Tarea are a de M´etodos eto dos matem´ mat em´aticos aticos II ´ Algebra de tensores Diego Manuel Atzin Ovando Perez David Torrez Reyes Teorema 1. En la suma o resta de dos componentes correspondientes de tensores del mismo rango se obtiene un tensor de igual rango. Demostraci´ on. on. Sea T una transformaci´on on admisible tal que, T : Y → X , sean {Aα1 ,α2 ,...,α (x)} y {Bα1 ,α2 ,...,α (x)} las componentes de dos tensores en el sistema de coordenadas X . Adem´as as sean { C β1 ,β2 ,...,β (y )} y { Dβ1 ,β2 ,...,β (y)} las componentes de los mismos tensores en el sistema de coordenadas Y . De modo que las trasformaci´ on de un sistema a otro est´an on an definidas definidas como como:: s
s
s
s
Aα1 ,α2 ,...,α (x) =
∂y β1 ∂y β2 ∂y β ... C β1 ,β2 ,...,β (y), ∂x α1 ∂x α2 ∂x α
Bα1 ,α2 ,...,α (x) =
∂y β1 ∂y β2 ∂y β ... Dβ1 ,β2 ,...,β (y ), ∂x α1 ∂x α2 ∂x α
s
s
s
s
s
s
s
s
Por lo tanto, la suma o resta de las componentes de los tensores en el sistema de coordenadas X , es, Aα1 ,α2 ,...,α (x) ± Bα1 ,α2 ,...,α (x) = s
β1
=
s
β2
βs
∂y ∂y ∂y ∂y β1 ∂y β2 ∂y β ( ) ... C y ... Dβ1 ,β2 ,...,β (y ), ± β1 ,β2 ,...,β ∂x α1 ∂x α2 ∂x α ∂x α1 ∂x α2 ∂x α s
s
s
s
s
podemos hacer una factorizaci´on on de las derivadas parciales ya que se tratan de los mismos ´ındices, ındices, por lo tanto, Aα1 ,α2 ,...,α (x) ± Bα1 ,α2 ,...,α (x) = s
β1
=
s
β2
βs
∂y ∂y ∂y ... α [C β1 ,β2 ,...,β (y ) ± Dβ1 ,β2 ,...,β (y )], α α ∂x 1 ∂x 2 ∂x s
s
s
ahora si definimos dos tensores E α1 ,α2 ,...,α (x) y F β1 ,β2 ,...,β (y ), tal que, s
s
E α1 ,α2 ,...,α (x) = Aα1 ,α2 ,...,α (x) ± Bα1 ,α2 ,...,α (x), s
s
s
F β1 ,β2 ,...,β (y) = C β1 ,β2 ,...,β (y ) ± Dβ1 ,β2 ,...,β (y ), s
s
s
de modo que, la expresi´on on (1) se puede reescribir como, ∂y β1 ∂y β2 ∂y β ... F β1 ,β2 ,...,β (y ), ∂x α1 ∂x α2 ∂x α s
E α1 ,α2 ,...,α
s
(x) =
s
1
s
(1)
la cual cumple la regla de transformaci´on de un tensor covariante de rango s.
Teorema 2. El producto externo de un tensor mixto contravariante de rango s y covariante de rango r con un tensor mixto contravariante de rango p y covariante de rango q es un tensor mixto contravariante de rango s + p y covariante de rango r + q .
Demostraci´ on: 2 ,...,β Sea T una transformaci´on admisible tal que, T : Y → X , sean Aβα11,β ,α2 ,...,α (x) la representaci´on de las componentes de un tensor contravariante de rango r y co2 ,...,τ variante de rango s en el sistema de coordenadas X , adem´as sea Bστ 11,τ ,σ2 ,...,σ (y ) las componentes del mismo tensor en el sistema de coordenadas Y .
s
r
s
r
β ,β ,...,β p
Sean C α11 ,α22 ,...,α (x) la representaci´on de las componentes de un tensor contravariante de rango p y covariante de rango q en el sistema de coordenadas τ ,τ ,...,τ as sea Dσ11 ,σ22 ,...,σ (y) las componentes del mismo tensor en el sistema X , adem´ de coordenadas Y . De modo que las transformaciones de un sistema a otro est´an dadas por, q
p
q
2 ,...,β Aβα11,β ,α2 ,...,α (x) =
∂y σ1 ∂y σ2 ∂y σ ∂x β1 ∂x β2 ∂x β τ 1 ,τ 2 ,...,τ (y ), ... ... B ∂x α1 ∂x α2 ∂x α ∂y τ 1 ∂y τ 2 ∂y τ σ1 ,σ2 ,...,σ
,β2 ,...,β (x) = C αβ11 ,α 2 ,...,α
∂y σ1 ∂y σ2 ∂y σ ∂x β1 ∂x β2 ∂x β ... ... Dτ 1 ,τ 2 ,...,τ (y) ∂x α1 ∂x α2 ∂x α ∂y τ 1 ∂y τ 2 ∂y τ σ1 ,σ2 ,...,σ
s
r
p
q
r
s
r
s
s
q
p
q
p
r
p
q
de modo que el producto externo de los dos tensores es, β1 ,β2 ,...,β 2 ,...,β Aβα11,β ,α2 ,...,α (x)C α1 ,α2 ,...,α (x) = s
p
r
σ1
=
q
σ2
σr
β1
∂y ∂y ∂y ∂x ∂x β2 ∂x β τ 1 ,τ 2 ,...,τ ∂y σ1 ∂y σ2 ∂y σ ∂x β1 ∂x β2 ∂x β ( ) ... ... B y ... ... Dτ 1 ,τ 2 ,...,τ (y ), ∂x α1 ∂x α2 ∂x α ∂y τ 1 ∂y τ 2 ∂y τ σ1 ,σ2 ,...,σ ∂x α1 ∂x α2 ∂x α ∂y τ 1 ∂y τ 2 ∂y τ σ1 ,σ2 ,...,σ s
q
p
q
p
s
r
p
r
s
q
ordenando un poco los t´erminos, β1 ,β2 ,...,β 2 ,...,β Aβα11,β ,α2 ,...,α (x)C α1 ,α2 ,...,α (x) = s
p
r
σ1
=
q
σ2
σr
β1
∂y ∂y ∂y ∂x ∂x β2 ∂x β ∂y σ1 ∂y σ2 ∂y σ ∂x β1 ∂x β2 ∂x β τ 1 ,τ 2 ,...,τ 2 ,...,τ (y )Dστ 11,τ ... ... ... ... B ,σ2 ,...,σ (y ), ∂x α1 ∂x α2 ∂x α ∂y τ 1 ∂y τ 2 ∂y τ ∂x α1 ∂x α2 ∂x α ∂y τ 1 ∂y τ 2 ∂y τ σ1 ,σ2 ,...,σ s
q
p
s
q
p
s
r
p
r
q
∂y σ1 ∂y σ2 ∂y σ ∂y σ1 ∂y σ2 ∂y σ ∂x β1 ∂x β2 ∂x β ∂x β1 ∂x β2 ∂x β τ 1 ,τ 2 ,...,τ 2 ,...,τ = α1 α2 ... α ... α ... τ ... τ Bσ1 ,σ2 ,...,σ (y )Dστ 11,τ ,σ2 ,...,σ (y ), α α τ τ τ τ 1 2 1 2 1 2 ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂y ∂y ∂y ∂y ∂y ∂y r
q
s
p
r
q
s
p
s
r
(2) podemos ver que las etiquetas de los ´ındices σ y α recorren desde 1 hasta r + q , mientras que para las etiquetas de los ´ındices β y τ van desde 1 hasta s + p , β ,β ,...,β τ ,τ ,...,τ adem´ as si definimos a los tensores E α11 ,α22 ,...,α ++ (x) y F σ11,σ22 ,...,σ ++ como, s
r
p
s
q
r
β1 ,β2 ,...,β + β1 ,β2 ,...,β 2 ,...,β (x) = Aβα11,β E α ,α2 ,...,α (x)C α1 ,α2 ,...,α (x), 1 ,α2 ,...,α + s
r
p
s
q
,τ 2 ,...,τ s+p F στ 11,σ 2 ,...,σ r+q
r
p
q
τ 1 ,τ 2 ,...,τ p 2 ,...,τ s =Bστ 11,τ ,σ2 ,...,σr (y )Dσ1 ,σ2 ,...,σ q (y ),
2
p
q
p
q
de modo que la ecuaci´on (2) se puede reescribir como, 2 ,...,β + E αβ11 ,β ,α2 ,...,α + (x) = s
r
p
q
∂y σ1 ∂y σ2 ∂y σ ... ∂x α1 ∂x α2 ∂x α
r +q
∂x β1 ∂x β2 ∂x β + τ 1 ,τ 2 ,...,τ + ... F ∂y τ 1 ∂y τ 2 ∂y τ + σ1 ,σ2 ,...,σ + s
p
s
p
s
r +q
p
r
q
la cual cumple la regla de transformaci´on de un tensor contravariante de rango s + p y covariante de rango r + q . Teorema 3. Si un tensor mixto contravariante de rango s y covariante de rango r, tiene un ´ındice contravariante igual a un ´ındice covariante, el conjunto resultante de componentes tensoriales es n r+ p−2 y el tensor se convierte en un tensor mixto contravariante de rango s − 1 y covariante de rango r − 1.
Demostraci´ on: 2 ,...,β Sea T una transformaci´on admisible tal que, T : Y → X , sean Aβα11,α ,α2 ,...,α (x) la representaci´on de las componentes de un tensor contravariante de rango r y co2 ,...,τ variante de rango s en el sistema de coordenadas X , adem´as sea Bστ 11,τ ,σ2 ,...,σ (y ) las componentes del mismo tensor en el sistema de coordenadas Y .
s
r
s
r
De modo que las transformaciones de un sistema a otro est´an dadas por,
2 ,...,β Aβα11,α ,α2 ,...,α (x) = s
r
∂y σ1 ∂y σ2 ∂y σ ∂x β1 ∂x α2 ∂x β τ 1 ,τ 2 ,...,τ (y ), ... ... B ∂x α1 ∂x α2 ∂x α ∂y τ 1 ∂y τ 2 ∂y τ σ1 ,σ2 ,...,σ r
s
r
s
s
r
ordenando un poco los t´erminos, 2 ,...,β s Aβα11,α ,α2 ,...,αr (x)
∂y σ2 ∂x α2 ∂y σ1 ∂y σ ∂x β1 ∂x β τ 1 ,τ 2 ,...,τ = (y ), ... ... B ∂x α2 ∂y τ 2 ∂x α1 ∂x α ∂y τ 1 ∂y τ σ1 ,σ2 ,...,σ r
s
r
s
s
analizando las primeras dos derivadas parciales, como
∂y σ2 ∂y τ 2
= δ τ σ22 ,
∂y σ2 ∂x α2 , ∂x α2 ∂y τ 2
r
est´as se pueden ver
sustituyendo est´a expresi´on,
σ2 2 ,...,β Aβα11,α ,α2 ,...,α (x) = δ τ 2 s
r
∂y σ1 ∂y σ ∂x β1 ∂x β τ 1 ,τ 2 ,...,τ (y ), ... ... B ∂x α1 ∂x α ∂y τ 1 ∂y τ σ1 ,σ2 ,...,σ r
s
r
s
s
r
hacemos correr la suma sobre τ 2 , obteniendo, 2 ,...,β Aβα11,α ,α2 ,...,α (x) = s
r
∂y σ1 ∂y σ ∂x β1 ∂x β τ 1 ,σ2 ,...,τ (y ), ... ... B ∂x α1 ∂x α ∂y τ 1 ∂y τ σ1 ,σ2 ,...,σ r
s
r
s
s
r
por lo tanto, se cancelaron dos derivadas de la regla de transformaci´on, quedando r + s − 2 derivadas, por lo tanto el n´umero de las componentes tensoriales es igual a nr+s−2 . De modo que se pueden redefinir las etiquetas de los ´ındices, tal que, 2 ,...,β −1 Aβα11,β ,α2 ,...,α −1 (x) = s
r
∂y σ1 ∂y σ2 ∂y σ ... ∂x α1 ∂x α2 ∂x α
r −1
∂x β1 ∂x β2 ∂x β −1 τ 1 ,σ2 ,...,τ −1 (y ), ... B ∂y τ 1 ∂y τ 2 ∂y τ −1 σ1 ,σ2 ,...,σ −1 s
s
r −1
3
s
r
