B. TUGASAN2 : MENYELESAIKAN ALIRAN TRAFIK
Gambarajah di bawah menunjukkan aliran trafik di sebuah pekan A. Anggapkan aliran sentiasa positif.
i.
Bentukkan sistem persamaan linear dengan x1 , x 2 , x 3 dan x 4 .
ii.
Dapatkan penyelesaian yang optimum bagi sistem persamaan linear dengan menggunakan operasi baris permulaan.
iii.
Anda juga dikehendaki menyelesaikannya dengan menggunakan perisian komputer dengan menggunakan perisian Linear Algebra Toolkit yang boleh diakses melalui laman web http://www.math.odu.edu/~bogacki/lat/.
iv.
Buat perbandingan
di antara kaedah penyelesaian secara manual dengan
penyelesaian menggunakan perisian komputer. Huraikan kekuatan dan kelemahan setiap kaedah yang anda telah gunakan. v.
Jika aliran trafik ke x 3 dihadkan kepada 22 buah kereta sejam. Apakah perubahan aliran trafik pada AB?
vi.
Apakah julat bagi aliran trafik melalui AB?
TUGASAN 2 Penyelesaian Aliran Trafik Secara Manual
Penyelesaian Manual
Bentukkan sistem persamaan linear dengan a. Nod A:
x1 + 164
b. Nod B: x 2 + 108 = c.
ii.
x3
,
,
x 2 + 94 ……………. (1)
=
x3
+ 200 ………….. (2)
+ 175=
x 4 + 97 ………….. (3)
d. Nod D: x 4 + 75 =
x1 + 131 ………….. (4)
Nod C:
x1
x2
-
x2
= -70 -
x3 x3
- x1
= 92 -
x4
= -78
+
x4
= 56
Pindahkan ke dalam bentuk matriks
Pemindahan bentuk persamaan linear ini kepada bentuk matriks untuk meringkaskan persamaan yang ada di samping membantu mencari nilai-nilai anu dengan mudah.
1
-1
0
0
-70
0
1
-1
0
92
0
0
1
-1
-78
-1
0
0
1
56
(LANGKAH-LANGKAH PENYELESAIAN) 1. Sifarkan semua pemasukan pada lajur pertama kecuali pelopor lajur pertama untuk menjadikan bentuk matriks imbuhan tersebut berbentuk segitiga.
𝑩𝟒 + 𝟏 𝑩𝟏
𝟏 −𝟏 𝟎 𝟎 −𝟕𝟎 𝟎 𝟏 −𝟏 𝟎 𝟗𝟐 𝟎 𝟎 𝟏 −𝟏 −𝟕𝟖 𝟎 −𝟏 𝟎 𝟏 −𝟏𝟒
2. Kemudian, sifarkan pemasukan lajur kedua yang terletak dibawah pelopor baris kedua.
𝑩𝟒 + 𝑩𝟐
𝟏 −𝟏 𝟎 𝟎 −𝟕𝟎 𝟎 𝟏 −𝟏 𝟎 𝟗𝟐 𝟎 𝟎 𝟏 −𝟏 −𝟕𝟖 𝟎 𝟎 −𝟏 𝟏 𝟕𝟖
3. Seterusnya, sifarkan pemasukan lajur ketiga yang terletak dibawah pelopor baris ketiga B4 + B3
4. Susun semula
P(A)
P(A/B) = P(U) , Maka penyelesaian tak terhingga daripada matriks yang
diatas
x1
x2
-
= -70
x2
-
x3
x3
-
x4
= 92 = -78
Katakan x 4 = t, t € R, maka
x3
-
x4
x3
=
x 4 - 78
x3
= t – 78 ……………… (1)
x2
= -78
x3
-
x3
= 92
x2
=
x2
= (t-78) + 92 …………… (1) ke dalam (2)
x2
= t + 14 …….. (3)
x1
-
x1
= x 2 - 70 …………. (4)
x1
= (t+14)-70 ………. (3) into (4)
x1
= t – 56
+ 92 ………………… (2)
x2
= -70
Oleh kerana semua x adalah positif. Maka, ( t – 56 , t +14 , t – 78 , t) , t € R.
Maka, x 3
≥0
t – 78 ≥ 0 t
≥ 78
maka, penyelesaian optimum apabila t ≥ 78,
x1
=
78-56 =
22
x2
=
78+14 =
92
x3
=
78-78 =
0
x4
=
t
78.
=
Kita membuat andaian atau menggangap nilai x4 = t pada awal persamaan untuk mencari nilai-nilai x dalam persamaan di atas. Nilai bagi x4 adalah tidak terhingga namun kita perlu menggunakan nilai yang mana membolehkan kita mendapat nilai bagi sesuatu persamaan itu bukan negatif. Nilai t yang digunakan ialah 78 dan rasional nilai ini digunakan ialah nilai ini merupakan nilai yang paling sesuai untuk semua persamaan di mana ianya menyediakan nilai yang paling minimum pada persamaan (3) di mana ianya merujuk kepada nombor positif atau tiada kenderaan yang melalui laluan tersebut / x ≥ 78 untuk mengelakkan nilai menjadi negatif. Nilai- nilai x ini merupakan bilangan minimum kereta yang melalui laluan tersebut. Menurut jalan pengiraan manual di atas, kita akan dapat mencari kesimpulan yang mana (oleh kerana semua x adalah positif. Maka, ( t – 56 , t +14 , t – 78 , t) , t € R. Dan setelah memasukkan nilai t = 78 ke dalam persamaan 1, persamaan 2 dan persamaan tiga, kita akan memperolehi nilai pembolehubah yang bukan negatif iaitu x1 = 22, x2 = 92, dan x3 = 0. Rasional untuk nombor atau nilai positif dalam aplikasi aliran atau laluan trafik ini ialah, jika salah satu persamaan yang hasilnya ialah negatif, bermaksud kereta itu melebihi tampungan jalan raya yang menyebabkan kesesakan lalu lintas yang memungkinkan beberapa kenderaan berpata balik. Oleh itu, bilangan minimum kereta yang boleh melalui setiap laluan ialah: (x1 > 22, x1 > 92, x3 > 0, x4 > 78)
TUGASAN 2 Penyelesaian Aliran Trafik Menggunakan Perisian komputer
1. Akses laman web yang diberikan iaitu http://www.math.odu.edu/~bogacki/lat/ Paparan adalah seperti berikut :
2. Seterusnya, klik pada “Solving a linear system of equation”.
3. Setelah itu, paparan di bawah akan muncul
4. Langkah seterusnya ialah dengan memasukkan nilai bagi
dan juga
Nilai
bagi m dan n adalah bergantung kepada jumlah lajur dan baris bagi operasi matrik. Seterusnya, klik pada butang SUBMIT. Paparan yang akan muncul seterusnya adalah seperti berikut
5. Langkah seterusnya ialah mengisi data pada tempat yang disediakan. Pastikan kesemua petak diisi kerana sekiranya petak tidak diisi, ia akan dianggap mempunyai nilai 0.
6. Seterusnya klik SUBMIT dan paparan seterusnya adalah mengenai langkah langkah penyelesaian.
7. Terdapat 2 langkah penyelesaian iaitu a. Langkah 1 : menukarkan persamaan linear kepada bentuk baris ekselon. b. Langkah 2 : mentafsir bentuk baris ekselon. 8. Klik pada “STEP 1: TRANSFORM AUGMENTED MATRIZ TO THE REDUCED ROW ECHELON FORM” 9. Langkah penyelesaian akan dipaparkan seperti gambarajah di bawah
BANDING BEZA KAEDAH PENYELESAIAN SECARA MANUAL DAN PERISIAN
Manual
Perisian
Lambat namun terperinci
Cepat
mengelirukan/ potensi kesilapan tinggi Mudah dan tepat Pengiraan yang banyak namun dapat membantu dari segi kefasihan mengira dan kepekaan.
Konsep yang sama iaitu menggunakan kaedah penggantian dari belakang
Tidak memerlukaan pengiraan manual.
Dapat menyelesaikan masalah yang melibatkan anu yang banyak.
Perlu teliti semasa membuat pengiraan dan memasukkan data.
Persamaan
Persamaan kaedah kedua-dua cara ini iaitu kaedah manual dan menggunakan perisian ialah, kedua-dua cara menggunakan kaedah yang sama iaitu penghapusan Gauss dan
penggantian ke belakang. Berbanding kaedah lain seperti penghapusan dan pengantian, kedua-dua kaedah ini lebih sesuai bagi bilangan anu yang banyak seperti 4 anu ke atas. Maksudnya kedua-dua kaedah ini sesuai untuk persamaan atau masalah yang melibatkan banyak anu. Selain itu, kedua-dua cara yang di gunakan menghasilkan jawapan akhir yang sama. Untuk mendapatkan nilai anu yang sama antara cara manual dan perisian komputer, nilai anu terakhir yang di pilih perlu sifar. Ini kerana, baris terakhir dalam kedua-dua matriks adalah sifar. Jadi, saya boleh meletakkan sebarang nilai bagi anu terakhir kerana ianya bersifat arbitrari. Perisian komputer telah memilih untuk meletakkan nilai tersebut dengan sifar, maka ianya sama dengan jawapan akhir saya kerana saya turut menggunakan sifar bagi nilai anu yang terakhir. Dengan itu, saya dapat menyemak jawapan antara cara manual dan perisian komputer. Walaupun begitu, sekiranya nilai anu terakhir di letakkan sebarang nilai seperti 1, 2 atau 3 dalam pengiraan manual, ianya masih tetap betul tetapi jawapan akhir berbeza dengan jawapan komputer kerana perisian tersebut memilih nilai sifar. Nilai anu terakhir akan mempengaruhi nilai anu yang lain kerana kaedah pengantian ke belakang digunakan. Di samping itu, dengan menggunakan kedua-dua kaedah ini, ianya juga mempunyai persamaan yang perlu dititikberatkan iaitu, ketelitian perlu ada untuk membuat pengiraan dan juga memasukkan data bagi persamaan-persamaan yang terlibat. Untuk kaedah OBP atau BEB, kekeliruan boleh berlaku dan jika tidak teliti membuat pengiraan, kemungkinan besar pengiraan itu akan membawa hasil yang salah dan tidak tepat. Begitu juga dengan menggunakan perisian, jika tersalah masukkan data, maka semuanya akan menjadi salah. Oleh itu, ketelitian perlu diutamaan untuk kedua-dua kaedah ini. Berikut merupakan perbezaan ketara bagi kedua-dua cara. Pertama, dengan menggunakan kaedah manual, tahap untuk melakukan kesalahan dalam pengiraan adalah tinggi. Hal ini kerana, matriks yang terlibat seperti 4x4 dan keatas memerlukan pengiraan yang terperinci dan juga panjang. Berbanding dengan perisian komputer, apabila pekali bagi setiap anu di masukkan ke dalam formula, perisian tersebut akan melakukan proses pengiraan. Makanya, jika tiada kesilapan memasukkan data, maka tahap kesilapan yang berlaku dalam pengiraan tidak aka n ada kerana sistem akan mengira secara automatik. Selain itu, untuk menyelesaikan persamaan dengan menggunakan kaedah matriks dengan cara manual, ianya perlu di lakukan secara berperingkat-peringkat dan ini menyebabkan pengiraan menjadi lambat dan namun terperinci. Untuk mendapatkan nilainilai x atau anu-anu yang terdapat dalam sesebuah set persamaan terdapat beberapa peringkat yang perlu dilakukan iaitu, menyelesaikan dengan menggunakan OBP dan BEB
yang cukup panjang dan mengelirukan dan seterusnya membuat kaedah pengantian ke belakang untuk mencari dan mengenalpasti nilai anu persamaan-persamaan yang ada. Manakala dengan menggunakan perisian proses yang terlibat hanyalah memasukkan data dan menyemak jawapan di mana pengiraan ke belakang tidak perlu dilakukan. . Berdasarkan kepada perbezaan langkah antara manual dan komputer, di dapati cara manual akan memakan masa yang banyak.
Secara tuntasnya, saya mendapati bahawa cara komputer lebih berkesan dan efisen bagi menyelesaikan persamaan yang melibatkan bilangan anu yang banyak seperti 4x4 dan ke atas. Hal ini kerana, penggunaan perisian ini lebih berbaloi di mana ianya membantu pelajar untuk menjimatkan masa, memudahkan pengiraan, meminimakan kesilapan dan juga senang dan mudah digunakan.
iv ) Huraikan kekuatan dan kelemahan setiap kaedah yang digunakan
PENYELESAIAN SECARA MANUAL
PENYELESAIAN
MENGGUNAKAN
PERISIAN KEKUATAN Memberikan kefahaman yang menyeluruh Pelajar dapat menjimatkan masa untuk berkaitan dengan aliran trafik/masalah yang menyiapkan pengiran kerana ianya hanya wujud dengan menggunakan persamaan melibatkan linear
dan
ketaksamaan
linear
memasukkan
data
dan
serta menyemak langkah yang diberikan setelah
mengaplikasikan kaedah OBP dan juga selesai memasukan data ke dalam perisian BEB.
komputer yang digunakan.
Pelajar akan lebih teliti, dan mendapat Jawapan didapati dnegan mudah dan tepat kefahaman menyeluruh
berbanding kaedah manual.
Fokus akan lebih tinggi terhadap sesuatu Jawapan dapat disemak dengan lebih cepat. masalah. Memberikan satu gambaran penuh tentang Menjimatkan penggunaan masalah pelajar
yang
berlaku
menyelesaikan
dan
membantu dapat
masalah
memupuk
kertas di mana
kelestarian
dalam
yang pengajaran matematik.
berlaku itu. Kesalahan dapat dibetulkan dengan cepat dan mudah. Mesra Pengguna, mudah digunakan. KELEMAHAN Tahap melakukan kesilapan dan kekeliruan Jawapan mudah sangat diperoleh di mana adalah tinggi. Kesilapan yang biasa seperti tidak dapat memberi kefahaman yang lebih symbol-simbol
negatif
dan
sebagainya mendalam mengenai cara menyelesaikan
berpotensi untuk terjadi yang menyebabkan aliran trafik. ralat pada pengiraan persamaan tersebut. Tidak menjimatkan masa, hal ini kerana, Membuatkan pelajar malas dan terlalu peniraan persamaan ini melibatkan jalan
kerja yang banyak dan panjang.
Banyak
menggunakan
kertas
bergantung dengan perisian.
untuk
pengiraan. Kesilapan
dan
juga
dilakukan dan dikesan.
pembetulan
sukar
v) Jika aliran trafik ke x 3 dihadkan kepada 22 buah kereta sejam. Apakah perubahan aliran trafik pada AB?
x1
-
x2
= -70 ------------ (1)
x2
-
x3
x3
-
x4
= 92-------------- (2) = -78 ----------- (3)
Penyelesaian : Masukkan x3=22 ke dalam (2) dan (3) untuk mendapatkan nilai x2 dan x4 Persamaan (2) x2 – x3 = 92 x2 – 22 = 92 x2 = 114
Persamaan (3) x3
-
x4 = - 78
22 - x4 = - 78 x4 = 100 Masukkan nilai x2 = 114 ke dalam persamaan (1) x1
-
x2 = - 70
x1
-
114 = - 70
x1
= - 70 + 114
x1
= 44
Kesimpulannya, jika aliran trafik ke dihadkan kepada 22 buah kereta sejam. Semua aliran trafik akan mengalami perubahan di mana aliran trafik AB turut berubah. Jika aliran trafik ditentukan kepada 22 buah kereta sejam, nilai x1, x2, dan x4 mengalami perubahan seperti berikut; (x1= 44, x2=114 dan x4=100)
VI) Julat bagi aliran trafik AB merujuk kepada kenderaan minimum iaitu t ≥78 yang mana kenderaan minimum yang boleh melalui laluan tersebut. Kita dapat mengenalpasti jumlah minimum dan maksimum kenderaan yang melalui sesuatu laluan dengan mencari julat laluan.
x1 = 22
x 2 = 92
x3
Tanpa had/had ≠
=0
x 4 = 78.
Dengan had x3= 23 x1 = 44 x2 = 114 x3 = 100 Oleh itu, 22
TUGASAN 3 ULASAN KRITIS
Ulasan tugasan 1. Dalam tugasan pertama iaitu saya dikehendaki membuat pembacaan mengenai persamaan dan ketaksamaan linear dan tugasan ini memerlukan saya memahami secara mendalam mengenai persamaan dan ketaksamaan linear.
Kebanyakan malah hamper
keseluruhan daripada tugasan satu ialah peta minda di mana peta minda yang telah saya buat dengan menggunakan e-draw mind map. Software e-draw mind map ini membantu saya dalam penyusunan maklumat-maklumat yang telah saya perolehi dan merumuskan dalam satu grafik yang boleh dijadikan sebagai rujukan pemahaman. Melalui daripada tugasan ini,
untuk bahagian tajuk sistem persamaan dan
ketaksamaan linear yang melibatkan menyelesaikan persamaan linear hingga empat pembolehubah yang menggunakan pelbagai kaedah seperti kaedah penghapusan, kaedah penggantian, kaedah Gauss – Jordan dan sistem persamaan Homogen banyak maklumatmaklumat penting telah disertakan di dalam peta minda dan serba sedikit memberikan saya gambaran keseluruhan penggunaan kaedah-kaedah ini. Bagi kaedah penghapusan, saya telah mendapti bahawa kaedah ini mudah digunakan namun perlu memeilih sesuatu anu atau pembolehubah yang perlu dihapuskan untuk mendapatkan nilai anu yang satu lagi dan memerlukan persamaan satu dan kedua didarabkan namun ianya perlu diambil kira yang mana operasi yang digunakan haruslah berlawanan agar ianya dapat menghapuskan anu yang terlibat. Kaedah ini mudah digunakan terutamanya persamaan yang melibatkan hanya dua persamaan sahaja namun ianya tidak sesuai untuk persamaan yang mempunyai pembolehubah dan persamaan yang melebihi daripada dua. Bagi kaedah penggantian pula, kaedah ini cukup mudah di mana kaedah ini selalu saya gunakan semasa menyelesaikan persamaan linear yang melibatkan dua atau tiga pembolehubah / persamaan yang berlainan. Kaedah penggantian ini memerlukan kita memilih satu persamaan yang
tentukan anu utama yang akan dimasukkan ke dalam
persamaan yang lainnya lagi untuk mencari nilai anu-anu yang terlibat. Kaedah ini mudah di mana, kita dapat melihat bagaimana proses pengiraan kita satu per satu untuk mencari nilai anu-anu yang terlibat. Selain itu, bagi penggunaan kaedah Gauss- Jordan pula kaedah ini boleh dikatakan mudah kerana ianya membantu kita menukarkan satu bentuk persamaan yang mempunyai banyak anu ke dalam satu persamaan bentuk matriks. Persamaan bentuk matriks ini memudahkan pengiraan namun untuk sampai ke akhir penyelesaian ianya menggunakan banyak masa dan juga banyak peringkat-peringkat di mana ada bahgian yang perlu dijadikan sifar dan seterusnya pada akhir pengiraan ini, kita akan terus mendapat jawapan dengan hanya menyelesaikan pengiraan kaedah Gauss – Jordan. Melalui pembacaan saya
saya mendapati bahawa kaedah ini merupakan kaedah penghapusan Gauss. Dan ada tiga jenis kaedah yang ada pada kaedah Gauss –Jordan iaitu, OBP (Operasi baris permulaan), BEB, dan BEBT (Takrif bentuk eselon baris dan bentuk eselon baris tetuturun. Ketiga-tiga kaedah ini menggunakan kaedah yang hampir serupa di mana semuanya menggunakan istilah pelopor dan kemasukan. Semua kaedah ini boleh dirujuk pada peta minda yang telah saya sediakan. Bagi persamaan homogen dan non-homogen pula, saya telah dapat membuat satu generalisasi bahawa penyebut di dalam sesebuah sistem linear menentukan bahawa sistemitu sistem linear homogen atau non-homogen yang mana bagi sistem linear homogen, semua sebutan malarnya sifar manakala sistem tak homogen pula sebutanya ialah mempunyai nilai. Dalam kedua-dua sistem ini homogen dan non-homogen terdapat beberapa ciri-ciri yang perlu diketahui. Contohnya bagi sistem linear homogen, setiap sistem persamaan linear homogen adalah konsisten dan mempunyai penyelesaian dan penyelesaian ini disebut remeh dan ada juga penyelesaian yang disebut penelesaian tak remeh jika sesuatu persamaan itu mempunyai penyelesaian lain. Bagi sistem tak homogen ini pula terdapat dua jenis penyelesaian di mana melibatkan penyelesaian tak konsisten dan konsisten yang mana bagi penyelesaian konsisten mempunyai dia jenis lagi di mana konsisten yang mempunyai penyelesaian unik dan penyelesaian yang tak terhingga banyaknya. Bilangan anu bagi tak konsisten ini tidak mempunyai penyelesaian.
Ulasan Tugasan 2 Untuk tugasan dua, saya dikehendaki untuk menyelesaikan satu masalah aliran trafik yang mana aliran trafik ini sentiasa berada dalam nilai positif. Dalam tugasan ini, saya telah mempelajari bagaimana mengaplikasikan ilmu yang telah saya perolehi dariapda tugasan pertama yang mana dapat mengaplikasikan kaedah OBP dan juga BEB serta penggantian dari belakang. Menurut pengalaman saya semasa melaksanakan tugasan ini, saya mendapat satu generalisasi bahawa, untuk menyelesaikan masalah aliran trafik ini, kita akan seboleh-bolehnya mencari nilai atau penyelesaian yang membolehkan laluan ini sentiasa positif yang mana bermaksud tidak menghadapi masalah pada laluan terebut. Hal ini kerana, apabila aliran ini menjadi negatif maka ianya akan menjadi satu masalah di mana berlakunya kesesakan lalu lintas. Melalui tugasan ini, banyak ilmu yang telah saya pelajari terutamanya dari segi penggunaan pengiraan manual dan juga perisaian. Penggunaan pengiraan manual bagi saya, ianya dapat memberikan satu pengalaman atau kefahaman yang menyeluruh
walaupun pengiraannya mengambil masa yang agak lama dan mengelirukan jika tidak teliti. Namun sebenarnya, dengan menggunakan penggiraan manual, saya dapat memahami apa yang akan terjadi dan apa yang terjadi serta saya juga dapat mengira dengan lebih tepat dan teratur. Dengan menggunakan pengiraan menggunakan perisian, saya dapati inilah salah satunya cara pengiraan yang paling pantas dan tepat serta menjimatkan masa namun memberikan beberapa impliaksi seperti malas dan sebagainya.
Kedua-dua kaedah ini
memberikan saya satu maklumat atau jawapan yang sama. Selain itu, saya juga dapat mengenalpasti bilangan minimum dan maksimum kenderaan yang boleh melalui laluan tersebut. Dengan bantuan julat dan had minimum dan maksimum, maka masalah akan dapat diselesaikan. Walaupun ada kelemahan dan kekuatan antara penggunaan kaedah-kaedah ini, namun yang paling utama ialah jalan penyelesaian yang mana kedua-dua kaedah ini membantu saya untuk menyelesaikan persamaan yang melibatkan anu yang banyak contohnya matriks 4x4 ke atas. Dengan ini, penyelesaian yang melibatkan pembolehubah anu yang banyak dapat dipermudahkan. Melalui pemahaman saya tentang keselurhan tugasan kedua ini, langkah-langkah yang saya pasti ialah menukarkan persamaan linear kepada persamaan bentuk matriks dan seterusnya membuat pengiraan berdasarkan OBP dan BEB. Selepas itu, laksanakan kaedah penggantian dari belakang untuk mencari bolangan minimum untuk jumlah kenderaan yang melalui setiap laluan iaitu laluan x1, x2, x3 dan x4. Keseluruhan bagi tugasan dua ini bagi saya sangat membantu saya dalam menguasai bidang tajuk algebra ini. Banyak kemahiran yang telah saya pelajari dan mengukuhkan lagi pengetahuan saya terhadap tajuk ini.
PENUTUP Setelah menyelesaikan kedua-dua tugasan, terdapat beberapa kesimpulan yang dapat di lakukan. Pertama, tugasan 1 membantu setiap individu untuk lebih memahami sistem persamaan dan ketaksamaan linear. Melalui proses pembacaan, terdapat pelbagai ilmu baharu yang telah di perolehi selain mengukuhkan pengetahuan sedia ada. Kedua, tugasan 1 membuka mata setiap individu bahawa setiap cabang ilmu itu mempunyai manfaatnya. Sebagai contoh, saya juga di kehendaki mencari maklumat mengenai penggunaan persamaan dan ketaksamaan linear dalam kehidupan seharian. Melalui maklumat ini, ianya membantu saya mengukuhkan konsep mengenai algebra linear. Bagi tugasan 2 pula, apa yang dapat di simpulkan oleh saya adalah setiap apa yang di pelajari mempunyai kegunaannya. Dalam tugasan ini, saya telah menyelesaikan masalah kotak ajaib dengan menggunakan kaedah persamaan. Saya menggunakan kaedah penghapusan Gauss dalam mencari setiap nilai bagi petak yang kosong. Tugasan ini bukan sahaja mencabar malah membantu saya dalam memahami cara-cara menyelesaikan masalah persamaan dengan menggunakan cara matriks. Selain itu, saya juga dapat membandingkan dua cara yang berbeza dalam menyelesaikan masalah persamaan iaitu secara manual dan menggunakan perisian algebra toolkit. Melalui kedua-dua cara ini saya dapat melakukan perbandingan sama ada daripada segi persamaan dan perbezaan. Tuntasnya, tugasan MTE 3110 pada kali ini berjaya membantu saya semua dalam memahami algebra linear dengan lebih mendalam lagi.
REFLEKSI
Terlebih dahulu saya ingin memanjatkan syukur kepada Tuhan kerana limpah berkat-Nya saya dapat menyiapkan tugasan MTE 3110 iaitu Linear Algebra. Saya juga ingin mengucapkan jutaan terima kasih kepada Puan Wu Kam Yin atas segala tunjuk ajar dan bimbingan yang telah diberikan di dalam kelas. Sememangnya apabila kita melaksanakan sesuatu tugasan, kita mesti akan mendapat banyak input dan ada kekangan yang berlaku dan peluang yang wujud yang mana setelah menyempurnakan tugasan ini, saya mendapati banyak input, penambahbaikan dan kelemahan yang saya kenalpasti. Sebelum saya melaksanakan tugasan ini, saya telah didedahkan dengan pelbagai ilmu berkaitan dengan linear algebra oleh pensyarah, namun ilmu yang diperolehi itu membuatkan saya keliru dan kurang faham dengan soalan dan pelbagai aplikasi. Namun setelah menyelesaikan tugasan ini, saya merasakan tugasan ini amat membantu saya dalam mengukuhkan pengetahuan sedia ada mengenai sistem persamaan dan ketaksamaan linear. Walaupun ilmu-ilmu ini sudah pun didedahkan sebelum ini di dalam kelas namun ilmu dan juga kemahiran dalam tugasan ini
dapat menampung segalah masalah dan kemuskilan yang berlaku
aktibat daripada ketidakfahaman saya dalam subjek ini. Jadi saya sangat gembira kerana saya dapat peluang untuk mengukuhkan ilmu sedia ada saya berkaitan dengan ilmu linear Algebra. Selain itu, soalan dalam tugasan ini terutamanya tugasan kedua, ianya sangat membantu saya dalam melihat penggunaan persamaan dan ketaksamaan dalam kehidupan seharian kita. Contohnya, dalam tugasan kedua penggunaan kaedah algebra OBP dan BEB serta kaedah pengantian dari belakang diaplikasikan untuk menyelesaikan masalah aliran trafik.
Saya sedar bahawa setiap cabang
matematik mempunyai implikasinya yang tersendiri. Banyak lagi sebenarnya yang dapat kita kaitkan dengan matematik yang berkaitan dengan algebra termasuklah pengiraan kewangan/untung rugi, dan banyak lagi. Saya berharap saya mampu menguasai topik ini dengan sepenuhnya dan mampu mengongsikan kepada anak murid kelak. Di samping itu, saya juga berpeluang mengetahui satu perisian internet yang sangat berguna bagi saya yang mana inilah yang dapat membantu saya untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan persamaan yang melibatkan banyak
anu. Peisian ini mampu menjimatkan masa saya, mengurangkan kesilapan dan juga “common misake” berlaku dan memastikan jawapan betul dengan tengan menggunakan kaedah semak semula jawapan. Dalam masa yang sama juga, saya juga memaksa minda saya untuk berfikir dengan lebih kritis dan kreatif dalam menyelesaikan masalah yang diberikan bersertakan analisis-analisis yang perlu dilakukan. Bagi saya, mengira bukan sahaja dapat mengasa kemahiran menaakul dan mencongak mala ianya juga melatih minda untuk berfikiran secara kritis dan kreatif untuk mecari sebab-sebab dan pembolehubah-pembolehubah yang betul dan logik. Oleh itu,saya amat terharu yang saya sebenarnya mampu berfikir dengan lebih kritis dan kreatif setelah selesai menyiapkan tugasan ini. Walaupun ada banyak kekuatan dan kebaikan yang telah saya perolehi, namun kekangan tetap ada di mana saya kurang mendapat bahan rujukan yang lengkap dan rujukan yang berbahasa melayu. Namun ini bukannya satu kekangan yang begitu berat kerana, ianya dapat diatasi dengan kebolehan diri sendiri dalam menguasai bahasa Inggeris. Selain itu, terdapat beberapa terma yang sukar diterjemah dan difahami. Namun semua ini dapat diatasi dengan bantuan rakanrakan yang lebih mahir. Akhir sekali, masalah membuat mind map, pada mulanya saya sukar untuk membuat peta minda yang menarik dan berfungsi dengan baik sebagai pemudahcaraan pemahaman. Dan masalah ini, biasanya berlaku apabila memasukkan sejumlah maklumat yang banyak dalam satu peta minda. Namun hasil daripada pencarian saya dalam laman sesawan saya telah menemui satu perisian yang cukup hebat yang juga adalah freeware untuk menghasilkan peta minda yang menarik dan mudah difahami iaitu e-draw mind map software. Selain daripada itu, kesukaran saya dalam memahami soalan dan bentuk soalan serta pengiraan yang sangat panjang dan memakan masa yang lam juga membuat saya agak sukar untuk menyiapkan tugasan ini. Dengan masa yang agak terhad tambahan lagi dengan kesibukan-kesibukan harian sebagai guru pelatih, masalah ini semakin lama semakin membosankan. Kesalahan- kesalahan yang sama berulang di mana kesilapan biasa seperti salah operasi tanda (-/+) dan sebagainya yang dianggap leceh ini juga salah satu daripada masalah yang timbul. Namun, bagi saya segala kesilapan ini telah membantu saya untuk memahami bidang topik algebra dengan lebih dalam lagi. Semua kekangan ini dapat diatasi dengan usaha sendiri dan juga bantuan rakan-rakan yang lebih mahir.
Akhir sekali, saya betul-betul merasakan bahawa tugasan ini sangat membantu saya dalam menambah ilmu pengetahuan dalam matematik terutamanya dalam topik algebra. Saya berharap agar saya dapat gunakan ilmu ini dengan sebaiknya dan saya bersyukur kerana saya telah pun menyiapkan tugasan ini.
RUJUKAN BUKU a. Amran Hussin at. el. (1989). Kaedah Gauss Jordan’ Matematik. Tulen Pra Universiti.Fajar Bakti Sdn. Bhd. b. Leong Fook. Sistem Persamaan Linear. Matriks Dan Penentu. Siri Pendidikan Jarak Jauh. c. Peng Yee Hock (1999). Sistem Persamaan Linear. Aljabar Linear Permulaan.
MODUL
a. http://www.matematikadedi.files.wordpress.com/.../persamaandan pertidaksamaan.pdf dimuat turun pada 18 Mac 2014 b. http://pkb.edu.my/elearning/linear%20equation.pdf dimuat turun pada 22 mac 2014
LAMAN WEB
a. Perisian Linear Algebra Toolkit
http://www.math.odu.edu/~bogacki/lat/
diakses pada 14 mac 2014 dan 25 Mac 2014 b. http://math.uww.edu/~mcfarlat/gauss.htm diakses pada 25 mac 2014 c. https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra diakses pada 27 mac 2014
