Construcción de los números enteros Comencemos por la construcción de los enteros. El conjunto de los enteros es
Además sabemos que el orden usual en
es
, y sabemos sumar estos
números: por ejemplo , , etcétera. Pues bien, la meta que tenemos en mente es: e s: utilizando la estructura de los naturales y teoría de conjuntos, cómo construimos la estructura de los números enteros? Esto último consiste en: 1. Definir el conjunto 2. definir el orden
, esto es, dar una condición precisa de cuándo
para cualquier par 3. definir la suma
, ,
,y en los enteros.
Tratemos primero, a modo de calentamiento, ca lentamiento, construir a los enteros informal y rápidamente. Depués el lector comparará este intento con la construcción presentada más adelante, donde verá la elegancia y naturalidad del uso de las relaciones de equivalencia (aunque parezca un proceso algo artificial al comienzo). 1. Definición de : . En otras palabras, los enteros son los naturales, más una copia copia de los números positivos , poniéndoles un palito antes para para indicar que son negativos: así, por ejemplo, el
es la copia negativa del
llamaremos enteros negativos. negativos. Note que
. A estos números con palito les .
2. Definición del orden : El orden en los enteros se define así: 1. Entre números naturales, el orden es el mismo que se tenía en (en otras palabras, el orden de los enteros extiende al orden de los naturales).
2. Si es negativo y que todo positivo). 3. Si
es un natural,
(todo negativo es menor
son ambos negativos,
donde
y
sólo si
(con
), entonces
si y
(en negativos, el orden ``se invierte'').
Esta definición se resume así: . 3. Definición de la operación suma: 1. Para enteros naturales, la suma es la misma de los naturales (esto es, la suma de enteros extiende a la suma de naturales). 2. Si
son ambos negativos,
donde
y
entonces
se define como el número
último
(con
), (donde este
denota la suma de naturales). [Por
ejemplo, ]. Esta definición garantiza que la suma de negativos es negativo. 3. Le dejamos al lector la tarea de definir la suma de un positivo con un negativo, y comparar con la de otros, buscando la más simple posible. Consideremos el conjunto con
, que consta de todas las parejas
,
. Para motivar las cosas, imaginemos que cada
pareja codifica el movimiento vertical de un objeto que se encontraba originalmente en un lugar fijo, en donde representa el número de unidades que se movió hacia arriba, y el número de unidades que se movió hacia abajo. Por ejemplo, la pareja después
codifica un movimiento de
hacia abajo. Es claro que la pareja
unidades hacia arriba, y representa un movimiento
distinto al representado por ; sin embargo, para efectos de la posición final del objeto, ambos movimientos son equivalentes: la localización final de un objeto, ya bien siga el movimiento origen, esto es, de
o
, será de una unidad bajo el
. Así, cada pareja representará un número
entero: representará al , representará al , etcétera. Pero dado que muchas parejas de naturales representan al mismo entero, debemos meter a ellas en un mismo barril , y el barril será por definición el número entero representado por sus elementos. A continuación formalizamos la discusión anterior: Definición 131 Definimos la relación
sobre
de la siguiente
manera: si y sólo si Lema 132 es una relación de equivalencia. Demostración. [ Prueba]Es dejada al lector. Definición 133 Definimos al conjunto de los enteros por
.
.
Antes de continuar es necesario introducir el concepto de buena definición de operaciones o relaciones, el cual es fundamental cuando se quieren definir nuevas relaciones u operaciones sobre conjuntos cociente, esto es, conjuntos de la forma
, donde
es una relación de equivalencia sobre
.
Supongamos, por ejemplo, que se nos dice lo siguiente: sea función dada por dominio es
. Ahora, a partir de la función
, sería natural definir una función
siguiente manera: El problema con la anterior definición de es una función: pues por ejemplo sea
la , cuyo
, de la
. es que es ambigüa, es decir, . Según
no
esto,
. Sin embargo, dado que
que
, y por esto también tenemos
que
.
valor de es,
, tenemos
no está bien definida, esto es, el
depende del representante
de la clase
que se tome (esto
) no es una función.
Quisiéramos definir la suma en
de modo que coincida con la suma que
conocemos en los enteros. Por ejemplo, quisiéramos que al sumar resultado fuera
. Según nuestras definiciones, el entero
clase de la pareja
, esto es,
que si sumamos las parejas
y
el
es, por ejemplo, la
. Similarmente,
. Note
``componente a componente'',
obtenemos la pareja precisamente,
con
. Pero la clase de
es,
!
Si en vez de utilizar los representantes y de y respectivamente utilizamos otros representantes y los sumamos componente a componente, ¿llegamos también a un representante de
? Tomemos, por ejemplo,
estas parejas, obtenemos Note que antes habíamos llegado a la pareja pareja distinta
, pero
misma clase de equivalencia, a saber,
y
. Si sumamos
. La clase de
es
.
, y ahora llegamos a una . Esto es, en esencia llegamos a la .
Lo anterior nos motiva a definir la suma en los enteros de la siguiente manera:
Note que el primer símobolo en la ecuación anterior denota la suma en enteros (que estamos definiendo), y los símbolos de suma a la derecha de la igualdad denotan la suma en naturales, que aceptamos como ya definida. Si definimos la función
como
,y
definimos
por
Entonces la definición recién dada de la suma de enteros es precisamente es, . ¿Está verificar que es así, debemos demostrar lo siguiente: Si
y
, esto
bien definida? Para
,
entonces
[esto
es,
].
El ejemplo anterior es un caso particular de este hecho general, que hemos de probar, en donde: 1.
,
2.
,
3.
, , ,
4.
Lema 134
.
está bien definida, esto es,
Demostración. [ Prueba]Es dejada al lector.
Por ejemplo, para sumar los enteros
y
,
tomamos cualquier representante
y cualquier representante
, sumamos estas parejas componente a componente (esto es, calculamos
) y la clase del resultado es, por
definición
. Hagamos esto: tomamos
;
,
. Entonces
es
, y esta última clase
.
El lector crítico se habrá dado cuenta que a lo largo de esta discusión hemos utilizado la expresión
, con
natural, para referirnos a algunos enteros. Sin
embargo, no hemos definido con precisión qué significa hacemos: Definición 135 Si Sumersión de
es un número natural, definimos
.
en
Consideremos un natural cualquiera, digamos, el el
. A continuación lo
es la clase de, por ejemplo,
,
,o
. Como número entero, , entre muchas otras
parejas. Sin embargo, estrictamente hablando, . Por decirlo así, el como natural es simplemente , pero como entero es (o quisiéramos que fuera)
. Estrictamente
no está contenido en
,
pero si identificamos o asociamos a cada natural el entero , entonces la estructura de los naturales vivirá, gracias a una copia, en . Para formalizar lo anterior, necesitamos una función que sea inyectiva y que respete la estructura de la suma en . A tal función la llamaremos una sumersión: Sea 1.
la función es inyectiva, y
. Entonces:
2. Para todo par de enteros
,
Para demostrar la inyectividad de es, mismo, suma bajo
.
, suponemos que
, así que
, esto
, o lo que es lo
, luego . Para demostrar que la ``imagen de la es la suma de las imágenes bajo '', basta observar que
La segunda igualdad vale gracias a la definición de suma de enteros. Por conveniencia, de ahora en adelante utilizaremos el símbolo para denotar al conjunto
Gracias a esto, ahora podemos afirmar que , como nos habíamos propuesto. Además, abusando un poco el lenguaje, no haremos distinción entre natural
y
; esto nos permitirá, por ejemplo, hablar del
fácilmente, sin tener que escribir
.
¿Qué tan distintos son los nuevos naturales de los viejos naturales (llamemos prenaturales a estos últimos)? Como conjunto, son totalmente distintos. Sin embargo, como estructuras, son isomorfas: los naturales preservan exa ctamente la misma estructura interna de los prenaturales, en cuanto a suma y multiplicación. Definamos el producto en los naturales de la manera natural, valga la redundancia, esto es, producto de prenaturales y ejemplo, la operación
(aquí denota el , que consideramos ya definido). Así, por en los prenaturales, se traduce en la
operación , que es esencialmente la misma. Si la identidad de la multiplicación en los prenaturales es el número
, en
los naturales será
(ya que para todo natural
,
).
Definición 136 Dado Lema 137
, definimos
.
está bien definido, esto es, no depende del representante
Más precisamente: dados
,
.
Demostración. [ Prueba]Sean que
. Debemos demostrar
. Como
entonces son equivalentes bajo
y
pertenecen a la misma clase,
, esto es,
. Esto implica
trivialmente, gracias a la conmutatividad de la suma que que implica, por definición, que
Es usual llamar a resultado:
, lo
.
la operación unaria de inverso aditivo, gracias al siguiente
Lema 138 Para todo
(recuerde que
Demostración. [ Prueba]Sea
. Entonces
luego
). ,
. Pero claramente
que implica que Al entero
.
.
lo llamaremos el inverso aditivo de
de la suma en los enteros es que todo elemento aditivo, esto es, un elemento
, lo
tal que
. La diferencia fundamental tiene un (único) inverso . Esto no ocurre en general
en los naturales: para cualquier natural . Intuitivamente, una vez ``estamos'' en , no podemos invertir la dirección y devolvernos al cero,
utilizando naturales. Para ello es necesario extender los naturales a los enteros, en donde hay bidireccionalidad. Para antes de seguir leyendo :
1. Demuestre lo siguiente: para todo que en o
ó
existe un natural
tal
. [Ayuda: utilizar inducción
].
2. Utilizando la anterior propiedad demuestre que para todo único natural
tal que
existe un
(esta última igualdad vale por
convención), ó
(esta última igualdad vale por
definición). Concluya que . Esto es, todo entero es un natural, o un negativo, esto es, un número de la forma con un natural distinto de cero. 3. Demuestre que la suma de enteros es conmutativa. 4. Demuestre que
es la identidad bajo la suma, esto es, que para
todo esta propiedad.
, y que además
es el único entero con
5. Demuestre las siguientes propiedades, dados 1.
:
.
2.
.
3.
.
4. Las definiciones 135 y 136 utilizan el mismo símbolo, distintas. ¿Es esto un problema? ¿Por qué?
, pero son
Definición del orden en
Definimos el orden en
así:
si (donde el último aceptamos como definido).
si y sólo denota el orden en los naturales, que
Quien acaba de leer el anterior párrafo, tal como está escrito, debe hacer una pausa y reflexionar qué significa este, cuál es su contenido verdaderamente. Es conveniente que el lector matemático deserrolle una actitud crítica sobre lo que lee en mínimo dos sentidos: a) motivación, y b) rigor. En el caso del párrafo anterior, un lector con actitud crítica se hará, de manera natural, las siguientes preguntas (posiblemente muchas otras): 1. ¿Por qué se está definiendo el orden en los enteros de esta manera? ¿Es fácil encontrar un ejemplo que sugiera que esta definición va en la dirección correcta? ¿Coincide este orden en el caso de enteros naturales? 2. ¿Es esta una definición libre de ambigüedad? ¿Depende o no de los representantes que elijamos? Antes de que continuar leyendo, le recomendamos responder a estas preguntas. La motivación para definir el orden como arriba es la siguiente: si y , entonces representa la posición final después de moverse unidades hacia arriba y hacia abajo, y algo similar sucede con . Para decidir si representa una posición más baja que observamos que entre más grande sean y , más arriba quedará respecto a , y entre más grande sean y , más arriba quedará respecto a . Así, es razonable afirmar que
quedará más abajo que
si y sólo si la cantidad
es menor
que la cantidad . El lector podrá dar varios ejemplos que ilustren el razonamiento anterior. Este último también puede expresarse mediante ecuaciones, así: sea ,
,
, entonces
y:
Note que la anterior línea no es una demostración, sino una motivación no rigurosa pero poderosa para darle sentido a la definición que hemos dado. Pasemos ahora a la cuestión del rigor. Debemos demostrar que la definición del orden es buena, esto es, que verificar si no depende de los representantes que escojamos en cada clase. Más precisamente, debemos verificar lo siguiente:
Dados
y
, si
entonces también
.
Si verificamos lo anterior, la cuestión de si para toda elección de representantes en y que
,
se resolverá afirmativamente (y en este caso diremos
), o se resolverá negativamente paratoda elección de representantes
en y (y en este caso diremos que ), pero no ocurrira que se resuelva afirmativamente para algunos representantes y negativamente para otros. Demostremos, entonces, la buena definición de Lema 139 La definición del orden Demostración. [ Prueba] Sean
en
.
es una buena definición.
, y sean
y
Supongamos que
.
. Sumando a cada
lado preservamos la igualdad (esta es una propiedad del naturales), y nos queda, reorganizando un poco, lo siguiente:
Ahora, como entonces
y
pertenecen a la misma clase, , es decir,
podemos concluir que anterior desigualdad se transforma en
. Similarmente . Gracias a estas igualdades, la
Como en ambos lados de la ecuación aparece propiedades del
en los
en los naturales,
, concluimos, por
Esto completa la demostración.
Recuerde que un entero negativo es, por definición, un entero de la forma , con
. El contenido del siguiente teorema es bien conocido:
Teorema 140 Sean Demostración. [ Prueba]
. Si
y
Sea
. Como
es negativo, entonces
,
implica que .
es negativo, entonces
.
. Esto
, lo que a su vez implica, por definición, que
Para antes de seguir leyendo :
1. Demuestre que para todo 2. Demuestre que para
existe ,
tal que
si y sólo si
. .
No es nuestro objetivo demostrar las principales propiedades del orden en . Sin embargo es bueno preguntarse cómo se compara el orden en los naturales con el orden en los enteros: qué propiedades se preservan en los enteros, y donde hay una ruptura estructural. A continuación listamos las principales semejanzas y diferencias. Para ello llamamos los enteros.
al orden en los naturales y
al orden en
1. Ambos órdenes carecen de un elemento máximo. 2. Ambos órdenes son discretos, esto es, todo elemento tiene un sucesor inmediato (esto no ocurre en los racionales). 3.
es un buen orden, mientras que no lo es (es por ello que no podemos hacer inducción sobre los enteros).
4.
es rígido. Esto es, el único isomorfismo
es la función identidad. Por el
contrario,
no es una estructura rígida, esto es, existen
isomorfismos
distintos de la identidad.
Para antes de seguir leyendo :
1. Encuentre un isomorfismo
, esto es, una
biyección
tal que
todo par de enteros
, y además
si y sólo si
, para
no sea la función identidad, esto
es, para al menos algún . 2. ¿Cómo definiría la multiplicación entre enteros? Verifique que su definición no es ambigüa, y mediante ejémplos, verifique que su definición coincide con la multiplicación conocida entre enteros.
3. Construcción de los números racionales 4. En esta sección se construirán los números racionales a partir de los números enteros. En este sentido la idea de la construcción es la misma que en la sección anterior. 5. Sea
. Definimos en
la relación
6. si y sólo si 7. Lema 141 es una relación de equivalencia sobre 8. Demostración. [ Prueba]Es dejada al lector
así:
.
9. 10.Definimos al conjunto de los números racionales así: Dados
con
, definimos
.
.
