Capítulo 1 Lógica y Conjuntos Por lo tanto, la negación de la proposición podrá expresarse con cualquiera de las siguientes frases equivalentes: “El clima es propicio y la tierra tierra es fértil, pero la flor no crecerá” crecerá”.. “La tierra es fértil, fértil, la flor no crecerá y el clima es propicio” propicio”.. Aunque al lector le agrade una de ellas más que la otra, desde el punto de vista lógico, las dos representan la negación del enunciado original.
1.6 Razonamientos
Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: * Reconocer la estructura de un razonamiento. razonamiento. * Dado un razonamiento, establecer su validez empleando tablas de verdad. * Dado un razonamiento, establecer su validez empleando las Leyes del Álgebra de Proposiciones. P roposiciones.
Definición 1.15 (Razonamientos) Son proposiciones compuestas que pueden ser representadas por la conjunción de proposiciones denominadas premisas o hipótesis, la condicional como operador lógico principal; y, una proposición final denominada conclusión. Las premisas o hipótesis corresponden al antecedente de la implicación, mientras que la conclusión es su consecuente.
[H1 ∧ H2 ∧ H3 ... ∧ Hn]
→
C
Conjunción de hipótesis ANTECEDENTE
Condicional OPERADOR LÓGICO
Conclusión CONSECUENTE pág. 29
La lógica simbólica se ocupa de analizar la validez de los razonamientos; no nos puede decir si la información contenida en una hipótesis es verdadera o falsa. Los términos válido y no válido se refieren a la estructura del razonamiento, no a la veracidad o falsedad de las proposiciones. El punto importante a recordar es que la veracidad o falsedad de las premisas y la conclusión, no determinan la validez del razonamiento. Definición 1.16 (Validez de un razonamiento) Un razonamiento es válido cuando la forma proposicional que representa su estructura lógica es una tautología. Si dicha forma proposicional es una contradicción o contingencia, entonces el razonamiento no es válido, en cuyo caso se denomina falacia.
Ejemplo 1.30 Determinación de la validez de un razonamiento. Determine si el siguiente razonamiento es válido: “Si Pablo recibió el e-mail, entonces tomó el avión y estará aquí al mediodía. Pablo no tomó el avión. Luego, Pablo no recibió el e-mail”. Solución: Se procede primero a identificar las proposiciones simples: a: Pablo recibió el e-mail. b: Pablo tomó el avión. c: Pablo estará aquí al mediodía. Luego, se identifican las hipótesis y la conclusión: H1: a→(b∧c) H2: ¬b C: ¬a A partir de estas proposiciones pueden obtenerse las siguientes formas proposicionales: H1: p→(q∧r ) H2: ¬q C: ¬ p Con lo cual, la estructura lógica del razonamiento sería: [H1∧H2]→C [( p→(q∧r ))∧¬q]→¬ p
pág. 30
Capítulo 1 Lógica y Conjuntos p q r q∧r
0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 0 1 0 1
0 0 0 1 0 0 0 1
H1 H2 C [H1∧H2]→C H1∧H2 p→(q∧r ) ¬q ¬ p 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1
Puesto que la forma proposicional resultó tautológica, podemos concluir que el razonamiento es válido. Otro método para determinar la validez de este razonamiento consiste en la utilización de las propiedades de los operadores lógicos: [( p → (q ∧ r )) ∧¬ q ]→¬ p
Por la Ley de la Implicación. ¬ [( ¬ p∨ ( q ∧ r )) ∧¬ q ]∨¬ p Por la Ley de la Implicación. ¬ (¬ p ∨ (q ∧ r )) ∨¬ ( ¬q ) ∨¬ p Por la Ley de De Morgan de la Conjunción. ( ¬( ¬ p) ∧¬ (q ∧ r )) ∨¬ (¬ q ) ∨¬ p Por la Ley de De Morgan de la Disyunción. Por la Ley de la Doble Negación. ( p∧¬ ( q ∧ r )) ∨ q ∨¬ p Por la Ley de De Morgan de la Conjunción. ( p∧ ( ¬ q ∨¬ r )) ∨ q ∨¬ p Por la Ley Distributiva de la Conjunción. ( p∧¬ q ) ∨ ( p ∧¬ r )∨ ( q ∨¬ p) ( p∧¬ q ) ∨ ( p ∧¬ r )∨¬ ( p∧¬ q ) Por la Ley de De Morgan de la Conjunción. [( p ∧¬ q )∨¬ ( p ∧¬ q )] ∨ ( p ∧¬ r ) Por la Ley Asociativa de la Disyunción. Por la Ley del Tercero Excluido. 1∨ ( p∧¬ r ) Por la Ley de Absorción de la Disyunción. 1 ¬ [( p →( q ∧ r )) ∧¬ q] ∨¬ p
Ejemplo 1.31 Determinación de la validez de un razonamiento. Determine si el siguiente razonamiento es válido: “Si el crimen ocurrió después de las 04h00, entonces Pepe no pudo haberlo cometido. Si el crimen ocurrió a las 04h00 o antes, entonces Carlos no pudo haberlo cometido. El crimen involucra a dos personas, si Carlos no lo cometió. Por lo tanto, el crimen involucra a dos personas”. pág. 31
Solución: Se procede primero a identificar las proposiciones simples: a: El crimen ocurrió después de las 04h00. b: Pepe pudo haber cometido el crimen. c: Carlos pudo haber cometido el crimen. d : El crimen involucra a dos personas. Luego se identifican las hipótesis y la conclusión: H1: a→(¬b)
H2: (¬a)→(¬c)
H3: (¬c)→d
C: d
A partir de estas proposiciones pueden obtenerse las siguientes formas proposicionales: H1: p→(¬q)
H2: (¬ p)→(¬r )
H3: (¬r )→ s
C: s
Con lo cual, la estructura lógica del razonamiento sería: [H1 ∧ H2 ∧ H3]→C [( p→(¬q))∧((¬ p)→(¬r ))∧((¬r )→ s)]→ s
p q r s ¬q 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0
H1 H2 ¬ p ¬r (¬ p)→(¬r ) p→(¬q) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1
H3 H1∧H2∧H3 [H1∧H2∧H3]→C (¬r )→ s 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1
Puesto que la forma proposicional resultó una contingencia, podemos concluir que el razonamiento no es válido (falacia lógica). pág. 32
Capítulo 1 Lógica y Conjuntos 1.7 Demostraciones
Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: * Aplicar las propiedades y el álgebra de las proposiciones para realizar demostraciones lógicas, empleando técnicas directas, técnicas de contraposición, contraejemplos y reducción al absurdo. En matemáticas, a menudo nos ocupamos de la demostración lógica de ciertas afirmaciones. Cualquier sistema lógico debe empezar con algunos términos fundamentales, definiciones, y axiomas o postulados. A partir de ello, se pueden deducir por razonamientos válidos otras afirmaciones. Para llegar a demostrar algo, es necesario justificar cada paso de la demostración de manera lógica.
1.7.1 Demostraciones Directas También denominadas “marcha adelante”. Si queremos demostrar que p→q, examinamos los elementos que aparecen en p; y, con la atención puesta en q, intentamos deducir q a partir de una secuencia de pasos lógicos que comience en p y termine en q.
Ejemplo 1.32 Demostración Directa. Demostrar la Ley del MODUS PONENDO PONENS [( p→q)∧ p]⇒q utilizando el método de demostración directa. Solución: Aplicamos en dos oportunidades la Ley de la Implicación: (a→b) ≡ (¬a∨b) ¬[( p→q)∧ p]∨q ¬[(¬ p∨q)∧ p]∨q
Aplicamos la Ley de De Morgan de la Conjunción: ¬(a∧b) ≡ (¬a∨¬b) [¬(¬ p∨q)∨¬ p]∨q
Aplicamos la Ley de De Morgan de la Disyunción: ¬(a∨b) ≡ (¬a∧¬b) [(¬(¬ p)∧¬q)∨¬ p]∨q
Aplicamos la Ley Involutiva (Doble Negación): ¬(¬a) ≡ a [( p∧¬q)∨¬ p]∨q
pág. 33
Aplicamos la Ley Conmutativa de la Disyunción: (a∨b) ≡ (b∨a) [¬ p∨( p∧¬q)]∨q
Aplicamos la Ley Distributiva: [a∨(b∧c)] ≡ [(a∨b)∧(a∨c)] [(¬ p∨ p)∧(¬ p∨¬q)]∨q
Aplicamos la Ley del Tercero Excluido: (a∨¬a) ≡ 1 [(1)∧(¬ p∨¬q)]∨q
Aplicamos la Ley de Identidad de la Conjunción: (1∧a) ≡ a (¬ p∨¬q)∨q
Aplicamos la Ley Asociativa de la Disyunción: [(a∨b)∨c] ≡ [a∨(b∨c)] ¬ p∨(¬q∨q)
Aplicamos la Ley del Tercero Excluido: (a∨¬a) ≡ 1 ¬ p∨(1)
Aplicamos la Ley de Absorción de la Disyunción: a∨1 ≡ 1 1
Con lo cual queda demostrado que la forma proposicional es tautológica, independientemente del valor de verdad que tomen las variables proposicionales.
1.7.2 Demostraciones por contraposición (o contrarrecíproca) Este tipo de demostración es conocido como “supongamos que no”. Está basada en la equivalencia que vimos entre ( p→q) y (¬q→¬ p).
Ejemplo 1.33 Demostración por contrarrecíproca. Demostrar la Ley del SILOGISMO DISYUNTIVO [( p∨q)∧¬ p]⇒q utilizando el método de demostración por contrarrecíproca. Solución: Aplicamos la Ley Contrarrecíproca: (a→b) ≡ (¬b→ ¬a) ¬q → ¬[( p ∨ q)∧¬ p]
Aplicamos la Ley de la Implicación: (a→b) ≡ (¬ a ∨ b) ¬(¬q) ∨ {¬[( p ∨ q)∧¬ p]} Aplicamos la Ley Involutiva (Doble Negación): ¬(¬ a) ≡ a q ∨{¬[( p ∨ q)∧¬ p]} pág. 34
Capítulo 1 Lógica y Conjuntos Aplicamos la Ley de De Morgan de la Conjunción: ¬(a∧b) ≡ (¬a∨¬b) q ∨[¬ ( p ∨ q)∨¬ (¬ p)]
Aplicamos la Ley Involutiva (Doble Negación): ¬(¬a) ≡ a q ∨[¬ ( p ∨ q)∨ p]
Aplicamos la Ley de De Morgan de la Disyunción: ¬(a∨b) ≡ (¬a∧¬b) q ∨[(¬ p ∧ ¬q)∨ p]
Aplicamos la Ley Conmutativa de la Disyunción: (a∨b) ≡ (b∨a) q ∨[ p ∨ (¬ p ∧ ¬ q)]
Aplicamos la Ley Distributiva: [a ∨ (b∧c)] ≡ [(a ∨ b) ∧ (a ∨ c)] q ∨[( p ∨ ¬ p) ∧ ( p ∨ ¬q)]
Aplicamos la Ley del Tercero Excluido: (a ∨ ¬a) ≡ 1 q ∨[ 1∧ ( p ∨ ¬q)]
Aplicamos la Ley de Identidad de la Conjunción: (1∧ a) ≡ a q ∨ ( p ∨ ¬q)
Aplicamos la Ley Conmutativa de la Disyunción: (a∨b) ≡ (b∨a) q ∨ (¬q ∨ p)
Aplicamos la Ley Asociativa de la Disyunción: [(a ∨ b) ∨ c] ≡ [a ∨ (b ∨ c)] (q ∨ ¬q) ∨ p
Aplicamos la Ley del Tercero Excluido: (a ∨ ¬a) ≡ 1 (1) ∨ p
Aplicamos la Ley de Absorción de la Disyunción: a ∨ 1 ≡ 1 1
Con lo que se demuestra que la contrarrecíproca de la forma proposicional dada resultó tautológica. Como la contrarrecíproca es equivalente a la forma proposicional original, ésta también es una tautología.
1.7.3 Demostraciones por contraejemplo El dar un ejemplo o mil, que ilustren una proposición, no demuestra que ésta sea verdadera. Sin embargo, sí podemos demostrar el hecho de que la proposición sea falsa, aportando por lo menos un ejemplo que lo confirme. Dicho ejemplo recibe el nombre de contraejemplo. El contraejemplo pone en evidencia que existe al menos un caso en el cual la proposición no es verdadera. pág. 35
Ejemplo 1.34 Demostración por contraejemplo. Verifique si la siguiente proposición es verdadera: “Si un número impar es mayor que dos, es primo”. Solución: A partir de esta proposición se podrá suponer, erróneamente y en base a una observación limitada, que los números 3, 5 y 7 cumplen esta proposición. Sin embargo, podemos notar que el número 9 representa un contraejemplo para esta proposición que es falsa. Es más, no es el único, ya que aunque el 11 y el 13 vuelven a cumplir tal proposición, existen otros contraejemplos, como el 15, 21, 25, 27, 33.
Ejemplo 1.35 Demostración por contraejemplo.
Verifique si la siguiente proposición es verdadera: “Las ciudades del Ecuador son capitales de provincias”. Solución: Si leemos rápidamente y sin mayor análisis la referida proposición, podríamos concluir que su valor de verdad es verdadero, ya que Guayaquil, Portoviejo, Machala, Quito, entre otras, son ciudades y capitales de provincias. Mientras que Quevedo es una ciudad y no es capital de provincia alguna de nuestro país, lo mismo ocurre con ciudades como Manta, Atacames y Milagro, constituyendo por ende contraejemplos para la proposición objeto de estudio, la cual definitivamente es falsa.
1.7.4 Demostraciones por reducción al absurdo En este método se supone que la estructura del razonamiento p→q no es tautológica. Debido a que el operador principal de un razonamiento es la implicación, la estructura no es tautológica si existe al menos un caso 1→0, es decir, partimos de p y q e intentamos llegar a un disparate o contradicción. Como p no puede ser falsa, pues constituye la hipótesis, se concluye que lo que es falso es q. pág. 36
Capítulo 1 Lógica y Conjuntos Ejemplo 1.36 Demostración por reducción al absurdo. Utilizando el método de reducción al absurdo, demostrar la Ley del MODUS PONENDO PONENS [( p→q)∧ p]⇒q. Solución: Debe procurarse partir de la situación en la que la condicional resulte con valor de verdad falso (1→0), ya que si esto se cumple, estaremos seguros de que la forma proposicional no será una tautología. Como debemos buscar que el antecedente sea verdadero y el consecuente falso, planteamos: [( p→q)∧ p] → q 1
0
Ahora, como la conjunción ( p→q)∧ p es verdadera, entonces ( p→q) es verdadera y p es verdadera: [( p→q)∧ p] → q 1
1
0
1
Analizando la segunda hipótesis y la conclusión, p debe ser verdadera y q debe ser falsa. Con estos valores de verdad para p y q, no es posible conseguir que la primera hipótesis p→q sea verdadera. Por lo tanto, no es factible el suceso de que [( p→q)∧ p] sea verdadera y que q sea falsa. A partir del análisis anterior, concluimos que la forma proposicional [( p→q)∧ p]⇒q es tautológica. Se sugiere que este método sea utilizado para demostrar la validez de un razonamiento, como lo veremos en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 1.37 Demostración por reducción al absurdo. Determine la validez del razonamiento: “Si llueve, hay producción; si hay granizo, no hay producción; hay granizo o no hay nevada. Por lo tanto, no llueve”. Solución: Al identificar las proposiciones simples se obtiene: a: Llueve. b: Hay producción. c: Hay granizo. d : Hay nevada. pág. 37
Las hipótesis y la conclusión son: H1: a→b H2: c→¬b H3: c∨¬d C : ¬a La estructura lógica del razonamiento será: [( a → b ) ∧ ( c →¬ b ) ∧ ( c ∨¬ d )] →¬ a
A partir de esta proposición puede obtenerse la siguiente forma proposicional: A ⇔ [( p → q ) ∧ ( r →¬ q ) ∧ ( r ∨¬ s )] →¬ p
Si quisiéramos construir su tabla de verdad, tendríamos que elaborar 16 combinaciones para las variables proposicionales involucradas p, q, r y s. Luego, es preferible utilizar el método de reducción al absurdo para simplificar nuestro trabajo y analizar la validez del razonamiento. Determinamos los valores de verdad, comenzando con el consecuente del razonamiento, el cual se supone que es falso; y, para que el antecedente sea verdadero, debe cumplirse que H1∧H2∧H3 sea verdadera. La conjunción de hipótesis es verdadera siempre y cuando cada hipótesis sea verdadera. [( p→q) ∧ (r →¬q) ∧ (r ∨¬ s)] → ¬ p 1
1
1
0 ¬ p ≡ 0 p ≡ 1
p→q ≡ 1
r →¬q ≡ 1
1→q ≡ 1
r →0 ≡ 1
q≡1
r≡0
r ∨ ¬ s ≡ 1 0 ∨ ¬ s ≡ 1 ¬ s ≡ 1 s ≡ 0
Si a partir del supuesto valor de verdad de la conclusión, que es falso, se determinó que el valor de verdad del antecedente es verdadero, la forma proposicional no es tautológica. Por lo tanto, el razonamiento no es válido. pág. 38
