Descuento Simple Descuento Simple a una Tasa de Interés Generalmente están respaldadas con un documento: Pagaré o letra de cambio. cambio. El acreedor acreedor,, poseedor poseedor y propietari propietario o del documento, documento, puede recibir parte o totalidad de su valor, valor, antes del vencimiento establecido en el documento. documento. Para Para esto, esto, “vende” “vende” el documento documento a una una entidad entidad nanc nancier iera. a. Este proceso proceso se llama llama descuen descuento to del pagaré pagaré o letra letra de cambio. En él, la entidad !ue recibe o compra el documento, reba"a en su pago #descuenta$, la ganancia, del valor nominal de a!uel. %ormalmente, el valor nominal incluye el principal #préstamo original$ y los intereses !ue devengará durante el pla&o pactado. 'un!ue e(isten dos tipos de descuento: descuento racional o "usto y descue descuento nto comerc comercial ial,, el segund segundo o es el de uso genera generali& li&ado ado en el ámbito nanciero. Descuento real o justo: El descuento descuento (cantidad (cantidad a rebajar) se se calcula con base en el capital prestado (C), como un % de este. Cuan Cuando do la cantidad qu cantidad que e el banco dedu deduce ce en conc concep epto to de interés en interés en una operación de operación de descuento se obtiene aplicando el tipo de interés sobre interés sobre el valor efectivo de efectivo de los crédito s cobrados anticipadamente. E"emplo ). Determinar el valor presente, al *+ de interés simple, de )-. con vencimiento en / meses. 01uál es el descuento racional2 S 3 )-.4 i 3 -+ t 3 /5)63 .7- de la relaci8n de .-4 S 3 1#)9it$ tenemos !ue C =
150.000 150.000 S es el valor valor presen presente te = = =¢ 143.540.67 esel 1 + i t 1 +( 0,06 1,045 0,06 0,75)
Dr 3 S;1 3 )-.;)<=.-< )-.;)<=.-<.*7 .*7 3 *.<-/.== *.<-/.== es el descuento racional 1orroboraci8n Dr 3 Dr =
*.<-/.== )<=.-<.*7 6..459.33 143.540.67 143.540.67
Dr 3
<.-+ )65/
Dr 3 *+
=¿
Dr 3 <.-+ )65/
3 *+
Descuento simple a una tasa de descuento. (Descuento Comercial) >a tasa de descuento se dene como la ra&8n del descuento dado en la unidad de tiempo #en este caso un a?o$ al capital sobre el cual está dado el descuento. descuento. >a tasa de descuento descuento anual anual se e(presa e(presa como un porcenta"e.
1
El descuento simple D #conocido también como descuento bancario$ sobre una cantidad S por a?o a la tasa de descuento d, está dado por
D3S d t @ el valor de S está dado por 1 3 S;D 3 S ; S d t
3 S#);d t$
E"emplo 6. Aallar el descuento simple sobre una deuda de )-. con vencimiento en / meses a una tasa de descuento de *+. 01uál es el valor presente de la deuda2 Benemos !ue: S 3 )-.4 d 3 .* 4 t 3 /5)6 3 .7D 3 S d t 3 )-.#.* .7-$ 3 *.7- 3 descuento simple 1 3 S C D 3 )-. C *.7- 3 )<=.6- 3 valor presente 1 3 S#);d t$ 3 )-.#);.* .7-$ 3 )<=.6- 3alor presente 1omparando los e"emplos ) y 6, vemos !ue cuando el descuento está involucrado, el uso de la tasa de descuento en lugar de la tasa de interés, simplica los cálculos. Por esta ra&8n, el descuento racional rara ve& se utili&a. 'l descuento bancario se le conoce recuentemente como interés por adelantado. Práctica )$ na Fipoteca tiene un valor de ).6. al vencimiento. Determinar su valor - meses antes del vencimiento, suponiendo un rendimiento de <.-+ de interés simple. 01uál es el descuento racional2 S 3 ).6.4 i 3 .<-4 t 3 -5)63 .<)7 C =
1.200.000 1.200.000 S = = =¢ 1.177.625 .100 es el valor presente 1 + i t 1 +( 0,0450,417 ) 1,019
Dr 3 S;1 3 )6. ; ).)77.*6-.) 3 66.=7<.- es el descuento racional 6$ Aallar el valor actual de una serie de bonos !ue totali&an ).-. y cuyo vencimiento es de dentro de ) mes, suponiendo una tasa de interés de *+. 01uál es el descuento racional2 S 3 ).-.4 i 3 .*4 t 3 )5)63 .= C =
1.500.000 1.500.000 S = = =¢ 1.492.537 .30 es el valor presente 1 + i t 1 +( 0,06 0,083 ) 1,005
2
Dr 3 S;1 racional
3 )-.;).
3 7.<*6.7
es el descuento
=$ Aallar el valor al = de abril de un pagaré, sin intereses, de ).-. pagaderos el )- de "unio, a una tasa de interés simple de -+. 01uál es el descuento racional2 S 3 ).-.4 i 3 .-4 t 3 <-5=*3 .)6C =
1.500.000 1.500.000 S = = =¢ 1.490 .683.20 esel valor presente 1 + i t 1 +( 0,050,125 ) 1,00625
Dr 3 S;1 racional.
3 ).-.;).
3 /.=)*.
es el descuento
<$ Aallar el valor actual, al -+ de descuento simple de a$ ). con vencimiento en un a?o. S 3 ).4 d3 .-4 t3 ) D3 13
S d t 3 ). .- ) 3-. S;D3).;-.3/-.
b$ )6. con vencimiento en H a?o. S 3 )6.4 d3 .-4 t3 H D3 13
S d t 3 )6. .- )56 3=. S;D3 )6.;=. 3 ))7.
c$ . con vencimiento en tres meses. S 3 .4 d3 .-4 t3 =5)6 3.6D3 13
S d t 3 . .- .6- 3). S;D 3 .;). 3 7/.
-$ n banco carga *+ de intereses por adelantado #*+ de descuento simple$. Si I rma un documento por 6.. a - meses. 0Jué cantidad recibirá del banco2 S 3 6..4 d3 .*4 t3 -5)6 3.<)7 1 3 S#);d t$ 3 6..#);.* .<)7$ 3 6..#./7-$ 3 )./-. *$ 1uál será el valor presente y el descuento de un pagaré, cuyo valor al término de su pla&o es de )-., si es descontado tres meses antes de su vencimiento a una tasa de interés “i” del *+ anual. Datos: 1324 D324 S3 )-.4 t 3 =5)63,6-4 i3 *+
3
.*
C =
15.000 15.000 S = = =¢ 14.778 .32 es el valor presente 1 + i t 1 +( 0,06 0,25) 1,015
D3 S ; 1 D3 )-.;)<.77,=6 D3 66),*7 7$ 1alcular el descuento por anticipar un capital de -. . por < meses a un tipo de descuento del )6+4 a $ aplicando el descuento racional, b$ aplicando el descuento comercial. S 3 -.4 i 3 .)64 t 3 <5)63 .===== C =
500.000 500.000 S = = =¢ 480.769.23 esel valor presente 1 + i t 1 +( 0,120,333 ) 1,039999
Dr 3 S;1 racional
3
-. ; <.7*/.6=
S 3 -. d 3 .)6 t 3 <5)6 3 .=== D 3 S d t 3 comercial
3 )/.6=.77 es el descuento
-.#.)6 .=====$ 3 6.
3 descuento
))$ n inversionista tiene un pagaré con valor de /. y lo descuenta, cuando altan / dKas para su vencimiento, en un banco !ue carga una tasa de descuento del =+. 01uál es la tasa de rendimiento !ue e(ige el banco2 01uánto paga el banc o por el documento2 S3 /.4 t3 / dKas4 D 3 =+ 3 .= anual4 i 3 24 1 32 Soluci8n: i=
d 1−it
=
0.30
1 −(0,30 90 / 360)
=
0.30 0,925
=0,3243 x 100 =32.43
D3S d t D 3/. .= /5=* D 3 *.7- 1 3 L;D 3 /. ; *.7-
1 3 =.6-
E!uivalencia entre las tasas de interés (descuento racional) " las tasas (descuento bancario) a. Dada una tasa de descuento, denir la tasa de interés
e!uivalente.
4
Un banco privado acaba de conceder un crédito al negocio de su familia. Su papá firmó una letra sin intereses a 6 meses por ₡ 575.000 que el banco descontó al 27. !"uánto recibió su papá# !"uál es el costo real del dinero obtenido $tasa de interés%#
Soluci8n S 3 -7-.4 t 3 * meses *5)64 d 3 67+ 1 3 S #);dt$ 3-7-. #);,67*5)6$ 1 3
,67
M3S;1 3 -7-. ;
M3 1it
i 3
I CT 3
77.625 497.375∗6 / 12
=0.3121
=),6)+
Entonces es lo mismo !ue le cobren a su papá una tasa de interés del =),6)+ o !ue le apli!uen a una tasa de descuento del 67+. b. Dada un a tasa de interés, denir la tasa de descuento e!uivalente.
n banco FabKa prestado a su amilia ₡ &.500.000 a ' meses al (&)5. sted !ue es una persona intelectualmente preocupada, !uiere saber a !ué tasa de descuento e!uivale para eecto de compararla con otras opciones en el mercado nanciero !ue usan ese método para conceder préstamos. Soluci8n 1 3 ).-.4 t 3 / meses /5)64i 3 =).-+ ,=)- S 3 1 #)9it$ 3).-. #);,=)-/5)6$ 1 3 ).-<.=713SCD D 3 S C 1 3 ).-<.=7- C ).-. 3 =-<.=7-
D 3 Sdt
d3
D =¿ S t
354 . 375 1854 . 375∗9 / 12
=0 , 2548
6-.<+
Entonces, es lo mismo !ue cobren a su amilia una tasa de interés del =),-+ o !ue le carguen una tasa de descuento del 6-,<+. Prueba3 1 3 S#);dt$ 3 ).-<.=7- #);,6-</5)6$ 3 )-.
Práctica ). Pedro Pére& necesita ₡ 500.000 para pagar una deuda !ue tiene. El Nanco 1rédito 'grKcola de 1artago, !ue cobra una tasa de descuento del 6/+, le presta el dinero a / dKas pla&o. 5
a$ 0Por cuánto tendrá será el monto !ue el Nanco debe Facer el documento para !ue Pedro Pére& reciba la suma !ue necesita2 b$ 01uál es el costo real de este crédito para el Se?or Pére&2 a$ Deberá Facerse por un monto mayor, ya !ue el valor presente 1 3 -. 1 3 S#);dt$ -. 3 S #);,6/ /5=*$ S 3 -.5./67S 3 -=/.=.-* b$ El costo eectivo será la tasa de interés. I 39.083 .56 Por tanto, de M 3 1it i 3 CT 3 500.000 ∗90 / 360 = 0.3127 =),67+ 6. Sabiendo !ue el banco carga 66+ de descuento, determine cuánto recibirá el se?or Oicardo si suscribe un documento por ₡ &50.000 a 5 meses * qué tasa de interés simple. Se supone un descuento bancario, segn 8rmula: 1 3 S #);dt$ a. 1 3 S#);dt$ b. M 3 1it
)-. #);,66 -5)6$ )=*.6- I 13 . 750 i 3 CT 3 136 . 250∗5 / 12 =0 . 2422 6<,66+
=. n inversionista desea ganar el )6+ de interés simple sobre su capital de Q ). 0Jué tasa de descuento bancario debe utili&ar, si el periodo de descuento es de: a$ = dKas2 b$ 6 meses2 c$ / dKas2 d$ )6 dKas2 a$ M 3 1it 3 ).)6=5=* 3 ) 3 S 3 )) 1 D =¿ =0 , 1188 D 3 Sdt d3 S t 101∗30 / 360 b$ M 3 1it 3 ).)665)6 3 6 3 S 3 )6 D 2 =¿ =0 , 1176 D 3 Sdt d3 S t 102∗2 / 12 c$ M 3 1it 3 ).)6/5=* 3 = 3 S 3 )= D 3 =¿ = 0 , 1165 D 3 Sdt d3 103∗90 / 360 S t d$ M 3 1it 3 ).)6)65=* 3 < 3 S 3 )<
6
)).+
)).7*+
)).*-+
D
3 Sdt
d3
D =¿ S t
4 104∗120 / 360
=0 , 1154
)).-<+
<. sted tiene una letra !ue ue rmada el 6< de "unio del 6)6 por un monto de ₡ &.000.000 la cual tiene un vencimiento dentro de &+0 d,as * devenga intereses del 2+. -l 25 de octubre usted decide descontar la letra * lo ace en el /anco acional que le carga una tasa de descuento del (0. 1ie d,as después) el /anco acional la redescuenta en /3"S4 el cual aplica una tasa del 27. a$ 01uánto le pag8 el Nanco %acional a usted por la letra2 b$ 01uánto ue el rendimiento obtenido por NM1S' en esta transacci8n #en colones en tasas de interés$ c$ Si NM1S' tiene un costo de ad!uirir el dinero de un 6,-+, y usted es el Gerente Rinanciero del banco, 0descontarKa la letra2
S 3 1 #)9it$ 3 )..#)9,6)5=*$ 3 ).)<. El Nanco %acional descuenta lo !ue será el valor al vencimiento del pagaré, es decir principal más intereses, de la misma manera lo Fará NM1S'. a. 1 3 S#);dt$ ).)<. #);,= -75=*$ )-.- # se Fi&o por medio del descuento comercial #dKas e(actos5=*$$ b. NM1S' paga por ese pagaré: 1 3 S #);dt$ 3 ).)<. #);,67 <75=*$ 3 )//.)- #se Fi&o por medio del descuento NM1S' “prest8” ).//.)- el < de noviembre y recibirá ).)<. el 6) de diciembre. Ganancia total: ).)<. C ).//.)- 3 <.)M 3 1it
I i 3 CT 3
40.185 1.099815 ∗47 / 360
7
=0.2799
67,//+
