APUNTE DE INVESTIGACIÓN INVESTIGACIÓN OPERATIVA AUTOR: SERGIO CALVO URZÚA CADENAS DE MARKOV Una cadena de Markov es una serie de eventos, en la cual la probabilidad de que ocurra un evento depende del evento inmediatamente anterior. Es decir, las cadenas de este tipo tienen memoria. "Recuerdan" el último evento y esto condiciona las posibilidades de los eventos futuros. Esta dependencia del evento anterior distingue a las cadenas de Markov de las series de eventos independientes, como es el lanzar lanzar una moneda al aire o un dado. En los negocios, las cadenas de Markov se han utilizado para analizar los patrones de compra de los consumidores, para pronosticar las concesiones por deudores morosos para planear las necesidades de personal y para analizar el reemplazo de equipo. Matriz de transición: Es aquella matriz que esta formada por las probabilidades condicionales o de transición de moverse moverse de un estado a otro y cada fila debe ser un vector vector de probabilidad, probabilidad, por lo tanto la suma suma de los elementos de cada fila debe ser 1 y todos los elementos de la matriz deben ser mayores o iguales a cero. Las cadenas de Markov poseen una propiedad en cuanto a que tienden a aproximarse a lo que se llama estado estable. Ejemplos: 1.- Un proceso de producción contiene una máquina que se deteriora con rapidez bajando tanto en la calidad como en el rendimiento de su producción, bajo un uso pesado, de modo que se inspecciona periódicamente, digamos al final de cada día. Inmediatamente después de la inspección, se observa la condición de la máquina y se clasifica en uno de cuatro estado ESTADO | CONDICION 0 | Buena como nueva. 1 | Op Operable ( deterioro me menor nor ). 2 | Ope Opera rabl blee (de (detteri erioro oro iim mpor portant tantee ).). 3 | Ino Inope pera rabl blee ( pro produ ducc cció iónn de cal calid idad ad ina inace cept ptab able le ).). La Matriz de transición es la que se entrega a continuación: Estado | 0 1 2 3 . 0 | 0 7/8 1/16 1/16 1 | 0 3/4 1/8 1/8 2 | 0 0 1/2 1/2 3 | 0 0 0 1 Supuesto: Los costos en que se incurre mientras el sistema se desarrolla contienen varios componentes. Así, si el sistema está en el estado 0, 1 ó 2, pueden producirse unidades defectuosas en el día siguiente y los costos co stos esperados serían: | COSTO ESPERADO DEBIDO A LA PRODUCCION ESTADO | DE ARTICULOS DEFECTUOSOS DEFECTUOSOS DEL DIA SIGUIENTE SIGUIENTE 0 | 0 1 | $ 1.000 2 | $ 3.000 Si se reempla reemplaza za la máquin máquinaa se incurre incurre en un costo costo de reemplaz reemplazoo de $ 4.000, 4.000, junto junto con un costo costo de producción perdida (utilidad perdida) de $ 2.000. Por lo tanto, el costo costo total del sistema sistema en el estado 3 es de $ 6.000. Con la política de mantenimiento antes mencionada, es decir, reemplazar una máquina inoperable, nuestra matriz de transición, se transforma en: Estado 0 1 2 3
| | | | |
0 0 0 0 1
1 2 7/8 1/16 3/4 1/8 0 1/2 0 0
3 . 1/16 1/8 1/2 0
En el estado 3 existe un reemplazo, por lo tanto en el estado 0 se pone un 1 porque la máquina queda " tan buena como nueva ". DETERMINACION DEL COSTO DE LA POLITICA DE MANTENIMIENTO: En base a la matriz de transición anterior, se plantea un sistema de ecuaciones simultáneas, denominado estado estacionario, que se pueden escribir, como: =π 3 | π 1 = 7/8 π 0 + 3/4 π 1 | π 2 = 1/16 π 0 + 1/8 π 1 + 1/2 π 2 | π 3 = 1/16 π 0 + 1/8 π 1 + 1/2 π 2 | | π 0+ π 1+ π 2+ π 3 = 1 ___________________________| π
0
la solución del sistema es: π
0
= 2/13
π
1
= 7/13
π
2
= 2/13
π
3
= 2/13.
De donde, el costo promedio esperado a largo plazo por día, está dado por: C.T. = 0 * π 0 + 1.000 * π 1 + 3.000 * π 2 + 6.000 * π 3 C.T. = 0 * 2/13 + 1.000 * 7/13 + 3.000 * 2/13 + 6.000 * 2/13 C.T. = $ 25.000/13 = $ 1.923,08. Y esto representa el costo de esta política de mantenimiento. Se pueden definir distintas políticas de mantenimiento, como por ejemplo: a) Reemplazar la máquina cuando está en el estado 2 ó 3. b) Reemplazar la máquina si se encuentra en el estado 3 ó reparar la máquina si se encuentra en el estado 2 y dejarla en el estado 1. c) Reemplazar la máquina si se encuentra en el estado 3, ó 2, ó 1. El costo de reparar es de $ 2.000 más $ 2.000 por concepto de la producción perdida y esto conlleva a un costo total de reparación de $ 4.000. Las matrices de transición para las políticas mencionadas anteriormente se presentan a continuación: a) Estado 0 1 2 3
| | | | |
0 0 0 1 1
1 2 7/8 1/16 3/4 1/8 0 0 0 0
3 . 1/16 1/8 0 0
b) Estado 0 1 2 3
| | | | |
0 0 0 0 1
1 2 7/8 1/16 3/4 1/8 1 0 0 0
3 . 1/16 1/8 0 0
c) Estado | 0 1 2 3 0 | 0 7/8 1/16 1/16 1 | 1 0 0 0 2 | 1 0 0 0 3 | 1 0 0 0 Las probabilidades de cada estado estable y los costo de las distintas políticas se resumen a continuación: POLITICA| PROBABILIDADES | COSTO TOTAL | π 0 π 1 π 2 π 3| ( en miles de pesos) . a | 2/11 7/11 1/11 1/11 | 1/11 ( 2* 0 + 7*1 + 1*6 + 1*6 ) = 19/11 = 1,727 b | 2/21 15/21 2/21 2/21 | 1/21 ( 2* 0 + 15*1 + 2*4 + 2*6 ) = 35/21 = 1,667 Min c | 16/32 14/32 1/32 1/32 | 1/32 ( 16* 0 + 14*6 + 1*6 + 1*6 ) = 96/32 = 3,000 Resultado: La política b) es la óptima, por involucrar un menor costo de mantenimiento y la decisión es reemplazar si la máquina se encuentra en el estado 3 ó reparar si la máquina se encuentra en el estado 2, con un costo promedio esperado de $1.667 por día.Las probabilidades que conforman la matriz del estado estable, se pueden obtener elevando la matriz de transición a un exponente alto por ejemplo, 64. Esta operación se realiza ocupando planilla EXCEL, como sigue:
Política a) π
0
π
1
π
2
π
3
0 7/8 1/16 1/16 0 3/4 1/8 1/8 π 1 1 0 0 0 π 2 1 0 0 0 π 3 Para elevar al cuadrado esta matriz, lo primero que debe realizarse es seleccionar el número de filas y columnas que determinan el orden de la matriz resultado, en la celda que corresponde a la intersección de la primera fila con la primera columna se posesiona el cursor y se aplica la función MMULT: en la primera matriz, que aparece en el cuadro de diálogo se marcan las probabilidades de la matriz de transición y lo mismo se hace con la segunda matriz. Para visualizar las probabilidades de la matriz producto, en vez de seleccionar aceptar ud. debe presionar las teclas: CTR, SHIFT y ENTER al mismo tiempo y se desplegarán los elementos de su nueva matriz. Repita el proceso anterior unas seis veces, considerando el producto de la nueva matriz obtenida y así, se aproximará a la matriz de probabilidades del estado estable. π
0
