Unidad 4
Capitalización y descuento compuesto 4.1. Capitalización compuesta 4.1.1. Magnitudes derivadas 4.2. Comparación entre la capitalización simple y compuesta 4.3. Equivalencia de tantos en capitalización compuesta 4.4. Capitalización compuesta en tiempo fraccionario 4.4.1. Convenio exponencial 4.4.2. Convenio lineal 4.5. Capitalización continua 4.6. Descuento compuesto 4.6.1. Descuento racional compuesto 4.6.2. Descuento comercial compuesto 4.6.3. Tanto de interés equivalente a uno de descuento Ejercicios propuestos
30
Capitalización y descuento compuesto
4.1.
Capitalización compuesta
Se denomina así, a la operación financiera según la cual los intereses producidos por un capital en cada periodo se agregan al capital para calcular los intereses del periodo siguiente y así sucesivamente hasta el momento de cierre de la operación financiera. La capitalización compuesta o interés compuesto, es una operación financiera generalmente a largo plazo (con una duración superior al año) en la que los intereses se acumulan al capital al final de cada periodo. Cn I
i
C0 0
n
Figura 4.1: Capitalización compuesta Las variables a considerar, son: C0 I Cn i n
= = = = =
valor actual o capital inicial intereses valor final o montante de la operación tasa de interés número de períodos
En cualquier caso, n e i, han de estar referidos a la misma unidad de tiempo. En la capitalización compuesta, el deudor, al vencimiento ha de pagar el capital más los intereses. El valor final Cn en capitalización compuesta, transcurridos n períodos y al tanto i, lo podemos determinar para un capital C0 , como C1 = C0 + C0 i C2 = C1 + C1 i = C0 (1 + i) (1 + i) = C0 (1 + i)2 C3 = C2 + C2 i = C0 (1 + i)2 (1 + i) = C0 (1 + i)3 .. .
Cn = Cn−1 + Cn−1 i = C0 (1 + i)n−1 (1 + i) = C0 (1 + i)n Cn = C0 (1 + i)n
(4.1)
expresión que relaciona el montante o capital final, transcurridos n períodos de capitalización, con el capital inicial prestado. A la expresión (1 + i)n la denominaremos factor de capitalización compuesta, ya que al aplicarla sobre el valor actual nos permite obtener el valor final o montante equivalente. Independientemente de la ley financiera utilizada, los intereses generados, serán la diferencia entre el capital final e inicial, y por tanto: Cn = C0 + I
I = Cn − C0 I = C0 [(1 + i)n − 1]
I = C0 (1 + i)n − C0 (4.2)
La capitalización compuesta consiste en un proceso de acumulación de los intereses al capital para producir conjuntamente nuevos intereses, periodo tras periodo, hasta llegar
4.1 Capitalización compuesta
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Cn
I1
C0
0
I2
In
I2
I1
1
2
n
Figura 4.2: Acumulación de intereses en la capitalización compuesta al final de la operación financiera. Gráficamente, la acumulación de intereses, se vería tal como se muestra en la figura 4.2. Ejemplo 4.1 Determinar el montante de un capital de 1 000,00 e, invertido al 6 % de interés compuesto anual durante 10 años. Cn = C0 (1 + i)n
4.1.1.
Cn = 1 000 (1 + 0, 06)10 = 1 790, 85
Magnitudes derivadas
Si despejamos C0 en (4.1), resulta: C0 =
Cn (1 + i)n
C0 = Cn (1 + i)−n
o
(4.3)
La expresión (1 + i)−n recibe el nombre de factor de actualización compuesta, ya que al aplicarla sobre el valor final obtenemos el capital inicial o valor actual. Para calcular n, tomando logaritmos y partiendo de Cn = C0 (1 + i)n , log Cn = log C0 + n log(1 + i) n=
log Cn − log C0 log(1 + i)
(4.4)
Partiendo de la propia ley (4.1), despejaremos i, n
Cn = C0 (1 + i)
Cn = (1 + i)n C0 i=
Cn C0
n1
Cn C0
n1
−1
= (1 + i) (4.5)
Ejemplo 4.2 Determinar el capital a invertir en capitalización compuesta al 5 % de interés para que en 4 años se convierta en 6 000,00 e C0 =
Cn (1 + i)n
C0 =
6 000 = 4 936, 21 (1 + 0, 05)4
32
Capitalización y descuento compuesto
Ejemplo 4.3 Determinar el tipo de interés i al que deben invertirse 1 000,00 e para obtener en 8 años un montante de 1 368,57 e i=
Cn C0
1 n
−1
i=
1 368, 57 1 000
1 8
− 1 = 0, 04 = 4 %
Ejemplo 4.4 Determinar el tiempo necesario para que un capital de 2 000,00 e colocado a interés compuesto del 5 % anual, se convierta en 5 306,60 e. n=
4.2.
log Cn − log C0 log(1 + i)
n=
log 5 306, 60 − log 2 000 = 20 años log(1 + 0, 05)
Comparación entre la capitalización simple y compuesta
Los montantes obtenidos en la capitalización simple y compuesta, son: Cn = C0 (1 + i n) Cn = C0 (1 + i)n
Capitalización simple Capitalización compuesta
Ambas expresiones se diferencian entre sí por los factores de capitalización: (1 + i)n en la capitalización compuesta y (1 + i n) en la capitalización simple. Si representamos gráficamente las funciones, obtendríamos la figura-4.3. Cn en L2 Cn en L1
C0 0
1
Figura 4.3: Comparación entre la capitalización simple y compuesta De la comparación podemos decir que el montante de capitalización es mayor en la capitalización simple para periodos inferiores al año, igual para un año y menor para los periodos superiores al año. Podemos concluir diciendo que la capitalización simple puede considerarse como una simplificación práctica de la compuesta, cuando el número de períodos varía entre 0 y 1, es decir, cuando se opera a corto plazo.
4.3.
Equivalencia de tantos en capitalización compuesta
En la capitalización compuesta no existe proporcionalidad entre los tantos de interés referidos a distintos períodos de tiempo, al contrario que en la simple. En la capitalización simple, el capital final que se obtiene al cabo de n años al tipo de interés i, es el mismo que el obtenido al cabo de n · m períodos al tipo de interés i(m) , siendo i(m) la m-ésima parte de i, y m el número de subperíodos en los que dividimos al año.
4.3 Equivalencia de tantos en capitalización compuesta
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Es decir, se cumplirá: Cn = C0 (1 + i n) Cnm = C0 (1 + i(m) n m)
siendo i(m) =
i , tendremos que Cn = Cnm m
En la capitalización compuesta, no existe esta proporcionalidad, ya que: Cn = C0 (1 + i)n Cnm = C0 (1 + i(m) )nm
siendo i(m) =
i , se cumplirá que Cn = Cnm m
Por tanto, en capitalización compuesta es importante conocer la frecuencia de capitalización, que designaremos por m, cuando ésta es inferior al año y que ya definimos (veáse la página 9) como el número de veces que los intereses se incorporan al capital dentro del año. Tendremos que determinar, en el régimen de capitalización compuesta de tanto efectivo anual i, el tanto de frecuencia i(m) que debe regir para otra capitalización compuesta de periodo m-ésimo, de forma que ambas capitalizaciones sean equivalentes. El montante al cabo de n años en capitalización compuesta al tanto efectivo i, es Cn = C0 (1 + i)n En capitalización compuesta al tanto de frecuencia i(m) , el montante al cabo de n años, es decir m · n, m-ésimos de año, es Cn = C0 (1 + i(m) )nm La equivalencia implica la igualdad de montantes, por lo que C0 (1 + i)n = C0 (1 + i(m) )nm
(1 + i)n = (1 + i(m) )nm
extrayendo la raíz n en ambos miembros, (1 + i(m) )m = 1 + i
(4.6)
ecuación de los tantos equivalentes o equivalencia de tantos. Podemos concluir que dos tantos son equivalentes cuando aplicado el proceso de capitalización compuesta al mismo capital inicial y durante el mismo tiempo producen capitales finales iguales. Si en (4.6), extraemos la raíz m-ésima, tendremos: 1
1
1 + i(m) = (1 + i) m de donde i(m) = (1 + i) m − 1 expresión que nos permite conocer el tanto de frecuencia en función del tanto efectivo anual. Análogamente, i = (1 + i(m) )m − 1 La TAE (Tasa Anual Equivalente), regulada por el Banco de España en la Circular 8/90, de 7 de septiembre, intenta ser una unidad homogénea de medida. Esta tasa incluye el efecto de determinados gastos, como las comisiones que afectan el coste o rendimiento final de la operación. Si no existen gastos en una operación financiera, la TAE coincidirá con el interés efectivo anual i. Por otra parte, se define el tanto nominal J (m) , como un tanto teórico que se obtiene multiplicando la frecuencia de capitalización m por el tanto de frecuencia o equivalente. J (m) = m i(m) Este tanto recibe también el nombre de TIN (Tipo de Interés Nominal anual).
(4.7)
34
Capitalización y descuento compuesto
Ejemplo 4.5 Determinar el montante de un capital de 7 500,00 e invertido al 6 % anual capitalizable por trimestres durante 10 años. Utilizando el tanto de frecuencia equivalente, i(4) =
0, 06 J (4) = = 0, 015 4 4
Cnm = C0 (1 + i(m) )nm = 7 500 (1 + 0, 015)10·4 = 13 605, 14
Calculando previamente el tanto efectivo anual, i = (1 + i(m) )m − 1 = (1 + 0, 015)4 − 1 = 0, 06136 Cn = C0 (1 + i)n = 7 500 (1 + 0, 06136)10 = 13 605, 14
4.4.
Capitalización compuesta en tiempo fraccionario
La capitalización compuesta fue establecida para valores de n expresados en un número entero de años. Si suponemos que dado el tanto anual i, el tiempo z, no es entero, sino fraccionario, se podrá expresar de la forma, z =n+θ en la que n es un número entero y θ decimal. Para la obtención del montante, puede utilizarse uno de los convenios siguientes:
4.4.1.
Convenio exponencial
Consiste en tomar como valor del montante al cabo del tiempo n, cualquiera que sea éste, la expresión exponencial: Cn = C0 (1 + i)n+θ
4.4.2.
Convenio lineal
Consiste en capitalizar a interés compuesto por el número entero de años que contenga el tiempo y a interés simple por la fracción de año restante. El montante, según este convenio, será: Cn = C0 (1 + i)n (1 + θ i) estando lógicamente θ e i referidos a la misma unidad de tiempo. Ejemplo 4.6 Calcular el montante de un capital de 10 000,00 e al 4 % anual en 10 años y 3 meses. Aplicando el convenio exponencial, 3
Cn = C0 (1 + i)n+θ = 10 000 (1 + 0, 04)10+ 12 = 14 948, 30 Con el convenio lineal, n
10
Cn = C0 (1 + i) (1 + θ i) = 10 000 (1 + 0, 04)
3 0, 04 = 14 950, 47 1+ 12
4.5 Capitalización continua
4.5.
35
Capitalización continua
La capitalización continua, constituye un caso particular de la capitalización compuesta. Cuando el período de capitalización tiende a cero, los intereses se capitalizan instantáneamente y nos encontramos ante la capitalización continua. Hemos visto que el montante, en capitalización compuesta, al tanto de frecuencia i(m) , al cabo de n años, venía dado por: (m) nm
Cn = C0 (1 + i
)
J (m) 1+ m
= C0
nm
Si m → ∞, J (m) = J(∞) = δ, este último será el tanto nominal anual en el caso de capitalización continua, y el montante vendrá dado por:
Cn = l´ım C0 1 + x→∞
δ m
nm
(4.8)
Si e, base de los logaritmos neperianos, viene dado por: e = l´ım
x→∞
1+
1 x
x
= 2, 7182818 . . .
y transformando (4.8) con m = x δ,
Cn = l´ım C0 1 + x→∞
1 x
nxδ
= C0 l´ım
x→∞
1+
1 x
xnδ
= C0 enδ
por lo que el montante en el caso de la capitalización compuesta, viene dado por la expresión (4.9) Cn = C0 enδ en la que δ, tanto nominal en capitalización continua, recibe también el nombre de fuerza de interés.
4.6.
Descuento compuesto
Se denomina así la operación financiera que tiene por objeto la sustitución de un capital futuro por otro con vencimiento presente, mediante la aplicación de una ley financiera de descuento compuesto. Es una operación inversa a la de capitalización compuesta. Los elementos a tener en cuenta son: D Cn C0
= = =
descuento o rebaja que sufre una cantidad pagada antes de su vencimiento nominal o cantidad que se debe pagar efectivo o cantidad realmente pagada
Por definición el descuento experimentado por el nominal Cn , como consecuencia de anticipación desde su vencimiento en el momento n, al momento presente 0, será: D = Cn − C0
36
4.6.1.
Capitalización y descuento compuesto
Descuento racional compuesto
Se define como el interés del efectivo, durante el tiempo que falta para su vencimiento. Al descuento racional compuesto lo designaremos por Drc y se calcula sobre el valor del efectivo. De la capitalización compuesta (4.1), Cn = C0 (1 + i)n obtenemos el valor actual, C0 =
Cn = Cn (1 + i)−n (1 + i)n
por lo que el descuento racional compuesto, será: Drc = Cn − C0 = Cn − Cn (1 + i)−n = Cn [1 − (1 + i)−n ] Drc = Cn [1 − (1 + i)−n ]
4.6.2.
(4.10)
Descuento comercial compuesto
Se define como el interés del nominal durante el tiempo que falta para su vencimiento. Al descuento comercial compuesto, lo designamos por Dcc y se calcula sobre el valor nominal. Cn−1 = Cn − d Cn = Cn (1 − d) Cn−2 = Cn−1 − d Cn−1 = Cn−1 (1 − d) = Cn (1 − d) (1 − d) = Cn (1 − d)2 Cn−3 = Cn−2 − d Cn−2 = Cn−2 (1 − d) = Cn (1 − d)2 (1 − d) = Cn (1 − d)3 .. . C0 = C1 − d C1 = C1 (1 − d) = Cn (1 − d)n−1 (1 − d) = Cn (1 − d)n C0 = Cn (1 − d)n
(4.11)
Y el valor del descuento comercial compuesto, será: Dcc = Cn − C0 = Cn − Cn (1 − d)n = Cn [1 − (1 − d)n ] Dcc = Cn [1 − (1 − d)n ]
4.6.3.
(4.12)
Tanto de interés equivalente a uno de descuento
Igual que veíamos en la capitalización simple, podemos encontrar un tanto de descuento equivalente a uno de interés. Para ello, igualamos Drc = Dcc , Cn [1 − (1 + i)−n ] = Cn [1 − (1 − d)n ] (1 + i)−n = (1 − d)n
(1 + i)−1 = 1 − d d=
i 1+i
i=
d 1−d
1−d=
1 1+i (4.13)
Ejercicios propuestos
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Ejemplo 4.7 Tenemos que pagar una deuda de 24 000,00 e dentro de 3 años. Si se adelanta su pago al momento presente, qué cantidad tendremos que entregar si se efectúa un descuento compuesto del 5 % Con el descuento racional, Drc = Cn [1 − (1 + i)−n ]
Drc = 24 000 [1 − (1, 05)−3 ] = 3 267, 90
Con el descuento comercial, Dcc = Cn [1 − (1 − d)n ]
Dcc = 24 000 [1 − (1 − 0, 05)3 ] = 3 423
Ejercicios propuestos Ejercicio 4.1 Una persona impone 100 000 e durante 6 años al 5 % de interés compuesto. Al cabo de 3 años, se eleva el tipo de interés en las imposiciones a plazo fijo, al 6 %. Se desea saber al término de los 6 años, cuál ha sido el capital retirado y cuál hubiera sido de no haberse producido la modificación indicada. Solución: a) = 137 874, 99
b) = 134 009, 56
Ejercicio 4.2 Sabiendo que un capital de cuantía C se ha impuesto en un banco que capitaliza semestralmente, al cabo de 20 años se ha constituido en 3C, obtener razonadamente las expresiones de: 1. El tanto efectivo anual, 2. El tanto nominal anual, 3. El tanto efectivo semestral. Solución: 1) i = 5, 65 %
2) J = 5, 57 %
3) i(2) = 2, 79 %
Ejercicio 4.3 Calcular: 1. El tanto efectivo anual correspondiente al 6 % nominal cuando se capitaliza por meses. 2. El nominal anual correspondiente al 6 % efectivo cuando se capitaliza por trimestres. Solución: 1) i = 6, 17 %
2) j (4) = 5, 87 %
Ejercicio 4.4 Imponemos durante 2 años y 8 meses 10 000 e, por las que nos pagan el 10 % de interés compuesto anual ¿Qué cantidad nos dará el banco al finalizar el período? 1. Al aplicar el convenio lineal, 2. Con el convenio exponencial. Solución: 1) Cn = 12 906, 67
2) Cn = 12 893, 79
Ejercicio 4.5 Una deuda de 10 000 e debe ser devuelta al cabo de 39 meses. Si el tanto de capitalización es del 5 % anual, determinar el importe a devolver 1. Al aplicar el convenio lineal,
38
Capitalización y descuento compuesto
2. Con el convenio exponencial. Solución: 1) Cn = 11 720, 95
2) Cn = 11 718, 32
Ejercicio 4.6 ¿Cuánto tiempo es preciso colocar un capital de 35 000 e al 5 % para conseguir en régimen de capitalización compuesta un montante de 45 000 e? Solución: n = 5 años 1 mes 24 días Ejercicio 4.7 Pactamos con un acreedor que abonándole hoy 50 000 e a cuenta de 200 000 e que habíamos de pagarle dentro de 2 años, podremos hacerle efectivas 160 000 e dentro de 4 años. ¿A qué tipo de interés compuesto se evaluó la operación? Solución: i = 5, 17 % Ejercicio 4.8 Si el tanto a que se ha colocado un capital a interés compuesto durante 15 años hubiera sido el triple del que fue, se habría obtenido un capital del triple del que se obtuvo. Hallar el tanto. Solución: i = 4 % Ejercicio 4.9 ¿En qué tiempo el monto de 25 000 e serán 35 000 e al 6 % convertible trimestralmente? Solución: n = 5 años 7 meses 23 días Ejercicio 4.10 ¿Qué capital colocado al 5 % durante 10 años a interés compuesto se convierte en 97 734 e? ¿Cuánto valdrá este capital al final del año tercero? Solución: C0 = 60 000, 20
Cn = 69 457, 73
Ejercicio 4.11 Un capital ha sido invertido al 12,36 % efectivo anual compuesto en capitalización semestral durante 20 años. El interés producido en el último semestre fue de 291 105,3. ¿Cuál fue el capital invertido y cuál el montante obtenido? Solución: C0 = 500 000
Cn = 5 142 860, 30
Ejercicio 4.12 Un capital de 50 000 e ha sido colocado en régimen de capitalización compuesta alcanzando un montante de 150 000 e. Otro capital colocado al mismo tanto y régimen ha alcanzado el mismo montante en la mitad de tiempo. ¿Cuál es la cuantía de dicho capital? Solución: C0 = 86 602, 25 Ejercicio 4.13 Se asocian tres inversores e imponen un capital de 500 000 e en la explotación de un negocio. Al cabo de seis años lo liquidan y por capital e intereses, se reparten: 329 245,89 e el socio A, 548 743,32 e el socio B y 219 497,26 e el socio tercero C. Determinar la imposición de cada uno de los socios y el tanto de interés de la inversión. Solución: C0A = 150 000
C0B = 250 000
C0C = 100 000
i = 14 %
Ejercicio 4.14 Un inversor tiene la opción de colocar dos capitales de Cuantías C1 y C2 a los tipos de interés anuales acumulativos del 8 % y 9 %. Si coloca C1 al 8 % y C2 al 9 % retiraría al cabo de 6 años 895 337,30 e y si coloca C1 al 9 % y C2 al 8 % obtendría 899 848,60 e. ¿Qué cuantías son C1 y C2 ? Solución: C01 = 300 000
C02 = 250 000
Ejercicios propuestos
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Ejercicio 4.15 Se han prestado 150 000 e para que sean devueltos después de 6 años al 20 % de interés bienal (cada dos años) acumulativo. 1. ¿Qué cantidad se tendrá que devolver? 2. ¿Y si se acuerda prorrogar durante un año más la devolución de la deuda capitalizando dicho año al tanto de interés anual equivalente al bienal dado? Solución: 1) Cn = 259 200
2) Cn = 283 824
Ejercicio 4.16 Conocido el tanto de interés semestral del 5 %, determinar el efectivo anual, el nominal convertible de frecuencia 2 y el efectivo trimestral. Solución: i = 10, 25 %
J (2) = 10 %
i(4) = 2, 46 %
Ejercicio 4.17 Una deuda de 22 500 e debe ser devuelta al cabo de 27 meses. Si el tanto efectivo anual de capitalización es el 9 % determinar el importe a devolver. Solución: Cn = 27 314, 43 Ejercicio 4.18 Si se desea cancelar una deuda de 125 000 e que vence dentro de tres años, calcular el capital a entregar en los supuestos: 1. Tanto de interés del 6 % semestral, 2. Tanto de descuento del 10 % anual efectivo, 3. Tanto de descuento del 10 % anual con frecuencia 2 Solución: 1) Cn = 177 314, 89
2) Cn = 171 467, 76
3) Cn = 170 046, 77
Ejercicio 4.19 500 000 e colocados al 10 % de interés compuesto se convierten en n años en 885 780,50 e. ¿A qué tanto de interés simple tendrían que invertirse para que en el mismo tiempo generasen el mismo montante? ¿Cuánto tiempo tendrían que imponerse para el tanto del 10 % en interés simple? Solución: i = 12, 85 %
n = 7 años 8 meses 17 días
