PROBLEMAS
Emplee funciones de singularidad para resolver los siguientes problemas y suponga que la rigidez a flexión EI de cada viga es constante.
9.35 y 9.36 Para la viga y la carga mostradas en las figuras, determine a) la ecuación de la curva elástica, b) la pendiente en el extremo A, c) la deflexión en el punto C . y
y
P
M0
B
A
x
C
A
B
x
C a
a
b
b L
L
Figura P9.36
Figura P9.35
representadas, adas, determ determine ine a) la ecuación 9.37 y 9.38 Para la viga y la carga represent de la curva elástica, b) la pendiente en el extremo libre, c) la deflexión del extremo libre.
y P
P
P
y
B
C
A a
A
x
P
B
a
C
a
Figura P9.37
x
a
Figura P9.38
se muestran en las figuras, figuras, determine 9.39 y 9.40 Para la viga y la carga que se la pendiente en el extremo A, b) la deflexión en el punto B, c) la deflexión en el extremo D. a)
P M0
A
C
B a
Figura P9.39
D a
P
M0
B
A
a
a
Figura
C
a
D
a
P9.40
555
556
9.41 Para la viga y la carga mostradas en la figura, determine a) la ecuación de la curva elástica, b) la pendiente en el punto A, c) la deflexión en el punto C.
Deflexión de vigas
y
w B
A
y
x
C
w A
B
C
L /3 L/ 2
L
L/ 2
Figura P9.42
Figura P9.41
y
9.42 Para la viga y la carga mostradas en la figura, determine a) la ecuación de la curva elástica, b) la deflexión en el punto B, c) la deflexión en el punto C.
w B
A
x
C a
Figura
x
a
a
a
Para la viga y la carga mostradas en la figura, determine a) la ecuación de la curva elástica, b) la deflexión en el punto medio C. 9.43
9.44 Para la viga y la carga representadas en la figura, determine a) la ecuación de la curva elástica, b) la deflexión en el punto B, c) la deflexión en el punto D.
P9.43
6.2 kN
y w
w B
C
D
A
L /2
L /2
3 kN/m x
B
A
C 1.8 m
L /2
Figura P9.44
W310 60
0.9 m 0.9 m
1.8 m
Figura P9.45
9.45 Para la viga y la carga ilustradas en la figura, determine a) la pendiente en el extremo A, b) la deflexión en el punto medio C . Utilice E = 200 GPa. 9.46 Para la viga y la carga que se muestran en la figura, determine a) la pendiente en el extremo A, b) la deflexión en el punto medio C . Utilice E 29 106 psi.
200 lb 10 lb/in. B
2 kips
4 kips/ft
C
A
A
Figura P9.46
C D
B S6 12.5
4 ft
1.25 in.
24 in.
4 ft
16 in. 48 in.
8 in.
Figura P9.47
9.47 Para la viga y la carga que se muestran en la figura, determine a) la pendiente en el extremo A, b) la deflexión en el punto B. Utilice E = 29 106 psi.
9.48 Para la viga de madera y la carga mostradas en la figura, determine a) la pendiente en el extremo A, b) la deflexión en el punto medio C . Utilice E = 12 GPa. P
4 kN
557
50 mm
w 5 kN/m
C
B
A
Problemas
150 mm
D 1m
0.5 m 0.5 m
Figura P9.48
a)
9.49 y 9.50 Para la viga y la carga que se muestran en las figuras, determine la reacción en el apoyo deslizante, b) la deflexión en el punto C .
P
M0
B
C
A C L /2
L/ 2
L /2
Figura P9.49
a)
B
A L/ 2
Figura P9.50
9.51 y 9.52 Para la viga y la carga que se muestran en las figuras, determine la reacción en el apoyo deslizante, b) la deflexión en el punto B.
P M0
P
M0
A
A
B
C
D
D B
C
L /4
L /2
L /3
L /4
Figura P9.51
L /3
L /3
Figura P9.52
14 kN/m
9.53 Para la viga y la carga que se ilustran en la figura, determine a) la reacción en el punto C , b) la deflexión en el punto B. Utilice E = 200 GPa. 9.54 y 9.55
Para la viga y carga que se ilustran en la figura, determine a) la reacción en el punto A, b) la deflexión en el punto C . Utilice E = 29 106 psi.
B C
A
W410 60 5m
3m
Figura P9.53
9 kips/ft A
A
C 6 ft
Figura
w 4.5 kips/ft
P9.54
B 6 ft
D
B
E
C
W12 22 2.5 ft
Figura
2.5 ft
P9.55
W14 22 2.5 ft
2.5 ft
558
9.56 Para la viga y la carga que se muestran en la figura, determine a) la reacción en el punto A, b) la deflexión en el punto B. Utilice E = 200 GPa.
Deflexión de vigas
50 kN
50 kN
B
C
A
M0
D W200 52
1.2 m
1.2 m
A L/ 2
1.2 m
Figura P9.56
B
C L/ 2
Figura P9.57
9.57 Para la viga y la carga que se muestran en la figura, determine a) la reacción en el punto A, b) la pendiente en el punto C . w A
9.58 Para la viga y la carga que se muestran en la figura, determine a) la reacción en el punto A, b) la deflexión en el punto medio C .
C B L /2
L /2
Figura P9.58
9.59 a 9.62 Para la viga y la carga mostradas en cada figura, determine la magnitud y ubicación de la deflexión más grande hacia abajo. 9.59 La viga y la carga del problema 9.45. 9.60 La viga y la carga del problema 9.46. 9.61 La viga y la carga del problema 9.47. 9.62 La viga y la carga del problema 9.48. 9.63 Las barras rígidas BF y DH están soldadas a la viga de acero laminado como se muestra en la figura. Para la carga ilustrada, determine a) la deflexión en el punto B, b) la deflexión en el punto medio C de la viga. Utilice E 200 GPa.
AE ,
30 kN/m
0.5 m 0.3 m 0.3 m 0.5 m E
A B
C
D
A c
W100 19.3
F
H
F
D E
B W460 52
50 kN
G 0.15 m 100 kN
Figura P9.63
C
2.4 m
1.2 m 1.2 m
Figura P9.64
9.64 La barra rígida DEF está soldada en el punto D a la viga de acero laminado AB. Para la carga que se ilustra en la figura, determine a) la pendiente en el punto A, b) la deflexión en el punto medio C de la viga. Utilice E 200 GPa.
9.7 MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN
Cuando una viga se somete a varias cargas concentradas o distribuidas, a menudo es conveniente calcular de manera separada la pendiente y la deflexión causadas por cada carga. La pendiente y la deflexión totales se obtienen aplicando el principio de superposición (vea la sección 2.12) y sumando los valores de la pendiente o la deflexión correspondiente a las diversas cargas.
EJEMPLO 9.07 Determine la pendiente y deflexión en D para la viga y carga mostradas (figura 9.33), sabiendo que la rigidez a flexión de la viga es EI 100 MN • m2. La pendiente y la deflexión en cualquier punto de la viga pueden obtenerse superponiendo las pendientes y deflexiones causadas respectivamente por la carga concentrada y por la carga distribuida (figura 9.34).
150 kN 2m 20 kN/m A
B
D 8m
Figura 9.33
150 kN
P
20 kN/m
150 kN
2m B
A
w 20 kN/m B
A
D
B
A
D
D x 2 m
L 8 m a)
L 8 m c)
b)
Figura 9.34
Como la carga concentrada en la figura 9.34b se aplica a un cuarto del claro, pueden usarse los resultados obtenidos para la viga y la carga del ejemplo 9.03 y escribirse
1 2 1 2
u D P
PL2
1150 10 2 182 32 1 100 10 2 3 1 150 10 2 1 8 2 256 1 100 10 2 3
32 EI 3PL3 y D P 256 EI
2
3
3 10
6
3
rad
6
9 10
3
w
24 EI
1
4
x
2 L x3 L3 x
y diferenciando con respecto a x,
1 2 1 2
m
9 mm
2
(9.50)
dy dx
w
1
24 EI
4 x 3 6 L x 2 L3
2
(9.51)
Haciendo w 20 kN/m, x 2 m, y L 8 m, en las ecuaciones (9.51) y (9.50), se tiene
3
Por otra parte, recordando la ecuación de la curva elástica obtenida para la carga uniformemente distribuida en el ejemplo 9.02, la deflexión en la figura 9.34c se expresa como: y
u
u D
w
y D
w
20 103 24 100 106 20 103 24 100 106
1 1
2 1 2 1
2 912 2 352
2.93 10
3
rad
7.60 10
3
m
7.60 mm
Combinando las pendientes y deflexiones producidas por las cargas concentradas y distribuidas, se obtiene:
1 2 1 2 1 2 1 2
u D u D P u D w 3 3 rad 5.93 10
y D
y D
P
y D
w
10
3
2.93 10
3
9 mm 7.60 mm 16.60 mm
Para facilitar el trabajo de los ingenieros, los manuales de ingeniería estructural y mecánica incluyen tablas con las deflexiones y pendientes de vigas para diversas cargas y apoyos. En el apéndice D se encuentra una de estas tablas. Note que la pendiente y la deflexión de la viga de la figura 9.33 hubieran podido determinarse a partir de allí. Ciertamente, usando la información dada en los casos 5 y 6, pudo haberse expresado la deflexión de la viga para cualquier valor x L 4. Tomando la derivada de la expresión así obtenida, se habría determinado la pendiente de la viga en el mismo intervalo. También se observa que la pendiente en los extremos de la viga puede obtenerse sumando los valores correspondientes de la tabla. Sin embargo, la
559
560
deflexión máxima de la viga de la figura 9.33 no puede obtenerse sumando las deflexiones máximas de los casos 5 y 6, pues éstas ocurren en puntos diferentes de la viga.†
Deflexión de vigas
9.8 APLICACIÓN DE LA SUPERPOSICIÓN A VIGAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS
Figura 9.35 Las vigas continuas que soportan este puente de autopista tiene tres soportes que son indeterminados.
A menudo será útil el método de la superposición para determinar las reacciones en los apoyos de una viga estáticamente indeterminada. Considerando primero una viga indeterminada de primer grado (véase sección 9.5), como la que se muestra en la figura 9.35 se seguirá el método descrito en la sección 2.9. Se escoge una de las reacciones como redundante y se elimina o modifica el apoyo correspondiente. La reacción redundante se trata como una carga desconocida que, junto con las otras, debe producir deformaciones compatibles con los apoyos originales. La pendiente o la deflexión donde el apoyo se ha modificado o eliminado se obtiene calculando separadamente las deformaciones causadas por las cargas dadas y la reacción redundante, y superponiendo los resultados obtenidos. Una vez calculadas las reacciones en los apoyos, pueden determinarse la pendiente y la deflexión en cualquier punto de la viga. † El valor aproximado de la deflexión máxima de la viga se obtiene elaborando la gráfica de los valores de y correspondientes a varios de x. La determinación de la localización exacta y magnitud de la deflexión máxima requiere igualar a cero la expresión de la pendiente y resolver esta ecuación para x.
EJEMPLO 9.08 Determine las reacciones en los apoyos de la viga prismática y la carga mostradas en la figura 9.36. (Ésta es la mi sma viga del ejemplo 9.05 de la sección 9.5.)
w A
La reacción en B se considera redundante y se libera la viga de ese apoyo. La reacción R B se establece como una carga desconocida (figura 9.37a) y se obtendrá de la condición de que la deflexión de la viga en B debe ser cero.
B L
Figura 9.36
yB 0 w
w B
A
B
A
( yB)R
A RB
B RB
a)
( yB) w b)
c)
Figura 9.37
La solución se efectúa tomando por separado la deflexión ( y B) producida en B por la carga uniformemente distribuida w (figura 9.37b) y la deflexión ( y B) R producida en el mismo punto por la reacción redundante R B (figura 9.37c). w
De la tabla del apéndice D (casos 2 y 1) se halla que
1 2 y B
w
L4
w
8 EI
1 2 y B R
R B L3
3 EI
Escribiendo que la deflexión en B es la suma de estas dos cantidades y que debe ser cero, se tiene y B
1 2 1 2 y B
L
w
y B
w
4
8 EI
y resolviendo para R B,
y B R R B L3
3 EI
0 R B
8 w L
3
8 w L
c
wL L /2
Dibujando el diagrama de cuerpo libre de la viga (figura 9.38) y escribiendo las correspondientes ecuaciones de equilibrio, se tiene
c g F y 0:
R A
R B
R A
L
w
L
w
R B
R A g g M A
M A
0
B
A
(9.52) L
w
R A
5 8 w L c
RB
L
1
L 2 L 0 1 1 3 2 2 2 L R L B 2 w L 8 w L 2w M A 18 w L2 g w
M A
3 5 8 w L 8 w L
1 2 1 2
0: M A R B L
561
0
3
R B
9.8 Aplicación de la superposición a vigas estáticamente indeterminadas
Figura 9.38
(9.53) 1
8 w L
2
Solución alternativa. El par en el extremo empotrado A puede considerarse redundante y reemplazarse el extremo fijo por un apoyo de segundo género. El par M A es ahora una carga desconocida (figura 9.39a) y se calculará de la condición de que la
w
w
M A
A A
B
A
B
M A
B
A ( A)M
( A) w
0
c)
b)
a)
Figura 9.39
pendiente debe ser cero en el punto A. La solución se consigue considerando separadamente la pendiente (θ A) producida en A por la carga uniformemente distribuida w (figura 9.39b) y la pendiente (θ A) M producida por el mismo punto por el par desconocido M A (figura 9.39c). Usando la tabla del apéndice D (casos 6 y 7) y observando que A y B deben intercambiarse en el caso 7, se halla que:
1 2 1 2
u A u A
w
1 2 u A
w
L3
w
24 EI
1 2
u A M
u A
u A M
L3
w
25 EI
M A L
3 EI
0
0
y, despejando a M A,
M A L
M A
3 EI
Escribiendo que la pendiente en A es la suma de estas dos cantidades y que debe ser cero, se halla que:
w
1
8 w L
2
M A
1
2
8 w L
g
Los valores R A y R B pueden encontrarse mediante las ecuaciones de equilibrio (9.52) y (9.53).
La viga estudiada en el ejemplo previo era indeterminada de primer grado. En el caso de una viga indeterminada de segundo grado (véase sección 9.5), dos reacciones deben designarse como redundantes y los soportes correspondientes eliminados y modificados como corresponda. Las reacciones redundantes se tratan entonces como cargas desconocidas que, simultáneamente con las otras cargas, deben producir deformaciones compatibles con los apoyos originales (véase problema modelo 9.9).
PROBLEMA MODELO 9.7
w C
A
Para la viga y carga mostradas en la figura, determine la pendiente y la deflexión del punto B.
B
L /2
L /2
SOLUCIÓN Principio de superposición. La carga dada puede obtenerse superponiendo las cargas mostradas en la siguiente “película de ecuación de carga”. La viga AB es, naturalmente, la misma en cada parte de la figura.
Carga I
A
w C
A L /2
Carga II
A
w
B
C
B
L /2
L /2
L
y
y
L /2
y
x
B
B
( yB)I
A B
( B)II ( yB)II x
x yB
A
B
w
A
( B)I
B
Para cada una de las cargas I y II, la pendiente y la deflexión en B se determinan usando la tabla de Deflexiones y pendientes de viga del apéndice D. Carga I L3
1 2
Carga I
A
1 2
w
u B I
y B I
6 EI
Carga II
1 2
L
x ( yB)I
A B
( B)I
Carga II
A
w
uC II
y
C
1 22 L 3
6 EI
L3
L /2
1 2 1 2
u B II uC II
L3
L 4
8 EI
L4
w
128 EI
y B II
48 EI
yC II
uC II
L4
EI
L
L3 L
w
EI
7w L4 384 EI
Pendiente en el punto B ( B)II B
1 2 1 2
u B u B I u B II
L3
w
L3
w
6 EI
48 EI
7w L3 48 EI
u B
7w L3 c > 48 EI
y B
41w L4 T > 384 EI
Deflexión en B y B
562
1 22
1 2 1 2 1 2 a 2 b a2b 128 48
w
w
( yB)II x ( yC)II
w
En la porción CB, el momento flector para la carga II es cero y, por tanto, la curva elástica es una línea recta.
L /2
C
yC II
48 EI
B
( C)II
1 2
w
w
A
8 EI
w B
y
L4
w
1 2 1 2 y B I
y B II
L4
w
8 EI
7w L4 41w L4 384 EI 384 EI
PROBLEMA MODELO 9.8
w A
Para la viga y carga mostradas en la figura, halle a) la reacción de cada apoyo, b) la pendiente en el extremo A.
C
B 2 L /3
L /3 L
SOLUCIÓN Principio de superposición. La reacción R B se escoge como redundante y se considera como carga desconocida. Las deflexiones debidas a la carga distribuida y a la reacción R B se examinan separadamente, como se indica en la figura. w A
w C
B
A
A
C
B
B
RB
2 L /3
RB
L /3
2 L /3
y
L /3
2 L /3
y B
A
C
C x
L /3
y C x
A
[ yB 0 ]
B
( A) w
B C x
A ( A)R
( yB) w
( yB)R
Para cada carga, la deflexión en el punto B se halla usando la tabla de deflexiones y apéndice D. Carga distribuida. Se utiliza el caso 6 del apéndice D
pendientes de viga del
y
1
w
x4
2 L x3 L3 x
24 EI
2
En el punto B, x 23 L:
1 2 y B
w
w
24 EI
c a 23 b
4
L
2 2 L L 3
a b
3
b
se tiene
1 2 y B R
y B B
C RC
R A
0.271 wL
Pa2b2
RB
0.688 wL
3 EIL
R B
L
0.01132
L4
w
EI
2
L 2
a 23 b a 3 b L
R B L3
0.01646
3 EIL EI a. Reacciones de los apoyos. Recordando que y B 0, se tiene
w A
a 23 b d
3
Del caso 5, apéndice D, con a 23 L y
Carga por la reacción redundante.
1 3 L,
L
1 2 1 2 y B
w
y B R
0 0.01132
0.0413 wL
L4
R B L3
w
EI
0.01646
R B
EI
0.688w L c >
Como la reacción R B ahora es conocida, se utiliza el método de la estática para determinar las otras reacciones: R A 0.271w L c RC 0.0413w L c > b. Pendiente en el extremo A. Refiriéndose de nuevo al apéndice D, se tiene Carga distribuida.
1 2 u A
w
L3
w
24 EI
1 2
u A R
1
2 0.688 a b c 6 3 1 2 1 2
b2
6 EIL Finalmente, u A u A 0.04167
u A
EI
EI
L2
EIL
L 2
a3b d
1 2
u A R
0.03398
L3
w
EI
u A R
3
L
w
w
L L
w
L3
w
Para P R B 0.688w L y b 13 L
Carga de reacción redundante. Pb L2
0.04167
0.03398
L3
w
EI
0.00769
L3
w
EI
u A
0.00769
L3
w
EI
c
>
563
PROBLEMA MODELO 9.9
P
B
A
Para la viga y carga mostradas, determine la reacción en el empotramiento C .
C
a
b L
SOLUCIÓN Principio de superposición. Suponiendo que la carga axial en la viga es cero, la viga ABC es indeterminada de segundo grado y se escogen como redundantes la fuerza vertical RC y el par MC . Las deformaciones producidas por la carga P, la fuerza RC y el par MC se consideran separadamente como se muestra. P
P
MC
B
A
C
B
A
C
A
MC
A C
C a
b
a
RC
( yB)P
C
A B
b
A
L
[ yB 0 ]
C
A
( C)M
A
B C ( B)P ( C)P
[ B 0 ]
( C)R
C
( yC)P
L
RC
( yC)R
( yC)M
Para cada carga, la pendiente y la deflexión en C se encuentran en la tabla Deflexiones y pendientes de viga del apéndice D. Se observa que, para esta carga, la porción BC de la viga es recta.
Carga P.
1 2 1 2
uC P u B P
Pa2
1 2 1 2 1 2 yC P
2 EI
y B
P
Fuerza RC Par M C
1 2 1 2
uC R
4
x
M A
Pab2
P
L2
R A
a
MC
b
Pa2 b L2
RC
L R A
Pb2 (3a b) L3
RC
Pa2 (a 3 b) L3
L
4
, yC 0 :
Pa2
b 2 EI
1 2 1 2 yC R
2 EI M C L
yC M
EI
Pa2
a
3b
2
RC L3
3 EI M C L2 2 EI
1 2 1 2 1 2 Pa
2 EI
C
2 EI
C
1 2 1 2 1 2 12 3 2 3 6
yC yC P
0
Pa
yC R
(1)
EI
yC M
2
RC L3
M C L2
(2) 2 EI Componentes de la reacción en C . Resolviendo simultáneamente las ecuaciones (1) y (2) se encuentran las reducciones EI
RC
M C
a
Pa2
1
a L3 Pa2b L2
b
3b
2
EI
RC
Pa 2 L3
1
a
MC
La reacción en A puede hallarse ahora usando los métodos de estática.
564
12
6 EI
uC uC P uC R uC M 2 R L2 M L
0
3
3 EI
En el extremo C la pendiente y la deflexión deben
Condiciones de frontera.
3
Pa3
RC L2
uC M
ser cero. x L, uC 0 :
u B p b
2
3b c >
Pa 2b L2
b
>
