Descuento Racional PROFESOR: Jorge La chira El Descuento Racional “DR”, o matemático, es el que debería aplicarse en la práctica, ya que calcula los intereses sobre la suma de dinero efectivamente recibida, llamada valor actual “v”.El
Alumnos de cesca 25/01/2011
El
DESCUENTO
RACIONAL
1. CONCEPTO
Se denomina así a la operación financiera que tiene por objeto la sustit ución de un capital futuro por otro equivalente con vencimiento presente, mediante la aplicación de la ley financiera de descuento compuesto. Es una operación inversa a la de capitalización. DESCUENTO RACIONAL
Para anticipar el vencimiento del capital futuro se considera generador de los intereses de un período el capital al inicio de dicho período, utilizando el tipo de interés vigente en dicho período. El proceso a seguir será el siguiente: Gráficamente:
Descuento racional. La ley financiera de descuento racional viene definida de la siguiente manera: D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t) " D " son los intereses que hay que pagar " Co " es el capital inicial (en el momento t=0) " d " es la tasa de descuento que se aplica " t " es el tiempo que dura la inversión Una vez que sabemos calcular los intereses de descuento, podemos ver como se determina el capital final: Cf = Co - D Cf = Co - (( Co * d * t ) / (1 + d * t)) (sustituyendo "D") (sacando factor Cf = Co * ( 1 - ( d * t ) / (1 + d * t)) común "Co") (operando en el Cf = Co * ( ( 1 + d * t - d * t ) / (1 + d * t)) paréntesis) luego,Cf = Co / (1 + d * t)
" Cf " es el capital final
Veamos un ejemplo: Calcular los intereses de descuento por anticipar un capital de 1.200.000 ptas., durante 8 meses, a un tipo de interés del 14%. Aplicamos la fórmula D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t) luego, D = ( 1.200.000 * 0,14 * 0,666 ) / (1 + 0,14 * 0,666) (0,666 es el equivalente anual de 8 meses) luego, D = 102.345 ptas. Podemos ahora calcular el capital final. Lo vamos a calcular de dos maneras: a) Aplicando la fórmula Cf = Co - D (capital final es igual al capital inicial menos los intereses de descuento): luego, Cf = 1.200.000 - 102.345 luego, Cf = 1.097.655 ptas. b) Aplicando la fórmula Cf = Co / (1 + d * t) luego, Cf = 1.200.000 / (1 + 0,14 * 0,666)
luego, Cf = 1.200.000 / 1,09324 luego, Cf = 1.097.655 ptas. La ley de descuento racional es el equivalente, en sentido inverso, de la ley de capitalización simple, y, al igual que ésta, sólo se suele utilizar en operaciones a menos de 1 año. Esta relación de equivalencia no se cumple con la ley de descuento comercial. Con el término equivalente nos referimos al hecho de que descontando un capital a un tipo de interés, y capitalizando el capital resultante con el mismo tipo de interés, volvemos al capital de partida. Veamos un ejemplo: Descontar un capital de 1.000.000 ptas., por un plazo de 6 meses al 10%, y el importe resultante capitalizarlo (capitalización simple) por el mismo plazo y con el mismo tipo de interés. a) Aplicando el descuento racional; b) Aplicando el descuento comercial.
a) Aplicando el descuento racional Primero descuento aplicando la fórmula Cf = Co / (1 + d * t) luego, Cf = 1.000.000 / (1 + 0,1 * 0,5) luego, Cf = 952.381 ptas. Una vez obtenido el capital descontado, lo capitalizo aplicando la fórmula de capitalización simple Cf = Co * (1 + (i * t)) (El capital descontado, 952.381 ptas, pasa a ser ahora "Co") luego, Cf = 952.381 * (1 + (0,1 * 0,5)) luego, Cf = 1.000.000 ptas. Vemos que se ha cumplido la ley de equivalencia, y que hemos vuelto al capital de partida b) Aplicando el descuento comercial Primero descuento aplicando la fórmula Cf = Co * ( 1 - ( d * t )) luego, Cf = 1.000.000 * (1 - 0,1 * 0,5) luego, Cf = 950.000 ptas. Ahora capitalizo Cf = Co * (1 + (i * t)) luego, Cf = 950.000 * (1 + (0,1 * 0,5)) luego, Cf = 997.500 ptas.
No se cumple, por tanto, la relación de equivalencia Como se ha podido ver en el ejemplo, el descuento que se calcula aplicando la ley de descuento racional es menor que el que se calcula aplicando la ley de descuento comercial
Lección 10: DESCUENTO RACIONAL: EJERCICIOS
Ejercicio 1: Calcular el descuento por anticipar un capital de 500.000 ptas. por 4 meses a un tipo de descuento del 12%; a) aplicando el descuento racional, b) aplicando el descuento comercial Ejercicio 2: Se ha descontado un capital de 1.000.000 ptas. por 3 meses, y los intereses de descuento han ascendido a 40.000 ptas. Calcular el tipo de interés aplicado (descuento racional). Ejercicio 3: Se descuentan 200.000 ptas. al 12% y los intereses de descuento ascienden a 15.000 ptas. Calcular el plazo del descuento (descuento racional). Ejercicio 4: Los intereses de descuento de anticipar un capital por 8 meses, al 10%, ascienden a 120.000. Calcular el importe del capital inicial (descuento racional). Ejercicio 5: Se descuentan 2.000.000 ptas. por un plazo de 4 meses, a un tipo del 10% (descuento racional). Calcular que tipo habría que aplicar si se utilizara el descuento comercial, para que el resultado fuera el mismo.
SOLUCIONES
Ejercicio 1: a) Aplicando el descuento racional: D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t) datos Co=500000 D=12% =0.12 t =4/12 =0.333
D = ( 500.000 * 0,12 * 0,333 ) / (1 + 0,12 * 0,333) , D = 19.212 ptas.
b) Aplicando el descuento comercial:D = Co * d * t D = 500.000 * 0,12 * 0,333 D = 19.980 ptas.
Ejercicio 2: La fórmula aplicada ha sido D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t) Datos D=40000 Co=1000000 t =3 meses =3/12=0.25 d =? 40.000 = (1.000.000*d *0,25 ) / (1 + 0,25) 40.000 = (250.000 * d) / (1 + d * 0,25) 40.000 + 10.000 * d = 250.000 * d d = 40.000 / 240.000 d = 0,1666.
Ejercicio 3: La fórmula aplicada ha sido D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t) Datos D =15000 Co =200000 d =12% =0.12 t =? 15.000 = (200.000 * 0,12 * t ) / (1 + 0,12 * t) 15.000 = (24.000 * t) / (1 + 0,12 * t) 15.000 + 1.800 * t = 24.000 * t t = 15.000 / 22.200 t = 0,67567 Por lo tanto, el plazo de descuento ha sido 0,67567 años, o lo que es lo mismo, 8,1 meses.
Ejercicio 4: La fórmula aplicada ha sido D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t) Datos D =120000 d =10% n =8meses =8/12 =0.666
120.000 = (Co * 0,10 * 0,666 ) / (1 + 0,10 * 0,666) 120.000 = (Co * 0,0666) / 1,06666 Co = 120.000 * 1,06666 / 0,0666 Co = 1.920.000 ptas.
Ejercicio 5: Primero vamos a calcular a cuánto ascienden los intereses de descuento aplicando la fórmula del descuento racional D = ( Co * d) / (1 + d * t) Datos Co =2000000 d =10% =0.1 n =4 meses =4/12 =0.333
D = ( 2.000.000 * 0,1 * 0,333 ) / (1 + 0,1 * 0,333) D = 64.516 ptas. Una vez calculado los intereses de descuento, tengo que ver qué tipo de interés tendría que aplicar en el descuento comercial para obtener el mismo resultado La fórmula del descuento comercial D = Co * d * t
64.516 = 2.000.000 * d * 0,333 d = 64.516 / 666.666 d = 0,096774
Por lo tanto, el tipo de interés que habría que aplicar en descuento comercial sería el del 9,6774%. Dado que, para un mismo tipo de interés, el importe de los intereses del descuento comercial es mayor que los del racional. Para obtener el mismo resultado, el tipo de interés del descuento comercial tendrá que ser menor.
EJERCICIOS DE DESCUENTO RACIONAL SIMPLE
1.Calcule el descuento racional de un pagaré de S/. 15 000 al día 21 de abril, cuya fecha de vencimiento es el 31 de mayo, la tasa de descuento es 24% anual. Se sabe que:
D= Importe del descuento (descuento que se da por cobrar el valor antes de la fecha de vencimiento. M = Importe del documento al vencimiento (valor del documento al vencimiento programado) C = Importe neto o descontado (valor del documento cobrado antes de la fecha de vencimiento) Formula de descuento simple
Sabiendo todo eso pasamos a desarrollar el ejercicio:
2.Dos letras de cambio S/. 8 000 y S/. 10 000 cada una, con vencimientos a 15 y 30 días, son descontadas a una tasa de interés simple del 18% y 20% anual respectivamente. Calcule el importe total del descuento simple racional. Desarrollando el ejercicio:
3. Faltando 45 días para su vencimiento, se descuenta una factura conformada cuyo importe es S/.27 744. Halle el importe del descuento racional simple si la tasa de interés es 22% anual. Desarrollando:
4.Sofía Astrid el 21 de abril, someten a descontar 3 letras de cambio cuyos importes son de S/.5 000 cada uno. Si vencen el 30/04, 31/05 y 30/06 respectivamente. ¿Cuánto dinero obtiene, si el Banco aplica una tasa de interés simple del 36%, anual?
Los que nos pide que hallemos es el importe neto o descontado; Es decir: C = Importe neto o descontado (valor del documento cobrado antes de la fecha de vencimiento) Entonces empezamos a desarrollar:
Sumando:
EJERCICIOS DE DESCUENTO RACIONAL SIMPLE
1.El descuento bancario simple de un título-valor, faltando 50 días para su vencimiento, ha sido de S/.500 a una tasa descuento anual del 18%, ¿cuál fue su valor nominal?
Lo que se solicita es hallar cual es el valor final, es decir el valor que se obtiene al cobrar el título valor a la fecha programada (fecha final).
ç
2)El descuento bancario simple de una letra que vence dentro de 75 días es de S/. 523 a una tasa descuento del 1.5% mensual Halle el valor nominal de la letra.
Al igual que la pregunta anterior, lo que nos piden es que hallemos el valor nominal de la letra de cambio, es decir sin afectación de ese descuento.
3)Una letra presentada al descuento sufrió una disminución de su valor nominal del 4,5% faltando 60 días para su vencimiento ¿Cuál fue la tasa anual de descuento bancario simple aplicada?
Lo que se nos pide en este ejercicio es simple pues si multiplicamos la tasa de descuento de dos meses por 6 , y porque por 6; es que un año tiene seis pares de dos meses, de ese modo hallamos la tasa de descuento bancario aplicada en un año, es decir:
Digamos que lo anterior realizado es la manea simple de resolver el ejercicios. Ahora lo desarrolleros aplicando las formulas que hemos aprendido:
4)¿Por cuántos días se ha efectuado el descuento bancario de una factura conformada de S/.35 000 por la cual se recibió S/. 32 500? La tasa mensual de descuento fue del 2%. Lo que se nos pide en este ejercicio es averiguar el tiempo en días, para ello es necesario despejar la formula general de descuento irracional simple:
Sabemos también que por formula general de descuento, que:
Entonces de este modo podemos hallar el descuento de esta operación, para de ese modo posteriormente hallar el tiempo en días solicitado en este ejercicio. D=M –C D=35000 – 32 500
D= 2 500
Sabiendo eso pasamos a desarrollar:
Podremos obtener lo que se no solicita aplicando la fórmula del descuento irracional simple:
Entonces lo que se tiene que hacer es pasarlo a días, quiere decir que el resultado en meses lo multiplicamos por 30 días ,que es lo que tiene cada mes.
