Demostracion Del Principio de Superposicion en Ecuaciones No Homogeneas

Demo Demost stra raci ción ón de dell pr prin inci cipi pio o de supe superp rpos osic ició ión n en ec ecua uaci cion ones es no homogéneas: Para demostrarlo debemos explicar un poco de noción sobre operadores: Operadores Diferenciales: En cálculo la diferenciación podemos denotarla como D (letra “d” mayúscula) esto es:

 D ≈

∂ y ∂ x

El símb símbol olo o D es llam llamad ado o oper operad ador or dife diferen rencia ciall por porue ue trans transfo form rmaa una una func funció ión n diferenciable en otra función! E"emplos:  D (Cos $x ) = −$Sen$x  D ($x

#

+ % x) = & x + %

'as deriadas de orden superior son expresables fácilmente de la siuiente manera:

 dy  = d # y =  D( Dy ) = D # y  ÷ dx  dx   dx # d

* en eneral: dny =  D n y n dx Donde y representa una función diferenciable! +ambi,n +ambi,n es aplicable aplicable a funciones funciones polinomialespolinomiales- en eneral el operador operador D en orden n se define:  L = an ( x )D n + an −. (x )D n −. + !!! + a. (x )D + a / (x )

(1)

0omo consecuencia de dos propiedades básicas de la diferenciación: .) D (cf ( x )) = cD ( f ( x )) donde c es una constante! #) D ( f ( x ) + g ( x )) = Df (x ) + Dg (x ) El operador diferencial ' tiene una propiedad de linealidad1 es decir- '- operando sobre una una comb combin inac ació ión n line lineal al de dos dos func funcio ione ness difer diferen enci ciab able less- es lo mism mismo o ue ue una una combinación lineal de ' operando sobre las funciones indiiduales! Esto es:  L (α f ( x ) + β g ( x )) = α L ( f (x )) + β L (g (x )) En donde α y β  son constantes!

(2)

2 causa de la propied propiedad ad (2) se dice ue el operador diferencial de orden n- '- es un operador lineal!

+oda ecuación diferencial se puede escribir en notación D:  y ′′ + 3 y ′ + & y = 3 x − $ se puede escribir de la forma:  D # y + 3Dy + & y = 3 x − $ o tambien como: ( D # + 3D + &) y 'as ecuaciones: dny d n −. y an ( x ) n + an −. ( x ) n −. dx dx

+ !!! + a. (x )

dy

+ !!! + a. (x )

dy

dx

= 3x − $

+ a/ ( x ) y = /

(4omo,nea)

+ a/ ( x ) y = g ( x )

(no 4omo,nea)

* an ( x )

dny dx n

+ an −. (x )

d n −. y dx n −.

dx

Pueden escribirse de forma compacta así:  L ( y ) = / para las 4omo,neas  L ( y ) = g ( x ) para las no 4omo,neas Principio de superposición:

5ean 6 soluciones particulares y p. - y p # !!! y pk  de la ecuación (1)- diferencial lineal no 4omo,nea de orden n en el interalo 7 ue a su e8 corresponden a 6 funciones distintas  g. g # g k   Esto es- suponamos ue  y p. representa una solución particular de -

!!!

la ecuación diferencial correspondiente an ( x ) y ( n )

+ an −. (x ) y ( n −.) + !!! + a. (x ) y ′ + a / (x ) y = g i (x )

En donde i = .- #!!!k  entonces:  y p

= y p. ( x) + y p # ( x ) + !!! + y pk  ( x )

Es una solución particular de: an ( x ) y ( n ) + an −. ( x ) y ( n −.) + !!! + a. (x ) y ′ + a/ (x ) y

= g. (x ) + g # (x ) + !!! + g k  (x )

Demostración: Probaremos el caso de ue 69#! 5ea ' el operador diferencial definido en (2) y sean  y p. y  y p #  soluciones particulares de las ecuaciones no 4omo,neas  L( y ) = g. ( x )  y  L( y ) = g # ( x ) - respectiamente! 5i definimos  y p

= y p. ( x ) + y p # ( x ) demostraremos ue  y p es una solución particular de

 L ( y ) = g. ( x ) + g # (x ) De nueo- el resultado es consecuencia de la linealidad del operador ':  L ( y p ) = L { y p. ( x ) + y p # ( x )}

= L ( y p. (x )) + L (y p # (x )) = g. (x ) + g # (x )

ue es lo ue ueríamos demostrar!

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