UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO ´ FACULTAD DE INGENIER´ IA MECANICA - ENERG´ IA ´ EJERCICIOS DE MATEM ATICA III ´ CURVATURA Y TORSI ON Prof. V.Contreras T.
1. Dada la curv curva x2
− 2yz = 0 y y + z − √2x − 1 = 0 1 1 1 , ) 2 2 4 4
−√,
a )
Halle la ecuaci´on on del plano osculador en el punto (
b)
Halle la curvatura en el dado anteriormente.
2. Dada la curv curva
C definida por: 2
C:
2
x + y + 2y2y = 3 z+x=2
−→
3
a )
Describa la curva mediante una funci´ on on vectorial r : y grafique dicha curva.
b)
Halle el centro centro de la circunferencia de curvatura curvatura en el puntoP punto P (0 (0,, 1, 2).
C
R
→R
3. Una curva curva llamada bruja bruja de Mar Mar´ıa Agne Ag nesi si , costa de todos lod puntos P , P , determinados como se ilustra en la figura de abajo. a )
Halle la ecuaci´on on param´ param´etrica etrica de esta curva, curva, usando el angulo a´ngulo θ como par´ ametro ametro y grafique.
b)
Halle el punto m´ as as alto de la curva.
c)
Halle los vectores T y N en el punto m´ as as alto de la curva.
4. Halle la represent representaci´ aci´ on on param´ para m´etrica etric a de la curva f = f ( f (λ) sabiendo que 1 su torsi´on on es τ = a (a es una constante positiva) y que un vector en la direcci´on on y sentido del vector binormal es (cos (cos2 λ , senλ senλ cosλ cosλ , senλ senλ). ).
−
1
√ − −
5. Sea C una curva descrita por la funci´on f (t) = ( 1 t2 , 1 , t 1+t )) y dados los planos P 1 : x + z = 1 y P 2 : x z = 1 Halle ln( 1 t2 la curvatura de C en el punto de se intersecci´ on C , , P1 y P 2 .
√ −
−
6. Dadas las superficies S 1 : x2 + y 2 + z 2 = 6 y S 2 : x2 + y 2 = z a )
Halle la representaci´ on param´etrica de la curva C definida como la intersecci´ on de S 1 y S 2 , dirigida de manera que desde el origen de coordenadas se observa en el sentido antihorario.
b)
Halle el vector tangente a la curva C en el punto ( 1 ,
c)
Halle la torsi´on en cualquier punto de la curva C .
d )
Represente la curva C mediante el pa´ ametro longitud de arco.
− −1 , 2)
7. pruebe que la normal principal a una curva Γ (en el punto con curvatura K = 0 ) tenga la misma direeci´on que la tangente al lugar geom´etrico de los centros de curvatura, si la curva es una curva plana.
8. Si la representaci´on param´etrica de la curva esta dada por la funci´on vectorial f (t), su torsi´o n es τ = a1 , a > 0, y que un vector en la direcci´o n y sentido del vector binormal es (cos2t, sen2(2t) ,sent). Halle f (t).
−
C
9. Una part´ıcula se desplaza en el plano a lo largo de la curva √con la ecuaci´on y = Ln(x + x2 1) x 1 con rapidez constante 23 m/s y parte del punto (1,0) en el instante t = 0, halle la ecuaci´o n de la circunferencia osculatriz en el punto en que se encuentra la particula, despu´es de haber transcurrido 2 segundos despu´es de su partida.
√ −
C
≥
10. Dado el vector aceleraci´ on de una part´ıcula α (t) = (0, 0, 10) m/s2 , t 0. Si α(0) = (0, 0, 0) y α (0) = (10, 0, 10):
−
≥
a )
¿Cu´al es el radio de curvatura de la trayectoria α = α(t) en el instantes en que la part´ıcula impacta al plano : x+y +2z +40 = 0?
P
b)
Halle la componente tangencial de la aceleraci´ on en el instante t.
11. Halle las intersecciones del plano XY con las rectas tangentes a la h´elice descrita por α(t) = ( cos t , sen t , t) (t > 0). ¿Cu´al es la ecuaci´on del plano osculador?
2
12. Halle la representaci´ on param´etrica de la curva C definida como la intersecci´ o n de S 1 y S 2, dirigida de manera que desde el origen de coordenadas se observa en el sentido antihorario. a )
Halle el vector tangente a la curva C en el punto ( 1 ,
− −1 , 2)
b)
Halle la torsi´on en cualquier punto de la curva C .
c)
Represente la curva C mediante el pa´ ametro longitud de arco.
13. Sea Γ la curva de ecuaciones param´etricas x = 3t, y = 3t2 , z = t3 para t R. sea Γ la curva de intersecci´ on de las rectas tangentes a Γ con el plano osculador de la curva γ en el punto (3, 3, 1). Calcule la curvatura y torsi´on de la curva Γ .
∈
∗
∗
14. Halle la curvatura y torsi´on de una curva γ situada en el plano z = 0 para la cual s es el arco y su vector normal principal es N (s) = ( cos(s2 ),sen(s2 ), 0)
−
3
