ALGEBRA 1- GRUPO CIENCIAS- TURNO TARDE-
Enteros • Z = −N ∪ {0} ∪ N • Las operaciones + y . son cerradas en Z, es decir la suma de dos n´ umeros enteros es un n´ umero entero y el producto de dos n´ umero enteros es tambi´en un n´ umero entero. Adem´as: + es asociativa, es conmutativa, el elemento neutro 0 ∈ Z, y dado x ∈ Z su opuesto −x ∈ Z. . es asociativa, es conmutativa, el elemento neutro 1 ∈ Z. • Sean a, b ∈ Z, b ̸= 0. Se dice que b divide a a, o que b es divisor de a, o que a es divisible por b, o que a es m´ ultiplo de b, si existe k ∈ Z tal que a = k.b. En general b divide a a se denota b | a y b no divide a a se indica b - a. • Todo n´ umero entero no nulo es divisor de 0. • Sean a, b ∈ Z. b | a ⇔ −b | a ⇔ −b | −a ⇔ b | −a. • Sean a, b, c ∈ Z. a | b ∧ b | c ⇒ a | c. a | b ∧ a | c ⇒ a | b + c ∧ a | b − c. • Si a y b son enteros no nulos y b | a entonces | b |≤| a |. Demostraci´ on: Como b | a, entonces existe k ∈ Z tal que a = k.b. Entonces | a |=| k.b |=| k | . | b |. Como k ̸= 0, entonces | k |≥ 1. Resulta de lo anterior | a |≥ 1. | b |=| b | . • Sean a, b ∈ Z. a | b ∧ b | a ⇒| a |=| b |. • Sea a ∈ Z, a divide a 1 si y solo si | a |= 1. • Todo n´ umero entero a distinto de 1 y −1 admite al menos cuatro divisores: 1, −1, a y −a. Un n´ umero entero se dice primo, si tiene exactamente cuatro divisores. • p es primo ⇔ −p es primo. • Todo n´ umero entero distinto de 1 o −1 es divisible por alg´ un n´ umero primo. Demostraci´ on: Sea a un n´ umero entero distintos de 1 y de -1. Si a = 0, la proposici´on es verdadera pues, por ejemplo, 2 es primo y 2 divide a 0. Si a ≥ 2 probaremos por inducci´on en a que a es divisible por alg´ un n´ umero primo. Para a = 2, la proposici´on es verdadera pues 2 es primo y 2 divide a 2. Hip´otesis inductiva (fuerte): Sea k ≥ 2, cualquiera. Supongamos que para cada entero s con 2 ≤ s ≤ k, existe alg´ un primo ps que divide a s. Veamos que la proposici´on vale para a = k + 1. Si k + 1 es primo, la proposici´on vale pues k + 1 divide a k + 1. Si k + 1 no es primo, entonces existe un entero s distinto de ±1 y ±(k + 1) tal que s divide a k + 1; podemos suponer que s es positivo; adem´as como s divide a k + 1 debe ser s ≤ k + 1, resulta 2 ≤ s ≤ k. Por la HI, existe un primo ps que divide a s y por lo tanto divide a k + 1, como quer´ıamos probar. Finalmente, si a ≤ −2, entonces −a ≥ 2. Por lo demostrado anteriormente existe un primo que divide a −a; el mismo primo divide a a.
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• Si n ∈ N, n ̸= 1 y n no es primo, entonces existe p primo que divide a n tal que p2 ≤ n. Demostraci´ on: Sea p0 el menor primo positivo que divide a n, es decir p0 es el primer elemento del conjunto {p ∈ N : p primo y p divide a n}. Observar que tal elemento existe pues este es un subconjunto no vac´ıo de N (es no vac´ıo por la proposici´on anterior y porque n ̸= ±1) y N es un conjunto bien ordenado. Ahora, como p0 divide a n, entonces existe k ∈ N tal que n = k.p0 ; es claro que k ̸= ±1 pues n no es primo. Por la proposici´on anterior existe p1 primo, podemos considerarlo positivo, tal que p1 divide a k. Resulta que p1 divide a n. Por la elecci´on de p0 debe ser p0 ≤ p1 , como adem´as p1 ≤ k tenemos que p0 ≤ k. Finalmente concluimos n = k.p0 ≥ p0 .p0 = (p0 )2 , como quer´ıamos probar. Ejercicio: ver que 97 es primo, ver que 101 es primo. umero primos es infinito. • El conjunto de los n´ • Considere los n´ umeros primos positivos ordenados en forma creciente, p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, ...., pk , .... Para cualquier k ≥ 2, vale que pk+1 ≤ p1 .p2 ...pk − 1. • N´ umeros primos hasta 200: 2,3,5,7, 11,13,17,19, 23,29, 31,37, 41,43,47, 53,59, 61,67, 71,73,79, 83,89, 97, 101,103,107,109, 113, 127,
131,137,139, 149, 151,157, 163,167, 173, 179, 181, 191,193,197, 199
Criba de Erat´ostenes. • Teorema (algoritmo de la divisi´ on en Z). Sean a, d ∈ Z, d = ̸ 0. Existe un u ´nico par de n´ umeros q,r∈ Z, tales que: 1. a = q.d + r, y 2. 0 ≤ r <| d |. q se dice el cociente de la divisi´on de a por d y r se dice el resto de la divisi´on de a por d; tambi´en suele indicarse rd (a). • Propiedades del resto. 1. d | a ⇔ rd (a) = 0. 2. rd (a + b) = rd (rd (a) + rd (b)) 3. rd (a · b) = rd (rd (a) · rd (b)) 4. rd (an ) = rd ([rd (a)]n ) • Ejercicios: Determinar el cociente y el resto al dividir 25 por 7, 25 por -7, -25 por 7 y -5 por -7. Determinar el resto de dividir 293 por 3 y el resto de dividir 945 por 7. n es par si y solo si n2 es par. Determinar los posibles restos al dividir n2 por 3. Probar que la suma de los cuadrados de 3 n´ umeros no divisibles por 3, es un m´ ultiplo de 3. • Sean a, b ∈ Z, no ambos nulos. Existe un u ´nico n´ umero d ∈ N, tal que: 1. d | a y d | b, 2. Si h | a y h | b entonces h | d. Observar que como consecuencia de ?? cualquier divisor com´ un de a y de b es menor o igual que d, por eso d se llama m´ aximo com´ un divisor entre a y b, en general se denota (a, b).
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• Sean a, b ∈ Z, no ambos nulos. Se llama combinaci´ on lineal entera de a y b, a todo n´ umero entero x de la forma x = m.a + n.b, con m y n enteros cualesquiera. Si adem´as x > 0 se dice una combinaci´ on lineal entera positiva. De la demostraci´on del resultado anterior resulta que (a, b) es la menor combinaci´on lineal entera positiva de a y b y esto implica que ∃ m, n ∈ Z tales que (a, b) = m.a + n.b. • Sean a, b ∈ Z no nulos, (a, b) = (a, −b) = (−a, −b) = (−a, b). • Sean a, b ∈ N y sea r el resto de la divisi´on de a por b. Vale que (a, b) = (b, r). Este resultado es la base del algoritmo de Euclides para el c´alculo pr´actico de (a, b). • Si p es primo y p | a.b entonces p | a o p | b. • Sean a, b ∈ Z. a y b se dicen coprimos si (a, b) = 1. • Son coprimos: 1. p y q, para p y q primos distintos cualesquiera. 2. p y (p − 1)!, para p primo cualquiera mayor que 2. 3.
a (a,b)
y
b (a,b) ,
para a y b enteros cualesquiera no nulos.
OBSERVACION: Si a y b son enteros tales que b divide a a, indicaremos con multiplicado por b da a.
a b
al n´ umero entero tal que
• Sean a y b coprimos. Vale que: a | n y b | n ⇒ a.b | n. a | b.n ⇒ a | n. • Una ecuaci´on diof´antica es una ecuaci´on algebraica con coeficientes enteros y que requiere soluciones enteras. El siguiente teorema ense˜ nan como resolver las lineales en dos variables x e y. Teorema: Sean a, b y c enteros. La ecuaci´on a.x + b.y = c tiene soluci´on en el conjunto de los n´ umero enteros s´ı y solo s´ı (a, b) | c. M´as a´ un, cuando (a, b) | c, si (a, b) = n.a + s.b entonces el conjunto soluci´on de la ecuaci´on dada es {
c b x = n. (a,b) − m. (a,b) c a y = s. (a,b) + m. (a,b)
con m ∈ Z. • Sean a, b ∈ Z, ambos no nulos. Existe un u ´nico n´ umero m ∈ N, tal que: 1. a | m y b | m, y 2. Si a | h y b | h entonces m | h. Observar que como consecuencia de ?? cualquier m´ ultiplo com´ un de a y de b es mayor o igual que m, por eso m se llama m´ınimo com´ un m´ ultiplo de a y b, en general se denota [a, b]. • Sean a, b ∈ Z positivos, [a, b] = [a, −b] = [−a, −b] = [−a, b]. a.b = (a, b).[a, b]. [a, b] = b ⇔ b | a. ´ Sean a1 , a2 , ..., an ∈ Z, no nulos. • GENERALIZACION: Existe un u ´nico n´ umero d ∈ N, tal que: 1. d | a1 , d | a2 ,... y d | an 3
2. Si h | a1 , h | a2 ,... y h | an entonces h | d. d se llama m´ aximo com´ un divisor entre a1 , a2 , ... y an , en general se denota (a1 , a2 , ..., an ) y vale que (a1 , a2 , ..., an ) = ((a1 , a2 , ..., an−1 ), an )). Existe un u ´nico n´ umero m ∈ N, tal que: 1. a1 | m, a2 | m ... y an | m 2. Si a1 | h, a2 | h ... y an | h entonces m | h. m se llama m´ınimo com´ un m´ ultiplo entre a1 , a2 , ... y an , en general se denota [a1 , a2 , ..., an ] y vale que [a1 , a2 , ..., an ] = [[a1 , a2 , ..., an−1 ], an ]]. • Teorema Fundamental de la Aritm´ etica. Sea m ∈ Z, m ̸= 0, ±1. Existen n´ umero primos positivos p1 , p2 , ..., pk tales que: p1 ≤ p2 ≤ ... ≤ pk y m = ξ.p1 .p2 ....pk , donde ξ = 1 o ξ = −1 Adem´as esta escritura (que suele llamarse descomposici´ on de m en factores primos o factorizaci´ on de m en primos) es u ´nica, es decir: si p′1 , p′2 , ..., p′s son primos positivos tales que: p′1 ≤ p′2 ≤ ... ≤ p′s y m = δ.p′1 .p′2 ....p′s , donde δ = 1 o δ = −1 entonces k = s, ξ = δ, y pi = p′i para todo i = 1, ..., k. Demostraci´ on: Sea S = {n ∈ Z, n > 1, n no se factoriza en primos}. Observar que todo primo p se factoriza en primos; por lo tanto S no contiene ning´ un primo (*). Supongamos S ̸= ∅. Como S ̸= ∅ y S ⊆ N, existe n0 ∈ S primer elemento de S. Como n0 ∈ S, entonces n0 ̸= 1, entonces existe p primo positivo tal que p divide a n0 . Considero p0 el menor primo positivo que divide a n0 ; y m ∈ N tal que n0 = p0 .m. Observar que: – Por (*), n0 ̸= p0 , entonces m > 1; y adem´as – m ̸∈ S pues m < n0 ; Ahora, si m > 1 y m ̸∈ S, entonces m se factoriza en primos, es decir existen primos positivos p1 , p2 , ..., pk tales que: p1 ≤ p2 ≤ ... ≤ pk y m = p1 .p2 ....pk . Pero entonces n0 = p0 .m = p0 .p1 .p2 ....pk (y p0 ≤ p1 pues p0 es el menor primo positivo que divide a n0 ), es decir n0 se factoriza en primos. Esto contradice el hecho que n0 ∈ S. La contradicci´ on proviene de suponer S ̸= ∅. Resulta S = ∅, con lo cual todo entero m > 1 se factoriza en primos. Ahora, cualquier entero −m, menor que -1, tambi´en se factoriza en primos considerando la factorizaci´on de m, y ξ = −1. Unicidad: Sea m ∈ Z, m > 1, y supongamos que m se factoriza en primos de dos formas distintas, es decir: m = p1 .p2 ...pk = p′1 .p′2 ...p′h con primos positivos p1 ≤ p2 ≤ ... ≤ pk y p′1 ≤ p′2 ≤ ... ≤ p′h . Observar que como p1 es primo y p1 divide a p′1 .p′2 ...p′h , entonces existe i tal que p1 = p′i , sea r = menor{i/p1 = p′i }. Resutla p1 = p′r An´alogamente, sea s = menor{i/p′1 = pi }. Resulta p′1 = ps . 4
Ahora, p1 = p′r ≥ p′1 = ps ≥ p1 , con lo cual son todos iguales, es decir p1 = p′1 . Simplificando resulta
p2 ...pk = p′2 ...p′h
y repitiendo el razonamiento anterior p2 = p′2 y as´ı sucesivamente obtenemos que k debe ser igual a h y p1 = p′1 , ..., pk = p′k . • Dado m ∈ Z, m ̸= 0, para cada primo positivo p llamamos vp (m) = mayor{i ∈ N0 / pi | m} en otras palabras vp (m) es la cantidad de veces que el primo p aparece en la factorizaci´on de m. Resulta entonces que todo entero no nulo se escribe en la forma: ∏ m = ξ. pvp (m) p∈P
donde P es el conjunto de primos positivos, y ξ = ±1. Observar que en la productoria anterior solo un n´ umero finito de factores es distinto de 1. • Sean m y n enteros y p primo positivo. Vale que: i) vp (m.n) = vp (m) + vp (n). ii) Si n divide a m, entonces vp (n) ≤ vp (m). Adem´as, vp ( m n ) = vp (m) − vp (n). iii) Si n > 0, vp (mn ) = n.vp (m). • La descomposici´on en factores primos de m tambi´en suele escribirse, en forma m´as sensilla, α2 α3 αs 1 m = pα 1 .p2 p3 ...ps
donde los pi son primos distintos entre s´ı. Observar que puede deducirse facilmente (ejercicio de combinatoria) que la cantidad de divisores positivos de m es igual (α1 + 1).(α2 + 1).(α3 + 1)...(αs + 1) • Dados n´ umero enteros no nulos m y n con sus despomposiciones en factores primos: m = ξ.
∏
pvp (m)
p∈P
n = ξ.
∏
pvp (n)
p∈P
vale que: (m, n) =
∏
p menor
{vp (m),vp (n)}
p mayor
{vp (m),vp (n)}
p∈P
[m, n] =
∏ p∈P
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