s, a v a n c e h a c i a el la d o d e l p la n o

ile ie rn iin a d o p o r x , y q u e c o n tie n e a l e je z . P o r e je m p lo , el tr ie d r o a) <1(1 líi fig u ra 21 es d ir e c to y el £>) in v e rso . ’l ’a m b ic n se d e d u c e d e l a d e fin ic ió n q u e d e f o r m a n d o u n tr ie d r o d r m a n e r a c o n t in u a ( o sea, m o d ific a n d o c o n c o n t in u id a d las d ire c c io n e s do los e j e s ) , s o la m e n te p o d r á p a s a r d e d ir e c to a in v e rso a tr a v é s d e u n a |)( «lición e n q u e los tre s ejes e sté n c o n te n id o s e n u n m is m o p la n o .

C u a n d o se d a u n siste m a d e e jes c o o rd e n a d o s fijo , a l c u a l se re fie re tildo el e sp a c io ( a l q u e lla m a re m o s siste m a f u n d a m e n ta l d e r e f e r e n c ia ) , «r p u e d e d e c ir q u e se h a fija d o u n a o rie n ta c ió n a l esp acio, e n te n d ie n d o p o r ta l la o rie n ta c ió n d e d ic h o tr ie d r o . Hay otros criterios para distinguir si un triedro es directo o inverso. Por rlriTiplo: un triedro es directo si colocándose un observador de pie sobre el plano X , y con la cabeza hacia la parte positiva del eje í , ve el sentido de giro drl cJb X !il eje y en sentido contrario al de las agujas de un reloj; en caso ( (iniriirio, c1 triedro es inverso. O tro criterio es el de los tres dedos: colocando los dedos pulgar, índice y mayor de la m ano derecha de m anera que formen triedro, tom ado en el orden

35

A l g ebra V e c t o r ia l

“mayor, pulgar, índice” se tiene un triedro directo. C ualquier otro que se pueda luperponer con é l también será directo. E n c e i s o contrario será inverso.

3. Vectores axiales o pseudovectores. A veces, en la definición de un vector, interviene la orientación del espacio, de m anera que cam biando ésta cambia el sentido del vector. Tales vectores, por tanto, no quedan definidos de m anera independiente del sistema de coordenadas al que se supone referido el espacio, particularidad fundamental de los vectores ordinarios que hemos considerado hasta ahora. Consideremos por ejemplo el m om ento de un vector deslizante res pecto de un punto. Sea un punto fijo O y un vector deslizante A de origen P y extremo Q (fig. 22). Decir que A es un vector deslizante significa, como ya sabemos (1 .4 ) , que sólo se considerarán iguales a él los que resulten de un desplazamiento sobre la recta r que lo contiene.

F ig u r a 22

Se llama momento de A respecto del punto O al vector perpendi cular al plano determinado por O y r , cuyo módulo es igual al pro ducto de A por la distancia h de O a. r y cuyo sentido es tal que el triedro formado por los vectores O P , O Q y el momento M (precisa mente en este orden O P , O Q , M ) tenga la misma orientación que el espacio. Es decir, tenga la misma orientación que un cierto triedro de coordenadas a; , y . z cual se supone referido el espacio. Por ejemplo, si el espacio está orientado positivamente, el sentido del vector M será el de la figura 22 , pero si estuviera orientado nega tivamente, el sentido de M sería el opuesto. Para distinguir estos vectores de los comunes se introduce la si guiente D e f . 3: Se llaman vectores axiales o pseudovectores a los vectores cuyo sentido cambia de signo al cambiar la orientación del espacio. Como acabamos de ver, el momento de un vector respecto de un 36

4 . P r o d u c t o E sc a l a r

y

P r o d u c t o V e c t o r ia l

I'» tin vector axial o pseudovector. Vamos ahora a estudiar el lo vectorial de dos vectores, que es el ejemplo más importante ili· |(KMi(i()vcctor. I Iiiíi v(íz fijada la orientación del espacio, los pseudovectores queiliii liicti determinados y actúan como los vectores propiamente dichos, nii iidc) válidas para ellos todas las reglas de adición, sustracción y proiliK lo iiuc hemos visto en los números anteriores. ( i i i m Iiii

•I. Producto vectorial. Supongamos el espacio orientado, es det Ir, *n|iongamos fijado un triedro fundamental de referencia formado (inr (rcN ejes coordenados {O ; x , y , z). Di·.!'. 4: Se llama producto vectorial o externo de dos vectores A , II III pseudovector C que tiene:
B

Indicaremos el producto vectorial por A a B , de m anera que según la definición es (II) I A A B I = a í> sen 9 »irndo a , b los módulos y O el ángulo entre los dos vectores. I-.'i condición c) es la que hace que el producto vectorial sea un pin ido vector en lugar de un vector. En efecto, su sentido no puede fijüiHr si no se conoce la orientación del espacio, o sea la del triedro fuiid;miental, v cambia con la orientación del mismo. I.as j)ropiedades fundamentales del producto vectorial son: a) Si en vez de A A B se considera B A A , el módulo y dirección no cambian, pero el sentido deberá ahora ser tal que sea B , A , C el 37

A

lg e br a

V e c t o r ia l

triedro que tenga la orientación del fundamental x , y , z \ por tanto G deberá tener el sentido opuesto al anterior. Es decir (9) AaB = - B aA propiedad que se expresa diciendo que el p r o d u c t o v e c to ria l es a n ti c o n m u ta t iv o . b ) Siendo X un escalar se verifica

(10)

í.(AAB)=XAABi=AA^B. En efecto, si X > O esta relación es una consecuencia inmediata de la definición de producto vectorial, puesto que los sentidos de los vectores no cambian al multiplicarlos por un escalar positivo ( 3 . 4 ) . Si X < O el vector del prim er miembro cambia de sentido, pero tam bién los productos del segundo y tercer miembro, puesto que al sustituir un vector por su opuesto la orientación de un triedro cambia de signo. c) E l p r o d u c t o v e c to r ia l tie n e la p r o p i e d a d d is tr ib u tiv a , o sea,

(11)

(A + B) AC = A A C + B A C . Para demostrarlo observemos primero que. dividiendo ambos miem bros por I C I y llamando Co = C / | C | al versor que tiene la direc ción y sentido de C , resulta (12) (A + B) a C o = A A C o + B ACo . Recíprocamente, si se demuestra (1 2 ), multiplicando por | C | re sultará (1 1 ); es decir, basta demostrar la propiedad distributiva para el caso, en que el segundo factor es un versor.

Proyectando A sobre el plano n normal a Co y llamando Ai al vector proyectado (fig. 2 4 ), es A A Co = Al A Co pues según la definición de producto vectorial, ambos miembros coin ciden en dirección, sentido y módulo, puesto que | Ai | = | A| s e n 0 . 38

4. P r o d u c t o E sc a l a r

y


I’or otra parte, siendo Co de módulo unidad, es j A A Co j = 1Ai 1 i'i (Ifcir: el vector A A Co es el resultado de girar Aj un ángulo de 90° el plano normal a C o, de m anera que A A C o, Ai y Co formen lui (licdro directo. Consideremos ahora los dos vectores A , B y su suma D = A + B . I'iir ]>royección sobre un plano normal a Co tendremos los vectores A | , IJi, D i siendo D i = Ai + B i . En la figura 25 se representa este |ilaiu> normal a C o .

Girando los tres vectores A i , B i , D i alrededor de O un ángulo de 00“ , según lo dicho, tendremos los vectores A A C o, B A C o, D A Co y por tanto D ACo = A A C o + B ACo (lue es precisamente la relación (12) que queríamos demostrar. á ) L a c o n d ic ió n n e c e sa r ia y s u f ic i e n te p a r a q u e dos v e c t o r e s t e n finn la m i s m a d ir e c c ió n (c o n s e n tid o s ig u a le s u o p u e s to s ) es q u e s u p r o d u c to v e c to r ia l sea n u lo .

I'^n efecto, suponiendo siempre vectores propiamente dichos, de mó dulo no nulo, (8) solamente se anulará si 0 = 0 , ó 0 = r t . Nota. Con la notación de producto vectorial, el momento de un vector A respecto de! punto O ( 4 .3 ) se puede escribir ( i :') M = P a ( P + A ) = P a A ilriido I* rl vector O P correspondiente a un pun to cualquiera de la recta que roiillrne A ,

38

A l g ebra V e c t o r ia l

5. Componentes del producto vectorial. De la definición de pro ducto vectorial y suponiendo positivo al triedro fundamental formado por los versores I , J , K , se deducen las relaciones (14) I A I = J A J = K A K = 0, ' 1 I^J = 7 J ^ I = K ,JA K = -K A J = I , K A I = - I A K = J. Consideremos ahora dos vectores descompuestos en su forma ca nónica (15) A = f l ,I + a2 J + flaK , B = J-l-fe a K . Aplicando (14) y la propiedad distributiva del producto vectorial demostrada en el subapartado anterior, se tiene (16) A A B = (a2Í>3 — a sb i) I + («361 — «1^3) J + («1^2 — K que nos da las componentes del producto vectorial de dos vectores. Recordando la regla para desarrollar determinantes de tercer orden, se observa que esta relación (16) se puede también escribir (17)

A

a

B=

I

J K

Q.\ 0.2 ^3 b\ ¿2 ^3

fórmula fácil de recordar. Ejemplos: 1. El producto vectorial de los vectores A (1 , — 2 , 0) , B ( — 3 , 1 , 4) será A AB = 2.

I J K 1 - 2 O = - 8 I - 4 J - 5K . -3 14

El ángulo que forman los vectores A ( — 1 , — 1 , 3) , B ( — 2 , 1 , - 3 )

legún (8) se puede calcular por la fórm ula sen 0 = V 90/V 154 puesto que el módulo de su producto vectorial es V90 · Compárese este resultado con el del ejemplo 2 del 4 .1

6. Producto escalar y vectorial de pseudovectores. Las defini ciones de los productos escalar o vectorial de pseudovectores, o de un vector por un pseudovector, son las mismas que para los vectores. Úni camente hay que tener en cuenta, como se deduce inmediatamente de cada definición, las siguientes reglas acerca del resultado del producto; vector . vector = escalar vector . pseudovector = pseudoescalar * pseudovector . pseudovector = escalar vector A vector = pseudovector vector A pseudovector = vector pseudovector A pseudovector = pseudovector * M agnitud de u na sola componente, como los escalares, que conserva el valor absoluto por cambios de ejes coordenados, pero que cam bia de signo con la orientación del espacio. V er 5 . 2 .

40

4. P r o d u c t o E s c a l a r

y


r,(l',KCICIOS I . Descomponer u n vector dado B en suma de otros dos B i, Bi tales que p| priinrro sea paralelo al vector dado A y el segundo perpendicular al mismo. Niiliición gráfica y analítica. ',2. Probar que de la igualdad A .B = A .C no se deduce B = C . Deiiioiilriir que el significado geométrico de dicha igualdad es que A es perpenillruliir a B — C (o es el vector nulo). 3. Dados en el espacio los puntos Pi ( — 1 , — 1, 2) , Pi ( — 3 , 0 , 2) , /*. ( 1 , 3 , 5 ) , h a lla rlo s ángulos Pi P , , Pi Pi y P i P i P , . 4. Probar la identidad A .B = 54 ( l A + B |* - | A1 > - | B 1 * ) . 3. Resolver y discutir las ecuaciones vectoriales A .X = A , A a X — B , •lindo A , B vectores dados y í: un escalar también dado. 6. Siendo a = | A | , 6 = | B | p robar que el vector AB bA C = ---------------a+ b llrnr l.-\ dirección de la bisectriz del ángulo que form an A y B . 7. H allar las componentes del versor perpendicular a losvectores A ( 0 . 1 , 5) y B ( - 3 , O, 2) . 8. H allar el área del paralelogramo cuyos lados son los vectores A (1 , 1 , 2 ) , B ( 3 , O, - 4 ) . 9. Sea el tetraedro O A B C formado por los vectores A , B , C , de origen ciiini'm O . Demostrar que la suma de los productos vectoriales A a B , B A C ,
;

6 ) A a ( B a C)

;

c)

( A aB)a C

;

,/)AA(AaB) ; «) ( A . B ) . ( A A B) ; /) (A A B) A (A A C ) . I .'5. U n paralelepípedo rectángulo tiene de aristas a , b , c . H allar los AiiKiiU)· que forman las diagonales con las aristas. Caso p articular del cubo. 16. Sean tres vectores A ,B , C de módulos a , b , c . Sea o el ángulo n , f! ; (l rl ángulo A , C y Y elángulo A , B . P robar que el módulo s de la autnn de los tres vectores está dado por la fórmula j* = íi’ + fc’ + í ’ + 2 6 í eos a + 2 a í eos P + 2 a 6 eos Y . 17. D em ostrar que la condición necesaria y suficiente p a ra que losvecliirr» A -j- B y A — B sean perpendiculares, es que sea | A | = | B | . 18. H allar el vector de módulo 3 perpendicular a los A (3 , — 1 , 0) y »(1.4, -2 ). 10. Comprobar que cuaquier vector paralelo al eje y es perpendicular a I niili|ulrr vector paralelo al plano x , t . 20. Scijún 2.4 la condición para que los vectores A , B sean paralelos (0 = 0 ó O n ) c· que sea i + ai -|- oi 6· = ± a b . Probar que esta relación r» rfjiiivalente a la A A B = O .

41

A l g e b r a V k c t o r u Ii

21. Probar que el producto vectorial
5. P R O D U C T O M IX T O Y O TR O S PR O D U C TO S VECTORIALES 1. Producto mixto de tres vectores. D ef. 1: Se llama producto mixto de tres vectores A , B , C y se representa indistintamente por ( A B C ) o por ( A , B , C ) al pro ducto escalar de A a B por C , o sea, (1) (ABC) = ( A a B).C . Si las componentes de los tres vectores A , B , C se indican con las minúsculas respectivas, siendo ^2 fes ” fez > fel — fes j fez — las componentes del producto A A ]B, resulta que (A B C) es preci-

samente el desarrollo del determinante formado por las componentes de los tres vectores, o sea, fel

(2)

(ABC)

di

= «2

fe2 fea

C x C z Í2

De aquí, recordando la propiedad de los determinantes de cam biar de signo al perm utar dos filas entre sí, resulta (3) ( A B C ) = ( B C A ) = ( C A B ) = - ( B A C ) = - ( A C B ) = = - (CBA) . Las principales propiedades del producto mixto son: 42

5. P r o d u c t o M i x t o

y

O t r o s P r o d u c t o s V e c t o r ia l e s

rt) El producto mixto de tres vectores es igual al volumen del l·ιιιιιtι■ht^ípeaQ.-ConstτuΓ d ^ sóbre^L·s^WiWóf~ññá~vez^levados a~partir ilr IIri origen común. "

I'’,n efecto (fig. 26): el área de la base, según 4 .8 es | A ,A B | y •1 )(i es el ángulo que forma C con la normal al plano determinado por A y B , la altura vale | C | eos cp. Por tanto el volumen es igual u l A A l U J C - l-cos cp , que es p re c isa m e n t^ l valoFde” ( A B C ) . De aquí se deduce, en particular, que si I , J , K son ortogonaIrit cutre sí y de módulo unidad se verifica (4) (IJK)=1. b) L a condición necesaria y suficiente para que tres vectores sean paralelos a un mismo plano, es que su producto mixto sea nulo.

Kilo es una consecuencia inmediata de la definición o de la última piopiedad demostrada. c) Obsérvese que si ( A B C ) > 0 , el ángulo de C con A AB dcl)c ser menor de 90° y por tanto el triedro A , B , C tiene la mis ma orientación que el triedro fundamental. Si ( A B C ) < 0 ocurre If) contrario. Por tanto: Suponiendo que el triedro fundam ental I , J , K sea directo, un triedro A , B , C será directo si ( A B C ) > O e inverso si ( A B C ) < 0 d)

('>)

Recordando la regla de multiplicación de determinantes, es

( A B C ) . ( A 'B 'C ') =

A.A'

A B'

A C'

B.A'

BB'

B.C'

C.A'

C B'

C C'

En particular A" (6 )

=

A.B,

B.C

B. A C A

A.C

C.B

C»

En consecuencia, la propiedad b) anterior se puede enunciar: L a condición necesaria y suficiente para que tres vectores sean paralelos a un mismo plano es que el segundo m iem bro de (6) sea nulo. Ejemplos·, 1. Siendo A (O, 1 , - 2 ) , B ( - 3 . 5 , 1 ) , C ( - 1 , O, 2) calcular ( A B C ) . Aplicando (2) resulta O 1 -2 (ABC)= —3 5 1 = — 1 — 10 + 6 = — 5 . - 1 O 2 2. Averiguar si el triedro formado por los vectores anteriores es directo o invrrjo. Siendo su producto mixto negativo, el triedro que form an será inverso. 3. Los tres vectores A ( 1 . - 1 , 2) , B ( 3 , O , - 3) , C (O , 1 , - 3)

43

A

lgebra

V e c t o r ia l

ion paralelos a un mismo plano, puesto que el detenninante formado por sus componentes es nulo.

2. Pseudocscalares. El producto mixto ( A B C ) , aun siendo un producto escalar, no es propiamente un escalar. En efecto, cambiando la orientación de los ejes coordenados, el producto A AB cambia de signo y por tanto también el producto mixto ( A B C ) . D e f. 2: Las cantidades que tienen las propiedades de los esca lares, pero cambian de signo al cambiar la orientación del espacio, se llaman pseudoescalares. Por consiguiente, el producto mixto es un pseudoescalar. 3. Doble producto vectorial. Interesa muchas veces calcular el vector (7) (AAB) AC llamado doble producto vectorial. Para ello, siempre podemos elegir el sistema de coordenadas I , J , K de m anera que: a) I tenga la dirección de A ; fe) B esté contenido en el plano I , J . Con esto será

(8)

A = ail,

B = fejl + fe2 j ,

C = c i l + CiJ + c j í .

Tendremos así (9) A · C = «1 , B ■ C = fel y también A A B = a, fej K

(10)

+ &2 <^2

(A A B) A C = a, ¿2 (K A C) = fli fej ci J - fli fez cj I .

Despejando en las dos primeras ecuaciones (8) los vectores I , J en función de A , B resulta I = - A J = 1 b - - ^ A «1 »2 fll t>2 y sustituyendo en (10) , (A A B) A c = «1 fi B — (fel Ci + fea Ci) A que según (9) se puede escribir en la forma final ( A a B) A C = ( A. C) B - (B. C) A . (11) Este resultado nos dice que el producto vectorial no es asociativo. En efecto, aplicando la misma fórmula (11) resulta A A (B A C ) = - ( B A C ) a A = ( C . A ) B - ( B . A ) C - ^ ( A a B) a C . 4. Otros productos vectoriales. a)

Producto escalar de dos productos vectoriales.

calcular (A A B ) . (C A D) . Poniendo E = A A B , se tiene E.(CAD) = (ECD) = (EA C).D y aplicando (11) 44

Se trata de

5. P r o d u c t o M i x t o

y

O tr o s P r o d u c to s V e c to r ia le s

E A C = ( A A B ) A C = ( A. C) B - ( B. C) A . l’or tanto (12) (A A B ) . ( C A D ) = ( A . C ) ( B . D ) - ( B - C ) ( A - D ) iHic es la llamada identidad de Lagrange.

h)

Producto vectorial de dos productos vectoriales.

Se trata de

I .il( iilar (A A B) A (C A D ) . Poniendo de nuevo E = A A B , queda E A (C A D ) = - (C A D ) A E = ( D. E) C y por tanto

(i:i)

(A

A

B)

A

(c

AD)

= (ABD) C -

( C. E) D

(A B C ) D .

3. Algebra vectorial en el plano. Nos hemos referido siempre id caso de vectores en el espacio ordinario de tres dimensiones. Para rl caso de los vectores de un plano todo lo dicho vale igualmente con »l'ilo tomar el plano de los vectores como plano I , J del triedro fun damental. Entonces la tercera componente de los vectores será siempre nula y por tanto todo vector será de la forma ( 14)

A y a i I

+

a^J.

a) Adición, sustracción y producto escalar de vectores. Las ope raciones de adición, sustracción y multiplicación escalar se definen rxactamente igual que para el caso del espacio. El producto escalar, por ejemplo, será ahora (15)

A . B = a fe eos O = fli fel -F

»irndo a = | A l ,

fe = | B | y O e l ángulo entre los dos vectores.

«2

fe) E l producto vectorial en el plano. Según la definición gene ral el producto vectorial A A B en el caso en que los vectores A y B (cngan nula su componente según el vector K , vale A A B = (<2i fea “ ^2 fel) K . Siendo, por otra parte, su módulo igual a a fe | sen 0 | , resulta (pie debe ser (16) fli fez — Ú2 fel = a fe I sen O j donde, en el segundo miembro, debe tomarse el signo + si el sentido de la rotación (menor de 180°) que lleva A sobre B es el mismo que el de la rotación de 90° que lleva I sobre J y el signo menos en el caso contrario, puesto que en el primer caso los triedros I , J , K y A , B , K tienen la misma orientación y en el segundo caso tienen orientaciones opuestas. Esta definición de producto vectorial, para el caso de vectores de un ¡llano tiene el inconveniente que hace aparecer como resultado u r 45

A l g e br a V e c t o r ia l

vector que no pertenece al plano. Sin embargo, como este vector tiene siempre la misma dirección (la normal al plano), el inconveniente se puede evitar tomando como producto vectorial la componente única (16) del mismo. Se llega asi a la siguiente D ef. 3 : En el álgebra vectorial del plano se llama producto vectorial de dos vectores A , B al producto de sus módulos por el seno del ángulo que forman, este ángulo tomado como positivo o negativo según que el sentido de la rotación que lleva A sobre B (a través de un ángulo menor de 180°) sea el mismo de la que lleva I sobre J o el opuesto. De acuerdo con esta definición, la ambigüedad del signo en (16) desaparece, puesto que quedará + si 0 es positivo y — si es negativo. Resulta por tanto (17) A A B = a sen 0 = «1 ¿2 ~ «2 ^1 . El producto vectorial, en el caso del plano, no tiene carácter vecto rial como en el espacio. Es un escalar que cambia de signo al cam biar la orientación del sistema fundamental I , J . Por consiguien te: en el plano, el producto vectorial es un pseudoescalar. EJER C IC IO S 1. C alcular el producto mixto de los vectores A (O , — 1 , 2) , B (— 3 , 5 . 0 ), C ( - 4 , 2 , 5 ) . 2. A veriguar si los tres vectores anteriores son o no paralelos a u n mismo plano. 3. Se d an los vectores A (5 , O , 1) , B (3 , — 2 , 0) , C ( — 4 , 1 , x) . H allar la tercera componente x con la condición de que los tres vectores resulten paralelos a un mismo plano. 4. Dados cuatro vectores A ( l , — 1 , 3 ) , B ( 2 , — 5 , 0 ) , C ( — 1 , 1, — 2) , D (3 , 2 , — 6) calcular las expresiones a) ( A a B ) . ( C a D )

; b) ( A a B ) A ( C A D )

; c) [A A (B A C ) ]

d) (A A B) A C ) .D

AD

;

; e) (A A D ) . (B A C ) ; /) (A A C ) A (B A D ) . 5. Si A , B , C son tres versores tales que A .B = a , B .C = P y C .A = V , probar que ( A B C ) = (1 _ a* - P’ - V» + 2 a P v ) Esta expresión se llama, siguiendo a Staudt, el seno del ángulo triedro formado por los tres versores dados. 6. Si A , B , C son tres vectores no paralelos a un mismo plano, todo otro vector D puede ponerse en la forma D = a A + PB + y C . P robar que es (DBC) (DCA) (DAB) ------------6 = -------------V= (ABC) (ABC) (ABC) 7. Los vectores

a=

-

A»

= ^ (A B C )

46

c* = - A ^ (A B C )

(ABC)

6. N

otas y

Com plem entos

del

C a p ít u l o I

•r llaman re c íp ro c o s de los A , B , C respectívamente. Probar que los recíprocos de los recíprocos son los vectores primitivos. 8. Probar que ( A B C ) = (A * B * C * ) . 9. Si A ( a i , a , , a,) , B ( b i , b , , b,) , C ( c i , c , , c,) , D ( t i,, d , , d,) son cvintro vectores cualesquiera, probar que ' A
ai a. at

( I 'J 'K ')

ti bt bt

c, Ct Ct

13. Dados tres vectores no coplanares A , B , C y siendo X .A = u , X .B = i», X . C = «J, probar que la expresión de X p o r sus componentes según A , B , C puede expresarse en la forma

X =

A

B

C

1

A’

A .B

A .C

(A B C )·

A .B

B’

B .C

O

A .C B .C C* 14. Probar que las medianas de u n triángulo concurren en un punto. 15. Se llevan a p a rtir de un mismo origen los vectores no coplanares A , B , C , y p A. -f- í B -f- r C . D em ostrar que la condición para que los ex tremos de estos vectores estén en un mismo plano es que sea p + q + r ■= 1 .

G. NOTAS Y C O M PL EM EN TO S DEL C A PÍT U L O I 1. Definición axiomática de vector. Espacios vectoriales. Hemos de finido los vectores y las operaciones algebraicas entre ellos a p a rtir de b u con cepto geométrico, es decir, presuponiendo que se conoce el espacio en el cual están contenidbs (en nuestro caso el espacio euclidiano tridimensional) y las propiedades del mismo. Así, hemos podido hablar de puntos, segmentos, án gulos, rectas paralelas o perpendiculares, etc., y de otros conceptos de la geo m etría m étrica elemental, suponiéndolos ya definidos y conocidos. Así fue, por otra parte, como los vectores aparecieron y se utilizaron históricamente. Todavía

47

A lg ebra V e c t o r ia l

hoy, para gran parte de sus aplicaciones, la idea intuitiva de vector como seg mento orientado es la más útil y fecunda. Sin embargo, desde el punto de vista de la m atem ática pura, interesa dar una definición abstracta, que ponga de manifiesto las características esenciales de los vectores y sirva para distinguirlos de otros objetos geométricos o analí ticos. Se llega así al concepto de espacio vectorial, que vamos a definir, y que constituye una estructura de las más importantes en la m atem ática moderna. D e f . 1 ; Se llama espacio vectorial a un conjunto de elementos A i, A , , A», . . . llamados vectores, entre los cuales están definidas las dos operaciones siguientes: Adición. A todo p ar A i , Aa le corresponde un vector Ai -1- A i , con las propiedades siguientes: a) Al + Aj = Aa -t- Al (propiedad co nm u ta tiva ); b) Al (Aj + As) = (Al -|- Aj) Aj (propiedad asociativa); c) existe un elemento O (vector nulo) tal que, cualquiera que sea A , se verifica A + O =: A ; d ) a todo vector A le corresponde otro vector — A (vector opuesto) , tal que A + ( — A) = O . Multiplicación por un escalar. T odo número real X y todo vector A de term inan un vector XA con las siguientes propiedades: a) X (A l A j ) = X Al + X Al (propiedad distributiva respecto de la adición de vecto res); (Xi + X») A = Xi A + Xa A (propiedad distributiva respecto de la adición de escalares); e) (Xi Xa) A = Xi ( Xi A) (propiedad asociativa). d) 1A = A. L a im portancia de esta definición axiomática es que am plía la idea geomé trica intuitiva de vector. Cualquier conjunto de elementos entre los cuales pue dan definirse las operaciones anteriores podrá considerarse como un espacio vectcrial, y los elementos mismos como vectores, aunque a veces sería difícil inter pretarlos como flechas o segmentos orientados. Por ejemplo, el conjunto de todos los polinomios de segundo grado en la variable x con coeficientes reales y con la adición y multiplicación p or un escalar tomadas de la m anera ordinaria forman un espacio vectorial. E n la definición anterior no aparece un elemento im portante p ara las operaciones entre vectores, a saber, la dimensión dcl espacio. Para llegar a este concepto se introducen dos nuevas definiciones. D e f . 2: Se dice que m vectores A i , A i , . . . , A» de u n espacio vectorial son independientes, si entre ellos no existe ninguna relación de la forma Xi Al -|- Aa Aa Xj Al + . . . . + X«, A» = O siendo el segundo miembro el vector nulo y los números reales X» no todos iguales a cero. D e f . 3: El número máximo de vectores independientes de un espacio vec torial se llam a dimensión del espacio. Esto significa que si la dimensión es n , se pueden elegir n vectores inde pendientes y expresar cualquier otro como combinación lineal de ellos. Estos n vectores se dice entonces que constituyen una base del espacio. Por ejemplo, el teorema del 3 .6 nos dice que el espacio de los vectores ordinarios que hemos estudiado en los párrafos anteriores es de dimensión 3 . Pruébese como ejercicio que el espacio vectorial mencionado de los polinomios de segundo grado es también de dimensión 3 . L a dimensión puede ser infinita; por ejemplo, para el espacio vectorial formado por todas las funciones continuas 48

6. N

otas y

Co m plem ento s

del

C a p ít u l o I

itrriiiidns en el intervalo 0 ,1 con las reglas ordinarias de adición y multiplicación \)or un escalar. Limitémonos, p ara fijar las ideas, al caso de dimensión 3 . Eligiendo una limr formada por tres vectores independientes E , G , H cualquier otro vector in podrá expresar en la forma A = /»E + g G + r H . Los números reales p , q , r se llaman componentes de A respecto del «Ulor lo contrario, una gran variedad de criterios. Mencionaremos algunos de 1(11 más corrientes, distintos del adoptado en este libro: a) Producto escalar . ; producto vectorial X b) Producto escalar X ; producto vectorial A c) Producto escalar ( ) ; producto vectorial [ ]

I

i

4S

C A PITU LO II

A P L IC A C IO N E S D E L A L G E B R A V E C T O R IA L

7. LAS FÓRM U LAS FUNDAM ENTALES D E LA T R IG O N O M E T R ÍA 1. Trigonometría plana. a)

Fórm ula del coseno. Consideremos el triángulo formado por los tres ve<ítores A , B , C (fig. 27), orientados tal como indica la fi

gura, de m anera que sea A = B + C , es decir (1) C = A - B . Elevando al cuadrado: (2) C" = A^ + B"- - 2 A . B e introduciendo los módulos de los vectores y el ángulo Y que forman A y B , queda (3) = <3«-t-6“ - 2 a 6 c o s Y que constituye el teorem a del coseno de la trigonometría plana. í>) Fórm ula del seno. Con las mismas notaciones anteriores se tiene también AAC = A A ( A - B ) = - A A B . Igualando los módulos de los dos extremos de estas igualdades, se tiene a c sen p = a 6 sen y , o sea, 50

7. L a s F ó r m u l a s F u n d a m e n t a l e s

de

la

T r ig o n o m e t r ía

sen p sen y I)c igual manera se obtendría que esta relación es igual a a /sen a , l’or tanto a

(4)

b

e

-----= ---- ^ = -----

sen p sen y ipic es la fórm ula del seno de la trigonometría plana. sen a

c)

Fórmulas de adición. Sean A (ai , 02) , B {b¡,, b^)

dos vec

tores y a , P los ángulos que forman respectivamente con el eje x (fig. 28). Será Cx = a eos a , 0 2 = a sen a , bi = b eos P , b^ = b sen P . De aquí, las dos expresiones (5.15) del producto escalar, nos dan (5) eos (P — a) = eos a eos P + sen a sen p y las dos expresiones 5.17 del producto vectorial dan (6) sen (P — a) = sen p eos a — eos P sen a . Si se quieren las fórmulas de sen (a -1- P) , eos (a + P) basta con«iderar a a negativo, es decir, al vector A en la figura 28 a distinto lado del eje x . Resulta entonces sen (a + p) = sen a eos P + eos a sen P (7) eos (a + p) = eos a eos P — sen a sen P . 2. Trigonometría esférica. a) Fórm ula del coseno. Consideremos los versores A , B , C cu yos extremos forman el triángulo esférico A B C . Llamemos ahora a , b , c a los lados de este, triángulo y a , P , y a sus ángulos, de m a ne ni (jue tendremos 51

A p l ic a c io n e s

del

A

lg e br a

V e c t o r ia l

(8)

A · B = cos c , A ■ C = cos fc , C . B = cos a . En la identidad de Lagrange, (9) ' (A A C ) . (B A C) = ( A . B) (C . C) - ( A . C) (C · el primer miembro es el producto de j A A G j = sen b y ] B A G j — = sen a por el coseno del ángulo que forman dos vectores perpendi-

F io u r a 29

calares a los planos A , C y B , G , es decir, cos y . Los factores del segundo miembro están dados por (8). Sustituyendo, resulta que (9) equivale a ( 10) cos c = cos a cos b + sen a sen b cos y que es la fórm ula d el coseno de la trigonometría esférica. Aplicando esta fórmula al triángulo polar, formado por los extre mos de los versores normales a los planos determinados por B , G ; G , A y A , B , cuyos lados a ' , b ' , c' son los suplementos de los án gulos a , P , Y , resulta (11) cos Y = — cos a cos P + sen a sen P cos c que es la fórmula del coseno para los ángulos del triángulo esférico. b)

Fórm ula del seno. Apliquemos ahora la fórmula (AAC) A (BAG) = (AGG) B - (AGB) G que por ser (A G G) = O se reduce a (A A G) A (B A G) = ( A B G ) G . Igualando los módulos de los dos miembros de esta igualdad, resulta sen a sen b sen y = | (A B G) | . Por permutación circular de los versores A ,B , C , puesto que | ( A B G ) | = | ( B G A ) | = | ( G A B ) | , resulta sen a sen b sen y = sen b sen c sen a = sen c sen a sen P que puede escribirse 52

B)

8. A

se n a (12)

p l ic a c io n e s

se n b = ----------

a

la

G e o m e t r ìa A n a l ì t ic a

se n c = -----------

sen a sen p sen y ipic cs la f ò r m u l a d el sen o de la trigonometria esférica. I.J K R C IC IO S 1. Como caso particular de las fórmulas anteriores, probar que para el lilAiiKiiIo rectángulo esférico de hipotenusa c , valen las fórmulas cos c = cos a cos b = cot a cot 3 cos a =: sen P cos a = cot c tg p cos P = sen a cos i = cot e tg a sen a = sen c sen a = cot P tg i sen b = se n e sen P = cot a tg o . 2. P ara el área de u n triángulo esférico sobre la esfera de radio unidad, vitlr la fórmula 5 = a + P 4 - 7 — n . En particular, si v = k / 2 queda i? ES n -f- P — n /2 . Probar que en este caso es también S = a — are sen (cos 6 sen a ) = a — are tg (cos e tg a ) . 3. Si a , P , Y son los ángulos interiores de un triángulo plano, probar ijiie tg a . tg P . tg Y = tg a + tg P + tg Y . 4. Si a p artir de un punto se llevan sucesivamente vectores de módulo iinldnd que vayan formando cada uno con el anterior un ángulo constante o , •I· olilirnen como extremos los vértices de una poligonal inscripta en una cirriinferencia. Aprovechar esta propiedad para demostrar las fórmulas ('III (1« - f cos (ou + a ) + cos (q« + 2 a ) + . . . . + cos (o» + (n — 1) a ) = no sen — 2 1 = ---------- cos fot. 4----------(n — 1) a )

a

2

sen — 2 •rn o« -f sen (Oo + a ) + sen («o + 2 q ) + ___ + sen (a« + na sen — 2 1 = ------- sen (a. + Y (n — 1) o ) .

(n — 1) «) —

sen — 2 •Irndo ru rl ángulo del primer vector ron el eje de las abscisas. .'). En un triángulo plnno, serin r . r, , rt , Te los radios de los círculos ln«rripfo y exinscriptos respectivamente. Siendo F el área, probar las relaciones

______ 1 F = y/rr^r^r^

;

1 1 1 _ = _ + _ + r

«

r„

r.

r„

AI'I.ILACIONES A LA G EO M ETRIA ANALITICA

I, I’iiiitos y vectorc.s. Fijado un sistema de coordenadas cartesiannK OI Kimona les de origen O , a cada punto X do) espacio le corresjioiMÍr el vfctor X cuyas componentes son las coordenadas de X . Re 53

A

p l ic a c io n e s de á l g e b r a

V e c t o r ia l

ciprocamente, a todo vector se le puede hacer corresponder el pun to cuyas coordenadas son las componentes del vector, es decir, el punto que se obtiene como extremo del vector, llevándolo a partir del origen de coordenadas. Esta correspondencia biunívoca permite utilizar indistintamente los puntos como vectores y viceversa. Ello es particularmente útil en las

aplicaciones del álgebra vectorial a la geometría analítica. Así, por ejemplo, consideraremos equivalentes el punto X de coordenadas x , y , z y el vector (1) X = xI+yJ + zK. Por operaciones de adición, sustracción y multiplicación de pun tos, entenderemos las operaciones análogas con los vectores equivalentes. El vector (1) se llama vector posición. Siempre que al mencionar un punto queramos hacer referencia al vector posición del mismo, lo indicaremos con negrita. 2. _Ecuación vectorial de la recta. U na recta puede determi narse por uno de sus puntos X j , y i , z^) y un vector A { a^, Oj, Oj) que indique su dirección (fig. 31). U n punto genérico X de la recta será (2) X = X i + \A siendo X un parám etro variable. Al variar X de — «> a + « el punto X describe la recta. La ecuación (2) es la ecuación vectorial de la recta determinada por el punto X j y la dirección A . Si se quiere la ecuación de la recta que pasa por dos puntos X i , X j bastará tom ar A = X j — X i , resultando (3) X = X i + X (Xa - X , ) . 54

8. A

p l ic a c io n e s

a

la

G e o m e t r ía A n a l ít ic a

K1 valor de X es la razón (X — X i) / (X 2 — X i) , que tiene «iMilido por ser numerador y denominador vectores de la misma diiru'iún. Muchas veces interesa introducir la razón X X t

X i-X

,

X X 2 ~ X .-X l'ín este caso, de (4) se deduce Xi-SX» (S) X = — ----------

*

1 -8

'

(|iiR CS Otra forma de la ecuación vectorial de la recta que pasa por (ios puntos X i , X 2. Esta forma tiene la ventaja de tener como pará

metro 8 la razón (4) , igual a la razón de las distancias del punto vai iable X a los puntos fijos X j , X 2 . Los cosenos directores del vector que da la dirección de la recta (2.2) se llaman también cosenos directores de la recta. Para pasar de la forma vectorial a la cartesiana basta descomponer las Igualdades entre vectores en las igualdades entre sus tres componentes. Por ejemplo, la ecuación (2) equivale a las tres ecuaciones (6) * = *1 + X a, , y = yi -f- X a, , z = Zi -f- Xa, que son las ecuaciones param étricas de la recta en coordenadas cartesianas. De nqui, eliminando X, — (7) ---------:

X

®1

®2

®3

ipie es otra forma de la ecuación general de la recta en coordenadas cartesianas. lUl.i nos dice que siempre que las ecuaciones de una recta tengan la forma (7 ) , lo« denominadores a i, a-i, a, son componentes de un vector que tiene la dirrrrió n de la recta; es decir, son proporcionales a los cosenos directores de la iiiiiima. An&logamente, la ecuación (3 ) equivale a (8) K = « 1 + X — » 1 ) ,iy [ = + X ( J z — y i ) > « = «1 + X («3 — «i)

55

A

p l ic a c io n e s

o

(9)

del

A

lgebra

V

e c t o r ia l

sea X — Xi

y — J 'i

Z — Zi

Xi — Xi

y, — y 1

zi —ti

que son las ecuaciones cartesianas de la recta que pasa por dos puntos. Ejemplos: 1. Las ecuaciones de la recta que pasa por el punto ( — 3 , O, 2) y ei paralela al vector de componentes (2 , — 1 , 3 ) son ______ _ x = - 3 + 2X , y = - X , z = 2 + 3X o tea

z-

*+3 2

-

~ ^ -

2

”1

·

2. Las ecuaciones de la recta que pasa por los dos puntos ( — 1 , 5 , — 4) y (O , 3 , — 2) son y —5 *+4 “

“

-2

“ ~2

3. Ecuación vectorial del plano. Dado un plano, consideramos un vector A normal al mismo. Sea a = j A ]. P ara un punto X cualquiera del plano, el producto A .X es igual

al producto de a por la proyección del segmento O X sobre A , o sea, por la distancia h del origen al plano. Es decir, (10) A .X = a A . Como a h es una constante (no depende del punto X del pla no), se puede escribir de m anera general (11) A .X = 6 . Esta ecuación, por el hecho de cumplirse para todos los puntos X del plano y sólo para éstos, se llama la ecuación vectorial del plano. 56

8.

A

p l ic a c io n e s

a

la

G

e o m e t r ìa

A

n a l ìt ic a

En ella b es una constante escalar y A un vector de mòdulo cual(|iiicra perpendicular al plano. Si b = 0 , el plano pasa por el origen. Si ¿ 7^ 0 , su signo dependerá del sentido del vector A , pues tomando —A en vez de A , b cambia de signo. Un criterio puede ser tomar fi signo de A de manera tal que b resuite siempre positivo ; esto equivale a decir que se toma el vector A dirigido de O hacia el plano, como en la figura 32 . Si X i es un punto del plano, el vector X —X i es normal a A , y por tanto la ecuación generai de los planos que pasan por un punto Xi es (12) A . (X - X i) = 0 . Si se quiere el plano que pasa por tres puntos X i , X j , X 3 ob servemos que se puede tomar A = (X 2 — X i) A (X 3 — X j) y la ecuación ( 12) queda (13) ( X - X i , X 2 - X i , X 3 - Xi ) = O que es la form a vectorial de la ecuación del plano que pasa por tres puntos. En coordenadas cartesianas, la ecuación general (11) del plano tom a la forma Cix

a ty

a ,z — h .

La ecuación (12) se escribe
X — Xi

y — yi

« —zi

x, — xt

y, — y¡

«1

xt — xi

y>~ yi

— *1

= O

nt —ti

Ejemplos; 1. El plano que pasa por el pu n to ( — 1 , 0 , 4) y es perpendicular al vector de componentes (5 , 3 , — 2) tiene por ecuación 5 (* + 1) -1- 3 y - 2 ( í - 4) = O , o s e a , 5 * + 3 y - 2 r -|- 13 = O . 2. L a ecuación del plano que pasa por los tres puntos ( - 2 , - 4 , 5 ) , ( 2 , - 1 , 3 ) será * —1 -3

-4

y

r —3 2

1 - 1

O

( 1 , O, 3 ) ,

= 2Ar + 2 y - | - 7 z - 2 3 = 0

S. Plano determ inado por un punto P y una recta X = Xo -1- X A . Para hallar su ecuación basta considerar los puntos P , Xo y otro punto cual quiera de la recta, por ejemplo el Xo -t- A (correspondiente a X = 1 ) y es cribir la ecuación del plano que pasa po r estos tres puntos. Por ejemplo, el plano que pasa por P (2 , — 6 , 1) y contiene a la recta x -2

y -4

z+ l

S “ -1 “ -5 r«m drirrniin ad o por los puntos P , P i (2 , 4 , — 1) y Pj (2

3 , 4 — 1»

57

A

p l ic a c io n e s

—1 —5 ) .

del

algebra

V

e c t o r ia l

Su ecuación será

x-

2

O 3

y+ 6 10 9

*- 1 - 2 = - 5 2 * - 6 y - 3 0 r + 98 = 0 -7

4. D istan cia d e u n p u n to a u n plano . Para hallar la distancia de un punto P(Afo,yo,ô) al plano A -X = 6 , proyectamos el seg mento OP sobre el vector A , y la distancia buscada es la diferencia

entre la proyección OPi y la distancia O H del plano al origen de coordenadas (fig. 33). Para fijar una signo a esta distancia, conven dremos em medirla desde el plano al punto (o sea, en la fig. 33, desde H a P i) tomando signo positivo cuando este sentido coincida con el del vector A y signo negativo en el caso contrario. La proyección O Pi de OP sobre el vector A vale ( A - P ) /a y la distancia, OH = h , según (1 0 ), (11)) vale b / a . Por tanto, la la distancia del punto P al plano (A -X ) — = O resulta (14)

a

d =

,

Es decir: L a distancia de un punto V a un plano (A -X ) — b = O es igual al valor que tom a el prim er m iem bro de la ecuación del plano al sustituir X por P , dividido por el m ódulo de A . Con este criterio la distancia al origen resulta — b / a , que es ne

gativo de acuerdo con el criterio adoptado de tom ar A en el sentido que va del origen al pleino y la distancia en el sentido que va del plano al punto. 58

8.

A

p l ic a c io n e s

a

la

G

e o m e t r ía

A

n a l ít ic a

Ejemplos: 1. L a distancia del del punto (6 , 3 , - 2 ) al plano 2 * — 4 y + z — 2 = 0 , reiulta ser ( 2 .6 -

4 .3 -

2 -

2 ) / V2’

= -

4 /V ^ .

2. Como aplicación vamos a dem ostrar que “el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a m planos dados es constante, esotro plano” . Sean losplanos A < .X = í>< (» = 1 , 2 , . . . , m ) .Siempre se puede iiiponer, dividiendo por el módulo respectivo, que los vectores A< son de módulo unidad. Entonces la sum a de las distancias de P a estos planos, vale s = ( 2 A .) . p -

'■ 1

2 fc,

^

1

lo que prueba que P satisface a la ecuación

m

m

( 2 A ,) . X -

( 2 6, + í ) = O .

que representa un plano, por ser de la form a ( 1 1 ) .

5. Distancia de un punto a I* a una recta X = Xo + XA , sea, tomándola siempre en valor „5, I(P

una recta. L a distancia de un punto según la figura 34 vale XoP sen a , o absoluto, - X .) > A | .

I A| Ejemplo: P a ra hallar la distancia del punto P ( — 3 , 2 , 1 )

y -S

*+l - 2

~

4

a la recta

z -l “

- 1

tenemos Xo ( — I , 3 , 1) , A ( — 2 , 4 , — 1) ; el vector del num erador de ( 1 5 ) tiene po r componentes ( 1 , — 2 , — 1 0 ) . Por tan to la distancia buscada será V 1 0 5 /2 T .

6. Mínima distancia entre dos rectas. Sean las rectas (Ifi)

X = X„ + XA , X = X i + ? .B . La mínima distancia entre ellas es el segmento d de la recta per pendicular común que corta a las dos rectas (fig. 35) . Es, por tanto, a la proyección del vector X i — Xo (determinado por dos puntos 59

A

p l ic a c io n e s

del

A

lgebra

V

e c t o r ia l

cualesquiera, uno de cada recta) sobre la dirección perpendicular a las dos rectas. Esta dirección es la del vector A a B. Por tanto, la mí nima distancia vale, tomando siempre el valor absoluto

(1 7 ,

A ,B )

lAABj De aquí, para que las rectas (16) estén en un mismo plano, debe ser (18)

( X , - X o , A,B) = 0 . Ejimplos; 1. P ara hallar la distancia m ínim a entre las rectas * -3 y- 1- 5 t+ 1 *-Hl y -1

2 se puede tom ar B (-4, 3,-1)

- 3 5 X , (3 , - 5 , - 1 ) , con lo cual (17) da

- 4 3 A (2 , - 3 , 5) ,

z -3 - 1 X, ( - 1 ,

1 , 3) ,

d = 84/V 504 . 2. H allar la m ínim a distancia de la prim era recta (19) al eje x . Como punto X» del eje x se puede tom ar el origen de coordenadas. Por otra parte sus cosenos directores (componentes del vector B ) son ( 1 , 0 , 0 ) . P or tanto, aplicando (17) , resulta d = 28/V 34 .

7. Propiedades angulares entre rectas y planos. a) Angulo de dos rectas. Dadas dos rectas X = X„ + XA , X = X i + XA' puesto que los vectores A , A' son los que dan sus direcciones, el án gulo que ellas forman estará dado por

Por tanto, para que sean perpendiculares deberá ser A . A ' = O. 60

8.

A

p l ic a c io n e s

a

la

G

e o m e t r ìa

A

n a l ìt ic a

Para que sean paralelas debe ser A A A' = O (es decir, las compo nentes de A , A' proporcionales). b)

Angulo de dos planos. Dados dos planos B .X - c = 0 , B '.X - c' = O ,

puesto que B , B' son vectores normales a los mismos, el ángulo que forman, igual al ángulo de sus normales, estará dado por

·— En particular, para que sean perpendiculares debe ser B · B' = O y para que sean paralelos B A B' = O . c) Angulo de recta y plano. D ada la recta X = Xo + XA y el plano B . X — f = O, el ángulo que forman será el complementario del que forman A y B , y por tanto estará dado por

En particular, la recta y el plano serán perpendiculares si A A B = O y serán paralelos si A . B = O . E n coordenadas cartesianas, las condiciones de paralelismo o perpendi cularidad tom an la form a indicada en el tiguiente resum en: Sean las rectas

X — x t _ y — y»

— zo

^

a t

x — xi

y — yi _ z — zi

ü \

íi%

O t

y los planos

Ji :b i x + b 2 y + b,z — c

; n' :

= 0

bt x + b, y + b, z — c' =

.

0

Las condiciones de paralelismo y perpendicularidad son

r

I I r' :

r

X r' :

(23)

a%

dx

CLt

ai a i + ai ai + ai a«' = bi bi bt

O

" " ' n 1 n' :

bi' ~ bi' ~ h,' b i b í + b ib i + b ib ,’ = O

r

aibi + a ib , + a tb t => O

11 rt :

Üi

Ot

¿1

b%

dt bt

Ejemplos·.

1. El ángulo que forman entre si los planos x — 2 y + 2 z — 5 = 0 , + 2 y ~ 4 z + 3 = 0 , según (21) , estará dado por cos O = — 4 / 9 . 2. El ángulo que forma el plano x — 4 )i + 8 z + 1 = 0 con el * = O , r i l i d;ido por cos 0 = 8 /9 .

4x

61

A

p l ic a c io n e s

del

A

lgebra

V

e c t o r ia l

3. El ángulo de la recta y = 4 x — 1 , z = 8 x + 3 con el plano 2 y — 2 z + S = 0 , según (22) , está dado por sen Ó = — 7 /2 7 . 4. Ecuación del plano que pasa po r P {— 1 , 0 , 3 ) y es perpendicular a la recta ( x — l ) / 2 = (y + 4 ) / 5 = z — 3 . Según la últim a relación (23) los coeficientes de la ecuación del plano deben ser proporcionales a 2 , 5 , 1 ; por tanto, ella debe ser de la forma 2 x 5y z — h = O . L a condición de pasar por P nos determ ina A = 1 . 5. Ecuaciones de la recta que pasa por j P ( 3 , — 2 , 1 ) y es perpendi cular al plano 2 x — 3 y + z + 2 = 0 . Por pasar por P sus ecuaciones son de la form a x - 3 _ y + 2 _ z - l

x +

íh

üt

Los coeficientes directores ai , a , , a, se determ inan por la últim a con dición (23) , que nos dice deben ser proporcionales a (2 , — 3 , 1) . Q ueda así x - 3 y+2 z - l -3

8. Volumen del tetraedro. Como ya observamos en 5.1 el pro ducto mixto de tres vectores es igual al volumen del paralelepípedo construido sobre los mismos una vez llevados! a p artir de un origen co mún. Esta propiedad permite hallar el volumen del tetraedro cuyos vér tices sean Pi { x t , y i , Zi) , (x^, , z¡) , ?s (ats , y s , Zi) , P* (a:« , y«, Zi) . En efecto, los vectores P2 — P i , P 3 — P i , P 4 — Pi deter minan un paralelepípedo cuyo volumen es igual a seis veces el del tetraedro buscado (pues la base es el doble y la altura, la misma). Por tanto, según la propiedad recordada: El volumen del tetraedro cuyos vértices son los puntos P j , P j , P3, P4 vale (24)

F = -( P 2-P,,

P3 - P 1. P * - P x )

o sea, en coordenadas cartesianas (25)

V= ~

6

X2 — X1

V2 - y i

X3 - X

yi - y x

1

xi — xi

Z2 - zi ^8 -

yi — yi

Zi — zi

Este determinante puede escribirse también (26)

1

yi y2

Zl

Xi

Z2

1

X3

y»

Z3

1

X*

y*

Zi

1

Xi

como se ve al sustituir este último determinante por el que resulta al restar la primera fila de la segunda, tercera y cuarta sucesivamente. El signo de V depende del orden en que se tomen los cuatro 62

8.

A

p l ic a c io n e s

a

la

G

e o m e t r ía

A

n a l ìt ic a

vírticcs. Si no interesa el signo, basta tom ar los determinantes ante riores en valor absoluto. Volumen del tetraedro en función de las aristas. P ara simplificar, llamemos l’ , Q , . ■ . , U a los vectores P = P, - P. , Q = P, - P , , R = P4 - Pi , S = P. - P. , T = - P. , U = P. - P. . ([vic forman las aristas del tetraedro. Entonces la expresión (24) se escribe, K = — (P Q R ) ,

6

de donde

P .P (27)

r

P .Q

= — Q .P

Q .Q

36

P .R Q .R

R .P R .Q R .R Los productos escalares de este determ inante se expresan fácilm ente me diante los módulos de los vectores P , Q , . . . , U o sea, m ediante las longi-

tudcs de las aristas del tetraedro. Representando estos módulos por las mismas letras en minúsculas, se tiene / = p ' +■ q' - 2 P . Q , tí’ = /.’ + r* - 2 P . R , í* = 9 ’ -h r» - 2 Q .R , fórmulas que perm iten despejar los productos P . Q , P . R , Q . R en fun ción de las aristas. Sustituyendo los valores obtenidos en (27) , tendremos V en función de las longitudes de las aristas del tetraedro. Haciendo el cálculo resulta (28) 144 r " = t’ / (tt’ + i’ t’ - f 9 ’ + r* />’)

+ „'g* + í* r* (t’ +

- Í'u ’í’ -

+ r* + u* -

-

-

5’)

+ í ’ + g’ -

r‘)

u’ r’ í ’ - ¿‘ p'q' . 63

A p l ic a

c io n e s

del

A

lgebra

V

e c t o r ia l

9. Geometría analítica del plano. Los problemas dei plano que tienen su análogo en el espacio, se resueK'en vectorialmente de m a nera exactamente igual. Por ejemplo, la ecuación vectorial de la rec ta en el plano es la misma (2) (forma paramétrica) o bien la (7) (forma implícita). Las propiedades angulares de dos rectas se expresan también por las mismas fórmulas del 8 .7 y análogamente se calcula la distancia de un punto a una recta. Para el área del triángulo determinado por tres puntos Pj ( * i , yi) , P 2 {X2 , yz) , Ps (^3, ys) se tiene

1

(29)

S = —

(P 2 - P , )

2

A

o sea, en coordenadas cartesianas 1 —Xi (30)

s = —

(P3 - P 0 1

y 2 -y i

2 ^3 ~ x i y3 - yi que puede escribirse, análogamente al caso del espacio (26) xi yi 1 (31) 5 = — X2 y2 1 2 ^3 ys 1 O tra expresión para el área del triángulo se obtiene verificando en (29) el producto vectorial indicado, resultando ( 32 )

s =

[ Pi

A

p,

p,

-I-

A

P3 + P,

A

Pi

]

.

De las últimas expresiones se deduce·. L a condición necesaria y suficiente para que tres puntos estén ali neados puede escribirse en cualquiera de las siguientes form as equi valentes:

(33) (34)

Pi

(P .-P ,) p, + p, ATi

A

(35)

a A

(P 3 -P ,) = 0 , P3 + P3 A P, = O yi 1 1 =0 . 1

y2

X3

,

ys

P ara el área del triángulo en función de los lados a , b , c , análogameníe a (27) , se obtiene 1 A .B A .A (36) S' = — B .A B .B 4 y como A* = a’ , B’ = c’ = a’ + 6’ - 2 A . B , sustituyendo y desarrollando resulta

b'

1

1

5’ = — fa* 6’ ------ fa» 4- i* - c’iM = 4 4 64

8.

= _

16

A

p l ic a c io n e s

( 2 a 6 + (a' + è’ -

= -((< * +

- i ’)

a

la

-

G

e o m e t r ìa

(a* + fc’ -

A

n a l ìt ic a

e*))

(fl - fc)')

lo

I

= — (a + 6 + c) (a + 5 — c) (c — a + t ) (c + a — b) = 16 = p {p — a) {p — b) ( p — e) . li.il)icndo p u e s to

Resulta así la clásica fórmula de Herón de Alejandría (siglo i ó li a.C .)· S = -^P iP — a) (p — b) (p — c) .

(:17)

10. Teorem a de Menelao. Sea A B C un triángulo y P , Q , R putilos cn que sus lados son cortados por una recta. Pongamos

A P

BQ

= ei

CR

= Cl

PB " ’ QC Según (5 ) los puntos P , Q , R son P =

A + oiB l + Oi

_

B + OsC 1

+ 0.

RA

_

los

= c»

R =

C + Oj A 1+0.

65

A

p l ic a c io n e s

del

A

lgebra

V

e c t o r ia l

jr la condición (34) de que estén alineados d a (1 + piQíO») (A A B + B A C + C A A) = O . Puesto que A , B , C no están alineados debe ser nulo el prim er factor, o sea, Oi e> C» = — 1» es decir, AP BQ CR (38) ^ -------- = - 1 PBQ C RA que es el teorema de Menelao (siglo i d .G .): S i P , Q , R son los puntos en que una recta corta a los lados de un triángulo A , B , C se cumple la relación ( 38 ) . El teorema de Menelao vale p ara triángulos esféricos cortados po r un circulo máximo. L a relación es (fig. 38) s e n ( A P ) sen ( B Q ) sen (CR) sen (P B ) sen ( Q C ) sen L a dem ostración puede hacerla el lector como ejercicio.

(RA)

EJER C IC IO S 1. Ecuación de la recta que pasa por P (O , — 3 , 2) y es perpendicular al plano 2 x — y + 5t: = 0. 2. Ecuación del plano que pasa po r el punto P ( — 1 , 3 , 2 ) y es per pendicular a la recta * -3 y+ í z-2 b ~ ~ -2 ~ ~4 3. Ecuación del plano que pasa po r P ( — 1 , 2 , — 5) las dos rectas x — 1 y+5 z —3 x — 1 y+4

y es paralelo a z—2

3 -1 2 2 5 -3 4. Ecuación del plano que contiene P ( 2 , — 3 , 5) y es paralelo a los dos vectores de componentes ( — 1 , 0 , 4 ) , ( 2 , — 3 , 10)respectivamente. 5. D em ostrar que el punto de intersección de la recta X = X» + X A con el plano B - X — i» = O es 5 - B · X„ X = X , H------------------- A . B· A 6. H allar la distancia del punto P ( — 1 , 2 , 0) al plano x — S y + + 2z = . 7. H allar el ángulo entre los doc planos 3 x + 2 y — z = 0 , 2 x + + y - 5 z - 2 = 0 . 8. H allar el ángulo que forma la recxa que une los puntos A ( — 1 , 2 , 0) y B (2 , — 3 , 4) con el plano 3 * — 2 y + z — 5 = 0 . 9. H allar los ángulos que forma la recta que une los puntos A ( —3 , — 2 , 1) y B . — 3 , 4 ) con cada uno de los ejes roordrm dos. 10. Demostrar que en todo triángulo el centro del círculo circunscripto, el baricentro y el ortocentro están en línea recta (recta de Euler). H. D emostrar vectorialmente el teorema de las tres perpendiculares, a saber: Si por un punto P se traza la perpendicular P H a un plano dado y por H otra perpendicular H B a una recta r del plano, la recta P B resulta perpendicular a r . 12. Lns rectas que unen los vértices de un tetraedro con los baricentros de las caras opuestas concurren en un punto.

1O

(O

66

8.

A

p l ic a c io n e s

a

la

G

e o m e t r ía

A

n a l ít ic a

15. D em ostrar que las rectas que unen los puntos medios de los parea tln m itin· opuestas de un tetraedro concurren en un punto. 1 L a condición necesaria y suficiente p ara que las rectas X = Ai + I X H ,, X( = Al + n Bi sean coplanares es que sea (Ai — A i, B i , Bi) = O . 13, D ada la recta X = A + XB y el punto P , dem ostrar que el punto •liii/lrico de P respecto de dicha recta es (P-A) B P ' = 2 A + 2 -------- — -------- B - P . 16. D ado el plano •I tilinto simétrico del P

A - ( X — X») = 0 y el p u nto P , respecto de dicho plano es ( P - X ) -A P' = P - 2 ^------- A .

dem ostrar que

A

17. D adas dos rectas X = X i + X Ai , X = Xi + n A i , Ik recta que pasa por el punto X . y corta a las dos es X = X , + V [ ( ( X i - X .) A Al) A (( X i - X .) AA l)]

prob ar que

donde v es el parám etro variable. 18. D em ostrar que la distancia del punto X« a la recta determ inada por lii· puntos X i , X i es I ( X .-X ,). A ( X i - X , ) 1

“ I Xi - X .! ■ 19. Probar que la ecuación vectorial de la esfera de centro

C y radio

r ei (39)

(X - C ) · = r* . L a potencia de u n p u nto P respecto de esta esfera es /, = (P - C )‘ - r* . 20. Probar que la ecuación del plano tangente a la esfera (39) en el punto X( de la misma es (X - X .) . (X , - C ) = 0 Escribir esta ecuación en coordenadas cartesianas. 21. D em ostrar que el plano radical o lugar geométrico de los puntos de igual potencia respccto de dos esferas de centros C i , Ci y radios r i , fi res pectivam ente tien<5 por ecuación 2 X . (C i - C .) + Ci’ - Ci* - ri’ -I- n ’ = O . 22. D em ostrar la desigualdad |A - t - B |_ - l - |B + C | - | C + D | ^ | A + B - f C + D | + l B | - M C | D iscutir los casos de igualdad. 23. D em ostrar que las alturas de un triángulo concurren en un punto (ortocentro). 24. Supongamos que el vector X gira alrededor del vector A , del mis mo origen, u n ángulo a ; pro bar que su nueva posición es 1 1 X ' = X -)----- [A A (A A X )] (1 — cos a ) + — (A A X ) sen a .

a’

a

siendo a el módulo de A . 25. Sea O el centro del círculo circunscripto al triángulo A B C . T o memos este punto como origen de coordenadas y representemos por A , B , G a los vectores OA , OB , O C . D em ostrar que el punto H = A + B - f C es el ortocentro del triángulo (punto de encuentro de las alturas). 26. Por un punto P interior a u n circulo dado se trazan dos semirrectas perpendiculares entre sí; sean , £ los puntos en que ellas cortan a la circun

67

A

p l ic a c io n e s

del

A

lgebra

V

e c t o r ia l

ferencia. H allar el lugar geométrico de los puntos medios de las cuerdas A B , al variar las sem irrectas perpendiculares trazadas por P . 27. P or un punto P de una esfera se traza una cuerda PPi y se pro longa en un segmento P,Q = XPP,, siendo X una constante. H allar el lugar geométrico de ¡2 al variar P, sobre la esfera. 28. H allar el lugar geométrico de los puntos del espacio cuya razón de distancias a dos puntos fijos es constante. 29. H allar el lugar geométrico de los puntos del espacio tales que la suma de los cuadrados de sus distancias a n puntos fijos es constante. 30. H allar el lugar geométrico de los puntos del plano, tales que los pies de las perpendiculares trazadas desde ellos a los tres lados de u n triángulo están en línea recta.

9. NOTAS Y C O M PL EM EN TO S D EL C A P ÍT U L O II 1. Teorem a de Ptolomeo (siglo I I d .C .). E n todo cuadrilátero inscriptible en una circunferencia el producto de las diagonales es igual a la sum a de los productos de los lados opuestos. 2. Area del cuadrilátero. Dados los lados a , b , c , d de un cuadrilátero plano y sus diagonales e , f , el área / se puede calcular por la fórmula

16 r = 4 e ' r -

(b' + tP -

a' - c’)’

Si el cuadrado se puede inscribir en una circunferencia, el teorema de Ptolomeo perm ite escribir este resultado en la forma de Herón

/ = V(/> - a)

( p - b ) ( P - C ) ( p - d)

donde 2 p = a + b + c + d . 3. Teorem a de C arnet ( 1753- 1823). L a generalización del teorema de Menelao ( 8 .9 ) a un polígono cerrado cualquiera de n lados ccnstituye el siguiente teorema de Carnot:

Si J f i ( i = l , 2 , . . . , n ) son los puntos en que una recta cualquiera cor ta a los lados de un polígono cerrado de n lados P 1 P2 . . P» se verifica (fig- 3 9),

P.ATx X rP ,

68

P1 X 2

P .X .

~x , p 7 .... x . P i

~

’

9. N

otas

y

C

o m plem en to s

del

C

a p ít u l o

II

Pnra polígonos esféricos cerrados, cortando por un círculo máximo, la irlnción análoga es

se n (P iZ i)

sen(P2-X'2)

se n (P „ X „ )

.......................................... ......... .....................= ( — 1)«. seníX ’j P j ) sen (Z21P 3) seníX^^Pi) 4. Circunferencia de los nueve puntos. En todo triángulo los puntos meilioj de los lados, los pies de las alturas y los puntos medios de los segmentos determinados en cada altura desde el vértice al punto de encuentro de las mis mas están sobre u n a misma circunferencia, llam ada “circunferencia de los nueve puntos” o circunferencia de Feuerbach ( 180 0- 1834). 5. C ónica p o r cinco puntos. L a ecuación de la cónica determ inada por los cinco puntos A , B , C , D , E puede escribirse en la forma (A D E ) (B C E) (A B X ) (C DX) = (ABE) (C D E) (A DX ) (BCX) 6. U n a propiedad del ortotetraedro. U n ortotetraedro es u n tetraedro cu yas alturas concurren en u n punto. Es notable el siguiente teorem a; “ En un ortotetraedro, los 6 puntos medios de las aristas y los 6 pies de las rectas p er pendiculares comunes a los pares de aristas opuestas están sobre u n a misma esfera” . 7. Teorem a de Pohlke. E n 1853, K . Pohlke enunció el siguiente teorema que en geom etría descriptiva se considera el fundam ental de la axonom etría oblicua: “Tres vectores cualesquiera de un plano, no todos paralelos n i más de uno nulo, pueden siempre considerarse como proyección oblicua de 3 vectores del espacio ortogonales entre sí y del mismo módulo” . 8. V ectores deslizantes. Fuerzas. Ya dijimos en 1 .4 que los vectores deslizantes son aquellos para los cuales la definición de igualdad, más restric tiva que la de los vectores libres, es la siguiente: “Dos vectores son iguales cuando tienen: a ) igual m ódulo; 6) igual dirección y sentido; e) están si tuados sobre una misma recta”. Por consiguiente, p ara dar un vector deslizante hay que d ar el vector libre que determ ina su módulo, dirección y sentido, y, además, la recta que lo contiene.

Sea A u n vector contenido en la recta r y O u n punto fijo del espacio. Siendo P un punto cualquiera de r (representamos po r P al vector O P ) , vimos en 4 .3 que el momento M de A respecto de O es (1) M = P AA . Dado el momento M y el vector A , queda determ inada la recta r ,

69

A

p l ic a c io n e s

del

A

lgebra

V

e c t o r ia l

es decir; un vector deslizante queda determinado por el vector Ubre de igual módulo, dirección y sentido, más su momento respecto de un punto fijo O . P o r tanto, p ara determ inar un vector deslizante daremos el p a r (A , M ) , con la condición de que los vectores A , M estén ligados p o r la relación (2) A -M = O como se deduce de (1 ) . D e aquí y de 8. 18 se deduce fácilm ente; la condición p a ra que dos vectores deslizantes ( A j , M i) , ( A i, M i) estén sobre rectas concurrentes es que sea Al · A'Ii Al · Aíi ~ O . U n “sistema de vectores deslizantes” o bivector es un conjunto de tales vectores. Si éstos son ( Ai , M, ) , ( Ai , M i ) , . . . , (A», M ,) se llam an com ponentes del sistema a las dos sumas A* = 2 Ai , M * = 2 M i . Dos sis temas se dicen equivalentes cuando tienen iguales componentes Si las compo nentes A* , M * de un sistema cumplen la condición (2 ) , o sea. A* · M * = O , el sistema es equivalente a u n vector deslizante. Si es A* = O el sistema le llama u n par y la dirección de la componente no nula M * se llama eje del par. P a ra sumar sistemas se suman las componentes respectivas. C on estas definiciones se tiene el teorema im portante: T o d o sistema de vectores deslizantes equivale a la suma de un vector des lizante y un par cuyo eje es paralelo al vector. E n efecto, basta poner ( A * , M * ) = ( A * , M * - XA*) + ( O , XA * ) y determ inar X por la condición de que el prim er sum ando sea u n vector, · sea, se cum pla la condición (2 ) , A*-M* A * . M * - X( A*) * = O , X = _ _ _ El m ejor ejemplo de vectores deslizantes son las fuerzas, puesto que su efecto no varía cuando se desplaza el punto de aplicación sobre la recta que las contiene. Por esto, todo lo anterior puede enunciarse como propiedades de los sistemas de fuerzas. Como aplicación del último teorema, dem ostrar, como ejercicio, que el sistema de fuerzas representadas po r los lados de u n polígono plano, todas orien-

Q

tadas en sentido acorde, es equivalente a u n p a r cuyo momento es igual a d o · veces el área del polígono. U n excelente resumen de la teoría de vectores deslizantes (en alemán Stäbe) y de los sistemas de los mismos, se encuentra en W. B l as chke , Analytische Geometrie, H annover, 1948, cap. H I. 70

9. N

otas

y

C

o m plem en to s

del

C

a p ít u l o

II

9. Aplicaciones a la navegación aérea. L a velocidad de un móvil es el ejemplo más típico de vector. Su dirección y sentido son los del movimiento y lu módulo es el número que mide la velocidad, tal como se define en física (cociente entre espacio recorrido y tiempo empleado en recorrerlo o, con mái precisión, derivada del espacio respecto del tiem po). Supongamos, por ejemplo, un avión que posee una velocidad propia V» y se mueve en el aire con un viento de velocidad W . L a velocidad resultante Vr será la suma vectorial (fig. 41) V, = V, + w . El triángulo O P Q formado por V , , V , y W se llama triángulo d t velocidades. El ángulo P O Q en que se h a desviado el avión de su ru ta por acción del viento se llama deriva. Supongamos que a p artir de un punto O se desea seguir cierta ru ta O A . Conocido el módulo de la velocidad propia | V , | del avión y la velocidad del viento W (en dirección e intensidad), el problema fundam ental consiste en averiguar la dirección de Vp , es decir, la dirección hacia la cual debe apuntar el avión para seguir la ruta deseada, y la velocidad resultante V , para saber la velocidad con que realmente el avión avanzará en su ruta. Basta para ello construir el triángulo de velocidades O Q P (fig. 42) del cual se conoce el ángulo A O Q (ángulo del viento con la ru ta ) y los lados O Q = | W | y Q P = 1 V , I . P ara neutralizar el efecto del viento el avión deberá ap u n tar en

la dirección O S ; el ángulo S O P se llam a corrección de deriva. Si | V , | > > I V , I el viento se llam a favorable y si | V r | < | Vp | perjudicial. Si Vr resulta de sentido opuesto a la ru ta O A que se desea seguir, el viento se llama no navegable. Como ejemplos proponemos los siguientes ejercicios: 1. D ada u n a ru ta O A y el módulo 1Vp | señalar las regiones del plano que son extremos de los vientos W (llevados a p a rtir de O ) que son favora bles, perjudiciales o no navegables. 2. A partir del triángulo de velocidades O P Q de la figura 41 estudiar las condiciones del viaje de regreso. 3. Si en la figura 42 se colocara Vp en la dirección O A y se cons truyera el correspondiente triángulo de velocidades, el ángulo entre V , y la nueva V , que se obtuviera sería la deriva. H allar las relaciones entre la deriva y la corrección de deriva. ¿E n qué casos son iguales?

7]

Los

V ecto res y lo s

C a m b io s d e C o o r d e n a d a s

4. Se llam a radio de acción de ida y vuelta a la zona alcanzable por un avión desde u n punto O , sabiendo que debe regresar a él. Suponiendo cono cida la velocidad V , y el viento W , dem ostrar que el radio de acción está lim itado por una elipse con un foco en O y el eje mayor en la dirección de W . 5. U n avión de velocidad propia conocida Vp recorre la ru ta que une los puntos M , N . Sabiendo que hay un viento conocido W , hallar el punto en que el avión se encuentra a la m itad del viaje (en tiem po). P ara estas cuestiones ver L u is S . S o r s , Elementos de aviación, Buenos Aires, Espasa-Calpe A rgentina, 1948

72

J

C A PITU LO IJl

LOS V E C T O R E S Y LOS C A M B IO S D E COORDENADAS

10. CAM BIOS DE COORDENADAS CARTESIANAS ORTOGO NALES L El problema fundamental. L a propiedad esencial de todo el cálculo vectorial es que los vectores y los resultados de las operaciones, entre ellos tienen un significado intrínseco, independiente de cualquier sistema de coordenadas que por conveniencia se haya introducido en el espacio. Este significado intrínseco es evidente mientras los vectores y las operaciones entrr; ellos se definen geométricamente, pero deja de serlo

cuando se empiezan a utilizar las componentes de los vectores respecto de determinados sistemas de coordenadas. En este caso, cuando se quieran definir vectores a partir de sus componentes, hay que tener en cuenta que la definición sea correcta, en el sentido de que efectivamente 73

Los

V e c t o r e s y l o s C a m b io s d e C o o r d e n a d a s

quede bien definido un vector, o sea, un segmento orientado del espacio, con posición bien determinada y la misma para cualquier sistema de coordenadas. Vamos a poner un ejemplo simple del plano para comprender mejor el problema. Supongamos dado en el plano un vector A de componentes « i , flj (fig. 43). Si definimos un nuevo vector por el hecho de tener sus com ponentes iguales a Xa i , ^ (^ es un número real fijo, independiente del sistema de coordenadas), la definición es correcta, sin necesidad de especificar respecto de cuál sistema de coordenadas se han obtenido las componentes a , , a j . En efecto, si en otro sistema de coordenadas las componentes de A son a / , a / , el vector X a / , X a / sigue siendo el mismo anterior, como se ve en la figura 43 y como ya sabíamos por el hecho de tratarse del vector XA (3.4 ) . En cambio, si definiéramos un nuevo vector por el hecho de tener sus componentes iguales a ai + X, ü2 + X , la definición no sería ad misible, pues este nuevo vector depende del sistema de coordenadas, y en todo caso tendríamos que añadir: “vector de componentes Oi + X aj -f X en el sistema de coordenadas respecto del cual las componentes

F ig u r a

44

de A son a , , ” . En efecto, si en otro sistema de coordenadas las com ponentes de A son a / , a / , el vector a i' + X, + X ya no es, en general, el mismo anterior (fig. 44). Este ejemplo pone de manifiesto que en todos los casos en que se defina un vector por sus componentes y en que, por consiguiente, inter venga en la definición un particular sistema de coordenadas, para que la 74

10. C a m b i o s

de

C oordenadas C a r t e s ia n a s O rtogonales

(lefinición sea admisible es esencial demostrar que el resultado es siem pre el mismo cualquiera que sea dicho sistema de coordenadas. Consideremos todavía otro ejemplo. Dados dos vectores A ( a , , α ^ , Λ , ) y B { b i , b i , b¡) en el espacio, supongamos que se quisiera d e fin ir Un producto entre ellos como el nuevo vector de componentes «i , 02 b i , üa b s . ¿ Sería correcto? Es fácil darse cuenta de que no. En efecto, tomando un sistema de coordenadas en el cual las componentes de A fueran A ( a / , 0 , 0 ) y las de B resultaran fe /, b · / , b / , el producto así definido sería un vector en la dirección de A . En cambio, e n otro sistema de coordenadas en la cual fuera A ( a / , « z ', a / ) , B (fe /, O, 0) el producto sería un vector en la dirección de B . Se trataría, por tanto, de un producto cuyo resultado no dependería exclu sivamente de A y B , sino de estos vectores y a d e m á s del particular sistema de coordenadas respecto del cual se toman las componentes. Obsérvese que ello no ocurre ni para el producto escalar ni para el vectorial (en este caso salvo la orientación del sistema de coordenadas), cuyo resultado es un escalar o un vector que depende exclusivamente de los dos vectores, no del sistema de coordenadas. Aparece así el problema de ver cómo se puede saber si la defini ción analítica de un vector por medio de sus componentes es o no ad misible. T al es el objeto fundamental de este apartado y del siguiente. 2. Cambio de versores fimdamentales. Supongamos que los tres versores fundamentales I , J , K se sustituyen por otros tres versores I ' , J ' , K ' también ortogonales entre sí. Sean I' = «1 1 4- 02 J + ttj K (1) J' = P1I-1-P2J+P3K K ' = V i I + Y 2 j + Y3K las expresiones que dan los nuevos versores por sus componentes respecto de los primitivos. Las a» (t = 1 , 2 , 3) son las componentes de I ' , que, siendo este vector de módulo unidad, coincidirán con sus cosenos di rectores, o sea, con los cosenos de los ángulos que forma con I , J , K respectivamente. Análogamente, las β{ y γ ι son los cosenos direc tores de J ' y K ' . Inversamente, los cosenos directores de I respecto del triedro Γ , J ' , K ' serán O i, β ι , γ ι y, análogamente, los de J y K serán “2j j Ya y 03, Ps, Ys respectivamente. Por tanto, las ecuaciones inversas de (1) son I = α l r + ß.J'-^YlK' (2) Ι = α2 ΐ'+ β2 ΐ' + γ 2 Κ' Κ = α3ΐ' + β . Γ + Υ 3 Κ ' . Las ecuaciones que expresan que los versores Γ , J ' , K ' son de módulo unidad y forman un triedro ortogonal son; 75

Los

V e c t o r e s y l o s C a m b io s d e C o o r d e n a d a s

(3)

P = a i* + a /+ a 3 * = l , + 1 . K'=Yx^ + Y2^+Y3^ = l I ' . J ' = tti Pi + 02 P2 +03 Ps = O r . K ' = Oí Yi + Oj Y^ + OjYs = O j ' . k ' = PiYi + p, y2+P3Y3 = o y las que expresan lo mismo para los versores I , J , K son (4) P = Oi=+pi=+Y i*= 1 p = 02*+ p2*+ Y 2^= l , K 2 =

03^ +

P3“ +

Y 3 " = 1

I . J = Oí 02 + pi P2 + Yi Y2 = O , I . K = Oí 03 + Pi P3 + Yi Ys = O J .K = a 2 O 3 + P 2 P 3 + Y 2 Y 3 = 0 . Estas relaciones (3) y (4) no son independientes. Geométricamen te es evidente que si las ecuaciones ( 1) implican las (2 ), también las (3) deben implicar las (4) , lo cual puede también probarse algebrai camente. Reuniendo (3) y (4) en un solo enunciado, se tiene: T e o r . 1 : Para la matriz Ctl

(5)

Pl Yl

0>2 p2

Y2

(X3 p3

Ys

de la transformación ( 1) de un sistema de versores fundamentales en otro, la suma de los cuadrados de los elementos de una linea cualquiera ( fila o columna) vale uno y la suma de los productos de los elementos de cualquier linea por los de una paralela vale cero.

Representado por A el determinante de la matriz (5) , de (1) se deduce Oi 02 O3 (I'J 'K ') = A ( I J K ) , con A = (6) p l p2 p3 Yl Y2 Ys Como sabemos que el producto mixto de los versores de un triedro ortogonal vale + 1 6 — 1 según que el triedro sea positivo o negativo (5. 1), de aquí resulta: T eor . 2: E l determinante A de los coeficientes de la transfor mación d e un triedro ortogonal de versores en otro, vale + 1 si los dos triedros son del mismo signo y — \ si son de signos opuestos.

O tra propiedad im portante del determinante de los coeficientes es la siguiente. Supongamos que los dos triedros tengan la misma orien tación, o sea, A = + 1 . Teniendo en cuenta las relaciones 4.14 apli cadas al triedro I ' , J ' , K ', de (2) se deduce K = I A J = (p,Y, - p^Y,) F + (02 Yl - Oi Y2) y + (Oi P2 - 02 Pl) K ' de donde, comparando con la última ecuación (2), resulta (7) 03 = pl Y2 - P2 Yl , p3 = 0.2 Yl - «1 Y2 Ys = a i P2- 02 Pl y análogamente con los demás elementos. En cambio, si A = — 1 , la orientación de I ' , J ' , K ' es negativa, 76

10. C a m b io s

de

C o ordenadas C a r t e s ia n a s O rtogonales

y cn lugar de las relaciones 4. 14 se tiene I'A J' = - K ' , J'A K ' = - r , K '.A p = - J ' con lo cual los segundos miembros de (7) resultan con los signos cam biados. Se puede, por tanto, enunciar: T e o r . 3 : Si un triedro y su transformado tienen la misma orien tación, cada elem ento del determinante de los coeficientes de la trans form ación es igual a su adjunto. Si tienen orientaciones opuestas, cada elem ento es igual a su adjunto con el signo cam biado,

3. Cambios de coordenadas. Como siempre consideramos vecto res libres, que pueden por tanto llevarse a partir de un origen fijo O los únicos cambios de coordenadas que interesan son aquellos que con servan el origen. Sea un punto general P cuyas coordenadas en el sistema formado por los versores I , J , K sean x , y , z . Esto significa que conside rando P como punto extremo del vector O P , se puede escribir (8) OP = x l + y ] + z K . Queremos ver cuáles serán las coordenadas de P , o sea, las com ponentes del vector O P , en el sistema de coordenadas determinado por los nuevos versores I ' , J ' , K ' . Si las llamamos x ' , y , zf deberá ser también (9) OP = x ' Y + y y + z’ K ' . De (8) y (2) se deduce OP = ( a i x + a2y+ct3z) I ' + + J ' + ( Y i* + Y2>’+Ys^) K-' , y por tanto, igualando con (9) resulta (10)

x' = axX + a^y + Oisz y' = îX + ^-,y + ^3Z

/ = Yi^ + Y a y + Y s 2 . Las ecuaciones inversas, obtenidas sustituyendo en (9) I ' , J ', K ' por sus valores (1) e igualando con (8), son .* = Oi y 4- Pl / + Yl / (11) y = a2 * ' + P 2 / + Y2z' Z = 03 x ' + p3 / + Y3 2 ' .

Comparando (1) y (2) con (10) y (11), se tiene: T e o r . 4 : Por cambios de coordenadas ortogonales con el origen fijo, las coordenadas d e un punto se transforman según las mismas fó r mulas que los versores fundamentales.

Toda transformación lineal y homogénea, como la (10), cuyos coefi cientes satisfagan a las relaciones (3) , y en consecuencia a las (4) ,se llama transformación ortogonal. Ella representa una rotación de ejes si el determinante de los coeficientes vale - f i ó una rotación seguida de una simetría respecto de un plano coordenado, si vale — 1 . 77

Los

V ecto res y lo s


EJER C IC IO S

f

L D em ostrar que no es admisible una definición de producto de dos vec tores A (a>, flj, a,) , B ( 6 i , ¿ 1 , ¿i) como el nuevo vector de componentes di bt -|- fli 6i ,

ai bt a t b í ,

ai bt -1- a i 6 i .

2. D ada la transformación ortogonal 1 2 2 r = — I ------- J ------- K 3 3 3 2 1 2 J ' = — I ------ J + — K 3 3 3 2

2

1

K ’ = ------ 1 ------- J + — K 3 3 3 hallar la transformación inversa y averiguar si los nuevos ejes tienen igual o distinta orientación que los primeros. 3. Buscar las componentes de los ocho versores obtenidos como inter sección de los planos bisectores de los planos coordenados. 4. Se sabe que los tres versores I ' , J ' , K ' form an u n triedro ortogonal y que cada uno de ellos tiene dos componentes iguales entre sí; hallar el valor absoluto de estas componentes. 5. Si X , y y x' , y' son dos sistemas de ejes coordenados del plano, no necesariamente ortogonales, probar que las fórmulas de transformación de coor denadas (con el origen fijo) son * ' sen (x ’ , y ) =z X sen (x , y ) + y sen (.y, y’) y sen ( / , x ’) = X sen (* , x ’) - | - y sen ( y , * ') 6. Dados los versores I ' = 4

(I ~ J + 2 K ) , J ' =

\'C hallar K ' con la condición de que I ’ , J ' , K ' 7. Dados los vectores A ( l , — 1 , 2 ) , ponentes de losversores I ' , J ' , K ' que forman que I ' tiene la dirección de A y J ' está en

4 : (2 I -

K)

V5 sea un triedro ortogonal directo. B(—1,3,1) hallar las com un triedro ortogonal y son tales el plano A . B .

II. D EFIN IC IÓ N A N A LÍTICA D E V E C T O R 1. Transformación de las componentes de un vector por cambios de coordenadas ortogonales. Dado un vector cualquiera A , siempre podemos tomarlo a partir del origen O . Sus componentes fli, « z, <*3 son entonces las coordenadas de su extremo. Por tanto, por un cambio de coordinadas definido por las ecuaciones 10.1 se transformarán como las coordenadas de un punto o sea, según las ecuaciones 10.10 y 10.11 que ahora escribiremos: a ,’ = ai + a, + a , flj , = a i a / -I- P i aj" + Y i Oj' , í 1) a·/ = |3i a, + p, a.¿ + p., 0 3 , a / + P2 Oj' + Y2 fls' , a / = Y , a, + y .. + y s 03 , « 3 = a s a ,' + P a a / + y » . Reciprocamente, si se tienen tres magnitudes escalares « i , a^, que p< r lui cambio de coordenadas se transforman según la misma ley 78

( |

\

11. D e f i n i c i ó n A n a l í t i c a

de

V ector

que las coordenadas de un punto, ellas pueden considerarse como las componentes de un vector A , puesto que tomando este vector en otro sistema de coordenadas, las nuevas componentes a / , a / , a i repre sentarán el mismo vector. Se tiene así el teorema fundamental: T e o r . 1 : L a condición necesaria y suficiente para que tres esca lares O], a , , a , sean componentes de un vector, es que por un cambio de coordenadas ortogonales de origen fijo, ellas se transformen según las mismas fórmulas que las coordenadas de un punto.

Si se trata de un pseudovector ( 4. 3), las fórmulas de transforma ción de sus componentes deben ser las mismas que para las coordena das de un punto si el nuevo sistema tiene la misma orientación que el primero, pero deben cambiar de signo si el nuevo sistema tiene la orien tación opuesta. Es decir: T e o r . 2 : L a Condición necesaria y suficiente para que tres esca lares sean componentes de un pseudovector es que por un cam bio de coordenadas ortogonales de origen fijo y de determinante + ! se trans formen según las mismas fórmulas que las coordenadas de un punto, pero cam bien de signo por los cambios de coordenadas de determinante — 1 .

Ejemplos:

1. Supongamos que se quisiera definir un vector por la propiedad de tener sus tres componentes iguales, o sea, un vector de componentes a , a , a distintas de cero. ¿E staría el vector bien definido? Si al mismo tiempo se da un particular sistema de coordenadas, no hay ningún inconveniente en tomar en este sistema el vector de componentes a , a , a . Pero si se hace u n cambio de ejes, las componentes en el nuevo sistema ya no serán iguales entre sí, como es evidente geométricamente y resulta de (1) . Es decir, sin puntualizar de an temano un particular sistema de coordenadas no se puede definir un vector por la propiedad de tener sus tres componentes ieuales a nn valor dado dis tinto de cero. En otras palabras: el hecho de tener las componentes iguales no es una propiedad intrínseca al vector. 2. Sean A (a, , a? , Oj) , B (6, , , b,) dos vectores dados. Si definimos un nuevo vector por tener sus componentes respectivamente iguales a (2)

fli

6i , fli -f- fea , íli

fel

la definición es admisible, independientemente de cual sea el sistema de coor denadas. En efecto, las fórmulas de transformación de estas sumas son las mismas (1) , como se deduce escribiendo las fórmulas análogas para las com ponentes de B y sus transformadas y sum ando miembro a miembro. Es el vector A -f B . Lo mismo si se tom aran las diferencias, lo que daría el vector A-B. E n cambio, la definición de un vector por las componentes

a, + b t ,

(3)

ai — b i ,

a, — b,

no es admisible, pues estas componentes no se transform an según las fórmulas (1). 3. Sean dos vectores A ( a i , a t , a») , B( f ei , fcj, fcj). Veamos si las componentes (4 )

Ci =

a t b t — at bt ,

Ci =

a» fei — ai bt ,

c» =

a i t j — a i b,

definen o no un nuevo vector. Por un cambio de coordenadas, según (1 ) seri

79

Los

V ecto res y lo s


« / = flj' b,' — at b í = (Pl fli + Pl ai + P at) (y ib i + Yi 6i + Y· 6») — —

(Yi fli +

=

(PiYí — Yl Pl) (a i bt — at b i)

Yl Oa -|- Yl a t)

(P l 6i + Pl t i +

+

(P iY i

— p l Yl) (at bt — at b t)

Según ti último teorema escribir Ci' =

=

a i Ci +

+

.

de

a i (íii bt — at b t) +

Pl b t)

+ (PiYi — PiYi) (a t bt —Oj 6>)

1 0 . 2 , si

cta ( a , bi — a¡ b t) +

A = + 1estas (it (ai bt —

ecuaciones sepueden

at b i)

Oi íi + o, í, .

En cambio, si A = — 1 , resulta Ct

—

—“

(X i ¿ “i

—

o ta

·

Análogamente se encuentran las fórmulas de transformación p a ra Ct y Ct . Resulta, por tanto, que C i, c , , c, son las componentes de un pseudovector. Se trata, efectivamente, del producto vectorial A A B , como ya sabíamos. En cambio, compruébese que no tendría sentido definir, a p artir de los vectores A , B , un tercer vector cuyas componentes fueran, por ejemplo, at bt + a> 5i

,

a i fei + Oi bi

o cualquier otra combinación arbitraria de las componentes de A y B que no fueran la (4) del producto vectorial o las simples ai ± bt de la adición y sus tracción. La combinnción (4) que da el producto vectorial no es caprichosa; es una necesidad para que el resultado tenga carácter vectorial (incluyendo en esta de nominación a los pseudovectores). 4. Vector desplazamiento. Las tres diferenciales d x , d y , dz pueden to marse como componentes de un vector infinitesimal. En efecto, de 10. 10, siendo las ai , (ii , Y( constantes resulta que, por un cambio de ejes, las nuevas com ponentes d x ' , dy' , dz' se deducen de las primitivas por las mismas fórmulas 10 . 1 0 . Se trata pues de un vector, llamado vector desplazamiento. Si P es el punto de coordenadas x , y , z indicaremos este vector por (5)

áP = d x .l -f d y .}

+

á z .K .

2. Definición analítica de vector. A partir de la definición geo métrica de vector hemos llegado al teor. 1 que permite reconocer cuando tres magnitudes escalares constituyen las componentes de un vector. So bre la base de este teorema se puede dar para los vectores la siguiente definición analítica; D ef . 1: Se llama vector al ente definido por tres magnitudes es calares a i , Ü2 , Ü3 llamadas componentes del vector, las cuales por un cambio de coordenadas de la forma 10.10 se transforman según (1). Sobre la base del teor. 2 se tiene, análogamente, la siguiente D e f . 2: Se llama pseudovector al ente definido por tres magnitudes escalares a i , , a^ llamadas componentes del pseudovector, las cua les, por un cambio de coordenadas ortogonales de origen fijo, se trans forman según las fórmulas (1) si el determinante de la transformación vale + 1, y según las mismas fórmulas cambiadas de signo, si el de terminante vale — 1 . Los pseudovectores se llaman también densidades vectoriales. 80

11. D e f i n i c i ó n A

n a l ìt ic a

de

V ector

Ejemplos; 1. Supongamos u n vector A = A ( x , y , z) función de punto. Ello quiere decir que sus componentes son funciones de x , y , z , o sea, at z= a, ( x , y , z) . Afirmamos que las tres derivadas parciales O u, o i . , a » son componentes de un vector, llamado vector derivado de A respecto de x , el cual se representa por A , . E n efecto, de ( 1 ) se deduce, puesto que las a i , P«, Y< son constantes, « 'l » =

«1

= Pl

«-la, +

« 2 «2:» +

+ ^2

« 3 « 3 ..

+ P3 ®3»

“ ' 3 ® = V i “ ir . + Y a “ 2í! + V 3 o-sx lo cual prueba que la ley de transformación de las a i. es efectivamente la de los vectores. Análogam ente se tienen los vectores A , , A, de componentes respectivas a „ , a ., (i = 1 , 2 , 3) . 2. Supongamos u n punto P { x , y , z) móvil en el espacio. Ello significa que las coordenadas x y , z son funciones del tiempo t . Afirmamos que las

derivadai x = d x / d t , y = d y / d t , z = d z / d t son componentes de un vector, llamado vector velocidad. En efecto, derivando las ecuaciones 10. 10 respecto de t y siendo los coeficientes constantes, resulta que x , y , z se transform an según la ley ( 1 ) , lo que dem uestra el enunciado. 3. En cambio, compruébese como ejercicio que las tres derivadas parciales oim, a i , , ai. (siendo ai la prim era com ponente de u n vector) no son compo nentes de un vector, puesto que su ley de transformación no es la de los vectores.

3. Cambios de coordenadas en el plano. Todo lo dicho para vec tores del espacio vale para el plano, con sólo suponer que los versores K y K ' son los mismos y perpendiculares al plano de los vectores. En todas las fórmulas del apartado 10 bastará hacer tts = p3 = Yl = Y2 = O , Ys = 1 y, para poner de manifiesto que los a t , Pi son cosenos directores, se puede poner Oi = cos , con lo cual las relaciones 10.3 determinan los restantes coeficientes 02 , P i , P2 en función de (p. Sin embargo, en vez de seguir este camino, es más simple proceder directamente. Sea el sistema formado por I , J y su transformado I ' , J ' Si I ' , J ' tiene la misma orientación que I > J , es decir, para ambos se va del prim er versor al segimdo girando en el mismo sentido, se trata de una rotación (fig. 45) , y llamando cp al ángulo de la misma, será (como se deduce de la figura), I ' = cos qp I -1- sen cp J J ' = — sen cp I 4- cos cp J . En cambio, si la orientación es opuesta (fig. 46) será I ' = cos cp I + sen cp J , J ' = sen cp I — cos cp J . Para las coordenadas de un vector A («i , «2) , la igualdad di I + «2 j = di I ' + d 2 y nos da (6) a / = cos cp fli -H sen q) flj , «2' = — sen q) Oi -1- cos q) «2 , si los dos sistemas tienen la misma orientación, y 81

Los

V ecto res y lo s


(7) a / = cos cp + sen cp «2 a / = sen q) «i — cos q> , si tienen orientaciones opuestas. Los teoremas fundamentales del 11.1 referentes a la caracteriza ción de los vectores y pseudovectores dados por sus componentes sub sisten para el plano, con sólo sustituir las fórmulas de transformación (1) por las más simples (6) y (7) .

A veces interesan las inversas de (6) y ^7) , a saber; (6)' a, = a / cos cp — a / sen q) , = a / sen cp + a / cos cp para cambios que conservan la orientación dcl plano, y (7)' (I, = a / cos cp + a / sen qi , a j = a / sen cp — a / cos cp para cambios de coordenadas que inviertan la orientación del plano. Las coordenadas , atj de un punto y las x / , x / de su trans formado están ligadas por lasmismas fórmulas anteriores. Ejemplo: Sea el vector A ( a , , <7i) . Queremos ver el carácter del objeto geométrico B (i>i, bi) definido por las componentes fel = — Oí , bi = ai , Por u n cambio de coordenadas que conserve la orientación del plano, según (6 ) , será bi = — flj' = sen tp fli — cos cp a» = cos
i cos cp bt o sea, las componentes 6 , , bt se transform an según las fórmulas de los vectores. Por un cambio de coordenadas que invierta la orientación del plano, según (7) resulta bi = — fli' = — sen cp fli + cos cp oi = — cos cp — sen
bt que son las mismas (7) pero con el signo cambiado. Por tan to : con las com ponentes de un vector A { a i, at) se puede formar el pseudovector B ae com ponentes 6i = — Oi, bt = Oi.

82

11. D e f i n i c i ó n A

n a l ít ic a

de

V ecto r

Geométricamente, B se obtiene por rotación de A fn un ángulo de 90° en el sentido directo respecto de la orientación del plano. De aquí que, cambiando la orientación del plano, B se transform a en su opuesto.

4. Escalares y pseudoescalares. Supongamos una función que en cada punto de una región dada del espacio toma un valor bien deter minado. Si este valor depende exclusivamente dcl punto y no del sistema de coordenadas ni, por tanto, de la orientación del espacio, la función misma se dice que es un escalar. En cambio, si el valor que toma la función en cada punto cambia de signo con la orientación del espacio (conservando el valor absoluto), se dice que es un pseudoescalar o, también, que es una densidad escalar. Por ejemplo, cualquier función f ( x , y , z) que por un cambio de coordenadas se transforme, simplemente, sustituyendo x , y , z por sus valores 10.11 . es un escalar. En cambio, si por ejemplo en cada punto del espacio o de la región considerada están dados tres vectores A , B , C (con sus componentes funciones de x , y , z) , el producto mixto ( A B C ) es un pseudoes calar. En efecto, por un cambio de coordenadas ortogonales (10.11), recordando la regla para multiplicar determinantes, es (8 ) (A'B'C') = A (A B C) siendo A el determinante de los coeficientes de la transformación y que sabemos vale -1-1 ó — 1 según que el cambio de coordenadas conserve o no la orientación del espacio (10.2). Esto prueba que ( A B C ) es un pseudoescalar. Hay escalares que no sólo conservan el valor que toman en cada punto, sino que conservan la forma de su expresión en cualquier siste ma de coordenadas cartesianas ortogonales. Tales escalares se llaman invariantes.

Por ejemplo, en virtud de las relaciones 10.3 y 10.4 es inmediato probar que es (9) + y'^ + = x^ + y·^ + z^ relación que geométricamente es evidente, por representar ambos miem bros la distancia del punto {x , y , z) al origen de coordenadas, distan cia que no cambia por una rotación alrededor del mismo. La función + y^ + z^ es, por tanto, un invariante. Análogamente, de las fórmulas (1) y de las análogas escritas para otro vector B (¿>i, ¿ 2, bs) se deduce ( 10) a / bi' -1- a / b / -F a / b / = a^bi + a^ 62 + Usbs , relación que también es evidente geométricamente, puesto que ambos miembros representan el producto escalar de los dos vectores. Por tanto la expresión ai bi + 02 ¿2 + «3 b^ es otro ejemplo de invariante. A veces se llaman invariantes a todos los escalares, reservando el nombre más preciso de invariantes de form a para los que aquí hemos llaniutlo simplemente invariantes. 83

Los

V ecto res y lo s


En realidad la palabra invariante debe ir ligada a las transformaciones respecto de las cuales vale la invariancia. E n nuestro caso, puesto que en general, y salvo indicación contraria explícita, consideramos sólo cambios de coordenadas cartesianas ortogonales de origen fijo, la invariancia es siempre respecto de las transformaciones o cambios de variables de la form a 1 0 . 1 0 . Por ejemplo, respecto de las transformaciones lineales generales * ' = tti* + a«)' + OiX y' =

P .x + P , y +

*' =

Y i* + Y iy + Y . x

sin las condiciones de ortogonalidad ( 1 0 . 3 ) , los ejemplos (9 ) y (10) anteriores dejan de ser invariantes. Si se consideran las transformaciones lineales con el deter minante de los coeficientes siempre igual a - f 1 (equiafinidades), el producto mixto resulta u n invariante.

Ejemplo: Supongamos en el plano un vector A ( ai , c j). Formemos — ai». Afirmamos que ® es u n pseudoescalar. E n efecto, por u n cambio de coorde nadas que conserve la orientación del plano, según (6 ) e» dx

a 'j·’ =

( — sen (f au

dy

cos tp ai,) — + ( — sen q> ai, -f- cos (p as,) — dx

dx'

dx

dy

a' ■ — ' ' coscpa« 4- se n tp a i.) — +

(c o stp a i, + sencp ai,) —

dy'

dy'

y como las fórmulas que ligan x , y con x ' , y ' son las mismas ( 6 ) ' que ligan las componentes de dos vectores, es dx

dx

— =

dy

cos q> , — = — sen (j) ,

d x'

d y'

dy

— = sen q> ,

dx'

—

dy'

= cos (p

con lo cual resulta a'j,> = — sen (p cos (p a « + cos*(p au — sen’cp ai, -f- sen (p cos (p a>, a'i,· = — sen cp cos

a'im’ — a'iy' “ a2m— ai, .

(11)

En cambio, por una transformación de coordenadas que invierta la orien tación del plano, según ( 7) , resulta dx

dy

a'tm· =

(sencp a « — co« cp o u ) — +

(sen cpai, — c o sip a » ) —

o'i,· =

(eos q> a « -f- sen (p ou)

(eos (p ai,

y como según dx

—

dx

dx 'd x

( 7 ) ', en este

dy

, +

OX cy

sen

oy

caso es dx

^y

= cos (p , — = sen (p— = sen cp , dy

dx

dy

— -

-

eos (p

dy

resulta a'»,· = sen cp cos cp ai. — cos’ cp a » + sen’ q) ai, — sen cp eos cp Oi, a'i,> =: sen cp cos q) fli. -f- sen’ cp a,. — cos’ cp a¡, — cos cp sen q> a,, de donde (12) a' 1 0 ’ — a 1, ' = — (as» — ai,) . (11)

84

y(12) prueban que efectivamente 4>

es u n pseudoescalar.

12. N o t a s y C o m p le m e n t o s d e l C a p ít u lo

III

EJER C IC IO S 1. Dado un vector A (ai, at, a,) comprobar que la suma a* + a»* + <»»’ cs un invariante. Demostrar que salvo un factor constante, este invariante es el ùnico de la forma 'Shij ata¡ con hi/ coeficientes constantes arbitrarios y la suma extendida, tanto para i como para ; , de 1 a 3 . 2. Dados dos vectores A (ai, a,, a,) , B ( ¿ i, ¿>, bt) , probar que las combinaciones (Xiai + H iti , Aifli + Usfei, lafla + Hj*») solamente son com ponentes de un vector si Xi = Xt= X, y = Hs = (j·« . 3. Dado un vector A ( a i, a i , o<)probar que las tres derivadasparciales a i . , a j , , a» no son componentes de un vector. 4. Dados en el plano dos vectores A (a i, a») , B (bi, 6j) ,probar qu» la expresión ai i>j — atbi es un pseudoescalar. 5. A todo número complejo a + bi (i= unidad imaginaria) , corresponde el vector del plano de componentes a, b. Recíprocamente, a todo vector del plano corresponde el número complejo cuyas partes real e imaginaria son, res pectivamente, la primera y segunda componente del vector. Demostrar: a) En esta correspondencia, la suma y el producto por un escalar se corresponden; b) El producto definido para los números complejos, (a,b).(a',b’) = (aa' — bb', a 6 '-t-a '6 ) , no puede aplicarse en álgebra vectorial por no tener carácter in trínseco

12. NOTAS Y C O M PL EM EN TO S DEL C A PITU LO II I 1. Form a explícita de las transformaciones ortogonales. E n el apartado 10 vimos que en toda transformación ortogonal aparecen 9 coeficientes , Pi , Y< (í = 1 , 2 , 3) ligados por las 6 relaciones 10.3. Esto quiere decir que de los 9 coeficientes a < , Pi , y< solamente hay 3 independientes. Se presenta el pro blema de hallar u n a forma explícita p a ra estos coeficientes en función de tres parám etros independientes. L lam ando p , g , r a estos parám etros, u n cálculo un poco largo pero no difícil perm ite expresar la transformación ortogonal general de determ inante 1 por las fórmulas x' =

(1 )

y> /

-^

rn

-í-

-

[2 ( q p - r ) x + = - i [2 ( r í +

3

t^) X + 2 ( p q + r ) y + 2 ( p r -

d - p ' +

q) z]

^ - r ^ ) y + 2 (gr -^ p ) z]

) * -H 2 (rq - p) y + (I -

^ + r>) z]

con (2 )

í =

1 -f- />* 4 - 9* - f r* .

L a transformación general de determ inante — 1 es la misma anterior con los signos cambiados en cada ecuación. Por ejemplo, p ara p = l , q = 0 , r = — 1 se obtiene la transformación ortogonal x’= — ( x - 2 y - 2 z ) 3 y' = - i ( 2 * - y - f 2 0

85

Los

V ecto res y lo s


z'= j(.-2 x -2 y + z)

.

L a interpretación geométrica de los parám etros p , <¡, r es la siguiente. T o d a rotación de ejes coordenados alrededor del origen equivale a una rotación alrededor de cierto eje. Si a , b , c son los cosenos directores de este eje y 6 el ángulo de giro, es

o (3 )

p

= a ts—

e ,

s

q = b tg Y

,

r = ctgy

2. Angulos de Euler. O tra expresión de las transformaciones ortogonales en que aparecen únicamente tres parám etros independientes es la sum inistrada por los llamados ángulos de Euler, que tienen la ventaja sobre la anterior de tener dichos parám etros u n claro significaí’o geométrico.

F ig u r a

47

Supongamos dos sistemas de coordenadas ortoo;onales ( x , y , z) y { x ' , y ' , z ') del mismo origen O (fig. 47). Para determ inar la posición de los ejes x ' , y ' , ¿ respecto de los x , y , z basta conocer: a) el ángulo 9 que forman los ejes z , z' \ b) el ángulo il)que forma x' con la recta de intersección OH de los planos ( x , y) y ( x ' , y ') , medido en el sentido positivo de *' a / en el plano ( x ' , y ') ; c) el ángulo q) que form a el eje x con O H , m edido en sentido positivo en el plano x , y . Estos tres ángulos cp, , O (ángulos de Euler) determ inan com pleta m ente la posición de los ejes x ' , y ' , z' y por tan to las fórmulas de transfor mación de coordenadas de ( x , y , z ) a ( * ', / , z') se podrán expresar en función de ellos. El resultado es x' = (cos (p cos il) — sen cp sen ■>;) cos 0)at + (sen
(> sen 0 z (4 ) y' = ( — cos CPsen ■4 »— sen cp cos ilJ cos 0)a; + (— senqjsenij) -f+ cos cp cos cos 0) y + cos ij) sen 0 z r* = sencp sen 0 a: — cos (p sen 0 y cos 0 z . L a dem ostración de estas fórmulas se hace fácilmente descomponiendo

88

12. N o t a s

y

Co m plem entos

del

C a p ít u l o

III

el movimiento que lleva el triedro { x , y , z) sobre el ( * ', / , z') en tres paso« «ucesivos, a saber: a) U na rotación de ángulo q) alrededor del eje z , que lleve el eje * sobre O H . Sus ecuaciones son ATi = a: cos (p + y sen q) (5 ) yi = — * sen q) + y cos q) Zi=ZZ . b) U n a rotación de ángulo 9 alrededor de Xi (o sea, alrededor de O H ) : *1 = Xi (6 ) y, = yi cos 0 + Zi sen 0 Zi = — y-í sen 9 + cos 9 . c) U n a rotación de ángulo q) alrededor de «j : x' = cos ij) + ya sen rp (7 ) y ' = — Afa sen ij» + y» eos rj)

*' = «!. Ju n tand o estas tres transformaciones parciales se obtienen las fórmulas ( 4) . 3. Cuaterniones. Los vectores del espacio pueden considerarse como el conjunto de los elementos de la forma ai I 4 ·+ a^K , en la cual a ,, a, , a, son tres números reales (componentes del vector) e I , J , K tres símbolos entre los cuales está definido un producto (producto escalar) por lasfórmulas r = P = K’ = 1 , l.J = J.K = K .I = o . Supongamos ahora que en vez de estos símbolos tenemos otros cuatro 1 , El , E j , E, , el primero de ellos la unidad, entre los cuales está definida una multiplicación por la siguiente tabla:

(8)

D ef.

1:

Se

1

El

Ea

E,

1

1

El

Ea

E,

El

El

— 1

Ea

- Ea

Ea

Ea

-E,

— 1

El

E.

Ea

Ea

-E. : - 1

llama cuaternión a toda expresión de la forma

(9 ) Q = 9o 4- 9i E, 4- gj E, 4E, donde los coeficientes qt (componentes del cuaternión) son números reales cua lesquiera. La componente q<, se llama la parte escalar del cuaternión y la suma 9i El 4Ej 4" Ej la parte vectorial del mismo. La suma y producto de cuaterniones se realiza por las mismas reglas de suma y producto de polinomios ordinarios, con sólo tener en cuenta, p ara el producto, la tabla (8) . De ello resulta, por ejemplo, que el producto no es conmutativo, pero que la suma y producto de cuaterniones es siempre otro cua ternión. Sellama cuaternión conjugado del ( 9) , al (10) Q * = q , - 9 .El - 9 a Ea g, E, 87

L os V e c to re s y

lo s

C a m b io s

de C o o rd e n a d a s

que cumple la condición (11) Q . Q * = Q * . Q = ? . * + 9 i* + 9.’ + 9 . · · Este producto de u n cuaternión por su conjugado se llam a norma del cuaternión. Si se tienen dos cuaterniones Q i , Q i se com prueba inm ediatam ente que se verifica

(12)

(Q..Q=)* = Qa*-Q.*

y en cuanto a la norm a del producto, por la propiedad asociativa del mismo, vale .j (13) ( Q ..Q .) . ( Q ..Q .) * = Q . . Q s . a * . Q . * = ( Q ..Q .* ) .( a .Q .* ) donde ( Q i.Q j* ) se ha podido poner al final por tratarse de un escalíir. Por ta n to : la norma de un producto es igual al producto de las normas. D ado un cuaternión Q , se llama inverso del mismo y se representa por Q ·' al cuaternión definido por Q*

(14)

Q-* = ---------------

(Q.Q*) el cual tiene po r norm a la inversa de la norm a de Q . Los cuaterniones sirven p a ra representar las rotaciones alrededor de un punto, o sea, las transformaciones ortogonales del espacio. En efecto, asimilemos a cada punto K ( x , y , z) el cuaternión X = ArEi + y E i + z E i (que carece de parte escalar) y consideremos la transformación (15) ~ X' = Q - > X Q en cuya notación debe entenderse que los coeficientes de E i , E i , Ei de ambos miembros deben ser respectivamente iguales, lo cual d a x , y ' , ¿ cn función de X, y , z y de las componentes q, del cuaternión Q . Afirmamos que (15) re presenta una rotación alrededor del origen. En efecto, de (15) se deduce que la norm a de X ' es igual a la norm a de X , y como estas normas son, respec tivam ente x'* + y"* + z'* y >^ + y + z‘ , resulta que se conserva la distancia al origen y, p o r tanto, tratándose de una transformación lineal, será un a rotación alrededor del mismo. Por otra p arte, si es Q ( i , P , q , r) , la expresión desarrollada de (15) , igualando los coeficientes homólogos de ambos miembros, no es otra cosa que (1 ) , como es fácil comprobar. Esto nos dice que a cada cuaternión Q (de norm a distinta de cero) corresponde u n a transform ación ortogonal, o sea, una rotación alrededor del origen. Es interesante observar que a la transformación producto de otras dos (resultado de realizar u n a a continuación de la o tra ), corresponde también el cuaternión producto. E n efecto, si a continuación de (15) se verifica la nueva rotación Q i , queda X " = Q r - X 'Q , = Q r ' Q - ' X Q Q . = ( Q Q . ) ’ X ( Q Q ·) lo que prueba el enxinciado.

88

CA PITU LO IV

A N A L IS IS V E C T O R IA L . V E C T O R IA L E S

13. CAM POS ESCALARES.

OPERADORES

G RADIENTE

/

L Campos escalares. Supongamos una región del espacio, que pue de ser el espacio entero, cuyos puntos estén determinados por sus coor denadas X , y , z respecto de un sistema cartesiano ortogonal. U na fun ción (p { x , y , z) definida en la región se llama una función de punto o escalar. Se dice también que ella define un cam po escalar, puesto que a cada punto le hace corresponder un escalar, que es el valor que toma la función en el mismo. Análogamente, si en cada punto está dado un pseudoescalar, se dice que se tiene definido, sobre la región considerada, un cam po pseudo escalar.

Por ejemplo, las temperaturas en los distintos lugares de la Tierra en un instante dado constituyen un campo escalar. Análogamente, las densidades del aire en los distintos puntos de la a tir'sfe ra en un inst.'^nte dado forman otro campo escalar. Sean en el espacio tres puntos fijos A , B , C jiendo X , y , z) un punto general, sabemos que el producto mixto

(1>

dx

^

^

,

’ ’■ · = “f · á ? +

dy ^

dz

0? 89

A n á l is is

V e c t o r ia l . O per a d o r es

V e c t o r ia l e s

o bien, según 10.11 , (2 )

qpx- = O i C p » +

azCpv +

03 cp,

y análogamente (pw = pl cp, + P2 cp¡, + P3 cp,

( 2 )'

=

Yl qp* +

Y 2 cpv +

Ys cp, .

Como estas fórmulas de transformación son las mismas 11.1 re sulta admisible la siguiente; D e f . 1: D ada una función escalar tp (x , y , z) se llama gradiente de la misma al vector cuyas componentes son las derivadas parciales cp,, qpv, cp, . Para representar el gradiente se usan indistintamente las notacio nes grad qp o bien Vqp (se lee “nabla” de cp) . Es decir, por defini ción, se tiene (3) grad cp = Vcp = cp,I + Cpv J + cp,K . De la definición se deduce inmediatamente que si ·>!) es otra fun ción de punto, se verifica

V (cp±il)) = V c p ± V \ l ) (4) V

fcp i¡j) =

cp V

-f

V

cp .

Las mismas consideraciones prueban que si 0 es un pseudoes calar. las derivadas parciales 0 , . o„ , 0^ son componentes de un pseudo vector. puesto que si 0 cambia de signo con la orientación del espacio, lo mismo ocurrirá con sus derivadas parciales. Se tiene por tanto; D e f . 1': Se llama gradiente de un pseudoescalar 0 al pseudovec tor cuyas componentes son las derivadas parciales 0 , , 0j,, 0 , . Ejemplos·. 1. El gradiente de la función (p = x ' — 2 y ‘ + x z — i ^ + l es el vector V
z — z,

y, r*= —

(5)

(p, =

(p,

y

+{y— y,)'

--------

(p, — (pr -----------

r

(p. =

CPr

r T o bien, si representamos por E al versor correspondiente a la dirección P« P (llam ado versor direccional), o sea, (6 )

X — Xt

y — yt

z — zt

r

r

r

E = -----------------------------------------------K

se puede escribir

(7)

VcP = (PrE . Por ejemplo, si (p = 1 /r , es

(8 )

90

1 V _ = _

1

E .

13.

Ca m po s

E scalares.

G r a d ie n t e

3. D ado en el plano u n vector A (
que

0

3. Propiedades geométricas del gradiente. El incremento de la función cp al pasar del punto P {x , y , z) al punto P + dP (de coor denadas X + dx , y + d y , z + d z ) es (9 )

¿cp =

(pxdx + ( p v ^ y + f f z d z

que en forma vectorial, representando por dV al vector desplazamiento, de componentes d x , d y , d z , (11.5) , se puede escribir como el pro ducto escalar (10) ¿cp = gradcp.áP = Vcp.rfP . Si consideramos los desplazamientos en todas las direcciones posi bles a partir de P y todos ellos de la misma longitud, o sea con el mis mo módulo I rfP I , como los vectores Vcp y ¿ P , en el punto con siderado, tienen módulos constantes, el producto escalar (10) será má ximo cuando las direcciones de Vcp y dV coincidan. Se tiene así la importante propiedad geométrica del gradiente: T e o r . 1 : L a dirección del vector gradiente de una función cp es aquella según la cual esta función varia más rápidamente.

Esta propiedad define, geométricamente, la dirección del gradiente. Para definir su módulo, también geométricamente, observemos que de (10) se deduce, para un desplazamiento dV en la dirección de Vcp, |¿fcp| = 1 V < p.¿P | = I V c p | . l ¿ P l de donde

es dícir: T e o r . 2 : E l módulo iguúl al limite del cociente miento en la dirección de miento mismo, cuando éste

del vector gradiente de una función cp es entre el incremento de cp por un desplaza máxima variación y el valor del desplaza tiende a cero.

Estas dos propiedades prueban, por camino geométrico, que Vcp es efectivamente un vector, pues puede definirse independiente mente del sistema de coordenadas. 4. Superficies de nivel y líneas de gradiente. D e f . 2: Se llaman superficies de nivel de una función rp {x , y , z) a las superficies de ecuación cp = constante. También se suele decir que cp es una función potencial (potencial escalar), de la cual deriva el vector V c p ; en este caso las superficies de nivel se llaman superficies equipotenciales. 91

A

n á l is is

V

e c t o r ia l

.

O

peradores

V

e c t o r ia l e s

En el caso del plano, si qp es una función solamente de x , y cn vez de superficies de nivel, se tienen curvas de nivel. Consideremos un desplazamiento cualquiera d x , d y , dz sobre una superficie de nivel. Para un tal desplazamiento, siendo (p{x , y , z) = cte. será (12) (pxdx + (p„dy + cpzdz = O , o sea, Vqp.í/P = 0 . Esta ecuación nos dice que Vqp es normal a cualquier desplaza miento sobre la superficie de nivel, o sea, T e o r . 3 ; E l vector gradiente es, en cada punto, normal a la super ficie de nivel que pasa por el punto.

Por ejemplo, en el caso considerado en el 13. 2, ejercicio 2, de ser qp = cp (r) , las superficies de nivel son esferas de centro Po y según (7) Vqp tiene efectivamente la dirección del vector direccional E que es la del radio correspondiente al punto P . D e f . 3 : Se llaman líneas de gradiente de un campo escalar cp a las que en cada punto tienen la tangente en la dirección del gradiente de c p . Ello significa que la dirección del gradiente coincide, en cada punto, con la del desplazamiento sobre la curva. Por tanto las ecuaciones di ferenciales de las líneas de gradiente son

( 13)

=í

qPí (Py fp* Obsérvese que según el teor. 3 , las líneas de j/radiente coinciden con las trayectorias ortogonales de las superficies de nwel. Ejemplos: 1. Supongamos el caso del plano (r = 0) . Sea el cam po cp = ** — / . Las líneas de nivel son las hipérbolas a:’ — y* = constante y las líneas de gradiente estarán dadas por ix dy ------ = — — o sea X dy -i- y dx = O 2

x

2

y

y por tanto xy = cte. Es decir, son también hipérbolas equiláteras, trayectoria· ortogonales de las lineas de nivel (fig. 48). 2. El hecho de ser V^P norm al a la superficie cp = cte. perm ite hallar la ecuación de la norm al y por tan to del plano tangente a una superficie dada. Sea, en efecto, la superficie cp ( * , y , z) = O . L a norm al en el punto X · (jío, yo, Zn) de la misma, será (14) X = X o - f X (V c p ) . indicando por (V
(16)

X — Xo y--- ^0 « — ^0 -------- = --------- = --------- . «Paro

92

%o

<*>»0

i

1 3.

( 17)

C am pos

E

sca la res.

G

r a d ie n t e

Para el plano tangente, la ecuación en coordenadas cartesianas será (x — xt)
2x 2z, 2y,

Por ejemplo, p ara la superficie

~ ~ 1

~ ~ ~ 2

F i o u r a 48

y la ecuación del plano tangente en el mismo punto es - (* - 1) + 3 (y - 3) + ( z + 2) = 0 .

5. Derivacias direccionales. Sea 'V = ' V ( x , y j z ) un versor (vec tor de módulo uno) función de punto, es decir, un versor cuyas com ponentes V i, Vi, Vz sean funciones de x , y , z . Es muchas veces útil la siguiente D e f . 4 : Se llama d eñ vad a direccional de- la función de punto 9 >y 1 z ) según el versor V , al producto escalar de V por Vcp. Se representa por ( 18) donde en el primer miembro debe entenderse una notación simbólica. 93

A

n á l is is

V

e c t o r ia l

. O

peradores

V

e c t o r ia l e s

El significado de esta derivada direccional es fácil de comprender. Consideremos un punto V ( x , y , z) y el punto P + AP obtenido por un desplazamiento Aí en la dirección de V , o sea, AP = V Aí . La función cp al pasar de P a P + AP se habrá incrementado en Acp = cp(P + AP) — cp (P) y el límite del cociente de este incremen to por As cuando Aí-> O es precisamente la derivada direccional según V . En efecto, aplicando (10) a este caso en que dP = V d í queda (19) d(p = Vcp.V ds y por tanto (20)

l t a - ^ = iíL = V < p.V = ^ ¿>»-0 Ai

.

Si se quiere extender este concepto de derivada direccional a vec tores, debemos introducir antes la siguiente notación: Dados dos vectores, funciones de punto, A = ai I -f «2 J + fls K , V = 1 -iJ + 2^3 K representaremos por (21) (V .V)A al vector cuyas componentes son, respectivamente, (22)

dx

+

dy

+

dz

{i = 1 , 2 3 ) *

Si indicamos por A» al vector cuyas componentes son las derivadas parciales O n, a^x, a^x y con análogo significado utilizamos los vectores Ay, A*, (11.2) , podemos también escribir (23) (V. V ; A = yj A i + Ü2 Ay + ^3 A j . Con esta notación se establece: D e f . 5 : Se llama derivada direccional del vector A = A {x , y , z) según la dirección del versor V , al vector

dA La interpretación de esta derivada direccional es la misma que para el caso anterior de una función escalar. La diferencia entre los valores de A en P ( a; , y , z ) y el punto desplazado en As según la direc ción de V , o sea el punto P -t -VAí , es AA = A ( P + VAí) — A (P). El cociente entre esta diferencia yAs cuando Ai ^ O tiende, preci samente, a la derivada direccional (24) . En efecto, es • •I etcalar

Según esto (21) puede interpretane también como el producto del vector

V .V

3 = V i — + tH 04T

94

93 — + V t—

.

Oy o z

A

por

13. C a m p o s E scalares . G ra dients AA = A y p o r ta n to

(25)

( a:

+

^1

A i , y + z/2 A s , z + í^s A i) — A ( x , y ,

2

)

AA

lím ------ = A,í>i + A „ + A»Us = '’V . V ' A .

As-^

As

Ejemplos·. 1. S e a q ) = jc’ + / — ¿“ y en la dirección de V es da>

V = x l — y J + 3 z K . L a derivada de (p

_

= 2;c’ - 2 / - 62* . rfV 2. Si A z= s e n ;e l + x y z ] + e* K y V = **1 — y z j — y K , será dA 3 9 3 ------ = (at’ ------- y z --------- y — ) ( s e n * I + x y z j + «*K ) ¿V dx dy dz =

**cosa;I4-

(x'yz

— xyz' — x)^)J

+

x'e‘ K .

3. Si A es un vector cualquiera y X el vector posición, se comprueba inm ediatam ente que se verifica (A.V) X = A . 6. D e r iv a d a to ta l y d e r iv a d a p a r c ia l d e u n e s c a la r o u n v e c to r re s p e c to de) tie m p o . S u p o n g a m o s u n a fu n c ió n d e p u n to q u e d e p e n d a ta m b ié n d el tie m p o í , o sea, cp = cp ( x , y , z , í) · S i. a d e m á s , ta m b ié n x , y , z son fu n c io n e s d e í , y lla m a m o s V a l vector velocidad ( 1 1 . 2 ) (26)

V = x I + y J + zK

d o n d e los p u n to s in d ic a n d e riv a d a s re s p e c to d e í , se tie n e — — = cpa, X 4- cpi, y + cpí z + cpt

dt

q u e c o n la n o ta c ió n d e l g ra d ie n te se p u e d e e sc rib ir ( 2 7)

= cp, + y . ' 7 c p . dt S i e n vez d e u n e s c a la r se tie n e u n v e c to r A = A ( x , y , z , f) ta m b ié n d e p e n d ie n te d el tie m p o t , co n las n o ta c io n e s d el n ú m e ro a n te rio r, e n v ez d e ( 2 7 ) , te n d re m o s la ig u a ld a d v e c to ria l

E sta s e x p re sio n e s ( 2 7 ) y ( 2 8 ) so n las q u e lig a n la derivada total re s p e c to d e t d e u n e s c a la r o d e u n v e c to r, c o n la derivada parcial re s p e c tiv a . E JE R C IC IO S 1. H allar las componentes del gradiente de la función (p en el punto in dicado en los siguientes casos

05

A

n á l is is

V

e c t o r i a i -,

v^ p e r a d o r e s

V

e c t o r ia l e s

a) b) c)

(pisA r + y* — 2 2 * e n e l pu n to ( 1 , 3 , — 1 ) ; (f = i?e‘ sen y en el pu n to (O , n / 2 , 2) ; q> =: sen 3 Aicos* y tg z en el punto (O, n / 2 , jt/4:) ;

d)

«)

(p = log

(2 , — 1 , 0) ;

+ >’ + *’ en el pu n to ( — 1 , 1 , 3 )

2. A p artir del punto Po (— 1 , 3 , 2) , ¿hacia qué dirección hay que diri girse p a ra que aum ente lo más rápidam ente posible la función (x y ) ’ + z* — — xy + 2x? 3. Probar la fórmula y F (cp) = F’ . 4. Siendo X = * I + y J - f z K el vector de posición y A un vector constante, dem ostrar que (A.X) = A. 5. Probar que si V

= zO

15. Sea q) = cp ( r ) u n a función d e r = V * ’ - t - / - f * * y X ( * , y , * ) el vector de posición. D em ostrar que V
( a t , y , z) = c te ., ip (·*, y , z) = cte. es la del vector

Vq) A vn>. 14. CAM POS VECTORIALES. DE U N V EC TO R

D IV ERG ENCIA

1. Campos vectoriales. Supongamos un vector A cuyas compo nentes fli sean funciones de las coordenadas x , y , z definidas en cierta región del espacio o en todo el espacio. Se tiene entonces, para cada punto P {x , y , z) de la región considerada, un vector A . Ellos forman lo que se llama un cam po vectorial.

96

14.

C

V

a m po s

e c t o r ia l e s .

D

iv e r g e n c ia

de

u n

V

ector

Los campos vectoriales reciben denominaciones especiales según la interpretación física de los vectores que lo constituyen. Por ejemplo, si son fuerzas se dirá un cam po de fuerzas; si son velocidades, un cam po de velocidades.

Dado un campo de vectores (1) A = ai { x , y , z ) l + ( x , y , z) J + {x,y,zJK , a las líneas que en cada punto son tangentes al vector del campo que pasa por el mismo, se las llama líneas d e cam po y también, en ciertos casos particulares, líneas de flujo o líneas d e corriente *. Si d x , d y , dz son las componentes de un desplazamiento según las líneas de campo, o sea, según su vector tangente A , deberá ser — = ^

(2)

= — fifi

«3

«2

Estas son las ecuaciones diferenciales de las líneas de campo. Si es «1 O, se puede tomar x como variable independiente resultando:

(3)

dy _ oj (x,y z)

dz _ a»{x,y,z)

dx

dx

ai(x,y,z)

ai[x,y,z)

ce trata de un campo de vectores en el plano (a^ = i7, , y) . a 2 — a-¿ ( x , y) , as = O ) la ecuación diferencial de las líneas de campo es (4)

JL · = dx fl i ( a; , y)

-

En este caso existen siempre las trayectorias ortogonales a las mis mas, llamadas líneas equipotenciales, cuya ecuación diferencial, puesto (|iie los coeficientes angulares de direcciones perpendiculares deben ser inversos y de signo contrario, será (3 )

d^

_

_

y)

a i(*

,

dx

«2 (x , y) I'n el espacio no siempre existen superficies ortogonales a las líneas de ci.mpo, como veremos más adelante (16..5) . Ejemplos·. 1. Sea el campo de vectores en el plano A = — A r l - t - y J . L a ecuación diferencial de las líneas de campo es

dy ^

y

dx

X

* Aquí nosreferimos siempre a campo» que no varían con el tiempo, llamados campos Silas Q^ ,además de ser fundones de x , y * t , lo son también dcl tiempo t, te lírne un campo variable. Por ejemplo, en el caso del movimiento de un fluido, asignando ■ cnda punto el vector velocidad de la partícula que en el ilutante t pasa por él, se tiene un cnmpn tic velocidades que puede variar con t . En este caso se suele reservar el nombre de línea» de corriente para las trayectorias descriptas por las partículas, di.^tÍngu¡éndolas de las línrnj de campo que c/>rrcsponden a la definición dada en el texto. Para un movimiento ^tlMcionnrio, ambas líneas coincidea.

eilaeiónarios.

97

A - n á l i s i s V e c t o r ia l . O p e r a d o r e s V e c t o r ia l e s

y por tanto dichas líneas son x y = constante, o sea, hipérbolas equiláteras cuyzis asíntotas son los ejes coordenados. Las trayectorias ortogonales o líneas equipotenciales tienen por ecuación diferencial d y / d x = x / y , o sea, son las curvas x^ — y“ = c t e ., que son tam b ié n hipérbolas equiláteras con las bisectrices de los ejes como asíntotas (fig.

4 8 ). 2. Sea el cam po vectorial A = * I - f ) ’J - t - « K . se obtendrán integrando el sistema dx dy dz

Las líneas de campo

* y t l o que d a a x =: ^ y =z y z , que son rectas por el origen. 3. Sea el cam po vectorial A = — a sen z l + a cos z J t K c o n a , b constantes. Las líneas de cam po se obtendrán integrando el sistema d x / d z = — ( a / 6 ) s e n r , d y /d z = (a/¿>) c o s í , lo cual d a * z= ( a/ b) COSÍ + X, , y = (,a/b) se n z -f- [i , z = z q u e son hélices circulares de eje paralelo a K .

2. Divergencia de un vector. Sea el vector A dado por (1) . Por u n cambio de coordenadas ortogonales, las nuevas componentes a / d e A están dadas por las fórmulas 11. 1, que ahora escribiremos, abre viadamente, (6 ) a / = 2 tti «i , fla' = 2 Pi ai , «3' = 2 yi do nd e las sumas se suponen extendidas, aquí y en lo que sigue, de 1 a 3 Derivando respectivamente estas igualdades respecto de las nuevas coordenadas x ' , y , z" y teniendo en cuenta que en los segundos miem bros los coeficientes a ¡ , P*, Yí son constantes y que debe derivarse com o función defunción, resulta ( 2 ai aix) a i + ( 2 at «<„) + ( 2 ai «i«) aj (7 ) a'^r = ( 2 (3i aj») pi + ( 2 (3»a i,) ( 2 Pi «i,) p3 a'3z’= (2 Yi Oix)Yl -1- (2 Yi«(„) Yj 4- (2 Yí aj*) Ya

puesto que, según 10. 11, es dx

dy

dz

dx

T / " “’ 17— Estas ecuaciones (7) son las fórmulas de transformación de las de rivadas parciales a , x , a ^ y , por el cambio de coordenadas 10.10. E llas nos prueban que estas derivadas parciales no son componentes de u n vector, puesto que no son de la forma 11.1. En cambio, si simpamos miembro a miembro lasigualdades (7) , la primera columna del segundo miembro da (9) 2 (ai ai -1- Pi Pi + YiYi) aix = a^x puesto que según las relaciones 10.4 la suma ai ai + Pi Pi + Yi Yi vale cero si i ¥ ' l y vale uno si i = 1 . Análogamente, las columnas segunda y tercera al ser sumadas dan, respectivamente, «2» y «s» · Por tanto resulta 98

1 4. C a m p o s V e c t o r ia l e s . D iv e r g e n c ia

de

un

V ec to r

(10) a'ii- + a.\y + a's*- = Oi, + C2v + «s* <‘s decir: la suma de las derivadas de las componentes de un vector rcsj)ccto de la variable respectiva es un invariante. Esta independencia del sistema de coordenadas justifica la siguiente D e f . 1: Se llama divergencia de un vector A ( a j , a^, a^) cuyas componentes son funciones de las coordenadas x , y , z a la suma (11) div A = íZi* + a^y + a ^ . De esta definición se deducen inmediatamente las siguientes pro piedades div (A ± B) = div A ± div B (12 )

div (cpA) = Vcp.A + cp div A . Si A es un pseudovector, las relaciones (7) valen igualmente, pero el hecho de cambiar las componentes de signo al cambiar la orientación del espacio hace que también cambie de signo la expresión (10). Por tanto se trata de un pseudoescalar. O sea: D e f . 1': Se llama divergencia de un pseudovector A al pseudo escalar definido por la misma expresión (11) . Ejemplos: 1. L a divergencia del vector A = ( 3 ac* — y ) I - } - 2 * « J -j- (* — )’) K es div A = 6 * -(- 1 . 2. L a divergencia del versor direccional 13. 6 E = liendo r* = que vale

r

I-f

j - 1

r

T

- K ,

(* — at,)’ + (y — y , ) ' + (z — z , y , p o r u n cálculo fácil resulta d iv E -

2 T

—

p.nra el caso del espacio y d iv E = 1 /r p a ra el caso del plano. 3. Veamos ahora la divergencia de V cP > Pa^'a· ^1 caso en que «ólo función de r . Según 13. 7 y 13. 8 es div grad q> = div (q>rE) = V· = *?'■>■ E , con lo cual queda q>r div g rad q) = cprr - f 2 ------ .

q) es

r

L a divergencia del gradiente de u n a función q) es u n escalar que se llama el laplaciano (o la laplaciana) de q> ; se representa por Aq>, y lo estudiaremos más adelante (apartado 16) . L a expresión anterior se puede por tanto escribir (14)

(15)

Aq> = qJrr -1- 2

. r Para el caso del plano, se obtiene análogam ente Aq) = cprr

+

—

r

.

Por ejemplo, p ara el caso del espacio, si es q) = \ / r resulta A (l/»") = 0 y jj.ira el caso del plano A(log>·) = 0 . 99

A n á l i s i s V e c t o r i a l . O p e r a d o r e s V e c t o r ia l e s

4. E n el ejemplo del 11. 3 vimos que a p artir del vector A ( a , , ai) plano se puede form ar el pseudovector B ( — o i , ai) . L a divergencia de este pseudovector será div B = — ai. + a i , , que efectivamente sabemos que es un pseudoescalar, según el ejemplo de 1 1 . 4 .

del

3. Interpretaciones físicas de la divergencia. Aunque más adelante, al dar el llamado teorema de la divergencia (apartado 21) , justifica remos de m anera más rigurosa y precisa lo que ahora vamos a decir, podemos ya adelantar una idea del importante significado físico de la divergencia. Supongamos un fluido en movimiento y sea A = «i I -t- J + «s K el vector velocidad del mismo en cada punto. Es decir, A es un campo de velocidades, cuyas componentes ai las suponemos funciones derivables de las tres coordenadas x , y , z . Consideremos el punto P {x , y , z ) y un paralelepípedo elemental que a partir de P tiene las aristas pa ralelas a los versores fundamentales I , J , K y de longitudes res pectivas A x , A y , Az (fig. 49) .

La cantidad de fluido que entrará en el paralelepípedo por la cara normal al vector I por unidad de tiempo será ( x , y , z) Ay Az (producto de la componente de la velocidad según I , por el área de la sección de entrada) y la cantidad que saldrá por la cara opuesta será a i {x + A x , y , z) Ay A z . Para Aa;-^ O la diferencia entre estas dos cantidades es a ^ Ax Ay Az . De igual manera, las diferencias análogas para las otras caras del paralelepípedo son a ^yAxAyAz , üszAxAyAz. Por tanto, la canti dad de fluido que por unidad de tiempo se ha creado en el para100

1 4. C a m p o s V e c t o r ia l e s . D i v e r g e n c ia

de

un

V ector

Iclcpípcdo elemental considerado es (ai* + «21/ + «3*) Ax Ay Az = div Λ Ax Ay A z . De aquí resulta q u e: la divergencia del vector A en rl punto P es el cociente entre la cantidad de fluido que se crea por unidad de tiempo en el volumen elem ental correspondiente a P y este volumen, cuando el mismo tiende a reducirse al punto P .

Naturalmente que si div A resulta negativa, en vez de “crearse” fluido en P , hay que entender que se “consume” fluido en este punto. Kn el primer caso se dice que en P hay una fuente y en el segundo un desagüe o sumidero. De m anera abreviada y general, se tiene por tanto la ecuación de conservación:

(16) di vA = F - D donde F (fuente) indica la cantidad de fluido que se crea y D (desa güe) la que se consume en P , por unidad de tiempo. Vamos a considerar algunos ejemplos particulares de esta fórmula general. a) Ecuación de continuidad de la hidrodinámica. Consideremos el caso en que el fluido es un líquido de densidad O (función de las coordenadas x , y , z y también del tiempo t ) y apliquemos el razo namiento anterior al vector A = o V , siendo V la velocidad. En este caso, en vez de “cantidad de fluido” , medida en volumen, que se crea o consume en el volumen elemental correspondiente a P por unidad de tiempo, tendremos el producto de aquel volumen por la densidad, o sea, la masa del líquido. La di vA = di v(oV) será, por tanto, la cantidad de masa que se crea o consume por unidad de tiempo en P . Entre estas cantidades hay que incluir ahora la cantidad que se “acu mula” en el mismo punto, debido a una variación en la densidad Q. Esta masa que se acumula por unidad de tiempo vendrá medida por la derivada do/dt y habrá que tomarla negativa, pues es una masa que entra en P y no sale, apareciendo por consiguiente como un desagüe *. Si representamos por ψ = ψ {x , y , ζ , t) , la masa creada ( ψ > 0) o consumida ( ψ < 0) por unidad de tiempo en P , tendremos en tonces

(17)

div(oV )=T l>-^

que es la ecuación d e continuidad de la hidrodinámica. Como vemos, ella no expresa otra cosa que la conservación de la masa. Si el líquido es incompresible, es o = cte. y la ecuación de conti nuidad queda (18) άίν(ρν)= ·ψ * Sí la derivada de
101

A n á l i s i s V e c t o r ia l . O p e r a d o r e s V e c t o r ia l e s

y si, además, no hay fuentes ni desagües, queda (19) divV = 0 . b) Ecuación del calor. Si en vez de un líquido, interpretamos el fluido como el calor que se desplaza a través de un cuerpo, el vector A representará ahora la corriente calórica, o sea, el vector cuyo producto por un elemento de área normal a él es igual a la cantidad de calor que atraviesa este elemento por unidad de tiempo. La cantidad de calor creada, consumida o acumulada por unidad de tiempo en un punto P , será también iguál a la div A . Si no hay fuentes ni desagües de calor, la cantidad del mismo que se acumula en P se traducirá en una variación de la tem peratura T en P , medida por la expresión cQ{ d T/ d t ) , donde c es el calor específico y o la densidad del medio. Si en un punto la temperatura aumenta ( d T / d t ) > 0 ) significa que hay acumulación de calor, es decir, que sale menos calor del que entra y por tanto que el punto debe considerarse como un desagüe. En cambio, si la temperatura disminuye ( d T / d t ) < 0) , quiere decir que sale más calor que el que entra; el punto se comporta como una fuente. Por consiguiente la ecua ción de conservación será en este caso

(20)

d iv A = — < r o . ot

La ley más simple de conducción del calor postula que sea (21) A = - A grad T siendo k una constante. Sustituyendo en (20) aparece la div grad T que es un escalar, llamado laplaciano de T (ver apartado 16) y que se representa por A T = div grad T con lo cual la ecuación (20) se escribe

(22)

kAT-cQ-^ = 0 dt

que es la ecuación fundamental de la conducción del calor. c) Campo eléctrico. E l caso del cam po eléctrico E (en ausencia de con ductores) que aparece en la teoría de Maxwell es muy distinto, en principio, de los anteriores. Aquí no hay movimiento de ningún fluido, n i por tanto tiene sentido la ecuación de conservación en la form a (16) . Sin embargo se puede proceder por analogía (confirm ada por la expe riencia) y sentar como principio que; el cam po eléctrico E creado por una carga e es idéntico al campo de velocidades correspondiente a un fluido in compresible de densidad 1/4 it producido po r una fuente puntual de inten sidad e . En general, si las cargas están distribuidas de m anera continua en el es pacio, con densidad Q { x , y , z) , al pasar al modelo del fluido tendremos la ecuación (18) , en la cual es ahora ilJ = Q y la densidad o que allí figura es ahora igual a 1/4 n . Q u eda de esta m anera ( 23) d iv E = 4 r o 102

1 5 . E l R otor

que es la prim era de las ecuaciones fundam entales de la teoría de Maxwell (ver apartado 26) . K J K R G IC IO S 1. C alcular la divergencia de los siguientes campos vectoriales a) ( 3 * ’ — z) I + cos y j — c 'K b) ^ I + y*J + 2>K c) r* ( I + J + K) siendo r = (at’ + y* + z’ )’/ ’ d) AT*y I — cos y J + z K . 2. C alcular la divergencia de los siguientes campos vectoriales en el punto indicado а) (Aí’ + y ) I + z’ J — A T z K e n ( — 3 , 0 , 1 ) б ) Ar yzl + s e n y j — z*K en (O, n / 4 , 1) c) - y J + e’ K en ( 1 , 1 , 0) . 3. C alcular la divergencia y luego el gradiente de la divergencia de los siguientes campos vectoriales. a) *’ I - ; e y J + z>K b) se n * I - f sen y J + s e n z K c) r Î + y r J + z r K , (r» = ** + / + z>). 4. Sea A = ( 3 ac’ + y) I — (s e n * — z) J + a K . H allar a con la condición de que sea div A = O . 5. Sea A = (s e n at — z ) I + o J + z y K . H allar a con la condición de que sea div A = — x . 6. Probar las identidades a) div (A A (B A C ) ) = ( A . C ) d iv B - ( A. B) div C + -}- B .g rad ( A . C ) — C .g ra d ( A. B) . b) div (grad qp A cp grad ij)) = O . c) div (grad cp A grad ij)) = O .

15. EL R O T O R 1. El rotor. De m anera análoga a como se han obtenido las ecua ciones 14.7 se obtiene = ( 2 Pi

aix)

+

(S Pi

ai„)

-h ( 2 Pi

y3

a'su· = (2 Yi üix) Pl -f- (2 Yi üiy) P2 + (2 y ia ii) P3 donde, como siempre, los índices x , y , z o x' , · / ,z ' indican derivadas parciales y las sumas se suponen extendidas desde t = 1 hasta t = 3 . De aquí, restando miembro a miembro y teniendo en cuenta el teo rema 3 del apartado 10, resulta que si el triedro primitivo y su transfor mado tienen la misma orientación, vale ( 1 ) a'sy. — a'iz' = ai [a^y — a^z) + a , [a^z — a,*) + «3 («2* — «iv) y la misma fórmula con el signo cambiado si tienen orientaciones opuestas. Por tanto, estas fórmulas de transformación nos dicen que la di ferencia a-sy — a 2 z se transforma como la primera componente de un pseudovector. Análogamente se obtiene que las diferencias «i» — fls» y 103


*2* ~ «IV se transforman como segunda y tercera componentes del mismo pseudovector. Está por tanto justificada la siguiente D e f . 1 : Se llama rotor (o rotacional) d e un vector A de com po nentes a x , «2. ^3 (funciones á& x , y , z) ponentes

al pseudovector de com

(2) a^^ «2* ) axi — a¡x , ^2* axy el cual se indica por rot A . Es decir, (3) rot A = («sy - a¡z) I + («i» - «3*) J + («2* - «ii/) K . Como regla mnemotecnica, obsérvese que rot A resulta como de sarrollo del determinante I (4)

rotA =

0 dx ax

J 0

K

dy

dz

«2

«3

0

0 9 donde los productos simbólicos — Oi, — a ¡ , . . . dx

dy

a

como las derivadas parciales respectivas —

dx

hay que entenderlos ó

= a^t, — a¡ = a¡y , . . . dy

Consecuencia inmediata de la definición es que (5) rot (A ± B) = rot A ± rot B . Si se trata de un pseudovector en vez de un vector, el rotor se define por las mismas componentes (2) . Solamente hay que observar que el resultado es ahora un vector, puesto que por cambios de coorde nadas que invierten la orientación del espacio, las componentes del pseu dovector cambian de signo, y al formar las combinaciones (2) aparece otro cambio de signo, lo que equivale, en conjunto, a ningún cambio, quedando la ley de transformación de los vectores. Por tanto se tiene: D e f . T : Se llama rotor de un pseudovector A de componentes «1, «2 , «3 (funciones d e x , y , z) al vector cuyas componentes son las expresiones (2) . En particular, si A es un vector, el resultado de aplicar dos veces el operador rot , o sea, rot rot A es nuevamente un vector. 2. Líneas de rotor o torbellino. Dado un campo vectorial A , el conjunto de los rot A forma otro campo vectorial (o mejor, un campo pseudovectorial) llamado cam po de rotores. Las líneas de campo ( 1 4 . 1 ) de un campo de rotores se suelen llamar líneas de torbellino. Sus ecua ciones diferenciales serán las 1 4 . 2 sustituyendo «1, 02, «3 por las comDonentes del rotor, o sea, 104

15. E l R o to r

dx (6 )

div

_ d2z

dy diz

_ dix

dz Ü2X

fl]]/

Ejemplos: 1. Si es A = — ( a : + y) J - f (z* — senAr) K , entonces será ro tA = = cos a ; J — K . 2. Sea A = Arri - f y r j + z r K , con r = (*’ + }'’ + La prim era componente del rotor es 3r dr y z — y —— = í ------- y — = 0 3y

3í

r

f

y análogam ente las otras componentes, de m anera que resulta rot A = O . 3. Si es A = a (r) I -f- i> (r) J + c (r) K , siendo a , b , c funciones de r , es ro t A = [ ( y e ' - z b') I + (z a' - x c') J + (x b' - y a') K] r - i donde los acentos indican derivadas respecto de r . 4. D ado el cam po de vectores A = aczI — (3Ar + y ) J + (At* + y’ ) K las líneas de torbellino estarán dadas por el sistema dx dy dz ~2y ~ ^ 7 “ ' que igualado a. d t , c indicando con puntos las derivadas respecto del parám etro auxiliar t , equivale a * =

2y

,

y ■= . — X

,

í =

— 3 .

Las dos primeras ecuaciones dan at + 2 * = O, o sea, x — a cos V2 t + + b sen V 2 t ; la segunda ecuación da entonces y = — ( a/ y J 2) sen V2 t + + ( 6 / V 2 ) cos í y la últim a z = — 3 í + c . Éstas son las ecuaciones param étricas de las líneas de torbellino; a , b , c son constantes arbitrarias.

3. Significado físico del rotor. Ejemplos. El concepto de ro tor tiene mucha importancia en física, sobre todo en mecánica de fhiidos y en electrodinámica. Vamos a dar una idea intuitiva de su significado. Consideremos un campo de vectores A = «i I + «2 J + «3 K. y la circunferencia C de radio r situada en el plano x , y con centro en el origen de coordenadas. Sea P un punto de la circunferencia y T el versor tangente (fig. 50). Las componentes de T son — sen cp, eos qp y por tanto (7) A .T = — «isencp + ojcoscp . Interpretando A como un campo de fuerzas, la integral (8)

Y

=

r A .T rfí =

a

T A .Trd((>

ó es el trdbdjo de las fuerzas A al desplazarse sobre toda la circunferen cia C . En general, para vectores A cualesquiera, la integral (8) se llama circulación de A sobre C . Para calcular y necesitamos conocer las funciones d i { x , y , z) 105


{ x , y , z) , a z { x , y , z) . Suponiendo r suficientemente pequeño, el desarrollo en serie de Taylor nos da = «10 + a¡,xx + í2 iv y + ...= aio + « ι ^ λ ο ο Ε φ + α ι ^ Γ 5 ε η φ + ... a 2 { x, y, Q) = «20 + θ 2χΧ + a 2v y + . . . = Λ 20 + α·ίχΤ co%(p + α ζ κ >"5 ο η φ + ... Sustituyendo estos valores en (7) y (8) resulta γ = — π + «21 π + r* ( . . . ) y por tanto γ

U2X - σ , ν = lim — - ; TCr^ Es decir: sí en un cam po de vectores se coloca una circunferencia C de radio r y centro en un punto O , la com ponente del rotor en O según la normal al plano que contiene C , es igual al límite, para r O, de

(9)

la circulación del cam po a lo largo de circulo que encierra.

C , dividida por el área del

En cuanto al sentido, una vez fijada una orientación para C (o sea, el sentido del versor tangente T ) , se determina por la regla del sacacorchos u otra análoga (ver 4. 2) , teniendo en cuenta que la orien tación de C más la de rot A debe dar una orientación directa al es pacio si Y > O e inversa si y < O . El resultado obtenido, como veremos más adelante (apartado 22) es general para cualquier curva cerrada infinitamente pequeña y desde ahora nos permite dar una idea del significado físico del rotor. 106

1 5 . E l R o tor

Supongamos que A es un campo de fuerzas y la circunferencia C una rueda que puede girar en su plano, sin rozamiento, alrededor de O por acción de la fuerza A ; si y > O, la acción total de las fuerzas originará una rotación de la rueda en sentido directo (el de T ) ; si y < O el movimiento será en sentido inverso y si y = O no habrá tal rotación. Es decir, colocando una ruedecita de prueba en los distintos puntos de un campo, ella tenderá a girar en los puntos en que el rotor sea dis tinto de cero y quedará quieta en los puntos en que el rotor sea nulo. ■>

F ig u r a 51

Lo mismo ocurre si interpretamos A como un campo de veloci dades de las partículas de un fluido en movimiento. Supongamos (fig. 51) un flüido que se mueve paralelamente al eje x con velocidad de creciente con la altura. U na rueda con aspas colocada en un punto O

107

A

n á l isis

V e c t o r ia l . O p e r a d o r e s

v e c t o r ia l e s

girará, em pujada por el flüido, en el sentido indicado en la figura, pues la mayor velocidad de arrastre de las aspas inferiores prevalecerá sobre la de las aspas superiores que tienden a girar en sentido contrario. Esto quiere decir que cn O el rotor del campo es distinto de cero; su sentido es el normal al plano del dibujo, hacia adelante. Ejemplos: 1. Consideremos el cam po radial de la figura 52 , o sea, ax _ ay A = I +

Vx' + f

+ /

con a = cte. Intuitivam ente se comprende que debe ser ro t A = O , pues una rucdecilla colocada en el campo no girará por estar las aspas em pujadas por

igual en ambos sentidos. Compruébese analíticam ente que en efecto es ro t A = O , aun en el caso de ser a = a (r) , (r = distancia al origen) . 2. Sea el campo de vectores (fig. 53) , “ (r) ^ , a(r) A = --------------y I H--------------* J r r cuyas líneas de corriente son circunferencias contenidas en planos paralelos al X , y y de centro sobre el eje z . Siendo r = x‘ + ^ , la definición de rotor da rot A = (a ' + a/ r ) K . Por consiguiente es siempre ro t A O , excepto si a = c / r . 3. Consideremos un caso u n poco más general que el de la figura 51. Supongamos un fluido que se mueve con velocidad paralela al eje x ,la cual varía con la altu ra según cierta función d ad a q> = q> (z) (fig. 54) . E l campo de velocidades será A = (j) (z) I . 108

15. E l

R o to r

Por tanto ro t A = cp' J . P ara que el rotor sea nulo debe ser = O, o sea, debe tratarse de un punto (como el P de la figura) en que la tangente a la curva * = q) (z) sea vertical. Ello está de acuerdo con el significado intui tivo mencionado del rotor, pues en estos puntos las aspas de un molinete infi nitesimal colocado en ellos estarán em pujadas por igual, las superiores y las in feriores, y el molinete no girará.

O F igur a 5 4

4. Velocidad angular. O tra interpretación del rotor. Supongamos un movimiento de rotación alrededor de un eje e (fig. 55). Un punto / ’ c|ue dista r dcl eje tendrá una velocidad V , perpendicular al plano determinado por e , P y de módulo v = d s / d t , siendo ds el elemento do arco sobre la circunferencia de centro O y radio r , o sea, la cir cunferencia que describe P . Si (o es el ángulo central de esta cir cunferencia, será ds = rdo) y por tanto v = rd o )/d t. El valor dtí)¡dt cs ('1 mismo para todos los puntos que giran (no depende de r ) y se llama velocidad angular del movimiento de rotación. El vector U , cuyo módulo es la velocidad angular y está dirigido .vgún el eje e de manera tal que los tres vectores O P , V , U formen im triedro directo, se llama vector velocidad angular. Según esto, representando por P el vector O P , de módulo r , scr.A V = U AP

(lucsto cjue la dirección y sentido son los que corresponden por format I’ , V , II un triedro trirrectángulo directo, y el módulo es también ÍKUíiI cn ambos miembros por ser v = r d ( a / d t . I ..I velocidad V de los distintos puntos forma un campo vectorial. t,)ui'icnios hallar el rotor de este campo. Puesto que el rotor no depende 109

A

n á l is is

V e c t o r ia l . O p e r a d o r i ;s V e c t o r ia l e s

de los ejes coordenados (mientras se mantenga la orientación del es pacio), podemos tomar el eje e como eje z y el plano normal en que se mueve P como plano x , y . Entonces, llamando a a la velocidad angular, es U = a K , P = x I - l - y J . Por tanto U A P = — a y l -|- a x j De aquí, rot (U A P ) = 2 a K = 2 U . Es decir rotV = 2 U . Esto nos dice que: E l rotor del vector velocidad en un movimiento de rotación alre dedor de un eje es igual al doble del vector velocidad angular.

EJER C IC IO S 1. H allar el rotor de los siguientes campos vectoriales a) b) c)

(s e n * — j>) I + e‘ I - y J + z K ** 1 - f / J

J _ ¿»K

-f-

d) log * I -1- log y J -|- log z K O (x ' - y ' ) I + x y z j - z’ K . 2. H allar el rotor de los siguientes campos vectoriales en el punto indicado a) (*‘ - l o g y ) J -f- z=K en ( - 1 , 1 , 0 ) b) 3 x y l + V y J + V z K en ( 3 , 4 , 2) c) s e n x l + s e n y J + s e n z K en (O, n / 2 , Jt) . 3. Siendo (p = 3 sen z , h allar ro t grad q). 4. Siendo A = *’ I - (x + y z) J — x z K hallar rot grad div A en el punto ( 1 , —1 , 2) . 5. Si A = cp (r) X siendo X = * I - f j > J - { - z K y cp u na función de r = (x‘ + y + , probar que ro t A = 0 . 6. Si A es un vector constante y X el mismo vector del ejercicio an terior, probar que rot (A A X ) = 2 A . 7. Si A es u n vector constante, pro b ar la identidad A . [grad ( B. A) - rol (B A A) ] = d i v B válida cualquiera que sea el vector B .

110

16. E l

L a p l a c ia n o . F ó r m u l a s


8. Probar la identidad rot [ro t A + grad q>] = rot rot A . 9. H allar las líneas de torbellino del campo de velocidades V = V *’ + / I . 10. Sea el vector A = 2 x 1 — z’ y j + h K . H allar la expresión ge neral de la función h { x , y , z) , p a ra que sea rot A = O .

16. EL LAPLACIANO.

FÓRM U LAS V ECTO RIA LES

1. El operador “nabla”. Para indicar que las ecuaciones 13.2 y 13.2' son válidas para cualquier función cp, podemos escribirlas, simbólicamente = tti---- -f a2 ---- +

dx'

dx

0.3

-

dy

dz

9 ■= - oP l—— 9 +, oPí 9 ,+ ftPa 9 0/ dx dy dz 0 9 ^ 0 , 3 dz'

- Y l — -------- H Y 2 — — + Ys-

dx

dy

dz

Comparando con 1 1 .1 , estas ecuaciones nos diccn que los símbo los de derivación parcial (1)

0

0

Ô

dx

dy

dz

pueden considerarse como las componentes de un vector simbólico, puesto cjue por un cambio de coordenadas se transforman según la ley carac terística de los vectores. Este vector simbólico u operador se representa por V (“nabla” ) Se llama operador porque representa una operación que debe efectuarse sobre una función. Lo im portante de este concepto es que, transfonnándose sus tres componentes como las de un vector, se puede considerar como tal y por tanto combinarlo con otros vectores mediante las operaciones vec toriales conocidas. Así, por ejemplo, el producto escalar de V por un vector A nos da precisamente la divergencia: 9 3 5 (2) V '^= ------- «1 + ------- az + ------- «3 = div A . 0a;

dy

dz

E! producto vectorial de V por A es el rot A . En efecto, según 4.17 y 1 5 .4 , es I K J 0. 0 0 (3) VAA = = rot A dx ai

dy

«2

dz as

111


El producto de V por un escalar qp es el gradiente V qp. Obsérvese que V .A es un invariante o escalar (como todo pro ducto escalar), V A es un pseudovector (como todo producto vec torial) y Vcp es un vector (como resulta siempre que se multiplica un vector por un escalar). 2. El laplaciano. D e f . 1 : Se llama laplaciano de una función de punto { x , y , z) a la divergencia de su gradiente. Se representa por A (o también, a veces, por V^) , de manera que, según la definición, es (4) Acp = V^cp = V . Vqp = div grad qp = qp„ -f- cp^^ + (p„ . Las funciones qp que satisfacen a la ecuación Acp = O se llaman armónicas.

De la definición se deduce inmediatamente la distributividad (5) A (cp ± ·»!))= Aqp ± Ati) y también de 13.4 y 14.7 la relación (6) A (cpijj) =qpAil>-t-i|)Acp 4 -2 Vqp. Vij> . E je m p lo s·.

— 3xy^ — zxy-{- \es A
1. Si

2. E n 14 .9 y 1 4 .1 0 vimos que si cp = (p (r) es A
(8 )

cp =

cp ( r )

son

cp = c, lo g r - f c»

p a ra e l p la n o .

3. El laplaciano de u n a función cp es un escalar. Por tanto se le puede aplicar nuevam ente el operador A > resultando el laplaciano doble o bilaplacia no. E n coordenadas cartesianas ortogonales su expresión es 9'cp 3‘cp 3*cp 3*(p 0*cp 3*cp AAqp = V"
Las funciones que satisfacen a la ecuación AA

3. Laplaciano de un vector. Y a observamos en 15.1 que si bien el rotor de un vector cs un pseudovector, el rotor del rotor vuelve a ser un vector. Se puede, por consiguiente, establecer la siguiente D e f . 2 : Se llama laplaciano de un vector A al nuevo vector de finido por la relación

(9) 112

A A = grad div A — rot rot A

16.

El



line simbólicamente se puede escribir (JO) A A = V ( V . A ) - V A ( V AA) . Esta definición parece un poco artificial, pero si hallamos las com ponentes de este vector tendremos la explicación del nombre. En efecto, si C i, «2 , «3 son las componentes de A , es grad div A = grad (fli* + a^v + «sz) = (oi»* + «21/1 + «3»*) I + («líy + «2V1; + dzzu) J + {dizz + az^z + d3zz) K

I rol rot A = din

J

K

1

1

A

dx

dy

dz

d2z «lí

0 .3X

a^x

— {diXV

I "t"

flij,

+ (^31/2: a2í*~ fl2IX+ îw) J + (®líX~· <*3« ^3!/»+ ®21/í) ) d(^ donde, por sustracción (II) AA = Afli I -f J A«3 K es decir; en coordenadas cartesianas ortogonales, las componentes del lajjlaciano de un vector son los laplacianos de las componentes del mismo. Hay que observar, como veremos en 1 7 .8 , que en coordenadas curvilíneas no es cierta la propiedad anterior; es decir, en ellas hay que ilfíiiiir AA por la expresión (9) , no siendo admisible la (H ) , puesto (|U<; cn coordenadas curvilíneas los laplacianos de las componentes de un vector no son, en general, componentes de otro vector. En los ejercicios se propone la demostración de las siguientes rela ciones importantes A(gradcp) = grad (Acp) ( 12) (l.'i) div (AA) = A(div A) rot (AA) = A(rot A) .

(M) Ejemplo;

Dado el vector A = * ’ I - f sen y J - f a: z K , cs div A = 2 at -4- cos y 4- * » K rnddivA = 3 1 — s e n y J , r o tA = z j . Por tanto A A = 2 1 —· s e n y J , cuino se obtiene tam bién directam ente aplicando (11) .

4. Fórmulas vectoriales. Las expresiones del gradiente, divergen cia y rotor como productos del vector V por una función o un vector «on muy útiles p ara obtener ciertas fórmulas que relacionan entre sí estos elementos. Sólo debe tenerse en cuenta que por su carácter de operador diferencial, cuando V multiplica a un producto debe apli carse la regla análoga a la de derivación de un producto. Vamos a obtener, como ejemplo, ciertas identidades interesantes; éstas podrían también comprobarse directamente sin el uso del operador "nabla”, pero los cálculos serían más laboriosos. lis


a)

Si cp, ij) son dos funciones de punto se tiene V(cp\;)) = V cp + cp'7 li)

o sea (15) b)

grad (cp il») = ij) grad cp + cp grad ti) . Si cp es una función de punto y A un vector, y . c p A = V c p . A - t - cp'7 .A

o sea

(16)

div(qpA) = grad cp.A + cp div A .

c) A-nálogamente, con el producto vectorial resulta VA((pA) = Vq)AA + cp V Â o sea (17) rot (cp A) = grad cp A A + cp rot A . d) Consideremos ahora el producto escalar V . (A A B) . Por ope rar V sobre un producto A a B deberemos poner (18) V . ( A AB) = V a . ( A AB) -f V i,.(A AB) donde V a indica que el operador “nabla” opera solamente sobre A considerando B como constante, y análogamente V b . Por otra parte. V a - (A A B) es el producto mi,xto ( V aAB) = ( V a AA) .B = ( V AA).B y análogamente V b . (A a B) = ( V b a B) = - (A V b B) = - A. ( V s A B) = = - A . ( V AB) . Por tanto V . ( A a B) = ( V A A ) . B ~ A. ( V AB) o sea (19) div (A AB) = B . r o t A - A . r o t B . e) El producto mixto V . ( V A A) por tener dos factores iguales es nulo, es decir V . (V A A) = 0 o sea, cualquiera que sea el vector A se verifica, (20) div rot A = O . /) El producto V A (V cp) no puede considerarse como un pro ducto mixto, pues V cp no es un producto escalar de vectores. Pro cediendo directamente, según las definiciones de rotor y gradiente,

I J K V A ( Vcp) =

L

L

dx dy

L dz

= {fÇzv - cpvï) I + (cp,î - c p „) J + + (tP*v ~

K = O

suponiendo que las derivadas segundas de cp sean continuas, para que 114

16. E l


•II viilor sea independiente del orden de derivación. (jiiiiTA q u e sea la fu n c ió n


Por tanto, cual-

(ai)

rot grad cp = O . l)c aquí y de (19) se deduce (!¿2) div (grad cp A grad \p) = O . g)

Consideremos el doble producto vectorial V

(A AB) .

A

Se

tiene

V A (A A B) = V-* A (A A B) 4- V « A (A A B) y I rcord.mdo la fórmula 5.1 1 resulta (2-1) V A (A A B) = ( B .V ^ ) A - B (V -i-A ) + A ( V « ·® ) - ( A .V « ) B •Innde c!primero y últim o término tienen el significado (ri)

(W )

(B .v ^ )A = (¿ ,l + t , ^ + ¿ , - i ) A

dx

oy

3

9

(A. V « ) B = (a i— +

dx

dz 3

— + a· — ) B

oy

dz

i|iin deben interpretarse como vectores cuyas componentes son las que resultan ill poner en lugar de A y B las componentes respectivas. Por ejemplo, las t'oiiiponcntes del prim er vector son + ^2 + ^3 · ( i — 1> 2, 3) Con esta interpretación, y suprimiendo los subíndices del operador p u n to que no puede haber confusión, resulta (2(i)

V »

V A (A A B) = rot ( A a B) = ( B. V ) A - B ( V - A ) + 4- A ( V . B ) - ( A . V ) B .

h ) La utilización del operador V como vector es correcta y, como acali.iinoi de ver, muchas veces útil. Sin embargo, en ciertos casos debe procederse ccm cuidado. Por ejemplo, es evidente que (V.B) A ^ (B.V) A r i decir, el producto escalar contenido en el paréntesis no es en este caso coniiiutiitivo. Consideremos el caso de calcular ( V a A ) A B , o sea ( r o tA ) a B . Aplicando la fórmula del triple producto vectorial (5 .1 1 ) podría creerse que es (¡errón eo !) ( V a A ) a B = ( V - B ) a - V (A .B ) ciiimdo el verdadero resultado es (27) ( V AA) a B = ( B . V ) A - V ^ f A . B ) ríiiiio íc com prueba buscando las componentes de ambos miembros. A nálogamente se tiene ( V A B) A A = (A . V ) B - V a (A .B ) y de esta relación, junto con la anterior se deduce (2(1) V ( A . B ) = V ^ (A .B ) 4 - V b (A .B ) = (B . V ) A 4 - (A . V ) B - ( V A A) a B - ( V A B ) a A . En particular, si A = B , resulta (2 9 ) V A’ = 2 (A . V ) A - 2 ( V A A) A A y ai, además, A tiene rotor nulo (30)

VA’ =

2 (A . V ) A . 115

A n á l i s i s V e c t o r ia l . O pe r a d o r e s V e c t o r ia l e s

5. Líneas de campo normales a superficies. En 14.1 vimos que, en el plano, para todo campo de vectores existen las trayectorias orto gonales a sus líneas de campo (líneas equipotenciales). En el espacio, en cambio, no siempre las líneas de campo admiten un haz de superfi cies que las corte ortogonalmente. Vamos a ver la condición que debe cumplirse para ello. Sea A el campo de vectores. Si existe un haz de superficies (p ( x , y , z) = cte. que corta a las líneas de campo ortogonalmente, en cada punto de ellas el vector normal V

a) b)

V-(

10. Com probar que tp = (a cos m * -ju n a función armónica. 11. H allar el laplaciano del vector A = cular su valor en el punto ( n / 2 , — 1 , 1) . 12. Probar que p a ra todo versor T , se (T .V )T = - T

116

tsenm*) sen*I — cumple A ro tT .

( í « “ ' - f d e ’" ) + xzK .

es C al

17. L os O p e r a d o r e s V e c t o r i a l e s e n C o o r d e n a d a s C u t e v i l ín e a s Probar la relación ro t ( A . V ) A = (div A ) ro tA — (div rot A) A + ( A . V ) rotA — ( r o t A . V ) A. 14. Probar la relación V A’ .B = 2 [ (B . V ) A] . A . 13.

17. LOS OPERADORES V ECTORIALES EN COORDENADAS CURVILIN EAS 1. Coordenadas polares en el plano y en el espacio. H asta ahora lii-mos utilizado únicamente sistemas de coordenadas cartesianas ortogo nales. En ellos, un punto del plano queda determinado por sus distan cias X , y z. dos rectas perpendiculares entre sí (ejes coordenados) y un punto del espacio por sus distancias x , y , z a tres planos ortogonales entre sí (planos coordenados). Sin embargo, muchas veces es útil emplear otros sistemas de coor denadas. Para el caso del plano, después de las cartesianas, las más útiles

son las coordenadas polares. En ellas cada punto P está determinado por su distancia r a un punto fijo O (tom ada siempre positiva) y el ángulo a que el vector OP forma con una dirección fija O x , ángulo medido en sentido contrario al de las agujas del reloj y de O a 2 n (fif?. 56). Las fórmulas de transformación que relacionan las coordenadas po lares ( r , a ) con las cartesianas x , y de un mismo punto P , cuando ios ejes cartesianos son Ox y la normal O y , son a; = r cos a y = r sen a ( 1)

a = are tg — X

En el espacio, se utilizan dos sistemas de coordenadas que en cierta manera generalizan las polares del piano y que tienen m ucha impor tancia, a saber: 117


a) Coordenadas cilindricas. En ellas un punto P se determina por las coordenadas polares r , a de su proyección sobre el plano x , y más la coordenada z . Las coordenadas cilindricas de P son r , a , z

(fig. 57). Las fórmulas de transformación de coordenadas cilindricas a cartesianas son (2) x = rcosa , y = r sen a y las de cartesianas a cilindricas (2 )'

T— y/x^ + /

,

a = aro tg —

z= z , z= z .

b) Coordenadas esféricas. Se llaman también polares del espacio y son (fig. 5 8 ): la distancia Q del punto P al origen O (tom ada siem118

17. L os O p e r a d o r e s V e c t o r i a l e s e n C o o r d e n a d a s C u r v i l í n e a s

|iir iJosiliva) ; el ángulo O que forma el radio vector OP con la parte |M)sitiva del eje z (el cual varía de O a it) ; el ángulo a que forma <1 cji· X con la proyección OP' de OP sobre el plano a; , y (variando d.' O a 2 3t) . Las fórmulas de transformación de esta·; coordenadas a las carte«liiiüis, como resulta de la figura 5 8 , son (!1)

X = OP' cos a = O sen O cos a , y =■ OP' sen a = e sen O sen qi,

¿ = o cos O y l;is inversas

_________
y ^2

y

+ z* ,O = are t g ; a = are tg — -

(:?)'

2. Coordenadas curvilíneas en genera!. Sean x , y , z las coorde nadas cartesianas ortogonales de un punto del espacio. Si se tienen tres funciones (4) X = X ( u i , u 2 ,u?) , y = y ( « i , «2, «s) , 2 = 2 ( « i , «2, ms) (|ue cn cierto dominio D del espacio adm itan las funciones inversas (-I)' ii, = u , ( x , y , z ) ,U2 = u - i i x , y , z) , «3 = U3 ( v , y , z) siempre que en D la correspondencia entre las tem as ( x , y , z) y (»/, , «2 , M3) sea biunívoca, todo punto P podrá determinarse tanto por X , y , z como por los valores de m, , «2 , «3 · En efecto, dadas las coordenadas x , y , z las fórmulas (4 ) ' permiten calcular las « i , «2, «a y, rnríprocamente, dadas las m, , « 2 , las fórmulas (4) permiten cal cular x , y , z . Las Ui , , «3 constituyen, por tanto, otras coordenadas (leí punto P . Por cada punto del espacio pasan tres superficies m (x , y , z) = cte. (t = 1 , 2 , 3 ) llamadas superficies coordenadas. Sus intersecciones son I.')s lineas coordenadas, caracterizadas porque a lo larcco de ellas varía lina sola de las coordenadas Mí . Si alíjuna de las funciones «i (x , y , z) no es lineal, las superficies coordenadas no son todas planas, ni las líneas coordenadas rectas. Se dice entonces que las m, , u^, «3 son las coor denadas de un sistema d e coordenadas curvilíneas.

a) u, .

r,a,z. ;c) =

Por ejemplo, si las funciones (4) , ( 4 ) ' son las ( 2 ) , ( 2 ) ' las son Inj coordenadas cilindricas Las superficies coordenadas son: r = cte. que son cilindros de revolución alrededor del eje r ; 6) a = cte. que son planos que contienen al eje z z cte. que son planos normales al eje z Las li ncas coordenadas son: a) Las rectas de intersección de planos normales al eje z con planos que contienen este eje; sobre ellas varía únicamente la coordenada ; b) Las circunferencias situadas en planos normales al eje z y cuvo centro está sobre este eje; sobre ellas varía únicamente a ; Las rectas paralelas al eje z sobre las cuales varía únicamente z Si las funciones (4) , ( 4 ) ' son las (3) , ( 3 ) ' las son las coordenadas esféricas o> 0 , a . Las superficies coordenadas son: cte. que son ísferas de centro en el origen O ; b) 0 = cte. que son conos de revolución de

,

.

c)

r

au)i O—

119

A n á l is is

V e c t o r ia l . O p e r a d o r e s V e c t o r ia l e s

vértice O y eje í ; c) a = cte. que son planos que contienen al eje z . Las líneas coordenadas son: a) las rectas que pasan por el origen, a lo largo de las cuales varía únicamente p ; 6) las circunferencias de centro en el origen O , contenidas en planos que pasan por el eje z ; sobre ellas varía únicamente 0 ; c) las circunferencias situadas en planos normales al eje z y cuyo centro está sobre este eje; sobre ellas varía únicamente a .

3. Coordenadas curvilíneas ortogonales. El caso más importante es aquel en que las tres superficies coordenadas, y por tanto también las líneas coordenadas, son ortogonales entre sí. Se dice entonces que el sistema de coordenadas curvilíneas es ortogonal. Tal es, por ejemplo, el caso de las coordenadas cilindricas y esféricas. Consideremos la superficie { x , y , z) = cte. Si d x , d y , dz son las componentes de un desplazamiento cualquiera sobre esta superficie, será (5) duz = «3, dx + usy dy + « 3* dz = Q y por consiguiente el vector gradiente V t/3 cuyas componentes son las tres derivadas parciales u¡x, , «3* es normal al desplazamiento. Valiendo esto para cualquier desplazamiento sobre la superficie “ 3 (a:, y , z) = cte. resulta que el vector Vmses normal a la misma. Por tanto, poniendo (6 )

^ =

\

V «31 =

(« 3 . +

«3v +

« 3* )

«3 resulta que el versor normal a la superficie coordenada «3 = cte. es el vector (7 )

U 3 = A3 V «3 .

Análogamente, los versores normales a las superficies coordenadas ( x , y > z) = c te ., Ui {x , y , z) = cte. son (8) Ui = V ui , U2 = , donde h i , Aj análogamente a (6) son las inversas de los módulos de los vectores Vmi , V «2 respectivamente. Estas fórmulas (7) , (8) permiten calcular los versores U j , U 2 , U 3 a p artir de los I , J , K del sistema cartesiano ortogonal primitivo, cuando se conocen las fórmulas de transformación (4) , (4 )'. En efecto, ellas pueden escribirse (9) Ui = A¡ (mí3, I + J + «iíK ) . (t=l,2,3J. Si el sistema de coordenadas curvilíneas es ortogonal, los versores U j , U 2 , U 3 forman un triedro trirrectángulo en cada punto del es pacio. Ellos pueden definirse también como los versores tangentes a las líneas coordenadas, según las cuales varía únicamente una de las coor denadas « 1, «2 j U3 . En efecto, el versor U 3 , por ejemplo, siendo normal a la superficie «3 = c te ., será tangente a las superficies = cte. y iÍ2 = c te ., que también son normales a la primera, y por tanto será tangente a su línea de intersección. Lo mismo para U i y U 2 . 120

17. Los O p e r a d o r e s V e c t o r i a l e s e n C o o r d e n a d a s C u r v i l í n e a s

Para el cálculo de las funciones h i , h a , h^ cs muv útil la obser vación siguiente. Dado un desplazamiento general de componentes /¡X , (¡y, dz (o sea el desplazamiento d P ■= d x l + d y } + dz'K) cuyo módulo es el elemento de arco del espacio: (10) \dP\ = d s = [dx^ + dy·^ -I- dz^yf^ , •u proyección sobre la dirección del vector U i será ds^ = cfP.Ui o sea, »••(.'ún (9) , (11) dsi = hi («1* dx + Mjy dy + «i* dz) = hi du^ . Análogamente las proyecciones sobre las direcciones de U 2 y U 3 dfl mismo desplazamiento son dsa = ha dua

(11)'

,

dss = hs dus

y por tanto la expresión del cuadrado del elemento de arco del espacio i'ii el sistema de coordenadas curvilíneas Ux, Uz, «3 es

(12)

ds^

=

dsx^

+

dsa^

+

dsi^

= h^

d u i ^ + ha^ dua^

+ hz^ du^^

ex|)resión que es muy práctica para el cálculo de h ^ , h a , h^ como veremos en los ejemplos que siguen. a) Caso del plano. En el caso del plano vale todo lo anterior con tal de limitarse a las coordenadas x , y y a las U x, U z . Por ejemplo, para las coordenadas polares Ux = r , Ua = a , según (I) es dx — cos a d r — r sen a d a , dy = sen a d r + r cos a da y por tanto el elemento de arco vale ds^ = dx^ + = ¿r* + r* da^ y en consecuencia, según ( 12) , es (13) hx=\ , ha = r . b) Coordenadas cilindricas. Para hallar los valores de hx, h a , h^ observemos que de (2) se deduce dx = — r sen a d a + cos a dr dy= r cos a ¿ a + sen a dr dz = d z .

Por tanto (14) ds^ = dx^ + d f + dz^ = dr^ + r^ da^ + dz^ y comparando con ( 12) (15) / i i “ l , h z “ r , A3 — 1 · í)

Coordenadas esféricas. De (3) se deduce dx = sen 0 cos a á(? + o cos 0cos a dQ — Q sen 0 dy = sen 0 sen a ¿o + o cos 0sen a ¿0 + o sen O dz = cos 0 á(? — o sen 0 ¿0

sen a d a cos a d a

y por tanto la expresión del elemento de arco delespacio se calcula por medio de 121

A

n á l is is

V e c t o r ia l . O p e r a d o r e s V

e c t o r ia l is

= dx^ + d 'f + dz^ = do^ + á 0^ + sen=' O da^ . Por consiguiente para las coordenadas esféricas se tiene (17) hi=l , hi = Q , /i3 = o sen 0 . 4. Las componentes de un vector en coordenadas curvilíneas or togonales. Dado un vector A por sus componentes en un determinado sistema de coordenadas, interesa muchas veces calcular sus componen tes en otro sistema dado de coordenadas. Si ¿ti, «2, «3 son las componentes en el sistema cartesiano orto gonal definido por los versores I , J , K y a / , a / , a i son las com ponentes en el sistema de coordenadas curvilíneas definido por las ecua ciones (4) y ( 4 ) ', cuyos versores fundamentales son U i , U 2, U 3 , deberá ser A = I + «2 J + «3 K = a / U i + a / U 2 + a / U 3 . Sustituyendo en el último miembro los valores de las U{ dados por (9) e igualando los coeíicicntcs de 1 , J , K en ambos miembros, resulta a-i, — a·! hx Uix + a^' I12 u^x + a / hj «3, ( 18) a ^ — a i h i U i y 4* a ^ ' I12 U zy ~f" a ^ u^y Cs = a / h i U i z + a ^ ' I12 «2* + a / Uj* . Estas fórmulas dan fli, «2, «3 a partir de las a / , a / , a / . Si in teresa el problema inverso, basta resolver el sistema anterior respecto de las incógnitas a / , a¿', a / . (16)

L a solución se obtiene fácilmente observando que si ju n to con las funciones u< ( * , y , í ) se utilizan las inversas (4) , se verifican las relaciones du, - - — = U „ x ./ u „ y ,j -f u „ z „ = 8« OUI

siendo = O si i ^ j , b , i z = l si i = j , puesto que la derivada de una variable independiente ui respecto de otra u¡ vale cero i j y vale uno si De aquí, m ultiplicando la prim era ecuación de (18) por * , / , la segunda por y , i , la tercera por r , / , y sumando miembro a miembro, resulta a ,' = -L· (a, * . ( -f a, y , ( -1-a , r . ( ) . ht Estas fórmulas, p ara i = 1 , 2 , 3 d an las componentes a / las (Zl. ^18^

a p artir de

E je m p lo :

Si las componentes de un vector en coordenadas cartesianas ortogonales ion í7i, flj, a , , h allar: a) sus componentes en coordenadas cilindricas; b) sus componentes en coordenadas esféricas. a) Según las fórmulas de transformación (2) Xr = eos a , *0 = — r sen a , yr = sen a , = r cos a Zr =

O

y además, según (15) , es ht cando ( 1 8 ) ' (siendo ui = r ,

122

,

«a

=

O

es x, — 0 y, = O

, ,

i. z= l

= i , ki = r , ht = 1 . Por consiguiente, apli u, = a , u, = z) , resulta

17. L os O p e r a d o r e s V e c t o r i a l e s e n C o o r d e n a d a s C u r v i l í n e a s fli' = a, cos a + Oí sen a oi' = — fli sen a - f a» eos a a,' = a, .

(19)

b) Análogamente, siendo ui = e , Uj = . 0 , u, — a , de (3 ) se deduce = sen 0 cos a , = o cos O cos a , x¡, = — q sen O sen a = sen 0 sen a , = q cos 0 sen a , yg = qsen 0 cos a = cos 0 , «9 = — Q sen 0 , = O consiguiente, teniendo en cuenta (17) y ( 1 8 ) ', resulta Oí’ = oi sen 0 cos a + oi sen 0 sen a + a« cos 0 (20) = cos 0 cos a + Oí cos 6 sen sen 6 — fli sen a + cos

Xp yp tp y por

aaii=O i

a, a. a—a¡

5. El gradiente en coordenadas curvilíneas ortogonales. Suponga mos un sistema de coordenadas curvilíneas ortogonales ííi , «2 , «3 y sean U i , U 2, U 3 los tres versores fundamentales tangentes, en cada punto, a las líneas coordenadas que pasan por el mismo. Si I , J , K son los versores fundamentales de un sistema cartesiano ortogonal, sabemos que el gradiente de una función cp es Vcp = tpí I + cpv J + cp* K . Por el cambio decoordenadas (4) , (4 ) ' se tiene X 3 3

1=1 «=i <=i Sustituyendo en la expresión de Vcp y ordenando convenientemen te, resulta (21) 0

®

0

cp

V

3(p

0cp

0cp

+ - ---- («3*1 + «3líJ + «3* K ) = - - ---- V « l + — v « 2+ — 7«3 OU3

O U i

0U 2

OW3

Teniendo en cuenta (7) , (8) esta expresión puede escribirse (22)

y (p = ; i - | ^ U i + - i - | ^ U 2 h \

0U 1

« 2

+ ^ - |^ U 3 «3

0W 2

0W 3

que es la expresión del gradiente en el sistema de coordenadas curvi líneas ortogonales « 1, 1/2, «3 cuyos versores fundamentales son U i , U2,U3. Ejemplos: 1. E l gradiente en coordenadas cilindricas. Según (15) y (22) las com ponentes del gradiente de una función (p ( r , a , r ) en coordenadas cilindricas son (23)

g rad ,

,

grad^ q> = — (Pa

,

g rad , cp =
123


2. El gradiente en coordenadas esféricas. Análogamente, según (17) y (22) Jas componentes dcl gradiente de u n a función tp (o , 6 , a ) en coordenadas es féricas son 1 1 (24) gradp (p = (pp , g ra d , cp = —
,

grad« cp = — qpg .

r

6. L a divergencia en coordenadas curvilíneas ortogonales. Sea el vector A , cuyas componentes en el sistema de coordenadas curvilíneas ortogonales « i , Ua, U3 sean a i , «2, «3, es decir, (26) A = « lU i + + aaUa . Queremos hallar la forma que toma div A en este sistema de coor denadas. Siendo U i , U 2 , U 3 versores ortogonales entre sí y suponiendo que forman un triedro directo, será (27) A

U x = U2AU3 , U2 = U 3 A U i , U3 = U i A U 2 . Sustituyendo en (26) y teniendo en cuenta (7) y (8) resulta

=

ajiihs Vm2

a

Vm3 + «2 h-¡, hx V«»

A

V « i + a^hiha'^

wj A

Vt<2

·

M ultiplicando escalarmente por el operador V (o sea, tomando la divergencia de ambos miembros) y teniendo en cuenta 16.16 , 16.19 y 16.21 resulta (28) div A = V .A = V (« iM s ) . V «2 a v « 3 + + V (¿22^ 1^3) . Vms a V « i + V {a 3 hrhn).VUi A V«2 . Para los gradientes que figuran como primeros factores de los tres sumandos se puede aplicar la fórmula 16.15 , con lo cual, teniendo en cuenta que un producto mixto con dos factores iguales es nulo, resulta (29)

V » . V » .) 0U\ 0 W2 ^ 2/3 / o bien, teniendo en cuenta (7) y (8) y que (U 1U 2U 3) = 1 , \

(30) div A = V A =

h ju h \

Smi

* ■>

0«2

\ /

9«3

que es la expresión de la divergencia de un vector cn coordenadas cur vilíneas ortogonales. Para el caso del plano queda

div A =

^ hih.,\

124

Az) ^ 9(^2 Al) \ dui

/ *

·

,

17. L os O p e r a d o r e s V e c t o r i a l e s e n C o o r d e n a d a s C u r v i l í n e a s Ejemplos: L L a divergencia en coordenadas cilindricas. Si las componentes de un vector A en coordenadas cilindricas son a¡, a i , a¡ (funciones de r , a , z) , según (15) y (30) será 1 / 3 (raí) dai 3 (raí) (31)

)·

2. L a divergencia en coordenadas esféricas. Si ahora a i, a i, at son las componentes de A en coordenadas esféricas, y p o r tanto son funciones de O, O, a , según (17) y (30) , será 1 3(o ’ ai) 1 3( aa s en0) 1 3a« (32) div A = ------------------+ -----------------------------+ ------------------- · p’ 3q o sen 0 30 o sen 0 3a 3. La divergencia en el plano (coordenadas polares). Si A es u n vector del plano, de componentes Oi, ai referidas a un sistema de coordenadas polares r , a , es 1 ^ 3 (raí) ^ 3aa div A (33) f V 3r

^)·

7. El laplaciano en coordenadas curvilíneas ortogonales. P ara h a llar la expresión del laplaciano en coordenadas curvilíneas ortogonales Ui, «2, «3, bastará aplicar (22) y (30) , resultando /hihs

Ì

A c p = V . Vcp =

(34)

+ ■

a

h jiih -i

/ A l1 A A3 A

0Cp \

j

\ A dUi \ A22 0U2 / q-;¿ es la expresión buscada.

u\ 0

/

0«3 \

Al Al Aa A3

9cp \

0Ml / 0cp \

0U3 / .

Ejemplos: 1. E l laplaciano en coordenadas cilindricas. D e acuerdo con los valores ya obtenidos el laplaciano de ( p ( r , o , z ) es (35)

Acp

CPr

+

»-
-I- ^ ( p „ „ - f rq)„

)■

2. El laplaciano en coordenadas esféricas. ya obtenidos, el laplaciano de q) ( o , O , a ) será (36)

Atp-·

l f 9 -------- — (o'senO cpp) 3o

D e acuerdo con los valores

9 9/< P aM · — (sen 0 cpJ -I- — ( ------ ] 30 3aVsen0/_

3. El laplaciano en el plano. Según (34) , p a ra el plano será

h, hi \ 3 u , \ h , du, / dui \ h i dui) ) Por ejemplo, si cp = q> ( r , a ) está d tfin id a en coordenadas polares, es (37)

A

125


8. El rotor en coordenadas curvilíneas ortoconales. Sea el vector A cuyas componentes en el sistema de coordenadas curvilíneas ortogo nales Ux, Ui, Uz sean Cx, a^, a z , es decir (38) A = ai U i + 02 U 2 + fls U 3 , expresión que,según (7) y (8 ) , se puede escribir (39) A = fli Al Vmi + «2 Aj V «2 + «3 A3VM3 · Según 16.17 y 16.21 el ro tA es V A A = V (fliAi) A V « i + V(fl2A2) a V « 2 + V(asA3) A Vu , o sea, según (21) djax hx) 9(fli Al) V «3 A V «1 + A Vui + (40) V AA = du2

4+

0U:

d ( a , h ,) _

0(O2 h j )

V uj A v«2

V uj A V uj +

0Ui

+

0«3

dj azhz)

0(a3A») V « 1 A V « 3 + — r -----------V v ¡ A v « í ,

dux

+

0«2

De aquí, según (7) y (8) , V AA = +

(4 1 )

1

~d( hzaz)

dih iO i)

A2 A3

Í2 r 0 (Aiai)

duz

1

01

Al hz

Al A2 [ que es la expresión buscada.

dux

0(Aj « 2 ) 0Mi

3(AxaO 0M2

Ejemplos: 1. E l rotor en coordenadas cilindricas. sulta que sus componentes son (42)

rotr A = -—

U 2+ U,

T eniendo en cuenta (1 5 )

re

— 1, , , rotoA = ai, — a,r, rot»A=— a, + a¡r----- a,a .

2. E l rotor en coordenadas esféricas. que sus componentes son ro t A =

1

90 ro t, A =

Teniendo en cuenta (17) resulta

9 (as sen 0)

9«! (43)

d{hzaz)

duz

Ul +

O sen eL 9a 1 9(a> 0 )

9oi

9a J 9(ajosen0)

0Q 9ai

9q 90 3. E l rotor en el plano (coordenadas polares). El rotor de un vector en el plano sabemos que es u n pseudoescalar. Su expresión general es

126

17. L os O p e r a d o r e s V e c t o r i a l e s e n C o o r d e n a d a s C u r v i l í n e a s 1

/

d{hiai)

h.hi \

d(h,a,) \

du,

dui /

Si el vector está dado en coordenadas polares A ( r , a ) nentes son a,, a,, el rotor es 1 1 (44) — at O i r ------- a,a . T r

y sus

compo

9. El laplaciano de un vector en coordenadas curvilíneas ortogonales. El laplaciano de un vector A hay que calcularlo por las fórmulas de los números anteriores a p a rtir de la definición (45)

A A = grad div A — ro t rot A . En coordenadas curvilíneas sería erróneo calcular A A como el vector cuyas componentes fuesen los laplacianos de las componentes de A ,lo cual vale únicamente para elcaso de lascoordenadas cartesianas ortogonales, como ya observamos en 16 . 3 . P ara darse cuenta de ello bastará considerar un caso particular. Para abreviar los cálculos supongamos el caso de coordenadas cilindricas y de un campo de vectores cuyas componentes sean sólo función de r , a (no de z) . Llam ando K al versor dirigido según el eje z , según (42) es

/ I

1

1 /1 (ro t rot A ) , = — ( — «»a + íro t rot

Al

\

ai + atr — — a,ajK

rot A = ( —

/I = — (— \r

1 \ ------- ^>oa 1

at +

1

\

r

J'

at,-------- a,a]

y según (31)

1

1

div A = flir -1----- a, ------- a-a r r r 1 1 1 1 (grad div A )f — a,rr— — a, — — ai^ -j- — a,r -j- — 1*

t*

1/

r

1

az^r

r

\

1

(grad div \ ) a = — I a,ra H------a.« ------- aiaa ) Por tanto se tiene

1

2

1

( A A ) r — f l l r r ------ — a , -------7

+

r

2

(A A )a —

~

1*

1

+

I

— “íao ------ — a i

“T

r

1 “ '0 0

H------- “ ir

r

I -\------- atr +

a,rr .

r‘ iñ r En cambio los laplacianos de las componentes de A , según (34) , son 1 / 1 \ A Oi = — í flir r a ,,T "1----- a ,a a j ^ at =

----

T Ojrr +

expresiones distintas de las anteriores. 127

A n á l is is

V e c t o r ia l . O p e r a d o r e s


E JER C IC IO S 1. H allar las componentes cartesianas de los versores fundam entales U i , U a, U i de los sistemas de coordenadas cilindricas y esféricas. En este problema y en los siguientes se entiende que los sistemas de coordenadas cartesianas, cilin dricas y esféricas, están ligados por las fórmulas de transformación (2 ) y (3 ) . 2. D adas las componentes de u n vector en coordenadas cilindricas, hallar sus componentes en coordenadas cartesianas. 3. D adas las componentes de u n vector en coordenadas esféricas, h allar sus componentes en coordenadas cilindricas. 4. H allar las componentes del vector posición « I - j - y J - J - z K en coorde nadas cilindricas y esféricas. 5. H allar las componentes cartesianas del vector que en coordenadas es féricas tiene las componentes (1 , 1 , 1) . 6. H allar las componentes cartesianas del vector que en coordenadas ci lindricas tiene las componentes ( — 1 , 3 , 2) . 7. D ada la función qp = o’ sen 0 tg a en coordenadas esféricas, encontrar su expresión en coordenadas cartesianas y en coordenadas cilindricas. 8. Escribir las ecuaciones del cambio de coordenadas esféricas a cilindricas y viceversa. 9. Siendo en coordenadas esféricas qp = o’ sen’0 cos’a , calcular V·** Y Aqp. 10. E n coordenadas cilindricas un vector tiene po r componentes («’’ cos a , z s e n a , r') . C alcular su divergencia y su rotor. 11. En coordenadas cilindricas un vector tiene por componentes (O , sen a , í) . C alcular la divergencia, el rotor y el laplaciano. 12. Sea cp =: r’ sen a log z (en coordenadas cilindricas). H allar: a ) L a expresión de cp en coordenadas cartesianas; 6) El valor de Aqp prim ero direc tam ente en coordenadas cilindricas y luego a través de su expresión en coorde nadas cartesianas. 13. Sea cp = q) (r , z ) . C alcular Atp prim ero en cordenadas cilindricas, luego en cartesianas, y com probar que se obtiene el mismo valor. 14. Sea q p = c p ( o ) . Siendo, como siempre, q la distancia al origen, dem ostrar que con la condición q p ( o o ) = 0 , las soluciones de la ecuación A

18. NOTAS Y C O M PLEM EN TO S D EL C A PÍT U L O IV O t r o s s i s t e m a s d e c o o r d e n a d a s c u r v i l í n e a s . Hemos consider.'.do los sistemas de coordenadas cilindricas y esféricas (1 7 .1 ) que son las más utili zadas, después de las cartesianas. Sin embargo, p a ra ciertos problemas particu lares a veces son útiles otros sistemas, también ortogonales, de los cuales vamos a m encionar algunos. 1. Coordenadas elipsoidales. Dados tres números a, b, c tales que f l > 6 > c > 0 , las ecuaciones / z*

(1)

--------1-------------1----------- r= 1 6’ + co

c’ -t-co

dependientes del parám etro (o representan cuádricas homofocales, con centro en el origen de coordenadas, que son 128

18. N o ta s y

C o m p le m e n t o s d e l C a p ít u lo I V

elipsoides si (o > — c* hiperboloides de u n a hoja si — e * > c o > — b‘ hiperboloides de dos hojas si — i ’ > to > — a* . Por cada punto P ( x , y , z) dcl espacio pasa u n a cuádrica de cada clase. E n efecto, p ara determ inar cd tenemos la ecuación de tercer grado (1) , en la cual x , y , z son ahora las coordenadas de P , y se ve fácilmente que las tres raíces de la misma están respectivamente en los intervalos (2) . Estas raíces ^ , n , V son las coordenadas elipsoidales del punto P . Las superficies coordenadas = cte. son elipsoides; las n = cte. hiperboloides de una hoja y las V = cte. hiperboloides de dos hojas, siendo todas éstas cuádricas homofocales y con centro en el origen de coordenadas. (2)

Las fórmulas que ligan X, n ,v con x , y , z son (a’ + X) (a’ + n ) {a' + y) (b’ + X) (5* +

= --------------------------------- (6’ -

a’ ) ( í ’ -

a ')

^ _

n ) (6’ + v)

V* =

(c* -

6’ ) ( a ’ -

6’ )

(,» + X) (c» + n ) (c» + v)

Poniendo f (X) = (a* + X) (6* + X) (c’ - f X) arco la expresión (X-H) (X-v) (n-v)(n-X )

resulta p ara el elemento de (v-X.)(v-n)

di’ = ----------------------+ --------------------------- ái.’ + ---------------------- ¿v ’

4/(X) o bien, poniendo,

4/(n)

d\ d a = -------------

,

4/(v)

dH d p = -------------

,

dV d y = ----------------

2 V/ { X) 2V7TÍO 2V/(v) se tiene también ds‘‘ = (X —n ) (X—v) da.' + (n — v) (n — X)d |5’ + (v — X) (v — (i) d v* y por lo tanto, según 17. 3 , en las coordenadas X, t i , v es

1 , /(X -t* ) ( X - v )

1 /((i-v )(n-X)

2

2

V

/(X ) ( v — X) (V -

‘• =

2

w

V

V

/(n )

n)

/ (V )

y en las coordenadas a , P , y , /i. = V(X -

M.) ( X - v )

, h , = V(M. -

v) ( n - X ) . h, = V ( v - X ) ( v - ( i ) .

Con estos valores se calculan fácilmente los operadores vectoriales. ejemplo, p a ra el laplaciano es

V7~W A

3 / ----- 3cp\

V7Tíy

4 --------------------------- ( V / ( X ) — ) + 4

( X - n ) ( X - v ) 3X \

V /(v ) +

4

3

3 / ,-rr-T 3
---------------------- -

3 X / ( n - v ) ( ( A — X) /

Por

9n V

r~ (

^

)

3cp\

(v

o bien 2")p - + (X-v)

Aq> = ■

3’cp

( V - H ) —

(ti-X ) ( X - v )

(H -V )

3a’

3P‘

ó’cp + (n-X)

3y’ 129


2. Coordenadas cilíndrico-parabólicas. Son las 5 , t ] , * ligadas con las cartesianas x , y , t po r las fórmulas de transformación

* = 5n

, y = — (5’ — n*)

. «= «.

2

Las superficies coordenadas ^ = c te ., t] = cte. son cilindros parabólicos de generatrices paralelas al eje « y las 2 = cte. son planos perpendiculares al mismo eje. Se tiene = (V + H’) ( ¿ r + dti») + d z ‘

y por tanto

h, = h, = VV + íf , h , = 1 con lo cual es ya fácil obtener; a)

Las componentes del gradiente de una función
t) ,
+

+

b) L a divergencia de u n vector A ciones de I , ti , z) vale

V .A = e)

1

3( a >Vr + Tl·) 0|

2)

son

'

de componentes a¡, o», a,

3 ( « w r + tl·) + -------- ----------+ (I’ + n’) 0T1

(fun

3«. 02

El laplaciano vale 1 / 3’(p 00*(p »(p \\ Acp = --------( ---------1--------) + V + Ti - \ aV at,* /

0’q) 32»

d ) Las componentes del rotor son, según las direcciones pectivamente

r\, z res

rot¿ A = ------í------_ v r + n ’

rot, A = — -—

(v rir;?

V I ’ + TI* \ 1

/

/

8 (V F + V « = )

3. C oordenadas parabólicas. por las fórmulas de transformación

* =

I Tj cos a ,

9 (V F + ^ < z .)X

ñ ----------

—

Son las | , t) , a ligadas con las cartesianas

y = 5 n sen a

2

= -^ (V — 'O’) ·

Las superficies coordenadas % = c te ., ti = cte. son paraboloides de re volución alrededor del eje z y las tt = cte. son planos que contienen al eje e . El elemento de arco vale d s' =

(V + n’ ) (d V +

d n ')

+

V n 'd a . '

y por tanto

h, = h, = y j T + ^

130

.

h. = l n .

18. N o t a s y C o m p l e m e n t o s d e l C a p í t u l o IV D e aquí: o) Las componentes del gradiente son 1 9(p 1

1 3(p

3(p

v r + t i * 3i 6)

L a divergencia vale

1 3(ajTi)

V .A =

I

V l’ + ri’

3| I

' ' ' —— |ti 3a

El laplaciano se escribe 1

'1

Am — -----------

V + n' d)

V l' + 'n’ 3a»

3n

(%at + Tja,)

+ e)

n

3 /

Ç 3Ç \

3 (p \

1

3 /

3
3 | / ^

11 3 t i \

3 ti

\ / 1

1 \ 3’cp ■ ^

tiV

3 a’ .

Las componentes del rotor son rot^ A = -

~ V I ’ + ti’ — Ì

------- ( ^ ~

l>iVI’ + n’ 1

/

3a,

rot^ A = ------ ----------- ( V I ’ +

I n V T v íi ’ —1 / 3fli

n’

—

3fla

rot„ A = ---------------- { --- ------ — · V iq r ^ · \ 3 r i 3|

-

ri - —

-

3 (%aa) \

)

1 + — —

\ (ría. -

%a,) ) .

l+ ri

J

4. Coordenadas esferoidales. Son las § , t i , a ligadas con las cartesianas por las ecuaciones X = c y / ( l -t- §*) (1 — rf ) c o s a , y = c V ( l + 1 ’ ) (1 - T ) ’) s e n a , r = donde c es u na constante. Los intervalos de variación de las variables son O^ I 00 , _ 1 ^ TI 1, 0= â^2n. Las superficies coordenadas ^ = c te ., ti = cte. son elipsoides loides de u n a hoja de revolución, obtenidos girando alrededor del haz de elipses e hipérbolas homofocales cuyos ejes son los y , z . Las t = c te . son planos que contienen el eje z . El elemento de arco

d^=

c' (I’ -F Ii’) - TJ* { d V -t-

1+1*

y por tanto

c’ (I’ + n')

1 -ti·

dr f -H

(1 + I’) (1 -

e hiperbo eje z un superficies vale

ri’) da’

de donde: a) Las componentes del gradiente de una función q) ( I , t] , a )

2 V

+

3§

2 V 5* + T)· 3n S*»

son

1

3tp

í V t r + l ’T n ^ )

3a

‘

131

A n á l i s i s V e c t o r ia l . O p e r a d o r e s

*)


L a divergencia de un vector A ( a , , Oa, ai) se expresa 1 V -A = ^ (^V(l + 1“) (V + ri’) a?j

+ ^

( v d - Ti’) ( r + n’)

V + rf

+

3ai“ da

V ( l + V ) ( 1 - T i ’) c)

E l laplaciano de u n a función r

(p ( | , t i , a )

tom a la form a

a

3cp

3

A tp =

3cp

(1 - n’) - -

(1 + I ’) 3ti_

3tiJ

3’(p (1 + r ) (1 -T i’) 3¡?J ■ d) tivamente.

Las componentes del rotor de u n vector A ( a i , a», a,)

a

1

ro tj A

________________ ,

/ l ’ + Ti’

son, respec

da,-]

_ (V (i+ r)(i-.* )..)-V rr7 -^ j r.,

rot„ A

/VT^da,

d

________________ 1

c V ( i - n ‘) (V + ti’) tota A

v a T v H l ^

f

, ^ χ . + ^ > ■ ι -------L

r A / £ i 2 ..^ - -

»5 V ' ' > - " ■

5. Coordenadas toroidales. Son las las ecuaciones

e>iV'^ >+6'

A

, n , a ligadas con las cartesianas por sen n

X =: r cos a

,

y = r sen a

z — cosh X 4- eos u

donde se h a puesto senh X cosh X + cos ft Las superficies coordenadas X = cte. son toros cuyo eje es el z ; las (X= cte. son esferas cuyo centro está sobre el eje z y las a = cte. son planos que contiene el mismo eje z . El elemento de arco vale

'dX' + dn' ds' = r’ ---------— -f da' senh’ X

y por tanto

Al = senh X

r

A. =

h% ■=. r . senh X

Los operadores vectoriales son fáciles de escribir; nos limitaremos al luplaciano 3’

Acp = . 3X \

132

3xy

3(i

\

J '^

,en h ’ X

3a’

C A PITU LO V

FORMULAS INTEG RALES

19. D ER IV A CIÓ N DE C U R V ILIN EA S

VECTORES. CURVAS. INTEGRALES

1. Vectores función de un parám etro. Consideremos un vector A = A (m) función de un parám etro u . Ello significa que las tres com ponentes fli, Ü2 , «3 son funciones de u . Análogamente a como se define la derivada de una función de una variable, formemos el cociente A (« + Au) — A ( m)

el cual es un vector, puesto que esuna diferencia de vectores dividida por un escalar A m (incremento del parámetro u) . Si el cociente (1) tiene límite para A m O, el límite será un vector A ' ( m ) que se llama vector derivado de A ( m ) . Se escribe también dA

(2)

A'(m) = -----du

dA = A'(m) du .

Consecuencias inmediatas de la definición son: а)

(3) б) (4) c)

Si A y

B son vectores funciones de m , es (A ± B ) ' = A ' ± B' . Si (p = cp ( m ) es una función escalar, se tiene ( t p A ) ' = cp'A + cpA' . Como consecuencia de a) y b) resulta que si A = «1 I + 02 J + «3 K.

es

será A' = a /1 + a i J + K es decir: las componentes del vector derivado son las derivadas de las componentes del vector primitivo. d) Para la derivada de un producto escalar, teniendo en cuenta la identidad 133

fó rm u la s

I ntegrales

(5) A (u + Au ) . B ( m + Au) - A ( m) . B ( m) = = [A ( m + Au) — A (u) ] .B ( m + Au) + A ( « ) . [B (u 4- Am)— B («) ] resulta, dividiendo por Au y pasando al límite para Au -> O, (6) ( A. B ) ' = A '.B + A . B ' . e) Análogamente, sustituyendo en (5) el producto escalar por el vectorial, resulta (7) ( A A B ) ' = (A'AB) + (AAB') . /) De (6) se tiene, en particular, (8) (A^)'= ( A .A ) '= 2A.A' . Puesto que A^ es un escalar, siendo m una constante cualquiera, será (9) [(A =)"·]' = m (A*)”-nA==)' = 2 m (A .A ') (A^)” - . En particular, para m = Y z , se tiene expresada en forma vecto rial la derivada del módulo de un vector, a saber (10)

1A 1' = [(A ^)^^]' = (A*)-'/» (A .A ') =

.

Obsérvese que la derivada del módulo no es, en general, el módulo del vector derivado. g) Aplicando (6) y (7) se tiene, para la derivación de un pro ducto mixto ( A B C ) ' = F(A A B ) . C ] ' = (A A B ) ' . C + (A a B ) . C ' =

(11)

= [ ( A ' a B) + ( A A B ' ) ] . C + ( A A B ) . C ' = = ( A ' B C ) -f ( A B ' C ) + ( A B C ' ) .

Ejemplos; 1. Sea el vector A = 3 I + sen « J - f «* K . El vector derivado es A ' = 6 u I -f- cos u J - f «· K . 2. Si A = sen u I cos u J tt K , es A ' = cos u I — sen « J - f K , I A [ =r VI + u*, A . A ' = tt. Compruébese la fórm ula (10) p a ra la derivada del módulo. 3. L a fórm ula (11) contiene la regla p ara derivar un determ inante, de tercer orden, a saber. br c,

(h b.

a< / z= b,

Ct

Ct

ai b. c,

ai bt

ai bt

Ct

Ct

+

fli

Ol

at

bi

bi

bi

Ct

Ct

Ct

2. Vector función de varios parámetros. ción de varios parámetros u , v , w , . . . todo lo mente respecto de las derivadas parciales Au , A», suponiendo que cada vez varía un solo parámetro, tes permanecen fijos. 134

+

Ol

at

6. ci

bt ci

bt ci

Si un vector A es fun anterior vale igual A» , . . . obtenidas mientras los restan

19. D e r i v a c i ó n d e V e c t o r e s . C u r v a s . I n t e g r a l e s C u r v i l í n e a s

Por ejemplo, suponiendo para fijar las ideas el caso de dos pará metros u , v , es 0A . A (u + A u , i;) — A (u , í^) Au = ------ = lim -------------------------------------9u Au ( 12) 0A . A ( « , ü + Ay) — A ( « , w) A» = -- = lim -----------------------------------------0y Ay y las proposiciones a) , b) , c) , , g) del número anterior subsisten con sólo sustituir la derivada respecto del único parámetro, por la deri vada parcial respecto de cualquiera de los parámetros. 3. Curvas. Tangente. Elemento de arco. Supongamos un punto X cuyas coordenadas x , y , z sean funciones de un parám etro t : (13) X = x{t ) , y = y[t) , z = z{t) . Representaremos por la misma letra X al vector O X cuyas com ponentes sean las coordenadas x , y , z . Entonces, las tres ecuaciones

(13) se pueden condensar en la ecuación vectorial única (14) X = X ( í ) = x{t ) 1+ y{t) J + z {t) K donde, como siempre, I , J , K son los versores fundamentales del sis tema de coordenadas.

Cuando t varía, en cierto intervalo, el punto X describe una curva, de la cual (13) son las ecuaciones paramétricas y (14) la ecuación vectorial.

Consideremos el punto X ( í ) y el X ( í + Ai) (fig. 59) ; el vec tor X (í -1- Ai) — X (í) tiene la dirección y el módulo de la cuerda 135

fó rm u la s

Integrales

que une esos puntos. Si dividimos por el incremento Ai y pasamos al límite para Ai -> O, el límite será, supuesto que exista, el vector de rivado que representaremos ahora por un punto, o sea, (15)

X = - ^ dt

.

Por tener este vector la dirección límite de la de una cuerda cuyo extremo tiende a coincidir con el punto inicial, tendrá la dirección de la tangente a la curva. Supongamos que exista el vector derivado (15) y que sea función continua de i •‘ (lo cual equivale a que existan las derivadas de las tres funciones (13) y sean funciones continuas de i) . Podremos establecer la siguiente; D ef. 1: Se llama elemento de arco ds de una curva X = X (i) en el punto correspondiente al valor t del parám etro al módulo del vector áX = X á t para el valor i . Longitud de un arco de curva es la integral de ds extendida al mismo. Se tiene por tanto (16)

ds=\X\dt=

+ f

+ z^)

dt = {dx^ 4-

+ d¿‘ Y^^ .

De (15) , multiplicando ambos miembros por d t / d s , resulta que el vector (17)

ds

= T

tiene la dirección de la tangente a la curva y, además, tiene módulo unidad. Se llama el versor tangente. Su expresión en forma canónica es dx dy dz (18) T = - I + ^ J-f--K V as

ds

as

y en función de las derivadas respecto del parám etro t ; (19)

T = - ^ V V x»

Curvas planas. Para las curvas planas valen las mismas definicio nes. Suponiendo la curva contenida en el plano x , y bastará hacer ¿ = O en las fórmulas anteriores. Así, el versor tangente será T = -1- / J donde los acentos indican derivadas respccto del arco s . Llamando

19. D

e r iv a c ió n

de

V e c to r e s. C u r v a s . I n t eg r a l e s C u r v il ín e a s

Supongamos una curva C que limita un dominio D y que tenga tangente en cada punto. En general se supone que el sentido de reco rrido determinado sobre C al tom ar el parám etro í , o el arco s , va lores crecientes, es el que deja el dominio D a la izquierda. Entonces el

versor normal N (perpendicular a T ) se toma hacia el exterior de D y por tanto sus componentes son (fig. 60) sencp, — coscp, o sea (20) N = sencp I — coscp J o también (21) N = / I - y j . U n a curva se dice que es de clase m en u n intervalo to — < — cuando las funciones x ( t ) , y{ t ) , z{t ) que la definen adm iten derivadas continuas hasta el orden m en dicho intervalo. Las curvas de clase cero son aquellas en que a las funciones (13) se les exige únicam ente la condición de ser continuas. Evidentemente, una curva de clase m es tam bién de cualquier clase p ^ m . Si a dos valores distintos del parám etro t corresponde un mismo punto de la curva, este punto se llam a un punto doble. P or ejemplo, la curva plana X = sen t , y = sen2 t (p ara O ^ í ^ 2 jc) tiene el origen de coordenadas como punto doble, pues corresponde a los valores t = 0 , t z = n (fig. 6 1 ). En lo sucesivo, p ara mayor com odidad en los enunciados, será conveniente tener en cuenta las siguientes definiciones: Curvas de Jordan. Son las curvas de clase cero sin puntos dobles. Curvas regulares. Son las curvas de clase uno o compuestas de un número finito de curvas de esta clase. P ara la mayoría de los problemas de cálculo vectorial, las curvas de Jo r dan son demasiado generales, por lo que se deben im poner algunas restricciones. P ara los problemas relacionados con la longitud de curvas o con las integrales curvilíneas basta que las curvas sean regulares, que es lo que, en general, vamos a suponer. En muchos casos las curvas de Jordan resultan demasiado generales y las curvas regulares demasiado restrictivas; existen ciertas condiciones interm ediaj 137

T fó r m u la s

Integrales

entre la continuidad y la derívabilidad de las funciones (1 3 ). Por ejemplo, existe la condición de ser de “variación acotada” o la de “satisfacer una condición de Lipschitz” . Estas puntualizaciones, indispensables cuando se quieran estable cer condiciones “necesarias y suficientes” , las dejaremos a un lado; pueden estu diarse en cualquier libro m oderno de análisis m atem ático.

Ejemplos·, l . Sea la curva X = t El vector X tiene de componentes ( 1 , 2 <, 3 <*) . El elemento de arco vale rfs = (1 4 1* - f 9 t*)V2 d i . El versor tangente es

T z= x l + yj + z K =

I + 2 í J + 3í*K ( l + 4 í ' - f 9 í ‘) V 2

2. L a curva

(22)

X = rcost

y = r sen t

,

z = kt

donde r , k son constantes, es la hélice circular. Para ella es ds ■= (r* + A:*)^/* dt ■ Por tanto, la longitud del arco com prendido entre los valores t = ío, í = f i , vale L = j { r * + ie) 1/2 dt = {r* + F ) i /2 (íi - ío) . •o

Se llam a paso de la hélice a la distancia entre dos puntos consecutivos si tuados sobre u n a misma paralela al eje z . Según (22) p ara volver sobre una misma paralela al eje z , el parám etro t debe incrementarse en 2 n . Por tanto el paso vale 2 n k . El versor tangente es T = ---------------- ( — r sen t I -1- r cos í J + A: K ) . (r’ - f fc’ )i/2 Compruébese que el ángulo que form a este versor tangente con el eje z (O sea con el versor K ) es constante.

4. Integrales curvilíneas. Suponemos conocido el concepto de in tegral de una función de una variable. El caso que más interesa en 138

19.

D

e r iv a c ió n

de

V

ecto res.

C

urv as.

Integrales

C

u r v il ín e a s

cálculo vectorial es el de las integrales curvilíneas que vamos a recordar. Sea la curva T de ecuación (23) X = X (0 = ^ (O I + y (O J + ^ (O K donde se supone que las funciones x {t) , y {t) , z (t) sonderivables y la derivada es una función continua de t . Sean X o , X i dos puntos de la curva, correspondientes a los valores ío , h del parámetro. Se llama in te g ra l c u r v ilín e a a lo largo de la curva F entre los puntos X o, X l de la misma a toda integral de la forma (24)

= S

Y=

, y { i ) >z{t)'\

+

+z^ff^dt ,

Xo

siendo (p { x , y , z) una función cualquiera que cumpla las condicio nes necesarias para que la integral simple ordinaria del último miembro exista. A veces el parámetro í es una de las coordenadas x , y , z . La integral curvilínea puede entonces tom ar la forma S tp ( x , y> z)

(25)

Xo

dx

para cuyo cálculo debe ponerse y = y (x) , z — z{x~) (ecuaciones de la curva) e integrar respecto de x como una función de una variable. Si el integrando es un vector U = Ui I + Uj J + m, K , la integral a lo largo de una curva dada F , es el nuevo vector cuyas componentes son las integrales de las componentes, o sea, V = / U * = ( / « i * ) I + ( / « 2 ds) J + ( / « 3 ds) K . Ejemplos; 1. Sea, en el plano, la circunferencia x = r cos a , y = r s e n a y la función

J
= j (^ — y) r da = j" r* (cos a — sen a) do = O . o

o

2. Sea la curva x ■= t , y z= f , « = <’ . D ada la función x“ — y + z , y los puntos A ( 0 , 0 , 0) , S ( — 1 , 1 , — 1) de la curva, es ¡(x- -

y + z) d x = } \ i ' -

A

(p = B

J cp A

í' + í ' ) d t = ~

a

. é

3. Sea la hélice circular x = cos f , y =z sen í , z -í- / 4- -5^ y los puntos ^4 (1, 0 , 0) , B ( O , ir/2

= J O

_______

V I + A*

=

¿ í . Dada I , ji/2 ) , es

ir/2

= /

(1

(1 +

=

O

139

fó r m u l a s

I

ntegrales

5. Circulación. Sea A. = K { x , y , z ) un vector función de punto, es decir, un campo de vectores definido en cierta región R del espa cio. Sea r una curva de longitud finita contenida en la región, cuya ecuación vectorial sea la (23) . D e f . 2: Se llama circulación del vector A a lo largo de la curva F entre los puntos Xo = X (¿o) , X-i = X (íi) de la misma, a la integral curvilínea (26)

Y = /A .T ¿í Xo

siendo T el versor tangente a F . Si a i , a^, ^3 son las componentes de A , o sea, (27) A = -f « a J + «3K teniendo en cuenta (18) , la circulación puede escribirse Y= / í/,ic -f- flj dy -f- a^ dz x> notación que hay que interpretar en el sentido de que dadas las ecua ciones de la curva F , para calcular y tendremos la integral simple I íj . . . (29) Y = f (ai X + y + as z ) d t (28)

to

donde ío y ti son los valores del parámetro í correspondientes a los extremos X o , X i y los puntos indican derivadas respecto de í . Si 0 es el ángulo que en cada punto forma el vector A con la tangente a la curva, (26) equivale a (30)

Y = f I A I cos 0 Xo

es decir, es la integral curvilínea de la proyección del vector A sobre la tangente. Si A es el gradiente de una función uniforme cp, o sea, A = V

y = S (pxdx + cp^dy + cpg dz = cp (X i) -cp (Xo)

^0 es decir, el resultado no depende de la curva F y es igual a la dife rencia entre los valores que tom a cp en el punto final X i y el inicial X o . En consecuencia, si la curva es cerrada, Xo y X i coinciden y la circulación es nula. Recíprocamente, si la circulación del vector A , 'supuestas sus com ponentes continuas en una región R del espacio, es nula a lo largo de cualquier curva cerrada contenida en jR, el vector A es un gra diente. En efecto, sea Xo(.*0 5 yo, ¿o) un punto fijo y X ( x , y , z) un punto variable de R . Sean Fo y F dos curvas, conteniclas en R Que unan estos puntos y y (Fo) , y (F ) las circulaciones correspon dientes del vector A , tomadas de Xo a X . La circulación a lo largo 140

19.

D e riv a c ió n

db

V e c to re s.

C u rv as.

In te g ra le s

C u rv ilín e a s

de r desde X a Xo será — y (F ) y como por hipótesis la circulación a lo largo de la curva cerrada Fo + T debe ser nula, resulta Y (Fo) — Y (F ) = 0 , o sea y (Fo) = y (F ) . Es decir; la circulación entre Xo y X es independiente del camino. Siendo Xo fijo, esta circulación será, por tanto, una función sólo de X , o sea, y = q? (X ) = = cp{x,y,z).

Q ueda por demostrar que las componentes de A son precisamente las derivadas parciales de la función cp . Tomemos para ello un punto X l ( ^ l í yt> î) que esté sobre una misma paralela al eje x con X (es decir, yi = y , = z ) y suficientemente próximo a X para que el segmento X i X esté contenido en R . Consideremos como curva F una curva cualquiera que una Xo con X i más el segmento X i X . Será (32)

Y = «P(^,y,z) = ? + / Xo

Xl

donde el integrando común es dx + a^dy + a¡ d z . Al variar x , manteniéndose fijos y , z , la primera integral tiene un valor constante, pues los extremos de integración son fijos. La segunda integral, puesto que a lo largo del segmento X i X solamente varía la x , vale / ai (x, y, z) dx X

y por tanto, de (3 2 ) se deduce cp* = « i . Como el valor (p ( x , y , z) es independiente del camino, tomando otras curvas para las cuales se llegue a X según paralelas a los ejes y , z el mismo razonamiento anterior conduce a que cp^ = , (p* = fls lo cual prueba el enunciado. En resumen: T eor . 1 ; L a condición necesaria y suficiente para que la circula ción de un vector A , cuyas componentes «i = «i (x , y , z) (i = 1 , 2 , 3) sean funciones continuas de las variables x , y , z en una región R del espacio, sea nula a lo largo de toda curva cerrada de R , es que A sea el gradiente de una función uniforme cp. En tal caso, la circulación entre dos puntos cualesquiera de R es independiente del camino y está d ada p or ( 3 1 ) . Ejemplos; 1. El ejemplo físico más im portante de circulación es el trabajo de una fuerza a lo largo de un arco de curva. Si A ( x , y , z ) representa fuerzas, la integral (28) es el trabajo de la misma a lo largo de F entre los puntos X » , X i . Sea, por ejemplo, la fuerza A = ; c I - l - ) i J + z K y la curva x = cos t , y = sen t , z 3 t . El trabajo realizado por la fuerza A al desplazarse a lo largo de la curva desde el punto P (1 , O, 0) al ( 2 ( 0 , 1 , 3 n /2 ) (puntos que corresponden a los valores /o = O, t, = n /2 del p arám etro ), aplicando (29) será 9

<=

T /2

T /2

r A .T ds — S ( — x s t n t + y cos t + 3 z) dt = S 9 t dt = > 0 o

9

— 8

141

fó r m u la s

Integrales

Obsérvese que en este caso es A = grad tp , con (jt* -f- y* + 2 *) . Por tanto el resultado debe ser independiente del camino e igual a cp ( 0 , 1 , 3 n /2 ) - cp ( 1 , 0 , 0) = 9 n?/8 , de acuerdo con el resultado obtenido. 2. Sea A z s A r l - H j r y J + K y l a curva x ■= t , y = t ' , z = t ' . Se desea calcular la circulación de A a lo largo de la curva, entre los puntos ( 0 , 0 , 0 ) y ( 1 , 1 , 1 ) correspondientes a t = O , ( = 1 . Será 1 1 19 Y = J A . T ds = S {x + 2 x y t + 3 e ) dt = S (t + 2 t' + 3 t^) d t = — . o o 10 E n este caso, A no es ningún gradiente (puesto que si lo fuera debería ser a„ = 0 2 . ) , P or tanto, la integral puede depender del camino. Suponga-

F io u r a

62

mos el camino formado po r los segmentos OP , P Q , Q R de la figura 62 pa ralelos respectivamente a los ejes x , y , z . El cálculo de la circulación a lo largo del mismo se h a rá aplicando

(1,1,1) Y =

1

f X dx + xy dy + dz ( 0, 0, 0 )

1

1

z= f X dx + í y dy + S dz = 0

0

2

0

donde las integrales entre O y 1son, respectivamente, las integrales a lo largo de los segmentos O P , P Q , Q R . Observación. L a condición de que cp sea uniforme es necesaria. En caso contrario, aun siendo A = grad cp, puede ocurrir que la circulación a lo largo de un contorno cerrado no sea nula. Por ejemplo, si (p = are tg { y/ x) y F una curva cerrada que contiene al origen en su interior, es f X dy — y dx are tg — = 2 ji

~7TT'

X

r

EJER C IC IO S 1. Analizar en qué casos la derivada del módulo de u n vector coincide con el módulo de la derivada. 2. Demostrar que la condición p ara que el módulo de u n vector A sea constante, es que sea A .A ' = O y p ara que su dirección sea constante A A A' = O .

142

20. S

u p e r f ic ie s

.

Integrales

de

S

u p e r f ic ie

3. Si Al es el versor que tiene la dirección y sentido del vector A , probar que ^ A a ( A - a A)

lAl» 4.

Si es A = A (u , £i) y

u =

u (t) , v = v (t) ,dem ostrar

la fór

m ula A ' = A . u ' - f Ac y' donde los acentos indican derivada respecto de t . 5. Sea A = A ( i ) y í = í ( í ) . Indicando con acentos las derivadas respecto de í y con puntos las derivadas respecto de / , probar que es A' = Á / i , A" = (ÍÁ - ' i Á ) / ( ; ) · . 6. Probar que a lo largo de cualquier curva cerrada es J"X · d X = O, siendo X = A r I + y J - t - z K . 7. Si A es un vector constante, probar que a lo largo de cualquier curva cerrada es X A a í í X = 0 . 8. Siendo ^ _ - 4 x y d x + 2(x’ - / - l ) d y ( * * - ! - / - 1)' + 4 / - (*' + y’ - l ) probar que la integral curvilínea de esta diferencial a lo largo de la circunferen cia — 2 * = . 0 vale 2 n . 9. C alcular la longitud de la curva X = «··

, y = 2 (t -

1)«·

. * = -

ó

í*

entre los puntos í r= O , f =: 1 . 10. Siendo A ( i , l , f ) , h allar la circulación de este vector a lo largo de la curva del ejercicio anterior, entre los mismos puntos í = O , t = 1 . 11. Siendo — f z + xy, V y d X = d x l -\· d y l + d z K , calcular las JtpdX , JV.dX a lo largo de la curva x ■=. 2 t , y = 3 í ’ , t = 2.

= * I — ( A : - f - y - t - z ) J - { - 2 }'K integrales , JVAdX z — f entre los puntos t = O,

20. SUPERFICIES. INTEG RA LES DE

S U PE R FIC IE

L Superficies. Versor normal. Supongamos un punto X cuyas coordenadas x , y , z sean funciones de dos parámetros u , v: (1) x = x(u,v) , y-y(u,v) , z = z [u , v) . Representando por la misma letra X al vector O X cuyas com ponentes son las coordenadas x , y , z , las tres ecuaciones (1) se pue den condensar en la ecuación vectorial única (2) X = X ( u , y ) = x ( u , y) I + y ( u , y ) J + £ ( u , t;) K . Cuando u , v varían dentro de ciertos intervalos, el punto X des cribe una superjicie, de la cual (1) son las ecuaciones paramétricas y (2) la ecuación vectorial. Análogamente al caso de curvas, una superficie se dice que es de clase m cuando las funciones (1) que la definen admiten derivadas 143

fó r m u la s

Integrales

parciales continuas hasta el orden m . El caso más im portante desde el punto de vista del cálculo vectorial es el de las superficies regulares cuya definición es la siguiente; D e f . 1 : Se llaman superficies regulares a las que son de clase uno o compuestas de un número finito de partes de esa clase.

En lo sucesivo supondremos siempre que se trata de superficies re gulares. Si se mantiene v constante y varia únicamente u , la ecuación (2) representa una curva sobre la superficie, cuyo versor tangente es, según 19.19 (3)

T, =

.

VX«^ Análogamente, al variar v , manteniéndose u constante, se tiene sobre la superficie otra curva cuyo versor tangente es (4)

'T =

.

VX/ En (3) y (4) X „ , X^ son los vectores cuyas componentes son las derivadas parciales { xu, yu, Zu) y {x«, yv, Zv) respectivamente, o sea

(5)

X„ = Xu I + y« J + 2u K

, Xp = X» I + y» } + Zv K .

Esas curvas, según las cuales varían únicamente u ó v se llaman curvas paramétricas de la superficie. Por cada punto de la superficie pasa una curva de cada clase y ellas constituyen lo que se llama un sistema de coordenadas curvilíneas sobre la superficie. Es útil introducir las siguientes notaciones 144

20. S

u p e r f ic ie s

.

Integrales

S

de

u p e r f ic ie

(6) E = X ^ , P = X „.X » , G = X„= que definen los llamados coeficientes fundamentales E , F , G de la superficie. El ángulo O que forman las curvas paramétricas que pasan por un punto X { u , v) de la superficie, igual al ángulo de sus tangentes será F

(7)

COS0 = T 1.T 2 = -----------

^fEG

y por tanto: la condición necesaria y suficiente para que las curvas p a ramétricas sean ortogonales, es que sea F = O. Se dice entonces que el sistema de coordenadas curvilíneas es ortogonal. Suponiendo que en el punto Xo ( u , v) los vectores X « , X» no estén en línea recta (en cuyo caso el punto Xo se dice que es un punto singular), ellos determinan el plano tangente a la superficie en X o . Su ecuación vectorial es, por tanto, (8) (X - X o , X « , X v ) = O donde las derivadas parciales se entienden tomadas en el punto Xo · El vector X„ A X„ tiene la dirección de la normal a la superficif!. El cuadrado de su módulo, según la identidad de Lagrange (5 .4 ) vale (9) (X„ A X,)2 = X„2 X / - (X„.X„)2 = E G - F ^ y por tanto, el versor normal a la superficie en el punto X [u, v) es (10)

N=

V£G-F^ Según esta definición, el sentido del versor normal se tom ará siem pre de m anera que el triedro X « , X » , N tenga la misma orientación que el triedro de los versores fundamentales I , J , K (dirigidos, res pectivamente, según los ejes x , y , z) . Según (10) las componentes del versor normal N , o sea sus co senos directores (cosenos de los ángulos a , P , Y que forma con los ejes coordenados), son yuZv — yvZu „ xvzu -xu zv x uy v ~x p y u (11) eos a = --------------- cos p = -------------------, cos y = ----------------\/EG -

y/EG-F^

yJ E G -

F^

Si la superficie está dada en forma explícita por la ecuación

2 = f(x,y)

p ara hallar el versor norm al N bastará ponerla en la forma param étrica equi valente: X = u , y = V , z = f(u, v) .

Entonces, poniendo, como es costumbre X = u l - t - « J + f(u. v ) K Ü 2) X . r = I - f / . K , X. = J 4- 9 K X, a X . = K - 9 J - / > I

f, = p, f, = q,se tiene

145

fó r m u la s

Integrales

£ = ! + / , · y po r tanto

,

F=pq

,

G = 1 +

3>

N = ------------------- ( _ í l _

,

E G - ¥ ^ = 1 + P' + q'

g j+ K )

V l + í ’ + í* E j decir, los cosenos directores de N son P ^ 9 cos a = — . cos p = —

V l+ /> ’ + 9*

, cos Y =

V l + P ’ + 9’

1

V l + í ’ + 9*

Ejemplos; 1. L a esfera. Las ecuaciones param étricas de la esfera de radio (fig. 6 4 ), X =z r cos a sen 0 , y z= r sen a sen 0 , z = r cos 8 y por tanto la ecuación vectorial de la esfera es (13) X = r c o s a sen 6 I + r sen o se n 0 J -f- r cos 0 K ,

r son

- ►v

F io u r a

64

El parám etro a representa la longitud geográfica y 0 la distancia polai o colatitud. P ara unificar con las notaciones anteriores pondremos o = u , 0 = 0 con lo cual resulta ». = * 0 = — r sen o sen 0 , y , z= z= r cos a senB , r. = X, = X, = T cos o cos 0 , y . = y , = r sen a cos 0 , z , = z , = — r sen 0 . Por tanto (14) £ = r»sen’ 0 , F = 0 , G = r‘ , - F* = sen’ 0 y el versor norm al resulta ser (15) N = — cos o sen 0 I — sen o sen 0 J — cos 0 K . 2. E l toro. Es la superficie engendrada por una circunferencia que gira alrededor de una recta de su plano que no la corta (fig. 65) . Si llamamos u al ángulo de giro del plano y v al ángulo sobre la circunferencia, las ecua-

146

= O

20. S

u p e r f ic ie s

.

Integrales

de

S

u p e r f ic ie

ciones param étricas del toro resultan (siendo a — distancia del centro de la circunferencia al eje de giro, r = radio de la circunferencia), (16) AT = (a + r cos y) cos u , y = (a + r cos y) sen u , z = r sen v y por tanto la ecuación vectorial del toro es ( 17) X = (a -f- >■ eos v) cos u 1 + (a + r cos v) sen u J + r sen v K . De aqui j;. = — (a -f- r cos v) sen u , y , = (a -1- r cos » ) cos u , z, = O Xv = — r cos u sen v ,y· — — f sen u sen v , Zt, = r eos v y por tanto (18) E = (a + r c o í v y , F = O , G = , EG - r- = (a + r cos v ) \

(19)

El versor norm al resulta: N = cos u cos y I + sen u cos t» J + sen » K .

2. Elemento de arco sobre una superficie. U na curva .sobre la superficie X = X ( u , y) estará dada por dos funciones u = u (í) i; = y (í) ; la curva es entonces X = X(í) = X ( u ( 0 , y ( 0 ) · El elemento de arco de esta curva, según 19. 3, será ds = I tiX I = I Xu + Xw ííy 1 o bien ds^ = X„=* du^ + 2 X u . X v d u d v + X„^ dv·^ que según (6) se escribe (20) ds- = E du^ + 2 F d u d v + G dv^ . Esta expresión general del elemento de arco para las curvas de la 147

fó rm u la s

Integrales

superficie se llama primera form a fundamental de la teoría de superficies. En particular, los elementos de arco de las líneas paramétricas V = cte. y u = cte. serán dsi = yjE du , ds^ = y/G dv . 3. Integrales dobles y triples. Formas diferenciales exteriores. Su ponemos conocido el concepto ordinario de integral doble (22) I = ¡ f [ x^y) dx dy

(21)

D

de una función f [ x , y) , extendida sobre un dominio D del plano X , y . El hecho de haber dos diferenciales en el integrando ya indica que se trata de una integral doble, no siendo necesario poner dos signos de integral como a veces se acostumbra. Recordemos también que si se quiere hacer en 7 un cambio de va riables definido por las ecuaciones (23) X = X {u,v) , y = y [u,v) cuyos segundos miembros sean funciones que admiten primeras derivadas parciales continuas respecto de las nuevas variables u , v , hay que mul tiplicar el integrando por el jacobiano de la transformación (23) , o sea, por ' Xt (24) ] = = X u y v - Xv y» . Vu

Vv_

Supondremos siempre que en el dominio D considerado, este ja cobiano es diferente de cero y por tanto, siendo continuo, tendrá un signo constante. Si el elemento de área dx dy del plano se considera siempre positivo y se quiere mantener este carácter al hacer cualquier cambio de variables, habrá que multiplicar el integrando por el valor absoluto del jacobiano. Sin embargo, conviniendo en que la integral I cambia de signo si el cambio de variables es de jacobiano negativo (en cuyo caso se dice que el cambio de variables cambia la orientación dcl plano), podemos convenir en hacer siempre el cambio de variables mul tiplicando por el jacobiano, incluso con su signo. De esta m anera la parte diferencial dx dy del integrando de una integral doble, por un cambio de variables (23), debe sustituirse por (25) dx dy = [x^yv — Xvyu) d u d v . Esta relación pone de manifiesto que en el prim er miembro el pro ducto dx dy no es un producto ordinario entre diferenciales. En efecto, si así fuera, de (26) dx = Xudu + Xv dv , dy = du -f y» dv se deduciría dx dy — Xu yu du^ - f {xu y» exoresión muy distinta de la (25) . 148

+

Xv yu) du dv

-f-

Xv y« dv^

2 0 . S u p e r f ic ie s . I n t eg r a l e s

de

S u p e r f ic i«

El producto (25) es, pues, de naturaleza distinta del producto or dinario y se llama producto exterior entre las diferenciales d x , d y . Para distinguir ambos productos se utiliza para el exterior la notación dx A d y , bien entendido que aquí el signo a no indica “producto vectorial” entre vectores, sino “producto exterior” entre diferenciales. El significado del producto exterior se encuentra fácilmente tenien do presente que, por representar dx A dy el elemento diferencial que

O F io u r a

66

aparece bajo el signo de las integrales dobles, no debe ser otra cosa que el elemento de área del plano. Por tanto, si consideramos a partir de un punto P { x , y) el desplazamiento que lo lleva al punto <2 (« + dx^, y + dy) y el que lo m anda al R {x d^ x , y + d ^ y ) , el elemento de área correspondiente al punto P será el área del parale logramo infinitesimal P Q R S (fig. 66) , o sea, según 5 .5 dx

dy

di X

di y

= dx di y — dy d^x . Aquí, en el segundo miembro, los productos son ordinarios. Este es, por tanto, el significado preciso del producto exterior; (27) dx A dy = dx diy — dy d^x . Si, en particular, se toman los desplazamientos paralelos a los ejes coordenados, resultará Q { x + d x , y) , R [ x , y + dy) y por tanto dx A dy = dx d y , lo que justifica la costumbre usual de emplear única mente la notación de producto ordinario en vez de la de producto ex terior, más precisa. De (27) se deducen las leyes que rigen el producto exterior y que permiten el cálculo con el mismo, a saber: a) Propiedad anticonmutativa: du

dv = — dv

dtt

149

fó r m u l a s

I

ntegrales

de la cual se deduce du A du = O b) Propiedad distributiva: du A (dv + dio) = du

dv + du

dw .

Verificando el producto exterior de las dos diferenciales (26) según estas reglas, queda dx A dy = {xuVv — Xvyu) du A dv

de acuerdo con (25) . Si bien en las diferenciales que aparecen bajo el signo de integral doble no puede haber confusión al utilizar el símbolo de producto ordi nario en vez del exterior, puesto que siempre se trata de un producto exterior, cuando se opera con formas diferenciales sin que estén sujetas a integración, es muy conveniente distinguir entre los dos productos. Por esto nosotros vamos a utilizar la notación de producto exterior en todos los casos. Así, en vez de (22) , escribiremos (28) J = ^ f [ x , y) dx A dy . D

Con esta notación, el elemento de área dx A dy del plano apa rece orientado, es decir, si en (28) se invierte el orden de las diferencia les, poniendo dy ^ dx , se invierte el signo de I . Ello, geométricamente.

equivale a decir que se ha invertido la orientación del plano x , y , apa reciendo el área elemental (el paralelogramo P Q S R de la fig. 66) con signo cambiado. Salvo esta orientación que sólo influye en el signo de / (no en su valor absoluto), el cálculo de (28) se verifica por las mismas reglas que el cálculo infinitesimal da para (22) . 150

2 0 . S u p e r f ic ie s . I n t eg r a l e s

de

S u p e r f ic i*

Para las integrales triples la situación es muy análoga. Si tenemos, en el sentido habitual, (29) I = S f { x , y , z ) dxdydz D

extendida a un dominio D del espacio, la expresión dx dy dz repre senta el elemento de volumen del espacio. Por tanto, si se considera el paralelepípedo elemental construido sobre los tres vectores infinitesimales PQ , PR , PS (fig. 67) de componentes respectivas [ d x , d y , dz)

,

[d-^x, d , y , d,z)

,

[d^x, d ¡ y , d¡z)

el verdadero significado de dx dy dz es el volumen de este paralele pípedo o sea, según 5 . 1 , el valor del determinante formado por las componentes de los tres vectores P Q , P R , PS , que indicaremos como el producto exterior dx

dy A dz =

dx d,x diX

dy dxy dzy

dz d^z diZ

Para el cálculo con este producto exterior con tres diferenciales bas tan las propiedades a) y b) de antes, más la c) Propiedad asociativa: du h dv dw — [du A dv) A dw = du A (dv A dw) .

De esta manera, para hacer en la integral triple I el cambio de variables x=x(u,v,w) , y = y{u,v,w) , z = z {u , v , w) , bastará hacer el producto exterior de las tres diferenciales dx — Xudu + Xv dv + Xv, dw dy = y„du + yv dv + y«, dw dz = Zudu + Zv dv + z„ dw resultando dx A dy A d z = (dx A dy) A ¿ z = [ (a;„ y* — y „ ) du a dv + {x«, y« — —Xuyte)dw A du + (Xvyw—Xioyv) dv A dw] A [Zudu-\- Zvdv + Zvjdu,) = X\i Xx) yuyv y« Zìi

du ^ dv û>

dw

que es la regla clásica del cambio de variables en una integral triple, según la cual debe multiplicarse el integrando por el jacobiano de la transformación. En consecuencia, para mejor poner de manifiesto esta distinta na turaleza del producto de las diferenciales que figuran bajo el signo de una integral triple, en vez de (29) escribiremos siempre (30) I = f f { x , y , z) dx A dy A dw 151

fó r m u l a s

I

ntegrales

También aquí, como en el caso de dos variables, la única diferen cia con (29) estriba en que en (30) el elemento de volumen se consi dera orientado, cambiando de signo si se toma por ejemplo dy A dx A dz. Salvo este posible cambio de signo, lo cual equivale a que el triedro P Q P R , P S de la figura 67 cambia de orientación, elvalor siempre el mismo (29) y se calcula por las mismas reglas usuales del cálculo infinitesimal.

de (30)

Ejemplos: 1. Elemento de área en coordenadas polares en el plano. De las fórmulas de transformación * = f cos o , y = r sen a se deduce dx = c o s a dr — r sen a da , dy = señó, dr + r cos o dct y por m ultiplicación exterior (31) dx /\ dy =. r dr K da que es la expresión del elemento de área en coordenadas polares. 2. Elemento de volumen en coordenadas esféricas. De las fórmulas de transformación AT = o cos a sen 0 , y = o sena sen O , z z= q cos 0 se deduce dx = c o s a sen O do — q sen a sen O rfa -f- o cos a cos 0 dO dy = sen a sen O do -1- O eos a sen 0 d a - f o sen a cos 0 dO dz = cos O do — o sen 0 d0 y por multiplicación exterior (32) dx dy A dz = q‘ sen 0 do a d0 A d a que es el elemento de volumen cn coordenadas esféricas.

4. Elemento de área sobre im a superficie. Sea X un punto de la superficie S considerada en el 20.1 y N el versor normalcorres pondiente.Llamando y al ángulo de N con la parte positiva del eje z y suponiendo cos y O , el elemento de área sobre el plano tan gente en X cuva proyección sobre el plano x , y es el elemento de área dx A dy del mismo, se llama elemento de área de la superficie S y lo representaremos por dcf, o sea. (33)

Jo

^ eos Y

Teniendo en cuenta (11) y (25) esta expresión equivale a (34) da = y/EG du ^ dv que es la forma general del elemento de área para la superficie cuvas ecuaciones paramétricas son las (1) . De esta expresión y de (11) , siendo dy A d z = [yuZv — yvZu)du K dv , dz ^ dx ■=■ {zuXv — ZvX«) du A dv 'e deduce que análogamente a (33) se tiene también 152

20. S

=

(35)

u p e r f ic ie s

. Integrales de S

u p e r f ic ik

=

a cos P Siendo N = cos a I + cos P J + cos y K , de (33) y (35) re sulta la fórmula muchas veces útil (36) N í/a = d y A d z l + d z A d x J + d x A d y K . Todavía otra forma para el elemento de área se obtiene teniendo en cuenta que según la fórmula (10) que da el versor normal N , se verifica ( N X « X . ) = y /E G y por tanto, según (34) , (37) ¿o = (N X „X «) ÍÍM A ¿y , La ventaja de esta expresión, así como la (36) , sobre la (34) es que permite asignar un signo al elemento de área, teniendo así la posi bilidad de definir un área orientada. Si la superficie está dada en la forma explícita z = f { x , y) , se gún (12) , el elemento de área vale CO S

d a = -\/l +

(38)

dx A dy .

Ejemplos;

"

1. Según (14) y (34) el elemento de área sobre la esfera vale (39) da = f* sen Q d a A áO . Integrando entre los limites 0 ^ a ^ 2 K , 0 ^ d ^ T t se obtiene el área total de la esfera 4 n r’ . 2. Según (18) y (34) el elemento de área del toro vale (40) da = r (a + r cos y) du A dv . Integrando entre O s ^ u ^ 2 n , 0 ^ ü ^ 2 r t , resulta que el área to tal del toro vale 4 Ji* r a .

5. ramétricas

Integral de superficie. Sea una superficie S de ecuaciones pa

x = x(u,v) , y = y(u,v) , z = z ( u , v) Se llama integral de superficie de una función qp ( x , y , z) exten dida a una región D de a la expresión (41)

(42) f q> d a = , ( (p (x ( u , v) , y (u , v) , z (u , y)·) y/EG — D

du A dv

D

es decir, a la integral doble de la función que resulta al sustituir en cp las variables x , y , z por las funciones (41) que representan la super ficie, multiplicada por la expresión (34) del elemento de área. A veces los parámetros u , v son alguna de las coordenadas x , v . ¡ con lo cual una integral de superficie puede también tom ar la forma ( F (x , y , z) dx A dy h

donde el coeficiente del área se ha incluido en F ( x , y , z) . En este 153

I ntegrales

fó rm ulas

caso el cálculo efectivo se realiza sustituyendo z = f { x , y) (ecuación de la superficie) e integrando como una integral doble ordinaria. De manera análoga se procede para el caso de integrales de superficie de la forma f F ( x , y , z) dy A dz ó f F ( x , y , z) dz A dx . D

'

D

Ejemplos; 1. Supongamos Ja integral de superficie de la función (j) = * + y + x sobre la esfera de radio unidad. Según (13) y (39) será / (x + y + z) da = f (cos a sen 9 + sen a sen 0 + cos 0) sen O da A dQ . a s Los intervalos de variación son 0 = ¿ ( p ^ 2 J i , 0 : ^ 0 ^ « , de modo qu?. integrando resulta que la integral vale cero. 2. Sea la integral de cp = a:’ «* sobre la región de superficie cilindrica *’ + / = !, Con las coordenadas cilindricas a , x es da = da A dz quedando 2 / da ■= S eos’ a¡? da Adz ■=■ — Ji . D O 3 3. Consideremos el cálculo de / X dy A dz + y dz A dx + z dx A dy D

siendo D el triángulo de vértices ( 1 , 0 , 0 ) , ( 0 , 1 , 0 ) , ( 0 , 0 , 1 ) . L a ecuación del plano que contiene D es x y + z — 1 = 0 ; tanto será

por

1 f X dy A dz

=

—

y

—

z) dy A dz =

D

—

.

6

Las otras dos integrales tienen el mismo valor, de m anera que la integral buscada vale % .

6. Flujo. Sea S la misma superficie (41) del número anterior y A ( x , y , z) un campo de vectores. D ef. 2; Se llama ilujo del vector A a través de la región D de la superficie S , a la integral de superficie (43)

.f A .N d a .

i>

Si «1, 02 j 03 son las componentes de A , o sea, es A = Oi I + + 02 J + Os K, según (36) el flujo se puede escribir en la forma (44) f Ol d y A d z + O2 d z A d x + a¡ d x A d y . D

' ■

Ejemplos: 1. C alcular el flujo del vector X = A fI + y J + í K a través de la esfera de radio a y centro en el origen de coordenadas. En este caso, como N = X / a , según (43) el flujo es simplemente e) área m ultiplicada por a , o sea, 4 JCa’ . 2. Sea A = q ’X . / r ' , siendo q una constante y r* = (at* + y* + 2*) . Se desea calcular el flujo de este vector a través de la esfera de centro en eJ origen y radio a . 154

2 0 . S u p e r fic ie s . I n t e g r a le s

d e S u p e r ítc b t

Siendo N = X / a , es A .N =: q {a r)"* y, p o r tanto, sobre la super ficie de la esfera dada, este producto escalar vale ? /a ’ , con lo cuaJ eJ flujo buscado resulta igual a {q/ a' ) 4 n o* = 4 n q .

EJER C IC IO S 1. Si la ecuación de un a superficie está dada en la form a F ( x , y , z ) = O, probar que los cosenos directores de la norm al son proporcionales a F, , P , , F, , 2. Probar que el elemento de área de la superficie F ( x , y , e) = 0 se expresa por la fórmula y / tV + t V + F .' aa = ---------------------------dx A dy F, en todos los puntos p ara los cuales sea F, Q. 3. Si Pí — a x l + b y i + c z K , con a , b , c constantes, probar que el flujo de A a través de la esfera de radio unidad y centro en el origen de coor4 denadas vale — n (a + b + c) . 3

4. Sea el vector ( q/ r' ) X , donde X = j t I + j ' J + « K y r es la dis tancia al origen. Probar que el flujo del mismo a través de u n círculo situado en un plano norm al al eje x y cuyo centro esté sobre este mismo eje, vale 2 J t 9 ( 1 — cos a ) , siendo a el ángulo que forma el eje x con cualquier recta que una el origen con un punto de la circunferencia del círculo dado. 5. C alcular el flujo del vector A = {q/ r ) X del ejemplo 2 del 2 0 .6 a través de un cubo de arista a y centro en el origen de coordenadas. Com probar que el resultado es el mismo que en el ejemplo citado. ¿P or qué? 6. Si X z= X ( u , v) , y =z y ( u , v) son las ecuaciones de una super ficie S , probar la fórmula / A dy A dz + B dz A dx + C dx A dv D

=

C (, 3(z,x) \ . . . I ( ^ ----------------1- B ---------------- h C ------------- ) = i u A do •¿ A 3{u,v)d(u,v) 3(u,0) /

íiendo Di el dominio de variación de « , o correspondiente a la región D de S . 7. Siendo A = y l — a t z J + / K , calcular la integral / A A N do extendida a la semiesfera x* + y* + z* — 1 = 0 , z ^ O . 8. C alcular el flujo del vector A = x z I — y’ J - f - x í K a través de la superficie lateral del cilindro X = R cos u , y = R sen u , z = v entre las alturas 0 = 0 , o = 3 . 9. Sea S u n a superficie cerrada que rodee el punto P y cp una fun ción de punto dada. L lam ando r al volumen encerrado por S dem ostrar que / cpNda

B

V

1 ™ ---------------

T -* 0

x

siempre que el límite exista y sea el mismo cualquiera que sea la forma de la superficie S que se supone tiende a reducirse al punto P .

155

F ó r m u l a s Integrales

21. TEO R EM A DE LA DIV ERG ENCIA. FORM U LAS D E GREEN 1. Teorema de la divergencia. Fórm ula integral de Gauss-Ostrogradski. Supongamos una superficie cerrada S que limita un volumen V del espacio y cumple las siguientes condiciones (fig. 68) : a) Toda recta paralela al eje z la corta en dos puntos, el superior y el infe-

rior z ¡ , o bien es tangente, pudiendo en este caso tener todo un seg mento contenido en S ; los puntos de contacto o los segmentos de es tas rectas contenidos en S forman la parte que llamaremos “lateral” de la superficie; b) Los puntos superiores e inferiores forman, respec tivamente, dos casquetes de superficie 5 i , ^2 de ecuaciones (1) zx = f i { x , y ) , Z2 = U { x , y ) siendo / i , fa funciones uniformes, definidas sobre la región Ra del plano X , y sobre la cual se proyecta S y que admiten derivadas par ciales continuas sobre esta región; c) Las mismas condiciones se cum plen para las paralelas a los ejes x e y . Con estas condiciones sea \ [ x , y , z) un campo de vectores de finidos en el volumen V y sobre la superficie S , cuyas componentes a , , «2 j «-Î tengan primeras derivadas parciales continuas en todo pun to. Consideremos la integral triple (2) extendida al volumen V , 156

^

dz

d x A d y A dz

21. T eorem a

D iv e r g e n c ia . F ó r m u l a s

de la

de

G reen

Para calcular esta integral, fijemos un elemento de área dx del plano x , y e integremos respecto de z . Resulta (3 )

a

dy

G3 = S [ a s { x , y , f i { x , y ) ) - a s ( x , y , U i ^ . y ) ] dx A dy . Bz

Consideraremos en cada punto Z i , z^ los versores normales N i , N 2 dirigidos siempre hacia el exterior del volumen V . El producto es calar N i.K (siendo K el versor fundamental dirigido según el eje z ) es igual al coseno del ángulo que forma N i con la parte positiva del eje 2 ; es, por tanto, positivo para toda la parte superior Sx. En cam bio, p ara la parte inferior el producto análogo N 2.K resulta ne gativo por ser dicho ángulo mayor de 90° . En consecuencia, considerando los elementos de área dox, ¿02 co rrespondientes a las partes 5 i , S 2 siempre positivos, según 20.33 será dx A d y = ( Ni - K) da para la parte Sx dx A dy = — (N 2.K ) doi para la parte S 2 , con lo cual (3) se puede escribir (4) G3 = / N i.K dax + / «3 N 2.K doa . Bi 8, Como sobre la parte lateral de S los vectores N y K son orto gonales y por tanto su producto escalar vale cero, en la últim a expre sión la integral se puede considerar extendida a toda la superficie S resultando dx A dy A d z = J ' «3 N .K áa .

G¡¡= J ' V

a

De m anera completamente análoga se obtiene Gx — J ' —

dx A dy

A

¿2 =

V

fli N . I d{J B

dx A dy A dz = J ' <12 N . J ¿a .

G2 = ^ V

s

Sumando estas tres integrales y teniendo en cuenta también que es A = Ol I +
J

f

r

(

\

dx

dy

dz

/

dx A dy A dz =

J

f

A .N da .

a

Poniendo, como es costumbre dx A dy A d z = elemento de volumen = dx y utilizando el simbolismo habitual para la divergencia de A , resulta la fórmula de Gauss-Ostrogradski: (6) J· V . A ¿ T = / A . N ¿ a . r

s

157

fó rm ulas

Integrales

Hemos supuesto que se trataba de una superficie 5 que sólo podía ser cortada en dos puntos por las rectas paralelas a los ejes coorde nados (salvo las rectas tangentes). El teorema sigue siendo válido para superficies mucho más generales. Basta que limiten un volumen V que se pueda descompoiier cn suma de otros cuyas superficies tengan la pro piedad anterior. En efecto, sumando los resultados para cada uno de los volúmenes parciales y sus superficies, las integrales correspondientes a las superficies añadidas (comunes a dos volúmenes parciales) se anulan entre sí, por ser en ellas las normales N iguales y de sentidos opuestos según se consideren pertenecientes a uno o al otro de los dos volúmenes adyacentes. Se tiene así el teorema general: T e o r e m a d e l a d i v e r g e n c l \ : Dado un cam po de vectores A ( x , y , z) cuyas componentes admiten primeras derivadas parciales conti nuas en un volumen V y sobre la superficie cerrada S que lo limita, si esta superficie está compuesta de un número finito de partes en cada punto de las cuales existe y varia con continuidad el versor normal N (es decir, existe plano tangente), vale la fórm ula integral (6) . Es decir: la integral de la divergencia de A sobre el volumen V es igual al flujo de A a través de S . Obsérvese que la fórmula (6 ) puede escribirse tam bién (7 ) / axdy h dz +
=

-J-

y dz A dx

z dx A dy .

t3 J/ a

2. El teorema de la divergencia para el plano. Quer-jmos ver qué forma toma la fórmula de Gauss-Ostrogradski para el (.aso de un do minio B del plano x , y limitado por una curva C / un campo vec torial A ( x , y) constituido también por vectores rontenidos en el mis mo plano. Consideremos primero un cilindro de base £> y altura infinitesimal A z . Suponiendo A ( x , y) definido también para todos los puntos de este cilindro (por simple traslación paralela al eje z ) podemos aplicar la fórmula (6) , observándose: a) sobre las bases del cilindro es A .N = O ; b) sobre la parte lateral, N es igual al versor normal a la curva C y el elemento de área da es igual al producto del elemento de arco ds de C por la altura Az ; c) en el primer miembro de (6) , el elemento de volumen es igual al elemento de área de D por la al tura A z . Por tanto, para O en ambos miembros de (6) aparece este 158

21. T eo rem a

de la

D iv e r g e n c ia . F ó r m u l a s

de

G reen

factor Ai corno factor común, por lo cual se puede suprimir y queda como fórmula de Gauss-Ostrogradski para el plano (8) / (fli* + «21/) dx A dy =■ í A .N ds . D

C

Esta fórmula expresa el teorema de la divergencia para el plano y su enunciado es completamente análogo al dado para el espacio, o sea, brevemente; la integral de la divergencia de un cam po de vectores A ( x , y) sobre un dominio plano D , es igual al flujo de A a través del contorno que limita D

Teniendo en cuenta las componentes del versor normal 19.21, (8) se escribe también .r (flií + «21,) dx A dy = / ( a y - a^x') ds D

O

O sea

(8 ) '

f ai dy — a s d x = a

f («i* + a^,) dx A dy .

h

En particular, para a^ = x , ü2 = y resulta que el área de D puede expresarse por la fórmula clásica X dy — y d x . a

La fórmula (8 ) ' seguirá siendo válida si se cambia en ambos miem bros el nombre de las funciones a-i, a^ \ en particular podemos sustituir fli por «2 y di por — C i. Con ello queda J («2* - a¡y) dx A d y = / a^dx + a^ dy

(8 )"

D

O

que es la comúnmente llamada fórmula de Green del plano. Ejemplo: P ara un a elipse, * = a cos (p , y = i> sen (p (O valor del área es

1

F = —

q) ^

2 n ) resulta que el

C a b (cos*(p -t- sen’ cp) ¿

2J 3. Consecuencias del teorem a de la divergencia. a) Nueva definición de divergencia. Apliquemos la fórmula (6) a u n vo lumen elemental A x que rodee el punto P y a su superficie A S . E n el prim er miembro queda V - A A t y por tanto se tiene J· A. Nd c J

¿ib

(9 )

div A = V - A = lim ----------------at->o At

E sta igualdad se puede tom ar como definición de la divergencia de A cn el punto P . Ella tiene la ventaja de ser intrínseca (es decir, independiente del sistema de coordenadas) y por tanto pone de manifiesto que div A es un invariante sin necesidad de comprobarlo directam ente como hicimos en el ap ar tado 1 4 . 159

fó rm ulas

I ntegrales

b) Aplicaciones físicas. El teorema de la divergencia perm ite repetir, ahora de m anera rigurosa, todo lo dicho en el apartado 14, acerca de las aplicaciones físicas del concepto de divergencia. L a ventaja está en que ahora ya no hay que tom ar el paralelepípedo ele mental de aristas A x y A y , A z que tomábamos en el entorno de P , sino que todo lo dicho vale p ara cualquier superficie que rodee a P (suficiente mente regular para que el teorema de la divergencia sea aplicable) y que limite un volumen V que luego se hace disminuir hasta reducirse al solo punto P . De esta m anera, el flujo a través de S del segundo miembro de (6) representa siempre la cantidad de fluido creado o consumido en V por unidad de tiem po; vale por tanto la ecuación de conservación 1 4 . ' 6 y todo lo dicho allí queda establecido rigurosamente. 4. Casos particulares de la fórm ula de Gauss. a) Poniendo en (6 ) A =
s

y si esta igualdad debe verificarse cualquiera que sea el vector constante debe ser

(10)

B,

/ V < P * = /(p N d a . V

B

Esta es una igualdad entre vectores, que condensa las tres igualdades análogas escritas con las componentes respectivas. E n particular, si (p = 1 , (11 )

/N d a

O Poniendo

=

O .

N = cos a I + cos P J + eos -y K , esta igualdad nos dice que / cos a da = / cos 3 d
B

g

es decir, que la proyección de una superficie cerrada que limite cierto volumen del espacio sobre los planos coordenados (y por tanto sobre cualquier otro pla no) es nula. Se entiende “proyección orientada” , de m anera que los elementos de área da cuya norm al forme un ángulo mayor de 90° con la norm al al plano de proyección, se proyectan con signo negativo. b) Poniendo en vez de A el producto vectorial A a B (con B un vectoi constante arbitrario) y teniendo en cuenta que V . ( A a B) = ( V A A ) . B , ( A a B).N = - ( A a N).B la fórmula de Gauss nos da (12) / ( V A A) d t = - / (A A N ) da

r

s

después de haber prescindido del factor B , lo que puede hacerse, como en el caso anterior, por tratarse de un vector constante cualquiera. Siendo V A A = rot A , la igualdad obtenida perm ite d ar p ara el rotor una definición análoga a la dada en (9 ) p ara la divergencia, a saber ^ ( A A N ) da (13)

r o tA = — l i m -----------------------

que tiene tam bién la ventaja de ser intrínseca, es decir, independiente del sis tem a de coordenadas. c)

160

Si en lugar de A en la ecuación (6 ) , ponem oi el vector

A’ B —

21. T e o r e m a d e l a D i v e r g e n c i a . F ó r m u l a s d e G r e e n — ( A B ) A , siendo B un vector constante arbitrario y aplicamos las fórmulas convenientes de 1 6 . 4 , resulta una identidad que si debe cumplirse p ara un vector B constante cualquiera, conduce a la fórmula integral J '^ A

ArotA -

A(V.A)^

(t

f

~

V

'

a

5. Fórmulas de Green. Sean (f { x , y , z) y ( x , y , z) dos fun ciones escalares que adm itan derivadas parciales continuas hasta el se gundo orden en un volumen V y sobre la superficie S que lo limita. Supongamos que S cumple las condiciones de regularidad enunciadas en el teorema de la divergencia. Recordemos que, según 1 6 .1 5 , es (14)

V.(ti> V ( p ) = ViJ). Vqp . Por otra parte, la derivada direccional de cp según la dirección del versor normal N , según la definición 4 del apartado 13 es (.5 ,

^

=

Apliquemos ahora la fórmula de Gauss-Ostrogradski al vector ij) V Cp . Queda

Acp

J ' x¡>

(16)

íÍT + J ' V ’*i>. V cp át =

V

r

J'x j)

da

8

que es la llamada primera fórmula de Green. Intercambiando las funciones ij), cp y restando miembro a miembro, resulta

j

(17)

(ijjAcp - qpAoij) ¿t =

y

j

- fp

da

8

que es la im portante segunda fórm ula de Green. Si en (18)

(16)

se sustituye '<1) por la misma cp, queda

JA
y si en (19)

(16) ó (17)

Vcp-V'pát

=/

V

a

se hace ^ = 1 , resulta f A ^ d r = f ^ d o

V

s

que constituyen dos casos particulares interesantes de las fórmulas de Green.

6. La ecuación de Laplace. Funciones armónicas. Tercera fórmu la de Green. Se llama ecuación de L ap lace a la ecuación en derivadas parciales de segundo orden 1 61

fó rm ulas

Integrales

(2 0)

A(p = O ,

donde el primer miembro es el laplaciano de la función incógnita cp. La forma de este laplaciano depende, como vimos en el apartado 17 , del sistema de coordenadas utilizado. D e f . 1; U na función cp (x , y , z) se dice que es armónica en un dominio cuando en todos los puntos del mismo admite segundas deri vadas parciales continuas, las cuales satisfacen a la ecuación de Laplace A(p = O . El ejemplo más simple e importante de función armónica en el espacio de tres dimensiones es el siguiente; sea P [ a , b , c) un punto fijo y X [ x , y , z) un punto variable, cuya distancia al punto P será r = V (;< - a ) “ + (y - b y + (z - c y . La función (21)

(p = i r es una función armónica en todo el espacio (con el punto P como único punto singular), es decir A ( l/r ) = 0 . Para comprobarlo se puede hacer el cálculo en coordenadas cartesianas, poro es mucho más simple utilizar coordenadas esféricas de origen en el punto P , en cuyo caso la comprobación de que la función cp = 1/ r satisface la ecuación (20) es inm ediata* (basta utilizar las fórmulas de 17. 7). Consideremos ahora un dominio o volumen V limitado por una superficie cerrada S que cumpla las condiciones de regularidad exigidas para que sea válido el teorema de la divergencia. Vale entonces la se gunda fórmula de Green (17), la cual vamos a aplicar al caso de ser = 1 / r , donde r tiene el mismo significado anterior y P lo supone mos interior a V . Para evitar el punto singular P (para el cual es r = O, aj) = <») , excluiremos de V el volumen de una esfera de radio e y centro P ; sea V' el volumen resultante y 2 la superficie de la esfera. La fór mula (17) se escribe en este caso

F'

fi

J

\r

dN

^ dN

rj

2

Para la integral sobre 2 del segundo miembro observemos: a) el módulo I d (p /d N ¡ es acotado en P , pues suponemos, desde el mo* En el plano> la definición de función arm ónica t s la misma anterior, pero el ejem· pío dado ya no sirve. U n ejemplo im portante de función arm ónica en el plano es 9 = lo g f!. tiendo r , como antes, la disUncia del pun to variable ^ ( x , y) al p un to fijo P ( a , b) del mismo plano. H ágase la comprobación como ejercicio.

162

21. T eorem a

D i v e r g e n c ia . F ó r m u l a s

de l a

de

G reen

iHcnto que aplicamos la fórmula de Green, que (p y sus derivadas par ciales primeras y segundas son continuas en F ; fe) es ^ ( L )

f ^ ± ' ) \

á N

r

/ r = e

\

= 1 / r = e

e"

con signo -f por el hecho de que la normal, que se considera siempre hacia el exterior del volumen sobre el cual se integra, va dirigida hacia el interior de la esfera de centro P y radio e . Por tanto queda

2

indicando con cp (P) el valor (p ( a , b , c) que toma cp en el punto P . Con esto, (22) nos da, al pasar al límite para e O, incp(P)

(23)

dx +

8

identidad notable llamada tercera fórmula de Green. Si cp es armónica queda (24) a

relación importante que permite calcular el valor de una función armó nica en el interior de un volumen V limitado por una superficie ce rrada S , conocidos sus valores y los de su derivada según la normal sobre S . Obsérvese que (24) vale solamente bajo la hipótesis de que cp sea armónica. Si en el segundo miembro se dan para cp y su derivada nor mal valores arbitrarios sobre S , el resultado

(25)

Acp = —4 jto

siendo Q (23) da (2 6 )

y , z) una función acotada y continua en todo el espacio,

9 (^ ) =

J

f — dx + - ^ f í — r 4k J \ r

dN

-

cf

¿ N r /

da .

V a Tomando por S una esfera cuyo radio tienda a infinito, de ma163

fó rm ulas

In t eg r a le s

nera que el volumen V se extienda a todo el espacio, y suponiendo que para valores grandes de r la función (p sea del orden de 1/r y el módulo de su gradiente j V,9 | del orden de 1/ r ^ , la integral de su perficie en (26) desaparece, quedando (27)

(p (P) = J ' y dx

donde la integración está extendida a todo el espacio. Naturalmente que si es O O únicamente en cierto volumen V , la integral puede considerarse extendida a F . La integral del segundo miembro de (27) se llama entonces potencial newtoniano del volumen V cubierto con masa de densidad Q. Por consiguiente: toda función q) que satisfaga a la ecuación de Poisson (25) y para r -> oo tienda a cero con el mismo orden infini tesimal que 1 /r y I Vtp I con el orden de l / r ^, está dada por la in tegral (27) . Aunque no vamos a demostrarla aquí, es válida también la propiedad recíproca siguiente: si Q { x , y , z) es una función acota da que admite primeras derivadas parciales continuas en todo el espacio, la integral (27) define una función (p que posee derivadas parciales de segundo orden, las cuales satisfacen a la ecuación de Poisson (25)*. Si hay puntos singulares para O, o sea, puntos en los cuales se ha ga o = 00 , todavía puede aplicarse (27) rodeando cada punto sin gular por una pequeña esfera cuyo radio se hace luego tender a cero. Supongamos que Ai sea un punto singular. Consideremos una pequeña esfera de volumen A t y centro Ai Si para A t O es lim(í? A t) = qi , la contribución del punto singular Ai a la integral del segundo miem bro de (27) será q i / u , siendo rj = | PAi \. La constante qi es una característica del punto singular. Si hay más puntos singulares A 2 , A ¡ , . . . , Am cuyas características sean q^, qz , . . . , qm la misma operación nos dice que la fórmula (27) debe sustituirse por (28) 1 donde la integral está extendida a todo el espacio, excluidos los puntos singulares, cuya contribución está contenida en la suma del segundo miembro. 7. Aplicaciones de las fórmulas de Green. Las principales aplicaciones, además de las que acabamos de ver, de las fórmulas de Green, se refieren a cuestiones de unicidad. Vamos a d ar algunos ejemplos interesantes. a) Dado un dominio V limitado por una superficie S , no puede haber más de una función armónica en V que tome valores dados sobre S . Es decir, si (p, ip satisfacen a la ecuación de Laplace en el interior del * En realidad no es necesario que O adm ita prim eras derivadas parciales continuas; bastan condiciones menos restrictivas. V er p or ejemplo, O . D . K eixoo, Foundations of Fotential Theory, Londres, J . M urray, 1929, pág. 156.

164

21. T eo rem a

de l a

D i v e r g e n c ia . F ó r m u l a s

de

G reen

voiumen V y tom an los mismos valores (p = ■H» sobre la superficie S que lo limita, ambas son idénticas. E n efecto, aplicando (18) a la función 6 = cp — il) resulta (29) J ( V e ) ’ dT = 0 r

lo cual implica V ® = O en V (puesto que 0 es continua, asi como sus p ri meras derivadas parciales). Por tanto O = c te ., cp = -1-cte. y si (p , '<1) to man los mismos valores sobre S , la constante debe ser cero y cp = ij). D em ostrada la unicidad, queda el problem a de la existencia y determ i nación de una función que cum pla las condiciones del enunciado. Éste es un problema mucho más difícil, llamado problema de D irichlet, que se resuelve por la afirm ativa en condiciones muy amplias de V y S . b) Dado un dominio V limitado por una superficie S , dos funciones armónicas en el dominio cuyas derivadas normales sobre S tengan los mismos valores, difieren en una constante. En efecto, si hubiera dos funciones (p, '>t> que cum plieran las condicio nes dichas, poniendo 0 = t p — rp sería A 0 = O en V y d 0 /d N = 0 en S . Aplicando la fórmula (18) resultaría la misma ecuación (29) y p o r tanto de bería ser V O = O , 0 = cte. E n consecuencia cp = il» cte. c) S i cp es una función armónica en un dominio V , su valor en un punto P , es igual a la media aritmética de los valores de cp sobre cualquier superficie esférica de centro P contenida en V . P ara demostrarlo, observemos que aplicando (16) al caso de ser A
ip = 1 , resulta (30) J

f

— da = 0 . dN

n

Apliquemos luego la fórm ula (24) al caso de la esfera de centro P y radio r . Teniendo en cuenta (30) resulta (31)

)

= _ J _

T

q, ¿ o

s

lo cual prueba el teorema, pues el segundo miembro es, por definición, la media aritm ética de los valores de cp sobre la superficie S de la esfera de radio r y centro P . U n a consecuencia inm ediata de este teorema es que una función armónica cn un dominio, incluido el contorno, sólo puede tom ar sus valores máximo y mínimo en el contorno.

EJER C IC IO S 1. Aplicando la fórm ula de Gauss, hallar el flujo del vector A = 3 — 2 y J + 5 z K a través de una esfera cualquiera de radio 2 . 2. Probar la fórm ula integral S ( A . V *P +

a:

1—

3. Probar que si (p es arm ónica, el flujo de cp Vcp a través de una su perficie S es igual a la integral de ( V ·? ) * extendida al volumen V limitado por S (aplicar la fórm ula del ejercicio anterior). 4. Probar que sobre cualquier superficie S que lim ita un volumen V se verifica

If55

fó rm ulas

Integrales

J

(*> + /

+ í·) d t = y

V

| · (*· + /

+ z>) X .N d o

B

5. D em ostrar que el volumen V lim itado p o r una superficie cerrada S puede expresarse por la fórm ula 3 V = f [x {y, z , — y , z . ) + y ( z , x , — z , x . ) + >. y..', y. — du A do . s

6. T om ando (9 ) como definición de d iv A , supuesto por tanto que el límite del segundo miembro existe y es el mismo p a ra cualquier form a de A S , dem ostrar que en coordenadas cartesianas ortogonales la form a explícita de la divergencia e» la dada en el apartado 14 . 7. Tom ando (13) como definición de r o t A , deducir las componentes del rotor en coordenadas cartesianas ortogonales. 8. Buscar la condición que deben cum plir las constantes a , b , c p a ra que el flujo del vector de componentes (a a; sen y eos z , 6 eos y eos z , e sen y sen z) sea nulo a través de la superficie de la esfera de centro en el origen y radio unidad. 9. D em ostrar que el volumen lim itado por un cono de vértice en el origen de coordenadas y un a superficie S , es igual a im tercio del flujo del vector posición X a través de S . 10. Probar que q> = x y / { x ' + y* + z* )'^ satisface a la ecuación de Laplace. 11. C alcular el flujo del vector (z* — «’ ) K a través del cubo limitado por los planos x = O, x = 1 ; y = 0 , y 1 ; z = 0 , z = 1 . H acer p ri mero el cálculo directo y luego aplicando la fórm ula de Gauss. 12. C alcular, prim ero directam ente y luego aplicando el teorem a de la di vergencia, el flujo del vector 5 K a través de la superficie lim itada por el plano 1 = 0 y la semiesfcra *’ + y’ -l-z ’ = i í ’ , z > 0 . 13. Buscar la forma que tom a la fórm ula (31) p ara el caso del plano.

22. TEO R EM A DEL R O T O R 1. Teorem a del rotor. Fórm ula de Stokes. Consideremos una cur va cerrada F del espacio compuesta de un número finito de arcos con tangente continua en cada punto y que sea el contorno de un casquete S de superficie. Decir que S es un “casquete” de superficie significa que puede representarse por ecuaciones paramétricas (1) x = x{u,v) , y= y{u,v) , z = z { u , v) tales que constituyan una representación biunivoca de S sobre cierto dominio D del plano u , v limitado por un solo contorno C . Supon dremos, además, que las funciones x {u , v) , y (u , v) . z {u , v) ad m itan derivadas parciales continuas hasta el segundo orden en los pun tos de D y C . Sea, por otra parte, (2) A (x , y , z) = «1 I + «2 J + fl3 K un campo de vectores cuyas componentes ai ( x , y , z) admitan prime ras derivadas parciales continuas sobre 5 y F . Consideremos la integral curvilínea (circulación de A a lo largo de 1’ ) , 166

22. T eorem a

del

R oto r

/ = X A .T ¿ í = J fli rfx + dy + Ü3 dz . r r Para calcular esta integral, teniendo en cuenta que la curva F es cl contorno de 5 y por tanto que en la representación ( 1) corresponde a la cui-va C del plano u , v , tenemos J —S + «2 y« + Û3^«) du + (fliATtî + + OzZv) dv . (3)

O

Aplicando a esta integral la fórmula de Green (21.8") queda (4) I = S [ («1^» + a^yv + 0 3 Zv)u — (aiXu + a^y» + a¡z„)^] du A dv

Los términos del integrando en los que figura ai y sus derivadas parciales son (®lû)u (<5íl^«)l> ~ — («IIÛ "I" "I" Olíû) Xv — {a^xXv + a,I/y» + fliz«») Xu = flii, {VuXv ~ yvX u) + a i* [zuXv ~ ZvXu)

o bien, según 20.11 , (a,- cos P — a,!, cos y) y /E G — P habiendo llamado cos a , cos P , cos y a los cosenos directores de la nor mal N a la superficie S , o sea, siendo N = cos a I -I- cos p J -I- cos y K . Si procedemos análogamente con los términos que contienen , a, y sus derivadas parciales y sustituimos cn (4) resulta (5) í = S [ («3!/ - «2í) eos a 4- (fli* — a-jx) cos P + + (a^x — ÛI1,) cos y ] y /E G —

du A dv

167

fó rm ulas

I ktecrales

es decir, según las definiciones de flujo y rot A el segundo miembro no es otra cosa que el flujo del rot A a través de S . Recordando la expresión 20.34 del elemento de área de una su perficie, resulta la siguiente fórmula de Stokes (6) / A .T * = J r o t A . N í f a . r s Hemos supuesto que las funciones ( 1) que expresan las ecuaciones paramétricas de S admitían segundas derivadas parciales continuas ; ello h a sido necesario en la demostración anterior para poder utilizar el teo rema de la igualdad de las derivadas segundas cruzadas, es decir, ûv — 5 yuv — yvu } Zuo = . El teorema sigue siendo válido si S es una superficie tal que se pueda descomponer en un número finito de casquetes S\ con dichas propiedades, cada uno limitado por una curva cerrada P { con las mis mas propiedades supuesfas para F . Sólo hay que suponer, además, que orientando los contornos F{ de cada casquete parcial de manera que el sentido de recorrido los deje a su izquierda, cada arco de F i per teneciente a dos casquetes aparezca con orientaciones opuestas según se considere como contorno de uno u otro de ellos. Cuando esto es posible, la superficie S se llama orientable·, en caso contrario, no orientable.

En efecto, si esta descomposición es posible, basta escribir la fór mula (6) para cada casquete parcial y sumar miembro a miembro. Con ello, en el primer miembro desaparecen las integrales correspon dientes a los contornos añadidos, pues en ellos aparece T con sentidos opuestos, y en cambio los integrandos del segundo miembro se suman todos, dando la integral de superficie sobre toda la S . La fórmula de Stokes constituye el siguiente: T eorema del rotor : Sea dada en el espacio una curva cerrada F compuesta de un número finito de arcos con tangente continua y una superficie orientable S cuyo contorno sea F y que pueda descomponerse en un número finito de r'^quetes re presentables por ecuaciones paramétricas de la form a (1; cuyos segundos m iem bros adm itan derivadas parciales continuas hasta el segundo orden. Si A. {x , y , z) es un cam po de vectores cuyas com ponentes ai [ x , y , z) adm iten derivadas par ciales continuas de prim er orden sobre 5 y F , entonces vale la fór mula (6) , o sea: la circulación de A a lo largo de F es igual al flujo de rot A a través de S . L a condición de que las funciones de los segundos miembros de (1 ) ad m itan derivadas parciales continuas hasta el segundo orden no es necesaria. L a hemos utilizado por com odidad de dem ostración, pero el teorem a nuede establecerse con sólo suponer la existencia y continuidad de las primeras deri vadas parciales. Obsérvese que la fórm ula (5 ) ó (6 ) puede escribirse tam bién (utilizando 2 0 .3 3 y 2 0 .3 5 ): 168

22. T eorem a

(7)

del

R otor

f a , d x + a ,d y -f-a,dz =

J .( a s . — ai») dx A dy + (a„ — a u ) d z A dx +

V

s

+ (fl)» — a„) dy A dz expresión desarrollada que a veces es útil. E je m p lo :

Si r es una curva cerrada del plano x,y y consideramos como super ficie 5 el dominio plano que la misma encierra, tomando A = — la fórmula de Stokes da .f ( - y I + * J ) (^' I + / 3)ds = 2 ,f dx A dy

B

r

y como el segundo miembro es igual a F = -ij'

2 r

2 F , F = área de

S , resulta

X dy — y dx, como ya obtuvimos en 21. 2.

2. Casos particulares de la fórmula de Stokes. La fórmula de Stokes (6) , que puede escribirse (8)

/ A .T

áí = / ( V

r

A A ).N ¿a

s

contiene ciertos casos particulares interesantes, a saber: a) Poniendo A = cp B , donde B es un vector cualquiera cons tante (por tanto V ^ B = 0) y q) una función escalar, resulta en am bos miembros un producto escalar con B como uno de los factores (basta aplicar para el segundo miembro la fórmula 16.17 y obser var que por tratarse de un producto mixto es ( V q ) ^ B ) .N = = — ( Vcp A N ) .B) . Si estos productos deben ser iguales cualquiera que sea B , deben ser iguales los segundos factores, resultando (9)

f q)T áí =

r

-

J

8

(V q) A N ) áa

.

b) Poniendo en vez de A el producto vectorial A a B , B con el mismo significado anterior, resulta en el primer miembro la integral de (A B T ) ¿ í = (T a A) .B ¿ í y en el segundo (según 16.23 y pues to que B es constante) aparece el producto fV A (A A B )] N = [ ( B .V ) A - B ( V .A ) ] .N que puede escribirse B .[ V a (A .N ) - ( V .A ) N ] . Igualando los dos miembros y teniendo en cuenta que si la igual dad debe verificarse para cualquier B este factor puede suprimirse, queda

(10)

S ( T A A) ds = S [V a (A .N ) - ( V .A ) N ] d a .

r

8

q u e p u e d e e s c rib irs e ta m b ié n , m ás s im p le m e n te , (1 0 )'

/ A ArfX = - j · (N T

A

V ) a A Jo .

s 169

fó rm ulas

I ntegrales

3. Líneas y tubos de torbellino. Dado un campo de vectores A , a partir del mismo se puede definir el nuevo campo (11) U = ro tA llamado cam po de torbellinos o cam po de rotores del campo A . El vec tor U es el vector torbellino * . Las líneas que en cada punto tienen por tangente el vector torbe llino U se llaman líneas de torbellino (apartado 15). Supongamos una curva cerrada F (que pueda ser contorno de un casc uete de superficie, es decir, que no forme nudo) y consideremos todas las líneas de torbellino que pasan por sus puntos. Se tiene así un tubo de torbellino. La circulación de A a lo largo de cualquier curva cerrada contenida en la superficie de un tubo de torbellino y que limite un cas quete de la misma superficie es siempre nula, puesto que por el teorema de Stokes equivale al flujo del vector U a través de la superficie de

torbellino limitada por la curva, el cual es nulo por ser U tangente a la superficie en cada punto. Veamos ahora qué pasa cuando la curva rodea el tubo de torbellino. Sean F j , F j dos curvas que rodean el tubo de torbellino (fig. 70) Podemos hacer con ellas una sola curva haciendo los cortes P , Q. y P' Q' y uniendo, mediante líneas de torbellino del tubo, P con P' y Q con Q ' . La circulación de A a lo largo de la curva total P P ’R 'Q 'Q R P es nula por lo dicho antes. Cuando Q ,, Q' se confundan con P , P' respectivamente, la contribución a la circulación de los arcos PP' y QQ' será nula, por estar recorridos en sentidos opuestos, quedando sola* Es muy frecuente definir el vector torbellino por empeña ningún papel esencial.

170

rot A , pero el factor Y t no des

22. T eorem a

del

R otor

mente las circulaciones a lo largo de F i y F 2 tomadas también en sen tidos opuestos. Si la suma de estas circulaciones es nula, quiere decir que, al tomarlas con el mismo sentido, son iguales. Por tanto: T eor . 1: L a circulación del vector A es la misma para todas las curvas que rodean, una sola vez, un mismo tubo de torbellino. Si el tubo de torbellino es muy estrecho se llama hilo de torbellino.

La circulación para una sección normal, suponiéndola suficientemente pequeña para que sobre ella el vector torbellino U pueda considerarse constante, valdrá y = j U | a (según el teorema de Stokes y siendo o el área de esta sección normal) y, por tanto, si no es nula debe ser I U I O . De aquí y del teorema anterior se deduce: T eor . 2: L os hilos de torbellino no pueden em pezar ni terminar dentro d el flu id o; o se extienden desde y hasta el infinito, o empiezan y terminan en el contorno de la región considerada, o bien son hilos cerrados.

En efecto, si terminase, significaría que en sus extremos sería U = O y por tanto y = O, lo cual contradice el teor. 1 si en alguna sección fuera Lo mismo vale, como caso límite, para las líneas de torbellino. 4. Superficies orientables y no orientables. En el enunciado del teorema del rotor aparece el concepto de superficie orientable que hemos definido un poco rápidamente. Vamos a dar algunos ejemplos aclaratorios. Para saber si una superficie S es o no orientable, se subdivide de manera arbitraria en casquetes o celdas St , cada una de las cuales sea equivalente.

por deformación continua y biunívoca, a un polígono del plano de un número finito de lados. Se empieza entonces por orientar el contorno de una de estas celdas, supongamos S,, con una orientación arbitraria y se prosigue orientando las celdas adyacentes según el criterio de que las aristas comunes deben tener orientaciones opuestas en las dos celdas a que pertenecen. Si de acuerdo con este criterio es posible orientar todas las celdas sin que aparezca contradicción y si, además, la orientación del contorno de S (si existe, o sea si la superficie es 171

fó r m u la s

Integrales

orientable,

noorientable. S

abierta) es siempre la misma para todas las aristas que lo constituyen, la su perficie es y en caso contrario En topología se demuestra que esta característica no depende de la m anera como se haya hecho la subdivisión de en celdas. Por ejemplo, u n casquete de esfera cuyo contorno sea el circulo F (fig. 72) es orientable, como se ve en la figura al subdividirlo en + 5» + y considerar las orientaciones indicadas.

Si

F ig u r a 72

biláteras,

Se demuestra que las superficies orientables coinciden con las llamadas es decir, con aquellas en las que se distinguen dos lados o caras, no siendo posible pasar de uno a otro lado más que a través del contorno si se trata de una superficie abierta. E n el ejemplo anterior, por ejemplo, la parte convexa superior es un lado o cara, separado por el contorno de la parte cóncava interior. L a esfera completa es un ejemplo de superficie cerrada, orientable o bilátera. Q ue es orientable se puede ver dibujando sobre ella un a descomposición en celdas, pero es más fácil com prender su carácter de bilátera. En efecto, la

parte externa constituye uno de sus lados o caras y la interna (o sea la super ficie vista desde adentro) es el otro lado. El ejemplo típico de superficie no orientable abierta es la llam ada banda de Möbius. Se obtiene tom ando u na tira rectangular y uniendo los lados me nores entre si, pero en sentidos opuestos (fig. 73 ). Es una superficie abierta 172

22.

SAjBS

T

eorem a

AB ABeaSi uniláteras,

del

R

otor

cuyo contorno es la suma de los lados mayores -(- •B-'l ·Descomponiéndola cn los triángulos y 2 y orientando ambos de la m anera dicha, se encuen tra que la arista tiene la orientación y la misma cn luego la superficie no es orientable. Todas las superficies no orientables son es decir, tienen un solo lado o cara. E n el caso del anillo o banda de Möbius es fácil com probar que, efectivamente, coloreándolo a p artir de un punto hasta donde se pueda sin atravesar el contorno, se term ina por colorear todo el anillo sin que quede nada por pintar. El teorema de Stokes no vale para superficies no orientables, ni tampoco el tearema de Gauss, pues siempre que se hable de “flujo” se necesita tener una

Si;

A— >B

orientación determ inada para el versor normal, cosa que no es posible para las superficies no orientables o uniláteras. Como superficie cerrada no orientable, el ejemplo más simple es la “bote lla de K lein” representada en la figura 74. L a superficie se penetra a sí misma y tiene la propiedad de que, aun siendo cerrada, no divide al espacio en dos regiones separadas. Es la superficie que se obtiene uniendo las dos bases de un cilindro circular de m anera invertida; la unión no puede hacerse sin que la su perficie se penetre a sí misma. 5. Diferenciación exterioT de formas diferenciales. Hemos visto en 20.3 la definición de producto exterior entre formas diferenciales. Vamos ahora a definir otra operación im portante: la de formas diferen ciales. Nos limitaremos a los casos de formas de primero y segundo grado, que son las únicas que aparecen en los espacios de dos y tres dimensiones. U n a forma diferencial de prim er grado (o forma de Pfaff) en las variables es una expresión de la forma

diferenciaciónexterior

X,y,z ( 12)

=üidx aidy O ldz. x,y,z

U n a forma diferencial de segundo grado en las variables expresión de la forma

es una

173

fó r m u la s

Integrales

= z h ++ + \

(13)

(o'’> Oi d y d z Oí d z h d x a, d x dy . En losdos casos, las
a>.

+ +

,

+

.

donde la prim era integral está extendida al contorno D * del dominio D Si D es u n a superficie S el contorno D * es u na curva F y resulta la fórmula de Stokes. Si D es un volumen V el contorno D * es la superficie S que lo limita y resulta la fórmula de Gauss. L a im portancia de (18) es que vale para cualquier núm ero de dimen siones. Se llam a fórmula de Stokes generalizada. Por ejemplo, para el plano, donde sólo cabe la posibilidad de ser m = a, d x a, d y la fórm ula (18) da

,

/ a ,d x o

,

a ,d y

S { a „ — a i ,) d x A d y D

donde D es un área plana (simplemente conexa) y C su contorno. Resulta así la fórmula de Green para el plano (2 1 .8 " ) .

EJER C IC IO S

.

1. Sea r una curva cerrada plana del espacio que limite un a región plana S de área F y sea P un punto interior a S Suponiendo que F se hace tender a cero, de m anera que F tienda a reducirse al punto P , demostrar que si A es un campo vectorial definido en una región que contiene S , la componente de rot A según la normal a. S en P vale

r-ôp

( r o t A ) , = lim — f A .T a 'í . T 2. Aplicando la fórmula de Stokes calcular la circulación del vector y I - { - 2 A r J — K a lo largo del círculo 3 = 0 , z = l . 3. Sea A = — J + K .. C alcular el flujo de rot A a través de la semiesfera — 1 = 0, z ^ O . 4. Calcular la circulación del vector ( S x ^ y — 3 z + e’ s e n z ) I -(- aí’J -f- (e* cosz — 3 íí) K a lo largo de la curva * = eos t , y = sen t , z = eos í

x^+y‘yz‘i+x

5.

(0 ^ tr^ 2 n ).

Siendo A un vector constante y X el vector posición, probar que la circulación de A A X a lo largo de una curva cerrada F es igual a dos veces el flujo de A a través de un casquete de superficie limitado por F . 6. Probar que la circulación del vector posición X a lo largo de cual quier curva cerrada es nula.

174

23. Ca m p o s

de

G r a d ie n t e s

y

de

R otores

7. Si un vector es norm al a u n a superficie en cada punto, probar que su rotor, o bien es nulo, o bien es tangente a la superficie. D a r u n ejemplo de cflda caso. 8. Siendo X el vector posición y =: x* + ^ , probar que la cirrulación de X r'* a lo largo de cualquier curva cerrada es nula. 9. Probar que cualquiera que sea el vector A el flujo de ro tA a través de cualquier superficie cerrada orientable es nulo. 10. Sea un área plana del espacio lim itada por una curva C y sean X, ( i , V los cosenos directores de la norm al al plano que la contiene. Probar i)uc el valor del área se puede expresar por

^

— yy) dx +

(’t* —

\ z ) d y + (Xy —

iix) dz .

11. Probar que si la integral de A A d X a lo largo de cualquier curva cerrada de u n dominio dado es nula, es A = constante. 12. Probar que si ro tA = 0 , vale la fórm ula

/ (pA.Tdí/-T J· (AN V
a

donde C es el contorno de la superficie S ,

23. CAM POS DE GRADIENTES Y DE R O TO R ES 1. Definiciones. D e f . 1 : Se dice que un campo de vectores V es un c a m p o de g r a d ie n te s cuando existe una función de punto cp, tal que

( 1)

V = grad cp . La función qp se llama entonces un p o te n c ia l escalar y se dice que el vector V deriva del potencial cp. D e f . 2: Se dice que un campo de vectores U es un c a m p o d e rotores cuando existe un campo de vectores A , tal que (2) U = rot A . El vector A se llama p o te n c ia l v e c to r de U . 2. Campos de gradientes. Si V es un campo de gradientes, se gún la relación rot grad qp = O es (3) rot V = O . U n campo de vectores con esta propiedad de tener el rotor nulo en todo punto se llama irro ta cio n a l. Por tanto T e o r . 1: T o d o c a m p o d e g r a d ie n te s es irro ta cio na l.

Un poco más complicado, pero muy importante, es el t;orem a re cíproco. Para su validez hay que imponer la condición de que el campo de vectores esté definido sobre un dominio s i m p l e m e n t e c o n e x o del es pacio. Un dominio D se llama simplemente conexo cuando cualquiei curva cerrada contenida en él es el contorno de un casquete de super ficie totalmente contenido en el recinto. Como el contorno de un cas 175

fó rm u la s

Integrales

quete de superficie puede deformarse de m anera continua sobre el cas quete, hasta reducirse a un punto, suele también decirse que un dominio es simplemente conexo cuando cualquier curva cerrada contenida en él puede reducirse a un punto por deformación continua dentro del recinto. Por ejemplo, el interior de una superficie esférica, o de cualquier superficie deducida de ella por una deformación continua, es un dominio simplemente conexo. También lo es el espacio comprendido entre dos esferas concéntricas. En cambio no lo es el espacio interior a un toro, pues una curva cerrada como la c de la figura 75, no puede reducirse a un punto por deformación continua dentro del toro. Sentada esta definición, pasemos a demostrar el T eor . 2: T o d o cam po irrotacional de vectores V , cuyas com po nentes Vi { x , y , z) admitan primeras derivadas parciales continuas en un dominio sim plemente conexo D del espacio, es un cam po de gra dientes en D .

En efecto, consideremos una curva cerrada cualquiera F contenida en D . Por la supuesta simple conectividad de D , esta curva es el

F ig u r a

75

contorno de un casquete de superficie S contenido en D . Siendo rot V = O, el teorema de Stokes aplicado a S y a su contorno F nos dice que la circulación de V a lo largo de F es nula. En consecuen cia, según el teor. 1 de 1 9 .5 , V es un campo de gradientes, como se quería demostrar. Si interesa construir efectivamente la función cp cuyo gradiente es V , como vimos en 19.5 basta tom ar la integral curvilínea de la expre sión Vi dx Vidy + V3 dz desde un punto fijo (x^ ,y x,z-¡) hasta un punto variable P {x , y , z) . Esta integral es independiente del camino, y por tanto, tornando una quebrada de lados paralelos a los ejes con tenida en ¿) (lo cual siempre es posible tomando Py suficientemente liróxinio a P ) , resulta 176

!? O

23. C a m p o s

a,

de

G r a d ie n t e s

V

( I)

y

de

R otores

B

dy + í v¡ (xj, >’i, z) dz

(X, y, z) <¿x + / Va (Xi, y,

^1 =^1 Si so cambia el punto Pi la función cp varía en una constante; es tlt'í ir, está definida salvo una constante aditiva. Se puede, como ejercicio, com probar nuevam ente que la función q) cumple rfiTlivamente las condiciones
,

q), =

y,

,

cp. =

.

En efecto, por la continuidad supuesta de las primeras derivadas parciales ilr lili componentes vt , es lícito derivar bajo el signo integral en (4 ) , re· lullanclo

X

(J). =

r, ( * , y , z)

,

cp, =

J

i,., ( x , y , z ) á.* +

I,, ( * 1 , y , z ) ,

ti (I lilcii, puesto que según (3 ) se verifica Vx,

—

y j,

=

O

,

D i,

—

=

O

,

ÜM

—

K i,

=

O

iraiilta X

CP, = J· Vu {x , y , z) d x + V2 { x i , y , z) =z vi ( x , y , z) *1

y nnálogamente *

V

fp. = S v„ ( x , y , z) dx + S *1 Vi

{ x i, y , z) dy + v, ( x i , y i , z)

= / ‘V s jx ,y ,z ) d x + jv ¡^ (x ^ ,y .z)d y + v^(,x^,y^,z)=vs(x,,z),y lo que com prueba que V

es el gradiente de cp.

Ejemplos: 1. El cam po V = (2 * - f z) I — e ' J + at K es irrotacional. H allar la función potencial de la cual deriva. A plicando (4 ) , en la que se puede tom ar p or simplicidad x, y, = = Zl = O , resulta q) = A:* — e’ x z + cte. 2.D em ostrar que si un cam po vectorial está formado por vectores perpttndiculares a un mismo plano cuyo m ódulo essolamente función de la disliiticia al plano, es un cam po de gradientes. T om ando un sistema de ejes coordenados tal que el plano x , y sea el dado, el cam po vectorial resulta V = f{ z ) K y p o r tanto es irrotacional. 3. D ado el cam po V = s e n í ; I + y z J + TOK, h allar m con la con dición de que sea un cam po de gradientes. Como rot V = (,m, — y) I — m , J , p ara que sea irrotacional debe ser viu — y = 0 , m , = 0 y por tanto m = -1- /(z ) , siendo / u n a función arbitraria.

3. Campos de rotores. Sea U un campo de rotores. Según 16.20 se verifica (5) divU=0. Los campos de vectores que cumplen esta condición de tener su divergencia nula se llaman solenoidales. Por tanto; T eor . 3: T o d o cam po d e rotores es solenoidal.

Vale también el teorema recíproco, a saber; 177

fó rm ulas

In t eg r a l e s

T e o r . 4 : Si U es un cam po de vectores solenoidat, cuyas com p o nentes Ui { x , y , z) admiten primeras derivadas parciales continuas en un dominio D lim itado por un paralelepípedo de lados paralelos a los ejes (qu e p u ed e ser todo el espacio), existe en este dominio un cam po de vectores A tal que

(6)

U = rot A .

L a solución A está determ inada salvo el gradiente de una función arbitraria qp.

El teorema vale para dominios más generales, pero la demostra ción es más complicada (ver 5.24). D em ostración: Se trata de hallar las componentes a^, a^, a^ de A , es decir, tres funciones que satisfagan el sistema

(7)

a^y

Ü2Z — Ui

,

a-iz

a^x = u¡

,

a^x

am

= Us

sabiendo que (8) Ui x + + «3í = O . Como solo nos interesa una solución particular, podemos empezar por tomar «1 = 0 . Las dos últimas ecuaciones del sistema dan entonces (9)

a Ü2 = í U ¡dx

a as = — f v ^ dx + as (y, z) .

* 0 .2

(y, z ) ,

*0 *0 Sustituyendo en la primera ecuación de (7) , tenemos tf «1

= a.,y -

/

( U 2 y + Us z) d x —

— a¡z + U i ( x , y , z ) - U i ( x o , y , z ) ,

«o ecuación que se satisface tomando tt2 = O ,

w Ua = f Ui Vo

(Xo,

y , z) dy

con lo cual, junto con los valores ya encontrados, se tienen las com ponentes buscadas de A , a saber: = O (10)

ai = í Ui { x , y , z ) dx

»0

V

»

«3 =

-

í Ui

{x , y , z) dx

+ S Ui

{x„ , y , z) dy .

«O Va Hemos obtenido así una solución particular. Si añadimos a ella el gradiente de una función arbitraria cp , el campo A + grad cp también cumple la condición de que su rotor es V , debido a la ecuación ge neral rot grad cp = O. Recíprocamente, si A , A* son dos soluciones de la ecuación (6) , por sustracción resulta rot (A — A*) = O . De aquí, según el teor. 2 , puesto que D es simplemente conexo, se deduce que A — A* es el gradiente de un escalar. Es decir, la forma general de los vectores cuyo rotor es U es A grad cp, siendo cp una función escalar 178

23. C a m p o s

de

G r a d ie n t e s

y

de

R ot o r e s

■Iil IIII liria y A el campo vectorial de componentes (10) . Queda así ili iiicisii.'ulo el teorema. lijemplos; 1. Sea U = 2 x y l - y’ J + x ’ K . Siendo d iv U = O, hallar el po li III lili vcctor A . Aplicando las fórmulas (10) se obtiene inm ediatam ente A = a;* J + I V* .VK . L;i solución general será A + V *P > con
el cam po U = m i + x“y J — z K «1 .1 •iilrnoidal y luego el potencial vector correspondiente. I’.ira que sea solenoidal debe ser div. V = m , + x ‘ — 1 = 0 y por tanto (II Ví AC* + a; + (p ( y , z) . I.as fórmulas (10) d an entonces A = z x j — ( V s x ^ y + '> )> (y ,z ))K , •Iriiilo (y» ■*) una prim itiva, respecto de y , de
z) .

4. Dc.scomposición de un campo vectorial en suma de uno irrota• ioiial y otro solenoidal. Dado un campo de vectores W ( x , y , z ) queii iiKis descomponerlo en la simia (I!) W = V + U ili' manera que el campo V sea irrotacional, es decir, (12) ro tV = 0 Y <·! campo U sea solenoidal, es decir, ( 1H)

div U = O .

Supondremos que existe div W y que es una función acotada y conlinua (jue admite derivadas parciales continuas de prim er orden en todo i'l espacio. De (12) se deduce, según el teor. 2 , que V es un campo de grail ici lies, o sea que existe una función cp tal que ( I‘1) V = grad q) y ( 1)1no por hipótesis es divW = div V , resulta (I' )) divW = Acp . I'!sta ecuación nos permite determinar cp. En efecto, se trata de lina ecuación del tipo de Poisson cuya solución, dadas las condiciones impuestas para div W , está dada por 21.27 con o = — (1 /4 jt)div W . Conocida cp, se determina V por (14) y entonces U resulta tlado ¡)or (1(5) U = W - V = W -g ra d c p y está claro que es solenoidal, por ser div U = div W — div V = Acp — div grad cp = O . Siendo U solenoidal, existe un campo de vectores A tal que II = rot A (teor. 4) , de manera que podemos enunciar; ’I'k o r , 5 ;

D a d o u n c a m p o d e ve c to re s W , ta l q u e d i v W

sea u n a 179

fó rm ulas

I ntegrales

función acotada y continua que adm ita las primeras derivadas parciales continuas en todo el espacio, existe siempre la descomposición

(17)

W = grad cp + rot A

en un cam po irrotacional y otro solenoidal. La función cp se llama potencial escalar del campo y el vector A potencial vector del mismo.

L a función (p está dada por la ecuación (15) y el campo A se obtiene por el método indicado en el teor. 4 para hallar un vector cuyo rotor sea el vector conocido W — grad cp . Observemos que según el teorema mencionado, el cam po A queda de term inado salvo un gradiente, el cual se puede elegir de m anera que secum pla la condición (18) div A = O con lo cual, la definición de laplaciano de u n vector (1 6 .3 ) da (19) A A = — ro t ro t A = — ro t U = — ro t W . Esta ecuación es análoga a la de Poisson, pero entre vectores. En coorde nadas cartesianas, igualando las componentes respectivas de los dos miembros, se descompone en tres ecuaciones de Poisson y p or tanto, teniendo en cuenta la solución 2 1 .2 7 p a ra cad a u n a de ellas, la solución vectorial de (1 9 ) puede condensarse en la fórm ula única 1 r w (20) A = ------ I ----------- d x .

4 ;i ·>/

r

con la integración extendida a todo el espacio. Esta fórm ula ju n to con la 21.27 que en este caso se escribe 1 div W (21)

23. Ca m p o s

de

G r a d ie n t e s

y

de

R otores

I ikIih «on análogos, siempre que se pued an integrar las ecuaciones de Poisson (15) y (19) en el dominio. Respecto de la unicidad de la solución, valen los teoremas siguientes: T p. o r . 6 ; S i dos campos vectoriales U , V tienen la misma divergencia y fl mismo rotor en un dominio simplemente conexo y finito D y la misma fililí iKinente normal sobre la superficie S que lo limita, los dos campos son iilinlicos, es decir, U = V . En efecto, poniendo A = U — V , las hipótesis hechas son: a) div A = O , 6) rot A = O , c) A .N = O iliiiule las primeras igualdades tienen lugar en D y la últim a sobre S ( N es rl vrrsor norm al) . D e í>) y el teor. 2 se deduce que existe una función q> tal iliir A = grad (p = V
oo , tnlonces es U = V . I-a demostración es análoga a la anterior, con sólo tener en cuenta que ln Integral de superficie en la fórm ula de G reen utilizada es tam bién n ula en m ir cnso, por ser el integrando (p ara r —> o o ) del orden de 1 /r’ y la superllclr de integración del orden de r* (se puede suponer que S es u n a esfera di» íirr.T 4 r*). En particular, si V = O se deduce: T p.o r . 8 : S i un campo vectorial U tiene nulos la divergencia y el rotor y, además, la función cp tal que = U tiende a cero como 1 /r y VT*! = | U | tiende a cero como 1/r* cuando r ^ , es U = 0 . Observemos, finalm ente, que el cam po dado p or la fórm ula (22) es siem|irr un cam po continuo que se anula en el infinito. Recíprocam ente, si se im pone a W la condición de ser continuo y nulo en el infinito, la solución dada por (22) es única, es decir, vale la siguiente variante del teor. 7: T for . 9: S i dos campos vectoriales tienen la misma divergencia y el mis mo rotor en todo el espacio y además son continuos fc o n derivadas continuas) y nulos en el infinito, los dos campos son iguales. lín efecto, si los dos campos son U y V , poniendo como antes A= — V resulta que existe un potencial cp tal que A = V v y A < P ~ 0 · l’or (ante tp es una función arm ónica y, en consecuencia, las derivadas parciales I ' · , <í>», cp, (que son las componentes de A ) tam bién lo son. Como ellas se nniilan en el infinito y u n a función arm ónica no puede tom ar sus valores m á ximo y mínimo más que en el contorno en que está definida, resulta que son nulas on todo el espacio y por tanto A = O , o sea, U = V .

fl. Campo engendrado por un hilo de torbellino. Como ejemplo de aplirarión de las fórmulas anteriores, consideremos el caso del campo ftiRoiidrado por im hilo de torbellino. Es decir, se trata de hallar el (•¡iinpo A , conociendo el valor de (23) U = rot A 181

fó rm u la s

I n t e g r a l ís

a lo largo de un hilo de torbellino (22.3) . Todavía se podría dar ar bitraria la div A , pero por simplicidad supondremos el caso div A = O es decir, el caso en que no haya fuentes ni desagües. Según (22) la solución es (24)

A = rot

í - d T 4jiJ. r

donde la integración está extendida a todo el hilo de torbellino, únicos puntos del espacio en que por hipótesis es U y- O. En la integral (24) r es la distancia del punto Q del hilo al punto P dcl campo, es decir, al punto en que está aplicado A ; y d t es el elemento de volumen en Q . Consideremos una línea de torbellino T alrededor de la cual se considera el hilo. Si T es su versor tangente, es U = ] U | T . Por otra parte, llamando o al elemento de área de la sección normal del hilo,

vimos en 22.3 que la circulación alrededor del mismo vale y = | U | o y que su valor es una característica del hilo, es decir, que no depende de la sección normal considerada. Por tanto, puesto que d x — a d s , siendo ds el elemento de arco de T (24) , puede escribirse: (25)

A = -l-r o ,

4 rt

J

r

r l ± r

donde solamente aparece la integración sobre la línea de torbellino T habiendo desaparecido toda referencia al hilo, excepto por la circula ción Y , que ahora puede considerarse como una característica de F . El operador rot se refiere al punto P y el versor T es sólo función d Q , de manera que siendo (según 16.17)

rot (— T) = V -í- A T -j- L ro tT 182

23. Ca m p o s

de

G r a d ie n t e s

y

de

R otores

rot T = O ilimdc E es el versor en la dirección y sentido de P a Q , queda Y f E AT ^ (26) A = “ 4 Jt J I ----- 1“ · r I«te resultado se suele expresar diciendo que cada elemento ds dr !' contribuye en el punto P para formar el campo con un incremrnio cuyo valor absoluto vale (O = ángulo de T y E) Y sen 0 (27) - í --------^ ds y cuya dirección es la del vector T A E , Irniiinado por PQ, y el versor tangente T Este resultado es muy general y tiene Im. Si A es el campo de velocidades de

perpendicular al plano dea F en Q.· varias aplicaciones concrelas partículas de un fluido

F ig u r a 77

cn movimiento y F es una línea de torbellino del mismo, el resultado rs una fórmula clásica de la mecánica de fluidos. Si A es el campo magnético engendrado por una corriente de intensidad y que circula por un conductor F , el resultado constituye la ley de Biot y Savart (in la electrodinámica. Por ejemplo, si se tiene en un fluido una recta que sea una línea do torbellino de circulación y , la velocidad inducida en un punto P «ituado a distancia o de la recta, vale 183

fó rm ulas

I ntegrales

«-00 | A

'

| = J L f

J ü L

*

4k J

'

y como (fig. 77)

O

s = O Q = o tg cp ,

o

ds = --------- ííq)

r = ---------- i

eos'·' qp

queda

eos cp

sen 0 = eos q>, I

,/. A

'

V

'

Y

4jt J

o

^

-»/·

2

k

_

0

7. Caso de una curva cerrada. Es interesante el caso en que la linea de torbellino es una curva cerrada F , tal que pueda aplicarse a ella y a una superficie que la tenga por contorno el teorema de Stokes En este caso, aplicando a (26) la fórmula 22.10 resulta

da

(28)

siendo S una superficie cualquiera cuyo contorno sea F . El sustraendo del segundo miembro es nulo, puesto que V .( E /r ^ ) = — V . V ( l / r ) = — A (1 /r) = 0 . En cuanto al mi nuendo, se puede poner É/r^ = — Vj> (l/i·) , indicando que el ope rador V se refiere al punto P (que no pertenece al campo de integración S y en el cual está aplicado el vector A ) y perm utar con V ^ /,j que se refiere a los puntos Q de la superficie S , quedando (29) 8

o bien, según la notación de derivada direccional

( 1 3 .5 ) ,

r 8 '- ) 8

Como siempre se puede tom ar una superficie S que no pase por P , resulta T eor . 9: E l cam po A engendrado por una línea de torbellino cerrada F es el gradiente de la función potencial

B en todos los puntos no pertenecientes a V , 184

23. Ca m p o s

de

G r a d ie n t e s

y

de

R otores

En esta expresión, S es una superficie cualquiera cuyo contorno rs 1’ y Y es la circulación correspondiente a esta curva; r es la dis(¡ini ia del punto de S correspondiente al elemento da al punto P del ( iiiiipo. Al hacer la integración, P es fijo, de m anera que resulta = fp iP) · 8. Ángulo sólido. Consideremos en un plano dos semirrectas O A , Olí a partir de un punto O (fig 78). El ángulo que forman, o sea el conjunto de todas las semirrectas de origen O comprendidas entre ellas.

F ig u ra

78

ÍC. puede medir por la longitud del arco de circunferencia de radio uni(l;i
fórm ulas

Integrales

ángulo sólido elemental, será (32)

=

1CCS 0 1 L do

siendo O el ángulo entre OP y la normal N a la superficie en el punto P y r=\OP\.

En vez de tomar el valor absoluto de esta proyección conviene con siderarla inclusive con el signo, tomando eos O en vez de | eos 0 ] . Con

ello el ángulo sólido depende del sentido de la normal N , pero una vez fijado éste, tendrá un valor bien determinado· Además, si un mismo ra dio vector desde O corta más de una vez a la superficie, los elementos de ángulo sólido correspondientes a los distintos puntos de intersección se sumarán algebraicamente, que es lo que en general interesa. Por ejemplo, si S es una superficie cerrada que no se atraviesa a sí misma y que por tanto limita cierto volumen del espacio, el ángulo sólido total según el cual es vista desde O vale siempre 4 jt si O es interior y O si O es exterior. En efecto, tomando la normal siempre hacía el exterior del volumen, el valor de eos 0 será positivo en los puntos en que la prolongación del radio vector sale del volumen (como el Pi de la fig. 80) y negativo en aquellos en que entra en el volumen (como el P j de la fig. 80) . Por consiguiente si O es interior, en las partes de la esfera unidad sobre las cuales se proyectan más de un punto de S , cada elemento proyectado de signo negativo se compensa con otro positivo, quedando únicamente una sola proyección. En consecuencia la proyección de toda la super ficie S cubre una sola vez a la esfera unidad y por tanto el ángulo só lido correspondiente vale 4 j t . En cambio, si O es exterior, cada radio vector por O corta a 5 en un número par de puntos, a los cuales co186

23. Ca m po s

de

G r a d ie n t e s

y

de

R otores

I responden alternativamente los signos + y — , de manera que la proyrci'ión total vale cero, como dijimos. Con este convenio, la expresión analítica del ángulo sólido total sef’.ún el cual se ve la superficie S desde O será

(S3>

a= S

8

«icndo N el versor normal a 5 en el punto P , E el versor de la diiiTción OP y r = \OP \ .

Recordando la notación usual para la derivada de una función según la normal a una superficie, y siendo E / t"'^ = — V (1 /r) , (33) se puede cscribir también

(34)

í¡

= - J '( n .v Í ) . , = 8

8

Comparando con (31) , resulta que si la superficie S tiene por contorno la curva F , la relación entre Q y la función potencial (p lirl campo engendrado por F (considerada como línea de torbellino) , (3 5 )

cp = 5) S está dada por su ecuación vectorial X = X (u , v) , teniendo en 187

fó rm u la s

Integ rales

cuenta 2 0 .1 0 y 2 0 .3 4 la expresión del ángulo sólido según el cual es vísta desde el origen O , tom a la forma (X .X .E ) (36) du A dv .

“ = /

Si S es una superficie abierta lim itada por u n contorno T , el ángulo sólido £2 según el cual es vista desde el origen O , se puede expresar p or una

F ig u r a 81

integral curvilínea a lo largo de F . En efecto, la integral (33) expresa el flujo del vector X y X (37)

r’

f·

r’

a través de S . Por tanto, según el teorem a de Stokes podremos escribirla como integral curvilínea si encontramos un vector A cuyo rotor sea (37) . Tenemos para ello el sistema

asg — fljj =

Ol0 — dsm — --

f·

E n 2 3 .3 se ha visto la solución de un sistema de este tipo. P ara este caso concreto, tom ando por ejemplo jto = O , yo = O , Zo = O , la solución (10) es

*

/

*

z zx r y yx — dx = : ---------------- , flj = — I — dx = --------------------( / + z’) r J r' ( / + z’ ) r

o

o

y por tanto la fórm ula de Stokes da X (38)

/

z dy — y dz

f + z’ V ? T ? T · ?

'

N aturalm ente que esta expresión no es única, pues sabemos que al vector A se le puede agregar un gradiente arbitrario, sin que deje de satisfacer al sistema. 188

23. Ca m po s

de

G r a d ie n t e s

y

de

R otores

Por ejemplo, vale también la fórmula

/ r

dy — y dx — r I(z + r) X

9. Integral de Gauss. Volvamos al 23.7 y consideremos el caso en (|iic el punto P describe también una curva cerrada F i , sin punto i'Ditiún con F y calculemos la circulación del vector A a lo largo de rila. Según (26) será (-10 )

J a .T i dsi =

J {V Â T).Tidsdsi .

Ti T) r Por otra parte, siendo A = Vcp, es (41)

f A.Tidsi

Y

= [cp] =

Q

J Ti Ti r. El ángulo sólido Q a lo largo de la curva cerrada F i sólo puede variar en un múltiplo de 4 j t . Si F i no está enlazada con F (figíll) la variación de Q es nula. Si F i se enlaza con F (fig. 82) la

F ig u r a

82

v.-uiación de Q es 4 j t v , siendo v un número entero (positivo o ne gativo), llamado índice de enlazamiento (en el caso de la figura 82 es v=l) . Do (40) y (41) resulta por tanto 189

fó rm ulas

Integ r a les

(42)

J

V y T T i ^ d sd si = 4 j t v

Ti r que puede escribirse (43)

J 'J ' ^

( E T T i ) d sd si = - 43l^

r, r siendo E el versor direccional que indica la dirección de la recta que une el elemento dsi de I ’i con el ds de T ; T i y T son los versores tangentes respectivos en dichos puntos. Esta fórmula (43) que permite expresar el índice de enlazamiento mediante una integral extendida a ambas curvas, es debida a Gauss. La importancia del número v consiste en que no varía por defor mación de las curvas F , F i mientras durante la deformación no tengan en ningún momento punto común. Sobre esta integral, su importancia en topología y su generalización a n dimensiones, ver por ej.: P. A l e x a n d r o f f y H. H o p f , T opologie, Berlín, 1935, pág. 497EJER C IC IO S 1. Siendo el cam po V = sen y sen z I -f- * eos y sen z J -|- * sen y eos z K irrotacional, h allar la función potencial de la cual deriva. 2. Lo mismo p ara el cam po U = («* - f 2 x y z ) 1 + x’z J + (x’ y — 6 z*) K . 3. H allar el potencial vector de los campos solenoidales siguientes: a) lJ = ^ y I - ( * y + y) J + z K b) V = — s c n x 1 + {y eos x — f ) J + 2 y z K c) V = ( 2 x + y + z ) l - y J - - K . 4. D em ostrar la fórm ula (3 9 ). 5. C alcular el ángulo sólido desde el cual se ve desde el origen de coorde nadas un cuadrado de lado b cuyo centro es el punto (O , O, a ) ycuyo plano es paralelo al x , y . 6. Si el producto cpA tiende a cero con un orden infinitesimal igual o m a yor que el de 1 /r’ en el infinito y si div A = O , probar que es / A . V < P ¿ t = O , estando la integral extendida a todo el espacio. 7. D em ostrar que si A es un cam po de vectores continuo y diferenciable, existen infinitas funciones

24. NOTAS Y C O M PLEM EN TO S DEL C A PIT U L O V 1. N ota histórica. El teorema de Gauss y las fórmulas de Green fueron publicados por prim era vez en las siguientes memorias: K . F . G a u s s , “T heoria attractionis corporum sphaeroidicorum ellipticorum ’lomogeneoruro m ethodo nova tractata” , Commentationes societatis scientiarum Gottingensis recentiores, voi. II , 1813. Reproducido en: K a r l F r i e d r i c h G a u s s ,

190

24. N

otas

y

Co m plem entos

de l

C a p ít u l o V

tVirke, G otinga, K öniglichen Gesellschaft der Wissenschaften, 2* reimpresión, 11177. G eorges G reen , Essay on th e A pplicatim of M athematical Analysis to the Theory of Electricity and M agnetism, N ottinglam , 1828. La fórm ula de Stokes aparece en el trsbajo: G. S t okes , “A Sm ith’s Prize Papel” , Canbridge University Calendar, 1854. El estudio de las condiciones mínimas de regularidad que deben cum plir III· campos de vectores y las superficies o cixvas que en ellos intervienen han

F igura 83

(ludo lugar a numerosos trabajos. Puede verse, por ejemplo, el libro de O. D K r i - l o o , Foundations of Potential Theory. Cambridge, Mass., 1929, o algún tra tado moderno de análisis como el de T M. A p o s t o l , M athematical Analysis, Reading, Mass. Addison-Wesley Publishing Co., 1957.

191

fó rm ulas

I ntegrales

2. Campos vectoriales en el plano; característica de u n a curva e índice de un punto. Y a vimos en el apartad o 14 la definición de cam po vectorial. Desde un punto de vista más geométrico se puede decir que definir un cam po vectorial en el plano es asignar a cada punto del mismo un vector determ inado. E n ge neral interesan los campos continuos, o sea aquellos en que los vectores (su mó dulo y su dirección) son funciones continuas del punto de aplicación. M ás exac tam ente: se dice que u n campo de vectores es continuo en un p u n to Po cuando, dado un 6 cualquiera, existe un e tal que p a ra todos los vectores cuyo punto

F io u r a

85

F ig u r a

86

de aplicación P cum ple la condición | P Po | < e , su extremo A cumple la condición | AAo | < 8 , siendo At, el extremo del vector de origen P o . Los puntos de discontinuidad, o bien aquellos a los que corresponden más de un vector o el vector nulo, se llam an puntos singulares del campo. Por ejemplo, el cam po de versores tangentes a las hipérbolas x y = k (fig. 83) es un campo continuo en todo el plano, excepto en el origen. A nálogam ente, el cam po de versores tangentes a las curvas cuyas ecuacio192

24. N

otas

y

Co m plem ento s

del

C a p ít u l o V

lies en coordenadas polares son q = k sen 2 cp (fig. 84) , orientados según el •cntido de las flechas, es continuo en todo el plano excepto el origen. E n el caso del movimiento de u n fluido en el plano, los versorcs tangentes n las líneas de corriente form an un cam po vectorial. En la figura 85 (circunícrcncias que pasan por dos puntos fijos M , N ) los puntos singulares son los M , N . El punto M p or el cual salen las líneas de corriente se llam a fuente; rl punto N por el cual entran, se llam a desagüe o sumidero. En la figura 86 (haz de circunferencias ortogonales a las de la figura 85) ios puntos singulares son tam bién los M , N . E n este caso, en el que los vec tores “giran” alrededor del punto singular, éstos se llam an vórtices. U n punto singular se llam a aislado cuando existe un entorno del mismo dentro del cual no hay otro punto singular. Supongamos ahora un cam po vectorial continuo (salvo ciertos puntos sin gulares aislados) y una curva cerrada F que no pase por ningún punto sin gular (fig. 87) . A cada punto P de F corresponde u n vector A del campo.

F igura 87 A partir de un punto fijo O del plano tracemos un versor A' paralelo al vector A . Supuesto fijada una orientación del plano, la cual determ ina sobre r un sentido de recorrido, al recorrer P la curva F segúp jte sentido, el extremo del versor A ' recorrerá la circunferencia unidad de centro O ■ A! vol ver P a su posición inicial el extremo de A ' habrá recorrido cierto número A de veces la circunferencia unidad de centro O . Este número k (positivo, nulo o negativo) se llam a característica de la curva F respecto del cam po vectorial dado. Brevemente se puede decir: la característica de F es el cociente por 2 n de la variación del ángulo entre los vectores del cam po y una dirección fija, al recoi rer F . Supongamos que F sea una curva cerrada que no se corte a sí misma (la llamaremos curva cerrada simple) y en cuyo interior no haya ningún punto singular del campo. Por una deformación continua (por ejemplo por una su cesión de homotecias de centro un punto fijo interior O ) , la curva F puede reducirse a un punto O . D urante la deformación, siendo el cam po continuo, el núm ero k debe variar con continuidad y, como es un núm ero entero, per manecerá constante. C uando F se reduce al punto O , el versor A ' antes mencionado es único (el correspondiente a O ) y por tanto k z= Q . En con secuencia: T eor . 1 : La característica de las curvas cerradas simples que no encierTnn ningún punto singular es igual a cero. 193

fó rm ulas

Integrales

Supongamos ahora que F encierre un punto singular aislado O . Al de form ar F por continuidad hasta reducirla a O , el núm ero k se mamtiene constante según lo dicho. Este núm ero constante se llam a índice del punto O , Es decir: índice de un punto singular es la característica de cualquier curva Cerrada simple que no contiene en su interior otro punto singular que O . Si F encierra varios puntos singulares aislados, se puede construir una curva F j com puesta de F más unos lazos que partiendo de F rodeen cada

F ioura 88 punto singular (fig. 88) . L a característica de F , es nula p or el teor. 1 y la variación de la dirección del vector del campo a lo largo de ella se compone de la variación a lo largo de F más la variación (con signo cam biado) a lo largo de los lazos. Por tanto T eor . 2: S i una curva cerrada simple encierra puntos singulares, su ca racterística es igual a la suma de los índices de los mismos. Si se cambia la orientación del plano, sin m odificar el cam po vectorial, los sentidos de recorrido de las curvas se transform an en sus opuestos. El versor A' de la figura 87 gira en sentido opuesto al primitivo y por tanto la carac terística de las curvas y el índice de los puntos singulares cam bia de signo. 3. Campos vectoriales tangentes a una superficie. Supongamos u n a super ficie cerrada 2 que sea el contorno de un cierto volumen del espacio (super ficie cerrada y orientable). Si en cada uno de sus puntos está asignado un vector tangente, salvo en puntos excepcionales (puntos singulares), se dice que está definido sobre 2 un cam po de vectores tangentes. Las definiciones de conti nuidad y de puntos singulares son las mismas que p a ra el plano. U n teorem a muy im portante es el siguiente: T eor . 3: S i 2 es una esfera, no existe ningún campo vectorial formado por tangentes, que sea continuo y no tenga puntos singulares. Para la demostración, supongamos que existiera un tal cam po y vamoí a ver cómo se llega a una contradicción. Sea C un círculo máximo de la esfera. Fijemos en cada punto de la esfera una orientación, por ejemplo la que gira en lentído contrario al de las agujas del reloj m irando desde el exterior. Fijemo.< también un «eptido de recorrido cualquiera a C , con lo cual en cada punto quedará bien determ inado el versor tangente 5 C . E n cada pim to P de C tendremos aií el v e n o r tangente y el vector del cam po d ad o ; sea

194

24. N o t a s y C o m p l e m e n t o s d e l C a p í t u l o V ItiRuIo entre estot dot vectores, m edido según la orientación fijada. C uando P ilricribe C , al volver al punto de p artida, el ángulo (p h ab rá variado en un múltiplo de 2 li ; sea 2 k n (k = núm ero entero, positivo, nulo o negativo). Tomemos do» puntos diam etralm ente opuestos sobre C y hagamos girar rnn continuidad este circulo alrededor de ellos. Como el cam po es continuo, el número k obtenido por la misma operación anterior deberá tam bién variar con l ontinuidad, y como es entero perm anecerá constante. Al volver a superpoiirr C sobre sí mismo, después de girado 180°, el sentido de recorrido de C H|i.'irece invertido, m ientras que el cam po no h a variado. E n cada punto el Angulo q) es ahora W = n -f-

U5

F ó r m u l a s Integrales

teor. 4 la recta de por lo menos uno de estos vectores pasará por el centro de la esfera. Por tanto, p a ra esta recta, P ' es el punto diam etralm ente opuesto a P. T eor. 6 : T od a transformación continua (no necesariamente biunivoca) del plano proyectivo en sí mismo contiene por lo menos un punto fijo. Demostración: Proyectando los puntos del plano proyectivo desde un punto exterior O , se tiene una radiación de rectas. T o d a transform ación con tinua del plano equivale a una transformación continua entre las rectas de la radiación. Sea a -* a' esta transformación. Cortemos la radiación por una esfera de centro O ; sea A un punto de ella y a la recta OA ; trazando por A la paralela a a' tendremos otro punto A ' sobre la esfera. Asignemos a cada punto A el versor de dirección A A ' . Si a' resulta tangente a la esfera, A A ' será la dirección de la tangente deducida por continuidad. Tendrem os así un cam po de versores continuo sobre la esfera. Según el teor. 4 hay por lo menos uno de ellos cuya dirección pasa p or O . Esta dirección será la de una recta fija de la transformación. Su punto de intersección con el plano proyectivo de p artid a será u n p u n to fijo. P ara los teoremas anteriores y otros análogos, ver W . F e n c h e l , “Elemen tare Beweise und Anv/endungen einiger Fixpunktsátze” , M atem . Tidsskrift, M . 1932. 5. Sobre cam pos solenoidales. E n 3.23 demostramos que todo cam po so lenoidal es un cam po de rotores, bajo la condición de ser el dominio D en el cual el cam po está definido el interior de u n paralelepípedo. El teorema vale con solo suponer que D es un dominio convexo y en general p ara cualquier dominio tal que no contenga superficies cerradas que limiten dominios no íntegram ente contenidos en D. P ara estos últimos el teorem a puede no valer, como prueba el siguiente ejemplo (ver T . M. Apóstol, Análisis Matemático, Ejercicio 11-34). Sea D el espacio com prendido entre dos esferas concéntricas de origen O y sea el cam po U = X. |X|“®, donde X es el vector posición. Sea 2 una superficie esférica de centro O contenida en D y consideremos sobre ella una circunferencia m enor c. Indicando con 2 ' a la superficie de 2 menos el interior de c el teorem a de Stokes ( (6) - 12) dice que / A . T * = X U .N d a

c

S'

H aciendo tender a cero el radio de c, el prim er miembro tiende a cero, m ientras que el segundo, según ( ( 3 3 ) - 2 3 ) tiende al ángulo sólido sescún el cual se ve 2 desde O, o sea, a 4 x. La contradicción nos dice que para el dominio D considerado no existe el cam po A.

196

CAPITULO VI

A P L IC A C IO N E S D E L A N A L IS IS V E C T O R I A L

23. APLICACIONES

A LA TE O R ÍA

DE

CURVAS

1. Triedro de Frenet. Ya vimos en el apartado 19 que una curva dcl espacio está dada por tres ecuaciones paramétricas (1) x = x(t) , y = y{t) , z = z{t) las cuales, representando por X al vector O X de componentes x , y z , pueden condensarse en la ecuación vectorial única (2) X = X (0 . También definimos allí el elemento de arco ds = \ / x ’‘ dt

,

V = dt

y el versor tangente (4)

T = - ^

ds

= X' .

En lo sucesivo indicaremos con un acento las derivadas respecto dcl arco s , conservando el punto para las derivadas respecto del pará metro general t . El paso de unas derivadas a otras se hace utilizando la relación (3) , que se puede escribir d s / d t = Por ejemplo, so tiene . dt X' = X _ =

X

ds

(5) X "= —

dt

X

(X .X ) X

dt .(X ^2\l/2 ds X^ (X^)* ) Escribiendo que T es un versor, o sea, que tiene módulo unidad, se tiene (6) X'^ = 1 y por derivación respccto de í , resulta (7) X '.X " = O ,

197

A

p l ic a c io n e s

del

A n á l is is

V e c t o r ia l

lo cual nos dice que el vector X " es perpendicular a la tangente. El versor X" (8) NT = ---------1X " I se llama el versor norm al principal. L a recta que pasa por el punto de la curva y tiene la dirección de N se llama recta normal principal. Según (4) y (7) es T .N = 0 y a partir de estos versores per pendiculares entre sí se define el nuevo versor (9) B = TAN que se llama versor binorm al a la curva en el punto considerado. Los tres versores T , N , B forman el llamado triedro principal o triedro de Frenet correspondiente al punto. Las caras de este triedro se llaman: cara T , N : plano osculador cara N , B : plano normal cara B , T : plano rectifican te. Si la

curva está dada por sus ecuaciones param étricas

X — x( s )

,

y = y(s)

,

z

= z( í )

con el arco s como parám etro, las ecuaciones de los elementos del triedro p rin · cipal correspondiente al p u n to ( x , , y», Zt) son T an gen tt:

x — xi X*.

y — y» ~

y '.

z — z, ~

‘

Normal principal:

X— X,

y — y»

X"
i - -Zt

z".

y"o

Binormal:

X —Xt y , z % - - y ”,t>. Plano osculador:

y — y·

M— Z,

z’. X", - z”, x'.

x \y \-x % y \

X — X,

y - y.

x'·

y'·

x'\

y".

z-z.

= 0 .

Plano normal·.

x’, (x — Xt) + y', (y — y.) + t ', ( t — z,) = O . Plano rectificante: x " , (x — *,) + y", (y — y.) + « " , ( * — í.) = O .

2. Fórmulas de Frenet. Se trata de hallar las componentes de los vectores derivados T ' , N ', B' respecto de los ejes del triedro principal. Las derivadas son siempre respecto del arco. Es necesario introducir dos definiciones: 198

25. A

p l ic a c io n e s

a

la

T e o r ía

de

C urvas

a) Al módulo del vector T ' = X " se le llama curvatura de la curva y se representa por x . Es decir

(10)

x = V t ^^ = V x ^ La curvatura se toma siempre positiva. A la inversa de la curva* tura se la llama radio de curvatura Q = 1/ x . b) Al producto escalar N '.B , tomado con el signo correspon diente, se llama torsión de la curva y se representa por t . Es decir, por definición (11) T = N '.B .

La inversa de la torsión es el radio de torsión. Con estas notaciones, (8 ) se escribe (12) T ' = xN . Para hallar N ' pongamos ( 13)

N ' = a i T a ¡ . N -1-a. , B

siendo a{ coeficientes que vamos a determinar. M ultiplicando esca larmente ambos miembros por T resulta a i = N '. T , y como de T .N = O se deduce, por derivación, N '.T = — T '. N , teniendo en cuenta ( 12) resulta ai = — x . Multiplicando escalarmente ambos miembros de (13) por N re sulta 0 2 = N . N ', pero de N^ = 1 se deduce N .N ' = O ; por tanto tt2 = 0.

Finalmente, multiplicando ambos miembros de (13) escalarmente por B resulta aa = N '. B = t . Queda por tanto N ' = — x T + t B Para hallar B' procedemos análogamente, escribiendo (14)

B ' = P i T - t - P 2 N + paB

y buscando P i ,P2 , Ps por el mismo método anterior. Multiplicando escalarmente por T ambos miembros de (14) resulta Pi = B '.T ; pero de la relación B .T = 0 se deduce B '.T = — T '.B y según (12) T '. B = O . Por tanto pi = O . M ultiplicando (14) escalarmente por N queda P2 = B '.N . De la relación B .N = O se deduce B '.N = — B .N ' = — t . Por tanto P. = - t . M ultiplicando (14) escalarmente por B se tiene P3 = B '.B y como de B^ = 1 se deluce B .B ' = O, queda P, = O. En definitiva, agrupando los resultados obtenidos se tienen las llamadas fórm ulas de Frenet, fundamentales para la teoría de curvas; T' = xN (15) N ' = - x T -t- t B B' = - t N . Algunos autores toman cambiado el signo de la torsión; se trata nimplemente de una cuestión de convenio, según se defina por la re lación (11) o por T = — N '. B . 199


del

A

n á l is is

V e c t o r ia l

Casos de curvatura o torsión nula. Si y. = O , según (10) , debe ser T = X ' = constante; llamando A a este vector constante y C a otro vector (constante de integración), resulta X = A i + C , o sea, se trata de una recta. Si es T = O en todos los puntos de una curva, la tercera fórmula de Frenet da B = constante; por tanto, de T .B = X '.B = O, se deduce X . B = cte. Por ser ésta la ecuación de un plano, resulta que la curva X (í) está contenida en el mismo, o sea, es una curva plana. En resumen: L a condición x = O caracteriza a las rectas y la T = O a l a s curvas planas. Ejemplo : T odo campo vectorial A determ ina el cam po de versores T = A ; | A | que son los versores tangentes a las líneas de cam po (1 4 .1 ) . P ara h allar la cur vatura de estas líneas y la dirección de su norm al principal tenemos la ecuación T ' = XN , que puede escribirse

(T. V ) T = x N y de aquí, aplicando la fórm ula 16.29 al versor T (que cumple la condición T* = 1 ) , resulta T A rot T = — XN . Esta ecuación nos d a la dirección de la norm al principal de las líneas de campo. E n cuanto a su curvatura se tiene

X = I ( T . V ) T | = IT ArotTl . Si se desea la descomposición del vector r o t T según los tres versores fundam entales T , N , B de las líneas de campo, procediendo p o r coeficientes indeterm inados y teniendo en cuenta la penúltim a relación se obtiene ro t T = a T -J- X B , con a = T .r o t T .

3. Cálculo de la curvatiu-a y de la torsión. L a curvatura está dada por la fórmula (10) . De la torsión conviene dar una expresión a partir de la ecuación X = X ( í ) de la curva. Para ello observemos que según (8) es n = ÍE 1 X y derivando N' =

X " 'x - X " x '

Por tanto 1 T = N '.B = N '. (T A N ) = — ( N 'X 'X " ) = X Se tienen así los valores ,.e ,

fX ' X " X " 'i x·'

'

, =

que permiten calcular x y T a partir de la ecuación vectorial de la curva cuando el parámetro es el arco j . 200

25.

A p lic a c io n e s a l a

T e o r ía d e C u r v a s

Si en lugar del arco, la curva C3tá dada en función de un pará metro general t , habrá que hacer en (16) el cambio de variables de í a í , reemplazando X ', X " por las fórmulas (5) . De la última (5) resulta (17)

^ ,„ ^ _ X ^ X ^ -(X .X )*

_

(XAX)^

(X 2)3

y por tanto, según (16) ,

(X 2 )3 /2

Los versores T , N , B se expresan (.5 )

t =

=

y —

b

=

[X ^(X A X )2p/ü

t a n

= - 2 S ^ V ( X AX)í

De aquí, por un cálculo fácil, (20)

T = - B '.N =

(XXX) (X AX) í

Aplicación cinemática. Si la curva (2 ) se considera como la trayectoria de un punto móvil y el parám etro t es el tiempo, el vector velocidad será V = X , o bien, llam ando tí a su módulo V = t;T . El vector aceleración será A = X y como según (3) es ÍC = — X ' = ü X ' dt

,

X = (X " t/ + tí' X ') t» = (T ' i; + V’ T ) »

resulta que el vector aceleración se puede escribir A = i.* x N 4- Ú T con v = d v /d t — v’v . Ésta es la fórm ula que d a la descomposición del vector aceleración en lus componentes tangencial y normal. Ejemplos:

1. P ara la hélice circular X (r cos q j, r «en (p, k


dkl

A

n á l is is

Y s c x o r ia l

r eos cp, fc) , X ( — f coj tp , — r sen tp , 0) , X (r len i f , por tanto la curvatura y la torsión resultan f

— r eos

Jt

X = --------

T= --------- . H + fc*

2. Para una curva plana, suponiéndola en el plano r = O y siendo * = * ( < ) , y =z y (t) sus ecuaciones param étricas, la torsión esnula y la curvatura (18) tom a la forma xy — xy

X=

(> + / ) ·/.

I

Si el parám etro es x , indicando con acentos las derivadas respecto de * . resulta

y" (1 + /·)./.

X=

4. Definición geométrica de la curvatura y de la torsión. Tome mos a partir de un punto fijo O los dos versores T (í) y T (í + Aí) i.

correspondientes a los puntos X (í) ángulo que forman entre sí es

y X (5 + Aí)

de la curva. El

A6 = I T (í + Ai) - T ( í ) ! puesto que la cuerda y el arco son infinitésimos equivalentes. Siendo I T ' I = X, dividiendo ambos miembros por As y pasando al límite, resulta (2 1 )

y

=

lím

o sea; la curvatura en el punto X = X (s) es igual al limite d el co ciente entre el ángulo de las tangentes en X (í) y X (s + As) y el incremento As del arco que separa los puntos de contacto, cuando este incremento tiende a cero.

Análogamente, considerando el ángulo de las dos binormales con202

*

25. A

p l ic a c io n e s

a

la

T e o r ía

de

Curvas

secutivas B (i + Ai) y B {s) (o, lo que es lo mismo, el ángulo entre los dos planos osculadores en los puntos X (í + A í) y X ( í ) ) y apli cando la última fórmula de Frenet, resulta: el valor absoluto de la torsión es igual al cociente del ángulo de dos binormales {o de dos planos osculadores) en dos puntos separados p o r el incremento de arco As y este incremento, cuando el mismo tiende a cero.

Las definiciones geométricas anteriores permiten dar una idea in tuitiva de los conceptos de curvatura y torsión. En efecto, la curvatura mide, en cierta manera, la velocidad con que la curva se aparta de una recta. La torsión, la velocidad con que se aparta de ser plana. El mismo razonamiento demuestra que, en general, si se consi dera el versor a T - l - p N - l - Y B ( a , P , Y constantes tales que -t- -f y’“ = 1 ) , el límite del cociente entre el ángulo que forman dos posiciones consecutivas del mismo y el elemento de arco que separa los puntos correspondientes, cuando este último tiende a cero, vale (22)

k

= (p^:¿" + (a X - Y t ) = + p2 . 5. Esfera osculatriz. La ecuación vectorial de una esfera de radio R y centro el punto Y es (23) (X - Y)= = R^ puesto que ella indica que la distancia del punto X al centro Y es igual a R . Dada una curva por su ecuación vectorial X = X (í) , referida ya al arco como parámetro, sustituyamos este valor en (23) y pon gamos (24) _ i? (í) = (X (í) - Y)» - R^ . Si en un punto Xo = X (ío) es (25) P (So) = O significa que la esfera (2 3 ) pasa por el punto Xo. Si en el mismo punto, además de (2 5 ) se cumple F (so) = O, se dice que la curva y la esfera tienen en X un contacto d e primer orden; siademás se cumple F " (jo) = O, se dice que el contacto es desegundo orden y, en general, si en Xo son nulas las derivadas de F (s) hasta la i — ésima pero no lo es la ( i + 1 )—ésima, se dice que la esfera y la curva tienen en Xo un contacto de orden i . D e f . 1 : Se llama esfera osculatriz a una curva en un punto X o, a la esfera que tiene en el mismo un contacto de tercer orden con la curva. La esfera osculatriz está, en general, bien determinada. En efecto, además de (25) , en el punto Xo deberá ser (derivando y aplicando sucesivamente las fórmulas de Frenet). (X - Y) .T = O (26) 1 4 - X (X - Y) .N = O ( X - Y ) . ( - x " T 4 - x ' N 4- x t B ) = O . 203

A

p u c a c io n e s

del

A n á l is is

V e c t o r ia l

De la última ecuación, teniendo en cuenta las dos primeras, se deduce (27) De esta ecuación y de las dos primeras (26) se deduce que las proyecciones del vector X — Y sobre los ejes T , N , B valen (28)

(29)

(X - Y) .T = O , (X - Y) .N = - — , (X - Y) .B = . X XT Por tanto, el centro de la esfera osculatriz es el punto Y = X+JL

- - ^ B

n

que poniendo, por definición,

1

— = o = radio de curvatura X

se puede escribir (fig. 90) , (30)

Y = X + eN + — B . T

El radio de la esfera osculatriz estará dado por (31)

i 2 - = (X - Y)* = 0^ + ^ - ^ y .

En las fórmulas anteriores, o , siderado.

t

se refieren al punto Xo con

El círculo contenido en el plano osculador, cuyo centro es el punto de la normal principal distante Q de la curva y cuyo radio es o , se llama circulo osculador de la curva en el punto considerado. De aquí 204

25. A

p l ic a c io n e s

a

la

T e o r ía

de

C urvas

se deduce que el círculo osculador es la sección de la esfera osculatriz con el plano osculador. Ejemplo: Para la hélice circular, el centro de la esfera osculatriz resulta

Y = X + T

y según (31) el radio R vatura.

de la esfera osculatriz coincide con el radio de cur

6. Curvas esféricas. El lugar geométrico de los centros de las es feras osculatrices a una curva está dado por (29) , o sea, (32)

Y = X-i-oN-h-^B

donde todos los términos de) segundo miembro son funciones de s . La dirección de la tangente a este lugar geométrico será la del vector Y ', o sea. aplicando las fórmulas de Frenet y simplificando.

es decir, es paralela a la binormal a la curva primitiva. Si la curva es esférica, o sea, que está contenida en la superficie de una esfera, el punto Y es fijo (centro de la esfera) y por tanto debe ser Y' = O . Es decir, (33)

0T

+

Recíprocamente, si se cumple esta condición, el centro Y será fi jo y además el radio R de la esfera osculatriz resulta constante, pues según (31) es

Por consiguiente: L a condición necesaria y suficiente para que una curva sea esférica es que su curvatura y torsión estén ligadas por la relación (33) , en U cual los acentos indican derivadas respecto del arco s . L a ecuación (33) es equivalente a escribir c o n stan te. Hagamos una aplicación de este resultado. D espejando

T

se tiene

e' y / R ' - Q' y por tanto, integrando a lo largo de la curva, 205

A

p l ic a c io n e s

del

A

n á l is is

Io

V e c t o r ia l

O

_ ds =

are sen — R

Si la curva es cerrada y en todos sus puntos es o 7 6 O (no tiene puntos angulosos) será, por tanto, S td s = O o o sea: la torsión total de las curvas esféricas cerradas es nula. T am bién es cierto el teorem a recíproco: la única superficie que tiene nula la torsión total de todas sus curvas cerradas, es la esfera. (V er L . A. S a n t a l ó , Revista M atem ática H ispano-Am ericana, 1935, voi. 10).

7. Superficies regladas. Consideremos una curva X = X (s) y por cada uno de sus puntos una recta g . Esta recta puede determi narse por un versor E aplicado en el punto X y que tenga la direc ción de la recta. Si E es función de s , al variar í la recta g describe una su perficie reglada. Supondremos siempre que la función E = E (í) ad

mite derivada continua (o sea, que las tres componentes de E (í) son funciones con derivada continua respecto de s ) . U n punto Z de la superficie reglada puede determinarse por el parámetro í , que fija la generatriz g sobre la cual se encuentra, más el parám etro X igual a la distancia de Z al punto X . La ecuación vectorial de la superficie reglada es entonces Z = Z ( í , X) = X (í) + X E (í) . U na c u r v a de l a s u p e r f i c i e q u e pase p o r el p u n t o Z estará dada D o r u n a f u n c i ó n ^ ~ X ( í ) . La tangente a l a c u r v a t e n d r á l a d i r e c c i ó n d e l v e c to r

f35) 206

Z ' = T + XE' + X'E

25. A

p l ic a c io n e s

a

la

T e o r ìa

de

C urvas

y la normal al plano determinado por esta tangente y la generatriz g tendrá la dirección del vector (36) N = Z ' A E = (T A E) + ^ (E ' A E) . Como esta dirección no depende de ì.', resulta que es la misma para cualquier curva de la superficie que pase por Z . En otras pala bras: las tangentes a todas las curvas de la superficie que pasan por un punto Z están en un mismo plano, que contiene a la generatriz que pasa por Z y que se llama plano tangente a la superficie en el punto Z . Al variar Z sobre la generatriz g , o sea, al variar X en (36) , pueden presentarse dos casos: 1'' El plano tangente es siempre el mismo. L a dirección del vec tor N es independiente de X . Para que esto ocurra los vectores T A E y E A E ' deben tener la misma dirección y por tanto E , E ' y T de ben estar en un mismo plano. Por tanto debe cumplirse la condición (37) (E E 'T )= 0. En este caso la superficie reglada se llama desarrollable. Obsérvese que si X , E están dados en función de un parámetro general t , distinto del arco, es ( E E 'T ) = ( E E 'X ') = {d tld s Y i' S .t ' k ) y por tanto, suponiendo dt/ds^^Q la condición (37) de que una su perficie sea desarrollable vale para cualquier parámetro, 2’ El plano tangente varía con K. Las normales proyectan la serie lineal (T a E) -t- X (E ' a E) y por tanto forman un haz proyectivo con la puntual de los valores á e i . Se tiene así el teorema de Chasles: el haz de planos tangentes en los puntos de una generatriz de una super ficie reglada no desarrollable es proyectivo con la serie de los puntos de contacto. Las superficies regladas no desarrollables se llaman alabeadas. Ejemplos; 1. La superficie engendrada p o r las normales principales de una curva alabeada no es desarrollable. P ara verlo, hay que aplicar (37) al caso de ser E =: N . Teniendo en cuenta la segunda fórm ula de Frenet, fs (N NT*) = T , expresión que únicam ente es nula en el caso de ser t = 0 (curvas planas). Análogam ente, tampoco es desarrollable la superficie engendrada por las binormales, puesto que tam bién (B B 'T ) = x . En cambio, es desarrollable la superficie engendrada por las tangentes a una curva, pues ( T T 'T ) = 0 . 2. Sea el vector E = eos 0 N - f sen 9 B , situado en el plano normal de u n a curva alabeada. Supongamos que 0 varía con el punto de la curva, o sea, es 0 = 0 (j) . P ara que la superficie reglada descrita p or la recta de finida por este vector sea desarrollable debe ser (E E 'T ) = 0' -f- t = O y por tanto 0 = — J T á í -1- 0 t .

8. Superficies desairollables. Las superficies desarrollables están caracterizadas por la condición (37) . Queremos ver cuáles son las superficies desarrollables. 207

A p u c a c io n e s

del

A n á l is is

V e c t o r ia l

En primer lugar (37) se cumple para E ' = O , o sea E = cte. En este caso la superficie está formada por rectas paralelas que se apoyan sobre una curva dada; se trata de una superficie cilindrica. Supongamos E' ¥>0 . Puesto que E , E ', T están en un mismo plano, se puede poner (38) E' = a T + pE donde p son dos coeficientes, funciones de s , que se pueden de terminar por las condiciones a + p (E .T ) = E '.T , a ( T . E) + p = E '.E = O que dan (3 9 )

„ =

p =

l-(E.T)" l-(E.T)· Una curva de la superficie está determinada por una función X= X (j) y su tangente tiene la dirección del vector Z ' = T + X'E + XE' o bien, según (38) Z ' = (1 + Xa) T + (X' + Xp) E . Tomando X = — 1/ a se tiene una curva cuyas tangcnips tienen la dirección de E , o sea, una curva que es tangente a todas las genera trices de la superficie. Esta curva, que vemos es única, se llama arista de retroceso de la superficie desarrollable. Si además se cumple la condición X' -f XP = O ó sea a ' — a P = O , a , P dados por (39) , es Z '= O y por tanto la arista de retroceso se reduce a un punto por el cual pasan todas las generatrices. La super ficie es un cono. En resumen: Las superficies desarrollables son los cilindros, los conos y las super ficies formadas por las tangentes a una curva del espacio.

Recíprocamente, es fácil comprobar que en cada uno de estos ca sos se cumple la condición (37) . EJERCICIOS 1· D em ostrar que las normales principales de una hélice circular cortan siemprr al eje de la misma. 2. H allar el lugar geométrico de los centros de curvatura de una hélice circular. 3. D em ostrar que la condición necesaria y suficiente para que una curva sea plana cs que su torsión sea nula. 4. D em ostrar que si c es una cuerda y í el arco correspondiente de una curva, es Hm - c‘)/s* - x V l2 (para 0) . 5. H allar el centro y el radio de la esfera osculatriz de la hélice circular. 6· A p artir de un punto O de una curva, se tom an las cuerdas O A = c, . = Cj (a uno y otro lado de O ) . Siendo A B = Ct y representando por T el área del triángulo O AB , probar que p ara c i , c s , -» O , es lím (ci Ct/T) = 4 o , siendo q el radio de curvatura en O . 7. Siendo T , N , B los versores tangente, norm al principal y binormal 208

26. A

p l ic a c io n e s

al

E l e c t r o m a g n e t ism o

de una curva del espacio, h allar la curvatura y la torsión de las curvas T = T ( ì ), N = N (i) , B = B (i) y com probar en cada caso que se cum ple la condición (33) . 8. D em ostrar que, excepto el caso de las curvas planas, no existen curvas cuyas tangentes corten todas a una recta fija. E studiar el mismo problem a para las normales y binormales. 9. H allar las rectas que pasan por los puntos de una curva dada, están contenidas en el plano rectificante correspondiente a cada punto y describen su perficies desarrollables. 10. D em ostrar que los ejes de curvatura de una curva (rectas normales al plano osculador por el centro de curvatura) describen u n a superficie desarrollable, cuya arista de retroceso es la curva descripta por el centro de las esferas osculatrices. 11. D em ostrar que si los segundos miembros de las ecuaciones param étri cas ( 1 ) de una curva son polinomios en t de grado no superior a dos, la curva es plana. 12. Si un punto P situado sobre una tangente variable a u n a curva C , describe u n a curva Ci que en cada p u n to es norm al a la tangente correspon diente, la curva C se dice que es u n a evoluta de Ci y ésta una evolvente de C . D em ostrar que en este caso el segmento de tangente com prendido entre P y el punto de contacto es igual a X + s , siendo s el arco de C y X una constante. 13. Sea A un cam po de vectores y representemos p or T , N , B a los versores fundam entales de sus líneas de campo. Poniendo a = ( A | y a = T . r o t T , dem ostrar las siguientes fórmulas: A .ro t A „ a = ------------- , div A = T . -t- a div T ,

o*

da ro t A = a a T -I--------- N - f rfB siendo x la curvatura de las líneas de

( da \ ( a x ------------ ) B , V dU / campo.

26. APLICA CIO N ES AL ELEC TR O M A G N ETISM O t Las ecuaciones de Maxwell. L a teoría del electromagnetismo se basa en la existencia simultánea de dos campos: uno de vectores, lla mado cam po eléctrico E , y otro de pseudovectores, llamado cam po m agnético H . Estos campos no son independientes, sino que están su jetos a ciertas condiciones y relaciones mutuas que constituyen las lla madas ecuaciones de Maxwell. Las condiciones que cumple el campo eléctrico E son: a) Dentro de ciertos cuerpos, llamados conductores, y en el caso estático (invariable con el tiem po), el campo eléctrico es nulo, E = O . En la superficie de estos cuerpos, E es normal a la superficie. b) Dentro de los restantes cuerpos, llamados no conductores o die léctricos, si son isótropos, el campo eléctrico toma el valor D = £ E siendo e una constante característica de la sustancia que forma el cuerpo, llamada constante dieléctrica. Si no son isótropos, como en los medios cristalinos, E y D no tienen la misma dirección; la relación 209


del

A n á l is is

V e c t o r ia l

que los liga es D = E + 4 j t P , siendo P el vector llamado “polari zación” del dieléctrico. En ambos casos D es el llamado vector des plazamiento eléctrico. c) Si las cargas eléctricas están distribuidas en el espacio con una densidad Q (es decir, si en el volumen Ai; está contenida la carga A g , es o = lím { A q / \ v ) ) , se cumple la relación

Ae-M) (1) divD = 4 « o donde el factor 4 jt aparece como consecuencia de las unidades elegidas El campo magnético es un campo de pseudovectores H que satis face las siguientes condiciones: a) No existen cuerpos conductores para H . b) Dentro de la materia, el campo magnético tom a el valor B = n H , siendo [i una constante característica de la sustancia, lia m ada perm eabilidad magnética. El vector B se llama inducción mag

nética, c) No existen cargas magnéticas, de m anera que la ecuación aiiá-

loga a la (1) es ahora (2) div B = O . Las relaciones anteriores se refieren a los campos estáticos, inde pendientes del tiempo. En el caso de campos variables, dentro de los conductores se puede originar una corriente eléctrica, caracterizada por u n vector I que se relaciona con el momentáneo campo eléctrico E por la ecuación (3) I = oE. L a constante a depende del conductor y se llama conductividad especifica; el vector I recibe el nombre de densidad de corriente. Además de las relaciones (1) y (2) que cumplen los campos E y H por separado, hay otras que los ligan entre si y que han sido ob tenidas como resultado de hechos experimentales. Ellas son (4)

ro tE + — 4 ^ = 0

/-» (5)

1 0D 4n , rot H —---------- — ------- 1 = 0

0Í

C

c

dt

c

donde c es una constante, que en el sistema de unidades elegido coin cide con la velocidad de la luz. Las ecuaciones (1) , ( 2 ) , (4) y (5) son las llamadas ícuactonej de M axwell, fundamentales para el estudio de las propiedades electro magnéticas de los cuerpos en reposo. Diferenciando (1) respecto de t y tomando la divergencia de (5) resulta la ecuación de conservación de la carga eléctrica, a saber: (6)

div I + —

= O . dt

210

2 6 . A p l ic a c io n e s

al


En el vacío, suponiendo la constante dieléctrica y la permeabilidad magnética iguales a la unidad, las ecuaciones de Maxwell toman la forma (7) div E = 4 n o , (8)

rot E + —

(9)

= O

0Í

c

div H = O ,

(10)

rotH - — — c

- —

Zt

c

1 = 0.

Estas ecuaciones tienen como consecuencia que los dos campos E y H no pueden ser del mismo tipo. Si E es un vector, sabemos que rot E es un pseudovector y por tanto (8) nos dice que H debe ser un pseudovector, pues la derivación respecto de í no influye en la manera como se comportará por un cambio de coordenadas. Por otra parte, siendo H un pseudovector, rot H será un vector y por tanto, según (10) , también E e I son vectores. Podría considerarse invertido este temperamento, considerando a H como un vector y a E e I como pseudovectores, pero por costumbre se toma el primer caso por parecer más de acuerdo con la realidad. T oda la teoría del electromagnetismo puede edificarse a partir de las ecuaciones de Maxwell. Desde nuestro punto de vista, solamente interesan algunas consecuencias que pongan de manifiesto la utilidad del cálculo vectorial. Supondremos, para simplificar, estar en el caso del vacío o sea del sistema último, lo cual, por otra parte, no restringe m u cho la generalidad en los problemas particulares que vamos a considerar. E jem plo : Supongamos un conductor rectilíneo infinito p o r el cual circula u n a co rriente de intensidad } . Si la sección recta del conductor es a , la intensidad ; (cantidad de electricidad que atraviesa la sección p o r unidad de tiem po) ei el m ódulo de l a , siendo I el vector densidad de corriente que aparece en la ecuación (1 0 ). Siendo el cam po estacionario es E = cte. y la ecuación (10) nos dice entonces que se creará un cam po m agnético (efecto de O ersted) y que el conductor, suponiéndolo de sección suficientemente pequeña, e» u n a linea de torbellino del mismo. P o r tanto, según la ley general de Biot y Savart (2 3 .6 ) el cam po m ag nético será, en cada punto, norm al al plano determ inado por el punto y el conductor. En cuanto al m ódulo h de este cam po magnético, puede deter minarse por la ley de Biot y Savart, o bien observando que a lo largo de una circunferencia norm al al conductor, siendo h constante p o r razón de iim etría, la circulación vale 2 n h r (siendo r el radio de la circunferencia). Pero esta circulación, según el teorem a de Stokes, es tam bién igual al flujo del rotor a través del círculo lim itado p o r la circunferencia considerada, que según (10) vale ( 4 « / í ) j . Por tanto

2

h = ----- « . er

211


del

A n á l is is

V e c t o r ia l

2. Potencial escalar y potencial vector del campo electromagnético. De la ecuación (9) y el teor. 4 del apartado 23 se deduce que existe un vector A , llamado potencial vector, tal que (11) H = rot A . Con esto, la ecuación (8) se escribe / 1 0A \ ( 12) rot ( E + ----- -— 1 = 0 . \ c dt J En consecuencia, el teor. 2 del apartado 23 nos dice que existe una función qp, llamada potencial escalar, tal que (13)

E + —— c

,

=-Vcp

ot

, ^

con lo cual las ecuaciones (10) y (7) se pueden escribir, respectivamente, , 1 aÂ , 1 4re rot rot A + ---------- + — V,cp«---------- I — O c'^ 0í^ c c (14) 1 aA Acp + — d i v ------= — 4 Jt o . c

dt

Al vector A se le puede agregar un gradiente arbitrario sin que deje de satisfacer a la condición (11) (puesto que rot grad = 0) . Con viene determinar este gradiente por la condición de que se cumpla la llamada condición de Lorentz, (15)

divA + -

c

^

ot

= 0.

Con esto, las ecuaciones ( 14) se escriben

c- 8 l·

c

I ■ que son las ecuaciones de los potenciales A , cp. L a solución de los sistemas de ecuaciones (16) puede ponerse en una form a m uy parecida a la del caso de campos estacionarios que vimos en 2 3 .4 . En efecto, se puede dem ostrar que la solución es, respectivamente, 1 r l(.Q ,t-r /c ) (17) A ( P , f ) = / — c J r 1 r o (Q > í — r/c ) (18) (p(P,t) = / -i r f x , c J r donde r es la distancia | P Q | , los elementos de volumen se suponen en el punto Q y las integrales están extendidas a todo el espacio. Obsérvese que los valores de I y de o en el punto Q hay que to marlos, no en el instante t , sino en el instante anterior t —r /c , con lo cual

212

26. A

p l ic a c io n e s

al


los efectos del cam po en Q , siendo su velocidad de propagación igual a c , llegan a P justo en el instante t . Por esta razón, A y cp se llam an po tenciales retardados.

3. Energía del campo electromagnético. Vector de Poynting. La energía del campo eléctrico debe ser un escalar siempre positivo. El más inmediato es el cuadrado del módulo E ^ . Por esto es natural, y física mente se comprueba que así debe ser, tom ar este escalar como energía del campo eléctrico. Por comodidad de unidades se toma ( l / 8 i t ) . Más exactamente, este valor es la densidad de energía, entendiendo por ello que la energía contenida en un elemento de volumen dx del es pacio es (1 /8 :t) E^ d x . Análogamente, la densidad de energía del campo magnético es (l/8 jt) Por adición, resulta que la densidad de energía del campo electro magnético es (19)

x = _ !_ (E * + f f ) . 8jt Interesa ver cómo varía con el tiempo la cantidad de energía con tenida en un volumen V limitado por una superficie cerrada S . De bemos calcular (20)

^ d tj

f

xdx

= — 4n

J

f ( E .E ,- l - H .H ,) ¿T

.

r r De las ecuaciones de Maxwell, multiplicando (8) por H , (10) por E y restando, teniendo en cuenta la relación 16.19 resulta H .H í + E.Ee = - c div (E A H ) - 4 3 tE .I . y por tanto, sustituyendo en (20) y aplicando el teorema de Gauss

(21)

=

+

V 8 r siendo N el vector normal a la superficie S . La últim a integral en (21) corresponde a la llamada energía termoquimtca, que se traduce en generación de calor en el volumen V . La primera integral es el flujo del vector (c /4 jt) E A H a través de S . Este vector, que vemos representa la densidad de flujo de energía a través de una superficie cerrada, se llama vector de Poynting. 4. Ondas electromagnéticas. Supongamos el vacío o un dieléctrico homogéneo e isótropo, sin cargas ni corrientes. Suponiendo también, en este último caso, que la constante dieléctrica y la permeabilidad mag nética son iguales a la unidad, tendremos las ecuaciones (7) a (10) en las cuales será ahora o = 0 , 1 = 0 . Q uedará por tanto 213

A p l ic a c io n is

del

A n á l is is

V e c t o r ia l

(22)

div E = O

;

(23)

(24)

d iv H = 0

;

(25)

1 0H rot E + ------------- = O ; c

dt

ro tH - — - ^ c

dt

= 0 .

Eliminando de estas ecuaciones el vector H , para lo cual basta tom ar el rotor en (23) y tener en cuenta (22) y la ecuación que resulta al derivar (25) respecto de t , resulta

Análogamente, eliminado E se obtiene

Los dos campos E , H satisfacen por tanto a la misma ecuación diferencial, que cs la llamada ecuación de las ondas. E j im p lo : _ Consideremos el caso de ondas planas que se propagan perpendicularm ente al eje x . Ello equivale a suponer que los campos son sólo funciones de x 7 de t , o sea, E = E ( at , t) , H = H ( x , O · Pongamos (2 8 ) E = R I + E ,J + £ .K , H = H t l + H ,J + H ,K . Siendo las componentes de E y H sólo funciones d e x , t las ecua ciones ( 2 3 ) , (2 5 ) dan, respectivamente, d H ,/d t — O , d E , / d t = 0 . Por otra parte, las ecuaciones (24) y (22) dan d H , / d x = 0 , d E , / d x = 0 . En conse cuencia E l , Hi son constantes; su efecto sobre el modo de propagación es nulo, por lo cual se puede poner =r O . Vamos a lim itam os todavía a la solución p articu lar p a ra la cual eí E» = O . Entonces las ecuaciones (2 4 ) y (23) dan 3 H j/3 * = 0 , 3 H j / 3 t = 0 , es de cir, i / i = cte. L a segunda com ponente d e la ecuación vectorial (26) se escribe 3*E. 1 VE^ que es la ciática ecuación de “la cuerda vibrante” , cuya solución general se sabe que e* (2 9 ) E , z = f , ( x - c t ) + U ( x + e t) tiendo f , , f, dos funciones arbitrarias de los argum entos x — c t , x + e t . A nálogam ente, la tercera com ponente de la ecuación (27) d a u n a ecuación de la misma form a, cuya solución general será (3 0 ) H, = g , ( x - e t ) + g , ( x + c t ) . P ara ver la t relaciones entre las cuatro funciones U , U , g t , g, escribamos la tercera com ponente de las ecuaciones (23) y la segunda de las ecuaciones (2 5 ) . R esulta, respectivamente,

- í·' +

t’ _

+ W + /.' = O _

g,' - g ; = O

de donde

(31)

u = g!

, U' = -

.

Por consiguiente, u n a solución particular de las ecuaciones de Maxwell

214

2 6 . A p l ic a c io n e s

al


en el caso considerado (tom ando el valor constante de H i y las constantes de integración en (3 1 ) iguales a cero) e» (3 2 ) E = [ U i x - c t ) + U ( x + c t ) ] J , H = [ U ( x - c t ) - f , [ x + c t ) ] K . Si se hubiera supuesto E , = O , H , = O se hubiera obtenido una solución análoga, de la mism a forma, pero con los vectores E , H perm utados. Obsérveso que en am bas soluciones los vectores E y H resultan perpendiculares. Este tipo de ondas, que se trasladan a lo largo de un eje (en el caso anterior el eje x ) pero tienen sólo componentes normales a la dirección de propagación, te llam an ondas transversalis.

E JE R C IC IO S 1. Probar que las ecuaciones de M axwell p a ra el caso (22) a (2 5 ) en que no hay cargas ni corrientes, se satisfacen poniendo 1 3^^ 1 3V E = grad div V ----------------, H = — ro t —— c* 0í* e dt •iempre que V (vector de L orentz) cum pla la condición 1

a *v

A V ---------------- = O . c* 3(· 2. Sea S u n casquete de superficie lim itado p or la curva F y N su versor norm al en cada punto. Probar que la ecuación (8 ) de M axwell se puede escribir en form a integral de la siguiente m anera -

— ^

J

H .N á f f =

S

J

E . T ds

T

es decir, la circulación de E a lo largo de F es proporcional a la variación del flujo de H a través de S (ley de inducción de F arad ay ). 3. Probar que el vector de Poynting es un vector, no un seudovector. 4. D e la ecuación (7 ) deducir que el flujo eléctrico a través de cualquier superficie cerrada es igual a 4 n p o r la carga total contenida en el interior de la superficie (ley de G auss). 5. Si se suponen varias cargas eléctricas qt (i = 1 , 2 ........... m ) colo cadas respectivamente en los puntos jP< , el cam po eléctrico por ellas creado et igual a

i>l siendo X» el vector de origen P» y extremo el punto donde se considera el cam po y ri el m ódulo del mismo. Probar: a) Q ue fuera de los puntos Pi se satisface la ecuación d iv E = O ;

m b) Q ue es E =

— V

2 q t/r i

(potencial electrostático).

1

6. Sea punto X + A ¿X , une las dos cargas. m era carga es q / r y por tanto

q u n a carga siendo A el El potencial y el debido a

eléctrica situada en el pu n to X y —q o tra en el versor que indica la dirección de la recta que en el origen de coordenadas debido a la p ri la segunda — q / { r + dr) , siendo r = | X )

215

A

p l ic a c io n e s

del

A

n á l is is

V e c t o r ia l

(A .X ) dr = l X + A ¿ A . | - | X I = --------- d \

T

despreciando los infinitésimos de orden superior respecto de áX. Por tanto el potencial conjunto vale q it q (A .X ) d \

tp

^

_

-

.

d'jnde también se han despreciado los términos en di? . Supongamos ahora que q tienda a infinito al mismo tiempo que d \ tiende a cero, de m anera que el producto tenga u n valor constante y finito. Se tiene entonces lo que se llam a un dipolo. Llam ando a a este valor finito, el vector M = a A es el momento del dipolo. El potencial en el origen se expresa entonces por la fórmula q. _

M.X

— —

.

Probar que el cam po E r= — V P debido al dipolo vale 3 ( M .X ) M

----------^ x - ; r ·

27. A PLICACIONES A LA M ECANICA DE FLU ID O S 1. La ecuación de continuidad y la ecuación de Euler. Para el estudio del movimiento de los fluidos ya vimos que existe la ecuación de continuidad 14 .1 7. En una región sin fuentes ni desagües esta ecuación toma la forma (1)

^+ V ,.(eV )=0 ot

donde O es la densidad y V el vector velocidad, ambos funciones del punto y del tiempo t . Siendo (16.16) V.(oV) = V.Vo + oV.V y también (13.27) 00

—

dt

do

-1- V . V o = — dt

la ecuación (1) se puede escribir dQ (2 )

T

dt

+ ® V :- V = o

que para fluidos incompresibles (o = constante) se reduce a (3) V .V = di vV = 0 . O tra ecuación im portante se obtiene a partir de la ecuación fun damental de la dinámica, fuerza = masa X aceleración, que llamando F a la fuerza y M = m V al vector cantidad de trovimiento (producto de 1.1 masa por la velocidad), puede escribirse 216

27. A

pl ic a c io n e s a

la

M e c á n ic a

de fl u id o s

dM

donde F , M y V son vectores. Consideremos, en efecto, un volumen t de fluido limitado por una superficie S . Las fuerzas que actúan sobre el mismo son de dos clases : a) Las fuerzas externas, cuya intensidad por unidad de masa re presentaremos por G . En consecuencia, sobre el volumen T el valor total de estas fuerzas será / OG
( V pdx T

La suma de esta fuerza con la resultante de las fuerzas exteriores es la fuerza total F que actúa sobre el volumen considerado. Por otra parte, la cantidad de movimiento total es la integral de q W d x (pues Qd x es el elemento de m asa), de manera que la ecuación fundamen tal de la dinámica (4) se escribirá (5)

En el prim er miembro el producto Q dx es el elemento de masa, que no depende del tiempo, de m anera que sólo hay que derivar la velocidad V . Por otra parte, puesto que la igualdad (5) vale para cualquier volumen x , debe valer la igualdad entre los integrandos. resultando en definitiva

(6)

^

dt

=

Q

Como V puede ser función no sólo del punto x , y , z sino tam bién del tiempo í , el primer miembro puede sustituirse por dV 3V I T7 · _L T7· ■ que puede escribirse ,7 ,

¿V

_

0V

= _ + , V . V , V

puesto que x , y . z son las componentes de V . 217


del

A n á l is is

V e c t o r ia l

Q ueda así la llamada ecuación de Euler del movimiento de loi fluidos av t (8) + ( V . V ) V = G - — V/ » ; ot O U n movimiento se llama estacionario cuando V no depende de t y por tanto la prim era derivada parcial de la ecuación anterior des aparece. La ecuación vectorial (8) equivale a tres ecuaciones escalares, que junto con la ecuación de continuidad constituyen las cuatro ecuaciones fundamentales del movimiento de los fluidos. Además de estas ecua ciones de carácter mecánico hay una relación dada por la termodiná mica que expresa Q como función d e p . Se tienen así cinco ecua ciones para determ inar las cinco magnitudes que caracterizan el movi miento del fluido, a saber: las tres componentes de la velocidad V la presión p y la densidad Q . 2. O tras formas e integrales de la ecuación de Euler. Si las fuer zas exteriores derivan de un potencial \|), o sea, existe una función ti) tal que G = — V tp (se dice también que el campo de fuerzas exte riores es conservativo), la ecuación de Euler se puede escribir (9)

^

+ ( V . V ) V -t- V tl> -f — V/ » = 0 . í o también, teniendo en cuenta (7) , (10)

^ - 1 - V íJ )-F -lv í = O .

ot

dt

Q

Por otra parte, la ecuación 16.29 aplicada al vector velocidad V y poniendo i; = | V | , se escribe - i V t^ = [(y . V ) V

V A (V A V ) .

con lo cual (9) toma la forma (11)

-j- ± at

2

V t;* -

A ( V A V ) -1- V'lJ + — V'p = O ; Q

Consideremos el caso en que V A V = rot V = O , llamado caso irrotacional. Entonces, se.scún el teor. 2 del apartado 23, existe una fun ción q) (potencial de velocidades) tal que V = Vcp y la ecuación (11) toma la forma / 3

( 12)

Esta ecuación vectorial equivale a tres ecuaciones escalares, la pri mera de las cuales es 218

27. A

3

p l ic a c io n e s a

/0 (p

1

la

\

M e c á n ic a

d e f l Oi d o s

1 a

y las otras dos son las análogas, con las derivadas parciales respecto de y , z en vez de x . De estas ecuaciones se deduce, por integración y suponiendo que e es sólofunción de p, (13)

_ ü» + il) + J ' - ^

= a (O

siendo a (í) u na función arbitraria. Ésta es la llamada ecuación de Bernoulli, que para un fluido incompresible (Q = cte.) y en movi miento estacionario (todas sus características independientes del tiem po), se escribe 1 P (14) — y» + 11) + — = cte. 2 o Ésta es una relación muy importante, válida en todo instante y en todos los puntos del fluido. Si se trata de un movimiento estacionario, aunque no sea irrotacional, vale una ecuación de apariencia análoga a la anterior, pero de sentido diferente, como vamos a ver. Las trayectorias de las partículas del fluido, o sea, las líneas cuya tangente en cada punto es el vector velocidad V , se llaman líneas de corriente. Indiquemos por V* al versor tangente a estas líneas de corriente (o sea, V* = V/i^) . M ulti plicando (11) escalarmente por V* queda (puesto que por suponer el movimiento estacionario es 0V /3í = 0) , V * . i - V ü ’ -1- V * . Vil) + — V * . V /» = O

2

^

o

^

o bien, recordando la definición de derivada direccional (13.5) y su poniendo siempre (? = constante, d

d\*

Esta ecuación nos dice que a lo largo de las líneas d e corriente es (15)

Y ü» + ij)

- ^ = cte.

ecuación de igual forma que la (14), pero en la cual, ahora, no ha biendo hecho la hipótesis de irrotacionalidad, la constante se refiere a todos los puntos de una misma línea de corriente, pero puede variar de una a otra de estas líneas. Aplicación. Supongamos una zona en que t|) pueda considerarse constante. Entonces, al recorrer una partícula una línea de corriente, cuanto mayor sea v menor será la presión p . Por ejemplo, si una misma cantidad de fluido se mueve a través de caños de distinta sec ción, al disminuir é'sta aum entará la velocidad (pues debe pasar la mis219

A

p l ic a c io n e s

del

A n á l is is

V e c t o r ia l

m a cantidad de fluido por unidad de tiempo en todas las secciones;, y el resultado (15) nos dice que disminuirá la presión. Esta propie dad es utilizada en ciertos aparatos (como los tubos de Pitot o Ven turi) para medir la velocidad de un fluido mediante la medida de una diferencia de presión. 3. Torbellinos. En el movimiento de un fluido las velocidades V del mismo en cada punto forman un cam po de velocidades, campo en general variable con el punto y con el tiempo. A partir de V se puede definir en cada punto el vector (16) U = V A V = rotV llamado vector torbellino. El conjunto de todos estos vectores forma un cam po de torbellinos (22.3) . Consideremos una curva cerrada F que sea contorno de un cas quete de superficie S . Según el teorema de Stokes la circulación del vector velocidad a lo largo de F puede expresarse por cualquiera de las dos integrales (17) Y = f V .T ¿ í = J· U .N íía . r 8 Siguiendo el movimiento del fluido, la curva F se irá desplazan do y, en general, deformando con el tiempo. Sin embargo, en ciertas condiciones, la circulación y permanece constante. Ello es lo que ex presa el siguiente teorema de Lord Kelvin; T e o r . 1 : Si en el movimiento de un fluido el cam po de fuerzas exteriores es conservativo y la densidad Q es id a m e n te función de la presión p , la circulación de la velocidad a lo largo de una curva ce rrada cualquiera F es independiente del tiem po, cuando F se des plaza siguiendo el movimiento del fluido.

Bastará demostrar que la derivada de Y respecto del tiempo í es nula. Se tiene , 18)

i r dt

=

J

f iL .T dt

+

T

J

fv .

idtl

*

.

r

En la segunda integral, puesto que el versor tangente T es d P /d s siendo P el punto correspondiente de F , puede ponerse (19)

i.

iíL

« L = £ ( 'ü ') = ( 'Í L '1 = dt d t \ ds/ d ,\d t ) di y por tanto el integrando resulta ser V2 d(V^) , que integrando a lo largo de una curva cerrada es cero, por ser una diferencial exacta. En cuanto a la prim era integral, aplicando la ecuación de Euler en su forma (10) , se tiene

¿20

27. A p l i c a c i o n e s

a

la

M e c á n ic a

de f l u i d o s

Pero, según la definición de gradiente, es V tp .T ¿ í = iiip y por con siguiente la integrai de esta expresión sobre F es nula. Q ueda así, finalmente, el término V p /o que nos da

(20 )

=

=

dt

J o

J

T

T

Q

H asta aquí hemos utilizado solamente la hipótesis de ser el campo de fuerzas exteriores conservativo. Si, además, es Q solamente función de p , la última integral a lo largo de un contorno cerrado es nula y el teorema queda demostrado. U na consecuencia de este teorema es que si el movimiento em pieza del reposo o de un movimiento irrotacional, seguirá siendo irro tacional en todo instante ulterior. Es decir: C o r o l a r i o : Bajo las condiciones del teorem a de L o rd pueden producirse ni destruirse torbellinos en el fluido.

Kelvin, no

En efecto, si se produjeran torbellinos, habría una superficie con un cierto flujo de los mismos distinto de cero, y por tanto la circula ción sobre su contorno sería también distinta de cero, lo cual obligaría a que lo mismo sucediera en todo instante anterior. Si no se impone la condición de que O sea solamente función de p (pudiendo ser, por ejemplo, también función de la tem peratura, co mo ocurre en meteorología), la circulación varía con el tiempo t , pero puede darse una fórmula simple para esta variación. En efecto, apli cando al segundo miembro de (20) el teorema de Stokes,queda (21)

-

^

dt

=

J

r rot — B

Q

. N do

siendo S cualquier casquete de superficie cuyo contorno sea F . Según 16.17 es Vp 1 r o t ------ = V — A V /> Q

Q

y por tanto queda (22)

dy dt

=

, V p

,

da

a

Si o es sólo función de p el producto mixto aparece con dos factores proporcionales y por tanto se anula, resultando de nuevo el teorema de Lord Kelvin. En 22.3 se definieron las líneas y tubos de torbellino, dando al gunas de sus propiedades que son generales para cualquier campo de rotores. Para el caso particular de los campos de velocidades y tor bellinos del movimiento de un fluido, el teorema de Lord Kelvin per mite deducir otras propiedades de dichas líneas o tubos. 221

A

p l ic a c io n e s

del

A n á l i s i s V e c t o r ia l

Por ejemplo, vamos a demostrar que en el movimiento de un tubo de torbellino, al describir las partículas que lo componen el movimiento del fluido, seguirán formando en todo momento un tubo de torbellino. En efecto, la circulación de cualquier curva cerrada sobe el tubo, que limite un casquete de superficie, por el teorema de Lord Kelvin será siempre nula; ello obliga a que la superficie sea en todo instante tan gente a los vectores U correspondientes a cada uno de sus puntos, puesto que en caso contrario, tomando una curva suficientemente pe queña alrededor del punto para el cual U no fuera tangente, según (17), sería y r^ O . Esta propiedad demuestra el enunciado. Si se trata de una línea de torbellino, considerándola como inter sección de dos tubos de torbellino, resulta que lo seguirá siendo en todo instante. En resumen, se tiene: T e o r . 2 : L a s partículas que en un instante dado form an una linea o un tubo de torbellino siguen form ándolo en cualquier instante sucesivo.

Esta propiedad de las líneas y tubos de torbellino, así como las de 22.3 fueron puestas de manifiesto por Helmholtz. EJE R C IC IO S 1. Demostrar que ti para un fluido la densidad et función de la presión, únicamente puede haber equilibrio si las fuerzas externas derivan de un poUncial. 2. Demostrar que si en. Un fluido en equilibrio las fuerzas exteriores de rivan de un potencial, las supverficies equipotenciales coinciden con las de igual presión. 3. Siendo G la resultante de lat fuerzas exteriores que actúan sobre un fluido por unidad de masa y p la densidad, demostrar que una condición ne cesaria para el equilibrio (velocidad nula) es rot (o G ) = O . 4. Demostrar que de la condición de equilibrio del problema anterior te deduce que también debe cumplirse la condición G .ro t G = O . 5. U n fluido incompresible está sujeto a la fuerza exterior G = (2 * — — y) I — xj + «*K . Suponiendo que esté en equilibrio y que en el origen de coordenadas la presión sea nula, hallar la presión en cada punto. 6. Supongamos un fluido para el cual se cumplan las siguientes condicio nes: a ) la densidad es función de la presión; b) las fuerzas exteriores derivan de un potencial; c) en un instante dado existe un potencial de velocidades. Demostrar que en todo momento seguirá existiendo un potencial de velocidades. 7. Pro/bar que la velocidad V en un movimiento estacionario de un fluido incompresible, cuyas fuerzas exteriores deriven de un potencial, cumple la condición (rot V . V ) V - (V . V ) rot V = O , 8. Probar que para un fluido incompresible se cumple siempre la ecuación d rot V ----------- = (rotV . V ) V + rotG . dt

9. Supongamos un depósito lleno de un liquido incompresible que se mantiene a una altura h constante, a pesar de tener en el fondo (que se su pone horizontal) un agujero por el cual el liquido sale a ima velocidad v,. Se pide: 1^: Comprobar que el teorema de Bernoulli da en cite cato

222

28. N o t a s

1 .

— I/· +

2

Co m plem entos

y

del

C a p ít u l o

VI

P

+ — = cte.

e

siendo g la aceleración de la gravedad, p la presión y z la altura sobre la base; 2* Determinar el valor constante de esta expresión para el caso de una partícula situada en la parte superior del líquido y deducir de ello la fórmula Vi* = 2 gh (teorema de Torricelli).

28. NOTA S Y C O M PL EM EN TO S DEL C A PIT U L O V I 1. Funciones de Bessel y de Legendre. La ecuación de Laplace A

ín

A

-J- — cPr 4— r
r

Si se buscan las soluciones de la forma
---------------------------Zj il(n-fi)!

(5)

,

^

„

7v(*)C0SVrt- / _ , ( * )

y. = h m -------------------------------

>'-►*

isO

te n v rt

y las de recurrencia

2

(X) =

(x) -

(*) , — / . (*) = 7.-1 (*) + / . « ( * )

(6 )

* 7. M y .’ M -

2

rn (*) 7.' (*) = -----

nx

donde los acentos indican derivadas.

Soluciones con simetría esférica: funciones de Legendre. En coordenadas esféricas, la ecuación A


del

A n á l is is

V e c t o r ia l

Busquemos las soluciones de la forma (p = / (o ) g (0 ) h (a ) . Se en cuentra que la ecuación (7 ) se satisface si

(8)

-

(9)

f h ” + m*h = O

1

( 10)

(o’ /')' = C

( s e n 0 . / ) '— g sen O sen’ 8 donde m , c son constantes. Las soluciones de (8 ) y ( 9 ) , poniendo c = = n (n + 1) , son (11) f zz a q' b o'*'* , A = <2i eos mq; + b¡ sen mcp donde a , b , Oi, b i, son constantes de integración. P ara la ecuación (10) es cómodo poner = eos O con lo cual resulta

(12 )

5 = 0.

n (n + 1) -

(1 - ti’)

d\i . n esta ecuación adm ite como solución particu lar la función

Si m

P .,. (n) = (1 - ^’) " / » . ^ P . ( n )

(13)

dv."

donde P» (n ) son los llamados polinomios de Legendre, que pueden definirse por el desarrollo (i < 1) (1 4 )

------------- ------------- = 1 + P i t + . . . + P . t " + . . .

V l-2 tm -í> o bien por «er (15)

P. =

1

d*

2" n i

du"

-

1 ) ·.

_ Los P ,.» son las llamadas funciones esféricas o funciones de Iêgendre asociadas. P ara los primeros valores de m , n se tiene P .=

1 ,P . = H , P .

= l ( 3 ^ · - l ) , P » = J

P . = — (35 n‘ -

8

(5 ü ’ - 3 n ) ,

SOn* + 3 ) , . . .

y p a ra las funciones esféricas P .,. =

1

, P ,., = , P ,,, =

(1 -

n*)'/» ,

Pm = J

(3 (1* -

1),

P,.i = 3 ft (1 - n’ )>/» , P „ = 3 (1 - n*) , . . . U nas relaciones im portantes entre los polinomios de Legendre son 1

1

P , Pn d n = O (m ^

n)

;

r

P .’ ¿

2

= ------------- . 2 n +

-1

1

-I

El estudio de estas y otras funciones especiales, de continua utilidad en muchos capítulos de la física m atem ática, puede verse en tratados especiales, como son: G. W a t s o n , A treatise on the theory of Bessel functions, Cambridge, 1944·; R. W e y r t c h , Die zylinder Funktionen und ihre Anwendungen, Berlin, 1937; E. W . H o b s o n , T h e theory of spherical and ellipsoidal harmonics, C am bridge, 1931; R. C o u R A N T y D. H i l b e r t , Methods of Mathematical Physics, Nueva York, 1953, vol. I.

224

28. N

otas y

Co m plem ento s

del

C a p ít u l o V I

2. M ovimiento relativo. Consideremos, como ejemplo de aplicación de los vectores a la m ecánica, el caso del movimiento de u n cuerpo alrededor de un punto fijo O . Sean I , J , K los versores fundam entales del sistema de cooraenadas unido ai cuerpo móvil ; estos versores serán funciones del tiempo / . Veamos de calcular las derivadas I ' , J ' , K ' . Poniendo r = a 1 + 3 J + Y K y m ultiplicando sucesivamente p o r I , J , K resulta a = O, P = I ' . J , Y = I ' . K . P or otra parte, derivando las relaciones

r =

p = K* =

1 , l .J = i.K = J.K = o

resulta I . r = J . J ' = K . K ' = O . I ' J + 1 . J ' = I '. K + I . K ' = J '. K + J . K ' = o con lo cual, poniendo (16) a = K . J ' = - J . K ' , b = K - . 1 = - K . r , c = I ' . J = - l . J ' resulta 3 = c , y — — b . Tenemos así I ' =: c J — 6 K . Siguiendo un camino análogo p a ra determ inar J ' y K ' se llega al re sultado

r = (1 7 )

cj - 6K

J ' = - e I + aK K '= 6 I- a J

que son las fórmulas fundam entales del movimiento alrededor de u n punto fijo. Los coeficientes a , b , c , funciones de t , determ inan com pletam ente el mo vimiento. D ado u n punto X» = *o I + y» J Zo K , invariablem ente unido al cuerpo móvil, su velocidad en el instante t (velocidad instantánea) será ( 18) Xo' = jfo I ' *1“ yo J ' ¿o K ' 3= ( — c yo b zo) I -f" {e xo — a Zi}) J -f" + {— b Xt + a vo) K la cual será nula p ara valores de *o, y«, Zt proporcionales a a , b , c . Es de cir, los puntos de la recta que pasa por O y que contiene el vector

(19)

D = flIi-6J + c K

tienen su velocidad instantánea nula. Por esto, al vector D se le llama vector rotación instantánea (o también vector de D arboux). U tilizando este vector, la velocidad Xo' se puede escribir (20) Xo' = D A X . . La aceleración será (21) Xo" = D ' A Xo + D ''X o' = D ' A X„ + D M D ' X„) . Supongamos ahora un punto X = j c I - | - 3' J - l - z K cuyas coordenadas sean tam bién funciones de í , o sea, un punto que se mueva relativamente a los ejes I , J , K . Su velocidad absoluta o total será (22) siendo (23)

X ' = * ' I -f / J

- f z'K + * 1 ' -t- y J ' -t- z K ' = V , 4- D A X V , = x 'I + y j H - z ' K

la velocidad relativa de X . El sum ando restante D a X , según (20) cs la velocidad de arrastre debida al movimiento de todo el sistema móvil. Para la aceleración se tiene (24) X " = A + 2 D A Vr - f D ' A X + D A X ' = A-f2DAVr + D A(DA X)-fD 'AX donde A = *" I y" J z" K es la aceleración relativa, (25) D A (D A X ) + D' A X , según (21) es la aceleración de arraslie. y 2 1) A V , es la llamada aceleración de Coriolis. 225

A

p l ic a c io n e s

del

A n á l is is

V e c t o r ia l

E jtm p lo: Movimiento de un punto sobre la superficie de la Tierra. Vamos a aplicar lat fórmulas anteriores al caso dcl movimiento d e un punto sobre la superficie de la T ierra. Tomemos el origen de coordenadas en el centro de la T ierra y el versor K en la dirección del Polo N orte. Sean L , J· dos versores ortogonales fijos en

F ig u r a

92

el plano del ecuador e I , J los mismos venores en elinstante t , después áe girar la T ierra u n ángulo
, J = — I, sen (p + Jo eos
' que, teniendo en cuenta que la T ierra tard a un día (86.400 segundos) en recorrer el ángulo 2 n , vale q > '= 7 ,2 9 X iO"*. Dado lo pequeño de este valor, en general se puede despreciar en (2 9 ) el tercer su mando en que aparece el cuadrado de D . P or otra p arte, siendo la velocidad de rotación de la T ierra constante es D ' = O, con lo cuai queda

226

28. N o t a s

y

Com plem entos

del

C a p ít u l o V I

G = A + 2 D A V, o lea

(30)

A = G + 2V ,

a

D .

E jto nos dice que el movimiento ocurre como ei a la fuerza de la gravedad G se le añadiera otra nueva fuerza 2 V r A D (fuerza de C oriolis). L a ecuación (30) es la ecuación diferencial vectorial del movimiento. Igualando las componentes de los vectores de ambos miembros se tiene un sis tem a de tres ecuaciones de segundo orden con tres incógnitas ' ( * ( < ) » > (*) > z ( í ) ) com plicado de integrar exactamente. Sin embargo, suponiendo, en prim era aproximación que V r es la velocidad que se obtendría si el movimiento le produjera con la T ierra en reposo, le pueden deducir d o · coiuecuencias no tables: a ) P ara el caso de un pu n to en caída libre, V r est& dirigida hacia el centro de la T ierra y por tanto V , A D es norm al al plano m eridiano del lugar y está dirigido hacia el Este. A la fuerza de la gravedad se le suma, p or tanto, una fuerza horizontal dirigida hacia el Este. D e aq u í: por efecto de la rotación

de la Tierra, los cuerpos que caen libremente sufren un desvio hacia el Este. b) P ara el caso de u n movimiento horizontal (por ejemplo el caso de los vientos en. m eteorología), el vector V r A D está dirigido hacia la derecha de Vr en el H em isperio N orte y hacia la izquierda en el Hemisferio Sur. Basta observar, p ara verlo, que en el Hemisferio N orte D está dirigido hacia el exterior de la T ierra y en el Hemisferio Sur hacia el interior. E n consecuencia:

por efecto de la rotación de la Tierra, los cuerpos en mowimiento horizontal sufren un desvio hacia ¡a derecha en el Hemisferio Norte y hacia la izquierda en el Hemisferio Sur.

227

LLi!

Segunda Parte

TENSORES

m

·

CAPITULO VII

T R A N S F O R M A C IO N E S L IN E A L E S . M A T R IC E S

29. EL ESPA CIO A FÍN D E n DIM EN SIO N ES L Espacios n-dimensionales. U n punto de una recta queda de terminado por el valor de un solo parám etro; su abscisa o distancia a un origen fijo. Lo mismo ocurre para una curva cualquiera, pues sus puntos, siendo funciones de un solo parámetro, quedan determinados por el valor del mismo. Se dice que la recta y las curvas son espacios de una dimensión. I ' i
Xn.

Los espacios de n dimensiones no son creaciones artificiales sino que aparecen de m anera natu ral tan to en geom etría como en física; veamos algunos Ejemplos: 1. P ara determ inar una recta del espacio hacen falta 4 coordenadas. En efecto, sus ecuaciones reducidas son de la form a y = a x b, z — px + q y p ara poder escribirlas hacen falta los valores de los 4 parám etros a , b , p , q . Por ta n to : el espacio ordinario, considerado como conjunto de rectas (se llam a el espacio reglado), es de 4 dimensiones. 2. Para determ inar una esfera hacen falta 4 parám etros: las 3 coorde nadas X , y , z de su centro, más el radio r . C ada esfera se puede por con-

231

T r a n s f o r m a c io n e s L i n e a l e s . M a t r ic e s

ligulente representar por un punto del espacio de 4 dimensiones cuyas coorde nadas sean x, = x , x, = y , x, = z , X4 = r . E n este caso, Xt sólo puede variar entre O ^ ^ + 00 . El conjunto de las esferas del espacio ordinario es un espacio de 4 dimensiones. 3. U na cónica del plano queda determ inada por 5 parám etros: los coefi cientes de su ecuación general, supuesto que uno de ellos se h a tom ado igual a la unidad. Por ta n to : el conjunto de las cónicas del plano constituye un espacio de 5 dimensiones. 4. U n suceso o hecho físico queda determ inado cuando se da el lugar en que ocurre (3 coordenadas x , y , z ), más el momento o tiem po t en que se produce. Para determ inar un suceso hacen falta, por tanto, las 4 coordena das X , y , z , t . Es decir, el espacio de los sucesos o espacio-tiempo de la física es de 4 dimensiones. 5. Supongamos un sistema mecánico con n grados de libertad. Ello significa que p ara determ inarlo hay que d a r los valores de n parám etros. Por tanto podrá representarse por los puntos de un espacio de n dimensiones, a cuyos puntos corresponderán los estados del sistema. Así, un segmento rígido móvil en el espacio depende de 5 parám etros (por ejemplo, las 3 coordena das de un extremo y los 2 cosenos directores necesarios p ara d ar su dirección) ; sus posicionej se podrán representar por los puntos de un espacio de 5 di mensiones.

2. El espacio afín n-dimensíonal. P ara poder estudiar la geome tría de un espacio mediante las coordenadas de sus puntos, hace falta que la correspondencia entre los puntos y sus coordenadas sea biunívoca, es decir, que el punto determine sin ambigüedad sus coordenadas y éstas el punto. A veces no es posible conseguir esto de una vez para todo el espacio, y es necesario dividir éste en pedazos y en cada uno de ellos definir coordenadas adecuadas. Por ejemplo, sobre la superficie de la esfera no es posible definir un sistema de coordenadas X i , X2 tal que a cada punto corresponda un solo par y a cada par x ^ , X2 un solo punto. Con las coordenadas usuales, por ejemplo, aTj = q> = longi tud geográfica, X2 = Q = latitud geográfica, quedan los polos como puntos excepcionales, pues para ellos cp toma cualquier valor. Para la recta, el plano y el espacio ordinario existen los sistemas de coordenadas cartesianas que tienen la propiedad de que un mismo sis tema vale para todo el espacio, pudiendo las coordenadas tom ar todos los valores desde — « a + <» . U n espacio en que esto ocurre se llama un espacio afín y las coordenadas correspondientes se llaman coorde nadas cartesianas del espacio. Es decir; D e f . 1 : Es-pacio afín w - d i m e n s i o n a l e s e l e s p a c i o e n t r e c u y o s p u n to s y lo s c o n j u n t o s d e n n ú m e r o s r e a l e s c u a l e s q u i e r a se p u e d e e s t a b l e c e r u n a c o r r e s p o n d e n c i a b i u n í v o c a .

X i, X2 > ... , Xn

Los números x¡ son las coordenadas del punto, y el dar la corres pondencia significa que se ha dado un particular sistema de coordena das, al que llamaremos cartesiano. Los sistemas de coordenadas cartesianas de un espacio afín son in finitos. Cualquier sistema de ecuaciones lineales 232

2 9 . E l E s p a c io

(1)

X i'= '!¿: a n Xj + bi

/-I

tal que (2)

A f ín

de

n

D im e n s io n e s

(i = 1 , 2 , . . . , n)

det {a n ) ^ O

detennina un nuevo sistema cartesiano Xi . En efecto, cumpliéndose (2) , el sistema (1) permite calcular las Xi a partir de las x\ , y por tanto la correspondencia entre los puntos del espacio y los valores de las Xi será también biunívoca. Se tiene así un nuevo sistema de coorde nadas cartesianas. Las fórmulas (1) son las que dan el cam bio de coor denadas.

Si el cambio de coordenadas conserva el origen, debe ser 6» = O y las fórmulas de transformación quedan (3)

Xi'

a ijX j

{i = l , 2 , . . . , n )

/=1 que son lineales y homogéneas. Estas transformaciones son las que más interesan en cálculo tensorial. 3. El espacio euclidiano n-dimensional. Cuando en un espacio afín se introduce la manera de medir la distancia entre dos puntos se dice que se ha introducido una métrica en el espacio. El caso más im portante de espacio métrico es el espacio euclidiano que vamos a definir. La recta, el plano y el espacio ordinario con la definición usual de distancia son los espacios euclidianos de una, dos y tres dimensiones res pectivamente. Para la recta, la distancia entre dos puntos de abscisas X i, yi está dada por la fórmula d = — Xx. Para el plano, en un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales, la distancia entre dos puntos de coordenadas (ati , x^) , {y^, y^) está dada por la fórmula d^= [ y i - x i Y + { y .- x ^ y . Análogamente, para el espacio ordinario y respecto de un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales, la distancia entre dos puntos (■*1, X2 , X s ) , ( y i , y 2 , V i ) está dada por = iVi - XiV + (yz - Xi)^ + iVi - Xí)^ · La generalización de esta fórmula de la distancia a un mayor nú mero de dimensiones conduce a la siguiente definición: D e f . 2: U n espacio se dice que es euclidiano y de dimensión n cuando: 1’ Existe una correspondencia biunívoca entre sus puntos y los conjuntos { x i , x^, . . . , x„) de n números reales cualesquiera (o sea, es un espacio a fín ); 2’ La distancia d entre dos puntos {xi) , [yi) está definida por la expresión (4) d^ = [ y t - x^y + [ y 2 - X 2 y + . . . + [ y n - ^»)* · Los sistemas de coordenadas para los cuales vale esta expresión de la distancia se llaman cartesianos ortogonales. Para otros sistemas de 233


coordenadas la distancia puede tom ar otra expresión. El hecho de que el espacio sea euclidiano significa que existe un particular sistema de coordenadas (naturalm ente no único) respecto del cual la distancia entre dos puntos se expresa por la fórmula (4) . Por ejemplo, si en el plano referido a las coordenadas cartesianas orto gonale» X i, Xt se pasa a las coordenadas polares X,' =

( ati* +

la distancia entre dos puntos

Xl' = are tg —

*1

(x, , x,') ,

( y , ', yt')

resulta

d ' r= atV - f yV — 2AT'.y'iC0S (x’t — y't)

que ya no es de la form a (4 ) . E n cambio si las nuevas coordenada» están dadas por Xl = Xl co» (p — *1 sen + a , Xt = xi sen tp + Xa cos tp + 6 con a , b ,
EJER C IC IO S L Con la definición de distancia deducida de la fórm ula (4 ) probar: a ) la distancia entre dos puntos es nula únicam ente si los puntos coinciden; b) para tres puntos cualesquiera A , B , C vale entre sus distancias la propiedad triangular A C AB B C , en la cual el signo igual puede valer única m ente si los tres puntos están en línea recta. 2. El im poner la condición de que las coordenadas xi sean números reales significa que nos limitamos al espacio euclidiano real. Si las xi pueden ser números complejos, las mismas definiciones anteriores dan los espacios afín y euclidiano complejos. Probar que en este caso com plejo la distancia entre dos puntos puede ser nula sin que los puntos coincidan (si n ^ 2) . Por este motivo la definición de distancia (4 ) no sirve en el caso complejo. Probar que, en cambio, la definición rf* = (y, — x ,)(y i — x i) * - f ( y . - x . ) ( y . — x>) *-{-. . . - f ( y » - x . )

(y» -

x .)*

donde el asterisco indica el complejo conjugado, no adolece de ese defecto. 3. El punto M será el punto medio del segmento A B si A M = M b . Si Xl son las coordenadas de ^4 y y< las de B , calcular las coordenadas de M . 4. ¿C uál es la dimensión del espacio que representa el conjunto de los triángulos del plano? ¿Y el de los triángulos equiláteros? D efinir en estos espacios u n a m étrica euclidiana [de la form a (4)] e interpretarla cn el plano de los triángulos. 5. Si en la definición de distancia (4 ) algunos de los términos del se gundo m iembro son negativos, se dice que el espacio es p s e u d o e u c lid ia n o . Por ejemplo, en el espacio { x , y , R ) de las circunferencias del plano (x y coor denadas del centro, R el rad io ), se puede considerar la m étrica í f = (xi — xs)’ + + (y» — y«)* — { R l — R t ) * . E studiar la representación geométrica de esta distancia en el plano de la» circunferencial. 234

3 0 . T r a n s f o r m a c i o n e s L i n e a l e s . M a t r ic e s

30. TRANSFO RM ACIO NES LINEALES. M ATRICES 1. Transformaciones lineales. Sea Rp un espacio afín de dimen sión p y sean Xi ( ¿ = 1 , 2 , . . . , / ) ) las coordenadas de sus puntos. Análogamente, sea Rq un espacio afín de dimensión q y sean x^ [h = \ , 2 q ) las coordenadas de sus puntos. D e f . 1: Se llama t r a n s f o r m a c i ó n l i n e a l de Rp en Rq a toda transformación de los puntos del primer espacio en los del segundo definida por ecuaciones lineales y homogéneas de la forma (1)

X i' =

"Z OiT, xt,

Los coeficientes

l ,2 ,

, q)

.

son constantes y forman la matriz 'f l l l

A =

(2 )

{i =

«21

«12 . . . « 2 2 · · ■. ÉÍ2P

.« íl

• « w j

llamada m a t r i z d e l a t r a n s f o r m a c i ó n . Entre las transformaciones linea les y sus matrices correspondientes hay una correspondencia biunívoca. Por esto indicaremos con la misma letra A tanto a la m atriz (2) como a la transformación lineal (1) que le corresponde. Obsérvese que hemos definido como transformaciones lineales a las transformaciones homogéneas. U na transformación lineal general tiene término independiente en los segundos miembros de (1) . Sin embargo, como únicamente nos van a interesar las transformaciones homogéneas, para evitar una continua repetición llamamos simplemen te “transformaciones lineales” a las que, más precisamente, deberíamos llamar “transformaciones lineales homogéneas” . 2. Producto de transformaciones lineales. Sea la transformación lineal A de Rp en i ? / y la nueva transformación B de Rg' en R / ' definida por = 2 xh" ■

(3)

b ki X i'

i.l

[k = 1 , 2 , ■ ■ ■ , r )

o sea, por la matriz 1' 6 ll

b¡2 ■ · . &2,

B =

(^)

¿»12.. . fci.

.b r.

•

br2 . .

D e f . 2:

Se llama t r a n s f o r m a c i ó n l i n e a l p r o d u c t o B . A a la trans formación de Rp en R / ' obtenida como resultado de verificar suce sivamente las transformaciones A y B . 235


Las ecuaciones de esta transformación producto, según (1) y (3) serán a:/' = 2 2 { k = \ , 2 , . . . ,r ) {>1 k=l y por tanto es otra transformación lineal C cuya matriz es (5)

(6)

Cll

C12 . . · C-íp

C21

Í22 · . . Cif

Crx

Cr2 . . . Crp_

C = B .A =

con Cif — 2 bit, aitj .

(7)

kml

La m atriz C de la transformación producto se llama matriz pro ducto de las matrices B y A . Por este camino de las transformacio nes lineales aparece de m anera natural la ley (7) para formar los ele mentos de la m atriz producto. Observaciones:

1. Dos matrices son iguales cuando dan lugar a la misma trans formación lineal, o sea, en consecuencia, cuando tienen iguales todos sus elementos. 2. Si una matriz tiene q filas y p columnas, se dice que es del tipo q X p . Si q ^ p , la matriz se llama rectangular, y si q = p cuadrada. 3. Para que el producto de dos matrices B , A esté definido es necesario que si B es del tipo r X q , A sea del tipo q X p . El pro ducto es entonces del tipo r X p . 4. Si convenimos en representar por x , x' a las matrices de una sola columna formada por las coordenadas respectivas, o sea 1

■

r

Xt

Xt •

(8 )

X

•

=

1

X '

=

• • •

« .

.

.

V

.

con la definición anterior de producto de matrices, la transformación lineal (1) se escribe (9 )

236

x> = A x .

3 0 . T r a n s f o r m a c i o n e s L i n e a l e s . M a t r ic e s

Consecuencias de la definición de producto de transformaciones lineales o de matrices son; a) Si A es del tipo p X q , B del tipo g X r y C del tipo r X s , vale la propiedad asociativa: (10) A .(B .C ) = (A .B ).C . b)

No vale, en general, la p ropiedad conmutativa. L a conmucon r¥· p ,

tatividad no tiene sentido para matrices p X q y q X r pero sí en los casos en que sea p = T . Por ejemplo, si es 1 A =

-2

O

1

O

3

-4

B =

O 3 -2 O -1 existen ambos productos A .B y £ ..4 ; sin embargo ellos son distintos, pues -6 5 -4 9 - 6

A .fí =

r o

O

-3

2

B .A =

7

3

O!

-1 2

j

Adición, sustracción y producto por un escalar. Si A = {aij) , son dos matrices con el mismo número de filas y columnas, la suma o diferencia de ambas se define por la nueva matriz 5.

B = (b ij)

(11)

A ± B = (a u ± hi4) .

Si el número de filas o de columnas no es el mismo en las dos m a trices, la suma o diferencia no está definida. De aquí; a) La adición es asociativa y conmutativa. b) Si A es del tipo p X-q y B , C son del tipo q X r , en el primer caso, y r X p en el segundo, vale la propiedad distributiva ; A . [ B ± C) = A .B ^ A .C

,

[B ± C ) . A = B . A ± C .A .

El producto de una matriz A = (a¡/) por un escalar X sedefine como la matriz cuyos elementos son X a i ) , o sea, (12) I A = A l = (X ai,) . Es decir, se multiplican todos los elementos dt la matriz por el escalar. E je m p lo s :

r

(1-1 3 I 13

O

O') 4J

(3 - 3

0 .

9

0

12

(-2)

1

0 1 3

-1

'1 2 0 ,1

—2

_

2 '!

0 -4 .-6

0J 237

T r a n s f o r m a c io n e s

L in e a l e s . M

a t r ic e s

4. M atriz traspuesta de otra. D ef. 3: se llama matriz traspuesta de una matriz .4 a la que resulta al perm utar sus filas v columnas. La representaremos por , de m anera que será A* = ( « i/) con Gij* = üfi . Si A es del tipo p X q , A* es del tipo q X p . Por ejemplo, si 1

- 2 ') At

'

A =

=

r

1

I _2

O

3

4j ·

Para la traspuesta de una suma vale (A — B )* = A* ^ B * . Para el producto, vale (13) ( A . B ) ‘ = B ‘ .A' En efecto, siendo los elementos de la matriz producto cj/ = 2 an, t*/ k será Cij* = 2 ajhbhi, y por otra parte, lo; elementos de B*.A* son también 2 bih* Uhi* = 2 bhi k h

= Cij* .

EJE R C IC IO S 1. Escribir las ecuaciones de la transform ación lineal A que hace co rresponder a cada punto ( x , y , z) del espacio ordinario su proyección orto gonal sobre el plano * -|- y -f- z = 1 . C alcular A ' . 2. Escribir las ecuaciones de la transform ación lineal A que hace co rresponder a cada pun to { x , y ) del plano, el que resulta de una rotación de 60° alrededor del origen de coordenadas. Luego las de la transformación B que hace corresponder a cada punto el resultado de una traslación de am plitud a paralela al eje x . H allar A . B y B . A (tan to como transform a ciones como p a ra sus matrices correspondientes). 3. Escribir las ecuaciones de u n a simetría, en el plano, respecto de la recta x — y = O . 4. D ad a la m atriz A y t i producto A . B , ¿en qué casos se puede de term inar B ? 5. C om probar (13) p ara las matrices 3 O Í3 0 -1 s-i A =

0

0

0

1

.3 — 1

2

OJ

B =

-1

O

4 -1 5

O

6. D ar ejemplos de matrices no nulas cuyo producto sea la m atriz nula. 7. H allar las condiciones que deben cum plir los coeficientes de la trans formación lineal del plano x' = a x + b y + c , y' = p x + g y + r

238

31.

M a t r ic e s

C uadradas

pju-a que represente: a) u n a rotación alrededor de un p u n to ; b) una sLmetria respecto de una recta; c) una congruencia; d) una semejanza. 8. Si una m atriz B tiene la últim a columna igual a la suma de las co lumnas anteriores, el producto A . B tam bién tiene la misma propiedad cual quiera que sea A (de tipo conveniente p a ra que el producto sea realizable).

31. M A TR IC ES CUADRADAS 1. M atrices cuadradas. Transformaciones inversas. Supongamos una transformación lineal (1) x' = A x entre dos espacios de la misma dimensión n . Estos dos espacios pue den ser coincidentes, en cuyo caso la transformación actúa entre los puntos del mismo espacio. La matriz A tendrá en este caso igual nú mero de filas que de columnas, o sea, será una matriz cuadrada. El número n se llama orden de la matriz. Si los dos espacios son coincidentes se llama transformación idéntica o simplemente identidad a la que hace corresponder cada punto consigo mismo, o sea a la transformación x' = x . L a matriz de esta transfor mación es la llamada matriz unidad de orden n , y la representaremos por

(2)

E =

^1 O O ... O O 1 O ... O O O 0... 1j

De aquí y de la definición de producto de transformaciones linea les o de matrices se deduce que para cualquier matriz A de orden n vale (3) A . E = E .A = A . Dado un punto x , la ecuación matricial ( 1) nos da el transfor mado x ' . Recíprocamente, dado un punto x ' , ¿será siempre el trans formado de un punto x ? Para que ello sea posible deberá poderse resolver el sistema de ecuaciones lineales (4)

Xi' = " 2 aihXh hsl

{i = l , 2 , . . . , n) .

El álgebra enseña que la condición necesaria y suficiente para que un sistema de esta naturaleza tenga solución única es que el determi nante de los coeficientes, o sea el determinante de la m atriz A , sea distinto de cero * . Indicaremos este determinante por cualquiera de las notaciones • Suponemos conocidas la definición y principales propled&det de lo · determ ínanfei. Al respecto s e puede ver, p o r ejem plo, J . Rjry P a s t o r , P . P i C a l l e j a j C. T » e j o , Análisis Mattmático» Buenos A ire·, E ^ to ria l K apelusz, 1952, C ap. I I I , i ¡3,

239


det. ^ = I ^ I = I fli, I . En ese caso, la solución está dada por la regla de Cramer, a saber

(5)

Xh =

J-l

(h = 1 , 2

aj),x¡'

n)

con (6)

a„ - - J 7 J - ·

La transformación (5) es la inversa de la (1) (o de la (4) que es la m ism a). La matriz de sus coeficientes es, por definición, la matriz inversa de la A , la cual se representa por A'^ y cumple las condiciones (7) A -KA = A.A-^ = E . Estas relaciones son evidentes consideradas como representantes del producto de una transformación lineal por su inversa y también se pueden demostrar fácilmente a partir de los valores (6) de los ele mentos de A~^. Obsérvese que de (5) y (6) se deduce que si elprim er índice indica siempre la fila y el segundo la columna, es (8) A-^ = (am )* Las relaciones (7) equivalen entonces a n n ahi Oki = aa, a¡n = hi¡ h=i

,'»=i

siendo

c»)

¿ ¡I

lo cual no expresa otra cosa que la propiedad bien conocida de los de terminantes que dice: “la suma de los elementos de una fila por sus adjuntos es igual al determinante y la suma de los mismos elementos por los adjuntos de una línea paralela es nula” . Los símbolos bij definidos por las condiciones (10) sellaman sím bolos de Kronecker y se utilizan con m ucha frecuencia. 2. Algunas propiedades de las matrices. Son importantes las si guientes propiedades: a) L a inversa del producto de dos matrices se calcula por la fórm ula (11) [A.B)-^ = B-KA-^ .

En efecto, basta observar que por la propiedad asociativa del pro ducto se tiene, {A .B ) .{A .B )-^ = A.B.B-^.A-^ = E b) L a inversa de la inversa de una matriz es la matriz primitiva.

En efecto, aplicando (11) 240

a A.A'^ = E resulta

r 31.

M a t r ic e s

C uadradas

= E-^ = E

y multiplicando a la derecha por A ambos miembros (12) (A-^)-^ = A . c) La inversa de la traspuesta de una matriz es igual a la tras puesta de la inversa.

En efecto, aplicando 30.13 se tiene [A .A -^ y = (A-^)^.A* = E< ■= E y multiplicando a la derecha por

(^4')"^ ambos miembros, resulta

(A-^)‘ = (^ ')-*

(13) conforme al enunciado.

3. M atrices simétricas y antisimétricas. U na m atriz cuadrada se llama simétrica si a u — aji y antisimétrica si a u — — a¡i

.

Observanoo que J/2 [ A + A ‘ ) es simétrica y simétrica, poniendo (14) A = V 2 { A + A ‘ ) + 1 /2 ( A - A resulta: V

V i {A — A ‘ )

anti-

‘)

T o d a matriz cuadrada es siempre la suma de una matriz simétrica otra antisimctrica. Ejemplo;

Sea ' -1 A =

3

2

V,

0 -1

1

r - 1

0 -2

1 0 A plicando (13) resulta % 1r - 1 A =

0' .

A' =

2

1J

.

V ,' -1

■ f

0

0 -V V.

1

0

0

- 2

2

0

1

'

j

— V2 '

—1

1

1 .1

3

0 .

4. Potencia de una matriz. Sea A una matriz cuadrada. Por apli cación sucesiva del producto se pueden definir las potencicis A^, A^, ... Si A ‘ = A O se dice que A es idem potente. Si A' = O se dice que A es nilpotente de índice r . Ejemplos; 1. L a siguiente m atriz es idem potente: f4 - 2 ') A = I A ' r=

L6

-3J

4

-2 '

(.6

-3 .

241


2. L a matriz

A =

1

0

o Ì

O O O

1

0

O

1

o

o

ei nilpotente de índice 4 , puesto que

A‘ =

O

O

1

0 0 0

0 0 0

0 0 0

o' 1 0 0

O

A‘=

o o o

o o o o

o o o o

A* = o

5. Grupos lineales general y especial. Recordemos de la teoría de determinantes que el producto de dos de ellos (del mismo orden) se verifica por la misma regla que el producto de matrices, es decir, vale la relación (15) det ( ^ .B ) = (det ^ ) . ( d e t B) De aquí, poniendo B = , resulta

det A-·^ = — ------------------ . det A Obsérvese también que aun siendo, en general, A .B ¥‘ B . A , es, en cambio (17) det (A .B ) = det (B .^ ) y, además, puesto que un determinante no varía al perm utar sus filas y columnas, resulta también (18) det A = det A* . Consideremos ahora el conjunto de todas las transformaciones li neales entre n variables cuyas matrices tengan el determinante no nulo. Observemos que este conjunto tiene las siguientes propiedades: a ) El pro
ciones lineales (o de las matrices) de orden n y determinante no nulo form an un grupo. Es el llamado grupo lineal general de orden n .

Si sólo se considera el conjunto de las transformaciones lineales (o de las matrices) cuyo determinante vale la unidad, también se cum plen las propiedades a) , b) y por consiguiente forman también grupo: es el llamado grupo lineal especial de orden n . 242

31.

M a t r ic e s

C uadradas

EJER C IC IO S 1. U na m atriz cuadrada cuyos únicos elementos distintos de cero son los de la diagonal principal se llam a matriz diagonal. Probar que la suma y el producto de matrices diagonales son nuevam ente matrices diagonales. 2. Buscar la m atriz de la transformación que a cada p u n to del espacio hace corresponder su proyección ortogonal sobre el plano a x \ - b y - \ - c x - \ - d = 0 . Probar que es idem potente y justificarlo geométricamente. 3. Probar que si A . X — X . A cualquiera que sea la m atriz A , en tonces X es de la form a q E { q — escalar). 4. Probar que A* , A es siempre u n a m atriz simétrica. 5. D em ostrar que el determ inante de u n a m atriz antisim étrica de orden im par es siempre nulo. 6. Si A es antlsim étrica, p ro b ar que A* es simétrica. 7. Si A , B son m atrices simétricas, p ro b ar que el producto A . B ei simétrico solamente si A . B B .A , 8. Probar que ú A , B son antisimétricas, la com binación A . B — B . A es también antisimétrica. 9. Si {i z= 1 , 2p) son las coordenadas de un espacio afín y yi (i = l , 2 q) las de otro, se llam a j u m a directa de los dos espa ciosal espacio afín de dimensión p + q , cuyos puntos tienen las coordenadas ( x t , X t, X r, y i , y t , , Vt) . Si se tiene u n a transform ación lineal A en el prim er espacio y o tra B en el segundo, ellas inducirán u n a transform a ción lineal en el espacio sum a, que se llam a suma directa de A y B . La. m a triz de esta transform ación se llam a sum a directa de las m atrices A , B y se representa p o r A Bz=

.1

O n

\f^

_

Lo

I .

Bj

a)

Probar las siguientes propiedades de la suma directa: (A e B) e c = A e (B e c) b) { A l ® B.) (A , e & ) = A t A , B,B» c) (A © B ) ' = .4' © B' d) ( ^ © B)-‘ = ^ - ' © B-*. 10. D ados los dos espacios afines d fl ejercicio anterior, se llam a producto directo de los mismos al espacio afín de dimensión pq cuyospuntos están de finidos por las coordenadas xi y i . Las dos transformaciones lineales A , B in ducirán tam bién un a transform ación lineal en el espacio producto, cuya m atriz (llam ada producto directo de las matrices A , B) es A X B = {Aba) es decir, es una m atriz cu ad rad a de orden pq coya prim era fila es, por ejemplo, On bu , a a b a , du fru , ■ . . , bu , an ba t · · · , · Probar las relaciones: (A X B) X C z = A X (B X C ) {A , + A ,) X B z = A i X B J r Á , X B { A X B ) · = A · X B· ( A X B ) ' { C X D) = A C X B D ( A X B) ‘ = A * X fl - . 11. Se llam a matriz triangular superior (inferior) a toda m atriz cuadrada que tiene nulos los elementos que están encim a (debajo) de la diagonal principal. Probar que el producto de matrices triangulares superiores (inferiores) es una matriz del mismo tipo.

243

T r a n s f o r m a c i o n e s L i n e a l e s . M a t r ic e s

32. TRANSFO RM ACIO NES Y M A TR IC ES ORTO G O N A LES 1. Transformaciones y matrices ortogonales. Consideremos un es pacio afín de n dimensiones y una transformación lineal entre las va riables Xi, Xi (i = 1 , 2 , 3 , . . . , n) , que sabemos puede escribirse en la forma matricial (1) x> = A x o en la forma desarrollada (2)

X i' = ^

aiHXi, .

{i =

\

, 2,

, n) .

Esta transformación lineal puede interpretarse de dos maneras di ferentes . Si las Xi se consideran como las coordenadas de un punto y líis Xi' como las de otro punto, referidos ambos al mismo sistema de coordenadas, las ecuaciones (1) y (2) definen entonces una transfor mación del espacio en sí mismo, llamada simplemente transformación lineal o también afinidad. Más precisamente, se trata de una centroafinidad o afinidad que deja invariante el origen de coordenadas. Pero se puede también suponer que las Xi y las Xi sean las coor denadas de un mismo punto del espacio, referido a sistemas de coorde nadas diferentes. Se dice entonces que las ecuaciones (1) , (2) son las que definen una transformación o cambio de coordenadas (29.2) . Ésta es la interpretación que va a convenir en lo que sigue. Supongamos que el espacio sea euclidiano, es decir, que exista un sistema de coordenadas respecto del cual la distancia d entre dos pun tos x , y esté dada por la expresión (3) d^ = (yi - î)" + (ya - X2 Y + · ·. + (y„ - a;„) la cual puede escribirse, en forma matricial, (4) d" = (y - x)*. (y - x) donde la matriz del segundo miembro es una matriz de un solo ele mento, el cual es precisamente ; es decir, en (4) se suponen iden tificados la matriz de un solo elemento del segundo miembro con el valor del elemento mismo. Queremos ver las condiciones que debe cumplir una transformación de coordenadas de la forma (1) para que en el nuevo sistema la ex presión de la distancia sea la misma (4) , o sea que se verifique (5) d^= ( y '- ^ ') < . ( / - ^ ' ) = siendo Y — A y , x' = A x y por tanto ( / — x') = A {y — x) , ( / — x')* = (y — x ) ‘ A * . Sustituyendo en (5) resulta que debe ser (y - x)ÂÂ (y - x) = (y - x)* (y ~ x) . Si esta relación debe valer para cualquier par de puntos x , y del espacio, debe ser A* A = E . Conviene por tanto introducir la siguiente D ef. 1; U na matriz cuadrada se llama ortogonal cuando el pro 244

3 2 . T r a n s f o r m a c io n e s

y

M a t r ic e s O r t o g o n a l e s

ducto de ella por su traspuesta es igual a la matriz unidad, o sea, (6 )

A * A = E .

U na transformación lineal se llama o r to g o n a l cuando lo es la m a triz de sus coeficientes. Obsérvese que la relación (6) equivale a (7) A* = A -^ y por tanto, multiplicando ambos miembros a la izquierda por A , re sulta que se verifica también (8) AA* = E . Llamando sistemas de coordenadas cartesianas ortogonales a aque llos para los cuales vale la expresión (4) para la distancia entre dos puntos, el resultado anterior puede enunciarse: T e o r . 1: L a s tr a n s fo r m a c io n e s lineales q u e d e f i n e n c a m b io s d e sistem as d e c o o r d e n a d a s cartesianas o r to g o n a le s e n otr os d e l m i s m o tip o so n las tr a n s fo r m a c io n e s lineales o rto go na les, o sea a q u e lla s c u y a m a t r i z es orto go na l.

Obsérvese que debido a la relación (7 ) , si a / = A x transformación ortogonal, la inversa es x ^ A* x ' .

es una

Se Duede dem ostrar fácilmente, hágase como ejercicio, que: a ) El oroducto de dos transformaciones (o m atrices) ortogonales es una transformación (o m atriz) ortogonal. b) L a inversa de u n a transform ación (o m atriz) ortogonal es ortogonal, í ) L a transform ación idéntica (o la m atriz un id ad ) es ortogonal. En consecuencia, el conjunto de las transformaciones (o de las m atrices) ortogonales de un cierto orden n forman un grupo. Es el llam ado grupo or togonal de orden n .

2.

Propiedades de Jos elementos de una matriz ortogonal. es una matriz ortogonal, la condición (6) implica las si guientes relaciones » (9) 2 ahi ajtf = 8«;

A = {a u )

y la condición equivalente (8) implica » (10) 2 aih a¡h = 8i/ k>t siendo en ambas relaciones hi¡ los símbolos de Kronecker ya definidos en 31.10. Recíprocamente, si se cumple cualquiera de los dos conjuntos de relaciones (9) ó (10) la matriz es ortogonal. Se tiene por consiguiente: T e o r . 2: L a s c o n d ic io n e s (9) 6 (10) son n ecesarias y su ficien tes pa ra q u e la m a t r i z A = { a t) )

sea o rtog on al.

Si \A\ cs el determinante de la m atriz A , puesto que | yl* | = ] ^ 1 245

Si


y I £ I = 1 , la relación (6) nos dice que debe ser I ^4 |* = 1 ; es decir: T eo r. 3: E l determinante de una matriz ortogonal vale + 1 ó

-

1.

Observemos finalmente que los sistemas de ecuaciones lineales (10) y 31.9 tienen los mismos coeficientes «ía ; por consiguiente, como un sistema de ecuaciones lineales de determinante no nulo no puede tener más que un sistema de soluciones, resulta a/h = «/a · Es decir, tenien do en cuenta 31.6 T eo r. 4 ; Los adjuntos de los elementos d e una matriz ortogonal A , son iguales a los elementos mismos, con igual signo si | .4 ¡ = -t- 1 y con signo cam biado si ( .4 | = — 1 . 3. M atrices ortogonales de segundo orden. Vamos a buscar la forma general explícita de las matrices ortogonales de segundo orden. Poniendo (11) [ “c i. las condiciones (10) de ortogonalidad son

(12)

a» + 6 * = l ,

ac + b d = 0 ,

+

=

Como son tres ecuaciones y cuatro elementos a , b , c , d resulta que lasmatrices ortogonales de segundo orden dependen de un solo parámetro. Para ponerlo de manifieste, pongamos (13) a = eos 0 , b = ± sen 0 . El signo ± de 6 se puede suprimir,suponiendo que 0 puede tom ar valores positivos y negativos. Con estos valores lasecuaciones (12) dan = eos“ 0 , c® = sen* 0 , y teniendo en cuenta las posibles combinaciones de signos para que se cumplan (12) y que 0 puede ser positivo y negativo, resulta que: Las matrices ortogonales de segundo orden con | .4 | = -t 1 son de la forma f COS0 ^ ^

~ [-se n 0

y las de | .4 | = — 1 , de la forma 'eos 0 l^senO

sen0 COS0 sen 0' —cos0^

El parám etro 0 puede tomar también valores imaginarios. Por ejemplo, para el caso A * , poniendo 0 = i (p y recordando que (16) costcp = chcp , sentcp = tshcp resulta que la expresión general de las matrices ortogonales de segundo orden con elementos imaginarios y determinante + 1 , es 2 4 tí

33.

N otas

Co m plem en to s

y

ch q) A* =

(17)

del

C a p ít u l o

VII

i sh cp 1

—tshtp

chq)

J

Son im portantes las siguiente» propiedades, cuya dem ostración dejamos como ejercicio al lector: 1. Probar que la m atriz producto de dos m atrices correspondiente» a lo» valores 0 i , 0 i del parám etro es la correspondiente a 0 i + 0 j . 2. Probar que la» mutrices A* form an grupo y, en cambio, las A~ no.

EJER C IC IO S 1. Probar que son ortogonales las siguientes transformaciones: o)

Xl

=

6)

X i'=

C)

X l'

X,

,

Xt

— X t,

=

,

Xt

Xt

—

= -------- (Xi +

Xt' = X l,

Xl .

Xt

=

,

Xt

= -------- (ati — * 0 ,

X t)

Xt

Xt)

X t.

V2 «)

X l'= —

™ ““

(aTi — 2 *1 —

X* f

2 x t) ,

Xi

Xt

=

3 Xt

=

=

Xt .

V2

X t , Xt

Xl

Xt

Xl

—

·

( — 2 *1

+ Xl — 2 X i ) ,

3

— ■ ( — 2 Xl — 2 Xl +

Xt)

.

3 2. Probar que las transformaciones ortogonales de determ inante + 1 for man grupo y las de determ inante — I no. 3. D em ostrar que si ./l es sim étrica (antisim étrica) y B ortogonal, H ' A B es simétrica (antisim étrica). 4. Probar que si se perm utan la» columnas de u n a m atriz ortogonal, sigue »icndo ortogonal. 5. Si A , B son matrices ortogonales, probar que la suma directa de ambas tam bién es ortogonal (ver apartado 31, ejercicio 9 ). 6. Probar que toda m atriz A n o singular (d e determ inante no nulo) e» igual al producto de una m atriz simétrica p o r o tra ortogonal. 7. Si A = B C , con B simétrica y C ortogonal, probar que = A A*, 8. P robar que si es simétrica, tam bién lo es A ~'‘ .

33. NOTAS Y C O M PL EM EN TO S D E L C A P IT U L O V H Representación de C ayley p a ra las m atrices ortogonales. C ayley h a dado lina fórmula racional p a ra obtener todas las matrices ortogonales A tales que el determ inante \ A + E \ sea distinto de cero. Definamos S p or la ecuación E + S + A )·^ de donde £ -l·- ^ =

2 ( jB 4 - í ) - *

y de aquf í -1- .4 = 2 (E + A ) - ^ + 2 {E + S ) - i S - A = 2 { E + A )-^ -

2E

2 (E + 5)-*

de donde

2 A = ^ ( E + S)-^ -

2 E = 2 ( S + S)-^ [2E -

(E + S) B¡

247


= 2 (E + í ) - ! ( £ -

S)

o sea (1 )

A = (E + 5 ) - i (E - S ) = ( E - S ) {E + 5 ) - i . Análogam ente se obtiene (2 ) S {E + A ) - ^ (E - A ) = { E - A ) (E + A ) - i . D e aquí se deduce que S es antisimétrica. E n efecto, de la prim era igualdad se deduce E — A = (E + A ) S de donde, trasponiendo, E - A* = S* [E + A*) . M ultiplicando a la derecha por A y siendo esta m atriz ortogonal por hipótesis, resulta A - E = S* (A + E) de donde 5» = (.4 - E ) (A + £ ) - i que junto con (2) da 5 + 5 ' = O y por tanto S es antisimétrica. Recíprocam ente, toda expresión (1) con S antisimétrica da lugar a una matriz ortogonal. En efecto, de ( 1 ) se deduce (E -{■ S) A = E — S y tras poniendo A t (E + S*) = E - S* o sea, por ser S antisim étrica, A t ( £ - 5 ) = ( £ -{- S ) de donde, m ultiplicando a la derecha p or {E + S)~^ y teniendo en cuenta (1 ) , resulta A*A = E lo que prueba que A es ortogonal. Ejemplo: Tomemos f O

—

1

S =

1

Oí

O

2

O

O -2 con lo cual será ' E -

S =

1 -1

.

0

1 1 2

'

0' (E -1-

-2

vi

1.

5

1

-2 'l

-1

1

-2

—2

2

y po r tanto r A = (E + S)-^ (E - S ) = —

6

4 -2

2 -4

-

4

I

-4

(.-4 4 -2J deíbe ser ortogonal, como efectivamente es fácil com probar.

248

2J

CAPITULO VII! TEN SO RES

C A R T E S IA N O S

34. TENSORES CARTESIANOS

1. El convenio de supresión del símbolo de suma. U na suma cu yos sumandos se obtengan dando los valores 1 , 2 , 3 , . . . , íi a ciertos índices de su término general, la hemos indicado hasta ahora, como costumbre, con el símbolo 2 , junto con la indicación del intervalo de variación de los índices. Por ejemplo, los primeros miembros de las expresiones siguientes son expresiones abreviadas de los segundos miembros; •

(1) (2)

2 « 2 fli i-i

(3j = 4- 02 + . . . + a» + 02 bz + . . . + anb„

n

2 Ci bj Ci = ai bj +
C o n v e n c i ó n d e E i n s t e i n ; Cuando en una expresión monomia figuren dos índices repetidos, se entenderá que se trata de una suma en la que los índices repetidos van sumados de 1a n .

El número n es la dimensión del espacio ysu valor resulta siempre claro del tema que se está tratando. Así, en los ejemplos (2) y (3) se escribirá simplemente Oi bi = Oi bi + bz + . . . 4- a» «i bj Ci = Oi b) Ci + 0 2 bj C2 + . . . 4- o„ bi c„ . Con este criterio, las ecuaciones 32.2 de un cambio de coorde nadas cartesianas ortogonales que conserve el origen se escribirán (4) x'i = Oí^Xh 249

T e n s o r e s C a r t e s ia n o ·

y las ecuaciones de la transformación inversa, teniendo en cuenta 3 2 .7 , serán (5) Xi = aMx'h La m atriz a « es ortogonal y las condiciones 32.9 y 32.10 se escribirán ahora simplemente (6)
— Oh bj,

puesto que ambos miembros representan la suma Oibi + oaba ... + fln&n Ejemplos: 1. Si la ecuación
2. Tensores cartesianos del espacio ordinario. Consideremos el espacio ordinario de tres dimensiones, referido a un sistema de coorde nadas cartesianas ortogonales. Las coordenadas de un punto, en vez de representarlas por x , y , z , las representaremos por X i , , X3 . U n cambio de las coordenadas Xi a las x'i de otro sistema tam bién cartesiano y ortogonal y del mismo origen está dado por ecuaciones de la forma ' (7) x'i = aaXH Ci= 1 , 2 , 3 ) siendo los coeficientes Oi,, los cosenos de los ángulos de los ejes xt y x'h. Sabemos que la matriz (a « ) de los coeficientes es ortogonal y que, por tanto, se cumplen las condiciones (6) . En el apartado 11 definimos un vector como el conjunto de tres com ponentes «1 que por un cambio de coordenadas de la forma (7) se transforma según la ley (8) u\ = «ih líh donde en el segundo miembro, según el convenio establecido en el nú mero precedente, el índice h va sumado de 1 a 3 . Sean las componentes de otro vector, las cu-.les, por el mismo cambio de coordenadas (7) se transformarán según (9) VT, = flyj vt . Ti 250

34. T e n s o r e s

Consideremos los nueve productos Mi Vi «1 Vj (10)

(ui vj) =

«2 Vi IÛs Vi

u¡. vt

«3 l>2

C a r te s ia n o s

«1 Vs ■) U2 Vi «3 Vz

Según (8) y (9) , por un cambio de coordenadas (7) estos pro ductos se transforman según la ley (11) u\v'i = aihOjÛkVk . Obsérvese que en el segundo miembro los índices h , k van su mados los dos de 1 a 3 ; es decir, se trata de una suma de 9 sumandos. El conjunto de los 9 productos U{ v/ constituye un nuevo ente geométrico que se llama producto tensorial de los vectores « i , V j. La ley de transformación de las componentes de este producto tensorial in duce a establecer la siguiente Def. 1: Dadas 9 cantidades , se dice que son componentes de

un tensor cartesiano de segundo orden cuando por un cambio de coor denadas de la forma (7) se transforman según la ley (12)

í ' i / = «iAflífcíw . Según esta definición, el producto tensorial de dos vectores es un tensor, pero no todos los tensores de segundo orden son el producto tensorial de dos vectores. Análogamente, el producto tensorial de tres vectores u\, Vj, w\ es el conjunto de los 27 productos mí v¡ . Por un cambio de coor denadas estas componentes se transformarán según la ley (13) u 'iv 'fw 'k= ^ aih ajia,m u ,,v iw m . Este producto tensorial es un ejemplo de tensor cartesiano de tercer orden. Es decir, dadas 27 cantidades tujt, que por un cambio de coor denadas (7) se transformen según la ley t'i¡k= aihOji , dire mos que ellas son componentes de un tensor de tercer orden. L a generalización a tensores de cualquier orden es ya inmediata, a saber:

Def. 2: Dadas 3 ' cantidades

·*· *,

ponentes de un tensor cartesiano de orden p si por un cambio de coordenadas de la forma (7) se transforman según la ley

(14)

< '* , * , · · · ♦ , =

V , ···% ■

T anto los índices i como h , pueden tom ar los valores 1 , 2 , 3 . Por tanto en el segundo miembro está implícita una suma de 3” su mandos. Según esta definición, los vectores son tensores de prim er orden. Además, dadas las componentes de un tensor en un sistema de coorde nadas, las fórmulas (14) permiten calcular las mismas en cualquier otro sistema. 251

T e n so r e s C a r t e sia n o s

La propiedad fundamental de los tensores, de la cual deriva su importancia en geometría y en física, es que, siendo las fórmulas de transformación (14) lineales y homogéneas, si las componentes de un tensor se anulan en un sistema de coordenadas, se anularán también en cualquier otro sistema. Es decir, la anulación de un tensor da siempre

una propiedad intrínseca, independiente del sistema de coordenadas. Los tensores que acabamos de definir se refieren a cambios de coordenadas de la forma (7) , es decir, a cambios de coordenadas cartesianas ortogonales en otras del mismo tipo. Por esto se llaman tensores cartesianos. Para cambios de coordenadas más generales (coor denadas oblicuas o curvilíneas), la definición de tensor debe generali zarse, como veremos en el apartado 44. En toda esta parte, hasta el apartado 4 4 , al hablar de tensores sobrentendemos que se trata de tensores cartesianos. P ara que la definición dada sea admisible hay que dem ostrar la pro piedad transitiva, es decir, que por nuevos cambios de coordenadas la ley de transformación se conserva. Vamos a verificarla p ara tensores de segundo orden, pues el procedimiento es general. Sea el tensor tt¡ cuyas componentes p o r el cambio (7 ) pasan a las t 'n dadas por (12) . Por un nuevo cambio de coordenadas (15) X", = a ' , » A r \ (í= 1,2,3) las nuevas componentes serán, según la definición de tensor, (16) = a',» a',» t'*. o sea, según (12) ,

(17)

= a ' a ' n a\t Ol» t¡m .

Por otra parte, de (7 ) y (15) se deduce (1 8 ) at"« = a'th a»i xt que son las ecuaciones de o tra transformación ortogonal (transform ación pro ducto) y p or tanto, según la definición, la ley que perm ite pasar directam ente de las tii a las t"i/ debe ser efectivamente la (17) , pues los coeficientes deben ser el producto de los coeficientes correspondientes de (18) . Es decir, se obtiene la misma ley haciendo el cambio sucesivo x¡ -* x't -* x " t que por el cambio directo xt -* x " i , como debe ser. Ejemplo: Supongamos que las componentes tti de u n tensor en el sistema de coor denadas X i, X l, x, sean los elementos de la m atriz 0 - 1 2 1 1

0 - 2

L1 O 2 Se desean las componentes del mismo tensor en el sistema * ' i , x ' i , x \ deducido del anterior p o r la transform ación ortogonal x'i =z — X t , *'· = * !, x'i = * , . L a m atriz (ai/) de esta transformación es

O't

0 -1

252

1

0

0

LO

0

IJ

3 4 . T e n so r e s C a r t e sia n o s

y por tanto, aplicando (12) p ara cada u n a de las componentes t ' n resulta que ellas son los elementos de la m atriz f -2

L

O

buscadas,

- n

1

O

2

O

1

2J

3. Paso a n dimensiones. P ara fijar las ideas hemos supuesto el caso del espacio ordinario de dimensión n = 3 . El convenio utilizado de suprimir el símbolo de suma hace que todo lo anterior valga exactamente, sin modificación, para el espacio eucli diano de n dimensiones. En este caso, un punto tiene n coordenadas Xx, , . . . , Xn y un cambio de coordenadas cartesianas ortogonales de origen fijo está dado por ecuaciones de la forma (19) x'i = a-,i,x^ (i = 1 , 2 , . . . , n) siendo la m atriz (aj») de orden n y ortogonal. U n vector es el conjunto de n componentes «i que por un cam bio de coordenadas (19) se transforman según la ley ^20) — exactamente igual a la (8) del caso n = 3 , sólo que ahora la suma del segundo miembro se sobrentiende extendida desde h = .1 hasta h = n . Se puede así establecer, de m anera general, la siguiente D e f . 3:

D ad o el espacio euclidiano w-dimensional, se llam a ten " · *p

sor cartesiano d e orden p al conjunto d e n’’ com ponentes

que por un cambio de coordenadas de la forma (19) se transforman según la ley (21)

»2 •••»p

5

los índices repetidos h i , h z , . . . , hp se entienden sumados de 1 a n . También aquí vale la propiedad transitiva mencionada en 3 4.2. Puesto que las fórmulas son idénticas para cualquier número de diinonsiones, en lo que sigue supondremos, salvo indicación expresa, (juc estamos en el espacio de n dimensiones. Pruébese como ejercicio que el número de componentes de un tensor de orden p es n*’ . Observación sobre la notación. En cálculo tensorial se representa »irini)rc un tensor por una componente genérica. Así, se dice “el tensor ti)“ j>ara indicar el tensor cuyas componentes son las í» /. De esta mancrii el mismo tensor puede representarse indistintamente por tu , Ihh , ttm, etc. De igual manera, al hablar del “vector Uj” entendere mos (>1 vcctor de componentes , y poi tanto el índice genérico t puede sustituirse por cualquier otra letra.

253

T enso res

C a r t e s ia n o s

4. Invariantes. Producto escalar de vectores. D e f . 4; U n invariante, o tensor de orden cero es una expresión que toma la misma forma en cualquier sistema de coordenadas. Por ejemplo, dados dos vectores « i , Vi la suma Ui V{ es un inva riante, llamado producto escalar de los dos vectores. En efecto, por un cambio de coordenadas, será (22) u'i v'i = a i, aih u, = 8y» u¡ = u , v , . Es decir, en ambos sistemas de coordenadas el producto escalar es siempre igual a la suma de los productos componente a componente de los dos vectores. En particular, para dj = « j , resulta que «i U{ (la t sumada de 1 a n ) es otro invariante. Su raíz cuadrada es, por definición, el módulo del vector U{. Es decir (23) | u | = («,«,)^/=' . El ángulo 0 entre dos vectores se define por la fórmula (24)

cos 0 =

que es también un invariante, por ser cociente de invariantes. Pruébese, como ejercicio, que para vectores reales se verifica — 1 — cos 0 ^ 1 .

EJER C IC IO S 1. Para n = 3 , sea el tensor cuyas componentes u u en el sistema de coordenadas Xi, xt, xt sean los elementos de la matriz f-1 O 2 0 - 1

1

L 3 1 O j Buscar la* componentes del mismo tensor en el sistema de coordenada« x\ , x't, x't obtenidas por la transformación ortogonal

X1 2.

Xx ,

Xt

Xt ,

Si las componentes de un tensor

X$

Xl

uii en el plano yrespecto del sis-

tema de coordenadas Xi,Xi son los elementos de la matriz

f

1

Oi

, hallar 1 -3 2J sus componentes en el sistema x'i, x’t obtenidos por la transformación or togonal 1 1 x’t ~

—

—

y/2

(*>

*«)

,

* 1 =

----------

(* i

—

Xt) .

y/2

3. Si tii es un tensor y u i , v/ son vectores, probar que ui vi es un invariante. 4. Si til», uii y vt son tensores, probar que tti»«tj vt es un inva riante. 5. Si uii es un tensor, probar que u u e« un invariante.

254

3 5 . O p e r a c io n e s

con

T e n s o r e s C a r t e s ia n o s

35. OPERA CIO N ES C O N TEN SO RES CARTESIANOS 1. Adición, sustracción y producto de tensores, a ) Adición y sustracción. Esta operación sólo está definida para tensores del mismo orden. Entonces, el tensor suma o diferencia de otros varios es el nuevo tensor que tiene por componentes la suma o diferencia de las componentes respectivas. Suponiendo, por ejemplo, dos tensores de segundo orden la suma o diferencia es el tensor de componentes ti¡ ± s i ] . Para adm itir esta definición hay que demostrar que las ti¡ ± Si¡ son componentes de un tensor. En efecto, por un cambio de coorde nadas será t'ij = «i» flyfc thk , s'n = Oi), Ojit Smc y por tanto t ' i i ± s ' i j = üii, a¡]c [twt ± skí) lo que prueba que las t t j ± S i f son componentes de un tensor, por transformarse según la ley (34.12) de los tensores de segundo orden. b) Multiplicación por un escalar. P ara m ultiplicar un tensor por un escalar se multiplica por el escalar ra d a componente del tensor. Así, el producto de íj/ por X es el tensor de componentes X tu El resultado es efectivamente un tensor, pues de í'iy = aifcays íwt, se deduce l t'n = a¡k (X thk) . c) Producto de tensores. El producto de un tensor de orden p por otro tensor de orden q , es el tensor de orden p + q cuyas componen tes son los productos de las componentes del primero por las del segundo. Por ejemplo, el producto del tensor tu por el vector será el tensor Sifi, = tu u¡,. El resultado es un tensor, pues de las hipótesis t'ij = a n Ojji tiit , u'i, = a/,m u„ se deduce, multiplicando miembro a miembro = t'iftl’h = ana¡kai,m tii,Um = a u ajk a¡,m Sikm lo que prueba que las Si¡h son componentes de un tensor. 2. Contracción de índices. Se tra ta de una operación m uy im portante que permite obtener tensores de menor orden a partir de un tensor dado de orden ^ 2 . Consiste en lo siguiente: D ado un tensor de orden ^ 2 , igualando dos índices y sumando respecto del índice igualado, el resultado es un nuevo tensor en el que han desaparecido estos dos índices.

Supongamos, por ejemplo, un tensor íi/jt. Consideremos las comj)onentes Uk = tnk donde en el segundo miembro el índice i , repetido, va sumado de 255

Fensores


] a n . Por un cambio de coordenadas es u 'k =

t ' i i k — ^ ih a » l akm th lm

o sea, según 34.6 , u'ic ~

h¡,i diim thlm — Oicm ^hhm — ^/cm

.

Es decir, las u¡¡ son componentes de un vector (tensor de orden uno), que se llama tensor contraído del íiy/t respecto de los dos primeros índices. A paitir del tensor tijk todavía se pueden formar otros dos tenso res contraídos, a saber: v¡ = t m , Wi = ¿jyy. M ediante esta operación de contracción, un tensor de segundo or den ti, puede considerarse en cierto modo como un operador que a un vector le hace corresponder otro vector. Así, al vector m le hace corresponder el vector Ui = t i , V ¡ .

También a todo vector Vi le hace corresponder un invariante por !a operación (1) tijV iV j = invariante . Ejercicios: 1. Probar que efectivamente (1 ) es un invariante, es decir, que por un cambio de coordenadas es

t’ii v't v'i = til vt Vi . 2. Form ar todos los tensores que se pueden deducir por contracción de índices de un tensor de cuarto orden t(/»i · 3. P robar que si t u * , son tensores, el producto contraído tukUij es un vector.

3. Permutación de índices. Sea un tensor t i , . Consideremos las componentes U{, = t,i ; ¿serán ellas componentes de un tensor? Efec tivamente lo son, pues su ley de transformación es u 'i, = t',i =

«;·(, fliit ííifc =

a,haij(Ukh = a i k a ,h uuh

que es la ley de transformación de los tensores de segundo orden. El mi.smo razonamiento vale evidentemente para un tensor de cual quier orden, es decir: A partir de un tensor, permutando los índices de cada una de sus componentes, se obtiene otro tensor.

Observóse que si bien la permutación de índices se traduce cn una permutación de las componentes, no es cierto que permutando éstas de m anera arbitraria se obtenga siempre un nuevo tensor, l'ara verlo, basta considerar el caso simple de los vectores del espacio ordinario, n = 3 . Si U j, «2, «3 son componentes de un vector, no es cierto que — Ut, v¡ = U 3 , V 3 = Ui lo sean. En efecto, se tiene v 'i = 256

U'z =

a ¡ i Ui =

«21 V 3 -h «22

+

^23

Vi .


En cambio, si bería ser

con


, v^, Vz fueran componentes de un vector de

v\ = flii Vi = flil í»! -t- «12 Vi + «13 ^3

fórmula que en general es distinta de la anterior. 4. Tensores simétricos y antisimétricos. D ef. 1: U n tensor de segundo orden tu se llama simétrico si se verifica que (2) _ til - t ¡ i = 0 y antisimétrico si (3) tij + tji = O . Las propiedades de simetría o antisimetría son independientes de' sistema de coordenadas. En efecto, por ser los primeros miembros de (2) , (3) componentes de un tensor (por tratarse de diferencia y suma de tensores), si se anulan en un sistema de coordenadas lo harán en cualquier otro. Igual que para las matrices 31.3 la identidad (4)

til =

{tij -1- tji) + Y

{tij — tji)

prueba que: todo tensor de segundo orden es suma de un tensor simé trico y otro antisimétrico. Para tensores de orden superior a 2 , la simetría o antisimetría debe referirse a dos índices particulares. Así, se dirá que íi^j es si métrico respecto dt los índices i , k si se verifica ti¡ki = t¡¡¡%i y antisimctrico respecto de los mismos índices, si tijki = — tkjii ■ Cuando un tensor es simétrico o antisimétrico respecto de cualquier par de índices, se llama totalmente simétrico o antisimétrico. Por ejemplo, el tensor ti¡k será totalmente simétrico si se cumple tijk = tjik = tkji — tjki = tkii = tik¡ y totalmente antisimétrico si se cumple iiih = ~ tikj = — tjik = tjki — ~ tkii = tkii 5. Derivación de tensores. Supongamos, para fijar las ideas, un tensor de segundo orden tu cuyas componentes sean funciones de las coordenadas , es decir, un tensor función de punto. Lo mismo serí? ])ara un tensor de cualquier orden. En la ley de transformación (5) t'a = anâjktjik los coeficientes Oi» son independientes del punto considerado, de ma nera que al derivar ambos miembros respjcto de a/», queda 257

T enso res

Ca r t e s ia n o s 3 at.

(6)

aihfljfc íhfc,.

OXm donde se ha puesto, como haremos siempre, para abreviar,

(7)

i i i , ----- r - 7— Ox'm

ÍAfc,----- z----dx.

Según las fórmulas de transformación 3 4 .5 , la relación (6) se puede escribir t'ii.m = Oti a¡lt «mt thk,* lo cual nos dice que las derivadas parciales tut,, son componentes do un tensor de tercer orden. La demostración es general para cualquier tensor, de m anera que se puede enunciar: Las derivadas parciales de las componentes de un tensor cartesiano respecto de las coordenadas son componentes de un nuevo tensor de un orden superior en una unidad, llam ado tensor derivado del primero. Ejemplos: 1. De un vector ui se deduce el tensor derivado u i . i . Su parte simé trica es el tensor hii =: % («<./ + uj.i) que aparece, por ejemplo, en elastici dad (ver apartado 4 0 ). Su parte antisim étrica

(8)

fiy = Vi (Ui.< — Ui.í)

es el tensor llam ado rotor de . Para n = 3 , el rotor tiene únicam ente tres componentes n o nulas ( f a , r n , Ta) que son las componentes del rotor ordinario, que ya sabemos no es un vector sino un pseudovector. 2. Del tensor ui.j p or contracción de índices se deduce el invariante lla mado divergencia: (9) div tt( — U(.t . Se tiene así probado nuevam ente el carácter invariante de este operador, 3. L a derivación de un escalar q> conduce al vector gradiente (10) grad
» de un tensor de tercer orden. L a contracción de los índices ; , k produce el vector laplaciano de u i , que se representa por

(12)

Aui = «(.// .

5. De un tensor antisimétrico Fii se deduce el tensor totalm ente antísimétrico (13) rn, = F„.» + F,,., + P ,,., llam ado rotor de F , i .

6. Criterio para reconocer el carácter tensorial. U n criterio fun damental para reconocer el carácter tensorial de un conjunto de n* componentes es el siguiente, que vamos a ilustrar primer^ con dos ejemplos. 258


con


a) Sean «ty un conjunto de n* componentes de las cuales se ig nora si son o no componentes de un tensor. Suponemos, además, que las «iy son simétricas, es decir, «iy = . Entonces, si para cualquier vector U se verifica que la suma U ijU l¡ es un invariante, se puede afirmar que las ««y son componentes de un tensor de segundo orden. En efecto, por un cambio de coordenadas será, por la hipótesis de tratarse de un invariante, (14) u'iil'iV ¡ = u a k h o sea, siendo k un vector, u'ii aiH a j, Ik l, = Uij k l¡ = Uk, h l, de donde (15) ( u 'ija iu a j, — Uk,) h h = O . En (14) se puede suponer que u'a es simétrico, pues en caso con trario se sustituye por la semisuma ^ («'iy + «'yi). Entonces, siendo y simétricos y debiéndose cumplir (15) para cualquier vector l i , debe ser u'ij flift a¡a = Uk, . M ultiplicando ambos miembros por aj,, y sumando el índice s queda u'ij am = ah, Uk, . Multiplicando ambos miembros por Oms y sumando respecto de k , queda u'ij him îh =
u'mlt — dmk Oh, Uit, lo que prueba que, efectivamente, las uu son componentes de un tensor. b) Sea Uijk un conjunto de componentes que no se sabe si son o no componentes de un tensor. Si para cualquier tensor de la forma Vjj( se verifica que el producto contraído uijkVjk es un vector t i , se puede afirm ar que las u^k son componentes de un tensor. En efecto, al cambiar de sistema de coordenadas tendremos u'i jU v'jk = t'i o sea, u'ijk dji aks Vi, — aim tm — îm U^l, Vi, , de donde (u'iik a¡i Ok, — aim Umu) Vi, = o .

Si estas ecuaciones se deben verificar para cualquier tensor Vi, debe ser u'ijk djl Ok, — aim Uml,

M ultiplicando primero por «p, y luego por a^ i , sumando en cada caso la í y la / respectivamente, resulta u'iiit 8y« 8fcp = aqi ap, Cim u„¡,

258

T ensores


o sea, Wigp — flinv

«ps **ml»

lo que prueba el enunciado. Se comprende con estos ejemplos que el criterio y su método de demostración son generales. Se puede por tanto enunciar de manera breve el siguiente criterio, llamado también ley del cociente·. Si el producto (contraído o no) de las n" componentes de un ente u de p Índices, por un tensor cualquiera de un cierto orden, produce siempre un tensor, se puede afirmar que el ente u es un tensor.

En este enunciado, como se desprende del ejemplo 1 considerado, los invariantes van incluidos como tensores de orden cero. EJE R C IC IO S 1. En (8 ) y (13) de segundo orden y que bién rotor p ara n = 3) Probar que rot ro t «« = 2. Si Fi/* es u n es el tensor

se han definido el rotor de un vector (que es u n tensor no debe confundirse con el pseudovector llam ado tam y el rotor de u n tensor antisimétrico de segundo orden. O. tensor totalm ente antisimétrico, probar que tam bién lo

F im .m

—

F jtn .i -\-Ftm t,i

—

F m ll.t

llam ado rotor de Fi/* . 3. D ado un escalar cp = q) ( ati , , . . . , * , ) probar directam ente que cp,i cp.< es un invariante (m ódulo del gradiente o prim er parám etro diferencial de Beltram i) y que tam bién (p,i. es otro invariante (laplaciano o segundo p a rám etro diferencial de B eltram i). 4. Dado un tensor t i n dem ostrar que las t(lí») = tilt - f t)tl 4- till -f- ti»/ -1- t m - f (/It son componentes de un tensor simétrico y las = til* + t i n tkii — t u l — t t n — tu» son componentes de un tensor totalm ente antisimétrico. 5. D em ostrar que si u i , v i , wi son tres vectores del espacio afín de n dimensiones, las cantidades Ui

Ui

u,

h ii, =

Oi Vi Vk Wi Wl Wt son componentes de un tensor antisimétrico.

36. TENSORES DE SEGUNDO ORDEN 1. El tensor de Kronecker. Ya hemos definido en 31.10 los sím bolos de Kronecker bij por los valores (1)

8,; O si j . Queremos demostrar ahora que estas bij son componentes de un

260

36.

T en so r es

S egundo

de

O rden

tensor, el cual posee la propiedad im portante de tener las mismas com ponentes en cualquier sistema de coordenadas. Para demostrarlo basta observar que por los valores (1) en un particular sistema de coordenadas queda definido un tensor de segundo orden, cuyas componentes en otro sistema de coordenadas cartesianas ortogonales cualesquiera serán = «iíiaisStó = aih a¡h = 8{/ lo cual prueba el enunciado. Este carácter tensorial de hi¡ es muy útil, como veremos en lo sucesivo. Para entender claram ente el razonam iento anterior, veamos un caso neKativo. Supongamos unos símbolos definidos p o r ser -f-1 si i< j

(2)

—1

8u =

si

i> ;

O si i= j. No hay ningún inconveniente en definir u n tensor que en un particular listema de coordenadas tenga estas com ponentes; pero en otro sistema las com ponentes serán

. / »

6 'u =

aji 8ai =

.

\

2 I 2 au, au, — 2 at» a>» )

que en general ya no son las mismas (2 ) .

2. Tensores deducidos de un tensor de segundo orden. Sea ti¡ un Innsor de segundo orden. Representemos por < = | ¿ü | = det (í{,·) al determinante formado por sus componentes. Son importantes las si guientes proposiciones. a) El determinante t es un invariante.

En efecto, por un cambio de coordenadas, recordando la regla para miilliplicar determinantes, se tiene ( 3 )

f' =

I t'jy I =

I

a i h

a ¡ k t h k \

=

1 «ifc 1 · 1 « i s

h k \

=

1 «i» P |

1 =

í

puesto que nos referimos siempre a cambios de coordenadas ortogona les y por tanto j Oía |^ = 1 . Supongamos ahora t ¥= O y formemos las nuevas cantidades

(■1) donde cn el num erador se entiende el adjunto del elemento ti, en el determinante í . Se verifica: b) Las Xl, son componentes de un tensor.

Para demostrarlo habrá que ver su ley de transformación por un rainbio de coordenadas. Como ya observamos en 31.1 para un caso iin.'dogo, cs 261

T enso res

C a r t e sia n o s

(5)

tij Xih — 5ys . Por un cambio de coordenadas esta ecuación se transforma en t'ií r'ih = ójh, puesto que las componentes de bj!, son las mismas en cualquier sistema, o sea «il ih ~ bjT, , M ultiplicando ambos miembros por a^p y sumando respecto de j recordando que ajp = 8„,^, queda au tipx'ih — Ohp

.

M ultiplicando por T«p ambos miembros y sumando respecto de p , siendo tip T«p = b i s , queda «is ~ ^lip Tjp . Finalmente, multiplicando todavía ambos miembros por Oq, y sumando respecto de í , queda ~ «as ^hp tsp lo que prueba el enunciado. El caso más común en las aplicaciones es el del espacio ordinario de 3 dimensiones. Entonces, aplicando lo anterior y la contracción de índices, resulta: c) En el espacio de tres dimensiones, de todo tensor de segundo orden se deducen tres invariante notables·. Invariante lineal: h = tu = ín + t^^ + Í33 , Invariante cuadrático: I ¡ = í t h = (íu Í22 ~ íi2^) + ■I" {til t¡3

Invariante cúbico:

Íl3^) +

( Í 22 Í33Í23^)>

h = t = \ti¡ \ .

Aplicación geométrica. Consideremos en el espacio de tres dimensiones una form a cuadrática A t i Xt x¡ ( i , j = 1 , 2 , 3) . Si se im pone la condición de que su valor sea uno fijo y determ inado p a ra cad a punto del espacio, in dependientem ente del sistema de coordenadas, por la ley del cociente ( 3 5 . 6 ) , las A ll serán componentes de un tensor. T al es el caso en que se considera la ecuación A n x¡ xi = O que representa un cono cuadrático de vértice en el origen. Los invariantes h , h , h anteriores, referidos al tensor A n , deberán repre sentar entonces propiedades intrínsecas del cono, es decir, propiedades inde pendientes del sistema de coordenadas. Y en efecto, se dem uestra sin dificultad que la condición / i = O significa que el cono es equilátero, es decir, que jun to con cada generatriz hay otras dos que forman con ella u n triedro trirrectángulo inscripto en el cono. L a condición J, = O significa que el cono es dualmente equilátero, es decir, que a cada plano tangente corresponden otros dos que form an con el prim ero un triedro trirrectángulo circunscripto. L a condición /> = O significa que el cono es degenerado, o sea, que se compone de dos planos, distintos o confundidos. Si n = 4 , la ecuación A n x i x i = 0 ( í , ; = l , 2 , 3 , 4 ) puede in terpretarse como la ecuación de una cuádrica en coordenadas homogéneas, con Xi como c u arta coordenada de homogeneización. P ara x» = O , el cono Al l Xi Xi = O ( i , ;■ = 1 , 2 , 3) es el que proyecta desde el origen la cónica intersección de la cuádrica dada con el plano del infinito; se trata, p or tanto, 262

36.

T e n so r es

de

S egundo

O rden

d« un cono que no depende del sistema de coordenadas. Sus invariantes, que son los l \ , h , U considerados, serán también invariantes de la cuádrica de partida. Son los invariantes que se utilizan en geom etría analítica p a ra hallar las ecuaciones reducidas de las cuádricas.

Ejercicios: 1. Probar que si el proceso que h a perm itido pasar del tensor al Xn se repite, se vuelve al tensor prim ero. Es decir, siendo x = | Xtj | , probar que adj Ti<

----------- = U, .

X 2. Con las notaciones anteriores, probar que t í = 1 . 3. Para n — 2 , la ecuación A ,, xt x , = . Q representa dos rectas que pasan por el origen. Interpretar el significado geométrico de la anulación de los invariantes / i

—

Au

A a f Jt ~

A u A tt

—

^ u *

·

3. Reducción de un tensor simétrico a la forma diagonal. Sea dado un tensor simétrico A u . Se trata de encontrar un cambio de coordenadas ortogonales que lo transformen en la forma diagonal, es decir, tal que las nuevas componentes A 'a sean nulas para i j . Por comodidad pongamos f = sí t= i . (6) A'ij ■ = 0 si j Según la ley de transformación de los tensores, es A ' i j = A hk aih djic .

M ultiplicando ambos miembros por a¿m y sumando respecto de ; qurda A

mc

a u, hhm = A ' i j Ojm

o sea (7 )

Ahm dih = A'ij a¡„ .

Isste es el sistema de n* ecuaciones lineales (una para cada valor dr i y de m ) que sirve para determ inar los coeficientes del cam bio ele coordenadas buscado. Para t fijo, las ecuaciones que resultan |):ira los valores m = l , 2 , 3 , . . . , n teniendo en cuenta (6) se pueden rMcribir ( ^ n — A ' i ) a i i + A ¡ i Oi2 + . . . -F A „ i (f')

A ¡¡ a ii + (A¡2 — A 'i ) a i 2 + A i „ a t i + A 2 n ai2 +

= O

. . . + A „ ¡ ai„ = O

. . . + (A „ „ — A ' i ) «<„ = O .

Para que este sistema de ecuaciones lineales y homogéneas tenga doliición distinta de la trivial = O , es necesario y suficiente que rl (Irtcrminante de los coeficientes sea nulo. Ésta es la condición que licite satisfacer A 'i. Para t = 1 , 2 , . . . , n , tenemos n sistemas de f( iiacifincs análogos al anterior, excepto en el sustraendo de los tériiiiiKii diagonales, que va tomando los valores A ' i , A ' ^ , . . , A '„ . Pa ni i|iip todos los sistemas sean compatibles, estos valores deben por con 263

T e n so r e s C a r t e s ia n o s

siguiente ser raíces de la ecuación de grado n secular ) : A lt — o

Ai2

(llam ada ecuación

^21

...

Ani

A 22 — o

...

A„2

= O

(9) Ann

O

U na vez halladas las raíces de esta ecuación, los sistemas lineales (8) permiten calcular los coeficientes « i / . Obsérvese que si no interesan los coeficientes de la transformación ortogonal, sino únicamente las componentes no nulas A'i del tensor transformado, basta resolver la ecuación (9) y sus raíces serán preci samente las A ' i . Éste es el esquema general del método. Falta completarlo con al gunos detalles esenciales, a saber: Las raíces de la ecuación secular (9) , suponiendo el tensor A a real y simétrico, son siempre reales. En efecto supongamos que hubiera una raíz q imaginaria. Su conjugada Q también sería raíz. Sea y i la solución del sistema {A ij - b i j Q ) y i = 0

{i = 1 , 2 ,

, n) .

Sustituyendo Q e y/ por sus conjugados será también y, = 0 o sea A ijy f = Qyi

,

A i)y f = Q y i .

M ultiplicando la prim era ecuación por yi y la segunda por yi y sumando respecto de i , resulta y ¡ y i = e Vi yi , A ij y j y i = 0 yi yi . Los primeros miembros son iguales, dada la simetría de A n ; luego o yi yi = Qytyi y como yi yi es siempre positivo, debe ser o = e . o sea, o es real.

2’ La ecuación (9) puede tener todas sus raíces distintas, o bien tener raíces múltiples. Consideremos el caso en que todas las raíces A\ , A' 2 , . . . . , A'„ sean distintas. Entonces, las soluciones aij de los sistemas (8) son efectivamente coeficientes de una transformación orto gonal. En efecto, consideremos los sistemas correspondientes a dos raíces, por ejemplo, A'x , .¡4'2 . Los sistemas (8) a los que satisfacen , ajm pueden escribirse en la forma condensada (7) o sea A/im «lA — A l flin» 264

,

Ahm

~ A ' 2
36.

T en so r es

de

S egundo

O rden

M ultiplicando las primeras ecuaciones por a^m, las segundas por flim y restando miembro a miembro, queda {A 1 A. 2 ) ®im —O puesto que Ahm — Amh ^2»» ~ Ahm ®2i» · Por consiguiente, siendo A\ ¥· A ' i , es a¡m a^m = O . De la misma m anera se demuestra que aim a.¡m = O {i ¥= j) . Por otra parte, puesto que en un sistema de ecuaciones homogéneas, como el (8) , las solu ciones están determinadas salvo un factor de proporcionalidad, siempre se puede elegir el mismo de m anera que sea (10) aimOim = 1 (la i no sumada) con lo cual, juntando con las anteriores, se tienen las relaciones flim «ím = §{/ características de las transformaciones ortogonales. Observemos de paso que, como consecuencia de todo esto, si las ralees de (9) son todas distintas, el cam bio de coordenadas ortogonales que reduce A ^ a la form a diagonal, es único, salvo un doble signo que resulta de la ecuación cuadrática (10) para determinar el factor de (noporcionalidad.

Si la ecuación secular tiene raíces múltiples, para cada una de ellas cI sistema (8) correspondiente deja para las incógnitas «i/ un grado (le indeterminación, por encima de un factor de proporcionalidad, igual ni orden de multiplicidad de la raíz. El cambio de coordenadas orto gonales que reduce A ij a la forma diagonal sigue existiendo y se calcula ele la misma manera, pero deja de ser único. 3’ Por su método de obtención, está claro que las componentes A ' i, raíces de la ecuación secular (9) , son siempre las mismas, cualquiera i|uc sea la representación de partida del tensor A i f . En otras palabras, I;i ecuación (9) no se modifica por cambios de coordenadas. Por tanto, <‘í)mo el coeficiente de o” cs siempre (— 1)” , resulta; los coeficientes dr la ecuación secular (9) son invariantes. Para n = 3 , estos invariantes son los lineal, cuadrático y cúbico y» mencionados. 4’ Si A if es un tensor simétrico, la expresión F = Aif Xi Xf es una forma cuadrática invariante. Recíprocamente, dada una forma Miadrática invariante F = Aif Xi X f, la ley del cociente nos dice que es un tensor. Además se puede suponer que es simétrico, puesto (|iic cn caso contrario basta poner A *i¡ = V2 {Aif + A ¡i) para tener P = A if XiXf =

"E { A i f + A f i ) Xi Xj

=

A * i f Xi Xj

y |)or tanto se puede tom ar F = A * a Xi X j, siendo A *i¡ simétrico, |inr su definición. Suponiendo ya que Aij es simétrico, su reducción a la forma diaK'iMiil nos dice que toda form a cuadrática invariante (11) F = Aij XiXj 265

Te n so r e s C a r t e s ia n o s

puede reducirse, por un cam bio ortogonal de coordenadas, a la form a canónica . , i F = A\x'y^ + A'„x'„ (12 )

Además, como los coeficientes A ' i, raíces de la ecuación secular (9) , ya hemos dicho que son siempre los mismos de cualquier manera que se haga la reducción a la forma (12) (únicamente pueden permu tarse entre sí), resulta, en particular, que; el número dr coeficientes positivos en la form a canónica (12) (llam ado indice de inercia) es un invariante de la form a F

(ley de inercia de Sylvester).

5’ Hemos tratado la reducción a la forma diagonal de un tensor de segundo orden mediante transformaciones lineales ortogonales. Ello obliga, según hemos visto, a resolver la ecuación algebraica (9) d : gra do n . El problema es mucho más fácil si se trata de reducirlo a la forma diagonal mediante transformaciones lineales cualesquiera, no ne cesariamente ortogonales. En este caso se puede proceder por induc ción, eliminando uno a uno los productos mixtos, y se llega al resultado mediante operaciones racionales. Ejemplos: 1. Sea el tensor A n

cuyas componentes son los elementos de la m atriz 1 - 4 6

-4

(13)

-3

-2

6 -2

2

Queremos reducirlo a la form a diagonal p o r una transform ación ortogonal. La ecuación secular es 1 -0

-4

— 4 6

6

- 3 - 0

- 2

- 2

= -

o’ -F 63 o + 162 = O

2 - 0

cuyas raíces son Oí =

— 3

,

0j =

9

,0 » =

— 6 .

Por tanto, la form a diagonal buscada es r

A\i i'n = =

- 3

0

O

9

0.

0

L O O -6 J L a transformación ortogonal que perm ite pasar de (11) a (12) se obtiene resolviendo los sistemas (8 ) , que en este caso son: Para o» = — 3 , 4 flii — 4 flu -|- 6 flii = O — 4 flii — 2 flu = O 6 flii — 2 (¡a -1- 5 üiM — O cuya solución en función de a ,i es au — —

Para o» = 9 , 266

2 flu

,

Su =

—

2 «u

36.

—

T enso res

de

S egundo

O rden

— 4fla + 6aa = 0

o

— 4 Cii — 12 <7a — 2 a» =

6 íiji — 2 fla — 7 a» = O cuya solución en función de an es 011

=

—

2 On

t

a« =

— 2 fla

P ara Oi = — 6 7 fl« — 4 a» + 6 a» = O — 4 an + 3 aa ~ 2 aa = O 6 an — 2 a a + 8 a» = O cuya solución en función de a» es Qn =

— 2 fla

üja — —

)

2 a» .

Los coeficientes a u , a n , au se determ inan p or la condición de ortogo nalidad (10) , o sea,

l

i

l

i

au -J- au -f- au = 9 flii = 1

,

aa — ^

1

—

y análogam ente 1 aa =

± —

3

Luego las transformaciones ortogonales que transform an el tensor de com ponentes (13) a la forma diagonal son x ’í =

±

—

(xi

—

2 x1

—

2 X l)

3 *

1

= ± — (— 2

*1

-H ATI — 2

x$)

3

*'· = ± — (— 2 *1 — 2 *1 -l- *·) .

3 Según 4’ , el problem a equivale a reducir la form a cuadrática correspon diente al tensor (1 3 ) , o sea, F = *i’ — 3 Xl’ -t- 2 Xl’ — 8 *1 ATI 12 Xl Xl — 4 xi Xi a la form a diagonal. El resultado es F = - 3 xV - f 9 xV - 6 xV . 2. R educir a la form a diagonal la forma cuadrática (14) F = Xl’ 4 - 3 Xl’ - f 4 Xl Xl . L a ecuación secular es 1 -0

0

0

0

3 -p

2

0

2

= -Q

cuyas raíces son 1 , — 1 , 4 . Por tanto, el resultado es (15) F = xV - xV 4- 4 x ,’ Si se quiere la transformación ortogonal correspondiente, tenemos los sis temas (8 ) , cuyas soluciones son en este caso los elementos de la m atriz 267

Te n s o r e s


flu

O

O O

Oa 2 Oa

O

'

— 2 an ,

donde a u , a n , a„ se determ inan p o r las condiciones de ortogonalidad, resul tando oi, = 1 , a„ = ± l/V S T an = ± 1 /V S ^ Por tanto, la transformación ortogonal que hace pasar (14) a ( 1 5 ) , es x'i = xi

,

x't = ± ------ (*, — 2 X,)

con la inversa Xl

=

x \

,

= ± ------ (2 xi -1- xx)

V5 ,

Xi=±-

1

V5 {x\ -f 2 x \ )

,

AT, =

V5

{x',

±

—

2 a t ', )

.

V5

EJERCICIOS 1. D em ostrar que si p ara u n tensor u n es u, el determ i nante I Un I vale ± 1 . 2. Probar que si tt¡ es antisimétrico, el determ inante de las Xn defi nidas por (4) es simétrico o antisimétrico según que n sea im par o par. 3. Con las notaciones del 3 6 . 2 , probar las relaciones 3 log X 3 log t

—----- ,

—------ = T(> .

3T(/

3 tu

4. R educir a la forma diagonal m ediante u n a transform ación ortogonal el tensor cuyas componentes son los elementos de la m atriz f_ 3 I 8

I

3/2

8 1

3/ 2Ì 2

2

2

37. PSEU DOTENSORES O DENSIDADES TENSORIALES 1. Pseudotensores o densidades tensoríales. En la parte de cálculo vectorial se introdujo el concepto de densidad vectorial o pseudovector (4.3) . L a generalización a tensores y a espacios de mayor número de dimensiones es bastante natural. Se trata de entes cuyas componentes se transforman como las de los tensores para cambios de coordenadas de determinante + I , pero que cambian de signo por cambios de coordenadas de determinante — 1 . Es decir, entes cuyo signo depende de la orientación del espacio. Llamando a = \an\ al determinante de la transformación orto gonal que define el cambio de coordenadas (34.4) , que ya sabemos que vale ± 1 , se establece así la siguiente D f. f . i : Se l l a m a densidad tensorial o pseudotensor d e o r d e n p a un

c o n ju n to

de

n '’

c o m p o n e n te s c u y a

m i s m a q u e l a d e lo s t e n s o r e s

(34.14) ,

e stá m u ltip lic a d o p o r el d e te r m in a n te 268

ley d e t r a n s f o r m a c i ó n

es la

e x c e p to q u e el se g u n d o m ie m b ro

a

d el c a m b io d e c o o rd e n a d a s.

37.

Es decir, las

PSEUDOTENSORES O DENSIDADES

... i

serial, sipor un cambio ds

TENSORLALES

serán componentes de una densidad

ten

coordenadas toman los valores

( '■ 1) '

T'ii ... =aaii ai ... ati Ttt ...§ .

(2)

= aq) .

4 4 ’p ’l ' l *2'2 'v’ t ’ a. ’v Para p — 0 , resulta la definición de densidad escalar o pseudoes calar, a saber: u n a expresión qp que por un cambio de coordenadas se transforma según la ley

*1*2

2. El pseudotensor o densidad tensorial de Levi-Civita. U na den sidad tensorial m uy importante, por sus numerosas aplicaciones, es la llamada de Levi-Civita. Sus componentes, en el espacio de n dimen siones, son los símbolos *· · *« definen por ser iguales a cero si alguno de sus índices está repetido, iguales a + 1 si la permu tación (t’i , Í2 , ¿3 , . . . , in) es par comparada con la ( 1 , 2 , 3 , . . . , n) e ¡guales a — 1 si dicha permutación es impar. Hay que demostrar que se trata efectivamente de una densidad ten sorial de orden n . Para ello observemos que los símbolos · · · *„ pueden servir p ara expresar abreviadamente el desarrollo de un determi nante de orden n . En efecto, cualquiera que sea el determinante 1 tu ], de orden n , cs (3)

=

donde, en el segundo miembro, como siempre, los índices i van suma dos de 1 a n . Para convencerse de ello basta observar que en el se gundo miembro aparecen todos los términos que se pueden formar con un elemento de cada fila y uno de cada columna del detenninante ¡ tu j , con el signo -f ó — según la paridad de la permutación (¿i, ¿2 , . . . , i») respecto de la (1 , 2 , 3 , . . . , n) . Si en lugar de íu^ tn ^ .. . se pone el se gundo miembro será nulo si en el conjunto ( j i , jz , · ■■ , jn) hay algún índice repetido (pues equivale al desarrollo de un determinante con dos filas iguales) y si todas las ; son diferentes, será igual a [ íiy [ si la permutación { j i , j a , . . . , jn ) es par, e igual a — | í»/1 si es impar. Aplicando esto al determinante | «i/1 = a , resulta que tanto en el caso a = + 1 como en el caso fl = — 1 se puede escribir ··· lo cual nos dice que las *2 · · · *n pueden considerar como com ponentes de una densidad tensorial de orden n que toma los mismos valores cn cualquier sistema de coordenadas. 269

Te n s o r e s C a r t e s i a n o s

Según su definición, la densidad de Levi-Civita es antisimétrica respecto de todos sus índices, o sea, es totalmente antisimétrica. Ejemplo: Para n = 2 , (4)

las componentes de la densidad de

Eli = : O

,

ea = O

,

en =

-)- 1

,

Levi-Civlta son Eji =

— 1

P ara n = 3 sus componentes son e i/i = O si hay algún Índice repetido. (5)

Euj = Sin = Em = : -f- 1 E ia = Em = Eli» = — 1

3. Propiedades de las densidades tensoriales. Dualidad. Conse cuencias inmediatas de la definición de densidades tensoriales son las siguientes: a) La suma o diferencia de densidades tensoriales de igual orden es otra densidad tensorial del mismo orden. b) El producto de una densidad tensorial por un tensor es una densidad tensorial. c) El producto de dos densidades tensoriales es un tensor. d) Las derivadas parciales de las componentes de una densidad ten sorial son componentes de una nueva densidad tensorial de orden supe rior en una unidad. e) La contracción de índices puede realizarse para densidades ten soriales lo mismo que para tensores, resultando una nueva densidad tensorial de un orden inferior en dos unidades. Como consecuencia de estas propiedades y de la definición de la densidad de Levi-Civita, a todo tensor totalmente antisimétrico orden p ^ n se le puede hacer corresponder la den sidad tensorial de orden n — p siguiente, llamada adjunta o dual del tensor primitivo J_ (6 )

· · · / „ - p *1 · · · ip Í*1

P'· Análogamente, a toda densidad tensorial totalmente antisimétrica orden p — n , le corresponde un tensor adjunto o dual de orden n — p definido por (7)

íy, ^2 *■ ■

^

' fn-p *1*2···*? ^*1 *2 · · ·

·

Ejemplos: 1. Consideremos el espacio ordinario, n = 3 . A todo tensor de segundo orden antisimétrico tu le corresponde la densidad vectorial d ual

(8) cuyas componentes son 270

r , = — E4mti„ 2

37. P s e u d o t e n s o r e s

o

D e n s id a d e s

T e n s o ria le s

(9)

T i = (ji , T i = ín , T i =: (m . Por ejemplo, de dos vectores u , , vi se deduce el tensor t u zz Ui a, — ui vt y de éste la densidad vectorial o pseudovector (9) que no es otra que el pro ducto vectorial de u· por V t, que con la notación actual se puede escribir (10) ( u A v ) t = Eím u ¡í;» E n particular, el m omtnto de un vector ui aplicado en el p u n to x i , x , , K», respecto del origen de coordenadas es el pseudovector ( 4. 13)

trn =

(1 2 )

e«í»

X! u»

.

Análogam ente, d e un vector ut se deduce, por diferencia de derivadas parciales cruzadas, el tensor t u = u i j — u ,., y de aquí la densidad dual, que ei precisam ente el ro to r de u<, que con la notación actual se escribirá

T, = t,ixU„.f .

(11) 2. Si

■ · * *,

tensor de orden n totalmente antisimétrico, tiene

una sola com ponente estricta t = f a ...,, pues cualquier otra o es nula o bien vale H- T ó — T . Se puede escribir

'-i,1*2 i lo que nos dice, teniendo en cuenta las leyes de transformación de tt^ y

‘

que: la único componente estricta de un tensor totalmente anti

simétrico de orden n , es una densidad escalar.

EJER C IC IO S 1. Probar que

8ip

6
«ÍP

V

8;^

8/fcr

y en particular

= 6ip 5/« — Sit

.

2. P robar la identidad

6p, = e ,n 5 if -f- en· 8/» -J- s
v¡

Un

Vt

Vi

Vt

Wl

Wl

Wl

Ut

fu» =

luponiendo que para » = 1 , ;' = 2 , í: = 3 el determ inante del segundo miem bro valga -f- 1 . 5. E nunciar y probar la “ley del cociente” p a ra tensores y pseudotensores. Ejemplos: a) Si el producto T i i t V i es un pseudotensor S j t vector D(, entonces T i / t c» u n pseudovector.

cualquiera que sea el

271

T en s o r e s C a r t e s ia n o s

b) Si cualquiera que sea el pseudotensor V t / , el producto un pseudoescalar, entonces T m es u n tensor. c) Si, cualquiera que sea el pseudovector Vi , el producto Tt Vt es escalar, entonces es u n pseudovector. 6. Probar que el cuadrado del módulo Ti Ti de un pseudovector es invariante escalar. 7. Probar que el producto vectorial de dos pseudovectores, p ara n = es nuevamente un pseudovector.

es un un 3,

38. TENSORES CARTESIANOS ISO TR O PIC O S, U N ICID A D DE LOS OPERADORES VEC TO R IA LES ELEM ENTALES L Tensores cartesianos isotrópicos. Dadas las componentes de un tensor o de un pseudotensor en un sistema de coordenadas, las fórmu las de transformación 34.21 ó 37.1 permiten calcular sus componentes en cualquier otro sistema. En general, las nuevas componentes son dis tintas de las primitivas. Sin embargo, hay algunos casos particulares en que las componentes resultan las mismas en cualquier sistema de coor denadas. Ya vimos, por ejemplo, que esio sucede con el tensor hi¡ de Kronecker (36.1) . Esto conduce a la siguiente: D e f . 1: Los tensores o pseudotensores que tienen las mismas com ponentes en cualquier sistema de coordenadas se llaman isotrópicos. Vamos a dar algunas proposiciones notables referentes a los tenso res o pseudotensores isotrópicos. En todos los enunciados que siguen excluimos el caso trivial del tensor o pseudotensor nulo (todas sus com ponentes nulas) que evidentemente es isotrópico. a) N o existen vectores ni pseudovectores isotrópicos.

En efecto, tomando un sistema de coordenadas con el eje X i coin cidente con la dirección del vector (o pseudovector), todas las compo nentes del mismo serán nulas menos la primera. Haciendo un cambio de ejes de m anera que sea el eje X 2 el que coincida con la dirección del vector, la única componente no nula será la segunda y, por tanto, las componentes ya no son las mismas anteriores. b) Los múltiplos ( \ = escalar) del tensor de K ronecker son los únicos tensores isotrópicos de segundo orden. En efecto, supongamos que Ui¡ sea isotrópico. Sean i , j dos ín

dices fijos cualesquiera. Consideremos el cambio de coordenadas orto gonales ( 1) Xî Xi , X j — Xf , X m Xm para todo m distinto de i , j . Por ser U i¡ un tensor, debe ser u 'a -

fliA a,n Uiot = Ojk Uik = — U i )

y si es isotrópico, debiendo ser u'ij — Ui ¡ , resulta Ui¡ = O . Por otra parte, por el cambio de coordenadas ortogonales 272

J

38. T e n s o r e s

Is o tíó p ic o s .

x ’i =

U n ic id a d

Xj

,

de O p erad o res

x 'i =

V e c to ria le s

Xi

y las demás coordenadas invariables, debe ser (con las i y las j no sumadas) w'n = üii, aii¡ Uhk = a-iit = «y/ y por tanto, llam ando X al valor común de las componentes que tienen los dos índices iguales, resulta que efectivamente debe ser U i¡ = X h a . c) No existen pseudotensores isotrópicos de segundo orden, excepto para el caso n = 2 , en el cual los únicos pseudotensores isotrópicos son los múltiplos del d e Levi-Civita. En efecto, supongamos que u¡j sea ahora un pseudotensor isotrópico de un espacio euclidiano de dimensión n > 2 . Sean i , j dos índices distintos cualesquiera y fijemos un tercer índice k . Considere

mos el cambio de coordenadas

(2)

X i

Xi

,

X j —

Xj

x'jf

,

—

X}¡

,

x'm

Xm

para todo m distinto de i , j , k . Este cambio de coordenadas es orto gonal y su determ inante vale + 1 . Por tanto W'i/ = dih O-jk ^hk = Ojk UiJt = — Uii y si u'ij debe ser igual a «jy, resulta «jy = O . Para las componentes de índices iguales, fijemos un índice i y consideremos la transformación x 'i =

— Xi

,

x'm = Xfn

para todo m distinto de i . El determinante de los coeficientes de esta transformación ortogona/ vale ~ 1 y por tanto se tiene (con la i no sumada) U 'ii =

— Oit, flijj Mwfc =

ff»¡t « jj¡ =

— M ii

y por tanto, también u a = 0 . Por consiguiente todas las componentes resultan nulas, lo que prueba el enunciado. Para el caso n = 2 ¡ no se puede hacer el cambio de cooj denadas (2) y efectivamente en este caso existe, como sabemos ( 3 7 . 2 ) , el pseudotensor o densidad de Levi-Civita, que para n = 2 resulta ser (3) Eli = O , £ 2 2 = O , £ 1 2 = 1 , E21 = 1 · Q ue los múltiplos de este pseudotensor son los únicos que son iso trópicos se demuestra por los mismos cambios de coordenadas ya con siderados para los tensores. d) En el espacio de tres dimensiones (n = 3) , no hay ningún ten sor isotrópico d e orden tres.

En efecto, si «¡ys fuera isotrópico, por el cambio de coordenadas ortogonales x ' i = -

Xl

,

x 'i -

-

X,:

,

x 's =

~

X3

sería «iyfc = aim a¡p a¡cq Umpq = — Mí,Ts para cualquier terna de índices (distintos o no) . Por consiguiente Uijk =

O. 273


s) En el espacio de tres dimensiones (n = 3) los únicos pseudo tensores isotrópicos de tres índices son los múltiplos del pseudotensor de Levi-Civita.

En efecto, sea U i j ^ un pseudotensor isotrópico. Consideiemos los tres casos posibles siguientes: 1. Componentes con los tres índices iguales. Sea u m (las t no sumadas) una de ellas. Por el cambio de coordenadas (i,

j, k

x 't = Xi

,

X 'i

= — Xj

,

x 'j,

=

Xh

diferentes) debe ser Um

—

a it n Clip

Umpq ~

Um

Y por tanto u m = O .

2. Componentes con dos índices iguales. Sea « n / una de ellas (como antes y en todo lo que sigue, los índices repetidos no van su mados). Por el cambio

(i,j, k

x 'i = Xi

,

x 'j

= X]

,

x 'k

= — Xk

diferentes) debe ser Uiij = — Oi„ üip ajg Umpg = — Uiij y por tanto ««y = O . 3. Componentes con los tres índices distintos. Vamos a demostrar que (4) «123 = «231 = «312 y también (5 ) «123 = «132 = «321 = «213 . Para probar la primera igualdad (4) basta considerar el cambio x 'i = Xl

,

x"2 = Xí

,

x'a

= Xl

cuyo determinante es 4- 1 y por el cual, siendo ua^ isotrópico por hipótesis, debe ser «123 = îm 0-2V
,

x 't = Xí

,

x 'i

= Xl

de determinante — 1 . Deberá ser «123 — ~ O-Im 02p a^q Umpq = ~ «132 · Análogamente se prueban las otras igualdades (5) y con ello, po niendo «123 = X , queda probado que Uijk = l t i j k de acuerdo con el enunciado. 2. Unicidad de los operadores vectoriales elementales. Hemos es tudiado en la primera parte y también en esta segunda (35.5) los ope radores vectoriales elementales: gradiente, divergencia, rotor y laplacia no. L o im portante de ellos es que conservan la misma forma en cual 274

38. T e n s o r e s

Is o tró p ic o s .

U n ic id a d

de

O p erad o res

V e c to ria le s

quier sistema de coordenadas cartesianas ortogonales. Por ejemplo, dada una función escalar cp = cp ( c , y , z) , el gradiente es siempre el vector de componentes cp* , cpj,, cp¡ cualquiera que sea el sistema de coorde nadas cartesianas ortogonale! al que se refieren x , y , z . Cabe la duda d e si estes operadores son o no los únicos que gozan de dicha propiedad de conservar la forma por cambios de coordenadas. Por ejemplo, con las derivadas cp*, q>^, qp*, además del gradiente, ¿no será posible form ar otros vectores cuyas componentes sean, por ejemplo, (p* - qpí , (?w + 2 cp, - cp* , cp* + cp, y cuya forma se conserve en cualquier sistema de coordenadas carte siano y ortogonal? Análogamente, con las nueve derivadas parciales « i , / = dui/dxj í t , ; = 1 , 2 , 3) se puede form ar el rotor, de componentes « 3 ,2

*^2,3

>

« 1 ,3

« 3 ,1

>

« 2 ,1

« 1 ,»

pero cabe la duda de si podrán existir otros vectores o pseudovectores cuyas componentes estén formadas por combinación lineal con coefi cientes constantes (los mismas en cualquier sistema de coordenadas car tesianas ortogonales) de las derivadas « i j , como sería por ejemplo « 3 ,2 +

« 2 ,3

>

«3 ,1

« 1 ,2 +

« 1 ,3

>

« 2 ,1

« 3 ,3 ·

Los resultados sobre tensores isotrópicos del número anterior nos van a perm itir aclarar completamente el problema. T eor . 1 ; C o m o combinación lineal con coeficientes constantes (los mismos en cualquier sistema de coordenadas cartesianas ortogonales) de las componentes u% de un vector general, no se pueden form ar más vectores que los de componentes Xui { \ = escalar) . En efecto, si Vi = 'kn Uj fueran componentes de un vector para cualquier vector U i, por la ley del cociente (35.6) las Xa serían com

ponentes de un tensor, que por hipótesis tendría las mismas componen tes en cualquier sistema de coordenadas cartesianas ortogonales. Por tanto sería un tensor isotrópico y según la propiedad b) del subapartado anterior sería Xn = Xf i i ¡, con lo cual queda Ví = X uí de acuerdo con el enunciado. Si «i es el gradiente de un escalar cp, el teorema nos dice: C orolario 1: L os únicos vectores cuyas com ponentes son com bi naciones lineales con coeficientes constantes (los mismos en cualquier sistema de coordenadas cartesianas ortogonales) de las derivadas par ciales de un escalar cp, son los múltiplos del gradiente. Por la propiedad c) del número anterior, con las condiciones del teor. 1 , no se puede formar con las componentes Ui ningún pseudo

vector, excepto en el caso del plano, en el cual, a partir de cualquier vector « 1 , U2, se puede formar un único pseudovector (salvo un factor constante), que es t n u ¡ , o sea, el de componentes « j , — « i , como ya vimos directamente cn 1 1 .3 . 275

T ensores


T eor . 2: Com o com binación lineal con coeficientes constantes (los mismos en cualquier sistema de coordenadas cartesianas ortogonales) de las derivadas parciales Uij de las com ponentes de un vector , el único invariante que se pu ede form ar, salvo un factor constante, es la divergencia.

En efecto, igual que en el caso anterior, de Xn « t j = invariante y las condiciones del teorema, se deduce que Xn debe ser un tensor iso trópico y, por tanto, X i j = X b i j . De aquí que el invariante sea ^ ^ “ ».i de acuerdo con el enunciado. En particular, si Ui = cp,i = grad. cp , resulta: C orolario 2: C om o com binación lineal con coeficientes constan tes (los mismos en cualquier sistema de coordenadas cartesianas ortogo nales) de las derivadas segundas de un escalar cp, el único invariante que se puede form ar, salvo un factor constante, es el laplaciano.

Si en el teor. 2 se pide que- la combinación lineal dé lugar a un pseudoescalar, según la proposición c) del número anterior únicamente hay solución para el caso del plano, en cuyo caso se tiene Eij Uij = « 1,2 ~ «2,1 que ya sabemos (11.4) cjue es un pseudoescalar. Los teoremas 1 y 2 valen para cualquier número de dimensiones. Para el caso del espacio ordinario, w = 3 . vale además el T eor . 3: N o existe ningún vector cuyas com ponentes estén form a das por com binaciones lineales con coeficientes constantes (los mismos en cualquier sistema de coordenadas cartesianas ortogonales) de las pri meras derivadas parciales de las com ponentes de un vector general « i . En cam bio, existe, en las mismas condiciones, un pseudovector, que es el rotor de u \ , el cual es único salvo un factor constante.

En efecto, con las condiciones del enunciado, de la relación Vi = — h jk U i.k , en la cual Vi es un vector, Xi¡k debe ser un tensor isotrópi co que según la propiedad d) del número anterior sabemos que no existe. En cambio, si Vi es un pseudovector, Xijk debe ser un pseudotensor y por tanto, por la propiedad ^) , es de la forma X£nk el cual da lugar al pseudovector XZak Uj^k que efectivamente es, salvo el factor X, el rotor de

.

EJE R C IC IO S 1. Probar que el único invariante de segundo grado que se puede form ar con las componentes de u n vector es el cuadrado de su módulo. 2. P robar que el único invariante de segundo grado que se puede form ar con las componentes de dos vectores es una combinación lineal con coeficientes constantes de su producto escalar y de los cuadrados de sus módulos. 3. P robar que, p a ra n = 3 , como combinación lineal con coeficientes constantes de los productos de las componentes de dos vectores no se pueden form ar las componentes de ningún vector; en cambio se puede form ar u n único pseudovector, que es el producto vectorial de ambos vectores. 276

39. N o t a s

y

Com plem entos

del

VII

C a p ít u l o

4. Siendo (p = q> ( a t , y , x) u n escalar y a u n a constante, probar que
( — 2
es un invariante.

39. NOTAS Y C O M PLEM EN TO S DEL C A P IT U L O V III 1. T ensor isotrópico de cuarto orden. Por un razonam iento un poco largo se puede dem ostrar que el único tensor isotrópico de cuarto orden es de la forma ciiti = X Sii 6»i + 8i» 8/1 + V 8ii 8/» con X , n , V factores escalares. 2. Invariantes de u n tensor de segûndo orden en el espacio de tres di mensiones. Nos proponemos buscar todos los invariantes independientes de un tensor de segundo orden A n del espacio ordinario de tres dimensiones. Si A t i es simétrico, al reducirlo a la forma diagonal quedan únicamente tres componentes A \ , A ' , , A ' , . Por otra parte, sabemos que existen los inva riantes lineal, cuadrático y cúbico, que una vez reducido el tensor a su forma diagonal son: (1 )

/i =

A \ -J- A ' t

,

A ’z

I,—

A ' t A ' t -{· A ' i A ' n -}- A ’t A ' i

, /■ =

A 'iA 'tA 't

.

C ualquier otro invariante del tensor A t i debe ser expresable m ediante las tres componentes A \ , A ' , , A ', y p o r tanto m ediante los invariantes h , It. E n consecuencia: Un tensor simétrico de segundo orden del espacio ordinario tiene los tres invariantes fundamentales ( l ) , con ¡os cuales pueden expresarse ¡os demis. Si no se h a reducido a la form a diagonal, los valores de / i , U , h son los dados en 3 6 .2 , sección c ). Si A t ! no es simétrico, descom poniéndolo en su p arte simétrica y suparte antisimétrica, y reduciendo la prim era a la form a diagonal (lo que d a las tres componentes A ' , , A \ , A ' , ) , qued an las componentes de la p arte antisimé trica, a saber Bi =

— (A a — A a )

,

Bi =

— (A n — A a )

,

B, =

— {Aa — A n )

,

las cuales, puesto que se pueden escribir

(2)

B« = — en» A)» 2

son componentes de u n a densidad vectorial o pseudovector. Q uedan así, en total, seis com ponentes, p or lo cual el tensor prim itivo no puede tener más de 6 invariantes independientes, puesto que todos ellos deben poder expresarse m ediante estas com ponentes. Los 6 invariantes fundam enta les, de los cuales se puedan d ed u cir todos los demás, pueden ser los 3 (1 ) ya encontrados, más otros 3 cualesquiera formados con las componentes A i i y B ( . Los más simples son /i = (3 )

B, Bi

J, = A n B ,B , J t — A l) A lt Bi Bt

En resum en: Todo tensor de segundo orden del espacio ordinario de tres dimensiones, tiene a lo sumo seis invariantes independientes, los cuales pueden ser los (1) más los (3 ) .

277

CAPITULO IX

A PL IC A C IO N E S D E LO S T E N S O R E S C A R T E S IA N O S

40. EJEM PLOS DE TENSORES CARTESIANOS. APLICACIONES A LA ELASTICID AD

1. El tensor de inercia. Sea un sistema de puntos P* de coorde nadas Xx , (A = 1 , 2 , . . . , n) en cada uno de los cuales se considera una cierta masa . D ada una recta por el origen de coor denadas O , determinada por el versor L de componentes h . si la distancia de Ph a ella es d¡,,se llama m om ento de inercia del sistema de puntos respecto del eje que contiene L a la suma I = '2 mitdi,^ .

Queremos calcular I a partir de las componentes k . Para ello ob servemos que la proyección OH de OPh sobre L es el producto es calar L por O Ph, o sea , Af»'’ Z» (la i sumada de 1 a 3 ). P o rta n te dn^ = ( x i’^ r + { x / y + (xs’^ y - { x i ^ ^ u y que teniendo en cuenta la relación l i h = 1 ^ permite escribir (1) I = h ¡h i, siendo /i i = 2 m , , ( { X i ^ y -t- { x ^ ^ y )

,

/,,

+ {x ^ y )

,

7i3 = /31 = - 2 TOftAfi'·X3» »=1

m j ( ’(A:i'-)2 -f- (at2 * )2 )

,

»=1

(2)

= 7s3 =

»rf 2

h=i

=

=

= -

ht =

2

a:,»x,»

mj,Xi^ x^

h-1

Por su definición, el valor de I (para cada versor U) no depende del sistema de coordenadas, o sea, es un invariante. Por tanto, la rela ción (1 ), según la ley del cociente ( 3 5 , b , a ) , nos dice que las I n son componentes de un tensor, que además es simétrico, come se observa por los valeres de sus componentes. Es el llamado tensor de inercia. 278

4 0 . E jem plo s

f

de

T e n so r e s C a r t e s ia n o s . A p u c a c i o n k

L a ecuación I i ¡ Xi X }= \ representa el llamado elipsoide de inercia. Para las coordenadas de sus puntos es X\ = hlV'’^ y por tanto, para cada dirección L , la longitud del radio vector desde el origen al elipsoide vale o = {xi Xi) = l/l'>· lo que da una interpretación geométrica del momento de inercia. 2. Tensor de defonracíón. Supongamos un cuerpo que se deforma bajo la influencia de fuerzas exteriores o por cambios de tem peratura.

Si se supone que la deformación es infinitesimal, ésta puede expresarse por un tensor simétrico «ly, llamado tensor de la deform ación, que vamos a definir. Sean P {Xi) , Q (j’i) dos puntos del cuerpo, de coordenadas X i, yi respectivamente. Si h representa la distancia PQ y h el versor correspondiente a la dirección PQ , será yi = x, + hU . Supongamos que después de la deformación el punto P pasa al punto P ' (xi + «i) y el Q al Q' ( a:< + A íj + Dí) . Los vectores Ui , Vi son los que dan la deformación en los puntos P , Q respectivamente. La distancia P ' Q' está dada por V i - U i

= 2 {hh + V i-U i)^ = h<í + 2 h ) i=i · h puesto que h es de módulo unidad y se han despreciado los términos cuadráticos en « j , Vi por suponer estos vectores de deformación infi nitésimos de primer orden. Por otra parte, Vi es el vector de la deformación en Q y por tanto, suponiendo k pequeño y limitando el desarrollo de Taylor a los ténninos de primer grado, es Vi = Ui {x i, h l i ) = «i + K{,y h Ij (3)

P'

279


de


los

donde el miembro intermedio indica el valor de la función «j en eJ punto Xi + h h . Por consiguiente (3) da, limitándonos siempre a términos de primer grado en « t , P 'Q : = h [\ + 2 Uij h = h { l + u u h h) . El cociente í " G '- p a •

----------------------------

se llama deform ación en el punto P según la dirección U . Introdu ciendo la notación (4)

en = -

{U ij 4- M;,í)

se puede escribir (4 )' e ■= e n U Ij . Las expresiones e n son componentes de un tensor puesto que cons tituyen la parte simétrica del tensor derivado del vector deformación. Este tensor simétrico e n se llama tensor de la deform ación. Mediante el mismo, la fórmula (4 )' permite calcular la deformación según cual quier dirección h . El invariante lineal e n es igual a la divergencia de m¡ y tiene en este caso un significado simple. En efecto, siendo x'i = Xi + tii las coordenadas de P ' , el elemento de volumen d V correspondiente a ese punto, transformado (o deformado) del elemento dV corresoondiente a P , estará dado por el producto exterior de las diferenciales d x'i = d Xi + U ij d X j, y por tanto, limitándonos a términos de pri mer grado en las m« y sus derivadas parciales, resulta ¿ F ' = ( 1 -t- «i,i) d V o sea, ' / =N d V ' ^ (5) e n = Ui,i = j y - - 1 . Esta expresión se llama dilatación del medio. 3. Tensor de tensiones. Consideremos un medio continuo fun fluido o un cuerpo elástico cualquiera) en equilibrio. Imasrinemos den tro del mismo una superficie cerrada S . Si se supone por un momento que la parte del medio exterior a S desaparece, para restablecer el equilibrio deberá someterse esta superficie a ciertas fuerzas; sea T dn la fuerza correspondiente al elemento superficial d a . El vector T re presenta la fuerza por unidad de superficie v se llama vector dr tendón. Consideremos el caso en que S sea un pequeño paralelepípedo rectánsnilo de aristas paralelas a los ejes coordenados. Sea P un vér tice y T ( i ) , T ( í ) , T (3) los vectores de tensión correspondientes a las 280

40. E jem plo s

de

T e n so r e s C a r t e s ia n o s . A pl ic a c io n e s

tres caras concurrentes en P . Estos tres vectores tienen en total nueve componentes (6 )

E \i = T (i),

que son las componentes dcl llamado tensor de tensiones o d e esfuerzos. Hay que dem ostrar que las E i¡ son componentes de un tensor. Para ello observemos que la tensión T correspondiente a un elemento superficial d a p o r P se puede calcular considerando un tetraedro

elemental formado por paralelas a los ejes coordenados por P y un plano paralelo a la dirección del elemento d a . Puesto que la tensión T d a sobre la cara opuesta a P , cuando esta cara tiende a pasar por P por tender a cero el volumen del tetraedro, debe equivaler a las ten siones T(]} d o i , T ( 2 ) d a ¡ , T (3) das correspondientes a las otras caras, debe ser (7) "T d a = T(i) d o i -f T (2) da^ -f- T<8) das . Además, siendo las proyecciones de d a sobre los planos coordena dos precisamente las d Oj, las componentes del versor normal N a d o serán N i = d o i / d a y por tanto puede escribirse T = T (i, N i

o bien, igualando las componentes, (8) T i = T a u Ni = E i¡ Ni .

Como el prim er miembro es un vector y, además, la igualdad debe valer para cualquier elemento d a , o sea, para cualquier versor Nt la ley del cociente nos dice que Ei¡ cs efectivamente un tensor. L a igualdad (8 ) es la que permite calcular la tensión T en la dirección normal a N , a partir del tensor de tensiones E i j . Obsérvese que E i! resulta un tensor debido a las condiciones físicas 281

A p l i c a c i o n is

de

LOS T e n s o r e s C a r t e s i a n o s

del problema, que permiten escribir (7) . Si las T(i> fueran tres vec tores cualesquiera, sus componentes no podrían tomarse como compo nentes de un tensor, como es evidente según su ley de transfonnación. Ecuaciones de equilibrio. Veamos ahora la relación entre las fuer zas que actúan sobre un elemento de volumen del medio y las tensiones sobre la superficie del mismo elemento. Consideremos de nuevo el paralelepípedo rectánprulo S con un vértice en el punto P y aristas A;ci, Ax^, A x i . Si F es la fuerza por unidad de volumen que actúa sobre el medio, la que actúa sobre el volumen AV = Aa:, Ax^ Ax¡ de S será F Á V . Si el medio está en equilibrio, esta fuerza debe ser equilibrada por la suma de las tensiones que actúan sobre las caras de S". La tensión corres pondiente a la cara que pasa por P y es perpendicular al eje x^, es T(i) ( xi , X2 , «3) Axi Ax 3 y la correspondiente a la cara paralela es T(i) (a:, -I- Aati, x¡ , ATs) Axi Ax¡ ; la resultante de ambas será ( 9)

(T ( l ) ( X l + A x i , X 2 , X s ) -

T ( „ (aTi, X 2 , X 3 ) ) A x 2 A x s =

= T
F - ^ T α,.i= 0

Ésta es una ecuación vectorial. Descomponiéndola en sus compo nentes, se puede escribir F¡ 4- T( í ,/, í = O, o sea (11) F¡ + E i,,i = 0 . Estas ecuaciones nos dan las componentes de la fuerza por unidad de volumen en función del tensor de tensiones. Las seffimdas condiciones de equilibrio se obtendrán escribiendo que los momentos de la fuerza v de las tensiones respecto de los ejes coordenados deben tener la resultante nula. El momento de F A F ^fuerza aplicada en el punto P (x, . x^, x^^)) . respecto del eje x, . seETÚn 37.12 es ZmX i F k A F . El momento de T ,h A a t, Aa:, . análoga mente, es e.,!ic xiT(T,jt Ax, Ax, v la resultante entre este momento y el correspondiente a la cara opuesta del naralelepípedo rectángulo S análosf-amente a (9Ì será CF-Kit x, 7’n u ) .iA F . De igual manera. los momentos resultantes de las tensiones de las otras caras respecto del mismo e¡e at, valen (ûk x 1 T A V y (p-nk Xi T(îitc) A V respectivamente. Por tanto la condición de equi librio respecto del eje Xi es (12)

Zi i kXf Pk +

(ei;7¡ Afy 7’({)s),< = 0 .

Como la misma condición debe valer para los otros ejes Xí , Xí se puede escribir, en general, 282

40. E je m p lo s

de T en so res

C a rte s ia n o s . A p lic a c ió n »

t,jk x¡ Fk + {Uix xj Eik) ,i = O

(í = 1, 2 , 3)

o sea, e»íJt (X) Pk +

XíEn.i +

Ej k) = 0

(j =

1 , 2 , 3)

.

Teniendo en cuenta (111 , estas ecuaciones dan

= 0

E jk

(í = 1 ,

2 ; 3)

de las cuales se deduce que cebe ser Ej k = Eki

(13)

o sea: el tensor de tensiones ts simétrico.

tif, En

4. T ensor clástico. L a tereión, definida por E n y la deformación, defi n ida por de u n m edio eUstico, son fenómenos relacionados entre sí. Es decir, las son funciones de las E n prim era aproximación y p ara de formaciones pequeñas se puede luponer que las soa funciones lineales de las es decir

en,

en.

En

Sn = etnm etm

(14)

que es la expresión exacta de la llam ada ley de Hooke: las tensiones son pro porcionales a las deformaciones. Esta relación (1 4 ) , ju n to con la ley del cociente, nos dice que las ciitm son componentes de u n tensor: ic llama Si las tom an los mismos valores en cualquier sistema de coordenadas (es decir, son componentes de un tensor isotrópico), el medio se llama E n este caso se dem uestra que es (15) E li ~ X 6 5
tensorelástico. ctum isótropo.

dilatación , —

(18)

,

EEn en En 1 -i-
a

= ----------

—-------- — 0 8tj 2o —1 o bien todavía, introduciendo el invariante Oí = S d = (3 X -h 2 ji) 0 , 1 -fo a (19) = ---------“ — 8*/ ·

S

£

Las fórmulas f l l ) , (15) y (4 ) perm iten ej^ re sa r la fuerza Fi por unidad de volumen en función del vector de la deformación «< . En efecto, sustituyendo en (11) los valores (15) y (4 ) resulta, recordando que (20) P ; + (X + H ) «MJ + = O

O=en,

o bien, m ediante los coeficientes E y a ,

(21)

Pl -l·

1 2 (1 + 0 )

1- 2 o

^ ■ Uí.n + Auj = O

E sta * fó rm u la * n o s d a n l a e x p re sió n d e la r e s u lta n te

Fi

d e la s fu e rz a s

283

A

p l ic a c io n e s

de

los


internas del medio que equilibran las tensiones que actúan sobre los elementos superficiales del mismo. Si hay, adem ás, ciertas fuerzas externas de resultante R í por unidad de volumen, p ara que haya equilibrio deberá ser ii / = F / , y si n o hay equilibrio, sino deformación (o sea, m ovim iento), las ecuaciones funda mentales de Newton (fuerza = masa , aceleración) se escribirán (2 2 )

C

3’u/

= Ri -

siendo q la densidad del medio, o sea, 3’uy E (2 3 ) c ----- : = R l + at* 2 (1 4 -c )

Fl

Avi + —---- -— Ui.n 1 —2 o

que son las ecuaciones fundam entales de la dinám ica p ara medios elásticos. Movimiento de un fluido viscoso: ecuaciones de NavierStokes. Es fácil pasar de la ecuación últim a a la que rige el movimiento de los fluidos viscosos. En éstos, las capas contiguas se influyen m utuam ente, originando unas fuerzas sobre cada elemento superficial (viscosidad) que pueden equipararse a las ten siones de los medios elásticos. Análogam ente al tensor £ i/ se tiene ahora un tensor de tensiones P, debe ser 2 n - l - 3 X = 0 , X = — (2 /3 ) t ] . Las ecuaciones (25) quedan así (2 6 )

P, +

-t- t) A u / - / > , / = O

y las ecuaciones del movimiento, si las fuerzas exteriores tienen la resultante R i (p o r unidad de m asa) , queda, análogam ente a (23) , pero siendo ahora ui el vector velocidad, (2 7 )

Q

= c i ? / -f- n

1

Au/ -1----- ut.ti

— P.i 3 que son las ecuaciones fundam entales p ara el movimiento de fluidos viscoso·, llam adas ecuaciones de Navier-Stokes. a t

41. EL ESPACIO - T IE M PO . LA RELA TIV ID A D ESPECIAL 1. El espacio de cuatro dimensiones. El espacio afín de cuatro dimensiones, n = 4 , tiene especial importancia en la teoría de la re latividad de Einstein. Conviene, por tanto, señalar algunas propiedades particulares de los vectores y tensores de este espacio. Representemos por el espacio de las coordenadas X i, , Xs, Xt y por Ej el es 284

4 1 . E l E s p a c i o - T i e m p o . L a R e l a t iv id a d E s p e c ia l

pació de tres dimensiones correspondientes a X i, X2 , X3 ■ En el caso de! espacio-tiempo, E 3 cs el espacio físico ordinario. Se cumplen entonces lo> siguientes teoremas. T eor. 1: Las tres p rin eras com ponentes de un vector (pseudo vector) Ui de £ 4 , son con pon en tes de un vector (pseudovector) de E 3 ; la cuarta com ponente u« es un escalar (pseudoescalar) d e E 3 . En efecto, los cambios de coordenadas ortogonales x ' i = Xie de E i con las condiciones (1) au = 0 , an = 0 , a« = 1 (t= 1 , 2 , 3 )

son los cambios de coordenídas ortogonales de £3 · Por tanto, si poi hipótesis es u 'i = (¿ = 1 , 2 , 3 , 4) , en el caso particular de cumplirse (1) será u'i = ¿ifc w* (A = 1 , 2 , 3) y u'^ = Ut, lo que prueba el enunciado. En el caso de tratarse de un pseudovector o densidad vectorial, la demostración es idéntica, puesto que con las condiciones ( 1) , los de terminantes de las transformaciones de; E i y E¡ son iguales. T eor . 2: Si F u es un tensor (pseudotensor) de E^, sus com po nentes correspondientes a ¿ = 1 , 2 , 3 son com ponentes de un tensor {pseudotensor) de E^ ; las com ponentes F u , así com o las Fî (i = i , 2 , 3) son com ponentes de un vector {pseudovector) de £3 y F.n es un escalar {pseudoescalar) de E 3 .

En efecto, las fórmulas de transformación F'ij = «ía (los índices variables de 1 a 4) para el caso de transfonnaciones con las con diciones (1) dan F'ij = Oinaj^Fue { i , ; , A, A = I , 2 , 3) , lo que prueba la prim era afirmación. De análoga manera, las fórmulas F'n = ant Fkh , F'î = ai¡¡ai¡¡ Fu, y F'n = UiH üiTi F¡,ie, en el caso de cumplirse ( 1) dan, respectivamente, P'ii = am Fki , F'ii = am Fm , F 'n = F ^ (*,¿=1,2,3) lo que prueba el resto del enunciado. De igual m anera se procede para pseudotensores o densidades tensoriales. T eor . 3: Si F ij es un tensor antisimétrico de E t , las com po nentes ( Fxi , F 24, F u ) son com ponentes de un vector de E 3 y las ( F 2 3 , P í t , P 12) son com ponentes de un pseudovector de E 3 .

En efecto, la prim era parte está contenida en el teor. 2 y la se gunda también, considerando la densidad dual F * i¡ = t iju Fî para la cual es = F 33, F*î = F 3 1 , = P12. 2.

El espacio-tiempo de Lorentz-Minkowski. Representemos poi

X\, X2 , ^3 las coordenadas espaciales o coordenadas del lugar en que un suceso ocurre y por t el tiempo. Las coordenadas de un punto del espacio-tiempo son Xi, X2 , X3 , t .

Consideremos el espacio afín de 4 dimensiones cuyas coordenadas sean X i, X2 , Xs, t . Para que su geometría sea útil en la física, se ha visto que no debe considerarse como i'*! espacio euclidiano, sino que 2S5

A.PUCAC10NES DE LOS TENSORES CARTESIANOS

t) y (x' 1 y la distancia entre dos sucesos ( aíi , í°) debe calcularse por la fórmula (2) = {x°t - x ^ r + {x% - X 2 ) ^ + (x°s - xzV (i° - t y donde c es una constante, que se suele considerar igual a la velocidad de la luz, pero que puede tener cualquier valor por un cambio de unidad en la medida del tiempo, D e f . 1: Se llama espacio de Lorentz-M inkowski al espado afín de 4 dimensiones, en el cual la distancia entre dos puntos está dada por la fórmula (2) , Para dos sucesos de coordenadas (;ci, t) y (atí + d x i , t + d t ) , la distancia entre ellos o distancia elemental ds del espacio-tiempo resulta (3) ds^ = dxi^ -I- dx^ -f dx^^ - c* d e , Decir que la expresión (2) da la distancia entre dos sucesos sig nifica únicamente que ella tiene un valor bien determinado, indepen diente del sistema de coordenadas. Es decir, que es un invariante. Así como las transformaciones lineales que dejan invariante la distancia eu clidiana son las transformaciones ortogonales, las transformaciones linea les que dejan invariante la distancia ( 2) se llaman transformaciones de Lorentz.

El conjunto de las transformaciones de Lorentz forma un grupo, puesto que: a) el producto de dos de ellas pertenece al conjunto; b) la inversa de cualquiera de ellas pertenece al conjunto. Este grupo es el llamado grupo de Lorentz. Para poder aplicar a este caso todo lo dicho para el caso eu clidiano, basta sustituir la cuarta coordenada t por la

(4)

Xi = t e t

i=

y por tanto x°t — i c t ° , con lo cual la fórmula (2) toma la forma euclidiana (5) 5* = { x \ - X i ) ^ + [x°z - xz)^ -t- (x°3 - ^3)" + [x°·, - x . ) ^ . Las transformaciones de Lorentz que dejan invariante el origen de coordenadas serán entonces las mismas de 3 4 .4 , a saber (6) x'i = aii,Xh con el índice k sumado de 1 a 4 y con la matriz aih ortogonal. Ünicamente hay que observar que debiendo ser las X i, X2 , Xs reales en cualquier sistema de coordenadas y la x^ siempre imaginaria pura, deberá ser am y reales (7) , . , an y imagmanos puros Con esta observación todo el cálculo tensorial cartesiano que hemos visto para los espacios euclidianos se aplica sin modificación, al espacio ■ tiempo de Lorentz-Minkowski. 286

41.

E l E s p a c io - T ie m

po

. L a R e l a t iv i d a d E s p e c i a l

El signo menos que aparece cn el segundo miembro de (2) hace que el hecho de tener la distancia nula, no signifique que los dos puntos coincidan. En efecto, todos los puntos que están a distancia nula del ( x ° i , x ° i , x ° 3 , t°) son los puntos del cono

(8)

{x\ - xx)^ + { x \ - x , y + {x°s - x ^ y - c ^ i r - ty = o ,

el cual divide al espacio en das regiones: la de los puntos cuya distancia a ( x ° i , x ° 2 , x ° s , t ° ) es real (puntos de espacio) y la de los puntos cuya distancia a dicho punte es imaginaria (puntos de tiem po). A ve ces se toma el signo de canbiado; ello no tiene importancia,porque lo único que interesa es que su valor sea invariante por camljios de coordenadas. Para un lugar fijo (las X{ constantes) , la relación entre la dis tancia elemental d s y el elemento de tiempo d t es d s = i c d t . Este t correspondiente a un punto fijo se llama el tiem po propio correspon diente al punto y se represen;a por t . Es decir, se pone p er definición,

(9)

í = ¿CT .

Naturalm ente que por serlo s , también t es un invariante del punto fijo que se considera. Además, si un punto se mueve con velocidad V, de (3) se deduce {d s/d t)y =■ v* — y per tanto la relación entre el tiempo ordinario í y el invariante o propio t , es (iU)

-i — = a

-

a T

El tiempo propio viese con el punto.

con 1

a = --------

·

V‘-$ t

es el tiempo que indicaría un relej que se mo

3. Las fórmulas de Lorentz: Aplicaciones. Consideremos el caso im portante en relatividad de un cambio de coordenadas de la f^rma (6) que mantiene fijas las coordenadas X2 , Xi variando únicamente Xl y X t. Se trata de un cambie de coordenadas cartesianas ortogonales en el plano , Xt cuya matriz será, por tanto de una de las formas 32.3 sen 0' cos 0 sen 0 ' cos 0 , A- = (11) A- = —cos 0_ sen 0 —sen 0 eos 0 . según que el determinante de la transformación valga + 1 ó — 1 . El case que interesa en relatividad es el A * , puesto que a él per tenece la transformación idéntica x'i = Xy, x '4 = X4 y es natural supo ner que cualquier otra transformación puede deducirse de esta última por continuidad, sin pasar por una transformación singular de deter minante nulo, lo cual no ocurre con las transformaciones A ~ . El parám etro O puede ser real o complejo. Para que se cumplan las condiciones (7) debe ser 0 = icp, pues entonces será 287

A

p l ic a c io n e s

de

los


(12) cos0 = coshcp , senO = ¿senhcp quedando (13) Ar'i = cosh cpxi + í senh cp , x'i = — i senh ip jíi + cosh q) Xt o bien, puesto que Xt = i c t , x'i = i c l' , ( 14) x'i = cosh q> — c senh cp í , c t' = — senh cpati + c coshqp f Para interpretar el ángulo cp, observemos que si el cambio de coordenadas se interpreta como un desplazamiento del sistema x'i (* = 1 , 2 , 3 ) a lo largo del eje Xi con velocidad v , el origen de este sistema tiene siempre x’^ = O y, por tanto, de ( 14) se deduce

(15)

X

t/= — =ctghcp

t

tghcp = —

c

con lo cual resulta, teniendo en cuenta el valor de a dado en (10) ,

(16)

x'i = aXi — V
Xi

que son las clásicas fórmulas de Lorentz de la física relativista. Obsérvese que si se verifica primero una transformación de la for m a (14) de parámetro cpi y a continuación otra de parámetro cp2, la transformación producto tiene por parám etro
1

+ tghcpi.tghcp2

de donde

(17)

. =

que es la ley de composición de velocidades de igual dirección en cine mática relativista. Este hecho de que las velocidades no se sumen como vectores se debe a que la velocidad del espacio físico, de componentes f i = d x i/d t no es un vector del espacio-tiempo. El vector velocidad en este espacio (se llam a cuadrivector velocidad, para indicar que es un vector del es pacio-tiempo) tiene por componentes Vi = d x i / d x (i = 1 , 2 , 3 , 4 ) y es un vector por ser r un invariante (tiempo propio definido por

I»

!

(9)). Siendo F< = d Xi / d x = ( d x i / d t ) ( d t / d x ) , poniendo de mani fiesto las componentes espaciales (las tres primeras) y la componente tem poral (la cuarta), es (con a dado por (10)) ,

f.

y 288

4 ].

E

l

E sp a c io - T

ie m p o .

L a R e l a t iv id a d E s p e c ia l

Vi = { a Vi, t e a ) .

(18)

El cuadrivector inpulso-m asa Pi se define, por analogía con la mecánica clásica, por ler P» = rriaV i , siendo rtio la masa en reposo del punto en movimie:ito. Por tanto es (19) P i = { a m o V i , nioica) . La comparación con el vector impulso m Vi del espacio ordinario induce a introducir como masa de una partícula que se mueve con ve locidad V, (20)

m = mo a .

Obsérvese que de acuerdo con el teor. 1 del 41.1 la cuarta com ponente de Pi debe ser un invariante del espacio físico y, efectivamente, salvo la constante i c . su valor es precisamente m . Con esta masa rr. , variable con la velocidad, la fuerza en el es pacio físico será el vector d (mvi) (21) fi = - ^ { i = l 2 3) dt

y el trabajo o energía p o r un desplazamiento dx¡ d E = fi dxi = fi Vi dt = Vi d{ mv i ) [i sumado de 1 a 3) o sea (22) d E = Vi Vi dm + m Vi dvi = v~ dm + V2 puesto que v'^ = y,® -t- 4- y,“ . Pero, según (20) y(10) es m =

mâ

,

v^ =

—

c^/a^

,

con lo cual queda (23) dE — rrioV^da + (m „c^/a·) d a = m^ c ^ d a . Por tanto, la diferencia de energía al pasar de la velocidad v = O a la velocidad v será (24) E — Eo = mo (a — Uo) = c~ (m — mg) pues Oo = 1 , valor de a para y = O. Esta relación que liga la masa con la energía es posiblemente la más importante de las que ha puesto de manifiesto la relatividad espe cial. Obsérvese que siendo v < c , por desarrollo cn serie es -/ ,.2 \->''2 (25) E - E o = moC^ = mo(^ 1^:1 +

.2 es decir, para pequeñas velocidades (en comparación con la velocidad de la luz c) se obtiene la fórmula clásica de la energía. 289

dv^ =

A p l ic a c i o n e s

de l o s

T en s o r e s C a r t e s ia n o s

42. ECUACIONES RELATIVISTAS D E LA FISICA 1. Ecuaciones relativistas de !a física. En física, se dice que una ecuación o un sistema de ecuacione.' es relativista cuando es invariante respecto del grupo de Lorentz. El cáJr.ulo tensorial en el espacio de Lo rentz-Minkowski será el instrumento ad'icuado para obtener ecuaciones relativistas, puesto que bastará tomar ecuaciones cuyos primeros miem bros sean componentes de un tensor p ara estar seguros de ese caráctel invariante, puesto que si las ecuaciones se satisfacen para un particulai sistema de coordenadas, se satisfarán para cualquier otro, es decir, se guirán satisfaciéndose a través de cualquier transfonnación de Lorentz. De esta manera se obtienen las ecuaciones tensoriales, en particulai las escalares y vectoriales, y quedan fuera las espinorales, que también son invariantes respecto del grupo de Lorentz, pero que sus elementos no son tensores (son espinores). U n tensor función de punto, es decir, definido en cada punto del espacio, constituye un cam po tensorial. Se trata de ver las distintas ecua ciones relativistas que pueden servir para definir un campo tensorial, dentro de las condiciones de máxima simplicidad. Vamos a ver única mente los campos tensoriales. Hay también los pseudotensoriales (en particular pseudoescalar y pseudovectorial) pero las ecuaciones para de terminarlos son las mismas de los campos tensoriales; sólo aparecen dife rencias al estudiar la acción del campo sobre ciertas partículas que po sean de antemano características escalares o vectoriales, pues entonces hay que combinar éstas con las del campo, y aparece la diferencia. 2. Campo escalar. L a incógnita es el escalar, función de punto, que define el campo; sea cp = (p ( aTi , , aís , *<) . Veamos qué ecua ciones tensoriales podemos formar con este escalar solo, sin introducir elementos extraños al campo. Por derivación de q) resultan el gra diente qp,i y el tensor derivado q),{y. Como hay una sola función in cógnita, debemos buscar una sola ecuación. Con q>,{ se puede formar el invariante cp,i qj,i (cuadrado del módulo del gradiente) y por tanto, como una prim era ecuación posible (no lineal), se tiene (1) q),i q),{ 9^ = O siendo k una constante. Con el tensor q>,iy, el único escalar lineal que se puede formar es el laplaciano q),« llamado también dalembertiano u operador de D ’Alembert, por tener cuatro variables (corolario 2 del apartado 38) . Por tanto, sin introducir nuevos elementos, como única ecuación rela tivista posible, lineal en cp y sus derivadas hasta el segundo orden, te nemos la que resulta al igualar el laplaciano con un múltiplo del escalar mismo, o sea, (2) q).u - i cp = O

aso

4 2 . E c u a c io n e s R e l a t iv ist a s

de

la

F ís ic a

siendo k una constante. E sta ecuación, llamada ecuación de KleinGordon, es la ecuación de _in campo escalar. En todos los campos is interesante encontrar un tensor simétrico T i j , que se pueda identificar con el tensor energía del campo, el cual deberá cumplir las ecuadores de conservación

(3)

T ij.j

= O.

En el caso de u n ca n p o escalar, con las derivadas primeras y el escalar mismo se puede foim ar el invariante

(4)

L = q),, qj.i + A: q)’'

y el tensor energía (5)

Tij

= - cp,i(p,i + Y L b i j

que, teniendo en cuenta {¿) , satisface efectivamente las ecuaciones de conservación (3) . 3. Campo vectorial. La incógnita es ahora un vector m (vector del espacio-tiempo o cuadrivector). Con las primeras derivadas par ciales no se puede form ar ningún vector. Con las segundas derivadas pardales Uij>, se pueden formar los vectores «i,// y w/,yi y, por tanto, las ecuaciones del campo, con la condición de ser lineales hasta las deri vadas parciales de segundo orden, deberán ser de la forma (6)

kj, Uiji - 1- ki Uj^ji + k3Ui =

O

siendo k i , k^, k^ constantes. U n caso im portante es el que supone la condición (7) «í,i = O , con la cual elsegundo sumando de (6) desaparece y las ecuaciones pueden escribirse en la forma (8) uijj — k u i = Q es decir, son las mismas del campo escalar (2) , aplicadas a cada com ponente del vector incógnita m . De (7) se deduce My.jy = O . Restando esta ecuación de (8) y lla mando H ij = U ij — Ujî al rotor de U i, resulta que el sistema (7) (8) es equivalente al (9) H ij = U ij — , H ijj — kui — O Las ecuaciones (7) y (8) ó (9) son las ecuaciones de Proca del campo vectorial. Como invariantes fundamentales del campo se. tienen H ij H ij y Ui Ui . Si L representa una combinación lineal de los mismos, como ten sor energía se puede tomar una expresión de la forma Hhj + 8{/ L . 4. Ecuaciones de Maxwell. Consideremos un campo que quede determinado por un tensor antisimétrico de segundo orden Fi j (6 com

291

Ap l ic a c io n e s

de

los


ponentes). Tratándose de un tensor antisimétrico, una hipótesis natural es identificarlo con el rotor de un vector, o sea, poner (10) F ii = ~ y buscar las ecuaciones para determinar A i . Las únicas ecuaciones posibles, lineales hasta las derivadas de segundo orden, hemos visto que eran las (6 ) . Si observamos que añadiendo z. A\ nn gradiente cualquiera q),« siempre se obtiene el mismo Fi¡ y, por tanto, que A\ está solamente determinado salvo un gradiente arbitrario, resulta que se puede imponer al vector Ai una nueva condición que sir\'a para de terminar (p. Ésta suele ser la misma (7 ), pero podría ser otra, por ejemplo Ai Ai = (a = constante). En el primer caso, para determi nar Ai resultan las ecuaciones de Proca. En particular, si fc = O, re sultan las ecuaciones (11) Ai,i = 0 , Aijf = 0 que son precisamente las ecuaciones de Maxwell del campo electro magnético en ausencia de cargas y corriente; Ai es el cuadrivector potencial electromagnético. Para expresar estas ecuaciones mediante las F i j , sin pasar por el vector A i , se tiene: a) Las condiciones para que F u sea un rotoi son (12) Fij,ii + F¡ii,i + Ficij = u . Que estas condiciones son necesarias se deduce inmediatamente viendo que al sustituir F ij por el valor (10) resulta una identidad. Se puede demostrar que también son suficientes. El prim er miembro de (12) es un tensor totalmente antisimétrico, llamado rotor de F u , el cual tiene sólo cuatro componentes distintas, correspondientes por ejemplo a los valores ( 1 , 2 , 3 ) , ( 4, 2 , 3) , (4 , 3 , 1 ) y ( 4 , 1 , 2 ) de los índices. b) Las ecuaciones (11) , ya supuesto que F ij es un rotor, equi valen a

(13)

Fij,j = 0 .

El sistema (10) , (11) equivale de esta m anera al (12) , (13) . Si en el campo está superpuesto un campo vectorial í» , la vin culación natural entre ambos será identificar í» con el vector F i j j , quedando así como ecuaciones del campo las siguientes: (14) Fij^k + F¡k,i + F m j = O , Fiij = Si que son nuevamente las ecuaciones de M axw ell de la electrodinámica. P ara darles la fonna usual que toman en el espacio físico, bastará identificar el vector {i F u , i F í a , í F í í ) con el cam po eléctrico Et (el factor i aparece a causa de la relación = * c í ) ; el pseudovec tor (F 23, F 31, F 12) con el cam po magnético H i , las tres primeras componentes de (multiplicadas por c )con el vector densidad de corriente Ui y la cuarta componente í» (dividida por i ) con la den 292

4 2 . E c u a c io n e s

R e l a t iv is t a s

de

la

F

ís ic a

sidad de carga Q, todo lo cual es correcto en virtud de los teoremas de 41.1 . Al tensor F i¡ se le llam a tensor cam po electrom agnético y a. s{ cuadrivector densidad de corriente. Para estudiar el efecto del campo sobre una partícula hace 'a lta saber la fuerza a que el mismo la somete. La hipótesis más simple cJe cómo esta fuerza puede estar form ada a partir de F i ¡ , es poaer

(15)

íi = P ilSi

y, efectivamente, procediendo así, las componentes espaciales de /{ re

sultan ser las componentes de la fuerza de Lorentz, ya introducida en la electrodinámica clásica. La cuarta componente debe ser un invariante (teor. 1 del apartado 41) y efectivamente resulta igual, salvo un factor constante, a /{ ( ¿ = 1 , 2 , 3 ) siendo Vi la velocidad de la partícula (o sea, igual al trabajo p o r unidad de tiempo correspondiente a la fuerza ft) . Teniendo en cuenta (14) se tiene

(16)

f i = Fij,F,jc_j!

= {Fi},Fhk),k — Fn,,k

Fhk

y como F ih .k Fhk — ~ F h l,k Fhk = F ki.h F^k

y por tanto (aplicando las primeras ecuaciones (14)) Fih.it Fhk = — {Fih,k+ Fki,h) ^

= — — Fhk.i Fük — — — {Fhk Fhk),i

resulta

(17)

U = Mik.k

siendo 1

(18)

M ik

= — FihFkh + — 5 « {FhmFhm)

4 el llamado tensor de impulso y energía del campo electromagnético. Resulta así la fuerza como derivada de este tensor. Según el teorema de 41.1 las componentes espaciales del mismo son también componentes de un tensor: es el tensor de tensiones de Maxwell (Mih = E i Eh + + H i Hh — 1/i {E^ -f hih ; i , h = l , 2 , 3) . Las componentes M it (i = 1 , 2 , 3 ) son las componentes del vector de Poynting (salvo el fac tor i / c) y el invariante M 44 es la densidad de energía del campo elec tromagnético ( 1/4 {E^ + H^))· Vemos así cómo procediendo de m anera casi automática, formando vectores y tensores en el espacio-tiempo, van apareciendo los elementos fundamentales de la electrodinámica clásica. 5. Campo determinado por un tensor de segundo orden simétrico. Consideremos finalmente el caso de un campo determinado por un tensor simétrico hi¡ (10 componentes), caso que ha sido aplicado con éxito para representar el campo gravitatorio. Por este motivo, como las 293

Ap u c a c io n e s

de

los


ecuaciones del campo deben igualarse al tensor energía del espacio, in teresan los tensores de segundo orden simétricos que se pueden formar con hij y sus derivadas parciales. Las posibilidades son varias. Con la condición de ser lineales respecto de las derivadas segundas, los únicos tensores posibles son los siguientes (19) h i j ûh i p ^p j +hj p^pi ; hpg^pgbn; hkk.ij ; huîttebu ■ Cualquier combinación lineal de estos tensores con coeficientes cons tantes, igualada a cero (o al tensor energía T i¡ del espacio) podría servir, en principio, como ecuaciones del campo. Si se impone la condición de conservación T j i j = O, esta combi nación lineal debe ser de la forma (20)

~ (îp,í>y + hjp^pi) + hpg^ M Si/ ] + Cj [ hkk.il con Ci, Ci constantes; esta combinación, igualada a dará las ecua ciones del campo. Si no se impone la condición de conservación, quedan más posi bilidades. Birkhoff, en su teoría de la gravitación (1943) , toma como ecuaciones del campo (21) h „ M = T i, siendo T ij el tensor energía del espacio (nulo en el vacío). U na vez obtenido el campo, por integración de (21) , Birkhoff postula que la fuerza /i que el mismo engendra sobre un punto ma terial debe ser una función lineal de las derivadas primeras hi¡,k (cosa natural si se interpretan las componentes h a como potenciales) y cua drática de las componentes del cuadrivector velocidad Vi del punto (como ocurre en la relatividad general de Einstein) . Es decir, debe ser de la forma fi ~ ^ [ k i + fcj hmm.i Sfci + + ki hjk,i + ks hjm,m 6aí + k^ hmm.i ?>jh ^ VjV)t siendo m la masa del punto y ki constantes de las que se puede dis poner. Con la condición de ser ftVi = 0 (hipótesisnatural pues si fi = m (P Xi / d y Dj = d x i / d s , la relación f i V i = - 0 esuna conse cuencia de ViVi = l ) se deduce que debe ser (23) k i + ki = k i + k, = k3 + k i = 0 quedando todavía tres constantes ki arbitrarias. Birkhoff tom a Ati = 1 , ¿4 = — 1 y las restantes ki nulas. Queda así como expresión de la

(22)

fuerza (24) fi = tn (hij,k — hjk.i) v¡ vn . Poniendo fi = m {d^ x ¡ / d ^ ) , v¡ = d x ¡ / d s , las expresiones (24) se transform an en las ecuaciones del movimiento de un punto material. Vemos que en este caso de un campo definido por un tensor simé trico las posibilidades de elección para las ecuaciones del campo, o las ecuaciones del movimiento, son mucho más abundantes que en los casos 294

43. N o t a s

y

Com plem entos

del

C a p ít u l o

EX

anteriores. L a teor'a d e Birkhoff mencionada explica bien los fenó menos gravitatorios, incluso los llamados tres efectos cruciales de la re latividad general de Einstein, pero es muy probable que con otros va lores de las constantis ci en (20) ó k\ en (22) se obtuvieran otras teorías que tam bién explicaran los mismos fenómenos. Lo interesante, desde el punto de vista del cálculo tensorial, es que el mismo suministra un método para obtener todas las ecuaciones relativistas posibles de carácter tensorial. L a t e o r ía d e l a g r a v ita c ió n d e B i r k h o f f fu e p u b l i c a d a p o r su a u t o r e n el t r a b a j o “ E l c o n c e p ’o m a t e m á t i c o d e tie m p o y g r a v ita c ió n ” . B o le tín d e la S o c ie d a d M a t e m á t i c a i d e x ic a n a , vol. I , 19 4 4. D e s d e e n to n c e s l a i d e a h a sid o e x p lo ta d a c o n é x ito p o r l a escu ela m e x ic a n a , p r i n c i p a l m e n t e g ra c ia s a I c í t r a b a jo s d e G r a e f f F e 'n á n d e z y B a ra ja s . P u e d e n v erse ta m b ié n los tr a b a jo s d e K u s T A A N H E i M O , “ S a m e rem arles o n th e g e n e r a l th e o r y o f B i r k h o f f ’, C o m m . P h y s ic o - M a th e m a t ic a e , v o l. X V I I , n'^ 11, 1955 y “ O n t h e u se o f a g r a v i t a t io n a l v e c to r p o t e n t i a l i n t h e re la tiv ity th e o r y o f B i r k h o f f ’, A n n . A c a d . S c ie n t. F e n n ic a e , 1 9 5 7 , se rie A, n ? 228, así c o m o el d e H . W e y l , “ Howr f a r c a n o n e g e t v n th a l i n e a r fielc t h e o r y o f g r a v i t a t i o n in f l a t s p a c e - tim e ? ” A m . J . o f M a t h e m a ti c s , vol. 6 6 , 1 9 4 4 . P a r a u n a e x p o s ic ió n d e c o n j u n t o d e c a r á c t e r a x io m á tic o , v e r G r a e f t F e r n á n d e z , “ L a te o r ía d e la g r a v ita c ió n d e B i r k h o f f ’, S y m p o s i u m so b r e a l g u z o s p r o b le m a s m a t e m á t i c o s q u e se e s tá n e s t u d ia n d o e n A m é r i c a la tin a [ P u n t a d e l E s te ( U r u g u a y ) ] , e d i t a d o p o r l a U N E S C O , 19 51 .

43. NOTAS

Y

C O M PLEM EN TO S

DEL

C A P IT U L O

IX

1. T r a n s f o n n a c i o n e s q u e d e j a n in v a r i a n t e u n a f o r m a c u a d r á t i c a . H e m o s v isto q u e las tr a n s f o rm a c io n e s lin e a le s o r to g o n a le s so n las q u e d e j a n in v a r ia n te la f o rm a c u a d r á t i c a 2 ( ati — * ° i ) * , o b ie n , e n e x p re sió n d if e re n c ia l, l a f o r m a q) =

{ d x ,r +

( d x , y - f . . . -I- { d X n )' .

I g u a l m e n t e , h e m o s d e f in id o las tra n s f o rm a c io n e s d e L o r e n t z c o m o a q u e lla s tr a n s f o rm a c io n e s “ lin e a le s” q u e d e j a n i n v a r i a n t e la f o rm a

= { d x i Y + { d x , y + { d x , y - { d X iY

.

V a m o s a v e r q u e , e n a m b o s e n u n c ia d o s , l a c o n d ic ió n d e s e r l a i tr a n s f o r m a c io n e s “ lin e a le s ” es s u p e rf lu a . E llo es u n a c o n s e c u e n c ia d e l sig u ie n te T e o r . 1 : Las transformaciones representadas por funciones derivables hasta el segundo orden, que dejan invariante una forma cuadrática (1 ) «p = a,y d x i d x , con coeficientes constantes y determinante | att \ simétrico y distinto de cero, son lineales. Demostración. Sea la transformación ( 2) X i — X t { x i , X y s u p o n g a m o s q u e se c u m p la

t ,

, , , ,

X m)

(t

=

l

,

2

, . * . , n )

aii d x ' t d x ', = at¡ d xi d x, q u e p u e d e escrib irse (3)

3 * '. d x ', aii — ----------------- dxk dx» =

Zx»

a»,

dx» dx»

de donde ^ x ',

d x ',

dx»

= a» 295

A p l ic a c i o n e s

de

lo s


Recordando la regla p a ra m ultiplicar determ inantes, esta relación nos dice Sx', * , , que I ati = I a\m 1 y por tanto 9 at» (5 )

dXí

Derivando (4) respecto de x , , resulta ...

dx'j , ay. s-x', 5— á--------------------------------------a-^ oxm oxh oxâxt

y también, por la pennutación h~> ...

a**', ox.óx„

m

d x ’,

dx'.

0*»

"á-- á-------- ~

h , d ' x ’,

dx,

9x»0Ar«

Restando (6 ) y (7) se obtiene, puesto que at¡ = a n , ^x 'i

d x ’,

d x ’,

S ' x ’,

à— o x ^ d x , à-------d x „ 'Z----------;— d X, 0x*9jr„= O o bien, perm utando í -> ft-» í y sum ando con (6) d^x',

dx'j

"a— d xÔá----X, a----d x„ “

°

Considerando estas ecuaciones como u n sistema lineal homogéneo con los coeficientes 3 x '> /3 x » , la condición (5 ) exige que sea d ' x ’i

« o - — I----- = O d xtd x,

y considerando estas ecuaciones como un sistema homogéneo con los coeficientes a , j , siendo | ai> | O debe ser d‘ x ’,

------------- = O d Xl 3 x .

Estas relaciones obligan a que las funciones (2) sean lineales respecto de las variables xi , lo cual es el teorem a enunciado. 2. La fórm ula de Gauss en el espacio-tiempo. El simbolismo del cálculo diferencial exterior (2 2 .5 ) perm ite generalizar inm ediatam ente a un espacio de cualquier núm ero de dimensiones las fórmulas de Gauss o de Stokes del es pacio ordinario. En efecto, se puede dem ostrar, siguiendo u n camino que esencialmente consiste cn la generalización de los empleados p ara los casos del espacio ordinario, que si en un espacio de n dimensiones se tiene una variedad S de dimensión fi que sea el contorno de otra variedad V de dimensión p + 1 , y si eo es una form a diferencial de orden p definida sobre S , se tiene (10) f (O f d(o

8

V

donde en el segyndo miembro el integrando es la diferencial exterior de la form a to . En 2 2 .5 vimos los casos particulares p = 2 (fórm ula de Gauss) y ^ = 1 (fórm ula de Stokes) del espacio ordinario de tres dimensiones. Consideremos ahora el caso n = 4 , p = 3 . Si yi son los cosenos di rectores d e la norm al a la hipersuperfície S que lim ita el volumen V , el ele m ento de área (tridim ensional) de S se expresa p o r cualquiera de los cociente» equivalentes 296

4 3 . N o ta s y

dxx ! \ d

¿a =

dx·

C o m p le m e n to s d e l C a p ítu lo

IX

d x t A d x i A ¿Jf«

Yi d x t A ÍAfí A dXi

t»

Y* dxi A

A dxx

y·

■tiálogos a los 2 0 .3 5 . Por tanto, el flujo de u t vector ai a través de S será la integral de la forma diferencial 1 at yt d a = — Eijn ai dx¡ A dx» A dxt

6 cuya diferencial exterior es a t t d x ¡ A d x , A d x i A d x t . Por tanto, aplicando la fjrm u la general (10) resulta

(11)

— S at etm d x, 6

s

A

d xt

A

d xt = f at.t dx¡ V

A

dxi

A

dx·, A dxt, .

Para aplicar esta fórm ula al espacio-tiempo basta tener en cuento que x, = ic t y que la c u arta com ponente Ot del vector dado estam bién siempr im aginaria pura, con lo cual se puede simplificar el factor i de ambos miembros de (1 1 ), quedando una fórm ula entre elementos reales. Para más fórmulas de este tipo y aplicaciones, ver A. S o m m e r f e l d , Ann. der Physik. vol. 32 v 33 (1910).

297

CAPITULO X

TE N SO R E S E N

GENERAL

44. TENSORES EN GENERAL. ALGEBRA TEN SO RIA L 1. Coordenadas curvüíneas. H asta ahora hemos estudiado los ten sores cartesianos. Para ellos, la ley de transformación de sus compo nentes por cambios de coordenadas cartesianas ortogonales está bien de finida, pero nada se dice de cómo se transformarán por cambios de coordenadas más generales. Las ventajas de la ley de transformación que define los tensores car tesianos es que las nuevas componentes se expresan de m anera lineal y hom ogénea mediante las componentes en el sistema primitivo y, además, que es transitiva, es decir, que verificando dos cambios de coordenadas sucesivos se obtiene la misma ley de transformación que haciendo di rectamente el cambio del primer sistema al último. Se trata de ver ahora si estas propiedades se pueden conservar para cambios de coorde nadas más generales. U n cambio general de coordenadas estará dado por ecuaciones de la forma ( 1) x'i i , X2 5 Xz f · · · 3 Xn) 5 (i — l > 2 , 3 , . . . , w ) siempre y cuando, en la región del espacio que se considere, este sistema permita despejar las Xi en función de las x ' i , o sea, (2) Xi = Xi (x 'i, x ' i , x 'i, . ■. ,x'n) , ( i = 1 , 2 , 3 , , n) . En efecto, en este caso, cualquier punto quedará determinado tanto por las X i como por las x ' i , puesto que las ecuaciones ( 1) y (2) per miten pasar de uno a otro sistema. Para que sea posible invertir el sistema ( 1) pasando al (2) , en una región suficientemente limitada de espacio, se sabe que es nece sario y suficiente que el jacobiano sea distinto de cero, o sea, (3)

; =

^0

.

d ( x ' i ,x ' 2 , . . . ,x'„)

Las ecuaciones ( 1) y (2 ) son las que definen un cam bio general de coordenadas.

Por ejemplo, al pasar de cartesianas (ati , *a) a polares (x'i = O, *'i = 0) en el plano, las (1) serán 298

44. T e n s o r e s

x'i = (x' -i

(4)

,

Xl =

x'¡= (xi' +

lg ebra

T e n s o r ia l

*'» = are tg — .

X, =

P ara pasar de cartesianas *'a = 9) en el espacio, resultan las fórmulas

(5)

G e n e r a ;. A

x'sc(x osj,x',Xt,,Xt) x'ismx{'ix\=Q, Xt Xí x'i x't x't xt x\ x't.

y la· (2) < 4 )'

en

+ AT,*)’/* ,

a esférica»

= a r c tg — ,

* ’i

=
x',= are t g --------------------

*1

y las inversas (

=

5) '

=

* 'i

=

cos sen sen x ' j sen * ' i cos

2. Vectores contravariantes y covariantes. De (1) se deduce ^ dxjc .

(6)

dx/f

Esta ley de transformación, lineal y hcsnogcr.ea, para las diferen ciales, induce a establecer la siguiente D e f . 1 : Se llama vector contravariante a un conjunto de n com ponentes u* (i = 1 , 2 , 3 , . . . , n) que por un cambio de coordenadas (1) se transformen según la ’.ey (7)

u'‘ = ^

u» .

9 Xi

El prim er ejemplo de vector contravariante es el de componentes d x i , llamado vector desplazamiento. Excepto para éste, que seguire mos representando por d x i , los vectores contravariantes se indican siem

pre con un índice en la parte superior. En el espacio ordinario, dividiendo (6) por d t (t = tiempo) resulta que otro ejemplo de vector contravariante es el vector velocidad. Análogamente, si V [x^, X2 , X3 , . . . . x„) es una función de punto, por la regla de derivación de función de función, se tiene dV _ dV J a

~

dxt _ J a

~

dxt

dV ~dl^

que también es lineal y homogénea respecto de las derivadas de V . Tom ando (8) como modelo, se establece la siguiente D e f . 2 : Se llama vector covariante a un conjunto de n componen tes Vi que por un cambio de coordenadas (1) se transformen según la ley (9)

v'ü =

Vt . Xi Los vectores covariantes se indican siempre con el índice en la parte inferior. El prim er ejemplo d e vector covariante es el (8) llamado 9

299

T en sores

en

G eneral

gradiente del escalar V . Interpretando V como una función poten cial, resulta; las fuerzas son vectores covariantes.

Observemos que para cambios de coordenadas cartesianas ortogo nales las definiciones actuales coinciden con las dadas para vectores car tesianos. Sólo que en este último caso las leyes de transformación re sultan las mismas para vectores covariantes o contravariantes. Por esto tal diferencia no aparece para tensores cartesianos. Para aceptar la definición anterior hay que demostrar que es válida la propiedad transitiva. Consideremos, por ejemplo, el caso de un vector covariante m , pues el razonamiento es general. Por el cambio de coor denadas Xi -> x'i se tiene (9) y por el nuevo cambio x'i -> x"i apli cando la misma regla, resulta dx'

9 x"i o sea, sustituyendo v'^ por su valor dado por (9) , dx'k

dxit

dxh

V"i = -------------------- Vh = ---------- Vh . d x"i 0 x'k 9 Es decir, verificando sucesivamente los cambios Xi x'i y x'i

x " i, se obtiene la misma ley que debe aplicarse para el cambio producto Xi x " i . Por tanto la definición dada de vector es consistente.

3. Tensores en general. Igual que para tensores cartesianos, la idea de tensor general aparece como producto de vectores. Se tiene así: *1 *2 ’ D e f . 3: Un conjunto de funciones de las va riables X i , se dice que son componentes de un tensor de orden p ■‘r q p veces contravariante y q veces covariante, cuando por un cambio de coordenadas (1) se transforma como el producto de p vectores con travariantes y q vectores covariantes, o sea, ( 10) 4 4 4 dxi ^ , , » '"‘i '» · · · 'fl · Según esta definición general, los vectores son tensores de orden uno. Igual que para los tensores cartesianos, debe observarse que la importancia de los tensores en geometría y en mecánica estriba en la propiedad evidente de que: si las componentes de un tensor son todas nulas en un sistema de coordenadas (se dice que es el tensor nulo), seguirán siendo nulas en cualquier otro sistema. Por tanto, el hecho de anularse todas las componentes de un tensor constituye u n a propiedad intrínseca del espacio, independiente del par ticular sistema de coordenadas elegido para su estudio. Para d a r un tensor hay que dar sus componentes en un sistema de coordenadas; las componentes en cualquier otro se calcularán luego por las fórmulas (10) . 300

44. T e n s o r e s

en

G eneral. A

lgebra

T e n s o r ia l

4. Ejemplos de tensares, a) Para los tensores de segundo orden se tienen tres posibilidades: 1. T ensor contravaricnte a**, cuya ley de transformación es dxk

2. Tensor mixto

dxi

cuya ley de transformación es

(12)

■ 9 x'k cuya ley de transformación es

dxh

3. T ensor covariante (13)

b) Desde el punto de vista general de ahora, el símbolo de K ron ec ker es un tensor mixto. En efecto, una expresión analítica del mismo es

(14)

dXi

puesto que la derivada de una variable independiente respecto de otra es siempre nula, excepto si es respecto de sí misma, en cuyo caso vale uno. De esta expresión se deduce que las n^ expresiones b’‘i son com ponentes de un tensor, pues por un cambio de coordenadas queda dx'k

dx'n dxH

dx 'i

d x , dx'i

8'*i = --- = -------que se puede escribir dx'n d x i dxh dx'i

lo que prueba que las b’î son componentes de un tensor mixto. c) Para ver si n”* cantidades son o no componentes de un tensor hay que ver su ley de transformación por un cambio de coordenadas. Sea por ejemplo Vi un vector covariante y consideremos las n‘ deri vadas parciales

(15)

= ^ d xic

( i , k = í , 2 , ..

n) .

Queremos ver si ellas son o no componentes de un tensor. Siendo por hipótesis Vi un vector covariante será

,

dxh

= ------ Vh dx'i

y por tanto (16;

, dXh dxm v'i,H = - - - ■ , Vk + -x—rVh.m -^ -79 x'i 9 x'h o x'i 9 x'k 301

T ensores

en

General

El segundo sumando es de la forma (13) , pero no el primero. Lue go; las derivadas parciales de un vector no son com ponentes de un tensor. Tenemos así la primera diferencia fundamental entre los tensores ge nerales (a los que llamaremos simplemente tensores) y los tensores car tesianos, puesto que para estos últimos las derivadas de un vector son tensores (apartado 3 5 ). Permutando en (16) los índices i , k y observando que en el último sumando hay que sumar respecto de h , m y por tanto se puede in vertir el nombre de estas letras, se tiene

(17)

v'h.í = - To ' r

0 Xk0 X i

+ T~T T7T 0 X i

0 x^k

de donde, poniendo (18) Vik = Vi^k — Vk.i y restando (17) de (16) resulta dxH d x „

o sea, las n^ funciones (18) son componentes de un tensor dos veces covariante. Es el llamado rotor de V i. d) Si se hace lo análogo para un vector contravariante , las diferencias de derivadas parciales análogas a las (18) no resultan com ponentes de ningún tensor. Es decir; el rotor sólo tiene sentido parct vectores covariantes. e) L a definición de simetría o antisimetría es la misma que para tensores cartesianos. Ünicamcnte hay que tener en cuenta que la misma sólo tiene sentido para índices al mismo tiempo co- o contravariantes. Es decir, no tiene sentido una simetría definida por ser a’‘i = a*s, puesto que no siendo la diferencia a’‘i — a^k ningún tensor, puede ocurrir que tal simetría tenga lugar en un sistema de coordenadas y no en otro.

/) Probar que si Ai¡ es un tensor antisimétrico, las expresiones (19) Aij_k + Ajk,i + Aki.i son componentes de un tensor antisimétrico respecto de los tres índices. g) L a ley de transformación de los tensores permite hallar sus com ponentes en cualquier sistema de coordenadas cuando se conocen en uno de ellos. Veamos un ejemplo. Sea, para n = 3 , el tensor Ui¡ que en coordenadas cartesianas or togonales ( x i , X2 , Xs) tiene por componentes Uü = 1 (t = 1 , 2 , 3) , Uij = O (i j ) . Se desean sus componentes en coordenadas polares. Poniendo x'i = o , x'^ = Q , x's = a , las fórmulas de transfor mación 17.3 son Xl = Q sen O eos a , X2 = Qsen 0 sen a , Xj = e eos 0 y por tanto ' 302

44. T

ensores e n

G e n e r a l . A l g e b r a T e n s o r ia l

3 Xl ^ 9 Xz Q 9 Xt « ------ = sen o cos a —------ = sen O sen a ------- = cos o . a x\ d x 'i dx'i De aquí, según (13), se deduce u'n = 1 . Análogamente, calculadas las derivadas parciales respecto de x't x'a y aplicando (13) s encuentra fácilmente que las restantes com ponentes u'ij son los e em entos de la matriz 1

O

O

o o

Q" o o 0^ sen^ 0

5. Operaciones c o ü tensores. Las operaciones de adición o sus tracción y multiplicación de tensores, en este caso general, se definen lo mismo que en el cas» de tensores cartesianos. Únicamente hay que tener en cuenta: a) Para la adición y sustracción los tensores deben tener las mismas características de co- y contravariancia, sumándose o restándose, entonces las componentes homólogas. Por ejemplo la suma de y b^jic es el nuevo tensor c*ik — a*jk

b*jii .

b) Para el produc'.o, los tensores pueden ser cualesquiera y el re sultado es un nuevo tensor cuyos órdenes de co- y contravariancia son las sumas de los órdenes respectivos. Por ejemplo el producto de por b'’m es el tensor de componentes = a*¡ti b’'m . 6. Contracción de índices. Solamente es válida para un índice contravariante y otro covariante. Es decir, no se pueden contraer dos índices contravariantes o dos índices covariantes. Consideremos por ejemplo las n® componentes de un tensor y formemos las n sumas = a*^j (el índice j sumado de 1 a n) . Afirmamos que estas 6* son componentes de un tensor (en este caso particular de un vector). En efecto, basta ver la ley de transformación: dXh d x k d x j

= idXh r -

oXh

‘‘ ·

En cambio, por contracción de índices de la misma clase no se obtiene ningún tensor. Por ejemplo, las n componentes a^^j¡ obtenidas dcl mismo tensor anterior no son componentes de un vector, como se deduce inmediatamente de su ley de transformación. 7. Invariantes. Análogamente, como para el caso cartesiano, un invariante o escalar respecto de cambios generales de coordenadas de 303

T ensores

en

G en era l

la forma (1) , es una expresión que toma la misma forma en cualquiera de ellos. Por ejemplo, con dos vectores m* , Vi uno contravariante y otro covariante, se puede formar el producto escalar S = u* V i, que es un invariante, puesto que por un cambio de coordenadas es (20)

S' = u'* v'i = 4 - ^ d x i 9 ATi

Vh = 6’*!

Vh =

Vi = S .

Obsérvese que si los dos vectores son de la misma clase, covariantes o contravariantes, el producto escalar no está definido, pues las expre siones Ui Vi o u* V* no son invariantes, como es fácil comprobar y como resulta del hecho general mencionado en el número anterior de que no se pueden contraer índices de la misma clase. En cambio, si por contracción de índices de un tensor o de un pro ducto de tensores se llega a hacer desaparecer todos los índices, el re sultado es seguro que es un invariante. E jem plo: Ya hemos visto que la velocidad v* es u n vcctor contravariante y la fuerza /< un vector covariante. El producto contraído /< a ' será u n invariante. Efectivamente es la potencia.

8. Criterio para reconocer el carácter tensorial. El criterio para reconocer el carácter tensorial (ley del cociente) dado en 35.6 vale lo mismo en el caso general. La situación de los índices resulta dada por la que tienen en el tensor arbitrario por el cual se multiplica y en el tensor producto. Así, por ejemplo, si se tienen componentes (* 5 i j ^) que no se sabe si son o no componentes de un tensor, pero los productos contraídos a ( i , j , k) Vjk = son siempre componentes de un vector, cualquiera que sea v¡k, se puede afirm ar que a { i , j , k) es un tensor de la forma «i . La demostración es completamente aná loga a la del caso cartesiano. 9. Pseudotensores o densidades tensoriales. La definición de pseudotensor (apartado 37) se generaliza al caso de cambios generales de coordenadas (1) , (2) de la siguiente m anera: 1 ti i D e f . 3 : Un conjunto de componentes i\s\. · · i^ se dice que son componentes de un pseudotensor o densidad tensorial p veces contravariante y q veces covariante, cuando por un cambio de coor denadas (1) se transforma por las mismas fórmulas (10) válidas para un tensor de las mismas características, excepto que en el segundo miem bro aparece como factor el jacobiano ( 3 ) de la transformación de coor denadas. En esta definición van incluidos los pseudotensores de orden cero o pseudoescalares, llamados también densidades escalares; serán las ex3U4

4‘.

T e n s o r e s e n G e n e r a l. A lg e b r ü T e n s o r ia l

presiones ^ que por u n ;ambio de coordenadas (1) se lansforman cn siendo J el jacobiano (3) . A veces se consideran también pseudotensores de peso P , enten diendo por ello que la ley de transformación cs la misma interior ex cepto que el jacobiano está elevado a la potencia P (enters positivo o negativo). P ara P = O se tienen los tensores y para P = 1 los llama dos simplemente pseudoteniores o densidades tensoriales de la definición anterior. Para P = — 1 st llaman capacidades tensoriales. E jem plos:

1. Un razonamiento análogo al hecho en el caso cartesiano (37.2) para el desarrollo de un determinante permite escribir la icentidad

o sea ^x^

dx^

lo que prueba que los símbolos de Levi-Civita · · · * „ · definidos igual que en el caso cartesiano, son componentes de una capacidad ten sorial o pseudotensor covariante de peso —1. Los mismos símbolos pueden actuar como densidades tensoriales o pseudotensores contravariantes de peso + 1 , y entonces se escriben En efecto, basta observar que siendo el jacobiano de la trans formación inversa igual a la inversa del jacobiano, análogamente a la prim era fórmula anterior se tiene

dXi^'"dXi^

de donde, multiplicando ambos miembros por / , resulta el enunciado. 2. Sea a n un tensor covariante cualquiera tal que el determinante de sus componentes sea distinto de cero, o sea, a = | [ ¥· O. Por un cambio de coordenadas es 3^* dxit (21) a' = \a'n\ = ahk = p a dx'i dx'i

es decir: el determinante d e un tensor covariante de segundo orden es un pseudoescalar de peso 2 .

De (21) se deduce (22) = t v V = ± ; v ”í o tea: salvo la indeterminación en el signo, la raíz cuadrada del deter 305

T ensores

en

G eneral

minante de cualquier tensor covariante de segundo orden es un pseudo escalar o densidad escalar.

3. La única componente estricta de un tensor covariante total mente antisimétrico de orden n es una densidad escalar. En efecto d X f dX f

(23)

a’„

,

^x^

^

=

= J ^12 ... n · 4. La im portancia de las densidades escalares es que ellas forman los integrandos de los invariantes integrales. En efecto, si A es una densidad escalar, teniendo en cuenta que por un cambio de variables es A' = J A y que por la regla del cambio de variables en integrales m úl tiples es d x i A d x¡ A . . . A dx„ = ] dx'i A dx'^ A . . . A d x 'n , resulta (24) J A' dx\ A dx'z A . . . A dx'n = f A dx^ a dxz A . . . A dxn lo que prueba que se trata de un invariante integral. 5. La ley de contracción de índices vale lo mismo para tensores que para pseudotensores. Por ejemplo, en un espacio de 4 dimensio nes, a partir de un tensor Ui¡ se puede formar el pseudoescalar (o densidad escalar) (25) y el pseudotensor (26) e*^'‘”*Uij . 6. Obsérvese que si bien para pseudotensores cartesianos (apar tado 37) el producto de pseudotensores es un tensor, en el caso general no ocurre lo mismo, sino que: el producto de dos pseudotensores de pesos respectivos p , q es un pseudotensor de peso p + q .

10. Tensores y pseudotensores obtenidos por derivación ordinaria. Aunque la derivada parcial ordinaria de un tensor o pseudotensor no da en general lugar a un nuevo tensor ni pseudotensor, hay ciertas com binaciones de derivadas ordinarias que conservan el carácter tensorial. Varias de ellas ya las hemos visto precedentemente como ejemplos de ten sores en el 4 4 .4 , pero de todas maneras es útil tener reunidas a las pnncipales. La demostración se realiza en cada caso por simple veri ficación de que, efectivamente, la ley de transformación es la que co rresponde según el enunciado. a) A p artir de un escalar qp, las derivadas parciales (p,í son com ponentes del gradiente (vector covariante).

306

44. T ensores

en

G en era l,

álgebra

T e n s o r ia l

b) A partir de un v ector covariante U{, se obtiene el rotor

(27)

rn

= « u — U jj .

c) A partir de u r tensor covariante antisimétrico de segundo o ter[XT orden se obtienen respectivamente los tensores

(28)

îikm — Unic,m

^

’ "t" UkniJ

·

Estas expresiones se llaman también los rotores de Ui¡ y «i/s ; ellas íon fácilmente generalizables a tensores covariantes antisimétricos de cualquier número de índices. d) De un tensor totalmente antisimétrico *¡¡ ■ · · *„ orden sea igual a la dimensión del espacio, su única componente estricta Ui2 ,..„ cs una densidad escalar (4 4 .9 , ejemplo 3) . e) Si "» es un pseudotensor contravariante totalm ente anti simétrico, su divergencia (29) cs otro pseudotensor totalm ente antisimétrico. Análogamente, de un pseudovector contravariante H* se deduce la divergencia que es un pseudoescalar. En este caso e) la demostración es un poco más complicada. Se puede llevar a cabo utilizando la fórmula (30) de los ejercicios. Para otros tipos de tensores o pseudotensores u otras combinaciones entre sus derivadas ordinarias, el resultado no tiene, en general, carácter tensorial. Ello obliga a definir una nueva operación (derivación cova riante) que veremos en el apartado siguiente.

EJER C IC IO S 1. Probar que 6*· = n (n = dimensión del esp a c io )., 2. Probar, viendo su ley de transform ación, que si u i/ es u n tensor, u
(t = 1 , 2 , ·. , n)

de ellas se deduce

307

T en sor e s

en

G eneral

6. Probar que el producto de dos pseudotensores de pesos pi y pt es UI pseudotensor de peso pi + p t . 7. Probar que el producto de u n tensor p or un pseudotensor es un pseudo tensor. 8. Probar las propiedades de la contracción de índices y la ley del co ciente para pseudotensores. 9. Si se verifica

dx\ dx’,

b'> = ------------ - a» 9 X* dx.

demostrar que

dx', dx'. 10. Siendo /

el jacobiano (3 ) , probar que d j

(30)

^

=

- J .

d X,

dx,

d‘ x \

9x',

d x , d Xi

45. D ERIVA CIÓN C OVARIAN TE 1. Derivación covariante de vectores. Ya vimos en el ejemplo «■) del 44.4 que las derivadas parciales ordinarias de un vector no son componentes de un tensor. Lo mismo ocurre para cualquier tensor; sus derivadas ordinarias no son, en general, componentes de ningún tensor. Se presenta por tanto el problema de ver si es posible generalizar la operación de derivación parcial de m anera que, aplicada a tensores, dé como resultado nuevos tensores. A esta nueva operación se le llama “derivación covariante”. La condición esencial que se impone a esta derivación covariante para que el cálculo diferencial correspondiente no difiera mucho del ordinario, es la contenida en el siguiente P o s t u l a d o ; Para la derivación de un producto debe valer la mis m a regla que para la derivación ordinaria. Consideremos en prim er lugar un vector contravariante ti*. De su ley de transformación 9 Xh se deduce que las derivadas pjirciales= 9 «V9 x¡t se transforman según la ley

(1)

u'*l·--------- u* I -1- ----------dXH dx'n

d xi d xH

d x ’n

que no es la de los tensores. Se trata de ver si es posible añadir algo, lo más sencillo posible, a las derivadas ordinarias u*,s para que el resultado sea un tensor. El térm ino para agregar puede depender de las coordenadas Xi del punto en que está aplicado el vector y del vector mismo u * . Por razón de 308

45.

D e r iv a c ió n

C o v a r ia n t e

simplicidad ensayem os el caso en que dependa linealmente de las comIKjnentes m* , es d ec ir el caso en que el término para agregar a las derivadas parciales m*,* sea de la forma F* u * , donde elíndice * va sumado de 1 a « y 1^ F* son funciones de las x«, a las que se han puesto de m anifiesto lo> índices i , k que indican que se trata del tér mino que hay que a ñ a d r a la derivada . Indiquemos p o r u'-,r¡ a la suma obtenida (2) M* i = u\k + r* ui Las n®

funciones

pueden ser arbitrarias, con tal de que la

expresión (2) sea u n tensor, para el cual se quiere que el índice k sea un índice de covariancia; de aquí el nombre de derivación covariante. En consecuencia debe ser un tensor mixto. Esta condición nos dará la ley de transform ación de las funciones 1^‘ . En efecto, si * debe ser un tensor mixio, su ley de transformación debe ser (3)

d x ' i d Xl dx 'i d Xl u'* * = -------------- u* , = --------------- («»,, + P* «O dxh d x\ dXk d x'ii

y por otra parte, segur. (2) y (1) , ... ,, d x 'i dxi d^x'i dxi ^ x'i . (4) U'* fc = --------------u*,i + ---------------------M* + 9 xi, 9 x's d x i d x h d x'n 9 Xh Igualando (3) con (4) y arreglando los índices para sacar factor común M* , lo cual es posible puesto que para ello sólo hay que cam biar el nombre de índices que indican suma, se tiene una expresión que si debe ser nula p a ra cualquier vector u* (o sea, las deben servir para cualquier vector) , debe tener nulos los coeficientes, o sea, 9x, d X l d X?,

d x'k

dXh

d x'k

d Xm

De aquí, multiplicando por 9 Xh/d x ' , y sumando respecto d e h , resulta d x 'i

d Xl

d x j,

x 'i

d Xl

d Xh

(5)'

Ptic * = --------------------P » --- ----------------------------- ' /N . ^ . ^17 9 Xm 9 x'k 9 x 'i '■* d x i d x h d x'k d x's que nos da la ley de transformación de las · En resumen: siempre que se tengan n“ funciones que por un cambio de coordenadas se transformen según la ley (5) , las expresiones u*;k definidas por (2) serán componentes de un tensor mixto de se gundo orden, cualquiera que sea el vector contravariante . D e f . 1: Al conjunto de n* funciones F* con la leyde transforjK

mación {S) , que no es la de los tensores, se le llama conexión afín del espacio y son las com ponentes de la conexión. D e f . 2: A la expresión 309

T en sores

en

G en era l

(6)

«S* =

«'

que es un tensor mixto de segundo orden, se le llama derivada cova riante del vector u* respecto de la conexión 1^*. Indicaremos siempre la derivada ordinaria por una coma y la de rivada covariante por punto y coma. Ya obtenida la derivada covariante de u* consideremos el pro ducto hu* , siendo h un escalar cualquiera. Por ser este producto tam bién un vector contravariante, será (7) (A«‘),fc + i;* A u / Pero según el postulado admitido sobre la derivación covariante de un producto, debe ser también [hu^).je = h-iiU* + = A;)fcU* + Am* + . Comparando con (7) y puesto que m* es cualquier vector contra variante, resulta que debe ser h-,h = h ^ , o sea: L a derivada covariante de un escalar coincide con la derivada par cial ordinaria.

Este resultado está justificado, puesto que siendo ya la derivada ordinaria de un escalar un vector (el gradiente), toda complicación sería artificial. Pasemos ahora a hallar, con la misma conexión F* la derivada ’

Ik

covariante de un vector covariante V i. Para ello tomamos un vector con travariante cualquiera y consideramos el producto escalar S = u^v,. Por ser este producto un escalar, deberá ser (u* Vi),i = (m< Vi).,t

y según ei postulado referente a la derivación covariante de un producto, (8) o bien, según (6) («* k +

Vi -1- u* Vi;jc = u\k Vi + w* ui) Vi -1- u*

- u\k Vi - u* Vijt = O

o sea Como u* es arbitrario, resulta de aquí, (9) v j f t = V j j t - I^‘ Vi Esta expresión es un tensor dos veces covariante, como resulta apli cando la ley del cociente al prim er miembro de (8) , que es un tensor, cualquiera que sea el vector «* y cuyo prim er sumando también es siempre un tensor. D e f . 3: Al tensor definido por (9) se le llama derivada covariante del vector Vj respecto de ia conexión . 310

45.

D e r iv a c ió n

C o v a r ia n t e

Observación. L a ley d e transformación (5) p ara las componentes de una conexión afín p u e d e escribiise en otra form a que es m uchas veces útil. En efecto, derivando p arcialm en te respecto de x \ la expresión d x ', d x . _

dxm dx', resulta d’ x ' ,

Zx,

dxn

d x m d x ,

dx',

d x',

d x ', d X .

3 'a t. d x ’, d x ' ,

con lo cual (5 ) p u e d e escrbirse / ^ X k

(9 )'

dx,

d 'x .

\

r " = ( -------------- r » H----------------- )

V a t'. dx't

'»

dx'. Zx't) dxm

2. D erivación covariante de tensores. Veamos ahora cómo se pue de obtener la derivada covariante de un tensor cualquiera, siempre res pecto de una conexión dada T *. Empecemos por un tensor de segundo orden t i j . Si m* , son dos vectores contravariantes, sabemos que la suma ti) M* v> es un escalar (o sea un invariante). Por tanto su deri vada parcial ordinaria tij.hV * Vf -I- t i j U\ i ¡ v f -f- t i j U* V*jt

debe ser isjual a la covariante, que. sesnin el postulado admitido sobre la derivación covariante ce un producto, resulta ser (10) tij-kU^vi 4- tijuK,y_v^ + = = tij;TeU* V> -1- tij

[u*,» -1-

m’*) -Fíiy u* {v\k +

.

Igualando estas dos derivadas y arreglando los índices de sumación para que se pueda sacar factor común m* , resulta (11)

(Í
tij.,Tt = tijj, — T^thj — ' ^ tim

que es la expresión buscada p ara la derivada covariante de tij respecto de la conexión afín F,*. JK Las n® derivadas covariantes ta-jc son componentes de un tensor. En efecto, las n cantidades (10) son las componentes del vector cova riante F.fc si representamos por F el escalar m* v^ . Por otra parte, los dos segundos sumandos de (10) son también tensores covariantes de prim er orden, y por tanto las expresiones ta-.û* v< son componen tes de un vector covariante. Como esto vale cualesquiera que sean u* v’ , la ley del cociente nos dice que las ta-n son efectivamente com ponentes de un tensor tres veces covariante. 311

T en sores

en

G e íe r a l

El mismo método permite hallar las derivadas covariantes de los tensores de segundo orden de los tipos restantes, a saber í«/,s = + r ‘ í'i + r hk

h*

(13) t*

= t*

+ r* hk

i

r* t* Ik

h

El procedimiento sirve también para hallar la derivada covariante de cualquier tensor. Basta multiplicarlo por vectores convenientes para obtener un escalar y aplicar luego el hecho de que para un escalar la derivada parcial «ordinaria y la covariante coinciden. El resultado gene ral es el siguiente: L a derivada covariante de un tensor es igual a la derivada parcial ordinaria a la cual se le suman o restan términos que contienen la cone xión r* que sirve para la derivación parcial con uno de los índices contraído, según la siguiente fórmula: i ...i

(14)

t

i ...i

r

i

...I

hi

...i

1

i

...*

=t

- l - 2 r ‘. í -S r^ í A -/,:. o- “ í .··^ De la misma m anera que para tensores de segundo orden, se de muestra el hecho fundamental de que las derivadas covariantes de un tensor son siempre com ponentes de otro tensor con un orden más de covariancia. En este hecho radica la ventaja de la derivación covariante. Notas. conexión F '

I. Obsérvese que la derivación covariante exige haber dado una con respecto a la cual se obtienen las derivadas.

C on otra co

nexión, las derivadas covariantes son otras. N o tiene sentido h ablar de derivada covariante de un tensor si no se especifica la conexión que h a servido p ara obtenerla. 2. Por sucesivas derivaciones covariantes se tiene u n m étodo p ara ir for m ando nuevos tensores de m ayor orden a p artir de u n tensor dado y de una conexión dada. Cuando un tensor tiene índices contravariantes, existe tam bién un m étodo p a ra obtener otros tensores de orden menor. Basta derivar covariante mente respecto de un índice y contraerlo luego con u n índice contravariante del tensor. Por ejemplo, a p artir de t*' se puede obtener el vector , y de este todavía el escalar n . Obsérvese que otro vector sería t*’¡ < y otro escalar

3. Derivación covariante de densidades tensoriales. Consideremos primero una densidad escalar H . Siempre se puede considerar como la única componente estricta H , 2 ...n de un tensor covariante de orden n totalm ente antisimétrico cuyas restantes componentes se definen por ser iguales a H excepto en el signo, que será positivo o negativo según que la permutación de los índices sea par o im par com parada con la (1 . 2 , . . . , n) . Vamos a demostrar que, efectivamente, las <2 · · · ‘n nidas son componentes de un tensor covariante. Según la definición es 312

45.

D e r iv a c ió n

C o v a r ia n t e

(1 5 )

donde el último fa c to r indicai! signo de la permutación (í'i , t‘2, . . . , t„) comparada con la ( 1 , 2 , . . , n) . Por otra parte, el determinante jacobiano (4 4 .3 ) se puede scrib ir en la forma dx,

^ * 4

,z

;

1

V

/ ^

1 2 » ^^ · · · ^" \ a x ', a x ', ' · · a x ', 1 2 n con todas las ; sum adas d e 1 a n y las i no sumadas. Hagamos ah o ra el camb¡> de variables Xi -> x' i en (15) . Siendo, por hipótesis, H u n a densidai escalar, será

_

dx.

dx.

.

.

/ h · · · }»\

dxj

/ »1 · · · *n \ „

dx^

0 X ',

0 X ', l

n

lo que prueba que las ... obtenidas a partir de H según la fórmula (1 5 ) son componentes de un tensor covariante. Por tanto, como ya se conoce la derivación covariante de tensores, será H ; i — H i 2 · ■ · n ; k — H 12 . · · n ,»

^

-Í^ 1 2 · · ·

· · · * ~

puesto que H 1 2 . . . · · · n sólo es diferente de cero cuando m = h . En el último término, el índice h , por estar repetido, se entiende su mado de 1 a n . El resultado es una densidad vectorial, puesto que siendo H a . . componente de un tensor, su ley de transformación es dx.

dx,

H',, = H ', , . . _

— T 3 x «

„

0 X,

fl

_

_ _

T 9 ^ «

0 X

f1%

H ,, Í3 . . .

=

„

U n a vez obtenida la regla (16) para la derivación covariante de densidades escalares, es ya fácil obtener la correspondiente a cualquier densidad tensorial. En efecto, si T'." es una densidad tensorial, divi diendo cada componente por uina densidad escalar fija H los cocientes 313

T X N SO R K S

E N

G r ifE R A L

serán componentes de un tensor t'.“ , de ¡guales características de co- y contravariancia que la densidad tensorial de partida, como se deduce inmediatamente de la ley de transformación. Por tanto, siempre se puede poner t

::: = h c :

siendo H una densidad escalar y i'.", un tensor. De aquí, por deri vación covariante r::.% = H,^ c : +

(17)

h

r .:,=

h

., t:r. -f h

r;:r

Es decir: la derivada covariante de una densidad tensorial es igual a la expresión qve se obtiene derivando com o si fuera un tensor, menos el producto d e la densidad tensorial por . EJER C IC IO S 1. Siendo <*' u n tensor y d ad a u n a conexión afín

calcular las de

rivadas covariantes segundas y las contracciones . 2. Comprobar que 5*y¡» = O p a ra cualquier conexión. 3. Para n = 3 , probar que 8*'*¡«, = O p ara cualquier conexión. 4. Conocida la ley (16) p ara derivar densidades escalares,probar que la derivada covariante de una capacidad escalar S (pseudoescalar de peso — 1 ( 4 4 .9 ) ) debe ser S;» = 5 .. 4- r ; 5 . 5. A p artir de ( 9 ) ' probar la relación F* =

siendo /

dx’,

r » -I-

dx’,

el jacobiano de la transformación.

6. D em ostrar que p a ra que se cum plan las mismas propiedades impues tas a la derivación covariante de pseudotensores, si se tra ta de un pseudotensor S I " de peso p , su ley de derivación covariante debe ser la misma que para los tensores, añadiendo al final el sum ando — p S " ', . El caso de pseudo tensores ordinarios o densidades tensoriales corresponde a p = 1 , y el caso del ejercicio 4 anterior a p =: — 1 . 7. Probar que si * r ‘ son dos conexiones definidas en un mismo

espacio, la diferencia T* = P — *r* es un tensor. 8. Probar que la suma de conexiones afines no es, en general, otra co nexión afín. S¡ r * , * r* son conexiones afines, dem ostrar que la combinación 1^*1]', (X , tí constantes) solamente será o tra conexión afín si X + n = 1 . (Basta ver la ley de transform ación p or cambios de coordenadas.) 9. P robar que si

es una conexión afín, tam bién lo es

r =

r

(co

nexión traspuesta de la p rim era). O bservar que las derivaciones covariante» respecto de am bas conexiones no son, en general, iguales.

10. Probar que 314

4 6 . E s p a c io s

rk = r ' ih- r*

de

C o n e x ió n A f ín

k*

es un vector. 11. Probar q u e la le y d e transformación (5 ) es transitiva; un nuevo cambio d e v a riab as x ', -> x ' \ es

es decir, si por

Zx", de', dx\ d’ x", dx’, dx\ jr"* — ------------ — r* — ------------------ ------ , ·* 0 a:'« 0 c " t 0 x". *' tam bién se verifica q u e

d^x",

dx

3 a:', 0 Jc'» 3 x " t 0

dx„

r " ‘ = --------------------------- T"

d^x",

dx,

0*,

—

·* dx^ d x ', d x". »· d x . d x , d x ’\ 0 12. D ado un cam p o <É vectores contravariantes X* se llam a derivada de Lie de un vector c o n tra v a riin te u' respecto del cam po X* a la expresión (1 8 )

2 u ‘ = X* u ‘.» -

V.» «* .

A nálogam ente, p a ra u i vector covariante v, es (19)

X

=

X’' v,,k

+

Vh ·

L a derivada de Lie le un tensor cualquiera se deduce de las exposi ciones anteriores considerándolo como un producto de vectores. D em ostrar que los segindos miembros de (18) y (19) son vectores.

46. ESPACIOS D E C O N EX IÓ N A FÍN 1. Espacios de conexión afín. Hemos visto que para definir una derivación covariante de vectores o tensores hace falta conocer las com ponentes de u n a conexión afín del espacio. Es decir, debe darse, junto con el espacio, este conjunto de n® componentes. D e f . 1 : U n espacio, junto con las componentes de una conexión afín, se dice que es un espacio de conexión afín. Ya vimos que las no son componentes de ningún tensor. En cambio, de la ley de transformación 45.5, se deduce que las diferencias

( 1)

=

son componentes de un tensor. Se llama tensor d e torsión del espacio. Si este tensor es nulo, es ]^‘ = y el espacio se llama de conexión afín simétrica.

O tro tensor muy im portante del espacio se obtiene buscando las condiciones para que las derivadas covariantes segundas sean indepen dientes del orden de derivación. Sea un vector; sus derivadas «S» son las componentes de u n tensor mixto. Por tanto su derivada cova riante respecto xi será (siegún 4 5 .6 y 45.13) (2)

u V , = u\u +

«0

“

Análogamente, invirtüendo el orden de derivación, resulta 315

T ensores

en

G eneeal

u*.,ik = m'.is

^

~

® - ( “ ‘^ + 1;; “ O I?. y por tamo, restando miembro a miembro y teniendo en cuenta que los índices distintos de los i , l , k son índices que incücan sumación y que por tanto se puede cambiar su nombre convenientemente, resulta W

«Vi - «Sifc = R ] i y habiendo introducido la notación

i*

(5) Las n' funciones R^jik son componentes de un tensor. En efecto, en la igualdad (4) , tanto el prim er miembro como T \ i m*,* son com ponentes de tensores, cualquiera que sea el vector ; por tanto, según la ley del cociente, las serán componentes de un tensor de cuarto orden, una vez contravariante y tres veces covariante. Se llama el tensor de curvatura del espacio. Si se parte de un vector covariante, y j , se obtiene análogamente (6) yj¡n — Vi-n = R^m vj, — yj¡* . Resulta así el siguiente T eor . 1; En general no se puede invertir el orden en la deri vación covariante. Para que las derivadas covariantes segundas de cual quier vector sean independientes del orden de derivación es necesario y suficiente que los tensores de curvatura y de torsión sean nulos.

Si en vez de vectores se considera un tensor cualquiera, un cálculo fácil prueba que también las condiciones anteriores son las necesarias y suficientes para que se pueda invertir el orden de derivación para un tensor cualquiera. 2. Paralelismo de vectores. En un espacio de conexión afín no está definida una métrica, es decir, no se puede hablar de “distancia” entre dos puntos. Sin embargo se puede definir un paralelismo entre vectores. 2: U n vector u* se dice que se ha desplazado por parale punto Xk al punto + d x k , cuando los incrementos du^ de sus componentes cumplen las condiciones (7 ) du* + V^lu
lismo del

Si el ( 8)

vector dvi -

es covariante, las condiciones de paralelismo son Vj dxk = O

(í = 1 , 2

3

. . . , n) .

Por esta razón a los espacios de conexión afín se los llama tam bién espacios con paralelismo. Parecería que las condiciones anteriores de paralelismo son arti ficialmente complicadas y que, por analogía con el caso cartesiano, bas 316


C o n e x i ó n Arfa*

de

taría definir en cualquier espacio y en cualquier sistema de coordena das como condiciones de >aralelismo las du' = O (o sea, definir que un vector se desplaza paalelam ente a sí mismo, cuando sus compo nentes se m antienen consantes). Sin embargo, esta definición no es admisible, puesto que no siendo las dú^ componentes de un vector (por cambios generales di coordenadas) podría ser que las condicio nes du* = O se c u m p lica n en un sistema de coordenadas y no en otro; es decir, se trata ría d e un paralelismo dependiente del sistema de coordenadas. E n carnlio, en las ecuaciones (7) , (8) los primeros miembros son vectores (piesto que equivalen a dx^ y Vi¡k dxk res pectivamente) y por tant» su anulación es independiente del sistema de coordenadas. Si se quiere trasladar } o r paralelismo un vector u* desde un punto A a otro B del espacio, e necesita conocer la curva y a lo largo de la cual se realiza el desplaiamiento. Entonces, si la curva y tiene por ecuaciones param étricas >ie = xi¡ (t) , sustituyendo en (7) tendremos un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias para determ inar las funciones u*{t) . El valoi de estas funciones para el valor de f co rrespondiente al punto B nos dará las componentes del vector tras ladado. En general el resultado depende del camino y . Para que sea in dependiente del mismo, las du* del sistema (7) deben ser diferencia les exactas y, por tanto, deben cumplirse las condiciones 3 (r> o

dxi dxk o sea, desarrollando y teniendo en cuenta que de las ecuaciones (7)

se deducen los valores de las derivadas parciales u*,s = — sulta I'i

_

I'i Y I yh

'■jh

hl

=

p i

_

p i

p /

il hk

y li

re

·

Pasando todo a un miembro, dando a los índices que van sumados el nombre conveniente y teniendo en cuenta (5) , esta condición se puede escribir R,‘„ “ ' = o · Estas condiciones, p ara todos los valores de i , l , k , son las que deben cumplirse para que «1 paralelismo no dependa del camino para el vector particular «*. Si se quiere que el paralelismo no dependa del camino para cualquier vector, deberá ser = O . Tenemos, por tan to, el siguiente T eor . 2: L a condición necesaria y suficiente para que el parale lismo sea independiente del cam ino es que sea nulo el tensor de curva tura del espacio.

Cuando es nulo el tenscor de curvatura, se dice también que es nula la curvatura del espacio. 317

T

ensores en

G eneral

3. Propiedades del tensor de curvatura. E ntre el tensor de cur vatura (9\ R* = r ‘ - r* + r*ik r* * nhk ■“ yil '-jk.l ht - r‘■)l

y q1 de torsión (10) hay ciertas relaciones notables que conviene señalar. Por simple comprobación directa se obtiene (11) R¡„ + R ‘„ = 0 v ,.,+ n ,.,+ v ,.,+

( ■2 )

+ í í 5 + r . ‘, n , que también se puede escribir (basta hacer el cálculo) , R* + i2* 4- ií* = T* + T» 4- T» + T* T'* + T* T* + T* T ’* ilk ^

W

kil

îk-,l

^kl-,r

ÍM

fci yí

■'íA·'*/ ^

jA "'l*

Son importantes también los tensores que se derivan del de curva tura por contracción de índices. Según (11) , los dos segundos índices inferiores dan, salvo el signo, el mismo tensor (13) R = R* = ~ R i = r* - r* + r'> r* - p p que es el llamado tensor de Ricci. Por contracción del prim er índice se obtiene el nuevo tensor anti simétrico

(14)

a , , - 1;;.. · De

Í15)

(13) se deduce R — R = P —P

-f r*

4- P

P

P —P

P

O tra relación, más pesada de comprobar directamente, es

<‘6)

« i , „ = - « ■ « n . - -«¡» n . - « u n . .

que más adelante veremos para el caso de conexión simétrica. 4. Espacios de conexión afín simétrica. Si se cumplen las con diciones (17) - K) = o , el espacio se llama de conexión afín simétrica. Según (10) , estas condiciones equivalen a que la torsión del espaciosea nula. Por consi guiente, siendo la torsión un tensor, la definición es independiente del sistema de coordenadas. Obsérvese, en cambio, que no sería correcto definir un espacio de conexión afín antisimétrica, pues las condiciones r*^4= O, por no ser los primeros miembros componentes de un tensor, pueden cumplirse en un sistema de coordenadas y no en otro. 31S

r

46. E sp a c io s

de

C o n e x ió n A f í n

Debido a las relacioies (17) , el número de componentes de una conexión afín sim étrica es ] / 2 [n + 1) . No siendo las F.* conponentes de un tensor, cabe la duda de si podrá elegirse un p a rtic ila r sistema de coordenadas respecto del cual todas ellas resulten nulas e n todo punto del espacio. L a respuesta es negativa. En efecto, si elb fu era posible, según (9) sería nulo el tensor de curvatura del espacio; p o r consiguiente, para los espacios en que este tensor no sea nulo, nc puede existir un sistema de coordenadas para el cual todas las F*y w lo S ( a n , Sin embargo, p a ra bs espacios de conexión afín simétrica, para cualquier punto del espa(io se puede elegir un sistema de coordenadas respecto del cual las F* sean todas nulas en dicho punto. Es decir, íf* vamos a demostrar el im sortante teorema siguiente; T e o r . 3 : P a r a c a d c p u n t o d e u n e s p a c io d e c o n e x i ó n a f í n s i m é t r i c a e x i s t e u n s i s t e m a d t c o o r d e n a d a s t a l q u e lo s c o e f i c i e n t e s se a n u la n e n d ic h o p u n t o .

En efecto, sin restringir la generalidad, podemos suponer que el punto dado es el que tiene sus coordenadas iguales a cero, o sea, el punto Xi = O . Representando por a los valores de F^ en dicho punto, hagamos el cam bb de coordenadas definido por las ecuaciones (18)

* i= ^ i-

.

Se tiene dx'i o

sea, dada la simetría ría de las F* ’ il» dxi dx'i

De aquí se deduce

y por tanto, según 4 5 .9 ' será (i;:)o = o . Es decir, en el nuevo sistema de coordenadas los valores de los coeficientes de la conexión en el punto considerado son todos nulos. Es lo que queríamos demostrar. El sistema de coordenadas en que esto ocurre se llama sistema de c o o r d e n a d a s g e o d é s ic a s en el punto en cuestión. Este punto es el o r ig e n de coordenadas geodésicas. Observando la fórmula 45.14 de la derivada covariante de ten sores (o pseudotensores) resulta que: e n u n s i s t e m a d e c o o r d e n a d a s S10

Tensores

en

G eneral

geodésicas, las prim em derivadas covariantes tom adas en el origen del sistema coinciden con las derivadas ordinarias.

Este hecho permite simplificar mucho los cálculos en ciertos casos, como vamos a ver a continuación. 5. Las identidades de Bianchi. Sea x un punto cualquiera del espacio y elijamos un sistema de coordenadas geodésicas que tenga este punto como origen. Puesto que en este sistema las derivadas covariantes coinciden, en el punto x , con las ordinarias, de (9) se deduce que en el punto x , será R*j l k ; m = r* - rj l‘. k m lk,lm De aquí se deduce, inmediatamente, perm utando los índices l , k , m y sumando, Estas igualdades quedan demostradas en el punto x y para un sistema de coordenadas geodésicas. Sin embargo, como los primeros miembros de (19) son las componentes de un tensor, si son nulos en un sistema de coordenadas lo serán en cualquier otro. Como, además, el punto x es un punto cualquiera del espacio, resulta: T eor . 4: En todo punto de un espacio de conexión afín simétrica y respecto de cualquier sistema de coordenadas, el tensor de curvatura satisface a las identidades (19) . Estas identidades se llaman identidades de Bianchi. De manera análoga se prueban las siguientes identidades de Veblen

Observemos finalmente que, en los espacios de conexión afín simé trica, las propiedades (11), (12) y (15) del tensor de curvatura y deJ tensor de Ricci se escriben, respectivamente (21) fi* „ .+ i i 5 „ = o , j í ; „ + O (22)

= ^ ^ ·„ ,.

E JE R C IC IO S 1.

Probar que dada una conexión afín cualquiera

, la combinación

F‘

o») = —2 (F* + F* )

es u na nueva conexión afín (p arte simétrica de la conexión d a d a ). Probar tam bién que r* - F* (II),«

es un tensor dos veces covariante.

320

(···> ,I


de

R

ie m a n n

2. P ro b ar que si l a conexlói a fín es simétrica, p a ra cualquier vector co variante Ui, vale « i:í

—

« :«

=

“ i.J —

«I.l

·

3. Probar que si l a c o n e x ió n a fín es simétrica, p ara cualquier tensor cova riante antisim étrico u tj , vale « U i» +

V)t;l

+

U t,i

=

U (í., - f

W»(,í

4. D eterm inar la co n sta n te a de la conexión * r*J» = r !U ‘ ~ + a 6 ‘! Û con Tt = T»1 ‘ p ara que sea *J‘ = * P .

1«

5. Si con la conexión

Pi» ',

·(

e! tensor de R icci es R n ,

dem ostrar que con

la conexión F*y»-4------6* n-i / F »el te n o r de Ricci es

*i?.y =

- 1 - ^ (F^ - F , )

.

6. D em ostrar q u e debido a la s condiciones de sim etría ( 1 1 ) , el número de com ponentes independientes d d tensor de cu rv atu ra de u n espacio de co nexión afín no sim étrica es ^ ( n — 1) . Si la conexión es sim étrica, las segundas relaciones (21) , hacen que este número disminuya a V¡ »* (n^ — 7. Probar que en el origen d e un sistema de coordenadas geodésicas es

Uijj, = ui.it — F*^ ^ u, .

47. ESPACIOS D E R IE M .\N N 1. Espacios de Riem ann, Los espacios en que se da una ley para medir la distancia entre dos puntos de coordenadas X i, -f dxi y por tanto, por integración, la longitud de una curva cualquiera, se llaman espacios métricos. L a expresión para esta distancia puede ser muy ge neral; pero el caso más estudiado y más importante en las aplicaciones es el que supone que la distancia elemental ds entre dichos puntos está dada por una expresión de la forma (1) ds^ = g il dxi dxj donde las g ij son funciones de las coordenadas Xi que se supone ad miten derivadas parciales continuas hasta cierto orden llamado clase del espacio (en general igual o mayor que 4) . D e f . 1 : Los espacios métricos en los cuaks la distancia elemental se define por una expresión de la forma (1) con el determinante ] g a j de los coeficientes distinto de cero, se llaman espacios de Riemann. A veces se exige la condición de que la distancia entre dos puntos reales sea siempre real, es deciir, que la forma cuadrática g a dxi dx¡ sea siempre positiva. Sin embargo, en las aplicaciones a la teoría de la relatividad general esta condición no se cum ple ; y como, por otra parte, la diferencia entre ambos casos aparece únicamente en algunos detalles 321

T ensores

en

G enerai

secundarios, cn codo lo que digamos a continuación se puede prescindir de esta condición. El plano y el espacio ordinarios, con las métricas usuales ds^ = dxx^-\+ y ds^ = dxi^-l· dx^ + dxí^ son los ejemplos mas simples de espacios de Riemann de 2 y 3 dimensiones respectivamente. 2. El tensor fundamental. Todo espacio de Riemann está carac terizado por las tí‘ funciones g\j que son ios datos del espacio. Sin restringir la generalidad se puede suponer que es g a = g j i , pues en caso contrario basta poner g i y = Sg'iy , g'a=^n con lo cual en la expresión (1) los nuevos coeficientes resultan simé tricos. Desde ahora supondremos por tanto que se cumple la condición (2) gii = gii , Por otra parte, puesto que el elemento de arco ds no puede de pender del sistema de coordenadas^ es decir, es un invariante y las diferenciales d x * , dx^ son componentes de vectores contravariantes, la ley del cociente nos dice que las g n son componentes de un tensor covariante. Se llama tensor fundam ental del espacio. A partir del determinante g = j giy ) que por hipótesis es distinto de cero, formemos los cocientes (3) e

donde el numerador representa el adjunto de g a en el determinante g . Las nuevas funciones serán también simétricas (4) = g/i y además, recordando que las sumas de los productos de los elementos de una línea por sus adjuntos es igual al determinante y la suma de los productos de los mismos elementos por los adjuntos de una línea para lela es igual a cero, se tienen las relaciones importantes

(5)

gi>,g^^ = 8i

Queremos ver cómo se transforman las g'^ por un cambio de coor denadas. Como la relación (5) vale en cualquier sistema, en otro sis tema x'i será también g'mg'^'^ = 8Í

.

o sea, puesto que g n es un tensor, dx,

dxM

f

dx'i dx'k

M ultiplicando ambos miembros por 0 x"i/d xi y sumando respecto de i se tiene ·

.Iy·'

322

47. E s p a c i o s

M ultiplicando p o r

de

R

ie m a n n

9 /* “ dxi y sumando respecto de l resulta

= I f j „u ^ dx'n dxi ^ y finalmente, m ultipli(ando por dx',/dxt y sumando respecto de t queda ‘ . ^

lo cual nos dice que las funciones g*® son componentes de un tensor contravariante de segando orden. Es la forma contravariante del tensor fundamental. 3. Ascenso y descenso de índices. Componentes covariantes y con travariantes de u n vector. En los espacios de conexión afín los vectores covariantes y los contravariantes son dos objetos geométricos distintos, sin relación entre sí. En cambio, en los espacios de Riemann, como se dispone del tensor fundam ental g i j , es posible pasar de un tipo a otro de vectores. Así, dado an vector contravariante w*, se llaman compo nentes covariantes del mismo a las expresiones (7) Ui = gij u* las cuales son, desde lusgo, componentes de un vector covariante. Inversamente, dado un vector covariante Vi , sus componentes con travariantes se definen por (8) V* = g*i Vj . Obsérvese que por las relaciones (5) , si se quieren hallar las com ponentes covariantes del vector v* definido por (8) se obtienen nue vamente las componentes de partida Vi . En los espacios de Riemann se puede hablar por tanto de vectores como objetos geométricos, cada uno de los cuales puede definirse tanto por sus componentes covariantes como contravariantes. En el espacio euclidiano, y en coordenadas cartesianas ortogonales el elemento de arco vale ' (9) ds^ = dxi dxi es decir, es un espacio de Riemann p a ra el cual es g n = b i j . Por tanto en este caso las componentes covariantes y contravariantes de cualquier vector coinciden. De aquí que no sea necesaria tal distinción en los espacios euclidianos estudiados en coordenadas cartesianas ortogonales. La utilidad del tensor fundam ental para “subir o bajar” índices no sólo sirve para vectores sino para cualquier tensor. Es decir, de cual quier tensor se pueden dieducir otros como resultado del ascenso o des censo de índices realizado a través del tensor fundamental. Por ejemplo, de a!‘ij se pueden deducir 323

Tenso res

en

G eneral

= c^ngM , ‘¡■’‘'i = <^hi . Todos estos tensores deducidos de un tensor dado por las opera ciones de ascenso y descenso de índices por medio del tensor funda mental, se conviene en decir que son el mismo tensor expresado en com ponentes de distinta forma. 4. Producto escalar de vectores. Sistemas coordenados ortogonales. Ya definimos el producto escalar de un vector covariante por otro con travariante. En un espacio de Riemann, puesto que se puede cambiar el carácter co- o contravariante de un vector, se puede definir el pro ducto escalar de vectores cualesquiera. Así, si los dos son contravariantes, será (10) u.v = gij u* y si los dos son covariantes (11) u.v = g*^ Ui Vj . En particular, si se trata de un mismo vector, su m ódulo será, según el caso, (12) \u\^ ■= g i ¡ u' u! ^ I y |2 _ ^^4/ _ El ángulo de dos vectores se define por ser su coseno igual al co ciente del producto escalar por el producto de los módulos, es decir (1 3 )

COS0 =

- — “-‘-p —

I u 1. 1 I donde los valores del numerador y del denominador son los antes ex presados. Si suponemosque para un punto del espacio semantienen fijas todas las coordenadas menos la x , , al variar ésta elpunto describirá una linea coordenada del espacio. El vector desplazamiento sobre esta línea tendrá como única componente no nula la d x i , o sea, será el vector de componentes ( 0 , 0 , . . . , d x i , O , . . . , 0) . Análogamente, el vector desplazamiento según la línea coordenada Xj será (O, .. . , O, dx ¡ , O, . . . , 0) . P ara que estos vectores sean perpendiculares debe ser nulo su producto escalar y, por tanto, gij = O. Cuando todos los pares de líneas coordenadas son perpendiculares entre sí, se dice que el sistema de coordenadas es ortogonal. Por tanto: L a condición necesaria y suficiente para que un espacio de Riemann esté referido a un sistema de coordenadas ortogonales es que sea g ij = O para i ¥· j . Ejemplo·. Y a vimos en 2 0 .2 que el cuadrado del elemento de arco sobre una su perficie del espacio ordinario está dado por d i ' = E d u * + 2 F d u d v -J- G d í/· donde u , o son las coordenadas curvilíneas sobre la superficie. Poniendo 324

47. E s p a c i o s

de

R ie m a n n

ti = *1 , V = Xì , E = gu , F = ga = gli , G z= gn resulta que es d e la f o r r a (1 ) . Por tanto, las superficies del espacio ordi nario, con su m è tric a u su ai, .oix espacios de R iem ann de 2 dimensiones. Todo lo que se diga de estos e sp a to s, será válido p ara superficies. Las com ponentes c o n tr.v arian tes del tensor fundam ental resultan G F E — _________ gB _ gM _____________ gJJ _ ______________ , EG-F' ' E G -P E G -P El producto esca la r de lo s vectores covariantes fli, resulta

a.b

G ü: b i — P (fll fca -j- fll fel) + E Oa b» =

E G - P

5. Los símbolos de Christoffel. La conexión de Levi-Civíta. Para definir una derivación covariante de tensores se necesita una conexión; ésta es la ventaja de los tspacios de conexión afín, que tienen ya una conexión por propia definición del espacio. Se trata de ver ahora si a partir del tensor fundam ental gn de un espacio de Riemann, único dato del mismo que se poste, se puede obtener una conexión que permita la operación de derivaciói covariante y, a partir de ella y de manera análoga a la seguida en d 4 6 .1 , obtener un tensor de curvatura del espacio. Vamos a dem ostrar que efectivamente tal conexión se puede ob tener y que aun se pueden exigir las siguientes condiciones: a) Q ue la conexión sea simétrica, b) Q ue la derivada covariante del tensor fundamental obte;nida

mediante la conexión buscada sea nula. En efecto, la condición b) , según 45.12 equivale a (14)

É-iM = ÉTsy + 17» · Para calcular las 1^* a partir de estas ecuaciones, escribamos las que se obtienen por permutación circular de los índices i , j , h , a. saber g jh ,i

=

"^g h h

+

g h i.i

=

^ jg u

+

^ ig lk

.

Sumando miembro a miembro estas expresiones y restando la (14) , teniendo en cuenta la supuesta simetría de los coeficientes de conexión, resulta (16) Y2 L a expresión del prim er m iembro aparece con mucha frecuencia y se indica abreviadamen te por los símbolos (17)

=

¥2

( g ih . i ■+ g )h ,i —

g il^ )

que se llaman símbolos d>e C hristoffel de prim era especie. Con esta notación, d e (16) se deduce 325

TlNSORES Etf GbNERAL

(18)

r * = S"Mi i > ] = { i i }

donde los últimos símbolos, cuyo valor es ( 1 9 ) — { i ,]= Í.h-\ se llaman símbolos d e Christof¡el de segunda especie. Resulta de aquí que si existe una conexión que cumpla las con diciones a ) , b) ella debe ser la (19) , Q ueda todavía por probar que estas expresiones, símbolos de Christoffel de segunda esjsecie, son efectivamente componentes de tina conexión, es decir, que por un cam bio de coordenadas se transforman según la ley 4 5 .5 . Teniendo en cuenta la ley de transformación de las g a es fácil obtener la de sus derivadas parciales, y como la ley de transfonnación de las g"* es la de los tensores contravariantes, un cálculo simple prueba que efectiva mente los símbolos de Christoffel de segunda especie se transforman como conexiones. Se tiene así el im portante resultado; T e o r . 1 : En todo espacio de R iem ann se pu ed e definir una co nexión y una sola que sea simétrica y tenga la propiedad de que, res pecto de ella, la derivada covariante del tensor fundam ental sea nula. T a l conexión tiene por componentes los símbolos de Christoffel d e se gunda especie, y se llama conexión de Levi-Civita.

El paralelismo definido con esta conexión (46.2 ) se llama el para lelismo d e Levi-Civita.

Resulta así que todo espacio de Riemann es un espacio de conewón afín simétrica, cuyos coeficientes de conexión son los símbolos de Chris toffel de segunda especie. Por tanto, todo lo dicho para espacios de conexión afín simétrica, en particular la existencia de coordenadas geo désicas, tensor de curvatura e identidades de Bianchi, vale igualmente para cualquier espacio de Riemann. Además, sin necesidad de advertencia previa, siempre que se trate d e un espacio de R iem ann, la derivación covariante seentiende realizada respecto de los símbolos de Christoffel de segunda especie com o conexión afín.

6. Relaciones entre los símbolos de Christoffel. Los símbolos de Christoffel gozan de ciertas propiedades que conviene señalar: a ) Tienen las siguientes propiedades de simetría (20) [ti,A ] = [j i,h] , como se deduce inm ediatam ente de su definición. b) De (19) se deduce (21) [i {i l} y por tanto la relación (14) se puede escribir (2 2 )

326

g i i . M = íi

h,j]

+

[h

j,i]

.


dk

Rhm

ann

c) Siendo g el deterr.in an te | ] y recordando que la deri vada de u n determ in an te e sla suma de los determinantes que se obtie nen por derivación sucesiva d e cada una de sus filas o columnas, se tiene g,h = g ) f i adj gi, = gij,k g*> g o bien, según (22) , g.k = gg^^ ( [ i k , i ]

f- [ A : ; ·,: ] ) = g ( { i % } + { s * , } ) .

Puesto que en el últrno miembro los índices i , j van sumados de 1 a n , esta igualdad puede escribirse (23) o bien todavía

¿^ = 2 ^ { / , } 1 a io g ^

,

T T Í T ” ‘ ‘ *’ donde en el segundo miembro va implícita una suma respecto de i . d) Derivando parcialm ente respecto de Xh el producto g n g*" = = 8,” y aplicando (22) resulta g ii g*”*.» = - g*”' ( U h , j ' ] + de donde, m ultiplicando ambos miembros por de ; resulta la relación

y sumando respecto

g^,H = - g*”" { i h } - g^^ { h / } .

(25) EJER C IC IO S

1. Si en un espacio de R iem ann de dimensión del tensor fundam ental son los elementos de la m atriz fl

O

O

O

3 las componentes gii

T

O

.0

O

Xl sen* Xl J

hallar los y com probar las relaciones (5 ) . 2. C alcular, en el espacio de Riemann definido por d / = dx,’ + x,’ dxt + + Xí sen’ Xl dxi , los símbolos de Christoffel. 3. 4. 5. — 1 y 6.

P robar que si ui es u n vector, ^/~g u, es un pseudovector. Probar que A,¡ u* v' = A'* u, v¡ . Probar que el cos O definido por (1 3 ) está siempre com prendido entre -f- 1 si la forma gn x, x¡ es definida positiva (o sea, es siempre ^ 0 ) . Probar que los versore:s tangentes a las líneas coordenadas (4 7 .4 ) tie

nen como única componente n o nula a, = 1/Vg(< y el áncîlo que forma el tangente a la linca x, con el tangente a la línea x / está dado por g
y/£t , ei j con ninguno de los índices sumjado.

327

T

ensores en

G eneral

7. L a expresión d x ■= y/ g dx\ A d x , A . . . A dx„ se llama elemento dt volumen del espacio de Riem ann. Comprobar que es invariante por cambios de coordenadas. Aplicarlo a l caso de suptrficies { d ^ = E i u ’ 2 F du dv + G di^) y a la expresión del elemento de volumen del espacio ordinario en coordenadas esféricas y cilindricas. 8. Probar que la ley de transformación de los símbolos de Christoffel de prim era especie es

dx, dx, dx.

1*1.k]’ = ·— —

[ í g ,r ] + £ „ -

dx\ dx f cxi

yxn —

dx.

—

d X 4 d x'i d x k

.

48. CURVAS GEODÉSICAS. TEN SO R D E CURVATURA í 1. Curvas extremafes. Sean A , B do
I = SF(xi,x'i)dt

U

extendida a lo largo de la curva (1) . La curva de ecuaciones paramétricas (3) Vi (t) = Xi (t) + B hi {t) (i = 1 , 2 , . . . , n) donde 8 es una constante y las hi son funciones cualesquiera (deri vables) con las condiciones (4)

hi (to) = hi (íx) = O ,

serán también curvas que unirán A con B y que tomando e suficien temente pequeño serán tan próximas como se quiera a la curva (1) . Se llaman curvas variadas de la (1) . Para ellas la integral (2) toma el valor (5)

h = S^F {Xi + z h i , x'i + t h'i) dt .

Para e suficientemente pequeño vale el desarrollo de Taylor V /3F (6)

.

0F

/, = / + e

donde bajo el signo integral el índice i se entiende sumado de 1 a n , Integrando por partes y teniendo en cuenta (4) se tiene 328

48. C

r dF

urvas

h 'i i t = -

G e o d é s ic a s . T e n s o r

r\

[h i

d

de

C urvatura

/ dF \

d x ’i dt \ d x'i / *· *· con lo cual el térm ino del desarrollo (6) que contiene e a la primera potencia y que se re p resc ita por 8 / se puede escribir

(7)

8J = e | '

dP

d

dF

d Xi

dt d x'i _

hi d t

Esta expresión se lla n a prim era variación de la integral 7 . Las curvas que anular a la prim era variación, cualesquiera que sean las funciones h i , se llarran curvas extremales de la integral I . D« (7) se deduce que las cirvas extremales son aquellas que satisfacen a las ecuaciones diferenciáes 0F d tP que se llaman ecu acion es d e Euler. Obsérvese que si es ? / O, el valor de I no puede ser ni m á ximo ni mínimo con respecto al correspondiente para curvas próximas, puesto que cambiando el signo de e , (6) nos dice que también la diferencia h — I cambia de signo, o sea, existen curvas próximas para las cuales es I i > I y otras para las cuales es I i < I . Luego: Una condición necesaria, aunque no suficiente, para que la curva

(1) haga que la integral I tom e un valor máximo o mínimo, es que sea una extremal, es decir, satisfaga a las ecuaciones (8) . 2. Líneas geodésicas. Consideremos el caso en que la integral 1 es la correspondiente a la longitud de la curva (1) que une A con B , o sea. L = f ds = f

(9)

y /g ijx ' ix ' j d t

D e f . 1 : Se llaman lineas geodésicas de un espacio de Riemann a las líneas extremales de la longitud. Por tanto las ecuaciones diferenciales de las geodésicas serán las (8) con

F = 'Jgij x ' i x 'i o sea, puesto que las g a son funciones sólo de las xt (no de sus de

rivadas), 1

d f gihX'i + gt.iX'i \ _ ^ ■ 329

T m

tO I tX ·

I N

O tN E R A L

Estas ecuaciones valen para cualquier parám etro t , en particular para el arco s de la curva, en curo caso es F = 1 y por tanto las ecua ciones se escriben V i g ii.h x 'i x 'i -

V2{gihx"i

+

ghi>^'¡) -

Vz

{gih,i + ghi,i) x'i x ' i = O

Por ser ghi = g¡i, es también gn, x"i = gi,i x"¡ y por tanto las ecuaciones anteriores, recordando la definición de los símbolos de Chris toffel de primera especie, se escriben gih x"i + [ í i , A ] x'i x'i = O o bien, multiplicando por g**' y sumando respecto de h ,

(10)

x"h + { i j ] x'ix'i = O (k = l , 2 , . . . , n ) . Éstas son las ecuaciones diferenciales de las curvas geodésicas del espacio. 3.

Operadores diferenciales.

Gradiente. Dada una función cp ( x i , X2 , · · · , Xn) se llama gra diente de la misma al vector covariante

(11)

V ,(p = (p .i Rotor. Ya vimos que dado un vector covariante U i, la«; diferen

cias de derivadas ordinarias (12) m = «i., — tí,.i son componentes de un tensor antisimétrico llamado rotor de . En un espacio de Riemann el rotor está definido también para vectores contravariantes, puesto que se puede pasar a sus componentes covariantes. Por ejemplo, el rotor de u* será el tensor r a = {gih «■>'),i - {gihu’‘),i . Para el espacio de tres dimensiones, n = 3 , el tensor rjy y la den sidad tensorial de Levi-Civita permiten definir una densidad vectorial (13)

2

i?»* =

1 ^*'*8

= «U

que es la comúnmente llamada rotor en el cálculo vectorial elemental. Divergencia. Se llama divergencia de un vector contravariante u* al escalar (14)

div u = u*;i = u*,i + { I i ) uf . Recordando 47.24 resulta

div « = u\i + 14 (lo g ^ ),/ + ( 1 / ^ S),i o bien, como los índices i , j van sumados de 1 a n , resulta la for mula explícita (15)

330

div tí = (1 /V g ) { ^ e t i * ) , i

48.

C jh v a s

G e o d ís ic a · .

T ensor

ds

C urvatura

Si se trata de u n vector (ad o en forma covariante V i , no se puede definir la divergencia p o r lo cual no es ningún invariante, sino que hay que pasar a las conponentes contravariantes y luego aplicar (15) . Resulta así á i v v = { l / ^ i g)

(16)

ggî Vj)î

La divergencia se extienle también a tensores cualesquiera; basta que tengan índices contravarantes (lo que siempre se puede lograr en espacios de R iem ann por elevición de índices) y luego derivar covarian temente respecto d e uno de estos índices y contraerlo. En este caso pueden existir distintas divergencias, según sea el índice que se contraiga. Por ejemplo, para u n tensor d e segundo orden G'^ existen dos diver gencias; . Si es simétrico la divergencia es única: (17) ’ áw G ^ = = G * l,j . Prim er p arám etro d ife r e ic ia l de Bdtram i. Se llama primer pará metro diferencial de Beltrami de una función cp { x i , Xt , ■■■ , Xn) al módulo de su gradiente, o sea

(18)

Al (f =

cp.i tp,, .

Laplaciano o segundo pa-ám etro diferencial de Beltrami. Se llama

laplaciano o segundo parám etro diferencial de Beltrami de una fun d ó n cp a la divergencia de su gradiente, o sea, según (16) Ajcp = ( l / V f ) (y/ gg*> (p j),i . En el espacio euclidiano y en coordenadas cartesianas ortogonales Su — y por tanto el laplaciano toma la forma de suma de deri vadas segundas qp,« . (19)

Ejemplo: El laplaciano en coordenadas esféricas.

E n c o o r d e n a d a s e s K ric a s, el ele

m e n to d e a r c o tie n e l a f o rm a d i* = ¿ o ’ + O’ r f e ’ -f- o’ s e n 'O da* y p o r t a n t o es g = O‘ sc n * 0 , g’* = 1 , g“ = l / o * , g " = (o * s e n ’ 0)-* y p o r t a n t o l a e x p re s ió n d el la p l a c i a n o d e u n a f u n c ió n

(20)

. A l tp =

( o ’ se n 0 ) ·

/ ( e ’ sen O
( _ ^

\

1

■ )

\.e n 0 d e a c u e rd o co n 1 7 .3 6 .

4. Componentes físicas d!e un vector. En el cálculo vectorial ele mental es costumbre tomar p o r componentes de un vector los módulos de sus verdaderas componentes, consideradas como si fueran vectores de una sola componente no nula. Así, en vez de u* o Vi se toma

( 21 )

U*=^/7^,uι*

,

Vi=yJl^^Vi 331

T ensores

en

G eneral

donde los paréntesis indican que bs índices encerrados por ellos no de ben sumarse. Estas componentes U * , Vi se llaman componentes físicas del vector respectivo. La ventaja de ellas es que en coordenadas ortogo nales, que son las de más frecuente uso en las aplicaciones, no hay que distinguir entre las componentes co- o contra varían tes, pues ambas to man el mismo valor. En efecto, si las componentes físicas de m’ son las U* dadas por (21) , en un sistema de coordenadas ortogonales es y por tanto

= V

g ,ü , tt* = V

V g.(H)

U*= Í 7 ‘

donde en ninguna de estas expresiones el índice i va sumado. Sin embargo, debe tenerse bien en cuenta que las componentes físicas no son componentes de un vector, pues su ley de transformación por cambios de coordenadas no es la de los vectores. Siempre que de una expresión con ellas se quiera averiguar su carácter tensorial, se debe primero pasar a las componentes ordinarias mediante las fórmulas (21) . Con esto, teniendo en cuenta las fórmulas del número anterior, se obtiene: a ) Las componentes físicas del gradiente de una función V son (22)

V,F=Vg<«>F.,

b) La expresión de la divergencia de un vector dado por sus com ponentes físicas U* es

(23)

DivC/ =

(1/V7)

· g(ii)

c) El laplaciano, como es un escalar que proviene de otro escalar, tiene la misma forma en componentes ordinarias o físicas, d) Para el rotor de un vector, en el caso n = 3 , puesto que la expresión R ’' dada por (13) es un pseudovector, debemos primero definir las componentes físicas de un pseudovector. Puesto que V g es un pseudoescalar, el cociente 7?VV g será un vector y las componentes físicas de este vector, a saber,

R^ = ------V g(M) V7 son (por definición) las componentes físicas del pseudovector i?'·. Con esto, para hallar las componentes físicas del rotor de V{ dado por sus componentes físicas V i , según (13) y (21) se tiene (2 4 )

=

Vg 332

\Vg<“ >

Ü JR V A s

48.

G e o d é s ic a s .

T ensor

de

C u rv a tu ra

donde los índices repetidos ^ân sumados, excepto cuando están entre paréntesis. Obsérvese que los valore (22) , (23) y (24) coinciden con los obtenidos en el apartad o 17 le m anera elemental y directa. Es un ejer cicio instructivo hacer la conprobación en cada caso. Ejemplo : El vector velocidad, cuyas componentes contravariantes son las derivadas de las coordenadas respecto del tiem po, tiene por componentes físicas en coor denadas esféricas o , (? 0 , p sen 9 a , como resulta aplicando (21) . En coorde nadas cilindricas sus componenfcs físicas son r , r a ,

z.

5. El tensor de c u rv a tira en espacios de Riemann. El tensor de curvatura de un espacio de Xiemann es el mismo 46 .5 con sólo tener en cuenta que los coeficientís de conexión son ahora los símbolos de Christoffel, de acuerdo con el teor. 1 del apartado 47 , Se tiene así (25)

= { / s },! — { },* 4- f ; \ } ( / í } — { }f } . En los espacios de Ricjnann, como se dispone del tensor funda mental g i j , se puede tener h forma covariante del tensor de curvatura, a saber, (26) Rijiii = gihR*}iii · Vamos a obtener una expresión desarrollada de este tensor. T e niendo en cuenta 47.21 y por tanto (27) gii. { í fc },l + gih.l { i h } = í j k se puede escribir Rhilic = í j k , h ] , i — { j \ } gih,i — [ j l ,

-

-t- { /% } gih,lt —

í s k , h } + [sl,h] {A > =

= [; k,h],i -

[j

+([í l ,h j

-

gsh,i) -

8

- { / i )

([s k , h ]

-

g,n,h)

o bien, teniendo en cuenta 4 7 .1 4 ,

— lj

•Rwis =

— {/%} [¿^,-5] +

Sustituyendo los valores 47.17 y 47.19 resulta finalmente = Vv!, {gf i M + ghKil ~ gjh,hl — gkl.ik) ~ -

g*U[hl,s]

-

[hk,s]

[}l,t])

que es una expresión muy ú.til del tensor de curvatura. 333

T

ensores en

G eneral

De esta expresión se deducen inmediatamente las siguientes proRhjn + Rhuj + Rnn — O Rhilh — ~ Rhjkl —~ Rihia ~ piedades de simetría del tensor de curvatura:

(30)

Rhjll» — Rlhhi ·

En virtud de estas propiedades las n* componentes del tensor de curvatura no son todas independientes y basta u n número menor para poder determinar a todas ellas. Un razonamiento de tipo combinatorio prueba que el número de componentes independientes es — «’ («* — 1) · 6. Tensores deducidos del de curvatura por contracción. Por con tracción del último índice del tensor de curvatura se obtiene el tensor de Ricci,

(31)

R i¡ = R \ ¡h .

Es fácil comprobar, directamente de la expresión del tensor de cur vatura, que el tensor de Ricci es simétrico. Por contracción del índice intermedio como es R ’'ijk = ~ re sulta el mismo tensor de Ricci con el signo cambiado. Por contracción del primer índice resulta (32) = - { i ’í b y por tanto, teniendo en cuenta 47.24 resulta jR*,;¡ = G. En resumen; En un espacio d e Riemann, por contracción de índices del tensor de curvatura se puede obtener un solo tensor no nulo, el tensor de Ricci, el cual es simétrico.

Obsérvese que a partir de la forma covariante del tensor de curva tura, siendo

R^nti

=

Rkiih

el tensor de Ricci se escribe (33) R ji = R híh . A partir de este tensor se puede formar el escalar (34) R = g'^Rih que se llama curvatura escalar del espacio. O tro tensor im portante es el tensor gravitatorio de Einstein defi nido por (35)

Gn = R i , - ^ R n ,

el cual es simétrico y tiene la propiedad fundamental de tener su diveríTcncia nula, o sea, (36) = O . 334

IT 48.

C u rv as

G e o d é s ic a s .

T ensor

)k

C u rv a tü ia

La demostración de esta propiedad, fundamental ex la teoría de la relatividad general de Einstein, se lleva a cabo utilizíndo las iden tidades de Bianchi, q u e p ara un espacio de Riemann (siendo un es pacio de conexión a fín simétrica) se escribirán en la fo m a 4 6 .1 9 , o bien, descendiendo el índice superior (o sea, multiplicanio por gn, y sumando respecto de i ) , Rhllk-.m + Rhjm-,1 + Rhjml;k = O De aquí y (33) se tiene, sucesivamente =

= ( - R m í :p - R . iíp:h) = R,pgOi - R ,p ;h g ‘^g"¡ = R.,pgî - R"!-;, y de aquí, pasando el sustraendo al primer miembro y despejando, = y

R;ig^‘

de donde resulta (36) . 7. Laplaciano de u n vector. Para n = 3 , dado un vectDr u t , el rotor definido por (13) es un pseudovector. Para obtener nucvamentí un vector bas tará considerar el cociente de manera que en muchas tuestiones es útil definir el rotor de u i , en lugar de (13) , por el vector

(37)

rot u, =

e' “

De esta manera la expresión rot rot u» será nuevamente un vector y po dremos definir (como en 16.3) el laplaciano de un vector por la expresión (38)

A ui = grad div — rot rot u< . Vamos a calcular la forma desarrollada del segundo miembro (para n = 3). Escribiendo siempre la componente covariante de índice l y poniendo deri vación covariante aun en los casos en que podría sustituirse por .'a ordinaria (lo cual tiene la ventaja de ser nulas las derivadas del tensor fundameutal) , es div «( = 1

Ve rot rot U( = —

g\. gil z*

Z Pero, siempre para n = 3 ,

e‘ “ g,tgii = e»i» g g ”‘ y por tanto

rot rot Ui=Ui;jk

sW> gmk =(«y.,fc --- M¡.yj.) gifc

Con esto, aplicando 46.6 resulta

A «I = ui-.it g“ + uj g‘* = “!;<» g“ -1- Rmin «" s '· = Ui-ng'* -I- ü«( a" P*ra un espacio de dimensión n cualquiera, la deKnición (38) no tiene

335

Tensores

en

G

eneral

sentido, pues el sustraendo del segundo mitmbro deja de ser un vector. La de finición natural sería tomar como laplaciano de un vector Ui el nuevo vector Sin embargo, para que en el caso n = 3 coincida con la definición (38) se acostumbra a tomar como definición de laplaciano de un vector U4 , para cualquier espacio de Riemann, el nuev'o vector (39) Aui = f í . i u" Compárese este resultado con lo dicho en 1 7 .8 . Obsérvese que la notación no significa el laplaciano de la función ui considerada como un escalar; es simplemente una notación para indicar la com ponente l del laplaciano del vector u<. Un vector se llama armónico sobre uaa región de un espacio de Riemann dado, cuando en ella cumple la condición Ami = 0 .

E JER C IC IO S 1. Las superficies del espacio ordinario, con el elemento de arco ds*=Edu’-{2F du do + G dt?, son espacios de Riemann de dos dimensiones, para lo» cuales es gu=:E, ga = gn = F , ga ■= G , u = Xi, v =: x,. Probar que, para ellas, las únicas componentes no nulas del tensor covariante de curvatura son Rmi — — Rmt — — Rtia = Rtai . 2. Demostrar que en el caso anterior, n = 2 , la única componente es tricta Raa es un pseudoescalar de peso 2 , cs decir, que por un cambio de coordenadas de jacobiano / , es R'aa= P Raa. Deducir de aquí que el cociente

í

es un invariante, el cual se llama curvatura de Gauss de la superficie. 3. Considerar la superficie cuyo elemento de arco es de la forma di’ = = du'+ C dv‘ y probar que para ella es

Raa K =

-------- =

1

S’ VG

----------- = r - r - r -

S

.

Ri, =

- K g „

,

R =

- 2 K .

yjG

4. Probar la relación (n = dimensión del espacio)

dVg=—g,td(V g g ‘*) · 2

( i - · )

5. Teniendo en cuenta 47.24 probar que el tensor de Ricci de un es pacio de Riemann puede escribirse en la forma

R,i = (log 6. Probar que

— {I"f).»+ {i‘·} {)*»} — { ( / } (log V ¿).. . g , j g ‘' = z n

.

49. IDEA DE LA T E O R ÍA D E LA R ELA TIV ID A D GENERAL 1. L a relatividad general. L a teoría de la relatividad especial supone que el espacio-tiempo es un espacio de Lorentz-Minkowski, es decir, un espacio de Riemann con el elemento de arco ^36

4 9 . ID E.

B E LA TEORIA DE LA RELATIVIDAD GENERAL

¿í* = dx{ ■+ dx^ + dx 3 ^ — dt^ . Este elemento de arco tie n e la misma expresión en todos los pun tos del espacio. La teoría de la relativÜ ad general conserva la hipótesis fundamen tal de que el espacio-tiem jo es un espacio de Riemann, pero supone que la forma del elemente d e arco depende de la distribución de la m ateria y que, por tanto, cebe determinarse en cada caso. Es decir, los coeficientes g a (en núm ero de 10 puesto que w = 4 ) de la forma fundamental (2 ) dít^ = gij dxi dxf (1)

no pueden darse de una 7cz para siempre, sino que deben calcularse por medio de ciertas ecuadones, las cuales dependen de la distribución de la materia y de la enerjía (conceptos equivalentes) en el espacio. Para determ inar estas ecuaciones, Einstein parte de las siguientes condiciones: a) Deben ser tensoriales. Además, tratándose de 10 funciones in cógnitas, se deben tener D ecuaciones, con lo cual resulta que ios pri meros miembros de las ecuaciones deben ser componentes de un tensor de 10 componentes; en el espacio de 4 dimensiones la única m anera de que esto sea posible es qus se trate de un tensor simétrico de segundo orden; representémoslo por G i j . b) Por analogía con la clásica ecuación de Poisson (pág. 163), G ij debe contener a las derivadas parciales segundas de las funciones incóg nitas g i j , de ser posible Ünealmente por razones de simplicidad. Ade más, también por analogía con la ecuación de Poisson, las ecuaciones deben ser de la forma (3) Gi j = a T i j siendo a una constante y T u un tensor simétrico, llamado tensor materia-energía, que depende de la distribución de la materia y de la energía en el espacio. c) El principio de conservación de la energía obliga a que la di vergencia de T ij sea nula, lo que lleva consigo, según (3 ), a que tam bién sea nula la divergencia de G n , o sea (4) = O. Con estas condiciones se demuestra que el único tensor que las cumple es de la forma (5)

G ij = R i j -------

R g i j + \ gij

donde R n es el tensor de Ricci y i? la curvatura escalar ya definidos al final del apartado 48 . Prescindiendo del último término, que sólo interesa para problemas de tipo cosmológico ( 1 es una constante lla m ada constante cosmológica cuyo valor es despreciable para distancias no astronómicas), las ecuaciones de la gravitación de Einstein son 337

T ensores

en

G eneral

( 6)

Ri j — — R g i j - a T i ,

De estas 10 ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden, deben determinarse las g i ¡ , con las cuales se tendrá el elemento de arco (2) del espacio. Observaciones: 1. Las 10 ecuaciones (6) no son independientes, puesto que se cumplen las relaciones (4) y las análogas para T u o sea, (7)

(R*^--^R gî-),i = 0 .

Esto está de acuerdo con ei hecho de que jas diez g a tampoco pue den quedar completamente determinadas, puesto que por un cambio de coordenadas (para lo cual se dispone de 4 funciones x'i = x't (ati, Xt, Xí , x * ) ) se pueden dar valores arbitrarios a 4 de las g a . En rea lidad se trata de 6 funciones incógnitas y 6 ecuaciones para deter minarlas. 2. Fuera de la materia y de las regiones con energía, siendo las ecuaciones (6) quedan

T i¡ = O

Rij — — R gij = O .

(8 )

M ultiplicando por

g*^

y sumando respecto de t ,

R i i g '^ = R

,

j

siendo

g i l g*> = 4

resulta que debe ser i? = O. Por tanto: fuera de la m ateria y energía, las ecuaciones de la gravitación toman la forma simple (9)

R ii = O

3. Conocido el elemento de arco ds se puede estudiar toda la geo metría del espacio-tiempo. Falta entonces —y éste es el mérito funda mental de Einstein— interpretar físicamente esta geometría estableciendo una correspondencia entre los elementos geométricos del espacio-tiempo y los fenómenos físicos del espacio tridimensional. Por ejemplo, unos primeros postulados para establecer esta correspondencia son: a) Si un punto se mueve libremente, describirá una geodésica del espacio-tiempo. b) Si el punto se mueve con la velocidad de la luz, la geodésica que describe es de longitud nula. Es decir, las trayectorias de los rayos liuninosos son geodésicas de longitud nula (o sea, ds = 0) del espaciotiempo. Posteriormente se vio que estos postulados eran consecuencia de las ecuaciones fundamentales (6) . 2. L a solución de Schwarzschild. El sistema (6) es en genereJ imposible de integrar exactamente, debiendo hacerse de m anera apro 338

49. l E A

DE LA T e o r í a d e l a

R e la tiv id a d G e n e r a l

ximada. Sin em bargo ha> u n caso simple en que la integración se logra de m anera exacta, debido a ciertas simplificaciones que pueden hacerse a priori por razones de sinetría. Es el caso de suponer que sólo existe una masa puntual invaridale con el tiempo. En este caso, las condciones de simetría del problema permiten sim plificarlo mucho, y la integración del sistema (6) que en este caso se reduce al (9) , es posible conduciendo al elemento de arco siguiente (10)

ds^ =

(1 - K / r ) dt^ -

+

(sen’' O

[(1 - K/r)~^ dr^ + + d02) ]

que es el elemento de a 'c o del espacio-tiempo creado por una masa puntual inmóvil y q u e fui obtenido por primera vez por Schwarzschild. En la expresión anterior, las coordenadas son polares, con la sola diferencia de r qu e es i n poco diferente, pero con diferencia despre ciable, de la distancia al arigen donde se supone colocada la masa pu n tual dada. K y c son io s constantes de integración, la primera vin culada con la constante iniversal de la gravitación de Newton y la se gunda igual a la velocidad de la luz, lo que resulta del hecho de supo ner que para r —> oo el elemento de arco de un universo sin materia ni energía debe ser el de la relatividad restringida. L a cordenada 6 , distancia polar, tiene el mismo significado que en la figura 58; la coordenada cp es la que allí representamos por a . 3. Geodésicas del espacio de Schwarzschild. Las trayectorias de un punto m aterial que se mueve libremente en el campo creado por una masa puntual fija serán las geodésicas correspondientes al elemento de arco (10) . Para hallarlas hay que buscar los símbolos de Christoffel y utilizar las ecuaciones 4 8 .1 0 . Haciendo el cálculo, largo pero no difícil, resultan como ecuacio nes de las geodésicas 1 áu 1 dii r " - ------ -r'^ - reí* 0'* -reí* sen " Ocp'" -1- - f t'* = O 2 dr ^ 2 dr d" + — r'Q' - s e n d eos 0 q)'» = O

r

(H) (p" + 2 cotO O'cp'-t- ^

f' q>' = O

áii

t" + ~ r ' f = C dr

donde se ha puesto, por simplicidad (12) e>^=i-K/r. La primera de estas ecuaciones puede sustituirse por la que ex 339

T ensores

G eneral

en

presa que el parámetro es el arco, la cual se obtiene dividiendo (10) por ds ^, resultando (13) cí* í'* - e->^ sen^ 0 0'^ = 1 . Vamos a integrar el sistema (11) para el caso de geodésicas que no paían por el punto central. Siendo el sistema (11) de segundo orden, se pueden dar el punto inicial y la tangente en él. Tomemos los ejes coordenados de manera que las condiciones iniciales para 0 sean 00 =

,

0 '.= o .

Con ello, la segunda ecuación (11) nos dice que y por derivaciones sucesivas se obtiene que todas las sultan nulas. Por tanto: la geodésica es una curva el plano 0 = jt/2 . Poniendo 0 = n : / 2 , la tercera ecuación (11) (14) r® {dcpfds) = = cte. La última (11) da (15) gí* (d t/ds) = k = cte. Sustituyendo entonces en (13) los valores

también es 0"o = O derivadas de O re plana contenida en da

d r _ ^ h r

ds

’

ds

d(f

dcp _ ’

h

ds

y siendo siempre 0 = jt/2 se obtiene (16) {dr/d(p)^ = - ( l - c ^ k ^ ) {r*/h^) + {K /h^ ) + Kr que por el cambio de función r = \ j u se puede escribir (17) {du/d^ )^ = - (1 - c^k^)/h^ + {K /h^ ) u - u ' + K u ^ o bien, derivando respecto de

49. I d e a de l a

T e o rìa de l a

R e la tiv id a d G e n e ra i

P ara las tray ecto ris d e los rayos luminosos, las ecuaciones son la mismas de antes, con sóo tener en cuenta que ahora debe ser ds = 0 En vez de (16) se obtiene ( d r / d o ) ^ = {c^ ¿V/i=) r* - r ^ + K r que poniendo r = l / u se escribe ( 19) {d u /d cf) 2 + u== = {c^ ¡e) + K u^ . A distancias n o m iy cercanas al punto central, el término K u * & despreciable y las cu rv a integrales son u = ( c k / h) eos (cp — q>o) , quí son rectas. En cam bio, si se tiene en cuenta el termino K las tra yectorias resultan curvai. Físicamente significa que los rayos luminosoi deben curvarse al pasar cerca de una masa material, curvatura que sí calcula a partir de la ecuación (19) de la trayectoria.

341

S O L U C IO N E S

DE

LO S E J E R C IC IO S

APARTADO 1 1. Por lados opuestos de un jaralelogramo. 2. o) El módulo de OP deb: ser igual al del vector O O i; b) OOi f OP deben ser p>eTpendicuIares cntrs ·!. 3. 7/14. 4. (2 /V F )a . APARTADO

t

1. 2V 15 4.

2. a . = l l .

S. 5/VS. 4. a. = 0. 5. l/V Í T ,

- l / V Í T , 3 /V ÍT .

6. se n a = senP =a seny = 1/V 3, fli = a. = oi = 5 /V 3 . 7. - 1 / V 2 ,

1/V 2, 0 .

8. O, O, 1. 9. V 3, 1 , 0 . 10. V 5 /3 , - 2 V 5 / 3 , 2 V 5 /3 . 11. Si ABCD es el cuadrilátero y P ,Q ,R ,S los puntos medios de sus lados, es Q - P = + C) — V¡(A + B) z= % (C - A) , R - S = = Vi (C + D) — + B) =: í4i(C — /4) ; por tanto el cuadrilátero PQRS tiene un par de lados opuestos iguales y paralelos, o sea, es un paralelogramo. 12. Es igual al ángulo de los vectores K — I — J y I + J + K ; por tinto eo» 9 = — 1/3 .

343

Vectores

y

T ensores

APARTADO 3 1. ( 1 2 , - 6 , - 6 ) , - 1 1 , 3 ).

( - 1 , 1 . 0 ) , (2 , - 4 , 4 ) ,

( - 1 9 , 9 , 11) , (12,

2. Sea 0 el ángulo entre A y B ; si 6 > 60° , la diferencia es mayor que cero, si O = 60° es igual a cero y si 0 < 60° es menor que cero. 3. Igual a V 18 . 4. Para que A -f B determine con A un ángulo de 30° debe ser = 3 /(2 sen 15°).

b=

5. Equivale a que cn todo triángulo un lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia. 6 y 7. Hacer la construcción. 8. Que se cumpla una de las tres condiciones A = B + C , B = A 4 - C , C = B + A. 9. La suma a A -j- P B siempre da vectores del plano determinado por A y B , por tanto debe ser 7 = 0 ; análogamente a = P = O . 10. Tomando G como origen de coordenadas es a A -1-3 + y P ,= O , “ + P + 7 = 1 . El punto Q, debe cumplir Qi = ^ = n(Pj — Pa) 4 -Pj ; de aquí XPi-f- (n — 1)Pj — nP» = 0 y por tanto, comparando con la primera relación anterior, se tiene a = X /( X — 1) y como es \=Q,JPi resulta a = = Q i/( 6 i — Pi) que es lo mismo que G Qi/fiiPi ; análogamente se obtiene P = GQ^/QiPt y V = GQf/QsPt ; la relación a + P + Y = 1 prueba enton ces el enunciado. 11. a) Tomando / como origen de coordenadas, se trata de hallar x, y, z talí-s que xOP^ yOP·,- f zOPj = O . Sean a , P , y los ángulos interiores del triángulo P, P,P,. Tracemos por Pi la paralela a 7Pi hasta encontrar en Ai a IP,·, luego por M la paralela a JPi hasta cortar en H a En el triángulo

IMH es HAÍ/sen % ( P v ) = IH /sen % ( a -}-y ), o se a ,

/P./COS (a/2 ) = IH/coi (P /2) . Además IH/IP^ = {IH/IP,) (IP,/IP,) = — sen P/2 cos P/2 /sen a /2 cos a/2 = sen P/sen a = b/a. Análogamente TM/ÍF, = da. Por tanto, siendo por construcción 7 P j resulta el enunciado.

(ÍH/IPi) IP, + (ÍM/IP,) IP, = O

b) Tracemos por P, la paralela a LPt hasta que corte en Ai a LP, y luego por M la paralela a LP, hasta que corte en H a LP,. Llamando O t , P l , Y l a los ángulos LP,P,,LPJ‘ %, LP,P, en el triángulo LPJ^ , siendo PiM = L H , se tiene que LH/LP, = sen 2at/sen 2y> y como es a 4- Yi = « /2 , _____ _____ r n ► P -f- a, = n /2 , Y -t- Pl = n/2 resulta LW/sen 2p = LPJsen 2a = LM/sen 2y de donde sigue el enunciado.

c) Siendo G el punto de encuentro de las medianas debe ser G = P, -(- X(%(P, - f Pi) — P,) = Pi -1- n (% (P i 4- P t ) — P i ) , o sea, obser vando que la suma de los coeficientes es igual a la unidad en ambos miembros y que por lo tanto deben ser ¡guales, resulta X = n = 2/3 , de donde se deduce el enunciado. =

344

IPt.

S o l u c io n e s

de

los

E je r c ic io s

12. Las condiciones ( B A ) ( C — jD) = O , (D — A ) . ( B — C) = O que expresan que dos pares de aristas »puestas son perpendiculares, llevan consigo, por sustracción, que también sea ( í — A ) . (£ — D ) = O . 13. Basta hacer los productos indicados. 14. Sea -

(1 /m ) ( I »

■f- 2

Gi el baricentro d é la s h primeras masas del sistema; es C = m,OP,) : = (1 /m )

*

m,OPi + 2 nnOP,) = (1/m ) {m’OG, + 1

A +1

m,OPi) lo que prueba el eiunciado.

15. Se eleva al cuadrado la re'ación OPi = OG — PtG, se multiplica lue go por mi y se suma para todo inobservando que 2 miPiG = O . 16. Es PiPf = OPj — OP. ; elevando al cuadrado, multiplicando por mimi y sumando respecto de ambos índices resulta el enunciado. 17. Basta que se cumpla 7ai -f- Soa — 7sen o A i. 2. La igualdad equivale a A . (B — C) = 0 , de donde sigue el enunciado.

3. coso = 1 /V llO , cosP = — 21/5V22, cosy = 4 /5 V 5 . 4. Observar que | A

B )* = (A -f B)’ = A* - f B’ + 2 A .B .

5. a) Siendo a el módulo de A y H un vector cualquiera, X = {k/a‘) A -|-f- A A H ; b) B debe ser perpendicular a A ; entonces, siendo X un es calar arbitrario, es X = XA -|- (A A B)/a*6 . 6. =

Los ángulos de C con A , B están dados por

eos a = eos P =

{ab -f- A .B ) / (a+ b) c . 7. A A B = 2 I - f - 1 5 J - t - 3 K ; el versor buscado es el vector anterior di

vidido por su módulo V238 . 8. I A A B | = ( 4 1 -t- lO J -

3 K | = 5V 5.

9. A A B - f B A C + C / \ A i + ( C - A ) A ( B - A ) = 0 . 345

V íc t o r e s

t

T d ís o r e s

10. AB + AC = a6 eos a + ae ccMP =

4-

«(6 eos o + c eos P) jr 6 eos (J +

ceos P ei la proycceión de B + C lobre la dirección de A . 11. A.B/a = 5/VTÓ.

12. Si A , B «on los vectores de dos lados contiguos, el enunciado equi vale a la identidad (A + B)* + (A — B)’ = 2A* + 2B*. 13. Se sustituye C = — A — B . -

14. a) Hl b) - 31 - 31J + 2K ; c) 411 - 15J - 60K ;d) 65J - 2K ; «) - 10(151 - J + lOK) ; /) 281 - 4 2 K .

15. COI a = a/d, eos P = ra el cubo es a =: b = c.

31 -

b/d, coty= c/d con á* = o*+ 6* + <*; pa

16. Equivale a (A -f B + C ) ' = A* -f B* + C* - f 2 A .B -f- 2 A .C -f -I- 2 B .C . 17. (A -f B) (A — B) = A* — B? j para que sean perpendiculares A’ = B’ , o sea, I A ¡ = | B | . 18. A A B = 2 I - |- 6 J - f - 1 3 K ; la lolución e· eite vector multiplicado por 3 /V ^ . 19. U n vector paralelo al eje y es XJ y otro paralelo al plano * , * es

+ v K , Por tanto X J(n I + vK ) = O. 20. I A A B |· = (<7,6. - a,b,)' + {<1.5. -
|A A B | = 0 . 21. Sean a, b las componentes de A , B . Por b) ,t) las componentes de q> deben ser de la forma A* = 2 a n a / 6* y por a ) h‘= JSâf»(ajbt — — atbi) o f·« , h ' = Xj'tfi + X»‘ci -f- X.‘
APARTADO 5

1. 13, 2. No. 3. » = - 1/2 .

146

S o l u c io n e s

be

4. a) - 87 ; fc) — 66 I -+ 8 1 J - 168 K ; í ) 226 I d) - 8 7 ; e) 45; /) - 191 4 -1 9 J 4- 1 8 K . 5. Basta calcular

E je r c ic io s

12 J -

117 K ;

(A B C ) ’ ) o r la regla de multiplicación de determinantes.

6. M ultiplicando ambos m im bros de la expresión de D despeja a ; análogamente para i y Y . 7.

los

por B A C se

B *A C *

[(C A A) A (A A B ) ] .( A B C )

(A * B * C * )

( B A C ) .[ ( C A A) A ( A A B ) ]

A** =

y como el producto vectorial del num erador es un vector que tiene la dirección de A , poniéndolo igual a XA Esulta el enunciado. 8. El numerador de ( A * B 'C * ) es [(B A C) A (C A A )]. ( A A B ) ; el primer factor es un vector que tieie la dirección de C ; por tanto (A*B*C*) = = X (A B C ) y según el ejercicio anterior, tomando los recíprocos debe ser tam bién ( A B C ) = X (A *B*C*) ; por tanto X,’ = 1 y tomando el caso I , J , K •e ve que X = 1 . 9. Consecuencia de ser siercpre D = Â 4rC ; también poniendo A = a J 4- o tj 4- a j í y análogamente B , C , D , resultan determinantes con dos columnas iguales. 10. Basta hacer el cálculo. 11. Se hacen los cálculos. 12. Basta comprobarlo. 13. Poniendo X = Â 4- 9® + y multiplicando ambos miembros por B A C queda (X B G ) = ^(A B C ) ; multiplicando ambos miembros por (A B C ) resulta

•

de donde se

ü

w

BA

B’

BC.

CA

CB

C*

= /> (A B C )·

despeja p ; análogamente se procede para

g , r.

14. Si A , B , C son los vértices del triángulo, la mediana que pasa p)or A es la recta que une este punto con el % (B -H C ) ; ella contiene el punto G = (A - f B - f C ) /3 puesto que los vectores (A 4- B - f C ) /3 = (B 4-. C - 2 A )/3 y % (B 4 - C ) - A = ( B 4 - C - 2 A )/2 tienen la misma dirección; del mismo modo se demuestra que las otras medianas pasan también por G . 15. Uniendo los extremos se obtienen los vectores

B — A, C — A,

(P — l)A -f- ^ B - f - r C ; para que estén en un plano su producto mixto debe ser nulo, o sea (A B C ) (^ -)- 9 4- r — 1) = O, de donde sigue el enunciado, ti A , B , C no son ya complanare·. APARTADO 7 1.

S · aplican las férmulai (10), (11) y (12) d d ta*to.

34:7

— A =

V ectores

y

T

ensores

2. Es S = a — (ji/2 — P) = a arcsen(cosP) = a — are sen (eosi sena); análogamente 5 = a — arc tg (c o sP ) = a — are tg (eos í tg ó ) . 3. Siendo a - f - P + Y = 3i es tg a tgP tg y = — t g a tg P tg (a + P) = = — t g a tgP (tg a + t g p ) / ( l — tg a tgP ) = (1 — tg o tgP — l ) ( t g a r + t g P ) / ( I - tg a tgP ) = t g a + tgP + t g v . 4. Supongamos que el lado de la poligonal inscrita vale la unidad y sea r el radio de la circunferencia; de aquí 1 = 2rsen (a /2 ) . Si el primer lado está sobre el eje x , el primer miembro es igual a la suma de las proyecciones sobre el mismo; la cuerda que une e) origen con el extremo mide 2rsen ( n a /2 ) = = sen (n a /2 )/se n (a/2 ) . La proyección sobre el eje x será igual a esta expre sión por el coseno del ángulo comprendido, o sea eos (a« + Víin — l) o ) . Igualando esta proyección con la suma de las proyecciones de los lados resulta la primera fórmula; proyectando sobre el eje y se obtiene la segunda. 5. La distancia del vértice A a los puntos de contacto del círculo inscrito y del exinserito correspondiente valen p — a y p respectivamente {2p = a + -f- 6 + c ) ; luego, por semejanza de triángulos r^r = p/(p — a), r= u(_p — a)/p. Por tanto F = pr =z (p — a)r, y por analogía F= (p — b)n = = iP — c)r<,, de donde, a) F* = p(p — a){p — b){p — c) rrortt, y de aquí F* = r r.r»r» ; 6) F/r ■:=p — {p — a) ^ (p — b) + (p — c) = F/r, - f F/rt -t- F/r, de donde sigue la segunda igualdad. APARTADO 8 1. Vectorial X = P - f X (2I — J - f 5 K ) ; paramétricas x = 2%, y = — 3 — X, í : r = 2 - f 5 X ; cartesiana x/2 = — y + 3 = (z — 2 ) / 5 . 2. Vectorial (X + I _ 3 J - 2 K ) . ( 5 I ordinaria 5x — 2y + + 3 =: O .

=

2 J - f K ) = O ; cartesiana u

3. Vectorial (X + I _ 2 J - f 5 K ) . [(31 - J 2K ) A (21 + 5 J — 3 K )j =: O ; cartesiana — 7at 13y -f- 17z -t- 52 = 0 . 4. 12;f -f ISy -f 3z + 15 = 0 . 5. Se halla X por la condición B.(Xo -f XA) — ¿> = O, o sea, X = = (6 — B X «)/(B A ) ; sustituyendo en la ecuación vectorial de la recta re sulta el enunciado.

6. + 8/VT4 . 7. cosqp = 13/2VTÓ5. 8. sencp = 23/10V 7. 9. cosa = - 3 /1 9 , eos P = I /V W , eos y = - 3 /V Í9 . 10. Sea el triángulo A B C . Tomando C como origen de coordenada», el circuni-entro Pi = aA - f pB se determina por ser (Pi — % A ) .A = O, (Pi — B) .B = O, resultando Pi

a — 6 eos C b ~ acosC ceosA — ----------------A -f- ----------------- B — ----------------A -f2a sen’ C

2fcsen’ C

ceos B 2 b s e a 'C

348

2a sen’ C

S o l u c io n e s

o bien, en virtud de las relacione: a / s e n i = los módulos de A , B) ,

de

los

E je r c ic io s

b/senA = c/sen C (siendo a, b

cos Á cos B P, = --------------------A H----------------------- B 2 sen B%
(A -j- B + C -|- D) , siendo A , B , C , D los vértices

14. Es la condición (18) d;l texto. 15. El pie de la perpendicular por P a la recta se determina por la con dición (A -f- XB - P ) . B = O, resultando X . = A H- [(P - A ).B /B ’] B ; el simétrico P' será P' = P -f- 2 ;X> — P) . 16. La recta normal al plano por P es P -j- XA y su punto de inter sección con el plano resulta de ( P - f - X A — X o).A = 0 , o sea, Xi = P -f- f [(X , - P ) .A]/A’ ; de aquí F = P -f 2 (X. - P) , de donde resulta el enunciado. 17. Basta comprobar (ejercicio 14) que corta a ambas rectas. 18. Se aplica (13) del texto. 19. (X — C )’ es el cuadrado de la distancia de C al punto variable X ; la potencia es igual al cuadrado de la longitud de la tangente, que por el teorema de Pitágoras es igual a la expresión del enunciado. 20. La normal al plano tangente es la recta que contiene al radio, o sea, Xc — C ; de aquí sigue el enunciado; en cartesianas es (at — *o) (xt — a) + + (y — yo) (yo — P) + (z — -ô) (Ô — y) = O siendo a , 3 , y las coorde nadas del centro. 21. Según el ejercicio 19 debe ser (X — Ci)* —
r,’ = (X — Ca)’ — ri'

22. Se suman las desigualdaides |A - J - B | — | C - | - D | : ^ | A - } - B - f C - { -f- D |, |B -h C | ^ |B1 - f | G | . 23. El punto P del ejercicio 10 ha sido obtenido como intersección de las alturas correspondientes a los vértices A , B . Basta comprobar que la ter cera altura pasa también por él,~ en efecto Pa.(B — A) = acotB(b cosC — — a) + bcotA (b — acosC) = — ac cot£ cosA + be cotA cosB , y según las relaciones dcl ejercicio 10 r'esulta que esta expresión e« nula.

349

Vectores

y

T

ensores

24. Pongamos X ' - H = X - H + X(A A X ) - f (i[A A (A A X ) ] ; po niendo r = |X ' — H | = |X — H | , de donde | A a X | = ar, y multi plicando la primera igualdad escalarmente por A a X queda r*asen a = Xa’ r* , de donde X = sen o /r ; multiplicando la misma igualdad por A A (A A X ) resulta r*a’ cosa = «’r* + ixa'r*, de donde n = (cosa — l)/c^. 25. En un sistema de coordenadas general, el enunciado equivale a de mostrar que H — O = (A — O) -j- (B — O) + (C — O) , o bien, con las notaciones del ejercicio 10, P j = A - ) - B - f - C — 2 P i, lo cual se comprueba inmediatamente con las fórmulas de dicho ejercicio. 26. Sir es el radio de la circunferencia y M el punto medio de AB, se tiene 2 M = A + B , (A - P) . (B - P) = O, A* -f B* = r*. De la primera igualdad se deduce 4 M ’ = r * - } - 2 P .( A + B) — 2 P ’ que puede es cribirse (M — 54 P )’ = (r* — P’) /4 que es la ecuación de una circunferencia de centro en el punto medio de O P y radio % (r’ — P*) . 27. Si O es el centro de la esfera y origen de coordenadas, es Q = P + -f (1 X) (Pl — P) = (1 -f X) Pl — XP y siendo P fijo y Pi’ = r*, re sulta (Q -l· XP)’ = (1 -|- X )V , luego el lugar pedido es una esfera de cen tro — XP y radio (1 -f X )r. 28. Es (X - O i)V (X _ O ,)’ = f*. o sea, (1 - r*)X> 2 (O i — Oi)^) .X -f- Ol’ — r’Oj’ = O, que es la ecuación de una esfera cuyo centro está sobre la recta que une O, y O , . .

29. (X - O l)’ + (X - Ga)» + -I- (X 0.)> = k , o sea. nX* - 2 (Ol - f O, + . . . + O .) .X -í- Ol* -f. O.» - j - ......... + O .· - Jt = O, que es una esfera. 30. Circunferencia circunscrita al triángulo. -

i

APARTADO 10 1. Para que fuera un vector, las primeras componentes deberían trans formarse, por un cambio de coordenadas cartesianas ortogonales según la ley + a,' b, = a¡(,a,b, — Oibi) + %(ai¿a — a,bt) Ot(a,b, — a,bt) lo cual no e? así. 2. I = ( 1 /3 )1 ' f ( 2 /3 ) J ' - ( 2 / 3 ) K ', J = - ( 2 /3 )1 ' - ( 1 /3 ) J ' — (2 /3 ) K ', K = — (2 /3 )1 ' - f (2/3) J ' -|- ( 1 / 3 ) K '; tiene la misma orien tación. 3. I, =

(1/V3)

(I + J + K), I, = (I/V 3 ) ( _ I + J + K ) , I, =

I - J + K) , h = (1/V 3) (I _ J -t- K ) , I. = (1/V 3) (I + + J - K).h= ( 1 / V 3 ) ( - n - J - K ) , I, = (1/V3) ( - I - J _ K ) , = (1/V 3)(-

I. = (I/V 3 ) (I _ J _ K ) . 4. I' = (o /V 2 )I

+ (a /V 2 )J -f V T ^ K , J ' = ( V F ^ ^ / v ^ X I +

- r J ) — aK., K ' = (1 /V 2 ) ( I — J ) , siendo a una constante arbitraria.

350

S o l u c io n e s

de

los

E je r c ic io s

5. Sean ( I , J ) , ( I ' , J ') i s versores correspondientes a los ejes. Poniendo I = a , r + a J ' es I A J' = A j \ o sea, sea(x, /) = a, sen(x’, / ) ; procediendo análogamente resula I sen (x',y') = sen ( * , / ) ! ' + sen ( * ', * ) ! ' J s e n ( x ' , / ) = sen ( y , / ) ! ' s e n ( x ',y ) J '. Por tanto, p ara un pun to P = I 4- / J es * sen ( * , / ) ! + «sen ( * ',* ) J + + ysen (y , y ') I + y s e n (A ;',3) J = sen ( * ', y ') (*'1 + y'J) ; igualando los coeficientes de I , J resultan Is ecuaciones pedidas. 6. Poniendo K ' = x l + yj -|-zK , debe ser * — y + 2r = O , 2* — í = O, *’ + / + i* = 1 , de donde 7. r =

(1/V 6) ( I -

K' = (I/V 5 5 8 ) ( _ 211 -

a=

1/V3Ó. y = 5 /V M , z = 2/V3Ó.

J -i 2 K ) , J ' =

(1/V93) ( - 21 + 8 J + 5 K ) ,

9 .J + 6K ) .

APARTADO 11

1. Se aplican las fórmulas d e transfonnación y se comprueba. 2. Lo mismo. 3. De (1) se deduce que k s fórmulas de transformación no son las de los vectores. 4. Resulta aplicando las formulas de transformación ( 6 ) , (7) . 5. a) Es ( a , b) + ( a ', i ') = (a + a ' , b + b') , X(a,b) =(U,Xl>) tanto para vectores como para complejos; b) si (a, b) , (a', b) se trans forman como vectores, las componentes (a a ' — bb', ab' + ab) no. APARTADO 13 1. a) 2 , 6 , 4 ; b) 4 , 0 , 4 ; / ) - 2 / 1 1 , 2 /1 1 , 6 /1 1 .

c) 0 , 0 , 0 ; d) 4 / 3 , - 2 / 3 ; - 1 ;

2. Hacia la dirección dcl vector ( 1 , 5 , 6 ) . 3.

Se aplica la regla para derivar una función de función.

+ a,y + a,x. 5. Se integra el sistema cp, =: kx, (p, = ky, q>,= ht. 6. Si tiene derivadas parciales constantes es cp= a,x + aty a,e + 4.

7.

Resulta por ser A .X = ai*

Plano tangente 12 (* — 3) + 5 (y + 2) — 2 ( í — 1)

b

= O ;normal

(x-3)/í2= (y + 2)/5= ( z - l ) / - 2 . 8. Circunferencias situadas en planos perpendiculares al eje *. 9. cosa = 1/V 330. 10. Derivando ambos mietmbros respecto de X y haciendo X = 1 , resulta *(p. -|- y«p, -H zq># = nq>, que es lo que se pide demostrar (teorema de Euler de las funciones homogéneas) .

351

V ectores

y

Tensores

11. Como es un pseudoescalar, sus derivadas parciales son componentes de un pseudovector. 12. Basta comprobarlo. 13. xy'e’ l +

xy e'sem K .

+

14. ( 3 x y ’ + 3 x y z ) I +

(yz^ + x y z ) J + 2 xz’ K .

15. Son vectores de igual dirección. 16. Basta escribir (13) en la forma de producto de medios igual a p ro ducto de extremos. 17. L a tangente es la perpendicular a las dos normales a ambas super ficies. A PA R TA D O 14

d)

1. a) 6x - seny 2 x y + seny + 1. 2. a )

-

e’ ; b)

2(* - f y 4- í ) ; c)

3 ; í.) k/ í + V 2/2 -

2 ; c)

nr'-'(x + y + z) ;

1.

3. a ) x + 2 z , I -f- 2 K ; b) cosx + cosy -J- c o s z , — s e n * ! — — s e n y j — s e n z K ; c) 2x -j- 3r — x‘/ r , (2 x / r - f x’/ r ’) I + {3y/r -f

+ xW r‘) J + (3 í/r -f * V r’)K . 4.

a =

5. a = arbitraria.

— 6xz — % /

f

( x , y) , siendo / una función arbitraria.

—{x + c o s x ) y + f ( x , z) ,

siendo /

una función

6. Se comprueban escribiendo las componentes de ambos miembros.

APARTADO 15 1.

a) -

l +

(2x + 1 ) K ; b) O ; c) O ; d) O ;
- f {yz +

+ 3/)K . 2. a) 3

I - f K ; 6) - 9K ; c) 0 .

y 4. Cero.

5. Basta hacer el cálculo. 6. Es A A X = (a,z — « jj) I + donde sigue el enunciado. 7

{a,x — a,z) J +

(a¡y — a t x ) K de

y 8. Se hace el cálculo y se comprueba.

9. Es rot V = — (y/V** + / ) K ., p or tanto las líneas de torbellino son las rectas paralelas a K . 10. Debe ser h, -f- 2yz = 0 , h. — Q , de donde A = siendo / una función arbitraria.

352

—

-f- f{ z ) ,

S o l u c io n e s

de lo s

E je r c ic io s

APARTADO 16 I , 2 , 3 , 4^ 5 y 6 .

Basta h ac ere l cálculo.

7. La primera componente es ( / B C ) . = (A ,B C ) + (A B.C) + (A B C .) y análogamente se obtienen las restaites. 8. Es rot A = O p or (17) . 9.

a) por (17) ; fe) por (16).

10. Se hace el cálculo. I I.

-sen x l -

2 í '**J ; _ I -

2J .

12. Se aplica (29) al caso T * = 1 . 13 y 14. iguales.

Basta observar que la s componentes de ambos miembros son

APARTADO 17 1. En coordenadas cilindricas se tiene U i(c o sa , se n o , 0 ) , U j(— se n o , co so , 0) , U j( 0 , O, 1) . En esféricas es U i(sen0 co so , sen 0 s e n a , cos 0) , U j(cos0 c o s a , cos 0 s e n o , — senG ), U»(— s e n a , co so , 0 ) . 2. Si ai' son las componentes en coordenadas cilindricas, las componentes en coordenadas cartesianas son a, = cos a a¡— sen o ai , a, = a / sen o + + flj' cos a,a» = at . Si ai' son las componentes encoordenadas esféricas, las cartesianas son at = a,' sen 0 cos o + a,' cos 0 cos a — ai sen a , aj = = ai sen 0 sen a + a, cos 0 sen o -|- a> cos a, a, = ai cos0 — at'sen 0 . =

3. Si a/ son las coordenadas esféricas y fli las cilindricas, es ai = a,'sen O + a¡'cos0 , ai= at', ct = a / cos O — ai' sen 0 . 4. Cilindricas ( r , O ,z) ; esféricas ( o , O, 0) . 5. Basta hacer a.' = a / = a,' = 1 en las fórmulas del ejercicio 2 . 6. Caso particular del ejercicio 2 .

7. En cartesianas tp = (y/x) (** + )^ + **)(** + cp = r(r* + r*) tg o . 8. r = Q sen 0 , n = a , z z= a = a .

q cos

y*)’^ · En cilindricas

0 , o = ( í·’+ a*)'^ ,0 = aretg (r/z ) ,

9. A

10. La divergencia vale (e' cos a + i" eos o + * cos Q )/f ; las componentes rotor son — (1 /r) s e n a , 2 r , (1/r) (r + e'')sen a .

11. La divergencia es 1 4 ( c o s a )/r ; el rotor ( 0 , 0 , (s e n o ) /r ) placiano ( — 2 cos a / r ’ , 0 , 0 ) . 12. tp = (x’ + f ) ylogz ; A

; el la

y/^ .

13. Basta hacer el cálculo. 14 y 15. Se utiliza la expresióm del laplaciano en coordenadas esféricas.

353

V ectores

y

T ensores

APARTADO 19 1. Según (10) debe ser A .A ' = | A | . | A' | y por tanto el vector y su de rivado deben tener la misma dirección; luego debe ser A = q)(í) B , siendo B un vector constante. 2. Siendo el módulo constante es A’ constante y por tanto A .A ' = O ; si la dirección es constante es A =: cp(í)B (B constante) y por tanto A a A' = 0 . 3. Se deriva A, = A/VA’ y se tiene en cuenta la identidad A A (A' A A A) = A 'A · - (A A ')A .

4. Se deriva como función de función. 5. Basta hacer el cálculo. 6.

El integrando es % grad V ; por tanto basta aplicar el teorema 1

7. La integral a lo largo de una curva es la variación del vector A A X entre los extremos; por tanto es nula si la curva es cerrada. 8. Las ecuaciones paramétricas del camino de integración son * = 1 + c o s í, y — sen { (O ^ t ^ 2 íi) . Sustituyendo, queda d(p = d t . 9. e* -

-4-

(2 /3 ) .

10. % « ’ -{- (27/10) . 11. a) (41/12)1 + ( 3 6 /5 )J + ( 3 9 3 /1 0 )K ; b) - ( 2 6 3 / 4 0 ) ; t) - 1 2 , 8 1 - 1 - (5/2 ) J -1- (17/2) K .

APARTADO 20

1. Se sabe que el gradiente es normal a las superficies equipotenciales. 2. Es la fórmula (33) expresando eos y mediante las derivadas parciales de

fi·

F según el ejercicio anterior. 3. Pasando a coordenadas esféricas el flujo resulta í» » S da S (asen’6 cos’a - f - 6 sen’ 6 sen’a -^ ccos’0) sen 0 ¿ 9 . o

o

e integrando resulta el enunciado. t 2»

4. El flujo es igual a / (q/r*) X.Ida = f (g/r’)x da — / / ? « (?/(“’ + o o

4dQ d(p = 2 n g ( l — cosa) , donde gen y j el radio del circulo dado,

a es la distancia del plano al ori

5. El cálculo es análogo al del ejercicio anterior; el resultado es el mismo porque entre las dos superficies no hay ningún punto singular de A . 6. Se aplica el cambio de variables en integrales dobles. 7. Observando que N r : * I + y J 4- zK y pasando a coordenadas po lares resulta que la integral vale (11/12) JtK ,

354

S

o l u c io n e s

de lo s

E je r c ic io s

8. (9 /2 ) « ü · . 9. Se considera el cubo l e aristas dx, dy, dz paralelas a los ejes y de centro P ; sobre las caras n o m ales al eje * es tp(Pi) = (p(P) ± Vtv>dx y por tanto, como que el área de am bas es dy A dz, queda (fmdx A dy /\dz. H a ciendo lo mismo con las o tra cara» y sumando, el numerador queda igual a (cp.I + (p,J + (p.K) dx A dy A dz ; dividiendo por el elemento de volumen re sulta el enunciado. APARTADO 21

1. 64. 2. Es la fórmula de Gauis aplicada al vector
3. Se aplica el ejercicio interior al caso A = VV · 4. Se aplica el teorem a i e Gauss al vector (*· - f y -J- «*) X . 5. Es la última fórmula del subapartado 1 del texto, pasando a las varia bles

u,V.

6. Se toma como superficie S un paralelepípedo rectángulo de aristas dy,dz paralela! a los ejes y de centro P .

dx ,

7. Se procede como en el ejercicio anterior. 8. a — & 4 - e = 0 . 9. Se aplica la fórmula de Gauss. 10. Se hace el cálculo. 11. Uno. 12. Cero. APARTADO 22 1. Se aplica la fórmula de Stokes a S y F , haciendo luego tender F al punto P .

2. 3 « . 3.

-, I

2«.

4. Como el rotor es nulo, por el teorema de Stokes la circulación buscada también lo será. 5. Siendo A constante, es rot(A A X ) = 2 A ; de aqui, aplicando la fór mula de Stokes resulta el enunciado. 6. Por la fórmula de Stokes, teniendo en cuenta que rot X = O. 7. Por ser normal a la superficie, la circulación a lo largo de cualquier curva cs nula. Por el teorema de Stokes, el flujo del rotor a través de cualquier parte de superficie también será nulo, lo cual solo puede ocurrLf si el rotor es normal o tangente a ella.

355

V ectores

y

T ensores

8. Por «er rot (r “X ) =: O. 9. Descomponiendo la superficie en casquetes limitados por curvas cerradas, el flujo es igual a la suma de las circulaciones a lo largo de ellas, que es nula por estar cada curva recorrida dos veces en sentidos opuestos. 10. Por el teorema de Stokes la integral es el flujo del vector de compo nentes X, n·, V , o sea el área. 11. Consecuencia de la fórmula (10) del apartado 22. 12. Aplicar la fórmula de Stokes y tener en cuenta (17)

delapartado

16.

APARTADO 23 1. q) = * sen ysen z -|- constante. 2. cp = e ' + *’y r — 22* + cte.

xzl + ( % * * / + * y ) K ; h) A = 2 y « (x - *.) J + — y‘ x„ + j>o sen *) K ; c) A = — (x — *«) r J + (*y + + xoy + ''Áy‘+ zy — zyo)K. A todas estas soluciones se Ies puede agregar 3. a) A = + ( — y sen * +

un gradiente arbitrario. 4. Escribiendo el integrando de (38) con las z, x permutadas, su dife rencia con el integrando de (39) resulta á ( a r c tg y A ) cuya integral es nula. 5. Poniendo

c = b/2 a, el ángulo sólido buscado está expresado por

2 n — 8 / coscp/Vc’ -f cos’ qpíicp, con la integral extendida entre O y k/4 . 6. Se aplica la fórmula de la divergencia a cpA relativa a una esfera cuyo radio tiende a infinito. Teniendo en cuenta (16) del apartado 16 se obtiene el resultado. 7. Según (16) del apartado 16 hay que resolver la ecuación -f (pV -A = O en derivadas parciales de primer orden en cp . 8. Es T = U / a , div T =

( — l / u ’) V “ -U +

(l/a )d iv U .

A,V

áx'^lui — áf/ut = di?/u^ = á ? / a ' . Por tanto du/ds = (Ui/a) u. (u j/a ) u„ + + (ui/u)u,= Si U es solenoidal cjueda el enunciado. Recíproca mente si se cumple el enunciado, la segunda relación anterior dice que U debe ser solenoidal. APARTADO 25 1. Si la hélice es X = r eos cp I -f- r sen
K , los coeficientes di rectores de la normal principal son ( —.reos cp , — rsen cp , 0) , de donde sigue el enunciado. 2. Con la notación del ejercicio anterior o = r/(r* -f- o’) , N = — coscpl — — sen cp J , luego el lugar de los centros de curvatura es Z = X 4 - ( ? N = = (r — o) eos cp I + (r — o) sen qp J a cp K que es otra hélice. 3. Si T = O, la última fórmula de Frenet da B' = O , B = cte. Integran do la relación B .X ' = O resulta B .X = cte., que es la ecuación de un plano. 356

S o l u c io n e s

de

los

E j e r c i c io s

4. En el entorno de un ¡unto es x = s— ( l / 6 ) x ’ í* - f y = % x í ’ 4+ 0 / 6 ) x V +...,z = — ( / 6 ) x x í’ + . . . . Por tanto c‘-=x‘ + f + = í“ — ( 1/12) 54^ / + . . . é donde sigue el enunciado.

¿‘=

5.

Z = X +

6.

Como cuerda y aree son infinitésimos equivalentes, el numerador es

q

N , i? = Q con los valores del ejercicio 2 .

sist{st + ía) ; aplicando las órm ulas del ejercicio 4 y tomando sólo los primeros términos de los desarrollos nspectivos, resulta que las coordenadas de A son ( i i , % X íi’ , — ( 1 /6 ) X T íi’) y las de B ( — A , % x íi’ , (1 /6 ) x x a ’); por tan to es T = (1/4) K íjft( íi 4- í ) + . . . ; haciendo el cociente y pasando al limite resulta el enunciado. 7. Se aplican sucesivartEnte las fórmulas de Frenet. 8. Si X = X ( j ) es la curva, debe ser Y = X -|XT una recta para una conveniente X = X(í) ; p a a ello es necesario que sea Y' A Y " = O, lo que exige X’x' t = O ; de aquí «1 enunciado. Análogamente en los otros casos. 9. Z = X + X(cos 6 T - f aqui (T E E ') = sen 0 (x c a 0 sarrollable debe ser sen 9 = 0 cada punto (superficie llamada

sen 0 B) , o sea E = cos O T - f «en 0 B . De — T sen 0) , luego para que la superficie sea de(superficie de las tangentes) o tg 0 — x/x en rectificante de la curva).

10. Los ejes de curvatura son Z = X - f
t

XB ; como (X -f- p N )' = O, luego la superficie es valor de X para el cual o sea X = o’ /t.

= O.

12. Si C es X = X ( í \ la curva C, debe ser de la forma Y = X -t- XT con la condición Y '.T = O, o sea, l - ( - X ' = 0 , X = — í - f X® de donde si gue el enunciado. 13. Siendo A = a T basta aplicar fórmulas del apartado 16; también la última fórmula del ejemplo de 25.2 y tener en cuenta que T = N A B . APARTADO 26 1. Se hace la comprobación, teniendo en cuenta fórmulas del apartado 16. 2. Se aplica la fórmula de Stokes. 3. El producto vectorial de un vector por un pseudovector es un vector. 4. Se aplica la fórmula de la divergencia de Gauss. 5. Basta poner r i' = (x — ati)* + (v — V‘)’ (z — Zt)’, X< == (* — — jci)I -t- (y — yi)J + (z — zi)K y efectuar el cálculo. 6. Por derivación parcial. APARTADO 27 1. Equilibrio quiere decir V = O ; por tanto la ecuación de Euler (8) nos dice que G = V í / o y si O es función de p el segundo miembro es un gra diente. 357

V ectores

y

T ensores

2. Es V*í> = V /'/o ; por tanto las superficies iji = cte. coincidea con lai

p = cte.

3. Consecuencia de ser c G = V P y r o tg r a d p r s O . 4. Consecuencia de ser G = V .Í/0 y rotC V .^/c) = V '.(l/o ) A V # · 5. Y

p = q [x‘— xy

e’— l) siendo q la densidad, supuesta constante.

6. Consecuencia del teorema 1 de Lord Kelvin, pues según el enunciado es = O, lo que seguirá verificándose en todo instante.

7. Tomar rotor en (9) y tener en cuenta la relación rot ( V . V ) V = = ( V . V ) r o tV - ( r o t V . V ) V + d iv V .r o tV . 8. Tomar rotor en (8) anterior. para

y tener en cuenta (7) y la identidad del ejercicio

9. En la ecuación de Bernoulli es ^;) = ¿fz ; la constante es z= 0 resulta la expresión enunciada.

gh + p/Q y

APARTADO 29 1. o) Tratándose de números reales, una suma de cuadrados solamente pue de ser nula si lo son todos los sumandos; b) Es la propiedad del triángulo de ser un lado menor que la suma de los otros dos. 2. Aplicar que el producto de un número complejo por su conjugado es el cuadrado del módulo y por tanto un número real positivo. 3. % (x. + y . ) . 4. a) 6 ; 6) 4 . 5. La distancia entre dos circunferencias resulta igual a la longitud de la tangente común. Si son interiores la distancia es imaginaria. APARTADO 30 = (1 /3) {2x - y- z), y' = (1 /3 ) (- x + 2 y - z), {— X— y + 2i) ; .4’ es la misma A. 2. a) - ( V l / 2 ) y , y = ( V l / 2 ) * + ( 1 /2 ) ) - ; b) = X + a, y' = y, c) A.B;x' = (1/2) (a + x) - (VS/2)y, = (V3/2) (* + a) + (l/2)y ; d) B.A :x'= (l/2)x - (V 3/2)y + a , 1. V

=

=

x' = / = /

(V3/2)x + ( l / 2 ) y . 3. x' = y, y' = x. · 4. Siempre que A sea una matriz cuadrada de determinante no nulo. 5. Se comprueba. '0

l ■

.0

1 .

6.

358

z· =

(1 /3 )

•

.0

o J

=

S o l u c io n e s

de

los

E je b c ic io s

7. a) a = q ^ 1, b -{■ p = O , a ’ - t - 6 ’ = l ; i ) a + 9 = 0 , b= p, a' + b'z=l, ¿‘/(l-a) =r^/(l + a) ; c) a* + p* = l. b* + = l, ab + pq = O ; d) o" + p’— 6’ 4- 9*, ab + pq = O . 8. Consecuencia de la r g l a p ara multiplicar matrices. APARTADO 31 1. Se aplican las reglas p a r a sumar y multiplicar matrices. 2. La transformación ^

y' r= a [— bax + (c*

at' =

a [ ( i ’ 4- c*)*

— aby —

acz — ad],

d) y — bcz — bd], r' = a [— cax — cby 4-

4- (a’ + b*)z — cd] , sienlo a = (o* 4" fe* + matriz y se comprueba que es idempotente, puesto que con ella misma.

de aquí se deduce la su cuadrado coincide

3. Si A .X = X .A las dos matrices deben ser cuadradas; tomando como matriz A la que tiene ajj =1 y los restantes elementos nulos, resulta = O, xti = 0 (z j) . De aquí, igualando A.X = X.A para cualquier matriz A con todos sus elementos distintos de cero, resulta que debe serxu = Xn — . . . =

= x„, = Q .

(A'.A)' = A'.A . 5. Sea A la matriz y M | su determinante. Multiplicando todos los :lementos de A por — 1 , queia la matriz — A = A' de igual determinante. Por 4.

otra parte | — .4 | = ( — I)*! .<4 |, por tanto debe ser ( — 1 )" | ^4 | = | n es impar, esta relación oHiga a que sea | .<4 | = O . 6. ( ^ ’) ‘ = 7. debe ser

| ; li

A'.A·= ( - A).(-A) = A'.

(A.B)' = B’.A' =í B.A ; luego para que el producto sea simétrico, B.A = A.B .

8. (A.B - B.A)' = B'.A'-A'.B' = {-B).(-A) - (-A).(-B) = = B.A — A.B = — (A.B — B.A) , o sea, A.B — B.A es también antisi métrica. 9

y 10. Basta comprobar las relaciones pedidas haciendo los cálculos.

11. Resulta inmediatamente de la regla para multiplicar matrices. APARTADO 32 1. Se comprueba la ortogonalidad de sus matrices aplicando (6) del texto. 2. Para las primeras, ei producto de dos de ellas sigue teniendo determi nante 4- 1 ; para las segundas el determinante del producto es también 4- 1 y por tanto no es una transfonnación del conjunto. =

3. Siendo A' = A, B' = (B'^)' = B, resulta B'A'(B^)’ = (B'ÂB)' = B'ÂB lo que prueba el enunciado. 4. Consecuencia de la condición (10) del texto.

5. Consecuencia de que la traspuesta del producto directo es igual al pro ducto directo de las traspuestas.

359

V ectores

y

T ensores

6. AA' es simétrica: por tanto existe una matriz ortogonal JR que la lleva a la forma diagonal con todob sus elementos positivos, pongamos R"^{AA')R = 7^. Pongamos S = R T R'' (simétrica); se observa que P = S~'A es ortogonal y por tanto la descomposición buscada es A = S P . 7. A = BC, A‘= C‘B‘ de donde nal y B simétrica, resulta A A' = . 8.

A A' z= B C C‘B' y siendo C ortogo

(A'')‘ = (A‘)''‘ = A~^, luego A'' es simétrica.

APARTADO 34 f

-1

1. I

2. 3.

1 O í 0 3 2 - 1 J

1 O 0 -2 1 3

t'i) u'i

v'i

= a tta im iX i.aiithpiU .v, =

=

tn u , v i .

4. Análogo al anterior. 3. tt'íi = oi» aii

= 8»! uai = u»» =

Un

.

APARTADO 35 1.

Basta hacer el cálculo.

2. Permutando un par de índices cualquiera, por ejemplo, el k, m , se observa que el resultado es la misma suma alternada cambiada de signo (te niendo en cuenta la hipótesis de que Fi/* es totalmente antisimétrico). 3. (3(p/3*'()[3(p/0x'() = (0
) (3qp/3*») Oiytti» = logamente el segundo caso.

(d

4. Las sumas son tensores como se deduce de la ley de transformación; las propiedades de simetría se comprueban por cada par de Indices. 5. Se comprueba que las diferencias ui vi— i>/ vt son componentes de un tensor antisimétrico; el desarrollo por menores complementarios de la úl tima fila prueba luego el enunciado. APARTADO S6 1. Es | «. y| = | 6 o l = l . 2. Si se cambian los signos de todos los elementos de un determinante, el resultado cambia de signo o no según que su orden sea impar o par; apli cado esto a los adj tu resulta el enunciado. 3. Es í(»adj í(, = 8», í , de donde 8»y(3í/9í(») = adj íi/ = í íu > o se a ,

Zt/dt,i = ttil de donde resulta la segunda igualdad; las relaciones análogas dan la primera. 4. Los elementos de la matriz diagonal buscada son 1 , % ( — 1 -|- 3 V34),

% ( - 1 - 3V M ) . 360

S o l u c io n e s

de

los

E je r c ic io s

APARTADO 57 1

y 2. Se compruebar p a r a los distintos valores de los Indices.

3. Son n

! sumando: iguales a uno.

4. Por la propiedad ce los determinantes de cambiar de signo al permutar columnas y ser nulos si tieren columnas iguales. 5.

Se procede como para tensores.

6. Aparece a’ = 1 . 7. Según (10) en los cambios de coordenadas aparece el factor a* y como fl’ = 1 , queda solamente a , lo que prueba el enunciado. APARTADO 38 1. Debería ser X¡iuiu¡ = invariante y por tanto Por tanto Xtj = 6i>, de donde sigue el enunciado.

\i) un tensor isotrópico.

2. Debería ser Xti(U{Ui + « ( 1 7 / + Vi v¡) = invariante y por tanto X»/ = 6 i / .

3. Debería ser X)/»«( = <« = vector y por tanto Xi/t un tensor isot pico, que no existe. Si tt es un pseudovector, es Xi/» = Eiy* y resulta el pro ducto vectorial. F =

4.Basta observar que es igual a a*V
puesto

APARTADO 44 1. Si la i no se suma es 8 ‘, = 1 ; al sumar respecto de venio general, por estar repetida, resulta 5 ‘ i = n .

t según el con

2. Se tiene

dxs dx. U t, =

dx

-----— — U». 4

,

_ ti t =

dx ,

dx', dx. . ----oxa

^ ox

,

Z' «

—

6

A V

n

—

ü»

i

lo que prueba el enunciado. 3. u'* = o , u'* = 0 , u '* = 0 . 4. Elementos de la matriz que únicamente tiene distintos de cero los de la diagonal principal, los cuales valen 1 , , 1. 5.

Se multiplican ambos miembros por

dx./dx', y se suma respecto de /'

6. Se escriben las leyes de transformación para ambos pseudotensores y se multiplican miembro a miembro, 7. Igual que el ejercicio anterior. 8. Cálculo análogo al de los tensores. 9. Se multiplican ambos miembros por (3*»/3x'() pecto de i,i.

(dx,/dx'¡) y se suma res 361

V ectores

y

T en so r »

10. Según la regla para derivar determinantes e* 0/

d'x»

d xi

\XQ » / e

dx'.

dx.

dx,

0 * ',

y d e l a r e la c ió n ( d x ^ / d x ' t ) ( d x ’t / d x , ) = 8*», p o r d e r iv a c ió n p a r c ia l r e s p e c t o x ' . , r e s u lta 0»x> 0*'. dx, d fx’, dx, _ d x ' t d x ',

M u ltip lic a n d o p o r

dx,

a d j (0 * » /0 a: ', )

d x ',

y sie n d o

í x , ixm

d

dx',

/ 6*. =

dx, 0x» ------- a d j — — r e s u lta el d x', dx,

e n u n c ia d o .

APARTADO 45 I , 2 y 3. Basta hacer los cálculos 4. HS es un escalar y por tanto su derivada covariante es igual a la or dinaria; de aquí, teniendo en cuenta (16), resulta el enunciado, 5. Téngase en cuenta que 0·*.

dx,

d>x,

dx', dx’j

dx’,

dx’, dx’i

dx',

],! = ------------ a d j ------- = --------------------- / dx,

6. Se demuestra primero para un pseudoescalar de peso p. Para ello se considera la potencia p de una densidad escalar, para la cual resulta inme diatamente la fórmula que se trata de demostrar. Para pasar a un pseudo tensor de peso p se considera el producto de un tensor por un pseudoescalar de peso p . 7. Se escriben las leyes de transformación y se resta miembro a miembro. 8

y 9. Resulta inmediatamente de la ley de transformación.

10. Escribiendo la ley de transformación o como contracción del tensor del ejercicio 7 . I I . Se hace el cálculo. 12. Se escriben las leyes de transformación de ambos productos del segundo miembro; al sumar o restar según el caso desaparecen los términos que con tienen derivadas segundas, quedando la ley de los vectores. APARTADO 46 1. Se escriben las leyes de transformación y se comprueba en cada caso. 2 y 3. Se sustituyen las derivadas covariantes por sus valores y se ob serva que las partes que dependen de la conexión desaparecen. 4. a = l / ( n - 1) . 5. Se comprueba. 362

S o l u c io n e s

de

los

E je r c ic io «

6. a) De las ti' com poientes, las n’ de la forma son nula» y las restantes están agrupadas er pares de antisimétricas; luego el número de com ponentes distintas es Nt = Vz n* — n") ; b) Si la conexión es simétrica hay que tener en cuenta las nuevas "elaciones + R'mii + R‘tim = O (*) que solo dan cosa nueva si el número de componentes con esta condición es 3 ! n ^

^ , d e hs cuales las que resultan al permutar los dos últi

mos índices sólo hay que c o n ta la s una vez (según i?*/·» + R'iim = 0 );que dan así 3 n ^ ^ . Debido a as relaciones (*) de cada tres de estas com tes se pueden suprimir una, quedando

Ni = Nt — n ^ 3 ) ~ ( l / 3 ) n ’ (n* — 1 ).

7. Se escribe el valor d e k derivada covariante segunda y se tiene en cuenta que la conexión es nula en el srigen, pero no sus derivadas. APARTADO 47

i/(xisenx,y, = 0 ( { ■ / ■ ;·) 2. En un sistema con ds' = ht'dxt + Aj’ dxi + h% dx, , es <>hi dh, [ij, t ] = O , [ i ; , í ] = — [ ii, ;■] = ht —— , [11, i] = ht dx, dxt 1·

= 1 , fi” = l A i ’ , e” =

.

ht dht

9iog;>.

.

aiogA.

{i/}-o donde los índices no van sumados. Poniendo Ai = 1 , resulta el enunciado.

ht = Xt, h, = Xtsen x, ,

'Jg un pseudoescalar. 4. At) z=A’ ‘‘gMgii , u ‘ = u » g * ‘ , v'= v.g'‘; multiplicando y teniendo en cuenta las relaciones gi,ig"' = b"), resulta el enunciado. 5. Basta escribir la condición que expresa que gii(%* 4- Xt)') (V + O 3. Por ler

cualquiera que sea X. 6. El vector tangente a la línea Xt tiene la dirección de componentes (O , O, . . . , dx.............., 0 ) y el cuadrado del módulo vale dst'= gtidx*dx' (la i no sumada) ; de aquí el enunciado primero. Para el ángulo basta aplicar la fórmula general. 7. Por la ley de transfonnación de las densidades, como es y/g, y la de transformación para integrales múltiples. Para superficies el elemento de área

eí -\/EG — P du A dv . Para el espacio ordinario, en coordenadas esféricas es o’ sen9 dB A da A do y en coordenadas cilindricas r da A dz A dr . 8. Se hace el cálculo a partir de la ley de transformación de las gt¡. APARTADO 48 1. Se comprueba teniendo en cuenta las propiedades de simetría del ten sor de curvatura covariante.

363

Vectores

T ensores

y

2. La ley de transformación es dxi

R 'u u

dx,

dxt

dx.

= ------ ■ - ■■ — Sx\ dx,

dx,

d x ’,

d x ',

dx,

(

dx¡

dx,

\ ’

------ R ijk m = ( ----- —

I

d x ',

dx,

dx,

\d x ',

d x ',

)

dx,

dx¡

dx,

-f^

------ ------ ------ ------- R a u “1“ ------ ------ ------ ------ R iía ~4d x ', (

dx,

dx’,

d x ',

dx, \

+ ( ------ ------ J \ d x ’,

d x ',

d x ', )

d x ', (

R ,!,,

dx,

dx,

d x ', 3*1

d x ',

d x ',

dx,

— ( ------ ------ -- ------ ------ ) R ú a y \

a * ',

d x ',

d x ’,

dx’, )

y como el paréntesis es precisamente el jacobiano de la transformación, resulta e] enunciado. Como g también es un pseudotensor de peso 2 , el cociente es un invariante. 3. Se comprueba. 4.

dg/dgtt ~ adj g(» = ; por tanto dg/g = g‘* dga = — gu dg'*. d\lg = {\l2-slg)dg = — ( 1/2) Vg gi» ág‘* = — (l/2 )g (» [
De aquí: — ciado.

] = — (l/2 )g .» rf(Vgg'*) + (n /2 )

5. Basta aplicar (13) 6. Es

364

Vg de donde sigue el enun

del apartado 4 6 .

gi\g" = 6^h y como ó’i = n , resulta el enunciado.

B IB L IO G R A F IA

Los libros de cálculo vectoria y tensorial son abundantísimos. La mayoría de ellos, sin embargo, p re s n ta n pocas diferencias entre sí. Pre tender dar una bibliografía compl;ta sería tan difícil por su extensión como inútil por la repetición que .
Hoepli, Milán, 1937. BuTTY, E., Introducción a la fisica m atem àtica, Buenos Aires, Univ. de Buenos Aires, 1931-34, 2 volúmenes. B rand , L., Vector and tensor analysis, Nueva York, Wiley, 3* cd.. 1948. B rigard, R., L e calcul vectorlel, Paris, A. Colin, 5’ ed., 1950. C raig, H. V., V ector and tensor analysis, N. York, Me Graw-Uil! 1943. C hatelet , a . y J. K ampe de F eriet, Calcul vectoriel (Thcorie applications géomctriques et cinématiques), Paris, 1924.' D o r r i e , H., Vektoren, Berlin, 1941. D u s c h e k , a . y A. H ochrainer , GrundzUge der Tensorrerhnung in analytischer Darstellung, Viena, Springer. 19.50-5.'), 3 volúmenes. P in z i , B. y M. Pastori , Calcolo tensoriale e applicazioni, Bolonia. Zanichelli, 1949. G a n s , R., Introducción al análisis vectorial, Buenos Aires, Ed. La.’xir, 1940. L agally, M., Vorlesungen über Vektorrechnurg, Leipzig, 2·’ ed., 1934. L a s s , H., Vector and tensor analysis, N. York, Me Graw-Hiil, 1950. L iciinerowicz , a ., Éléments: de calcul tensoriel, Paris, Colin, 1950. 365

V ectores

y

T ensores

A., V ektor und affinor Analysis, M unich, 1950. F., Die Welt der Vektoren, Viena, 1950. P h i l l i p s , H . B., Vector analysis, N. York, 1933. P o M E Y , J. B., Principes de calcul vectoriel et tensoriel, P a r í s , 1923. R u n g e , C., Vektor Analysis, Leipzig, 2’ ed., 1926, 2 volúmenes. S cH O U T E N , J. A., Tensor analysis for physicists, Oxford, Clarendon Press, 1951. S p a i n , B., Tensor calculus, Edimburgo, Oliver and Boyd, 1953. T a y l o r , J. H., Vector analysis with an introduction to tensor ana lysis, N. York, 1939. V a l e n t i n e r , S., Vektoranalysis, Sammlung Göschen, 7* ed., 1950. L o tz e , O

llendorff,

b) Libros de carácter abstracto y axiomático que contienen la fundamentación de ios cálculos vectorial y tensorial; B i r k h o f f , G. y S. M a c L a n e , A survey o f modern algebra^ N. York, 1953. B o u r b a k i , n .. Éléments de mathématiques, libro II, caps. I I y I I I (“Algèbre linéaire” y “Algèbre multilineaire’ ), Actualités n"“· 1032 y 1044, Paris, Hennann. Pi C a l l e j a , P., Introducción al álgebra vectorial, Buenos Aires, Universidad de Cuyo, 1945. c) El estudio riguroso de las formulas integrales del cálculo vec torial puede verse en K e l l o g , o . D., Foundations o f potential theory, Londres, J. M u rray, 1929. d) Libros interesantes por la gran cantidad de aplicaciones que presentan, el primero dirigido más bien hacia la física y el segundó hacia la matemática, son: B r i l l o u i n , L., L es tenseurs en m écanique et en élasticité, N. York, Dover, 1946. M a c C o n n e l l , A. J., Applications o f the absolute differential calculus, Glasgow, Blackie, 1931. e) Las aplicaciones a la geometría de espacios con una conexión (afín o de otra clase más general) o a la geometría de los espacios de Riemann, se encuentra en: C a r t a n , E., Leçons sur la géom étrie des espaces de Riem ann, París, Gauthier-Villars, 2’ ed., 1946. C a r t a n , E., Leçons sur la théorie des espaces à connexion projective París, Gauthier-Villars, 1937. E i s e n h a r t , L. P., Riemannian Geometry, Princeton, 1926. L e v i - C i v i t a , T., T h e absolute differential calculus, Londres, 1926 S c H o u T E N , J. A., Ricci-Calculus, Berlin, Springer, 2’ ed., 1954. T

hom as,

T . Y .,

D ifferential invariants o f generalized spaces,

dres, Cambridge Univ. Press, 1934. 366

Lon^

B ib l io g r a f ía

V e b l e n , o ., In varian ts if qu adratic differential forms, Londres. Cambridge Univ. Press, 1933. f) Los textos dedicados i las teorías de la relatividad y sus deri vados contienen siempre los ebm cntos necesarios de cálculo vectorial y tensorial, de los cuales h ac en :o n tin u a aplicación. Citaremos: B e r g m a n n , P. G., In t r o iu c t io n tó the T heory o f Relativity, N. York, Prentice Hall, 1942. E d d i n g t o n , s. a ., M a th im a t ic a l theory o f Relativity, Cambridge Univ. Press, 1923. E i n s t e i n , A., T h e T h e o r ; o f Relativity, Princeton, 4* ed., 1950. H l a v a t v , V., G eom etry »f Einstein’s unified field theory, Gronin gen, Noordhoff, 1958. J o r d a n , P., S ch w erkraft u n d W eltall, Braunschw-eig, 1952. L a u e , M. v o n . Die R e la ivitdtstheorie, Braunschweig, 5’ ed., 1952, 2 volúmenes. L i c h n e r o w i c z , a ., T h é o ú e s relativistes de la gravitation et de l’électromagnetisme, París, Masson, 1955. L o e d e l , E., Física relatiiista, Buenos Aires, Kapelusz, 1955. S y n g e , J. L. Relativity T h e G eneral Theory, Amsterdam, NorthHolland Publishing Co., 1960. T e r r a d a s , E. y R. O r t i z , Relatividad, Buenos Aires, Espasa-Calpe, 1952. T o n n e l a t , M. a ., L a théorie du cham p unifié d ’Einstein et quelquesuns de ses dSveloppements, Paris, Gauthier-Villars, 1955. Weyl, H., Space, tim e, m atter, Dover, 1950 (es una traducción inglesa de la cuarta edición alemana, publicada en 1922).

367

INDICE ALFABETICO

Aceleración, 201 — ele Coriolis, 225, 227 Adición — de matrices, 237 — de tensores ------cartesianos, 255 ----- en general, 303 — de vectores, 23 Afinidad, 244 Alexandroff, P., 190, 195 Angulo — de dos planos, 61 — de dos rectas, 60 — de recta y plano, 61 — de dos vectores, 21, 324 — sólido, 185-188 Angulos de Euler, 86 Apostol, T. M., 191 Area de una superficie, 152 Arista de retroceso, 208 Ascenso de índices, 323

Barajas, 295 Baricentro de un sistema de masas, 29 Bernoulli, ecuación de, 219 Bessel, 223 Bilaplaciano, 112 Binormal, 198 Biot y Savart, 183, 211 Birkhoff, G., 294, 295 Blaschke, W „ 70

Cambios de coordenadas, 77, 233, 298 Camix) — de fuerzas, 97 — de gradientes, 175 — de rotores, 177 — eléctrico, 102, 209 — escalar, 89, 290 — irrotacional, 175 — magnético, 209 — solenoidal, 177 — vectorial, 291 — — tangente a una superficie, í94 Característica de una curva, 192 Carnot, 69 Casquete de superficie, 166 Cayley, 247 Círculo osculador, 204 Circunferencia de los 9 puntos, 69 Circulación, 105, 140 — alrededor de un hilo de torbelli no, 182 Coeficiente de viscocidad, 284 Componentes — de un vector, 17, 122 — del proc’ucto vectorial, 40 — físicas ae un vector, 331 Condiciones de paralelismo y perpen dicularidad entre rectas y planos, 6j Conexión — afín, 309 ----- simétrica, 318 — — traspuesta, 314 — de Levi-Civita, 325 Contracción de índices, 256, 303 369

V ectores

y

T ensores

Cooidenadas — barícéntricas, 30 — cilindricas, 118 — cilíndrico-parabólicas, 130 — curvilíneas, 119, 298 — elipsoidales, 128 — esferoidales, 131 — geodésicas, 319 — ortogonales, 120 — parabólicas, 130 — polares, 117 — toroidales, 132 Coriolis, 225, 227 Corrección de deriva, 71 Cosenos directores — de un vector, 19 — de una recta, 55 Cuadrivector — impulso-masa, 289 — velocidad, 288 Cuaterniones, 87 — conjugados, 87 Curvas — esféricas, 206 — extremales, 328 — geodésicas, 328 “ regulares, 137 Curvatura — de Gauss, 336 — de una curva, 199, 206 — escalar de un espacio ds Riemann, 334

Ch Christoffel, símbolos de, 325, 326

Dalembertiano, 290 Densidad — de corriente, 210 — tensorial, 268, 304 ------adjunta, 270 ------de Levi-Civita, 269 Deriva, 71 Derivación — covariante, 308-312 ------de densidades tensoriales, 312-314 — de tensores cartesianos, 258 Derivada de Lie, 315

370

Derivada direccional — de una función, 93 — de un vector, <>‘1 — parcial, 95 — total, 95 Desagüe, 101, 193 Descenso de índices, 323 Descomposición canónica — de un campo vectorial en suma de uno irrotacional y otro solenoidal, 179 — de un vector, 28 Desplazamiento paralelo, 316 Diferenciación exterior, 173 Dilatación, 280 Dipolo, 216-218 Dirichlet, 165 Distancia — de un punto a un plano, 58 — de un punto a una recta, 59 — entre dos rectas, 59 Divergencia — de un vector, 98, I I I , 258 ------en coordenadas curvilíneas, 124 — de un pseudovector, 99, 307 ----- en coordenadas curvilíneas, 124 — en espacios de Riemann, 330 Doble producto vectorial, 44 Dpminio simplemente conexo, 175

E Ecuación — de continuidad, 101, 216 — de Euler, 216 ------del cálculo de variaciones, 329 — de Laplace, 161 — de Poisson, 163 — del calor, 102 — del plano, 56 — secular, 264 — vectorial de la recta, 54 Ecuaciones — de la gravitación de Einstein, 337 — de Maxwell, 209-211, 291-293 — relativistas, 290 Einstein, convención de, 249 Elemento de arco, 136 — sobre una superficie, 147 Elipsoide de inercia, 279 Energía del campo electromagnético, 213

I jndice A L rA iifrn co

Escalar, 13, 83 Espacio — afín, 232 — con paralelismo, 316 — de conexión afín, 315-318 simétrica, 318 — de Lorentz-Minkowski, 286 — de « dimensiones, 231 — de Riemann, 321 — euclidiano, 233 — pseudoeuclidiano, 234 ---- tiempo, 232, 285 Esfera osculatriz, 203 Evoluta de u n a curva, 209 Evolvente de u n a curva, 209 Euler — ángulos de, 86 — recta de, 66

Faraday, 215 Fenchel, W ., 196 Flujo, 154 Formas diferenciales exteriores, 148 Fórmula — de Gauss-Ostrogradski, 157, 160, 174 en el espacio-tiempo, 296 — de Stokes, 166-171, 174 Fórmulas — de Frenet, 198-200 — de Green, 159, 161, 163, 164 — de Lorentz, 287, 288 — fundamentales de la trigonometría esférica, 51 ------plana, 50 Fuente, 101, 193 Fuerza externa, 217 Función — armónica, 112, 162 — ixjtencial, 91 Funciones — de Bessel, 223 — de Legendre, 224 G Gauss, K. F., 165, 190, 215 Geodésica, 329, 330 — del espacio de Schwarzschild, 339>

Gradiente — de un escalar, 89, 258, 306, 330 — de un pseudoescalar, 90 — en coordenadas curvilíneas ortogo nales, 123 Graeff Fernández, C., 295 Green, G., 191 Grupo — de Lorentz, 286 — de transformaciones, 242 — lineal ------especial, 242 ------general, 242 — ortogonal, 245

Hélice circular, 138 Helmholtz, 222 Herón, 65 Hilo de torbellino, 181 Hooke, 283 Hopf, H., 190, 195

Identidades — de Bianchi, 320, 335 — de Veblen, 320 Igualdad de vectores, 15 Indice — de enlazamiento de dos curvas, 189 — de un punto, 194 Integral de Gauss, 188-190 Integrales curvilíneas, 139 Invariantes, 83, 254 — de un tensor de segundo orden, 277 — integrales, 306 Irrotacional, 175, 218

Jacobiano, 298 Jordan, 137

Kellog, O. D., 164, 191 Kelvin, 220, 221 Klein-Gordon, 191 Kronecker, símbolos de, 240 Kustaanheimo, 295 371

V e c to re s

y

T en scres

O Lagrange, identidad de, 45 Lamé, coeficiente de, 283 Laplaciano — de un escalar, 99, 112 — de un vector, 112, 335 — en coordenadas curvilíneas ortogo nales, 125 Legendre, 223, 224 Ley — de inducción de Faraday, 215 — del cociente, 260, 304 Lie, 315 Líneas — de campo normales a superficies, 116 — de corriente, 97, 219 — de flujo, 97 — de gradiente, 92 — de rotor, 104 — de torbellino, 104, 170 — equipotenciales, 97 — geodésicas, 329 Lorentz, 212

M Magnitud — escalar, 13 — vectorial, 14 Matriz — antisimécrica, 241 — cuadrada, 239 — de una transformación, 235 — diagonal, 243 — idempotente, 241 — inversa, 240 — nilpotente, 241 — ortogonal, 244-247 — simétrica, 241 — traspuesta, 238 — triangular, 243 — unidad, 239 Menelao, 66 Módulo — de un vector, 15, 254, 324 — de Young, 283 Momento de un vector respecto de un punto, 36, 39, 69, 271

N Nabla, 1 ] 1 Navier-Stolces, 284 372

Oersted, efecto de, 211 Ondas electromagnéticas, 213 Orientación del espacio, 34 Ortotetraedro, 69 Ostrogradski, 157, 160

Paralelismo — de Levi-Civita, 326 — de vectores, 316 Parámetros diferenciales de Beltrami, 331 Paso de la hélice, 138 Peso de un pseudotensor, 305 Pi Calleja, P., 239 Piano — normal, 198 — osculador, 198 — rectificante, 198 Poisson, 163, 283 Polinomios de Legendre, 224 Pohlke, 69 Potencial — escalar, 175 ------del campo electromagnético, 212 — newtoniano, 164 — retardado, 213 — vector, 175 ------del campo electromagnético, 213 Precesión del perihelio, 340 Producto — de matrices, 236 — de pseudotensores, 40 — de tensores ------cartesianos, 255 ------en general, 303 — de un vector por un escalar, 26 — directo de matrices, 243 — escalar de vectores, 32, 254, 304, 324 — exterior de formas diferenciales, 149 — externo, 37 — interno, 32 — mixto de tres vectores, 42 — vectorial, 37 ------en el plano, 45 Pseudoescalares, 44, 83 Pseudotensor, 268-304 — de Levi-Civita, 269 Pseudovector, 36, 80 Ptolomeo, 68

fNDicr Ai.rAiiinco R Radio de acción, 72 Reducción de un tensor simético a la forma diagonal, 263 Relatividad — especial, 284 — general, 336-341 Rey Pastor, J., 239 Rotor, 103, 258, 307 — de un pseudovector, 103 — en coordenadas curvilíneas ortogo nales, 126 — en el plano, 126 — de un tensor antisimétrico, i07

Scliwarzschild, 338 Símbolos — de Christoffel, 325, 326 — de Levi-Civita, 305 Sistema — de coordenadas cartesianas, 232 ortogonales, 233, 324 — de vectores deslizantes, 70 Solenoidal. 177, 179 Sommerfeid, A., 297 Sors, L. S-, 72 Staudt, 46 Stewart, 31 Stolces, G., 191 Suma — algebraica de vectores, 25 — directo de matrices, 243 Sumidero, 101, 193 Superficies alabeadas, 207 — de nivel, 91 — desarollables, 207 — equipotenciales, 91 — no orientables, 168, 172 — orientables, 168, 171 — regladas, 206 — regulares, 144 Sustracción — de matrices, 237 — de tensores, 255, 303 — de vectores, 24 Sylvester, 266

Tensor — adjunto, 270 — antisimétrico, 257 — cartesiano, 250-253 ------isotrópico, 272-274, 277 — de curvaturas de un espacio de conexión afín, 316 — — de Riemann, 333 — de deformación, 279 — de inercia, 278 — de Kronecker, 260 — de tensiones, 280, 283 — de Ricci, 318, 334 — de torsión, 315 — fundamental, 322 — gravitatorio, 334 — mixto, 301 — simétrico, 257 Teorema — de la divergencia, 156 en el plano, 158 — del rotor, 168 — de puntos fijos, 195 Tiempo propio, 287 Torbellinos, 220 Toro, 146 Torsión de una curva, 199, 200 Torricelli, 223 Transformaciones lineales, 235 — ortogonales, 85, 244 Trejo, C., 239 Triángulo de velocidades, 71 Triedro — de Frenet, 197 — directo, 34 — inverso, 34 Trigonometría — esférica, 51 — plana, 50 Tubo de torbellino, 170, 171

U Unicidad de los operadores elemen tales, 274-276

373

V ectores

y

T ensores

Vector, 14, 80 — aceleración, 201 — armónico, 336 — axial, 36 — contravariante, 299 — covariante, 299 — de Poynting, 213, 293 — deslizante, 16, 69 — desplazamiento, 80, 299 — fijo, 16 — función de un jarámetro, 133 — función de variosparámetros, 134 — nulo, 15 — posición, 54 — torbellino, 170, 220 — velocidad, 81 Vectores — equipolentes, 15 — iguales, 15 — opuestos, 24 — paralelos, 20 — perpendiculares, 22 — recíprocos, 47

374

Versor, 27 — binormal, 198 — direccional, 90 — normal a una superficie, 143, 145 — normal principal a una curva, 198 Versores fundamentales, 27 Velocidad, 81 — absoluta, 225 — angular, 109, 226 — de arrastre, 225 — instantánea, 225 — propia, 71 — relativa, 225 — resultante, 71 Volumen — de un espacio de Riemann, 328 — del tetraedro, 62 ------en función de las aristas, 63

W Weyl, H , 295

INDICE

In t r o d u c c ió n

...............................................................................................................................

7

P R IM E R A P A R T E . V E C T O R E S I. A

l g e b r a v e c t o r ia l

1. Vectores;sus clases ........................................................

13

1. M agnitudes escalares y vectoriales: 2. V ectores: 3. Ig u ald ad de vectores; 4. V ecto res deslizan tes y vectores fijos.

Ejercicios ........................................................................ 2. Componentesy cosenos directores de un vector ..........

17 17

1. Com ponentes d e un v ecto r; 2. Cosenos d irecto res de u n vector: 3. V ectores p aralelo s; 4. Angulo de dos vectores.

Ejercicios ........................................................................ 22 T " 3. Adición y sustracción de vectores ............................. 23 1. A dición de vectores; 2. Sustracción de vectores: 3. S um a gebraica d e v ario s vectores: 4. P rod u cto d e u n v ector p o r u n calar; 5. V ersores fundam entales. Descom posición canónica de vector: 8. D escom posición de u n vector p o r sus com ponentes g ú n tre s direcciones dadas; 7. B aricen tro d e u n sistem a m asas; 8. C oordenadas b arícéntricas.

al es un se de

Ejercicios ........................................................................ 4. Producto escalar y producto vectorial ......................

30 32

1. P ro d ucto escalar; 2. Las dos orientaciones d el e sp ad o ; 3. Vec to res axiales o pseudovectores; 4. P ro d u cto vectorial; 5. Compo n en tes del producto vectorial; 6. P ro d ucto escalar y vectorial de pseudovectores.

Ejercicios ........................................................................ 5. Producto mixto y otros productosvectoriales .............

41 42

1. P ro du cto m ixto dea tres vectores; 2. Pseudoescalares; 3. Doble p ro ducto vectorial; •4. Otros p roductos vectoriales; 5. A lgebra v ectorial en el planeo.

Ejercicios .......................................................................

46 S78

V ectores

6.

y

T ensores

Notas y complementos del capítulo I ........................

47

1. D efiricló n axiom ática de vector. Espacios vectoriales: 2. D i versas notaciones p a ra el producto escalar y vectorial.

II. A

p l i c a c i o n e s d e l á l g e b r a v e c i ’ORIa l

7. Las fórmulas fundamentales de la trigonometría ----

50

1. T rigonom etría p lan a: 2. T rigonom etria esférica.

Ejercicios .......................................................................... 8 . Aplicaciones a la geometría analítica ..........................

53 53

1. Puntos y vectores: 2. Ecuación vectorial de la recta: 3. Ecuación vectorial del plano; 4. Distancia de u n p unto a u n p lano; 5. D istan cia de u n punto a u n a recta; 6. M ínima distancia en tre dos rectas: 7. Propiedades angulares e n tre rectas y planos; 8. Volum en del tetraed ro ; 9. G eom etría analítica del plano; 10. Teorem a de Menelao.

Ejercicios .......................................................................... 9. Notas y complementos del capítulo II .........................

66 68

1. Teorem a de Ptolom eo; 2. A rea del cu adrilátero : 3. Teorem a de C arnot: 4. C ircunferencia de los n u ev e puntos: 5. Cónica por cinco puntos; 6. Una propiedad del o rtotetraedro; 7. Teorem a de P ohlke; 8. Vectores deslizantes. Fuerzas; 9. Aplicaciones a la navegación aérea.

I I I . L o s VECTORES Y LOS CAMBIOS DE COORDENADAS

10. Cambios de coorden:.das cartesianas ortogonales ........

73

1. El problem a fu n d am en tal: 2. Cambio de versores fundam entales: 3. Cambios de coordenadas.

Ejercicios .......................................................................... 11. Definición analítica de vector .....................................

78 78

1. T ranform aclón de las com ponentes de u n v ector po r cam bios d e coordenadas ortogonales: 2. D efinición analítica d e vector; 3. Cambios d e coordenadas en el plano; 4. Escalares y pseudoescalares.

Ejercicios .......................................................................... 12. Notas y complementos del capítulo III .....................

89 89

1. Form a explícita d e las transform aciones ortogonales; 2. Angulos d e E u ler; 3. C uatem íones.

r v . A n á l is is

v e c t o r ia l .

O peradores

v e c t o r ia l e s

13. Campos escalares. Gradiente ........................................

89

1. Cam pos escalares: 2. El g rad ien te d e im a función d e punto; 3. Propiedades geom étricas del gradien te: 4. Superficies d e nivel y lineas de grad iente; 5. D erivadas direccionales; 6. D erivada total y d eriv ad a parcial de u n escalar o u n v ector respecto del tiem po.

Ejercicios.......................................................................... 14. Campos vectoriales. Divergencia deun vector .............

99 96

1. Cam pos vectoriales; 2. D ivergencia d e u n vector: 3. In terp reta ciones físicas d e la divergencia.

E jercicios.................................................................................. 376

108

tNDICB

15. El rotor .............................................................................

103

1. E l ro to r; 2. L in e a s d e ro to r o torbellino; 3. Significado físico del ro to r. E jem plos; 4. V e lo c id a d angular. O tra in terp retació n del rotor.

Ejercicios............................................................................

110

16. E) laplaciano.Fórmulas vectoriales .................................

111

1. El o p erador “ n a b l a ” ; 2. El laplaciano; 3. L aplaciano de u n vector. 4. F órm ulas v e c to r ia le s ; 5. L íneas d e cam po norm ales a superficies.

Ejercicios...........................................................................

116

17. Los operadoresvectoriales encoordenadas curvilíneas 117 1. Coordenadas p o la r e s en el plano y en el espacio; 2. C oordenadas curvilíneas en g e n e r a l; 3. Coordenadas curvilíneas ortogonales; 4. L as com ponentes d e u n vector cn coordenadas cu rvilíneas ortogo nales; 5. El g r a d ie n te e n coordenadas curvilíneas ortogonales; 6. La divergencia en c o o rd e n a d a s curvilíneas ortogonales: 7· El laplaciano en coordenadas c u rv ilín e a s ortogonales: 8. El ro to r en coordenadas curvilíneas o rto g o n a le s; 9. El laplaciano d e u n vector en coorde· nadas curvilíneas o rto g o n ales.

Ejercicios...........................................................................

128

18. Notas y complementos del capítulo IV ......................

128

1. Coordenadas elip so id ales; 2. C oordenadas cilíndrico-parabólicas; a r ó licas: 4 Coordenadas esferoidales; 5. Coor3. C oordenadas p arab den ad as toroidales.

V.

F ó rm u la s in te g ra le s

19. Derivación de vectores. Curvas.Integralescurvilíneas

133

1. V ectores fu n ció n d e u n p arám etro ; 2. V ector función de varios p arám etro s: 3. C urvas. T angente. E lem ento d e arco; 4. Integrales curvilíneas; 3. Circulación.

Ejercicios .......................................................................

142

20. Superficies. Integrales de superficie ..........................

143

1. Superficies. V erso r norm al; 2. Elem ento de arco sobre u n a su perficie; 3. In teg rale s dobles y triples. F orm as diferenciales exte riores: 4. E lem ento de área sobre u n a sui>erficie; 5. In teg ral de superficie; 6. F lu jo .

Ejercicios ....................................................................... 21. Teorema de ladivergencia. Fórmulas de G reen...............

153 156

1. Teorem a d e la divergencia. F ó rm u la Integral d e G auss-O strog radskl: 2. El teorem a d e la divergencia p ara el plano; 3. Conse cuencias del teorem a de la divergencia; 4. Casos p articu lares d e la fórm ula de G auss; 5. Fórm ulas de G reen: 6. La ecuación d e Laplace. F unciones arm ónicas. T ercera fórm ula de G reen; 7. Apli caciones de las fórm ulas de G reen.

Ejercicios..........................................................................

163

22. Teorema delrotor ...........................................................

166

1. Teorem a del rotor. F ó rm u la de Stokes: 2. Casos particulares de la fórm ula de Stokes: 3. L ineas y tubos de torbellino; 4. S uper ficies orientables y no orlentables: 5. D iferenciación ex terio r de form as diferenciales.

Ejercicios

...............................................................................

174 377

V ectores

t

Tensorm

23. Campos de gradientes y de rotores.................................

175

1. D efiniciones; 2. Cam pos de gradientes; 3. Campos de rotores; 4. D esconposición d e u n campo vectorial en sum a de uno irro ta cional y otro solenoidal; 5. Observaciones sobre la unicidad; 6. Campo engendrado p o r u n hilo de torbellino; 7. Caso de u n a cu rv a cerrad a; 8. A n g u lo sólido; 9. Integral de Gauss.

Ejercicios.......................................................................... 190 24. Notas y complementos del capitulo V .......................... 190 1. Nota histórica; 2. Campos vectoriales en el p lano: caracteristica d e u n a cu rv a e índice d e u n punto; 3. Campos vectoriales tan g en tes a una superficie; 4. Teorem as sobre puntos fijos.

VI.

A p lic a c io n e s d e l a n á l i s i s v e c to r ia l

25. Aplicaciones a la teoría de curvas................................

197

1. T riedro de F re n et; 2. Fórm ulas d e F ren et; 3. Cálculo d e la c u r v a tu ra y d e la torsión; 4. Definición geom étrica de la c u rv a tu ra y d e la torsión; 5. E sfera osculatriz; 6. Curvas esféricas; 7. Superficies regladas; 8. Superficies desarrollables.

Ejercicios ..........................................................................

208

26. Aplicaciones al electromagnetismo .............................

209

1. Las ecuaciones de M axwell; 2. P otencial escalar y potencial vec to r del cam po electrom agnético: 3. Energía del cam po electrom ag nético. V ector de P oy n tin g ; 4. Ondas electrom agnéticas.

Ejercicios ..........................................................................

215

27. Aplicaciones a la mecánica de fluidos ..........................

216

1. La ecuación de continuidad y la ecuación de E uler; 2. O tras form as e in teg rales de la ecuación de E uler; 3. Torbellinos.

Ejercicios ..........................................................................

222

28. Notas y complementos del capítulo VI .......................

223

1. F unciones d e Bessel y de L egendre; 2. M ovim iento relativo.

SEGUNDA PARTE. TENSORES V n . T r a n s f o r m a c io n e s

l in e a l e s , m a t r ic e s

29. El espacio afín de ndimensiones ................................... 231 1. Espacios »-dim ensionales; 2. El espacio afín 3. El espacio euclidiano n-dim enslonal.

n-dlm enslonal;

Ejercicios ...................................................................... 234 30. Transformacioneslineales.Matrices ................................ 235 1. T ransform aciones lineales; 2. P ro d u c to d e transform aciones lin eales; 3. A dición, sustracción y p ro d u cto p o r u n escalar; 4. M atriz tra sp u e sta de otra.

E j e r c ic io s ............................................................................................

378

238

ÍNDICE

31. Matices cuadradas .........................................................

230

1. tlatrices c u a d r a d a s . T ransform aciones inversas; 2. AIftun«· p ro ied ad es d e la s m a tric e s; 3. M atrices sim étricas y an tlsim élricas; 4. P o ten cia d e una m atriz; 5. G rupos lineales general y espciaL

Ejerácios............................................................................ 243 32. Traiíformaciones y matricesortogonales ......................

244

1. Iran sfo rm acio n es y m atrices ortogonales; 2. Propiedades de los elenentos d e u n a m a t r i z ortogonal; 3. M atrices ortogonales de se* gunlo orden.

Ejercicios...........................................................................

247

33. Nota; y complementos delcapítulo VII .....................

247

R ep esen tació n -le C ay ley p a ra las m atrices ortogonales.

V III. T e n s o r e s

c a r t e s ia n o s

34. Tenstres c a rte s ia n o s ...............................................................

249

1. H convenio d e sup resió n del sim bolo de sum a; 2. Tensores carttsianos d el e s p a c io ordinario; 3. P aso a n dim ensiones; 4. In varlintes. P ro d u c to escalar de vectores.

Ejercicios ...................................................................................

254

35. Operaciones con tensores cartesianos ...................................

255

1. /d ic ió n , su stra cció n y p roducto de tensores; 2. Contracción d e fcidices; 3. P e rm u ta c ió n d e índices; 4. Tensores sim étricos y antidm étricos; 5. D eriv ació n d e tensores; 6. C riterio p ara reconocer el carácter tenso rial.

E jercicios..................................................................................

260

36. Tenscres de segundo orden ..................................................

260

1. El ten so r d e K ro necker; 2. Tensores deducidos d e u n tensor d e segundo o rden; 3. Reducción d e u n tensor sim étrico a la for m a diagonal.

Ejercicios ............................................................. ....................

268

37. Pseudotensores o densidades tensoriales ........................

268

1. Pseudotensores o densidades tensoriales: 2. El pseudotensor o densidad tensorial d e L evi-C ivita; 3. Propiedades d e las densidades tensoriales. D ualidad.

Ejercicios ..................................................................................

271

38. Tensores cartesianos isotrópicos. Unicidad de los opera dores vectoriales elementales ........................................

272

1. T ensores cartesianos Isotrópicos; 2. U nicidad de los operadores vectoriales elem entales.

Ejercicios .................................................................................

276

39. Notas y complementos del capítulo V III ........................

277

1. T en so r Isotrópico de cuarto o rden: 2. In v arian tes de u n tensor d e segundo orden en el espacio d e tres dim ensiones.

379

V ectores

IX.

y

T eksores

A p lic a c io ite s de lo s te n s o r e s c a r te s ia n o s

40. Ejemplos de tensores cartesianos. Aplicaciones a la elas ticidad ............................................................................. 278 1. El ten so r de In ercia; 2. Tensor de deform ación; 3. T ensor de tensiones; 4. Tensor elástico.

41. El espacio-tiempo. Larelatividad especial ....................

284

1. El espacio de c u atro dim ensiones; 2. El espacio-tiem po d e Lorentz-M lnkow ski; 3, Las fórm ulas de L orentz: aplicaciones.

42. Ecuaciones relativistas de la física ..............................

290

1. Ecuaciones relativ istas de la física: 2. Campo escalar; 3. Campo vectorial; 4. Ecuaciones de M axwell; 5. Campo d eterm inado p o r un tensor d e segundo ord en simétrico.

43. Notas y complementosdel capítulo I X ..........................

295

1. T ransform aciones q u e d ejan in varian te u n a form a cuadrática: 2. La fó rm u la de G auss en el espacio-tiem po.

X.

T en so res en g e n e ra l

44. Tensores en general.Algebra tensorial ........................

298

1. Coordenadas curvilíneas; 2. V ectores co n trav arian tes y cova rian tes; 3. Tensores en general; 4. Ejem plos d e tensores: 5. O pe raciones con tensores: 6. Contracción de Indices; 7. In v arian tes; 8. C riterio p ara reconocer el carácter tensorial; 9. P seudotensores o densidades tensoriales; 10. Tensores y pseudotensores obtenidos p o r d erivación o rd in aria.

Ejercicios ..........................................................................

307

45. Derivacióncovariante .....................................................

308

1. D erivación covariante d e vectores; 2. D erivación covariante de tensores; 3. D erivación covariante de densidades tensoriales.

Ejercicios..........................................................................

314

46. Espacios de conexiónafín ..............................................

315

1. E spacios d e conexión afín ; 2. P aralelism o d e vectores; 3. P ro piedades del ten so r d e cu rv atu ra ; 4. Espacios d e conexión afin sim étrica; 5. L as id en tid ad es d e Bianchi.

Ejercicios ..........................................................................

820

47. Espacios deRiemann .......................................................

321

1. E spacios d e R iem ann; 2. El ten so r fu n d am ental; 3. Ascenso y descenso de índices. C om ponentes covariantes y co ntravariantes d e u n v ector; 4. P ro d u cto escalar d e vectores. S istem as coorde nados ortogonales: 5. Los sím bolos d e Christoffel. La conexión de Levi-C ivita; 6. Relaciones e n tre los sím bolos d e Christoffel.

Ejercicios.......................................................................... 48. Curvas geodésicas.Tensor de curvatura .....................

327 328

1. C u rvas ex trem ales; 2. L íneas geodésicas; 3. O peradores dife ren ciales; 4. Com ponentes físicas d e u n vector; 5. El tensor de cu rv atu ra e n espacios d e R iem ann: 6. T ensores deducidos del de c u rv a tu ra por contracción; 7. L aplaciano d e u n vector.

E j e r c ic io s ............................................................................................

380

336

I n d i«

‘

49. Ida de la teoría de la relatividad general...................

330

1. L a relativ id ad g e n e r a l; 2. L a solución d e Schw arzschild; 3. G odésicas d el e s p a c i o d e Schw arzschild.

^ I

S o l u c io n e s e 1,^'; *

......................................................................................

343

B i b l i o g r a f í a ....................................................................................................................................

365

ÍNDICE

369

los e je r c ic io s

a lfa b :tic o

...................................................................................... ..............................

381

I

L

OBSERVACIÓN T IP O G R iF IC A Algunas pequeñas dificultides de orden tipográfico no han podido ser superadas. Creemos necesario señalar: El tipo de la letra griega o difiere de éste cuando figura como subíndice, y se tiene, por ejemplo, Xp. (Ver págs. 123-126, 223, 331.) Asimismo, cuando la a va como subíndice no alinea con los otros subíndices, pese a lo cual debe tenerse biei en cuenta que no es subíndice de subíndice. (Ver págs. 126, 127.) En la fórmula Cl8)’ de la pág. 122, en la anterior y dentro del texto— el subíndice de la letras x,y, z dete ser u / .

844

SE ACABO DE IMPRIMIR EN EL MES DE OCTUBRE DE 1970, EN FRIGERIO ARTES GRAFICAS,

PERÜ 1257, BUENOS AIRES.

i

e j,

-^-1

ËMilcis “ í

En fslii ol)ra, los vccliiics y Iciiiioi··« Se tiütaii (>ii do·· piiilrN scpiiiililiiii. I.ii primiMa incluye· iilf(<'l>rii vrcloilai, dril nición analítica de vi'itoi y aniillülii vi't'· torial, operaciones veetoiiiiles y fói ínulas integrales (|ue las relacionan. I.a segun da incluye matrices y transfonnaciones lineales, tensores cartesianos, tensores en general y espacios de Kiemann. T ihIos estos puntos son desarrollados con am plitud y se dan las correspondientes apli caciones. L. A. Santaló nació en Cíerona (Espa ña), en 1911. Se doctoró en Ciencias Matemáticas en la Universidad ü Ma drid y estudió, además, en Hamburgo, París, Princeton y Chicago. Dtsde 1939 hasta 1947 fue investigador principal y vicedirector del Instituto de Matemáti cas de la Universidad Nacional del Lioral. Entre 1948 y 1955 fue profesor contratado en la Facultad de Ciencias Fisicomatemáticas de la Universidad de La Plata. Actualmente es profesor con dedicación exclusiva en la Faculad de Ciencias Exactas y Naturales de la Uni versidad de Buenos Aires. Ha publicado muchas memorias en revistas especiali zadas y es autor de varios libros impor tantes cn su matíria: Geometría inteUral y Geometría analítica, ambas en colaboración, La probahilidad y sus apli

caciones, Introduction to Integral Oeometri/. Historia de la aeronáutica. Geo metrías no euclidianas. Se especializa en geometría difjrencial e integral.

ALGUNOS TITULOS DE EUDEBA

Introducción a la topología combinato ria - .M. Frechet y Ky Fan. Geometrías no euclidianas L. A. Santaló.

,La estadística - A. Ves.sereau. Introducción al cálculo de probabilida des - B. Gnedenko y A. Jinchin. Introducción a la bioestadística H. Bancroft.

I

Topología (’onerai . |. Kelley. Ia¡s f’raiuU's corrimius del f>i’n.iamlento matenuíUco - I·'. I.e IJonnais. M. R „ S4 . V III

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E D IT O R IA L U N IV ER SITA R IA D E B U E N o '^ A IR E S

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Luis Santaló - Vectores y Tensores Con Sus Aplicaciones

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