Solusi Numerik Persamaan Diferensial Orde-1 Dengan Excel Mikrajuddin Abdullah
Banyak kita jumpai persamaan yang tidak dapat dicari solusinya secara analitik. Persamaan diferensial non linier atau integral fungsi rumit adalah contoh persoalan yang tidak memiliki solusi analitik. Untuk kasus demikian, solusi numerik menjadi satu-satunya pilihan. Dengan adanya komputer yang cepat pada saat ini, pencarian solusi numerik bukanlah masalah besar. Pada tulisan ini saya coba uraiakan satu metode solusi numerik untuk menyelesaikan persamaan diferensial orde 1 menggunakan Excel. Saya memilih Excel karena hampir semua komputer terinstal dengan Microsoft Office dan salah satu program dalam MS Office tersebut adalah Excel. Di antara software yang paling banyak digunakan oleh pengguna komputer adalah MS Word, MS Excel, dan MS Power Point. Selama ini MS Word lebih sering digunakan untuk membuat dokumen teks, MS Excel untuk membuat tabel atau grafik, dan MS Power Point untuk membuat bahan presentasi. Kemampuan lain dari program-program tersebut jarang diekplorasi. Mungkin sudah banyak bahasan tentang penyelesaian persamaan diferensial dengan Excel. Di sini saya akan coba bahas metode penyelesaian yang mungkin berbeda dengan cara yang dibahas orang selama ini. Excel dapat menjadi satu metode numerik yang cukup mudah untuk menyelesaikan persamaan diferensial apa pun, baik yang linier maupun non linier. Solusi numerik persamaan diferensial pada dasarnya adalah membagi daerah pencarian atas sejumlah elemen-elemen kecil kemudian mencari solusi pada tiap titik elemen tersebut. Dan ini sangat mudah dilakukan dengan Excel. Tiap elemen disimpan dalam cell Excel di suatu kolom dan solusi untuk tiap elemen disimpan pada sol kolom di sampingnya. Kita mulai dengan mencari solusi numerik persamaan diferensial orde satu. Bentuk umum persamaan ini adalah
dy a ( x, y ) dx
(1)
Dengan a( x, y) adalah sembarang fungsi x dan y. Jika terpenuhi a( x, y) b( x) y maka (1) adalah persamaan diferensial linier. Sebaliknya, jika hubungan tersebut tidak terpenuhi maka kita memiliki persamaan diferensial non linier. Untuk menyelesaikan persamaan (1), kita mulai dengan melakukan diskritisasi persamaan, yaitu
dy a ( xi , y i ) dx i
(2) 1
Tetapi
y yi dy i 1 dx i x sehingga
yi 1 yi a ( xi , y i ) x atau
yi 1 yi a( xi , yi )x
(3)
Untuk menyelesaikan persamaan diferensial secara numerik maka perlu syarat awal. Persamaan diferensial orde satu memerlukan satu syarat awal, yaitu nilai y pada x tertentu. Misalkan syarat awal untuk persamaan diferensial di atas adalah y (0) C di mana C adalah suatu nilai, maka dalam perhitungan, syarat awal terseebut dituangkan dalam bentuk y0 C
(4)
Tugas kita adalah mencari y1 , y 2 , y3 , dan seterusnya.
Contoh 1: Sebagai contoh, mari kita selesaikan perssamaan diferensial berikut ini
dy y dx
(5)
dengan syarat awal y(0) = C. Kita dengan mudah mendapatkan solusi persamaan di atas secara analitik karena memang merupakan persamaan diferensial linier yang sangat sederhana. y ( x) Ce x . Mari kita coba selesaikan secara numerik dengan Excel dan Solusinya adalah membandingkan dengan solusi analitik. Jelas dari persamaan ini bahwa a(x,y) = -y. Langkah 1: Tentukan jangkau nilai x tempat akan mencari solusi. Kita misalkan akan mencari solusi pada nilai x = 0 sampai x = 5 Langkah 2: Kita bagi jangkauan tersebut atas sejumlah titik yang sama jaraknya. Misalkan kita ingin membagi atas 400 titik. Oleh karena itu, isi kolom A Excel dengan angka 0 sampai 400. Cukup dilakukan dengan mengisi angka 0 pada cel A1. Lalu tempatkan kursor pada kolom A2 2
dan tulis rumus =A1+1. Copy cel A2 ke cel berikutnya hingga cel ke-401. Akhirnya kolom A diisi oleh angka 0 sampai 400.
Langkah 3: Nilai awal daerah solusi (nol) berkaitan dengan indeks 0 dan nilai akhir (5) berkaitan dengan index 400. Jarak antara dua nilai x berdekatan adalah (5-0)/400 = 0,0125. Jarak ini sekaligus menjadi x. Isi angka x di cell G1. Langkah 4: Buat semua nilai x pada kolom B. Caranya, tempatkan kursor pada kolom B1 lalu ketik rumus =A1*$G$1. Kemudian cell B1 dicopy ke cell berikutnya hingga cell ke 400.
3
Langkah 5: Isi nilai y(0) pada cel G2. Misalkan nilai awal adalah 10. Langka 6: Kita misalkan nilai = 5. Isi nilai ini pada cell G3 sehingga nantinya bisa diubahubah. Langkah 7: Kita akan mulai menghitung. Hasil hitungan disimpan di kolom C. Copy nilai y(0) ke sel C1 dengan meletakkan kursor ke kolom C1 dan menulis rumus = $G$2.
Langkah 8: Letakkan kursor ke cell C2. Cari nilai y1 dengan menggunakan rumus =C1$G$3*C1*$G$1.
4
Langkah 9: Copy cell C2 ke cell berikutnya hingga cell C400.
Langkah 10: Untuk melihat hasilnya, kita plot kurva dengan sumbu datar adalah kolom B dan sumbu tegak adalah kolom C.
5
Jelas kurva ini memiliki bentuk y(x) = Cexp(-x) seperti yang didapat dengan solusi analitik. Jika nilai ingin kita ubah, maka kita cukup menguban nilai kolom G3 dan secara otomatis data dan kurva berubah. Contoh, untuk = 1 diperoleh kurva berikut ini.
6
Kita juga dapat mengubah nilai y(0) hanya dengan mengubah nilai kolom G2. Misalkan kita ganti y(0) = -30 maka diperoleh kurva berikut ini
7
Contoh 2 Berikutnya kita akan selesaikan persamaan diferensial berikut ini. dy xy 2 / 3 y dx
(6)
Ini adalah persamaan diferensial tidak liniar dan tidak dapat diselesaikan secara analitik. Salah satu pilihan adalah numerik. Dari persamaan ini kita dapatkan a ( x, y ) xy 2 / 3 y
(7)
Misalkan syarat awal adalah y(0) = 5 dan kita isi di kolom G2. Nilai x kita misalkan 0,01 dan kita isi di kolom G1. Setelah menentukan nilai x pada kolom B, kita hitung nilai y pada kolom C. Kita mulai dengan mengisi kolom C1 dengan y(0) dengan rumus =$G$2
8
Kemudian kita mencari semua nilai y. Tempatkan kursor pada kolom C2 dan ketik rumus =C1+(B1*C1^(2/3)-C1)*$G$1 Copy isi cell C2 ke semua cel berikutnya
Gambar kurva dengan sumbu datar kolom B dan sumbu tegak kolom C
9
Solusi persamaan diferensial orde-2 akan dibahas pada tulisan berikutnya.
10
