TEMA I.11 Condici´on on de Frontera y Principio de Superposici´on on Dr. Juan Pablo Torres-Papaqui Depar tamento Departame nto de Astr Astronom onom´ ´ıa Universidad de Guanajuato DA-UG DAUG (M´exic ex ico) o)
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Divisi´on on de Ciencias Naturales y Exactas, Campus Guanajuato, Sede Noria Alta
Condici´ on de Frontera y Principio de Superposici´on on En un medio de longitud finita, una onda incidente es reflejada en las fronteras, a esto denominamos “eco”. El eco es una onda que viaja en sentido opuesto a la onda incidente. La onda incidente y el eco se pueden sobreponer, a esto denominamos como interferencia (ver Figura I.11.1). Si las reflexiones se repiten, s´ olo pueden ocurrir ondas senosoidales para olo ciertas frecuencias especiales, determinadas por las propiedades y dimensiones del medio, a esto se denomina como modos normales. El ejemplo ejemplo m´ as as sencillo sencillo es una onda transversal transversal en una cuerda estirada. estirada.
Condici´ on de Frontera y Principio de Superposici´on
Figura I.11.1: Serie de im´agenes de un pulso ondulatorio, tomadas a intervalos iguales de arriba hacia abajo. El pulso comienza a la izquierda.
Condiciones de Frontera
En un medio de longitud finita, una onda incidente es reflejada en las fronteras, a esto denominamos “eco”. La reacci´ on (tercera ley de Newton) ser´a un pulso reflejado que viajar´a en la direcci´ on opuesta al pulso incidente con desplazamiento opuesto (ver Figura I.11.2a). Si el extremo es libre, de nuevo un pulso reflejado viajar´ a en direcci´ on opuesta, pero con un desplazamiento en la misma direcci´ on que el pulso incidente (ver Figura I.11.2b).
Condici´ on de Frontera
Figura I.11.2: Reflexi´ on de un pulso ondulatorio (a) en un extremo fijo de la cuerda y (b) en un extremo libre. El tiempo aumenta desde la figura superior a la inferior.
Condiciones de Frontera
Las condiciones en los extremo son las denominadas condiciones de frontera. La situaci´ on es la misma si dos pulsos viajan en sentidos opuestos. Al traslaparse los pulsos, el desplazamiento ser´ a la suma algebraica de los desplazamientos individuales.
Principio de Superposici´on Cuando dos ondas se traslapan, el desplazamiento real de cualquier punto de una cuerda, en cualquier instante, se obtiene sumando los desplazamientos separados (ver Figura I.11.3 y Figura I.11.4): y (x , t ) =
y i (x , t )
i
con i = 1, 2 Matem´aticamente esta propiedad aditiva es una consecuencia de la forma de la ecuaci´ on de onda. Espec´ıficamente, la ecuaci´ on es lineal, es decir que solo contiene funciones a la primera potencia. Por tanto, si dos funciones satisfacen la ecuaci´ on de onda, su suma tambi´en satisface la ecuaci´ on de onda.
Principio de Superposici´on
Figura I.11.3: Solapamiento de dos pulsos ondulatorios que viajan en direcciones opuestas con uno de los pulsos invertido respecto al otro.
Principio de Superposici´on
Figura I.11.4: Solapamiento de dos pulsos ondulatorios que viajan en direcciones opuestas sin inversi´ on de un pulso. El tiempo aumenta desde arriba hacia abajo.
Ondas Estacionarias en una Cuerda Cuando una onda es reflejada continuamente por los extremos, se produce un fen´ omeno de interferencia (ver Figura I.11.5). La configuraci´ on de la onda permanece en la misma posici´on y su amplitud fluct´ua. Hay puntos que nunca se mueven: nodos. A la mitad del camino entre dos nodos hay puntos donde la amplitud es m´axima: antinodos. Como la configuraci´on no parece moverse, a este hecho se le conoce como: onda estacionaria.
Ondas Estacionarias en una Cuerda
Figura I.11.5: (a)-(d)Exposiciones de tiempo de ondas estacionarias en una cuerda estirada. De (a)-(d) la frecuencia de oscilaci´ on del extremo derecho aumenta, y λ de la onda estacionaria disminuye. (e) Extremos del movimiento de la onda estacionaria de (b), con los nodos en el centro y en los extremos.
Ondas Estacionarias en una Cuerda
Consideramos dos ondas de misma λ y A, viajando en sentido inverso. En un nodo, los desplazamientos son iguales y opuestos y se cancelan: interferencia destructiva. En un antinodo, los dos desplazamientos siempre son id´enticos dando un desplazamiento resultante grande: interferencia constructiva. La distancia entre dos nodos o antinodos sucesivos es
λ 2.
Ecuaci´ on de Onda Estacionaria Consideremos dos ondas (siguiendo a Sears & Zemansky’s): y 1 (x , t ) = −A cos(κx + ω t ),
y 2 (x , t ) = A cos(κx − ω t ),
viajando hacia la izquierda.
viajando hacia la derecha.
La onda reflejada es inversa y por tanto tiene una amplitud inversa. Sumando las dos ondas: y (x , t ) = y 1 (x , t ) + y 2 (x , t ) = −A cos(κx + ω t ) + A cos(κx − ω t )]
= A[− cos(κx + ω t ) + cos(κx − ω t )] Usando la identidad: cos(a ± b ) = cos (a) cos (b ) ∓ sen (a) sen (b ) y expandiendo
Ecuaci´ on de Onda Estacionaria
− cos(κx + ω t )
y
= − cos(κx ) cos(ω t ) + sen(κx ) sen(ω t )
cos(κx − ω t ) = cos(κx ) cos(ω t ) + sen(κx ) sen(ω t )
La funci´ on de onda estacionaria: y (x , t ) = 2 A sen(κx ) sen(ω t ) y (x , t ) = Aoe sen(κx ) sen(ω t )
(I.11.1)
donde la amplitud Aoe = 2 A El factor 2 A sen(κx ) indica que en cada instante, la forma de la cuerda es senosoidal.
Ecuaci´ on de Onda Estacionaria Siguiendo a Tripler & Mosca: y 1 (x , t ) = A sen(κx − ω t ) y 2 (x , t ) = A sen(κx + ω t ) y (x , t ) = A sen(κx − ω t ) + A sen(κx + ω t ) y (x , t ) = A [sen(κx − ω t ) + sen(κx + ω t )]
= A [sen(κx ) cos(ω t )−cos(ω t ) sen(κx )+sen(κx ) cos(ω t )−cos(ω t ) sen(κx )] = 2 A sen(κx ) cos(ω t ) ∴
o ´
y (x , t ) = Aoe sen(κx ) cos(ω t ) y (x , t ) = Aoe sen(κx ) sen(ω t )
Ecuaci´ on de Onda Estacionaria Siguiendo a Resnick: y 1 (x , t ) = A sen(ω t + κx ) y 2 (x , t ) = −A sen(ω t − κx ) y (x , t ) = A sen(ω t + κx ) − A sen(ω t − κx ) y (x , t ) = A [sen(ω t + κx ) − sen(ω t − κx )]
= A [sen(ω t ) cos(κx )+cos(ω t ) sen(κx )−sen(ω t ) cos(κx )+cos(ω t ) sen(κx )] = 2 A cos(κx ) sen(ω t ) ∴
o ´
y (x , t ) = Aoe cos(κx ) sen(ω t ) y (x , t ) = Aoe sen(κx ) sen(ω t )
Ecuaci´ on de Onda Estacionaria
A diferencia de una onda viajera, la forma de la onda permanece en la misma posici´ on oscilando verticalmente seg´ un el factor sen(ω t ). Cada punto sigue teniendo un MAS, todos los puntos oscilando en fase. En los nodos, sen(κx ) = 0, ⇒ κx = 0, π, 2π, 3π,... o x = 0, λ 2λ 3λ x = 0, , , ,... 2 2 2
π 2π 3π κ , κ , κ ,...
(I.11.2)
La onda estacionaria no transfiere energ´ıa. Hay un flujo local de energ´ıa desde cada nodo a los antinodos adyacentes y de regreso, pero la raz´on media de transferencia de energ´ıa es 0.
Ecuaci´ on de Onda Estacionaria Ejemplo: Cuerda larga I
El extremo x = 0 est´a fijo. Una onda senosoidal viaja en direcci´ on −x a 84.0 m/s . La frecuencia de la onda es f = 120 Hz y la amplitud es A = 1.5 mm = 1.5 × 10−3 m. En x = 0, la onda se refleja y forma una onda estacionaria. La amplitud: Aoe = 2 A = (2)(1.5 × 10−3 m) La frecuencia angular: ω = 2 π f = (2 π rad )(120 s −1 ) = 754 rad /s El n´ umero de onda: κ = ω/ν =
754 rad /s 84.0 m/s =
8.98 rad /m
Ecuaci´ on de Onda Estacionaria De la ecuaci´ on (I.11.1), la ecuaci´on de onda: −3
y (x , t ) = (3.0 × 10
rad rad m) sen(8.98 x ) cos(754 t ) m s
rad ⇒ Los nodos (primera m´etodo): ⇒ sen(8.98 rad x ) = 0 (8.98 x ) = 0, π, m m 2π, 3π,...
⇒ x
= 0,
π
,
2π
,
3π
9.98 rad /m 9.98 rad /m 9.98 rad /m
⇒ x
,...
= 0, 0.35 m, 0.70 m, 1.05 m,...
Los nodos (segundo m´etodo): λ = ν/f = (84.0 m/s )/(120 s −1 ) = 0.70 m De la ecuaci´ on (I.11.2): 0.70 m 2(0.70 m) 3(0.70 m) x = 0, , , ,... = 0, 0.355 m, 0.70 m, 1.05 m,... 2 2 2
Ecuaci´ on de Onda Estacionaria
Ejemplo: Cuerda larga II
Un extremo de la cuerda esta sujeto a un poste vertical, el otro extremo esta sostenido flojamente con la mano. Por tanto, la rapidez de la onda es lenta: ν = 0.720 m/s . Buscamos la frecuencia para que una pinza colocada a 45.0 cm se quede sin moverse. La pinza debe ser colocada en un nodo a
λ 2λ 3λ 2 , 2 , 2 ,...
Ecuaci´ on de Onda Estacionaria
Tenemos, entonces: d = 45.0 cm = La frecuencia: f =
ν λ
=
nν 2 d
nλ
2 ⇒
λ=
2 d n
.720 m/s = n 20·(0 .450 m) = n 0.800 Hz
Primero nodo: f 1 = 0.800 Hz Segundo nodo: f 2 = 1.600 Hz Tercero nodo: f 3 = 2.400 Hz
