ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENEAS ECUACIONES HOMOGÉNEAS. Si una función f tiene la propiedad f ( tx , ty ) = t f ( x , y ) α
para algún número real α , entonces se dice que es una función homogénea de grado α Por ejemplo f ( x, y) = x3 + y3 es homogénea de grado 3, por que 3
3
f ( tx, ty ) = ( tx ) + ( ty ) = t
3
(x
3
+ y 3 ) = t 3 f ( x, y ) Mientras que f ( x, y ) = x3 + y3 + 1 no es
homogénea. Una
ecuación
diferencial
de
primer
orden
en
forma
diferencial
M ( x, y ) dx + N ( x , y ) dy = 0 se dice que es homogénea si los coeficientes M y N a la vez,
son funciones homogéneas del mismo grado. En otras palabras la ecuación M ( x, y ) dx + N ( x , y ) dy = 0 es homogénea si:
M ( tx, ty ) = t M ( x, y ) y N ( tx, ty ) = t N ( x, y ) α
MÉTODO
SOLUCIÓN:
α
Aplicamos las propiedades de los logaritmos para escribir la solución anterior en la forma ln
( x + y ) cx
2
=
y x
0⇒
2
( x + y ) = cxe y / x
Nota: Aunque se puede usar cualquiera de las sustituciones en toda ecuación diferencial homogénea, en la práctica probaremos con x = vy Cuando la funcion M ( x, y ) sea más simple que N ( x, y ) . También podría suceder que después de aplicar una sustitución, nos encontramos con integrales difíciles o imposibles de evaluar en forma cerrada; en este caso, si cambiamos la variable sustituida quizá podamos tener un problema más fácil de resolver. EJEMPLO 2. Resuelva
dy dx
=
x−y x+y
Solución: vemos que los dos coeficientes son funciones homogéneas de grado 1. Si
EJEMPLO 4. Resuelva la ecuación diferencial ( y + x 2 + y 2 ) dx − xdy = 0 2 2 2 y = ux ⇒ dy = udx + xdu ⇒ (ux + x + u y ) dx − x(udx + xdu) = 0
x 1 + u 2 dx − x 2du = 0 ⇒
dx x
−
du
1+ u
2
=0
ln x − ln u + 1 + u 2 = c ⇒ u + 1 + u 2 = cx ⇒ y + y 2 + x 2 = cx 2
EJEMPLO 5. Resuelva la ecuación diferencial ( x3 + y 3 )dx − xy 2 dy = 0 con la condición inicial que y (1)=2 y = ux ⇒ dy = udx + xdu ⇒ ( x3 − u 3 x 3 )dx − u 2 x 3 (udx + xdu) = 0 dx + u xdu = 0 ⇒ 2
dx x
+ u du = 0 ⇒ ln x + 2
u3
3
+ c ⇒ 3x 3 ln x + y 3 = cx 3
y (1) = 2 ⇒ c = 8; ⇒ sol : 3 x3 ln x + y 3 = 8 x3 y
y
EJEMPLO 6. Resuelva la ecuación diferencial ( x + ye )dx − xe dy = 0 x
x
EJERCICIOS RESUELTOS 1) x xdy =
dy dx
− y = x2 + y 2
)
(
x 2 + y 2 + y dx ⇒ y = vx ⇒ dy = vdx + xdv ⇒
dv
1 + v2
=
dx x
Integrar lado izquierdo por su sustitución trigonométrica y lado derecho por tablas para obtener, después de revertir el cambio de variable. y + x + y = cx 2
2)
2
( x + y )
dy dx
2
=y
( x + y ) dy = ydx ⇒ y = vx ⇒ dy = udx + xdu ⇒ −
dx x
=
u +1 u
2
du
Integrar lado izquierdo y derecho por tablas, después dividir ambos términos del numerador de la fracción entre u 2 , luego revertir el cambio de variable.
5)
( y
2
− x 2 ) dx + xydy = 0
y = vx ⇒ dy = udx + xdu ⇒
dx
=−
x
u
2u − 1 2
du ⇒ ln x = −
⎛ 2 y 2 ⎞ x ⎜ 2 − 1 ⎟ = c ⇒ 2 x 2 y 2 − x 4 = c ⎝ x ⎠ 4
t ⎛ ⎞ y 6) e ( y − t ) dy + y ⎜ 1 + e ⎟ dt = 0 ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ dy eu + 1 t = uy ⇒ dt = udy + ydu ⇒ =− u ⇒ eu +u = z y e +u t
y
t
ln y = − ln e + u + ln c ⇒ ye + t = c u
7)
y
( x sen ( ) − y cos ( )) dx + x cos ( ) dy = 0 y x
y = ux ⇒ dy = udx + xdu
y x
y x
1 4
ln 2u 2 − 1 + ln c
⇒ xdu =
Pero u =
u2 u2 +1 y x
⇒−
u2 +1
⇒
u
2
x 2 + y 2 y
du =
dx
⇒⇒ −
x
x 2 + y 2
+ 1n
x
+
y x
1+ u2 u
+ 1n 1 + u 2 + u = 1nx + c
= 1nx + c
11) ( x − y ) dx + xdy = 0
( x − y ) dx + xdy = 0 ⇒ ( x − y ) + x v=
y x
v+ x y x
dy dx
=0⇔
dy dx
=
y−x x
⇔
⇒ y = vx ⇒ ddyy = xdv + vdx ⇒
dv dx
= v −1 ⇒ x
dv dx
dy dx
dy dx 1
=
y x
−1
=v +x
dv dx
1
= −1 ⇔ dv = − dx ⇔ ∫ dv = −∫ dx ⇒ v = − ln x + c
= − ln x + c ⇒ y = − x ln x + cx
x
x
⇒ x + ( y − 2 x ) v=
y x
v+ x
⇒ x
dy dx
=0⇔
dy dx
=−
x y − 2x
⇒ y = vx ⇒ ddyy = xdv + vdx ⇒
dv dx dv
=
=
dy dx
⇔
dy
=
dx
=v +x
x
2x − y
⇔
dy dx
∫
2−
y x
dv dx
1 2−v 1
2−v 2−v
−v ⇔ x
dv
=
1− v (2 − v)
⇔x
dv
=
v 2 − 2v + 1
2−v dx 2 −v 1 1 2v − 2 − 2 1 dv = dx ⇔ − d v dx ⇒ 2 = v − 2v + 1 x x 2 v 2 − 2v + 1 1 2v − 2 1 1 dv + dv = dx ⇒− 2 2 x 2 v − 2v + 1 ( v − 1) dx
1
=
dx
∫
∫
∫
∫
1
1
2
v −1
⇒ − ln v 2 − 2v + 1 − ⇒ − ln v − 1 −
1 v −1
⇔
2 −v v 2 − 2v + 1
∫
∫
1
2
= ln x + c ⇔ − ln ( v −1) −
= ln x + c ⇒ − ln
2
y x
−1 −
1 y
−1
1 v −1
= ln x + c
= ln x + c
dv =
1 x
dx
2 + 2v 1 −v − 2v 2 ⇒ x = −v ⇔ x = ⇔x = ⇔ = dv dx 2 + 2v 2 + 2v dx 2 + 2v dx dx x −v − 2v 2 2 + 2v 1 1 4 + 4v 1 1 1 + 4v + 3 1 ⇒∫ dv = ∫ dx ⇔ − ∫ dv = ∫ dx ⇔ − ∫ dv = ∫ dx 2 2 2 2 v + 2v 2 v + 2v −v − 2v x x x 1 1 + 4v 3 1 1 1 3 3 2 l n 2 l n ln 1 + 2v = ln x + ln c ⇒− ∫ − = ⇔ − + − + d v d v d x v v v ∫x 2 v + 2v 2 2 ∫ v + 2v 2 2 2 2 dv
v
dv
v − 2v − 2v
1
3
3
2 1
2
2
1
3
3
2
2
2
2
2
dv
⇒ − ln v (1+ 2v ) − ln v + ln 1 + 2v = ln x + ln c ⇒ − ln v − ln 1 + 2v − ln v + ln 1 + 2v = ln x + ln c ⇔ −2 ln v + ln 1 + 2v = ln x + ln c ⇒ ln
1 + 2v v
2
= ln cx ⇔
2 y + x
⇒
x 2 y x
2
= cx ⇔
1 + 2v v
2
( 2 y + x ) x y
2
= cx ⇒
= cx ⇒
1+ 2
y x = cx 2
⎛ y⎞ ⎜ x ⎟ ⎝ ⎠
2y + x y
2
=c
⇒
1
dv v 2 + 2v
= − dx ⇔ ∫ x
⎡1 ⎤ 1 1 1 = −∫ dx ⇔ ∫ ⎢ − ⎥ dv = −∫ dx v ( v + 2) x x ⎣ 2v 2 ( v + 2) ⎦ dv
1
1
1
1
1
v+2
2
2
2
2
2
v
l n v = ln x + ln c ⇔ ln ⇒ ln v − ln v + 2 = − ln x − ln c ⇔ ln v + 2 − ln v+2
⇒ ln
v
y
⇒ x
+2 y x
= 2 ln cx ⇔ ln x 2
= ( cx ) ⇒
y
v+2 v
2
= ln ( cx ) ⇔
v
= ( cx )
2x + y
+2
x y
2
x
v+2
= ( cx ) ⇔
y
2
= ( cx ) ⇒
2
2 x + y y
2
= (cx )
x
17) − ydx + ( x + xy ) dy = 0
− ydx + ( x + xy ) dy = 0 v=
y x
⇒ y = vx ⇒ ddyy = xdv + vdx ⇒
dy dx
=v +x
dv dx
(
)
−uxdx + ( x + xux ) ( udx + xdu ) = 0 ⇔ −uxdx + x + ux 2 ( udx + xdu ) = 0
= ln cx
⇒ 2udx = ( 3u + u ) dx + x ( 3 + u 3 ) du ⇔ 2udx − ( 3u + u 4 ) dx = x ( 3 + u 3 ) du ⇒ ( 2u − ( 3v + u 4 ) ) dx = x ( 3 + u 3 ) du ⇔ ( 2u − 3u − u 4 ) dx = x ( 3 + u 3 ) du ⇒ − ( u + u ) dx = x ( 3 + u ) du ⇔ −
3 + u3
dx
= du 4 x u +u 3 3 + u3 dx dx u +3 ⇒− = = du ⇔ − du 4 3 x u +u x u u +1 4
∫
3
∫
∫
∫ (
)
La integral se resuelve como una suma de fracciones parciales: 3 2 u +3 A Bx + Cx + D 3 3 2 3 1 ≡ + ⇔ + ≡ + + + Cu u A u B u Cu + D ) u ( ) ( 3 3 1 + u u 1 u (u + ) 2 3 3 2 ⇒ u 3 + 3 ≡ Au 3 + A + Bu 3 + Cu C u + Du ⇔ u + 3 ≡ ( A + B ) u +Cu C u + Du + A
A + B = 1⎫
∴
⎪ A=3 ⎫ ⎪ ⎬: ⎬ 2 = − B ⎭ ⎪ ⎪⎭
C =0
D = 0 A = 0
∫
dx
∫
⎛3
2u 2 ⎞
u +3 3
(
)
u u +1
∫
3
dx
∫
=
3 u
−
⎛ 2u 2
2u 2 3 u +1
3⎞
∫
dx
⎛ 2 ( 3u 2 ) ∫⎜
3⎞
⎟
2
⎛ y⎞ ⇒ v = 2 ln x + c ⇒ v = ⇒ ⎜ ⎟ = 2 ln x + c x ⎝x⎠ y
2
20) y y
dx dy
v=
v+ y
1
dy
= x + 4 ye
= x + 4 ye
y x
dx
−
2 x y
⇒
−
2 x y
dx dy
=
x y
+ 4e
−
2x y
⇒ y = vx ⇒ ddyy = xdv + vdx ⇒ dv dy
= v + 4e −2 v ⇔ y 1
dv dy
= 4e −2v
dy dx
=v +x
dx dy dy ⇔ e 2vdv = 4 ⇔ e 2vdv = 4 y y
∫
⇒ e = 4 ln y + c ⇔ e = 8 ln y + c ⇒ v = 2v
2
dv
2v
2
x y
∫
2 x
⇒ e y = 8 ln y + c
21) ( y + x cot ( y x ) ) dx − xdy = 0
( y + x cot ( )) dx y
cot xdy = 0 ⇔ y + x co
( ) y
x
dy
=0 ⇔
dy
=
y
+ cot ( y )
⎛ x + 3 y x ⎜⎜ 2 ⎝ x 2
1
2
⎞ 3 x 2 + 3 y 2 C 3 3 2 −2 2 −3 ⎟⎟ = C 2 ; → = ⇒ + = ⇒ + = C . 1 3 3 x y C x x xy 3 2 3 x x ⎠
23) xy + y 2 ) dx − x 2 dy = 0 dy dx dy dx
=
xy + y x
2
2
= v + x
dv dx
⇒
y x
= v; → y = vx ⇒
= v + v 2 ⇒ x
ln x = −v −1 + C ;
dv dx
→ x = Ke
= v2 ⇒ −
dy
dx dx dv x
1 v
= v + x
= −
v
2
;
dv dx
→
dx
∫ x
=∫
dv v
2
x
⇒ x = Ke y ;
24) x 2 − xy ) dx + x 2 dy = 0 y ⎛ y ⎞ ⎜1 − ⎟ dx + dy = 0 ⇒ = v; → y = vx; ⇒ dy = v dx + x dv x ⎝ x ⎠
(1
v ) dx + v dx + x dv
0 ⇒ dx + x dv
0;
→
dx
dv ⇒ ln x
v + C ;
→ ln x
y
+ C
dy
dv
= v + x
dx
v dv
1+ v2 dz
∫2
z
27) dy dx
dy dx
=
dx dx x
= ;
dy dx
=
= v + x
∫
→
x sec
dv dx
⇒ x
v v dv
1+ v2
= ln x + C ; →
= sec( y x ) +
dv
v2 + 1+ v2
dv dx
=∫
=
dx x
v2 + 1+ v2
⇒
v
− v;
1 + v2 = z; 2v dv = dz;
z = ln x + +C ⇒ 1 + v = ln x + +C ; 2
→
1+
y 2 x 2
( ) + y y x
x y x
⇒v=
⇒ v + x dv
y x
; y = vx ⇒ dy = x dv + v dx
dv dx
= sec v + v dx
dx
∫
∫
dx
= ln x + C.
3
3
⎛ x ⎞ ⎛ x ⎞ 8 ⎛ x 2 ⎞ ⎟ = ln x + C ; ⇒ ⎜⎜ 2 ⎟ = K 1 x ⇒ ⎜⎜ 2 ⎟ = K 2 x 8 ln⎜⎜ 2 2 ⎟ 2 ⎟ 2 ⎟ 8 ⎝ x − 4 y ⎠ ⎝ x − 4 y ⎠ ⎝ x − 4 y ⎠ 2
3
2
⇒ x 6 = K 2 ( x 2 − 4 y 2 ) x 8 ⇒ K 3 = ( x 2 − 4 y 2 ) x 2 . 3
29) dy dx
=
v + x dz
∫ z
dy dx
=
3
y(ln y − ln x + 1) x
y ⎛ ⎛ y ⎞ ⎞ y ⎜⎜ ln⎜ ⎟ + 1⎟⎟ ⇒ v = ; y = vx ⇒ dy = x dv + v dx x ⎝ ⎝ x ⎠ ⎠ x dv dx
=∫
= v(ln v + 1) = v ln v + v ⇒ x
dv dx
= v ln v; →
dv v ln v
=
dx x
ln v = z;
⇒ dv v
= dz;
y ⎛ y ⎞ ⇒ ln z = ln x + C ⇒; ln(lnv) = ln x + C ⇒ ln v = Kx ⇒ ln⎜ ⎟ = Kx ⇒ = e Kx ⇒ y = x e K x x x ⎝ x ⎠
dx
11. ( y 4 − 2 x 3 y ) dx + ( x 4 − 2 xy 3 ) dy = 0 12. ( x 2 − y 2 ) dx − ( x 2 + y 2 ) dy = 0 13.
dy dx
=
6 x 2 − 5 xy − 2 y 2 6 x 2 − 8 xy + y 2
u u ⎛ ⎞ ⎛ u⎞ v 14. ⎜ 1 + e ⎟ du + e v ⎜ 1 − ⎟ dv = 0 ⎝ v⎠ ⎝ ⎠ 15. ( ydx − xdy ) ln y + ( xdy − ydx ) ln x + ydy = 0
16. ( y ln y − x − y ln x ) dx + x ( ln x − ln y ) dy = 0 17. ( 4 y 2 x − yx2 + 3x 3 ) dy = ( 5 y 3 − y 2 x + 4 yx 2 − x 3 ) dx y y y ⎡ 2 2 2 t a n c o s s e c + − − xsen x y y ⎢⎣ x x x
y⎤
⎡ ⎣
⎥ dx + ⎢ x cos
x⎦
y⎤ − x sec2 ⎥ dy = 0 x x⎦ y
Resolver los siguientes ejercicios por el método de los homogéneas, ó convertidas en homogéneas y resolverla según el caso:
⎛ ⎝
9) y ⎜ ln 10)
dy dx
y ⎞ + 1 ⎟ dx − x ln dy = 0 x x ⎠ y
= cos ( x y ) +
r es : sec
res : ln x −
x
( ) + tan ( ) = C x y x
y x
(
)
(
12) xy dy − x + y
(
13) y +
2
⎛y⎞ ⎟ = C x ⎝ ⎠
ln 2 ⎜
y
2 3 3 11) xy dx − x + y dy = 0, Donde Do nde y (0) = 1
2
1
3
3
) dx = 0,
Donde Do nde y ( 0) = 1
res : ln y = res : ln x =
1 ⎛ x ⎞
⎜ ⎟
3 ⎝ y ⎠ 1 ⎛ x ⎞
⎜
⎟
3 ⎝ y ⎠
)
xy dx − 2 xdy = 0 4
4
⎛ y ⎞ ⎛ y ⎞ re s : x ⎜ − − 1 ⎟ , s i x > 0, y > 0 y x ⎜ 1 ⎟ = C , si x < 0, y < 0 ⎜ x ⎟ ⎜ x ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Do ndee y ( e) = 1 res : x ln 14) y ( ln y − ln x − 1) dx + dy = 0, Dond
y x
3
= −e
3