CURVATURA Y TORSIÓN Cálculo Diferencial Mtro. Raúl Rodríguez A.
Vector de posición Consideremos una partícula que se mueve en el espacio 3D en un intervalo de tiempo I. Las coordenadas de la partícula se pueden escribir como:
x f (t )
y g (t )
z h(t )
tI
r(t ) f (t )i g (t ) j h(t )k 2
Si
r es el vector de posición de una
partícula que se mueve a lo largo de una curva en el espacio, entonces Velocidad
dr v dt
Rapidez
v
(El vector v es tangente a la curva) 2
Aceleración
dv d r a 2 dt dt
Dirección del movimiento en el tiempo t: vector unitario
v
v
3
Vector tangente unitario de una curva regular r(t)
v z
v T v
T
r O
x
P
y
s 4
Vector tangente unitario de una curva regular r(t) dr dr dt v T ds ds v dt “s” representa la longitud de arco 5
Ejercicio Encuentre el vector tangente unitario a la curva
r(t ) (4 cos t )i (4 sin t ) j t k 2
v T v Mathematica 5.2 ParametricPlot3D[{4*Cos[t],4*Sin[t],t^2},{t,-5,5}] 6
r(t ) (4 cos t )i (4 sin t ) j t k 2
v r(t ) (4 sin t )i (4 cos t ) j 2tk v (4 sin t ) (4 cos t ) 2t 2
2
2
v 16(sin t cos t ) 4t 2 t 4 2
T
2 sin t t 4 2
2
i
2
2 cos t t 4 2
j
2
t t 4 2
k 7
Curvatura
1 0.5 0 -0.5 -1 1
¿Cómo se dobla una curva?
0.5 0 -0.5 -1 -1 -0.5 0 0.5 1
8
Cuando el punto P se mueve a lo largo de una curva regular, T gira, al doblarse la curva
T T
T
P
s
T
r(t ) (t )i (t ) j 2
3
T 9
Cuando el punto P se mueve a lo largo de una curva regular, T gira, al doblarse la curva
La curvatura es la razón con la que T gira por unidad de longitud a lo largo de la curva
x
T z
T
T P
O
s
T
y 10
Curvatura Definición Si T es el vector tangente unitario de una curva regular r(t), su función de curvatura es
dT ds
Letra griega “kappa”
Letra “s” representa el parámetro de longitud de arco de la curva
11
Fórmula para la Curvatura Sea r(t) una curva regular, entonces su curvatura está dada por
1 dT v dt Donde
v T v 12
Vector normal principal unitario (N) T Los vectores N y T son ortogonales entre sí
N N
T P1
P2 s
N
P3
T
El vector N siempre apunta al lado cóncavo de la curva
13
Vector normal principal unitario Definición En un punto donde κ ≠ 0, el vector normal principal unitario, de una curva regular r(t), es
1 dT N ds 14
Fórmula para calcular el vector normal principal unitario Para una curva regular r(t), el vector normal principal unitario es
dT N dt Donde
v T v
dT dt 15
Ejercicio Determine T, N y k (vector tangente unitario, vector normal principal unitario y curvatura) de la curva dada a continuación
r(t ) (sin t )i (cos t ) j ln(cos t )k Determine k (curvatura) para t = π Mathematica 5.2
ParametricPlot3D[{Sin[t],Cos[t],Log[Cos[t]]},{t,0,1}]
16
v T v
Vector tangente unitario
1 dT v dt dT N dt
dT dt
Curvatura
Vector normal principal unitario 17
r(t ) (sin t )i (cos t ) j ln(cos t )k d sin t d cos t d ln(cos t ) v r(t ) i j k dt dt dt
v cos t i sin t j tan t k v
cos t sin t tan t 2
v 1 tan t 2
2
2
v sec t sec t 2
18
v T v
1 T (cos t i sin t j tan t k ) sec t
T cos t i sin t cos t j sin t k 2
2
dT d cos t d (sin t cos t ) d (sin t ) i j k dt dt dt dt dT 2 (2 sin t cos t ) i (1 2 cos t ) j ( cos t ) k dt 19
dT 4 sin 2 t cos 2 t 1 4 cos 2 t 4 cos 4 t cos 2 t dt
dT 2 2 2 cos t (4 sin t 3 4 cos t ) 1 dt dT 2 2 2 cos t[4(sin t cos t ) 3] 1 dt
dT 2 1 cos t dt 20
1 cos t sec t 2
N
2 sin t cos t
i
1 2 cos t 2
1 cos t 1 cos t cos t k 2 1 cos t 2
2
1 (1) (t ) 2 1
j
2
21
Ejercicio
Determine T, N y k (vector tangente unitario, vector normal principal unitario y curvatura) de la curva dada a continuación. Verifique que N y T son ortogonales
r(t ) (4 cos t )i (4 sin t ) j Una circunferencia en el plano
Mathematica 5.2
ParametricPlot[{4*Cos[t],4*Sin[t]},{t,-5, 5}] 22
r(t ) (4 cos t )i (4 sin t ) j v (4 sin t )i (4 cos t ) j
v 16 sin t 16 cos t 4 2
2
T sin t i cos t j dT cos t i sin t j dt
dT 2 2 cos t sin t 1 dt
N cos t i sin t j N T 0 vectores ortogonales
1 4
23
Ejercicio Determine T, N y k, para la curva dada a continuación
r(t ) (t )i (2t ) j (t 2)k Una recta en el espacio
Mathematica 5.2
24
r(t ) (t )i (2t ) j (t 2)k v i 2j k
v 6
1 2 1 T i j k 6 6 6
dT 0i 0 j 0k 0 dt
0
dT 0 dt
N no 25
Torsión y Vector unitario binormal 26
El marco TNB de vectores unitarios mutuamente ortogonales, viajando a lo largo de la curva “s” en el espacio
z O
N r
B T P
s
x
T: vector tangente unitario N: Vector normal unitario B: Vector binormal unitario
y
27
B Plano rectificador P
T
Los tres planos determinados por T, N y B
Plano normal
Plano osculador
N 28
Vector binormal unitario
B T N
Torsión Donde
va 0
x
y
z
x
y
z
x
y
z
va
2 29
Donde
x
y
z
x
y
z
x
y
z
Representan derivadas (1ª, 2ª, 3ª) de las componentes del vector de posición r (t) 30
Ejercicio Determine B, T, N, κ y τ de la curva dada a continuación
r (t ) (3 sin 3t )i (3 cos 3t ) j 19 t k ParametricPlot3D
3 Sin 3 t , 3 Cos 3 t ,
19 t , t, 0,
31
;
v T v
Vector tangente unitario
B T N Vector binormal unitario
x
y
z
x
y
z
x
y
z
va
Torsión
2
dT Vector normal N dt
principal unitario
dT dt
1 dT Curvatura v dt 32
r(t ) (3 sin 3t )i (3 cos 3t ) j 19 t k v(t ) 9 cos 3t i 9 sin 3t j 19 k
a(t ) 27 sin 3t i 27 cos 3t j
v 81(cos 3t i sin 3t ) 19 10 2
2
9 9 19 T cos 3t i sin 3t j k 10 10 10 33
dT 27 27 sin 3t i cos 3t j dt 10 10 2
dT 27 2 2 (sin 3t i cos 3t ) dt 10
27 10
27 1 27 100 10 10
N sin 3t i cos 3t j 34
i 9 B cos 3t 10 sin 3t
j 9 sin 3t 10 cos 3t
k 19 10 0
19 19 9 B cos 3t i sin 3t j k 10 10 10
35
i
j
k
9 sin 3t
19
27 cos 3t
0
v a 9 cos 3t 27 sin 3t
v a 27 19 cos 3t i 27 19 sin 3t j 243 k va
27
2
2
19 cos 3t 27 19 sin 3t (243) 2
2
2
v a 270 36
9 cos 3t
9 sin 3t
19
27 sin 3t
27 cos 3t
0
81cos 3t
81sin 3t
0
(270)
2
2187 19 sin 3t cos 3t 2 (270) 2
3 19 100
2
37
Ejercicio Determine B y τ (vector binormal unitario y la torsión) de la curva dada a continuación
r(t ) (sin t )i (cos t ) j ln(cos t )k
38
r(t ) (sin t )i (cos t ) j ln(cos t )k
v cos t i sin t j tan t k
a sin t i cos t j sec t k 2
T cos t i sin t cos t j sin t k 2
N
2 sin t cos t
i
1 2 cos t 2
1 cos t 1 cos t cos t k 2 1 cos t 2
2
j
39
B T N i B
j
k
cos t 2 sin t cos t
sin t cos t 2 1 2 cos t
sin t cos t
1 cos t
1 cos t
1 cos t
2
2
B
1 1 cos t 2
sin
2
3
2
t i cos t (1 sin t ) j cos t k 2
2
40
sin t sin t 1 j k va sin t i 2 cos t cos t 2
1 cos t 2 2 v a sec t 1 cos t 2 cos t 2
cos t
sin t
tan t
sin t
cos t
sec t
sin t
2 sec t tan t
cos t
2
2
1 cos t 2 cos t 2
41
sin t 2 sin t 3 sin t cos t 2 tan t cos t 2 1 cos t 2 cos t
sin t 1 cos t 2
cos
3
2
t cos t 2 sin 2 t 2 sin t tan t
42
THE RAT VIBRISSAL (WHISKER) SYSTEM
http://www.mech.northwestern.edu/hartmann/ 43
THE FLEXURAL CHARACTERISTICS OF RAT VIBRISSAE
http://www.mech.northwestern.edu/hartmann/ 44
The MechE Mouse Project (Robotic Whisker Arrays)
Joseph H. Solomon, Mitra J. Hartmann
http://www.mech.northwestern.edu/hartmann/
45
http://www.mech.northwestern.edu/hartmann/ 46