Tercero: Se calcula el número de cifras, que hay en cada grupo; así por ejemplo: 20 números de 2 cifras, emplean: 20 2 = 40 cifras 80 números de 3 cifras, emplean: 80 3 = 240 cifras Cuarto: Se suma los resultados de cada grupo y obtenemos el total de cifras. Aplicación: Es una sucesión de números, de tal manera que la diferencia de dos términos consecutivos es una cantidad constante, llamada razón.
40; 42; 44:; 46; ............ ; 220 Solución: Primero: 40; 42; 44; 46; ..... ; 98
Ejemplo: 10; 13; 16; 19; 22; 25; 28, ............. Razón (R) = 13 –10 = 16 –13 = 19 –16 = 22 –19 = ......
Cálculo de un término cualquiera:
...... números de 2 cifras
100; 102; 104; 106; ..... ; 220 ....... números de 3 cifras Segundo: N°de términos de 2 cifras =
tn = t1 + (n – 1) . R Donde:
Cuántas cifras se emplean en la siguiente p rogresión:
N°de términos de 3 cifras =
98
40
2
220
+1 = 30 términos
100
2
+1= 61 términos
Tercero:
tn
:
término de posición “n”
t1
:
primer término
30 términos de dos cifras
30 2 = 60 cifras cifras
n
:
posición del término
61 3 = 183 cifras
R
:
razón de la progresión
61 términos de tres cifras Cuarto:
Total de cifras = 60 + 183 = 243 cifras
Aplicación: Hallar el término de lugar 40 en la siguiente progresión aritmética: 17; 20; 23; 26; 29; 32; ......
Cuando tenemos un conjunto de números que tienen una característica común, que se puedan expresar por una
Solución:
forma general, se puede hallar la cantidad total de
t1 = 17 ..............
(primer término)
n = 40 ..............
(lugar del término)
E = 20 –17=3.....
(razón de la progresión)
números multiplicando la cantidad de valores que puede adoptar cada cifra. Ejemplo 1: ¿Cuántos números de tres cifras que
t40 = 17 + (40 – 1) 3 = 134
empiecen y terminen en cifra par existen?
Cálculo del número de términos: Solución: N° de términos =
Ultimo Pr imero Razón
1
abc 0; 2; 4; 6; 8 0; 1; 2; 3; 4; .....; 8; 9
Aplicación:
2; 4; 6; 8
Cuántos términos tiene la siguiente progresión: 52; 57; 62; 67; ....... ; 382
°a° toma 4 valores “b” toma 10 valores
Solución:
“c” toma 5 valores
Razón (R) = 57 – 52 = 5
Total de números: 4 10 5 = 200 números
Utilizando la fórmula: N° de términos =
382 52 5
+1
= 67 términos
Ejemplo
2: ¿Cuántos
números
de
(a 1) (b 2) (a / 2) (2b) existen? Solución:
a 0; 2; 4; 6; 8......
Pasos a seguir: Primero: Se debe conocer el primer y el último término de la progresión, para formar grupos que tengan la misma cantidad de cifras. Segundo: Se calcula el número de términos, que hay en cada grupo formado.
Si (a + 1) y (a / 2) son cifra, entonces:
5 valores
Si (b – 2) y (2b) son cifras, entonces: b 2; 3; 4......
Total de números:
3 valores 5 3 = 15 números
la
forma:
7.
En la siguiente progresión aritmética: 40; 46; 52; ....... ¿Cuál es el término de lugar 68?
1.
Indica el décimo quinto término en: n+6; 2n+7; 4n; ...... A) 131 B) 140 C) 126
A) 440 D) 150
B) 534
C) 402
D) 726
E) 442
E) 210
8.
¿Cuál es la suma de las cifras del trigésimo término de la siguiente P.A.:
24; ; 661 ?
50 tér min os
2.
La siguiente P.A. tiene pr 5 términos, donde “r” es la
A) 5
B) 6
C) 8
D) 9
E) 12
razón: a3 ; a6 ; a9 ; ......; xaa . Hallar el máximo valor de: a + p + r + x. A) 16
B) 17
C) 18
D) 19
E) 20
9.
¿Qué lugares ocupan los dos términos consecutivos, de la siguiente P.A., cuya diferencia de cuadrados es
3.
Hallar el número de términos en:
525: A) 20 y 21
2; 5; 8; 11 ......? C) 47 y 48
B) 35 y 36
D) 29 y 30
E) 39 y 40
a8b ; a93 ; b04 ; ba5 ; ...... ; aaa7 A) 84
B) 85
C) 86
D) 84
E) 88
10. La suma de los 4 primeros términos de una P.A. 4.
¿Cuántos términos hay en: 3a ; 39; A) 127
B) 128
C) 129
b3 ;
creciente es 5 veces la suma de los 2 primeros términos. ¿Cuál será la razón de esta progresión, si el
......; ab3 ?
D) 126
E) 130
primer término es 1/3? A) 1
B) 1/3
C) 2
D) 2/3
E) ½
11. La suma de 100 números enteros consecutivos es 150 5.
Hallar la suma de cifras del último término, sabiendo
veces el primer sumando. ¿Cuál es el último
que la siguiente progresión tiene 37 términos.
sumando? A) 199
10a ; 116; ......; a01 A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
B) 198
C) 200
D) 236
E) 180
E) 6
12. La suma de los cuadrados de 3 números positivos 6.
La suma del noveno y el décimo cuarto término de
impares y consecutivos excede en 170 al cuadrado
una progresión aritmética es 69 y la relación del sexto al décimo séptimo término es 6/17. El término de lugar
del segundo de ellos. ¿Cuál es la suma de los dos
40 es;
A) 24
A) 100
B) 108
C) 116
D) 120
mayores? B) 46
C) 20
D) 12
E) 28
E) 125
.
- 2 -
Conteo de Números
13. Hallar la suma de los términos vigésimo cuarto y trigésimo
segundo
de
la
siguiente
19. Al escribir todos los números enteros desde ab5
progresión
hasta 5ab se emplean 364 cifras. Hallar “a + b”.
aritmética: 81; 85; 89; ...... A) 418
B) 408
C) 378
D) 384
A) 5
E) 702
B) 6
C) 4
D) 7
E) 8
20. Al numerar las páginas de un libro se han empleado 4893 cifras o caracteres. Determinar, ¿cuántas horas tiene el libro?
14. ¿Cuántas cifras se emplean al escribir: 1
2
3
A) 960
87
1 ; 2 ; 3 ; ... ; 87 ? A) 165
B) 175
C) 330
D) 350
B) 567
C) 689
D) 642
E) 390
21. Para numerar un libro de 1ab A) 9
números impares desde 37 hasta 533. B) 704
C) 715
D) 730
páginas se han
empleado 36 cifras. Hallar “a + b”.
15. ¿Cuántas cifras se utilizaron para escribir todos los A) 675
E) 750
B) 10
C) 11
D) 12
E) 13
E) 725
22. En un libro de 1000 páginas las primeras no se enumeraron notándose que se utilizó 2770 cifras en
16. ¿Cuántas cifras se emplearon al numerar las 720 páginas de un diccionario? A) 2052
B) 1556
C) 1876
D) 1726
las páginas restantes. ¿A partir de qué página se empezó la numeración?
E) 1708
A) 66
B) 67
C) 68
D) 65
E) 63
17. Para numerar la primera cuarta parte de las páginas de un libro se emplearon 342 cifras. ¿Cuántas cifras 23. La cantidad de cifras empleadas en:
se emplearon para enumerar todo el libro? A) 1522
B) 1562
C) 1692
D) 1614
73; 78; 83; ......; 668 es:
E) 1624
A) 354
18. Un libro tiene 1000 páginas, determinar la cantidad de cifras o tipos de imprenta que se han empleado en la B) 1300
C) 1445
D) 1892
C) 1106
D) 675
E) 560
24. ¿Cuántas cifras se emplean en la secuencia 39; 41; 43; ......; 931?
numeración de sus páginas impares. A) 1500
B) 195
A) 1862
E) 2900
- 3 -
B) 1294
C) 1310
D) 1341
E) 1000
Conteo de Números
32. ¿Cuántos números de 4 cifras mayores que 3000 se 25. ¿Cuántos ceros inútiles hay en
pueden formar con las cifras: 0; 1; 3; 4; 5; 7; 8 y 9?
0001; 0002; 0003; 0004; ......; 1000? A) 1026
B) 2000
C) 1107
D) 742
A) 3071
B) 2058
C) 3072
D) 2688
E) 2057
E) 1526
33. ¿Cuántos números de la forma: a (2a) (b 1) (3b) , existen en el sistema decimal? A) 12
26. En las últimas 40 páginas de un libro se usan 100
B) 14
C) 16
D) 18
E) 20
cifras. ¿Cuánta se usan en total? A) 289
B) 149
C) 249
D) 309
E) 180
34. ¿Cuántos numerales, en base 12, existen de la forma:
a (a 2) (b / 2) (8 b) ? A) 510
B) 520
C) 530
D) 540
E) 550
27. ¿De cuántas maneras diferentes se puede formar una pareja de baile con 4 varones y 3 damas? A) 6
B) 7
C) 12
D) 14
E) 10 35. Cuántos números de 3 cifras diferentes entre sí existen? A) 648
B) 900
C) 810
D) 729
E) 500
28. ¿Cuántos números de dos cifras, ambas pares existen? A) 25
B) 16
C) 45
D) 20
E) 18 36. ¿Cuántos números de 3 cifras existen, que tengan por lo menos una cifra par y por lo menos una cifra impar? A) 500
B) 625
C) 675
D) 635
E) 400
29. ¿Cuántos numerales de 4 cifras del sistema decimal, comienzan y terminan en cifra impar? A) 2100
B) 2200
C) 2300
D) 2400
E) 2500 37. ¿Cuántos números de 3 cifras tienen por lo menos una cifra 8 en su escritura? A) 900
B) 694
C) 252
D) 646
E) 712
30. ¿Cuántos números pares de 4 cifras se pueden formar con las cifras: 0; 3; 4; 5; 7 y 8? A) 180
B) 540
C) 1080
D) 360
E) 480 38. De todos los números de 4 cifras, ¿cuántos tienen como producto de cifras a un número par? A) 8375 B) 1545 C) 675 D) 1925
E) 1250
31. ¿Cuántos números de 3 cifras las 2 últimas iguales existen? A) 45
B) 90
C) 100
D) 900
E) 81
- 4 -
Conteo de Números
