CURSO: FÍSICA CRITERIO II: RAZONAMIENTO Y DEMOSTRACIÓN
COLEGIO PARROQUIAL MIXTO SAN PEDRO CHANEL SOCIEDAD DE MARIA (PADRES MARISTAS) SULLANA PROFESOR: LIC. ROSA MELVA VERA R. TEMA: PORCENTAJE – SERIES - SUMATORIAS.
Regla del tanto por Cuanto El 4 por 11 < >
Cantidad final : 130% x 120% (100%) 30 120 = x x 100% 156% 100 100
4 11
Ejemplo 1: Calcular el 2 por 5 de 15. Solución: El 2 por 5 2 5
Luego el aumento único será de:
de 15 x 15 6
TANTO POR CIENTO (%): En general:
156% - 100% = 56%
a%
a 100
Observación: En el caso de tener dos aumentos sucesivos del A1 % y del A 2 %, el aumento único equivalentes (Au) que reemplaza a estos dos aumentos es: A x A2 Au A1 A 2 1 100
NOTA Si pierdo o gasto 20% 35% 2,5% 2% x%
Queda 80% 65% 97,5% 98% (100 - x)%
Si gano o agrego 22% 45% 2,3% 0,5% x%
Resuelta 122% 145% 102,3% 100,5% (100 + x)%
%
Ejemplo 8. Tres descuentos sucesivos del 20%, 30% y 40% equivalen a un descuento único de ... Solución: Inicio: 100% Final: 80% . 70% . 60% . (100%) 80 70 60 . . .(100%) 33,6 % 100 100 100 Du 100% 33,6% 64,4% Por fórmula: Como son más de 2 descuentos sucesivos, se aplica la fórmula de 2 en 2. 20 % ; 30 %; 40 %
DESCUENTOS Y AUMENTOS SUCESIVOS 20(30 ) Du 20 30 % 44 % 100
Ejemplo: ¿A qué descuento único equivale 2 descuentos sucesivos del 20% y 30%? Solución: Cantidad Inicial: 100% Descuento 20% 30%
20 % ;30 % ; 40 % 44 %
Queda 80% 70%
44 (40) Du 44 40 % 66,4 % 100
Cantidad final: 70 % x 80 % (100 %) 70 80 = x x 100% 56% 100 100 Luego el descuento único será de: 100% - 56% = 44%
APLICACIÓN COMERCIAL DEL PORCENTAJE Pv Pc G
Observación: Si tenemos que hacer dos descuentos sucesivos del D1 % y del D 2 % éstos pueden ser reemplazados por un solo descuento que equivale a los dos anteriores, éste es el descuento único equivalente (Du) y se calcula así: D x D2 Du D1 D 2 1 100
%
Ejemplo 7. ¿A qué aumento único equivalen 2 aumentos sucesivos del 20% y 30%? Solución: Cantidad Inicial: 100%
PL Pv Descuento G B G N Gastos Observación:
La ganancia o pérdida generalmente, se expresa como un porcentaje del precio de costo, salvo que se diga otra cosa.
La rebaja o descuento se expresa como un porcentaje del precio de lista.
1. Si el precio de un producto se rebaja en un 80 %, ¿en qué porcentaje hay que aumentar el nuevo precio para volver al precio original?
1|5to
a) 160 % d) 500 %
b) 16 % e) 200 %
12. ¿Cuál es el aumento único equivalente a los aumentos sucesivos del 10%, 20%, 25% y 30%? a) 148% b) 164% c) 172% d) 149% e) 128%
c) 400 %
2. ¿Cuál es el número que multiplicado por si mismo, y disminuido en la unidad es igual al 12 % del 200 por 2 del
50%
a) 2
del inverso del mismo número?
b) 3
0, 2 %
3. El
13. El 7 por 10 del 5 por 13 del 2 por 5 de 260 es: a) 27 b) 29 c) 26 d) 28
c) 4
del
500000, es: a) 12 b) 11
d) 6
2000 % c) 8
del
3%
d) 16
14. Si un equipo de sonido fue vendido en S/. 2340 dejando una utilidad del 30%, entonces para ganar solamente el 20% sobre el costo debería venderse en: a) S/. 2 000 b) S/. 1 990 c) S/. 2 160 d) S/. 1 980 e) S/. 2 120
e) 10
del
20 % 3
de
15. El ancho del rectángulo aumenta en 20%, mientras que el largo disminuye en 20%. ¿En qué tanto por ciento varía su área? a) 4% b) 6% c) 8% d) 5% e) 3%
e) 40
4. El 30 % del 120 % del 40 % de un número es igual al 60 % del 80 % de 30. Hallar el 20 % del 40 % de dicho número. a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12
16. Si el radio de una piscina circular aumenta en 100%, entonces para que su volumen no varié, su altura debe disminuir en un: a) 55% b) 70% c) 50% d) 60% e) 75%
5. se vende un lapicero en S/. 680 perdiendo el 15 % del costo. ¿A cómo se debe vender para ganar el 9 %? a) S/. 872 d) S/. 724
b) S/. 836 e) S/. 936
c) S/. 827
6. Milagros vendió un libro Ganando el 20 % del precio de venta y el 10 % del precio de costo. Si lo vendió en S/. 748, ¿cuál fue su costo? a)S/. 468 b) S/. 500 c)S/. 525 d)S/. 544 e)S/. 642
7. Restar
1 1 del 5 % de 6 30
y restar de
1 35
el 10 % de
1 7
.
Al dividir el primer resultado entre el segundo se obtiene.
a)
2 7
b)
4 7
c)
7 4
7
d)
e)
4
8. los lados de un cuadrado se triplican, ¿en que porcentaje aumenta el área? a) 300 % d) 900 %
b) 800 % e) 200 %
c) 600 %
10. El a) 6
b) 24% e) 25%
c) 50%
x 1 % de x 36 es b) 7
c) 8
d) 9
2x . Hallar " x " 5
SERIE NUMÉRICA Es la adición indicada de los términos de una sucesión numérica y al resultado se le llama valor de la serie. Sea la sucesión:
t1 ; t2 ; t3 ; .....; tn Entonces la serie numérica será:
S t1 t2 t3 ..... tn SERIE ARITMÉTICA Es la adición indicada de los términos de una sucesión o Progresión Aritmética. En general: Para toda sucesión aritmética de “ n ” términos:
r
t2
t3 t4 ....... tn r
r
r
r
La suma de todos sus términos se obtiene:
t t S t1 t2 t3 ..... tn 1 n .n 2 Donde: t1 = Primer término t n = Último término n=Número de términos
e) 4
11. Tres descuentos sucesivos del 10%, 20% y 25%, equivalen a un descuento único. a) 47.78% b) 47.62% c) 44% d) 48.62%
17. Para vender un producto se aumenta su precio en S/. 40, a fin de ganar el 20% del precio de costo. ¿Qué porcentaje del precio de venta se ganó? : a) 15% b) 14% c) 16,66% d) 17,2% e) 15,5%
t1
9. Un Instituto tenía 1200 alumnos de los cuales el 40 % eran mujeres y el 60% hombres. El número de mujeres aumenta en 30% y el de los hombres en 20%, ¿en qué porcentaje aumentó el total de alumnos? a) 30% d) 40%
e) 25
e) 47.72%
SERIE GEOMÉTRICA Pueden ser: SERIE GEOMÉTRICA FINITA Para toda sucesión o progresión geométrica de “ n ” términos:
2|5to
S t1
t2
t3
t4 ....... tn
q q q q La suma de todos sus términos se obtiene:
S
t1
q
n
q
Suma de los primeros “ n ” números impares.
n
2i 1 1 3 5 7 ....... 2n 1 n i 1
1
q 1
Suma de los primeros “ n ” cuadrados.
n
i
Donde: t1 = Primer término
q
q
q
q
2
12 22 32 ..... n 2
i 1
q= Razón (q 1; q 0) n=Número de términos SERIE GEOMÉTRICA INFINITA Para toda serie geométrica de infinitos términos su suma se calcula así. t1 S t1 t2 t3 t4 ....... 1 q
2
n n 1 2n 1 6
Suma de los primeros “ n ” cubos.
n n 1 i 1 2 3 .... n 2 i 1 n
3
3
3
3
2
3
Otras Formulas:
n
2i
3
23 43 63 ... 2n 2n 2 n 1 3
2
i 1
SUMATORIAS Se denota por la letra
n
letra griega sigma , leeremos suma
de sus elementos: n
t i 1
" n "sumandos
13 33 53 .... 2n 1 n 2 2n 2 1 3
i i 1 1 2 2 3 3 4 ..... n n 1 i 1
n
1
1
1
1
n n 1 n 2 3
1
n
i i 1 1 2 2 3 3 4 ..... n n 1 n 1 n
1
1
1
1
1
n
2i 1 2i 1 1 3 3 5 5 7 ... 2n 1 2n 1 2n 1 i 1
n
i k
3
i 1
PROPIEDADES DE SUMATORIAS Número de términos:
t
i 1 n
t1 t2 t3 ...... tn
i
2i 3
i
tk tk 1 tk 2 .... tn
n
Número de Términos n k 1
A.
i1
B.
n
c n k 1 .c n
n
C.
n
a b c a b c i
i k
i
n
t i 1
II.
i
i
ik
i
k
t i 1
i
ik
i
ik
i
D.
n
t
(2i 1)2 12 3 2 5 2 ... (2n 1)2 13 n(2n 1)(2n 1)
i k 1
n
(2i)3 23 4 3 6 3 8 3 ... (2n)3 2n 2 (n 1)2 i1 n
(2i 1)3 13 3 3 5 3 7 3 ... (2n 1)3 n 2 (2n 2 1) i1
i
SUMAS NOTABLES
n
i1
i k n
(2i)2 22 4 2 6 2 8 2 ... (2n)2 32 n(n 1)(2n 1)
Suma de los primeros “ n ” números naturales:
n n 1 i 1 2 3 .... n 2 i 1 n
n
i
4
E.
14 2 4 3 4 4 4 5 4 ... n 4
i 1
n(n 1)(6 n 3 9 n 2 n 1) 30
n
F. i(i 1) 1x 2 2x3 3x 4 4 x5 .... n(n 1)
1 n(n 1)(n 2)
i1
G.
n
3
2ix(2i 2) 2x4 4 x6 6x8 8 x10 ... 2n(2n 2) 3 n(n 1)(n 2) 4
i 1
n
Suma de los primeros “ n ” números pares.
2i 2 4 6 ..... 2n n n 1 i 1
n
H. ix3 i 1x 3 2x 3 2 3 x 3 3 4 x 3 4 ... nx 3 n (2n 1)x 3 n 1 3 i1
4
3|5to
I. J.
i(i11) 1x12 21x 3 3 x14 4 1x5 ... n(n11) (nn1)
9.
(2i1)(1 2i1) 1x13 31x5 51x7 71x9 ... (2n 1)(1 2n 1) 2nn1
a) s/. 5 316
n
i1 n i1 n
K. i1
Qué precio pide por su caballo quien exige por el primer clavo de sus herraduras s/. 125; s/. 216; por el segundo; s/. 343 por el tercero; hasta s/. 1 331 por el penúltimo clavo
b) s/. 5 984
c) s/. 5697
d) s/. 5 270 e) s/. 6 084 10. Hallar el término 30 de una progresión aritmética, si la suma de los “ n ” primeros términos es: 6n 3n . a) 355 b) 360 c) 357 d) 350 e) 362
1 1 1 1 1 ... n 2 ix(2 i 2) 2 x 4 4 x 6 6 x 8 2 n(2 n 2) 4 (n 1)
2
n
1
L. i 1 i(i 1)(1 2)
1 1 1 ... 1x 2 x 3 2x 3x 4 3 x 4 x5
a (a 2) (a 4) ... 7a na(ma 1) Hallar: m n 11. Si:
n(n 3) 1 n(n 1)(n 2) 4 (n 1)(n 2)
1.
a) 6
K 1 2 3 4 ... 50 E 1 3 5 7 ... 69 Hallar el valor de: R 2( K E) b)5
c) 10
d) 12
e) 14
c) 9
d) 7
e) 10
P 4 5 7 3 6 5 9 3 ...
Sabiendo que:
a) 4
b) 8
12. Calcular: 244 sumandos
a) 7 479 d) 8 400
b) 7 849 e) 8 479
c) 8 749
13. Hallar la siguiente suma: 2.
S 23 43 63 83 ... (2n)3
Hallar “n” en:
(n 1) (n 2) (n 3) ... (n a) a 2
a)
3.
1 a
b)
a 1 2
c)
a 1 4
d)
a 1 2
2a 1 e) 2
n ( n 1)
b)
d)
2n 2 (n 1) 2
e)
En una progresión aritmética se conoce que:
t1 a 2 ; r 2 a ; sn 10 5a , hallar “ n ” a) 5 4.
a)
2
b) 4
c) 3
d) 6
e )7
En una progresión aritmética, el tercer término es igual a 4 veces el primero y el sexto término es 17. Hallar la suma de los 10 primeros términos. a) 95 b) 100 c) 105 d) 112 e) 15
26
14. Calcular:
Calcular “ M ”
M 1 2 3 2 3 4 3 4 5 ... 240 sumandos
a) 9 870 b) 9 960 c) 9 710 d) 9 250 6.
e) 10 000
f (n) n(n 1) 2 , hallar el valor de: R f (0) f (1) f (2) ... f (19)
Si:
c)
20
2n(n 1)2
15
M 7 6 5
a) 110
i 20
j 15
n 11
b) 100
c) 105
d) 92
e) 115
10
15. Calcular: S
(3k 2 5k 7) k 1
a) 1050 5.
(n 2 1) 2 2 2n n 1
b) 1400 c) 1300 d) 1030 e) 1500
16. Calcular la suma de todos los números que conforman el siguiente arreglo: 1
4
9
16
4
9
16
25
9
16
25
25
361 361
361
16 25 361
a) 42 130 b) 41 230 7.
d) 41 620 e) 42 62
1 2 3 ... Calcular “ K ”: K 2 8 28 77
a) 1 8.
c) 44 100
b) 2
c) 2/5 d) 3/4 e) 1/2
a) 36 000 b) 36 100
c) 36 200 d) 36 400 e) 36 500
17. Hallar:
A 1x5 2x6 3x7 ... 36x40
Calcular el valor de “ E ”
E 1x2 3x4 6x6 8x10 ... 25x44 a) 2 640
b) 2 710 c) 3 410 d) 2 570 e) 3 650
a) 16 250
b) 17 520 c) 18 510
d) 17 740
e) 18870
4|5to
