ECUACIONES ORDINARIAS HOMOGÉNEAS
“UNIVERSIDAD NACIONAL SANTIAGO ANTUNEZ DE MAYOLO”
FACULTAD DE CIENCIAS AGRARIAS
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA AGRICOLA CURSO
: MATEMATICA MATEMATICA II
TEMA
: ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENEAS Y REDUCIBLES A ESTAS.
INTEGRANTES: - AQUINO CHÁVEZ JHONSTON - ONCOY LAZO DANNY - CHACPI CERNA ANDREY DOCENTE: MINAYA SALINAS OSCAR SEGUNDO CICLO
:
III
FECHA
: 09/04/2014
ANCASH-HUARAZ MATEMÁTICA II
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ECUACIONES ORDINARIAS HOMOGÉNEAS INDICE: Presentación
pág. 2
A) Ecuaciones homogéneas
pág. 3
A.1) Función Homogénea A.2) Definición de Ecuación Diferencial Homogénea
pág. 3 pág. 4
A.3) Ejercicios Desarrollados Desarrollados
pág. 6
A.4) Problemas Propuestos
pág. 9
B) R educción educción a ecuaciones diferenciales homogéneas
pág.10
B.1) Ejercicios resueltos
pág. 10
B.2) Ejercicios propuestos
pág.19
C) Bibliografía
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Pág.20
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ECUACIONES ORDINARIAS HOMOGÉNEAS
PRESENTACIÓN El presente trabajo consta de dos secciones, en la primera se desarrolla sobre las ecuaciones diferenciales homogéneas y la solución a estas, para ello luego se presentan ejercicios resueltos ilustrando el procedimiento de resolución, finalmente se presenta ejercicios propuestos para que el lector pueda practicar y familiarizarse con el tema presentado. En la segunda sección se desarrolla sobre las ecuaciones reducibles a homogéneas, p ara ello se utiliza la misma metodología de la primera sección (se presentan ejercicios resueltos y propuestos).
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ECUACIONES ORDINARIAS HOMOGÉNEAS A) ECUACIONES HOMOGÉNEAS Ciertas ecuaciones diferenciales de primer orden no son separables, pero pueden llevarse a esa forma mediante un sencillo cambio de variable. Esta afirmación se cumple para ecuaciones diferenciales de la forma:
…(1)
(Donde f es una función cualquiera dada de ) o bien reducible a ella, se llama ecuación homogénea. Así por ejemplo: al escribir en la forma:
,
=>
resulta claramente de este tipo y es, por definición, homogénea. Antes de discutir la ecuación (1) enunciemos, previamente, algunas definiciones y teoremas importantes.
A.1) FUNCIÓN HOMOGÉNEA DEFINICIÓN: Una función f(x,y) es homogénea de grado n en sus argumentos si se cumple la identidad
n
f(tx,ty) t f(x,y) … (1)
Es decir que una expresión homogénea de grado n-ésimo en x e y es una expresión tal que n si se sustituye en ella x e y por tx y ty resulta la expresión original multiplicada por t . 2
Por ejemplo f(x,y) = 2x -xy es homogénea en x e y, ya que se tiene que , es decir f es una función homogénea de grado 2.
En general, cualquier polinomio cuyos términos (monomios) sean del mismo grado en x e y, es homogéneo. Así, es homogénea en x e y, puesto que:
F(tx,ty) = a
+b(tx)(ty) + c
Obsérvese que cualquier función de y/x es homogénea de grado 0, pues evidentemente
Por ejemplo: si
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, entonces:
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ECUACIONES ORDINARIAS HOMOGÉNEAS
TEOREMA: es homogénea y de grado n, se verifica que: ( xfx + yfy +zfz + …)= nf(x, y, z, …) Este teorema, sobre funciones homogéneas se debe a Euler y lleva su nombre. A partir de la definición; expresión (1), podemos obtener una relación bastante interesante,
haciendo uso la sustitución
, es decir, si f es una función homogénea, de grado n,
entonces:
Demostración: si f es una función homogénea de grado n, entonces: Hagamos que:
Reemplazando (1) y (2) en (I): Es decir que:
, si f es homogénea de grado n…(II)
A.2) DEFINICIÓN DE ECUACION DIFERENCIAL HOMOGENEA: una ecuación diferencial: M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 … (III) Es homogénea en x e y si M y N son funciones homogéneas del mismo grado en x e y.
Por ejemplo:
es homogénea de segundo grado, porque al expresar en
forma equivalente la ecuación dada, resultaría que:
, donde:
O sea M y N son funciones homogéneas del mismo grado.
Ahora bien, como, según (I), y/x desempeña un papel importante en una expresión homogénea, es de esperar que la sustitución:
Resulte el cambio de variable adecuado para resolver una ecuación homogénea. Vamos a probar, ahora, que la sustitución (3) en una ecuación homogénea de primer orden y de
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ECUACIONES ORDINARIAS HOMOGÉNEAS primer grado conduce a una ecuación del tipo de variables separables. Supongamos que la ecuación diferencial homogénea (III) sea de grado n, entonces teniendo en cuenta (II) logramos que:
[( )] y
Luego, si: De
, entonces:
(3):
=>
Expresión en la que se encuentran las variables separadas y se hará la sustitución (3) siempre y cuando la expresión N sea más sencilla que M cuya solución se obtiene entonces (*) por integración
OBERVACIÓN: En lugar de la sustitución (3) podemos utilizar el cambio de variable
siguiente:
Se hará este cambio cuando al tratar de resolver (III), M es más simple que N.
Demostración: Como: Hagamos que:
…( )
=>
…(ɳ )
Reemplazando ( ) y (ɳ ) en (I): Luego si:
son funciones homogéneas de grado “n”, entonces:
y
Como:
=>
+
… (7)
(5) en (7):
Expresión en la que se encuentran las variables separadas; y cuya solución se logra por integración de (8):
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∫ ∫ ∫ Ejemplo: las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias son homogéneas. 1. 2. 3. 4.
( )
A.3) EJERCICIOS DESARROLLADOS:
∫ ∫ √ ∫ ∫ √ 1. Resolver: Hagamos:
… (I)
, entonces:
(1) Y (2) en (I):
=>
2.- Resolver:
Solución: podemos expresar que
…(II)
Ecuación que es homogénea, luego hagamos: De (I) y (II):
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ECUACIONES ORDINARIAS HOMOGÉNEAS 3.- Resolver:
Solución:
∫ ∫ Sea:
, luego la ecuación resultará:
=>
=>
=>
4.- Pruébese que si cambia a coordenadas polares una ecuación homogénea (es decir, hacemos en ella , las variables quedan separadas en la ecuación resultante. Solución: sea
, la ecuación dada, luego si es homogénea
tendremos que:
… (1)
Si:
(2) y (3) en (1): =>
Ecuación en la que están separadas las variables y cuya solución la obtenemos por integración directa.
5.- Resolver:
()
Solución: Apreciando la ecuación propuesta, vemos algunos términos que nos indica a utilizar coordenadas polares, donde:
…(1) =>
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{ Página 8
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∫ ∫ * + => ( => =>
=> => => =>
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A.4) PROBLEMAS PROPUESTOS:
(√ )
1.2.3.4.5.6.7.8.9.
10.-
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B) ECUACIONES DIFERENCIALES REDUCTIBLES A HOMOGÉNEAS:
Una transformación especial x = o y = , cambio que permite transformar algunas ecuaciones diferenciales a ecuaciones homogéneas así por ejemplo:
B.1) Ejercicios resueltos: Resolver las ecuaciones diferenciales siguientes:
( ) ( ) ( ) √ √ √ √ √√ √ √ a.- (y + y
) dx + 2xdy = 0
Sol:
Hagamos x = , dx = , donde por ahora es un número arbitrario que se elegirá a continuación. Sustituyendo x y dx en la ecuación dada, por sus expresiones, obtenemos, si: (y + y
) dx + 2xdy = 0
(y + y
)
2
°
dy = 0
dy = 0…..(1)
Y para que la ecuación (1) sea homogénea debe cumplirse que ° Si: N(x, y) = 2
+ 2
=°
, donde:
=
Si: M(x,y)=
, entonces el grado de
Es 1+ – 1 = , además para =
su grado será:
= , (para que (1) sea homogénea)
De (1) :
2
= -2
dy = 0….(2)
Ecuación que resulta homogénea, hagamos entonces: y = vz…..(3) (3) en (2): -(v ÷
+
: -(v +
)dz +
)dz + vdz + zdv = 0
(vdz + zdv) = 0
-(
)dz + zdy = 0
= 0 * que al integrar resulta:
-Lnz +
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=
C
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√ √ √ ∫ √ √ √ √ ∫ √ √ (
= C(
Tal que: z =
y
b.- 2( y +
1 =
v = =
y
-1=
dx +
dx = 0
y+
dx +
dx = 0, siendo x =
y+
)
dz +
Sol:
Si: 2( 2(
2 (
y+
dy = 0
)dz +
dy = 0
……(1)
Si esta ecuación debe ser homogénea, entonces: 3 -1+1=
=
=
= 3
De (1): - (
)dz +
Hagamos: y = vz Obs: *
)dz +
=
2
(vdz+ zdv) = 0
dv = tdt
)dz + vdz + zdv = 0
(-
)dz + zdv = 0
-
+
= 0
= LnC
Donde: x =
=
De (3):
c.- 4
….(2)
dy = 0
(
=
-(v +
=-
y v = =
y+
= Cz
…….(3)
y
=C
dy + (3
)dy = 0
Sol: Si:
4
ydx + (3
Hagamos: y =
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)dy = 0
y
dy =
……(1)
dz
……(2)
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ECUACIONES ORDINARIAS HOMOGÉNEAS
∫|||| (2) en (1): 4x 4x
dx + (3
)
dx + (3
dz = 0
)dz = 0
…..(3)
Grado: 1 + 2 = 2 + 2 – 1 = – 1
= – 2
De (3):
)dz = 0
Sea:
4x
dx - 2(3
x = vz
y dx = vdz + zdv
(5) en (4): 2v 2v dv = 0 (1-
= |C|
+
)dz = 0
)dz = 0
……(4)
dz +
= 0
z=C(
De (5) : v = , de (2): z =
-
……(5)
(vdz + zdv) – (3
)dz + 2vzdv = 0
2xzdx – (3
)
= C(1-
)
y
=
d.- Hallar la ecuación de la curva, tal que el área acotada por la curva, el eje x, una ordenada fija y otra variable, sea igual al cuadrado de la diferencia de las coordenadas de un punto arbitrario de la curva.
Sea (a,b) el punto de ordenada fija y P(x,y) el punto variable arbitrario; luego, según el enunciado tenemos:
∫ =
: y = 2(y - x)(y’ - 1)
y = 2(y - x)y’ – 2(y - x)
y’ =
….(1) (Ecuación diferencial homogénea)
Hagamos: y = vx
=
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y’ = v + xv’ =
=
=-
2
xv’ = -v +
dv = -
= -
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∫ * + ∫ * + dv = -
= -Lnx +
(2v - 1) = C
= C
(2y - x) = C
e.- (x – 4y - 9)dx + (4x + y - 2)dy = 0 sol:
∫ ∫ Sea
, como
y para esto resolvemos el sistema: x = 1, y = -2, es decir: P (1,-2)
Consideramos: x = z + h, y = X = z + 1, y =
+ k de donde
– 2, además dx = dz, dy =
Reemplazando en la ecuación diferencial dada: (z - 4 )dz + (4z +
)d
=0
…..(1)
Que es una Ecuación diferencial homogénea. Sea z = u
dz = ud +
du
.....(2)
Reemplazando (2) en (1) y simplificando se tiene: (
)
+ (u - 4) du = 0 , separando la variable
+
Como: z= uv Ln[
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=C
u=
Ln
=
(
+
) – 8 arctg(u) = k
du = 0, integrando …..(3)
, reemplazando en (3)
– 8artg(
)=k
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=
f.sol:
Sea
, como
, entonces:
y para esto resolvemos el sistema: x = 2, y = 1, es decir: P (2,1)
Consideramos x = z + 2 y
y=
+ 1, dx = dz, dy = d
..…(1)
A la ecuación diferencial dada expresaremos asi: (x + 3y - 5)dx – (x – y - 1)dy = 0
…..(2)
Reemplazando (1) en (2) y simplificando: (z + 3 )dz – (z -
)d
=0
….(3)
Es una ecuación diferencial homogénea:
Sea
= uz
d = udz + zdu, de donde al reemplazar en (3) y separando la variable, se t iene:
∫ ∫ +
= 0, integrando:
+
= k
LnC(x + y -3) = -2(
)
SOLUCIÓN Sea
,
Reemplazando en la ecuación dada
…(1)
Para que la ecuación (1) sea homogénea debe cumplir
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ECUACIONES ORDINARIAS HOMOGÉNEAS
⁄ ∫ ∫ √ Como
… (2)
Reemplazando (2) en (1) y simplificando se tiene:
… (3)
Que es una ecuación diferencial homogénea Sea
… (4)
Reemplazando (4) en (3) simplificando y separando la variable ,
Como
h.-
,
integrando
se tiene
SOLUCIÓN
∫ ∫ Sea
, respectivamente en la ecuación diferencial dada se tiene: …(1)
Que es una ecuación diferencial homogénea Sea
…(2)
Reemplazando (2) en (1), simplificando y separando la variable se tiene: , integrando
de donde
i.- Determinar la ecuación de una curva que pasa por el punto (1,0) tal que si por un punto cualquiera de ella se traza la tangente geométrica y por el origen de coordenadas se traza una perpendicular a esta tangente, la corta en el punto T, de tal manera que OT siempre es igual a la abscisa del punto de tangencia. El origen de coordenadas es O. SOLUCIÓN Sea
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... (1)
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ECUACIONES ORDINARIAS HOMOGÉNEAS La ecuación de la recta tangente a la curva C en el punto recta con el eje X, luego:
y A el intercepto de esta
√ …(1)
Nótese que
y
Luego
En
, lo cual concuerda con la expresión (1) y el dibujo.
OTA:
Dónde:
… (2)
y
, luego, de (1) y (2) se logra:
(1) en (2):
…(1) Ecuaciones Homogéneas
Sea:
Entonces de (1):
C
j.- Sea C una curva creciente ubicada en el primer cuadrante, que pasa por el punto y tal que verifica la siguiente ecuación:
(√ )
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ECUACIONES ORDINARIAS HOMOGÉNEAS
“si Q es el punto de intersección del eje de las coordenadas, con la recta normal a C en
C, entonces la longitud del segmento OQ (O es el origen de coordenadas)es igual a la distancia de P al origen de coordenadas”. Hallar la curva C. SOLUCION
Por dato: OP = OQ … (1)
√ ∫ √ ∫ LN:
...(2)
(2) en (1):
Como C es creciente (en el IC), entonces
, luego:
…(3)
…(4)
… (5)
(5) y (4) en (3)
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(√ ) De (4):
C, entonces, de (6):
Como C es creciente, debemos elegir
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, luego, de (6):
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ECUACIONES ORDINARIAS HOMOGÉNEAS B.2) Ejercicios propuestos Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales.
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C) BIBLIOGRAFÍA:
Eduardo Espinoza Ramos/ecuaciones diferenciales/ 1ra edición-impreso en Lima.
Carlos Arámbulo Ostos/ ecuaciones diferenciales/ 1ra edición/ impreso en Lima1981.
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