2 LOS NÚM NÚMERO EROSS ENTE ENTEROS ROS
P A R A
1
E M P E Z A R
Expresa las siguientes cantidades con números enteros. a) Lui Luiss tiene tiene 12 euros. euros. b) Un submarino submarino se ha sumergido sumergido 25 metros. metros. c) Ram Ramón ón debe debe 2 euro euros. s. d) Elena baja baja a la planta cuarta cuarta del del sótano. sótano. a) 12 € b) 25 m c) 2 € d) 4.a planta
2
Expresa en el lenguaje ordinario el significado de las siguientes cantidades. a) 15 c ) 50 € e) 37 b) 350 años d) Planta 3 f) 8
€
a) La temperatura temperatura es de menos quince quince grados bajo cero. cero. b) Año 350 350 antes antes de de Cristo Cristo.. c) Se ti tien enee 50 50 €. d) Terce ercera ra planta planta del sótano sótano.. e) La tempera temperatura tura es es de 37 grad grados. os. f) Se deb eben en 8 3
€
o saldo negativo de 8 €.
Expresa de menor a mayor las siguientes cantidades. 5 euros,
3
euros, 7 euros, 0 euros,
4
euros.
Ordenación: 4 euros, 3 euros euros,, 0 euros euros,, 5 euros euros,, 7 euro euross 4
En un día de invierno, un termómetro callejero marca al mediodía 6 grados. Si a la seis de la tarde marca valores enteros ha marcado en ese intervalo?
5
grados, ¿qué
Ha ma marcado 6, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 grados.
Números enteros: Ordenación y representación P A R A
P R A C T I C A R
Ejercicio resuelto
2.1 Escribe, según corresponda, los signos teros. a) 5 y 5 b) 6 y 9 a)
5
5
b)
6 9
<
o
>
entre cada uno de los siguientes pares de números enc)
7
y3
c)
7
3
2.2 Ordena de menor a mayor las siguientes ternas de números. a) 9, 3, 6 b) 7, 0, 9 c) 6, 1, a)
9,
3, 6
c)
7,
0, 9
c)
d) 4 y 0 d) 4
9
9, 1,
6
d) 7, d)
0
15, 2
15, 7, 2
2.3 Dibuja en la recta numérica los números enteros comprendidos entre las siguientes parejas.
a) 6 y a)
–6
2
b) 4 y 0
–5
b)
–4
–3
–2
–4
–3
–2
–1
0
–3
–2
–1
0
c)
c)
3
y3
d) 2 y 6
0
d)
1
0
2
3
2
3
4
5
6
2.4 Escribe los números enteros que faltan. 12 < 7 <
... ...
<
1
<
0
<
4
<
... ...
<
12 7 6 5 4 3 2
8 104
5
6
7
8
Ejercicio resuelto 2.5 Representa en la recta numérica los números enteros cuyo valor absoluto es menor que 3. Los números buscados son
2, 1,
0, 1 y 2, y su representación es: –2
–1
0
1
2
2.6 Escribe y representa en la recta numérica los números enteros que cumplen los siguientes requisitos:
a) Son mayores que
2
y menores que 5.
b) Son menores que 4 y mayores que
8.
c) Su valor absoluto es menor que 5. a) b) c)
–2
–8
0
5
–4
–5
0
0
5
2.7 Escribe ordenadamente todos los números enteros cuyo valor absoluto sea mayor que 1 y menor que 6. Los números son: 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4 y 5.
P A R A
A P L I C A R
Problema resuelto
2.8 Expresa las posibles medidas enteras de la temperatura comprendida entre invierno. Las posibles temperaturas son
3, 2, 1,
3 C
y 3 C en un día de
0, 1, 2 y 3.
2.9 Un ascensor se encuentra en la planta 5 y baja hasta el segundo sótano. Representa en una escala los números correspondientes a las plantas por las que pasa y calcula cuántas plantas ha recorrido. 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2 plantas En total ha recorrido 7 plantas. 2.10 Indica el número entero asociada a cada enunciado. a) Agustín ha gastado 22 euros. b) El ascensor sube 5 plantas.
c) La temperatura baja 12 grados. d) El submarino asciende 50 metros. e) El fondo del pozo se halla a 25 metros por debajo del suelo. a)
22 €
b) 5 planta c) 12 C d) 50 m e) 25 m 2.11 La temperatura de un congelador es de 20 grados bajo cero, pero debido a una avería aumenta hasta los 5 grados bajo cero. Representa en la recta las dos temperaturas y calcula cuántos grados ha subido como consecuencia de la avería. –20
–5
0
La temperatura ha subido 15 grados. 2.12 Ordena, de menor a mayor, las siguientes alturas, dadas en metros, correspondientes a varias plantas de un edificio: 8 m, 12 m, 4 m, 8 m y 12 m. 12
m
8
m 4 m 8 m 12 m
2.13 Según datos históricos, Aníbal nació en el año 274 antes de Cristo, y el Cid en el año 1003 después de Cristo. Calcula, usando números enteros, los años entre ambos nacimientos. 1003
(274)
1003
274
1277 años.
2.14 En la antigua Roma, los años se contaban desde la fundación mítica de la ciudad por Rómulo en el 753 antes de Cristo. El último emperador romano, Rómulo Augústulo, fue depuesto en el año 476 después de Cristo. ¿Cuántos años transcurrieron entre ambas fechas? 476
(753)
476
753
1229 años
Suma y resta de números enteros P A R A
P R A C T I C A R
Ejercicio resuelto
2.15 Calcula las siguientes sumas y restas. a) 30 (27) b) 13 (42) a) 30 (27) 30 27 57 b) 13 (42) 13 42 55 2.16 Efectúa las siguientes sumas. a) 22 16 b) 27 (37)
c) 55 (18) d) 21 (15) c) 55 (18) 55 18 37 d) 21 (15) 21 15 6
c) 15 d) 29
a) 22 16 6 b) 27 (37) 10
c) d)
35 (31)
15
35 20 29 (31) 60
2.17 Realiza las siguientes operaciones.
a) 11 (12) (13) b) 8 (15) (9)
c) 18 d) 45
(32)
a) b)
c) 18 d) 45
(32)
11 (12) (13) 36 8 (15) (9) 32
2.18 Sustituye los números que faltan. a) 8 18 ? b) 22 (18) ? a) b)
8
18 10, luego, ? 10 22 (18) 40, luego, ?
40
(39)
13 10
13 1 (39) 10 16
c) 19 ? 9 d) 7 ? 12 c) 19 ? 9, luego, ? 10 d) 7 ? 12 luego, ? 19
2.19 Efectúa las siguientes operaciones.
a) 5 3 4 6 7 b) 10 7 6 9 29
c) 4 17 18 15 8 d) 20 25 26 14 8
a) 5 3 4 6 7 3 b) 10 7 6 9 29 29
c) 4 17 18 15 8 8 d) 20 25 26 14 8 25
Ejercicio resuelto
2.20 Realiza las operaciones siguientes. a) (17 2) (8 2)
b) (5
12)
(3
8)
a) (17 2) (8 2) (15) (10) 15 10 5 b) (5 12) (3 8) (7) (5) 12 2.21 Realiza las siguientes operaciones. a) 12 (10) (3) b) 4 (12) (2) a) 12 (10) (3) 1 b) 4 (12) (2) 18
c) 2 d) 2
(4) (11
(10
9
5) 6) (3)
c) 2 (4) (11 5) 12 d) 2 (10 9 6) (3) 2
2.22 Realiza las siguientes operaciones. a) (24 6 8) (3 7 5) b) (4 3 11) (6 12 9) c) 20 [8 (7 6 4)]
d) 8 [(9 3) 12 6] e) [12 (4) (20)] (5)
a) (24 6 8) (3 7 5) 25 b) (4 3 11) (6 12 9) 27 c) 20 [8 (7 6 4)] 19
d) 8 [(9 3) 12 6] 8 e) [12 (4) (20)] (5) 9
P A R A
A P L I C A R
Problema resuelto
2.23 Un globo está en el aire a 800 metros de altitud. Desciende 50 metros, luego 70 y después sube 80 metros. ¿A qué altitud se encuentra al final? Los ascensos los podemos representar por números enteros positivos, y los descensos, por números enteros negativos. Entonces: 800 (50) (70) (80) 800 50 70 80 880 120 760 m de altitud 2.24 Un ascensor se encuentra en la planta 20, sube 9 plantas y baja 5 ¿En qué planta se encuentra? Recorrido: 20
9
5
24
2.25 Pablo tiene 240 euros en su cartilla de ahorros. Deposita 10 euros que le regaló su tía Cristina y después saca 18 para ir de excursión con el colegio. ¿Cuál es el nuevo saldo? Saldo: 240
10 18 232
€
Problema resuelto
2.26 El emperador Augusto nació en el año
63
y murió en el 14. ¿Cuántos años vivió?
Restamos al año de su muerte el de su nacimiento: 14 (63) 14 63 77 2.27 En Villanueva las temperaturas máxima y mínima el día de la Candelaria fueron 19 y variación total de temperatura de ese día?
5.
Variación: 19 C (5 C) 24 C
Multiplicación y división de números enteros P A R A
2.28 Realiza las siguientes operaciones. a) 12 (6) b) 13 (3) a) 12 (6) 72 b) 13 ( 3) 39
P R A C T I C A R
c) 14 (4) d) 24 (6) c) 14 (4) 56 d) 24 (6) 144
Ejercicio resuelto
2.29 Calcula los siguientes productos. a) 12 (4) (5) a) 12 (4) (5) 48 (5) 240
b) 3 (10) (2) b)
3 (10) (2)
30 (2) 60
¿Cuál fue la
2.30 Calcula los siguientes productos. a) 8 (7) (2) b) 4 (5) (10)
c) 7 (5) 3 d) 7 3 (10) (2)
a) 8 (7) (2) 112 b) 4 (5) (10) 200
c) 7 (5) 3 105 d) 7 3 (10) (2) 420
2.31 Copia y completa cada recuadro con el número adecuado. a) 15 45 c) (3) 18 b) 27 81 d) 12 72 a) 15 3 45, por tanto, es 3. b) 27 3 81, por tanto, es 3.
c) d)
2.32 Calcula las siguientes divisiones. a) 24 : (6) b) 39 : (3)
54 (3)
18, por tanto, es 54. 12 (6) 72, por tanto, es 6.
c) 50 : 10 d) 32 : 8
a) 24 (6) 4 b) 39 ( 3) 13
c) 50 10 5 d) 32 8 4
2.33 Copia y completa cada recuadro con el número adecuado. a) 45 : 5 c) : (2) 26 b) 27 : 3 d) 30 : 10 a) 45 9 5, por tanto, es 9. b) 27 9 3, por tanto. es 9.
c) d)
52 (2) 30
26, por tanto, es 52. 3 10, por tanto, es 3.
Ejercicio resuelto
2.34 Los números 5, 15, 45, 135, … se forman sucesivamente de acuerdo con una regla. Búscala y escribe luego los tres términos siguientes. Regla: cada término se obtiene multiplicando el anterior por
3.
Por tanto, los siguientes términos son: 405, 1215 y 3645.
2.35 Los números 12, 24, 48, 96, … se forman de acuerdo con una regla. Encuéntrala y luego escribe los tres términos siguientes. Regla: cada término se obtiene multiplicando el anterior por
2,
los tres siguientes números, por tanto son, 192, 384, 768.
2.36 En una división exacta, el divisor es igual a 120 y el cociente es El dividendo es: 120 (30)
30.
¿Cuál es el dividendo?
3600.
2.37 ¿Qué número se obtiene si dividimos cualquier otro número entre su opuesto? Se obtiene el
1.
P A R A
A P L I C A R
Problema resuelto
2.38 Un coche tiene en su depósito 60 litros de gasolina y gasta 8 litros por cada 100 kilómetros que recorre. Calcula cuántos litros quedan en el depósito después de 500 kilómetros de viaje. En 500 km: 5 (8) 40. Por tanto, en el depósito quedarán: 60
(40)
20 litros de gasolina.
2.39 Sofía debe a cada una de sus tres amigas 17 caramelos. ¿Cuántos debe en total? ¿Con qué número expresarías la deuda? Número de caramelos: 17 3 51 La deuda se expresa con números negativos , luego son 51 caramelos. 2.40 María ha comprado una motocicleta por 300 euros. Ha pagado una entrada de 60 euros y el resto lo paga en 24 meses. ¿Cuál es la deuda mensual? Deuda: 300 € 60 € 240 € Deuda mensual: 240 € 24 10 € 2.41 Un tren que circula a 120 kilómetros por hora va reduciendo la velocidad media a razón de 20 kilómetros por hora. ¿Cuántas horas tardará en pararse? Tiempo que tarda en pararse: 120 20 6 h. 2.42 Un reloj se atrasa 1 segundo cada hora. ¿Cuánto se atrasará en una semana? ¿Y en un mes? En una semana se atrasara: 7 días 24h 60 min 60 s 604800 s se atrasará. En un mes (suponiendo que el mes tiene 30 días): 604 800 30 18144000 s se atrasará. 2.43 Una casa de campo tiene un depósito de 884 litros de agua que está lleno. Se abren al mismo tiempo un grifo que vierte en el depósito 28 litros de agua por minuto y otro que vierte 45 litros por minuto. ¿Al cabo de cuánto tiempo quedará vacío el depósito? Se designa por t el tiempo. Agua que entra: 884 28t Luego, t 52 h
Agua que sale: 45t
Tiempo en que quedará vacío: (28 45)t 884
Jerarquía de las operaciones Ejercicio resuelto
2.44 Haz las siguientes operaciones con paréntesis: 4
(5
3
2)
(2
5
3)
1.
Primera forma, haciendo en primer lugar las operaciones del paréntesis: 4 (5 3 2) (2 5 3) 1 4 (4) (6) 1 4 4 6 1 4 11 7. Segunda forma, aplicando las reglas de uso del paréntesis para quitarlo antes de operar: 4 (5 3 2) (2 5 3) 1 4 5 3 2 2 5 3 1 9 16 7.
P A R A
2.45 Calcula. a) 5 (6) 2 (3) b) 3 (1) (3) (2) (3) a) 5 (6) 2 (3) 180 b) 3 (1) (3) (2) (3) 54 2.46 Realiza las siguientes operaciones. a) 120 : (3) : (4) b) 200 : 25 : 5 a) 120 (3) (4) 10 b) 200 25 5 40
P R A C T I C A R
c) 1 8 (4) 2 d) 2 (3) 4 (5) 6 c) 1 8 (4) 2 64 d) 2 (3) 4 (5) 6 720
c) 150 : (10) : (3) d) 80 : (2) : 4 c) 150 (10) (3) 5 d) 80 (2) 4 10
2.47 Opera las siguientes expresiones. a) 24 : 4 2 b) 32 : 8 (3)
c) 60 : (20) (2) d) 25 2 : (5) 3
a) 24 4 2 12 b) 32 8 (3) 12
c) 60 (20) (2) 6 d) 25 2 (5) 3 30
2.48 Efectúa las siguientes operaciones. a) 8 (4 6) b) 7 5 (11 9 4)
c) (15 13) (12 10) d) (8 2) (5 3) (1
a) 8 (4 6) 8 2 10 b) 7 5 (11 9 4) 7 5 16 14 2.49 Calcula. a) 8 3 5 (2) 3 b) 5 (3) : (1) 7
2
3)
c) (15 13) (12 10) 2 2 0 d) (8 2) ( 5 3) (1 2 3) 6 8 2 4
c) 12 5 7 8 3 d) 12 : (4) 2 4 3 (2)
a) 8 3 5 (2) 3 12 b) 5 (3) (1) 7 9
c) 12 d) 12
5 7 8 3 23 (4) 2 4 3 (2) 4
Ejercicio resuelto
2.50 Realiza las siguientes operaciones. a) 7 (12 7) 1 b) 6 (4 6) 8
c) (3 12) (12 : 6) d) 3 2 7 (4 3
a) 7 (12 7) 1 7 5 1 35 1 36 b) 6 (4 6) 8 6 24 8 6 192 186 2.51 Haz las siguientes operaciones. a) 12 (6 9 11) b) (5 6 6) (4 5 6) a) 12 (6 9 11) 12 4 8 b) (5 6 6) (4 5 6) 5 3
6)
c) (3 12) (12 6) 36 2 72 d) 3 2 7 (4 3 6) 3 2 7 7 6 49 43
c) (2 4) (4 6) (6 1) d) 25 (12 6 2 5)
2
2.52 Efectúa las operaciones combinadas. a) (1 2 3)(4 5 6) b) 15 (13 (6 10))
c) (2 4) (4 6) (6 1) 2 2 d) 25 (12 6 2 5) 25 3 22
c) (5 d) (2
a) (1 2 3)(4 5 6) 90 b) 15 (13 (6 10)) 2
3)(8 4)(12 7) 3 7)(3 12 5)
c) (5 3)(8 4)(12 7) 40 d) (2 3 7)(3 12 5) 120
2.53 Simplifica las siguientes expresiones. a) (2 4 5)(30 : 10 2) b) 18 40 : (5 6 3) 48 : 12 a) (2 4 5)(30 10 2) 6 b) 18 40 (5 6 3) 48 12 9 P A R A
c) 9
((8
c) 9
((8 12)
12)
(10
6))
(10 6)) 7
A P L I C A R
2.54 Las dimensiones de una clase son 10 m de largo, 8 de ancho y 5 m de alto. Calcula el área total de paredes, suelo y techo. Superficie total de la clase: 2(10 8) 2(10 5) 2(8 5) 2(80 50 40) 2 170 El área total es independiente del camino que se siga para calcularla.
340 m2
5
9
2.55 Un triángulo equilátero tiene de área 60 cm2. ¿Qué área tendrá un hexágono regular cuyo lado mide lo mismo que el del triángulo anterior? Utiliza la descomposición en triángulos. El hexágono regular tiene 6 triángulos equiláteros. Área del hexágono: 6 60 360 cm2 2.56 Una baldosa de mármol tiene 10 centímetros de lado. Si tenemos 50 baldosas, calcula el área que podemos solar con ellas. Suponemos que las baldosas son cuadradas, por tanto, el área de una baldosa es 10 10 100 cm2. Por tanto, el área de 50 baldosas será 100 50 500 cm2. 2.57 Al encender la calefacción en un sótano, la temperatura sube 3 grados cada 2 horas. Si inicialmente el termómetro marcaba 5 C, ¿cuánto tiempo tardará en alcanzar los 10 C? Tenemos que calcular cuánto tiempo tardará en subir la calefacción 15 C. En total, si cada 2 horas sube 3 grados, tardará 15 3 5, 5 2 10 h. Problema resuelto
2.58 Un grupo de 6 alumnos compran 6 bocadillos y 6 refrescos. Si los bocadillos cuestan 3 euros y los refrescos 2, escribe la expresión matemática que da el coste y calcula luego su valor. Razona si hemos utilizado la jerarquía al realizar las operaciones. Expresión matemática: 6 3 6 2 Valor: 6 3 6 2 18 12 30 €. El cálculo conserva la jerarquía en las operaciones: primero se realizan las multiplicaciones, y después, las sumas. 2.59 Un equipo de fútbol de un colegio, formado por 18 jugadores, compra las camisetas y pantalones. Cada camiseta cuesta 12 euros y cada pantalón 10. Escribe la expresión combinada que da el coste de los 18 equipamientos y calcula el precio pagado. Expresión del coste: 18 (12 10) 396
€
Matemáticas cotidianas P A R A
A P L I C A R
2.60 En 1975, en un parque nacional había un número indeterminado de ejemplares de una especie de aves en extinción. Durante la primera década nacen 125 ejemplares y mueren 200; durante la segunda década nacen 105 y mueren 325. Tras la toma de fuertes medidas de protección de la especie, durante la tercera década nacen 450 ejemplares y mueren 210. Al final en 2005, quedan exactamente 678. ¿Cuántos ejemplares había en 1975? En la primera década 125 200 75 En la segunda década 105 325 220 En la tercera década 450 210 240 Tras 30 años tenemos 75 220 240 55 aves que en 1975. En 2005 hay 678, por tanto, en 1975 había 678 (55) 733 aves.
Actividades finales C Á L C U L O
2.61 Realiza las siguientes operaciones. a) 12 10 b) 54 : (6) a)
120
b)
9
M E N T A L
c)
150
c) 3
:
(50)
2.62 Busca el valor desconocido en las siguientes expresiones. a) 20 10 c) 2 b) 6 4 d) 2 a) b)
30
16
6
0
c) 18 d) 4
10
2.63 Utiliza un poco de astucia para calcular las siguientes operaciones. a) 24 7 1 7 24 d) 2 8 (2) (1) b) 125 25 75 e) 100 : 2 : (5) (1) c) 29 67 28 69 f) 40 2 : (8) : 5 a) 1 b) 25 c) 3
d) 32 e) 10 f) 2 P A R A
P R A C T I C A R
Y
A P L I C A R
2.64 Indica el desplazamiento sobre una recta numérica en cada uno de estos casos. a) Si partimos de 3 y llegamos a 5. b) Si partimos de 2 y llegamos a 11. c) Si partimos de 10 y llegamos a 3 d) Si partimos de 6 y llegamos a 5 a) b) c) d)
Salto: 5 (3) 8 Salto: 11 (2) 9 Salto: 3 10 7 Salto: 5 6 11
2.65 Realiza las operaciones siguientes teniendo en cuenta la jerarquía de las operaciones. a) 7 3 4 6 c) 25 : 5 (3 6 11) b) 7 (12 : 4 2) 10 d) (8 3) (36 : 6) a) 7 3 4 6 25 b) 7 (12 4 2) 10 2
c) 25 5 (3 6 11) 3 d) (8 3) (36 6) 30
2.66 Calcula los valores desconocidos en las siguientes operaciones. a) 45 : (3) c) 36 : 12 b) 88 : (11) d) : 11 11 a) 45 (3) 15 b) 88 (11) 8 2.67 Realiza las siguientes operaciones. a) 36 : 9 b) 32 : 4 a) 36 9 4 b) 32 4 8 2.68 Efectúa las siguientes operaciones combinadas. a) 3 (7 8 2) b) 25 : (6 3 13) a) 3 (7 8 2) 12 b) 25 (6 3 13) 5
c) d)
36
12 3 121 11 11
c) 60 : 12 d) 24 : (2) c) 60 12 5 d) 24 (2) 12 12
c) 42 : (5 6 2) d) (36 9) : (3 4) c) 42 (5 6 2) 6 d) (36 9) (3 4) 27
2.69 Martín tiene 50 tebeos. Un día le regala 10 a su hermana, luego su madre le compra 15 y más tarde le regala 12 a la biblioteca del barrio. ¿Cuántos tebeos tiene al final? Al final tiene 50
10 15 12 43 tebeos.
2.70 En una granja, el depósito de agua tiene una capacidad de 15000 litros. Se gastan 5000 en regar, 2500 en el cuidado de los animales y 3500 en uso doméstico. ¿Cuántos litros quedan en el depósito? Litros en depósito: 15000 5000 2500 3500 4000 2.71 La temperatura media cada día de una semana ha sido: L M Mi J V S D 7 5 3 1 1 0 1 a) ¿Entre qué dos días consecutivos se ha producido una mayor diferencia térmica? b) Halla la temperatura media de la semana. a) Entre lunes y martes, martes y miércoles, miércoles y jueves hay la misma diferencia: 2 grados. b) La temperatura media es: (7 5 3 1 1 0 (1) 7 2,28, no es un valor entero. P A R A
R E F O R Z A R
2.72 Escribe un número entero que cumpla las condiciones que se indican en cada caso. ? < 2 ? < 3 a) 8 < c) 5 < ? <1 ? <2 b) 1 < d) 2 < a) b)
8 5 2 1
0
c) d)
1
2.73 Realiza las operaciones siguientes. a) 12 2 5 8 b) 8 8 4 2 10
2
1
2
c) 15 (3 15 6 2) d) 1 (4 2 6) (2
a) 12 2 5 8 6 b) 8 8 4 2 10 8
5
2)
c) 15 (3 15 6 2) 31 d) 1 (4 2 6) (2 5 2) 6
2.74 ¿Cuál es el resultado de estas operaciones? a) 6 3 6 5 b) 8 (16 : 4 3) 12 a) b)
5 4 3
12
c) 35 : 7 (2 5 10) d) (9 4) (42 : 6) c) 2 d) 35
3
2.75 Calcula el resultado de las siguientes expresiones. a) 5 (5) (12 : 6 1) b) (3) 2 : 6 (7) (1) a) 5 (5) [2 (4 6 1)] 18 b) (3) 2 [5 (7) (1)] (3) 8
c) 20 : (4) 2 (8 4 : 2) d) 6 (3 5 4) : ( 2) 8 c) 3 [4 (6)] ( 2) [8 4] 3 d) 6 (3 5 4) 2 3 (6 9 8) 2
2.76 Escribe el valor que deber tener x para que sea 0 el resultado de las siguientes operaciones. a) 20 18 (5) x b) 24 (25) 12 x c) 10 8 (4) x a)
x
7
b)
x
37
c)
x
6
2.77 En un lugar de Rusia, un día se alcanzó la temperatura máxima de 35. Al empezar la primavera, la temperatura había aumentado hasta 15. ¿Cuál ha sido la variación? 15 C (35 C) 15 C 35 C 50 C 2.78 En una mina de carbón se trabaja a una profundidad de 60 metros. Hay un ascensor para subir de la mina al exterior. Si el ascensor tiene una parada a 25 metros de la superficie, ¿qué distancia ha subido? 60 m
25 m
35 m ha subido el ascensor.
2.79 Calcula el número de discos que son tuyos en cada una de estas dos situaciones. a) Tienes 32 discos en casa, pero Luis te dejó el otro día 5 para escucharlos. b) Debes devolver 12 discos, tienes 16 en casa y tu hermana te regala 2. a) 32 5 27 b) (12) 16 2
6 P A R A
A M P L I A R
2.80 Razona con un ejemplo si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. a) Un número menos su opuesto es cero. b) Un número menos el opuesto de su opuesto es cero. c) El cociente entre un número entero y el valor absoluto de su opuesto es 1. a) Se elige, por ejemplo, el número 5. Su opuesto es 5. 5 (5) 5 5 10 Por tanto, es falso. b) Se elige, por ejemplo, el número 5. Su opuesto es 5. 5 ((5)) 5 5 0 Por tanto, es verdadero. c) Se elige, por ejemplo, el número 5. Su opuesto es 5. 5 5 5 5 1 Por tanto, es falso. 2.81 El producto de dos enteros es igual a Parejas posibles: 1 y
8, 1
8.
Escribe las parejas de números que cumplen esa condición.
y 8, 2 y 4, 2 y 4
2.82 María e Iñaki han recogido para una ONG 93 euros. María recoge 5 euros más que Iñaki. ¿Qué cantidad recoge cada uno? Si se quitan 5 € a María, los dos recogen igual. Por tanto, se reparte en partes iguales 93 5 88. Cantidad de Iñaki: 44 € Cantidad de María: 49 € 2.83 Los números enteros 6 y 12 tienen la propiedad curiosa de que se pueden obtener como suma de 3 números negativos consecutivos. ¿Cuáles son? 6 1 (2) (3) 12 3 (4) (5)
2.84 Una avioneta vuela a una cierta altura y sufre las siguientes variaciones: desciende 1 kilómetro, luego 500 metros y después sube 800 metros. ¿Cuál era su altura inicial? 1000
m 500 m
800 m
2300
m. Su altura inicial es 2300 m.
2.85 Miguel y Elena salen de una ciudad en la misma dirección y sentidos opuestos. Miguel va en su moto a la velocidad de 80 kilómetros por hora, mientras que Elena va en su coche a 100 kilómetros por hora. Si salen al mismo tiempo, ¿cuál será la distancia que los separa al cabo de 2 horas? Miguel en 2 h recorre 80 2 160 Distancia 160 (200) 360 km
Elena en 2 h recorre 100 2 200
2.86 Un caracol se encuentra en el brocal de un pozo vacío. Si las cotas se indican por números (0, 1, 2, 3, 4, …) y la velocidad de descenso es de 1 metro cada media hora, ¿cuánto tiempo tardaría en ba jar hasta la cota 10 metros? Velocidad de descenso 100 2 5 h
1
metro cada media hora, por tanto, cada hora 2 m
P A R A
I N T E R P R E T A R
Y
R E S O L V E R
2.87 Temperaturas La tabla muestra las temperaturas alcanzadas en Berlín durante las 24 horas de un 6 de enero. a) ¿Cuál fue la variación máxima entre las temperaturas de ese día?
b) Esta gráfica representa las temperaturas de ese día, pero considerando solo 9 horas del mismo. ) C o 3 ( a r 2 u t 1 a r e p O m e T
• • •
• • •
•
• Hora del día
• •
Indica a qué hora de ese día corresponde el comienzo de esta gráfica y a qué hora el final. a) La variación máxima fue 3 (6) 9. b) Comienza a las 10 h que había 3 y termina a las 19 h con 1 de temperatura. 2.88 La oruga trepadora Una oruga quiere subir por el tronco de un árbol de 10,20 metros. Para trepar, siempre realiza las siguientes etapas. • Sube un tramo de 60 centímetros y tarda 60 segundos en realizar esta etapa. • Después, se relaja y, debido a su peso, baja 20 centímetros. En esta etapa tarda 10 segundos. La oruga repite estas etapas tantas veces como sean necesarias para llegar a lo más alto del tronco. a) Calcula el tiempo exacto que tardará en subir todo el tronco. b) ¿Cuántas veces ha tenido que descansar? a) 10,20 m 1 020 cm En cada etapa tarda 60 10 70 s. Sube 60 (20) 40 cm. 40 etapas 25 veces 1 000 cm, solo faltan 20 cm, todas las etapas terminan con un descanso de 20 s, por tanto, tarda 70 25 20 1770 s.
b) Descasa 25 veces.
A U T O E V A L U A C I Ó N
2.A1 Expresa con números enteros las siguientes situaciones. a) La temperatura ha subido 8 C. b) Un submarino ha descendido 125 metros. c) A Estíbaliz le ha perdonado una deuda de 15 euros. a)
8 C
b)
125
m
c)
(15) €
15 €
2.A2 Escribe los números que tengan por valor absoluto, respectivamente, los siguientes números: 8, 5 y 7. Números con valor absoluto 8: 8 y 8 Números con valor absoluto 7: 7 y 7
Números con valor absoluto 5: 5 y
2.A3 Escribe los siguientes tres términos en cada sucesión: a) 19, 15, 11, ... c) 5, 0, b) 10, 7, 4, ... a) 19, 15, 11, 7, 3, 1, ... b) 10, 7, 4, 1, 2, 5, ...
5
5, 10,
...
c) 5, 0, 5, 10, 15,20, 25 ...
2.A4 Realiza las siguientes operaciones. a) 31 20 b) 26 (16)
c) 21 (6) (10) d) 26 (23) 12
a) 31 20 11 b) 26 (16) 26 16 10
c) 21 (6) (10) 37 d) 26 (23) 12 3 12 15
2.A5 Encuentra los valores desconocidos de las siguientes expresiones. a) 6 15 b) 27 (15) c) 23 0 d) 7 13 a) c)
6
15 9 23 23 0
b) 27 (15) 12 d) 7 (20) 13
2.A6 Realiza las siguientes operaciones. a) (21 5) (12 62) b) (13 4 a) (21 5) (12
62) 66 b) (13 4
3
5) (8 3
10)
5)
2.A7 Realiza las siguientes operaciones. a) 7 (21) b) 3 (9) (5)
1
c) (4
11
8)
(5
16
8)
c) (4 11 8) (5 16 8) 20
c) (64 32) 16 2 d) (72 128) 14 4
2.A8 Realiza las siguientes operaciones. a) 6 (30 : 5) (42 2 30)
10)
c) (64 32) : 16 d) (72 128) : 14
a) 7 (21) 147 b) 3 (9) (5) 135
a) 6 (30 5) (42
(8
2
30) 22
b) 2
16 : (24 : 6)
b) 2
16 (24
(16 : 4)
6) (16 4) 10
2.A9 El portero de un edificio está en la planta 3, sube siete plantas para recoger un paquete y después desciende dos plantas. ¿En qué planta se encuentra ahora? Situación: 3 7 2 2 Está en la planta 2.a 2.A10 En una estación de esquí, la temperatura a las doce de la mañana era de 9 C y a las tres de la madrugada del siguiente día es de 7 C. ¿En cuántos grados ha variado temperatura en ese intervalo de tiempo? Variación de la temperatura: (7 C 9 C) 16 C
U N
R I N C Ó N
P A R A
P E N S A R
¿Qué debería aparecer en la pantalla de la calculadora al pulsar cada secuencia de teclas? Primero los alumnos realizarán los cálculos mentalmente y si los realizan correctamente deberán obtener los siguientes resultados: 4 2 3 10 3 5 2 7 15 3 10 5 7 Después, cuando pulsen las secuencias de teclas en sus calculadoras comprobarán que en muchos casos los resultados que aparecen son 18, 4 y 3, respectivamente. ¿Qué sucede? Que muchas calculadoras no respetan la jerarquía de las operaciones y las resuelven a medida que se pulsan las teclas. Con esta actividad se pretende que los alumnos reflexionen sobre la importancia de conocer cómo funciona una calculadora para que no se FÍEN de todo lo que aparezca en su pantalla.
