Toma de Decisiones en Condiciones de Incertidumbre

TOMA DE DECISIONES EN CONDICIONES DE INCERTIDUMBRE

Fís. F ís. Omar Omar C Cazares azares

1

INTRODUCCION 



En el mundo real los datos mas acertados que tiene una empresa es la demanda que ha tenido un cierto pr od oducto en el pasado mediante la cual podemos asignar una pr ob oba bilidad a la demanda futura de dicho pr od oducto.

Nuestr o interés es determinar el númer o óptimo de pr od oductos que se de ben tener en existencia para obtener la mayor utilidad posi ble. Fís. F ís. Omar Omar C Cazares azares

2







Para poder dar una respuesta al númer o óptimo de pr od oductos vamos a desarr ollar ta blas de ganancias y pér didas en condiciones de incertidum bre y tam bién usaremos el análisis marginal. Primer o vamos a considerar una demanda cuya distri bución sea aleatoria y discreta que se entiende como un valor que cam bia evento tras evento en una secuencia que no puede predecirse y toma pocos valores. Luego se estudiara considerando a la demanda como una distri bución aleatoria continua que es cuando se tiene una gran cantidad de valores. Fís. F ís. Omar Omar C Cazares azares

3

TABLA DE GANANCIAS CONDICIONALES 



Se

ela bora una ta bla en la que se puedan anticipar las ganancias mediante todas las posi bles com binaciones de cantidad demandada con inventario existente. Es de notar que nuestra ta bla no nos puede indicar cuantos artículos de bo tener en existencia cada día sino que nos da una idea de cual ser á el númer o óptimo de artículos a tener en existencia sin conocer la demanda. Fís. F ís. Omar Omar C Cazares azares

4





La idea es ir calculando para cada posi ble valor de inventario la ganancia pr od oducida ante las diferentes demandas y la suma pr od oducto de estos valores por la pr ob oba bilidad nos dar á la ganancia esperada para dicho valor de inventario. La mayor ga g anancia esperada nos indica el nivel de inventario recomendado. Es de notar que no se ha encontrado la demanda que va a ocurrir al día siguiente, per o en un determinado intervalo de tiempo dicho nivel nos dar á la mayor utilidad posi ble. Fís. F ís. Omar Omar C Cazares azares

5







Se

llama inf ormación perfecta cuando de alguna ma manera se obtiene exactamente la demanda de un pr od oducto al día siguiente, note que en este caso la ganancia esperada sería la máxima posi ble. Las empresas de ben tener clar o cuanto es lo que están dispuestas a pagar por esta inf ormación perfecta. Este valor se lo puede calcular restando la ganancia máxima posi ble con inf ormación perfecta menos la ganancia esperada en condiciones de incertidum bre. Fís. F ís. Omar Omar C Cazares azares

6

Ejemplo 1.1.Se

tiene un pequeño negocio de venta de r osquillas las cuales se ve nden a $ 0,80 la docena y tienen un costo de $ 0,50 la docena. Las que no se pueden vender en el día se las e ntrega a $ 0,40 la docena. Se ha hecho una toma de datos estadísticos de la demanda obteniendo la siguiente ta bla. ¿Cuál es la cantidad óptima de inventario que hay que tener con el fin de aumentar al máximo las utilidades esperadas?

DEMA NDA DIAR IA

# DE DIAS

40

5

0,05 0 , 05

41 41

10

0,1 0,1

42 42

10

0,1 0,1

43 43

20

0,2 0,2

44 44

20

0,2 0,2

45 45

15

0,15 0, 15

46 46

15

0,15 0, 15

47

5

0,05 0 , 05


DE VE NTA

PR OB OBA. DE VE NTA

7

Solución..-

Utilidad x doc. vendida = PV ± ± costo = 0,80 ± ± 0, 0,50 50 = 0,3 0 0,30 ,30 0 Pér dida x doc. no vendida = Costo ± ±V Val alor de recuperación = 0,50 ± ± 0, 0,40 40 = 0,10 0,10 0,1 0 Por e jemplo si tengo en inventario 42 docenas: o

Demanda de 40 docenas: Utilidad por doc. vendidas = 40 * 0,30 = 12 Pér dida por doc. no vendidas = 2 * 0,10 = 0,2 Ganancia Condicional = Utilidad por ventas ± ± Pér Pér dida por sobrante = 12 ± ± 0,2 0,20 0 = 11,8 1 11,80 1,80 0

o

Demanda de 46 docenas Utilidad por doc. vendidas = 42 * 0,30 = 12,60 Ganancia Condicional = Utilidad por ventas = 12,60


8

Combinando el inventario con la demanda tenemos la siguiente tabla de ganancias condicionales:

I

D

E

M

A

N

D

A

N N

40

41

42

43

44

45

46

47 47

V

40

1 2, 0 12,0

1 2, 0

1 2, 0

1 2, 0

1 2, 0

1 2, 0

1 2, 0

1 12,0 2, 0

E

41

11,9 11,9

1 2, 3

1 2, 3

1 2, 3

1 2, 3

1 2, 3

1 2, 3

1 12,3 2, 3

N N

42 42

11,8 11,8

1 2, 2

1 2, 6

1 2, 6

1 2, 6

1 2, 6

1 2, 6

1 12,6 2, 6

T

43

11,7 11,7

1 2, 1

1 2, 5

1 2, 9

1 2, 9

1 2, 9

1 2, 9

1 12,9 2, 9

A

44

11,6 11,6

1 2, 0

1 2, 4

1 2, 8

1 3, 2

1 3, 2

1 3, 2

1 13,2 3, 2

R

45

11,5 11,5

11,9

1 2, 3

1 2, 7

1 3, 1

1 3, 5

1 3, 5

1 13,5 3, 5

I

46

11,4 11,4

11,8

1 2, 2

1 2, 6

1 3, 0

1 3, 4

1 3, 8

1 13,8 3, 8

O

47

11,3 11,3

11,7

1 2, 1

1 2, 5

1 2, 9

1 3, 3

1 3, 7

1 14,1 4, 1


9





Esta ta bla que se ha encontrado se la puede considerar como una matriz de pagos en la que los estados de la naturaleza son los diferentes valores de la demanda y las estrategias son los posi bles inventarios. Para tener un criterio de selección de la me jor estrategia vamos a calcular la ganancia esperada buscando la suma pr od oducto de multiplicar las diferentes ganancias por los diferentes valores de pr ob oba bilidad. Se elegir á la estrategia que nos de la mayor ga nancia esperada. Fís. F ís. Omar Omar C Cazares azares

1 10 0

Haciendo las respectivas operaciones, tenemos lo siguiente:

40 40

41

42

43

44

45

46

47 47

Gan.

ob. Pr ob

0,05

0,1

0, 1

0, 2

0,2

0, 1 5

0,15

0 0,05 , 05

Esp.

40

1 2, 0 12,0

1 2, 0

1 2, 0

12 , 0

12,0

12 , 0

1 2, 0

1 12,0 2, 0

12,0

41

11,9 11,9

1 2, 3

1 2, 3

12 , 3

12,3

12 , 3

1 2, 3

1 12,3 2, 3

12,28

42

11,8 11,8

1 2, 2

1 2, 6

12 , 6

12,6

12 , 6

1 2, 6

1 12,6 2, 6

12,52

43

11,7 11,7

1 2, 1

1 2, 5

12 , 9

12,9

12 , 9

1 2, 9

1 12,9 2, 9

12,72

44

11,6 11,6

1 2, 0

1 2, 4

12 , 8

13,2

13 , 2

1 3, 2

1 13,2 3, 2

12,84

45

11,5 11,5

11,9

1 2, 3

12 , 7

13,1

13 , 5

1 3, 5

1 13,5 3, 5

12,88

46

11,4 11,4

11,8

1 2, 2

12 , 6

13,0

13 , 4

1 3, 8

1 13,8 3, 8

12,86

47

11,3 11,3

11,7

1 2, 1

12 , 5

12,9

13 , 3

1 3, 7

1 14,1 4, 1

12,78


1 11 1

VALOR A PAGAR POR LA INFORMACION PERFECTA 



Si

de alguna manera se pudiera obtener la inf ormación perfecta de la demanda del día siguiente, nuestra ganancia esperada sería la máxima posi ble. La pregunta es cuanto estaría la empresa dispuesta a pagar por que se le pr o porcione la inf ormación perfecta. Este valor esperado de la inf ormación perfecta se lo puede evaluar restando la ganancia máxima posi ble con inf ormación perfecta menos la ganancia esperada en condiciones de incertidum bre; la empresa no puede pagar más de dicha cantidad si desea obtener utilidades. Fís. F ís. Omar Omar C Cazares azares

1 12 2

Note que la ganancia máxima posible ocurre cuando el inventario coincide con la demanda , dichos valores están en la diagonal principal de la matriz de ganancias:

I

D

E

M

A

N

D

A

N N

40

41

42

43

44

45

46

V

40

E

41

N N

42 42

T

43

A

44

R

45

I

46

O

47

47 47

12,0 12,3 12,6 12,9 13,2 13,5 13,8 Fís. F ís. Omar Omar C Cazares azares

14,1

1 13 3

Para encontrar la ganancia máxima esperada con inf ormación perfecta vamos a multiplicar la ganancia máxima por la pr ob oba bilidad de ocurrencia, tendremos: DEM.

PR O OB. B. B.

GA NA N. MAXIMA

GA NA NCIA ESPERADA

40 40

0, 05

12,0

1 12,0 2,0 x 0 0,05 ,05 = 0,6 0, 6

41 41

0,1

12,3

1 12,3 2, 3 x 0 0,1 ,1 = 1 1,23 , 23

42 42

0,1

12,6

1 12,6 2, 6 x 0 0,1 ,1 = 1 1,26 , 26

43 43

0,2

12,9

1 12,9 2, 9 x 0 0,2 ,2

=2 2,58 , 58

44 44

0,2

13,2

1 13,2 3, 2 x 0 0,2 ,2

=2 2,64 , 64

45 45

0, 15

13,5

1 13,5 3,5 x 0 0,15 , 15 = 2 2,025 , 02 5

46 46

0, 15

13,8

1 13,8 3, 8 x 0 0,15 ,15 = 2 2,07 , 07

47 47

0, 05

14,1

1 14,1 4,1 x 0 0,05 , 05 = 0 0,705 , 70 5

GA NA NCIA

ESPERADA

PER FECTA Fís. F ís. Omar Omar C Cazares azares

13,11 1 14 4

Por lo tanto tendríamos: VPIP = 13,11 ± ± 12 12,8 12,88 ,88 8 = 0,23 0,23 0,2 3 Es de esperar que el VPIP cuando se aplica el método de pér didas condicionales sea el mismo valor que el encontrado por el método de ganancias condicionales.


1 15 5

TABLA DE PERDIDAS CONDICIONALES 



Este método usa el mismo pr ocedimiento anterior con la diferencia que en vez de calcular las ganancias se encuentran las pér didas condicionales. Normalmente según el or den de nuestra ta bla las cifras que están a la derecha de la diagonal principal representan pér didas por exceso de inventario y las que están a la izquier da son pér didas de o portunidad por falta de pr od oducto. Fís. F ís. Omar Omar C Cazares azares

1 16 6





Es evidente que en este método escogeremos el nivel de inventario que nos dé el menor valor, el cual esperamos que coincida con el nivel encontrado por el otr o método. Aquí el valor a pagar por la inf ormación perfecta no puede superar el menor valor de pér dida condicional encontrada en el nivel óptimo de inventario.


1 17 7

Ejemplo 1.1.Se

tiene un pequeño negocio de venta de r osquillas las cuales se ve nden a $ 0,80 la docena y tienen un costo de $ 0,50 la docena. Las que no se pueden vender en el día se las e ntrega a $ 0,40 la docena. Se ha hecho una toma de datos estadísticos de la demanda obteniendo la siguiente ta bla. ¿Cuál es la cantidad óptima de inventario que hay que tener con el fin de aumentar al máximo las utilidades esperadas?

DEMA NDA DIAR IA

# DE DIAS

40

5

0,05 0 , 05

41 41

10

0,1 0,1

42 42

10

0,1 0,1

43 43

20

0,2 0,2

44 44

20

0,2 0,2

45 45

15

0,15 0, 15

46 46

15

0,15 0, 15

47

5

0,05 0 , 05


DE VE NTA

PR OB OBA. DE VE NTA

1 18 8

Solución..-

Pér dida por no tener pr od oducto = Utilidad x cantidad pedida Pér dida x doc. no vendida = Costo ± ± Val Valor de recuperación = 0,50 ± ± 0, 0,40 40 = 0,1 0 0,10 ,10 0 Por e jemplo si tengo en inventario 42 docenas: o

o

Demanda de 40 docenas: Pér dida por doc. no vendidas = 2 * 0,10 = 0,2 Demanda de 46 docenas Pér dida por no tener pr od oducto = 0,30 * 4 = 1,20 Fís. F ís. Omar Omar C Cazares azares

1 19 9

Combinando el inventario con la demanda tenemos la siguiente tabla de perdidas condicionales condicionales::

I

D

E

M

A

N

D

A

N N

40

41

42

43

44

45

46

47 47

V

40

0

0, 3

0, 6

0, 9

1, 2

1, 5

1, 8

2 2,1 ,1

E

41

0, 1 0,1

0

0, 3

0, 6

0, 9

1, 2

1, 5

1 1,8 ,8

N N

42 42

0, 2 0,2

0, 1

0

0, 3

0, 6

0, 9

1, 2

1 1,5 ,5

T

43

0, 3 0,3

0, 2

0, 1

0

0, 3

0, 6

0, 9

1 1,2 ,2

A

44

0, 4 0,4

0, 3

0, 2

0, 1

0

0, 3

0, 6

0 0,9 ,9

R

45

0, 5 0,5

0, 4

0, 3

0, 2

0, 1

0

0, 3

0 0,6 ,6

I

46

0, 6 0,6

0, 5

0, 4

0, 3

0, 2

0, 1

0

0 0,3 ,3

O

47

0, 7 0,7

0, 6

0, 5

0, 4

0, 3

0, 2

0, 1

0


2 20 0

40 40

41

42

43

44

45

46

47 47

Valor

0.05 0.05

0,1

0,1

0,2

0,2

0,15

0,15

0,05 0,05

Esp.

40

0

0, 3

0, 6

0, 9

1, 2

1, 5

1, 8

2 2,1 ,1

1,11

41

0, 1 0,1

0

0, 3

0, 6

0, 9

1, 2

1, 5

1 1,8 ,8

0,83

42

0, 2 0,2

0, 1

0

0, 3

0, 6

0, 9

1, 2

1 1,5 ,5

0,59

43

0, 3 0,3

0, 2

0, 1

0

0, 3

0, 6

0, 9

1 1,2 ,2

0,39

44

0, 4 0,4

0, 3

0, 2

0, 1

0

0, 3

0, 6

0 0,9 ,9

0,27

45

0, 5 0,5

0, 4

0, 3

0, 2

0, 1

0

0, 3

0 0,6 ,6

0,23

46

0, 6 0,6

0, 5

0, 4

0, 3

0, 2

0, 1

0

0 0,3 ,3

0,25

47

0, 7 0,7

0, 6

0, 5

0, 4

0, 3

0, 2

0, 1

0

0,33


2 21 1

Ta bla de Pér didas Condicionales: VPIP = Costo mínimo = 0,23


2 22 2

METODO DE ANALISIS MARGINAL 



El enf oque marginal básicamente evita los pr ob oblemas dados por los excesos de cálculos ya sea porque hay demasiadas varia bles o muchos pr od oductos. Aquí nos interesa sa ber si al tener una unidad adicional la ganancia marginal esperada es mayor que la pér dida marginal que podría pr od oducir. Por lo tanto, la regla general, es que las unidades adicionales se de ben tener en existencia siempre siempre que q ue la pr ob oba bilidad marginal de vender dicha unidad sea mayor que la pr ob oba bilidad acumulada histórica de las ventas de dicho pr od oducto. Fís. F ís. Omar Omar C Cazares azares

2 23 3





Se

define a la ganancia marginal como el valor obtenido al vender una unidad adicional. De la misma manera definimos a la pér dida marginal como el valor de tener en existencia una unidad y no venderla. Se puede plantear la siguiente ecuación: pm : pr ob oba bilidad marginal de vender una unidad a adicional ( 1 ± ± p pm) : pr ob oba bilidad marginal de no vender una unidad adicional GM: Ganancia marginal PM: Pér dida Marginal

± p pm * GM = ( 1 ± pm ) * PM pm = Fís. F ís. Omar Omar C Cazares azares

PM PM + GM 2 24 4

Tendremos la siguiente idea recor dando que la distri bución es normal:


2 25 5



Ejemplo GM = 0,8 ± ± 0, 0,5 5 = 0, 0,3 3 PM = 0,5 ± ± 0, 0,4 4 = 0, 0,1 1

pm =

PM PM + GM

pm = 0,25 Como la pr ob oba bilidad acumulada de ventas de be ser mayor que la pr ob oba bilidad marginal, el nivel de inventario óptimo ser á el inmediatamente superior al oba bilidad marginal. valor de la pr ob Fís. F ís. Omar Omar C Cazares azares

2 26 6

La pr ob oba bilidad acumulada de ventas la podemos calcular en base a la siguiente ta bla: DEMA NDA

PR OB OBABILIDAD

PR OB OBABIL. ACUMULADA

40 40

0, 05

1

41 41

0, 1

0 0,95 , 95

42 42

0, 1

0 0,85 , 85

43 43

0, 2

0 0,75 , 75

44 44

0, 2

0 0,55 , 55

45 45

0, 15

0 0,35 , 35

46 46

0, 15

0 0,2 ,2

47 47

0, 05

0 0,05 , 05


pm = 0,25

2 27 7

DEMANDA CONTINUA 



En la mayoría de pr ob oblemas de ventas de pr od oductos la demanda no se restringe a unos pocos valores sino que dicha demanda tiene una gran cantidad de valores, por lo que consideraremos el empleo de la distri bución continua y sus distintas fórmulas ya conocidas. Se puede calcular la media aritmética como: X

!

§ x

i

n


2 28 8



La misma media aritmética para datos agrupados en una ta bla de frecuencias se la puede calcular como:

X 

!

§ fa

i

 mc i

n

Vamos tam bien a necesitar la desviación estandar que se calcula como:

§ fa  MC 

2

§ fa i  MC

i

2

s !



n

n 1 Fís. F ís. Omar Omar C Cazares azares

2 29 9





R ecuer oba bilidad marginal se encuentra ecuer de que la pr ob de la misma manera que se señalo anteriormente, y en nuestr o caso representa la cantidad de área que no podemos ocupar con nuestr o inventario, para seguridad del valor resultante disminuimos una unidad y dicho valor tomamos como valor óptimo del inventario. Además vamos a asumir que la distri bución con la que estamos tra ba jando es normal por lo tanto tendr á un gr áfico parecido al de la figura en el cual el área ba jo la curva es 1 y normalmente dicha área se relaciona con la desviación estándar que parte del centr o de la curva, es decir a partir de la media aritmética. Fís. F ís. Omar Omar C Cazares azares

3 30 0



El valor de k se busca mediante la ayuda de una ta bla que nos da la relación existente entre el área y la desviación estándar y asumimos que el nivel óptimo de inventario es el que nos de la suma de la media aritmética más el valor de k por la desviación estándar.


3 31 1

3.2.Ejemplo 3.2.Se

han tomado los datos de la venta de las r osquillas de nuestr o e jemplo anterior en los últimos cincuenta días dando como resultado la siguiente ta bla. R ecuer ecuer de que los precios y datos anteriores son los mismos. Encuentre el nivel óptimo de inventario para maximizar la utilidad.

47 47

67

49

55

40

50

48

49

49

4 49 9

48 48

46

43

51

51

62

41

50

62

4 45 5

50 50

55

48

33

41

45

46

45

60

3 39 9

49 49

32

49

47

47

48

60

51

43

5 51 1

50 50

47

43

50

48

65

48

46

49

5 55 5


3 32 2

bución de La idea de la varia ble continua se basa en la creación de una ta bla de distri b frecuencias en la que de ben aparecer grupos o clases de las varia bles con sus respectivas oblema podríamos crear la siguie nte ta bla de frecuencias a bsolutas. Para los datos del pr ob distri bución de frecuencias:

GRUPOS

FREC. ABS.

MARCA DE CLASE

fa * mc

fa * mc 2

30-35

2

32. 5

65

2112.5

35-40

1

37. 5

37 . 5

1 4 0 6. 25

40-45

6

42. 5

2 55

1 0 8 37 . 5

45-50

23

4 7. 5

1 0 9 2. 5

51893.75

50-55

9

52. 5

472.5

24806.25

55-60

3

57. 5

172.5

9 91 8 . 75

60-65

4

62. 5

2 50

15 625

65-70

2

67. 5

1 35

9112.5

TOTAL

50

2480

125712.5


3 33 3



Podemos encontrar la media aritmética para datos do a la siguiente relación: agrupados de acuer do X



!

§ fa



i

mc

2480

i

!

!

49 , 6

50 do a la siguiente Y la desviación estándar de acuer do fórmula:

s

!

§ fa

n

i

 MC

2



§ fa

 MC 

2

i

n 1


n

! 7,43

3 34 4



De nuestr os datos anteriores sa bemos que la pm = 0,25, entonces el porcenta je del área ocupada ser á de 0,75 y el valor más cercano en nuestra ta bla corresponde al valor de k = 0,67 por lo que nuestr o nivel óptimo de inventario ser á: X

 k  s ! 49,6  0,67 7,43 ! 54,58



R edondeando y restando una unidad por seguridad, tenemos que el nivel óptimo de inventario es de 54 unidades Fís. F ís. Omar Omar C Cazares azares

3 35 5

Toma de Decisiones en Condiciones de Incertidumbre

Recommend Documents