Propiedades de la adicion de Numeros Naturales La adición de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa y elemento neutro. 1.- Asociativa: Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que: (a + b) + c = a + (b + c) Por ejemplo: (7 + 4) + 5 = 11 + 5 = 16 7 + (4 + 5) = 7 + 9 = 16 Los resultados coinciden, es decir, (7 + 4) + 5 = 7 + (4 + 5) 2.-Conmutativa Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que: a+b=b+a En particular, para los números 7 y 4, se verifica que: 7+4=4+7 Gracias a las propiedades asociativa y conmutativa de la adición se pueden efectuar largas sumas de números naturales sin utilizar paréntesis y sin tener en cuenta el orden. 3.- Elemento neutro El 0 es el elemento neutro de la suma de enteros porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que: a+0=a
Propiedades de la Multiplicación de Números Naturales La multiplicación de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa, elemento neutro y distributivo del producto respecto de la suma. 1.-Asociativa Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que: (a · b) · c = a · (b · c)
Por ejemplo: (3 · 5) · 2 = 15 · 2 = 30 3 · (5 · 2) = 3 · 10 = 30 Los resultados coinciden, es decir, (3 · 5) · 2 = 3 · (5 · 2) 2.- Conmutativa Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que: a·b=b·a Por ejemplo: 5 · 8 = 8 · 5 = 40 3.-Elemento neutro El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que: a·1=a
4.- Distributiva del producto respecto de la suma Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que: a · (b + c) = a · b + a · c Por ejemplo: 5 · (3 + 8) = 5 · 11 = 55 5 · 3 + 5 · 8 = 15 + 40 = 55 Los resultados coinciden, es decir, 5 · (3 + 8) = 5 · 3 + 5 · 8
Propiedades de la Sustraccion de Numeros Naturales Igual que la suma la resta es una operación que se deriva de la operación de contar. Si tenemos 6 ovejas y los lobos se comen 2 ovejas ¿cuantas ovejas tenemos?. Una forma de hacerlo sería volver a contar todas las ovejas, pero alguien que hubiese
contado varias veces el mismo caso, recordaría el resultado y no necesitaría volver a contar las ovejas. Sabría que 6 - 2 = 4. Los términos de la resta se llaman minuendo (las ovejas que tenemos) y sustraendo (las ovejas que se comieron los lobos). Propiedades de la resta: La resta no tiene la propiedad conmutativa (no es lo mismo a - b que b - a)
Propiedades de la División de Números Naturales La división es la operación que tenemos que hacer para repartir un numero de cosas entre un número de personas. Los términos de la división se llaman dividendo (el número de cosas), divisor (el número de personas), cociente (el número que le corresponde a cada persona) y resto (lo que sobra). Si el resto es cero la división se llama exacta y en caso contrario inexacta. Propiedades de la división La división no tiene la propiedad conmutativa. No es lo mismo a/b que b/a.
Propiedades de la suma de números enteros 1. Interna : a + b
3 + (−5)
2. Asociativa : ( a + b) + c = a + (b + c) · (2 + 3) + (− 5) = 2 + [3 + (− 5)] 5 − 5 = 2 + (− 2) 0 = 0
3. Conmutativa :
a + b = b + a 2 + (− 5) = (− 5) + 2 − 3 = − 3
4. Elemento neutro : a + 0 = a (−5) + 0 = − 5
5. Elemento opuesto a + (-a) = 0 5 + (−5) = 0 −(−5) = 5
Propiedades de la resta de números enteros 1. Interna : a − b
10 − (−5)
2. No es Conmutativa : a - b ≠ b – a 5 − 2 ≠ 2 – 5
Propiedades de la multiplicación de números enteros 1. Interna : a · b 2 · (−5)
2. Asociativa:
(a · b) · c = a · (b · c) (2 · 3) · (−5) = 2· [(3 · (−5)] 6 · (−5) = 2 · (−15) -30 = -30
3. Conmutativa: a · b = b · a 2 · (−5) = (−5) · 2 -10 = -10
4. Elemento neutro : a ·1 = a (−5)· 1 = (−5)
5. Distributiva : a · (b + c) = a · b + a · c (−2)· (3 + 5) = (−2) · 3 + (−2) · 5 (−2)· 8 =- 6 – 10 -16 = -16
6. Sacar factor común: a · b + a · c = a · (b + c) (−2) · 3 + (−2) · 5 = (−2) · (3 + 5)
Propiedades de la división de números enteros 1. No es una operación interna : (−2) : 6
2. No es Conmutativo : a : b ≠ b : a
6 : (−2) ≠ (−2) : 6
Potencia de números enteros
a0 = 1 · a1 = a am · a
n
= am+n
(−2) 5 ·(−2) 2 = (−2) 5+ 2 = (−2) 7 = −128 am : a
n
= a m –
n
(−2) 5 : (−2) 2 = (−2) 5 (a m ) n = a m
- 2
= (−2) 3 = −8
· n
[(−2) 3 ] 2 = (−2) 6 = 64 an · b
n
= (a · b)
n
(−2) 3 · (3) 3 = (−6) an : b
n
= (a : b)
(−6) 3 : 3
3
3
= −216
n
= (−2) 3 = −8
Potencias de exponente entero negativo
Propiedades de los números racionales Existen para la suma y resta, y para la multiplicación y división, distintas propiedades de los números racionales, estos son: Entre las propiedades de la suma y resta están:
Propiedad interna .- según la cual al sumar dos números racionales, el resultado siempre será otro número racional, aunque este resultado puede ser reducido a su mínima expresión si el caso lo necesitara. ab +cd =ef Propiedad asociativa .- se dice que si se agrupa los diferentes sumandos racionales, el resultado no cambia y seguirá siendo un número racional. Veamos: (ab +cd )−ef =ab +(cd −ef )
Propiedad conmutativa .- donde en la operación, si el orden de los sumando varía, el resultado no cambia, de esta manera: ab +cd =cd +ab Elemento neutro .- el elemento neutro, es una cifra nula la cual si es sumada a cualquier número racional, la respuesta será el mismo número racional. ab +0=ab Inverso aditivo o elemento opuesto .- es la propiedad de números racionales según la cual, existe un elemento negativo que anula la existencia del otro. Es decir que al sumarlos, se obtiene como resultado el cero. ab −ab =0 Por otro lado, existen también las propiedades de los números racionales por parte de la multiplicación y la división, y estas son:
Propiedad interna .- en razón de que al multiplicar números racionales, el resultado también es un número racional. ab ×cd =ef Esta además aplica con la división
ab ÷cd =ef Propiedad asociativa .- donde al agrupar diferentes factores la forma de la agrupación, no altera el producto. (ab ×cd )×ef =ab ×(cd ×ef ) Propiedad conmutativa .- aquí se aplica la famosa frase, el orden de los factores no altera el producto, entre los números racionales también funciona. ab ×cd =cd ×ab Propiedad distributiva .- al combinar sumas y multiplicaciones, el resultado es igual a la suma de los factores multiplicado por cada uno de los sumandos, veamos el ejemplo: ab ×(cd +ef )=ab ×cd +ab ×ef Elemento neutro .- en la multiplicación y la división de números racionales, existe un elemento neutro que es el número uno, cuyo producto o cociente con otro número racional, dará como resultado el mismo número. ab ×1=ab ab ÷1=ab
Propiedades de los números irracionales Además de ser un número infinito decimal no periódico, los números irracionales tienen otras propiedades como: Propiedad conmutativa : en la suma y la multiplicación se cumple la propiedad conmutativa según la cual el orden de los factores no altera el resultado, por ejemplo, π+ϕ = ϕ+π; así como en la multiplicación, π×ϕ=ϕ×π.
Propiedad asociativa : donde la distribución y agrupación de los números da como resultado el mismo número, de manera independiente a su agrupación, siendo (ϕ+π)+e=ϕ+ (π+e); y de la misma manera con la multiplicación, (ϕ×π) ×e=ϕ× (π×e). Propiedad cerrada : es decir que el resultado de la suma, resta, multiplicación, división o potenciación de un número irracional, siempre será un número irracional. Sin embargo la propiedad cerrada no se cumple en el caso de la radicación.
Elemento opuesto : existe un inverso aditivo, para la suma de números irracionales, es decir que para cada número tiene su negativo que lo anula, por ejemplo π -π=0 y de la misma for ma un inverso multiplicativo que da como resultado 1, es decir ϕ×1/ϕ=1. La multiplicación es distributiva en relación a la suma y a la resta. Ejemplo: (3+2) π =3π+2π=5π.
