Tema 4. Números enteros

Tema 4: Números enteros.

ÍNDICE 1. NÚMEROS ENTEROS

2

1.1. Definición .................................................................................................................................................... 2 1.1.1. Ejercicio .......................................................................................... ............................ ............................................................................................................................ .............................................................. 2

1.2. Representación de los números enteros en la recta numérica................................................... 2 1.3. Ordenación Or denación de los lo s números númer os enteros enter os ................................................................................................... 3 1.3.1. Ejercicios ........................................................ ...................................................................................................................... .............................................................................................. ................................ 3

1.4. Valor absoluto ........................................................................................................................................... 5 1.4.1. Ejercicio .......................................................... ........................................................................................................................ .............................................................................................. ................................ 5

1.5. Valor opuesto ............................................................................................................................................ 5 1.5.1. Ejercicio .......................................................... ........................................................................................................................ .............................................................................................. ................................ 6

1.6. Ejercicios Ejercic ios ................................................................................................................................................... 6

2. OPERACIONES DE LOS NÚMEROS ENTEROS

8

2.1. Suma: S uma: a + b = c .......................................................................................................................................... 8 2.1.1. Definición ........................................................ ...................................................................................................................... .............................................................................................. ................................ 8 2.1.2. Propiedades ........................................................................ ....... .............................................................................................................................. ......................................................................... ............8 2.1.3. Ejercicio E jercicio ................................................................................................. ...................................................... 9

2.2. Resta: a - b = c ......................................................................................................................................... 9 2.2.1. Definición ....................................................... ..................................................................................................................... .............................................................................................. ................................ 9 2.2.2. Propiedades .............................................................. ............................................................................................................................ ................................................................................... ..................... 9

2.3. Multiplicaci M ultiplicación: ón: a · b = c .......................................................................................................................... 9 2.3.1. Definición ....................................................... ..................................................................................................................... .............................................................................................. ................................ 9 2.3.2. Propiedades .............................................................. ............................................................................................................................ ................................................................................... ..................... 9 2.3.3. Ejercicios Ejerci cios....................................................... ..................................................................................................................... ............................................................................................ .............................. 11

2.4. División: D : d = c .................................................................................................................................... 11 2.4.1. Definición ....................................................... ..................................................................................................................... ............................................................................................ .............................. 11 2.4.2. Tipos de divisiones .................................................................................................................................. 11 2.4.3. Propiedades .............................................................. ............................................................................................................................ ................................................................................. ................... 12

2.5. Regla de signos ....................................................................................................................................... 12

3. OPERACIONES COMBINADAS CON NÚMEROS ENTEROS

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3.1. Introducción Introduc ción ............................................................................................................................................ 12 3.2. Reglas de prioridad ............................................................................................................................... 13

4. PROBLEMAS Gema Isabel Marín Caballero

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1. NÚMEROS ENTEROS 1.1. Definición Hay expresiones que no pueden indicarse con números naturales. Necesitamos otro tipo de números, los números enteros . Los números enteros son los números enteros positivos (+1, +2, +3, +4, +5, +6, …), los números (–1, –2, –3, –4, –5, –6, …) y el 0. enteros negativos ( Los enteros positivos son son los números naturales Enteros Enteros Z

 Z   0  Z  

positivos positivos

.

 1,2,3,4,5,6,...  Z  Z   Z   0  N  Z   0 - 1,-2,-3,-4,-5,-6,...

negativos

Los números enteros son los números precedidos del signo + ó – , dependiendo de si la cantidad expresada está por encima o por debajo de cero . El número 0 es el único número entero que qu e no es positivo ni negativo .

Ejemplos: Hace una temperatura de 7 grados bajo cero.  –7 C El submarino está a 100 metros bajo el nivel del d el mar.  –100 m 

El saldo de su cuenta bancaria es de 175 €.

Debo cuatro euros a mi amigo.





+175 €

–4€

No me queda nada.  0 Estamos a 38 grados.  +38 C 

1.1.1. Ejercicio

1) Escribe tres números enteros positivos y tres números enteros negativos. Solución: Tres números enteros positivos: +1, +2 y +3. Tres números enteros negativos: –1, –2 y –3.

1.2. Representación de los números enteros en la recta numérica Los números enteros se pueden representar en una recta numérica ordenados de menor a mayor. Sobre una recta numérica se señala un punto, que se marca con el número cero, que divide a la recta en dos partes iguales. A la derecha del cero, y con las mismas separaciones, se sitúan de menor a mayor los números enteros positivos : +1, +2, +3, +4, +5, +6, ... Del mismo modo, a la izquierda del cero, se sitúan de mayor a menor los números enteros negativos: –1, –2, –3, –4, –5, –6, ...

… –6

–5

–4

–3

–2

–1

0

+1

+2

+3

+4

+5

+6 …

Creciente Decreciente Gema Isabel Marín Caballero

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1.3. Ordenación de los números enteros Los números enteros positivos son mayores conforme se desplazan a la derecha por la recta numérica, por lo que +1 < +2, +2 < +3, +3 < +4 y, así sucesivamente. También se puede decir que +2 > +1. Y los números enteros negativos son menores conforme se desplazan a la izquierda, por lo que –6 <–5, –5 < –4, –4 < –3, –3 < –2 y –2 < –1. También se puede decir que –1 > –2. 1.3.1. Ejercicios

1) Dados los siguientes enunciados: La edad de Ángel es 14 años. La edad de su amiga Andrea es 12 años. A Ángel se le ha caído una moneda a un pozo que tiene 2 metros de profundidad. El gato de Andrea se ha subido a un árbol de 5 metros de altura. altur a. Responde a las siguientes preguntas:

a) b) c) d) e) f)

¿Qué signo ( – ó +) le pondrías a las cantidades: 14, 12, 12 , 2 y 5? Representa estas cantidades en la recta numérica. ¿Qué número es el mayor de todos? ¿Qué número es el menor de todos? Escríbelos por orden de mayor a menor (en orden decreciente). Escríbelos por orden de menor a mayor (en orden creciente). Solución:

a) +14, +12, –2, +5 b) Representación en la recta numérica:

–2

c) d) e) f)

0

+5

+12

+14

El mayor de todos es +14. El menor de todos es –2. Ordenados de mayor a menor: +14 + 14 > +12 > +5 > 0 > –2 Ordenados de menor a mayor: –2 < 0 < +5 < +12 < +14

e stas afirmaciones: 2) Asígnale un número entero a cada una de estas Un avión vuela a 1.000 metros de altura. Una ballena ha sido vista por un submarino a 1.300 metros de profundidad. La temperatura en Moscú esta mañana era de 7 grados gr ados bajo cero. Un alpinista ha subido a un pico de 1.345 metros. Un tren ha visto un obstáculo en la vía y frena con una desaceleración de saceleración de 2 m/s 2. Tu amigo mide 2 metros de altura. Gema Isabel Marín Caballero

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Responde a las siguientes preguntas:

a) b) c) d) e)

¿Qué signo (– ó +) le pondrías a las cantidades? ¿Qué cantidad es la mayor? ¿Cuál es la mayor? Escribe los signos de < (menor) ó > (mayor) en medio de las dos cantidades. Ordena todas las cantidades de menor a mayor. Solución:

a) b) c) d) e)

+1.000, –1.300, –7, +1.345, –2, +2 El mayor de todos es +1.345. El menor de todos es –1.300. –1.300 < +1.345

Ordenados de menor a mayor: –1.300 < –7 < –2 < 0 < +2 < +1.000 < +1.345

3) Dados los siguientes enunciados: Debo 4 € a mi amigo.

Estamos a 5 grados bajo cero. No me queda nada. El avión vuela a 2.700 m de altura. Luis trabaja en el segundo sótano. Marisa está en la planta baja. Estamos a 4 grados bajo cero. Ocurrió en el año 540 a.C. Debo 15 € a mi madre.

Marisa está en la planta octava. El submarino está a 100 m bajo el nivel del mar. El saldo de su cuenta bancaria es de 175 €.

Responde a las siguientes preguntas:

a) b) c) d)

¿Qué signo ( – ó +) le pondrías a las cantidades? Representa estas cantidades en la recta numérica. ¿Qué número es el mayor de todos? ¿Qué número es el menor de todos?

e) Escríbelos por orden de mayor a menor (en orden decreciente). f) Escríbelos por orden de menor a mayor (en orden creciente).

Gema Isabel Marín Caballero

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Solución:

a) –4, -5, 0, +2.700, +2, 0, -4, -540, -15, +8, -100, +175 b) Representación en la recta numérica:

-540 –100 -15

-5

-4

0

+2

+8

+175

+2.700

c) El mayor de todos es +2.700. d) El menor de todos es –540. e) Ordenados de mayor a menor: +2.700 > +175 > +8 > +2 > 0 > -4 > -5 > -15 > –100 > -540 f) Ordenados de menor a mayor: -540 < –100 < -15 < -5 < -4 < 0 < +2 < +8 < +175 < +2.700

1.4. Valor absoluto El valor absoluto de un número entero es la distancia (en unidades) que le separa del cero en la recta numérica. El valor absoluto de un número entero es el valor del número natural al que representa, es decir, el número sin tener en cuenta el signo s igno . El valor absoluto de un número se representa entre dos barras |a|. |+a| = a |–a| = a |+9| = 9 Ejemplos: |-9| = 9 NOTA: El valor absoluto de cero es cero. |0| = 0 1.4.1. Ejercicio

1) Dados los siguientes números enteros: 8, -6, -5, 3, -2, 4, -4, 0, 7, calcula los valores absolutos. u n número. NOTA: Utiliza la notación correcta para escribir el valor absoluto de un Solución: |8| = 8

|3| = 3

|-4| = 4

|-6| = 6

|-2| = 2

|0| = 0

|-5| = 5

|4| = 4

|7| = 7

1.5. Valor opuesto Dos números enteros son opuestos si están situados a la misma distancia del cero. El valor opuesto de un número entero o el opuesto de un número entero es otro número entero con el mismo valor absoluto, pero de signo contrario .

se representa como –(a). Para calcular el opuesto de un número , se le cambia de signo . –(+a) = –a –(–a) = +a Ejemplos: –(–9) = +9 –(+9) = -9 NOTA: El opuesto de cero es cero. –(0) = 0 El opuesto de “a”


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1.5.1. Ejercicio

1) Dados los siguientes números enteros: 8, -6, -5, 3, -2, 4, -4, 0, 7, calcula los opuestos. NOTA: Utiliza la notación correcta para escribir el opuesto de un número. Solución: –(8) = –8

–(3) = –3

–(-4) = +4

–(-6) = +6

–(-2) = +2

–(0) = 0

–(-5) = +5

–(4) = –4

–(7) = –7

1.6. Ejercicios 1) Responde a las siguientes cuestiones: a) Representa en la recta numérica los números –5 y +5. b) Escribe los números enteros comprendidos entre –5 y +5. c) ¿Cuál es el valor absoluto de –5, –4, –3, –2 y –1? corr esponda: d) Escribe el signo > (mayor) ó < (menor) según corresponda: –3

+5

+7

+9

–9

–5

–6

–2

+1

+6

+8

–4

e) ¿Cuál es el valor absoluto de los números siguientes? f) ¿Cuál es el opuesto de los números +10, –10, 0, +7, –7? Solución:

a) Representación en la recta numérica:

–5

b) –5, –4, –3, –2, –1, 0, +1, +2, +3, +4, +5 |-4| = 4 |-3| = 3 c) |-5| = 5 d) –3 < +5 –6 < –2 e) |+5| = 5 |-5| = 5 f) –(+10) = -10

0

+5 |-2| = 2

|-1| = 1

+7 < +9

–9 < –5

+1 < +6

+8 > –4

|+6| = 6

|+9| = 9

|+7| = 7

|+4| = 4

|-6| = 6

|-9| = 9

|-7| = 7

|-4| = 4

-(-10) = +10

-(0) = 0

-(+7) = -7

-(-7) = +7


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2) Ordena en sentido creciente, representa gráficamente, y calcula los opuestos y valores absolutos de los siguientes números enteros: 8, -6, -5, 3, -2, 4, -4, 0, 7. Solución: Ordenados de menor a mayor: -6 < -5 < -4 < -2 < 0 < 3 < 4 < 7 < 8 Representación en la recta numérica:

–6

–5

–4

–2

0

+3

+4

+7

+8

Opuestos: –(8) = –8

–(3) = –3

–(-4) = +4

–(-6) = +6

–(-2) = +2

–(0) = 0

–(-5) = +5

–(4) = –4

–(7) = –7

|8| = 8

|3| = 3

|-4| = 4

|-6| = 6

|-2| = 2

|0| = 0

|-5| = 5

|4| = 4

|7| = 7

Valores absolutos:

3) Representa gráficamente, y calcula los opuestos y valores absolutos de los siguientes números enteros: -3, 6, -2, 1, -5, 0, 9, -7, 2. Solución: Representación en la recta numérica:

-7

–5

–3

–2

0

+1

+2

+6

+9

Opuestos: –(–3) = +3

–(1) = –1

–(9) = -9

–(6) = –6

–(-5) = +5

–(-7) = +7

–(-2) = +2

–(0) = 0

–(4) = -4

|-3| = 3

|1| = 1

|9| = 9

|6| = 6

|-5| = 5

|-7| = 7

|-2| = 2

|0| = 0

|2| = 2

Valores absolutos:


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2. OPERACIONES DE LOS NÚMEROS ENTEROS 2.1. Suma: a + b = c 2.1.1. Definición

Los términos de la suma, a y b, se llaman sumandos y el resultado, c, suma. 2.1.2. Propiedades

1) El resultado de sumar dos números enteros es otro número entero. Si a, b

a+b=c

Ejemplos: +2, +3



(+2) + (+3) = +5

–5, +3



(–5) + (+3) = –2

2) Asociativa: consiste en que el modo de agrupar los sumandos no varía el resultado. (a + b) + c = a + (b + c) Ejemplo: (2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5) 5+5=2+8 10 = 10 or den de los sumandos no varía la suma. su ma. 3) Conmutativa: consiste en que el orden a+b=b+a Ejemplo: 2+5=5+2 7=7 4) Elemento neutro: es el 0 porque todo número sumado con él da el mismo número. a+0=a Ejemplo 1: 3 + 0 = 3

Ejemplo 2: (+5) + 0 = +5 Ejemplo 3: 0 + (–7)= –7 Al sumar 0 a cualquier número entero, se obtiene el mismo número. r esultado el 0. 5) Elemento opuesto: dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado a + (–a) = 0 Ejemplo: 5 + (–5) = 0 El opuesto del opuesto es igual al mismo número. –(–a)

=a

Ejemplo: –(–5) = 5


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2.1.3. Ejercicio

1) Calcula las siguientes operaciones: Solución: +10 a) (+8) + (+2) b) c) d) e) f) g)

(–5) + (–7)

Solución: –12

(+12) + (–10)

Solución: +2

(+3) – (–(+2))

Solución: (+3) + (+2) = +5

(+5) – (–(–2))

Solución: (+5) – (+2) = +3

|+10|

Solución: 10

|-12|

Solución: 12

2.2. Resta: a - b = c 2.2.1. Definición

Los términos que intervienen en una resta se llaman: a, minuendo y b, sustraendo. Al resultado, c, lo llamamos diferencia. 2.2.2. Propiedades

1) El resultado de restar dos números enteros es otro número entero . Si a, b

a – b = c

Ejemplos: +5, +3



(+5) – (+3) = +2

–5, +3



(–5) – (+3) = –8

2) No es conmutativa: a – b ≠ b – a Ejemplo: 5-2≠2−5 3 ≠ -3

2.3. Multiplicación: a · b = c 2.3.1. Definición

Multiplicar dos números enteros consiste en sumar uno de los factores consigo mismo tantas veces como indica el otro factor. Los términos a y b se llaman factores y el resultado, c, producto. 2.3.2. Propiedades

1) El resultado de multiplicar dos números enteros es otro número entero . Si a, b Ejemplo: +2, –5


a·b=c

(+2) · ( –5) = –10



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2) Asociativa: consiste en que el modo de agrupar los factores no varía el resultado. (a · b) · c = a · (b · c) Ejemplo: (2 · 3) · 5 = 2· (3 · 5) 6 · 5 = 2 · 15 30 = 30 3) Conmutativa: consiste en que el orden de los factores no varía el producto. a·b=b·a Ejemplo: 2·5=5·2 10 = 10 4) Elemento neutro: es el 1 porque todo número multiplicado por él da el mismo número. a·1=a Ejemplo: 3 · 1 = 3 5) Distributiva: consiste en que la multiplicación de un número entero por una suma es igual a la suma de las multiplicaciones de dicho número entero por cada uno de los sumandos. a · (b + c) = a · b + a · c Ejemplo 1: 2 · (3 + 5) = 2 · 3 + 2 · 5 2 · 8 = 6 + 10 16 = 16

Ejemplo 2: (-3) · [5 – (-2)] = (-3) · 5 – (-3) · (-2) (-3) · 7 = -15 - 6 -21 = -21

6) Sacar factor común: es el proceso inverso a la propiedad distributiva . Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor. a · b + a · c = a · (b + c) Ejemplo 1: 2 · 3 + 2 · 5 = 2 · (3 + 5) 6 + 10 = 2 · 8 16 = 16

Ejemplo 2: 3 · (-4) - 3 · (-5) = 3 · [(-4) – (-5)] -12 + 15 = 3 · 1 3=3


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Ejemplo 3: 7 · (-2) - 7 · (-11) – 7 = 7 · [(-2) – (-11) - 1] -14 + 77 - 7 = 7 · 8 56 = 56 Ejemplo 4: -24 · 10 - 31 · 10 + 52 · 10 = 10 · [(-24) – 31 + 52] -240 – 310 + 520 = 10 · (-3) -30 = -30 2.3.3. Ejercicios

1) Realiza las siguientes operaciones aplicando la propiedad distributiva: Solución: 9 · (-1) + 9 · 2 = -9 + 18 = 9 a) 9 · (-1 + 2) b) c) d) e) f)

8 · [10 – (-5)]

Solución: 8 · 10 - 8 · (-5) = 80 + 40 = 120

(-3) · [-6 + (-4)]

Solución: (-3) · (-6) + (-3) · (-4) = 18 + 12 = 30

(-5) · [-7 – (-3)]

Solución: (-5) · (-7) – (-5) · (-3) = 35 - 15 = 50

(-11) · [25 – 17 – (-12)]

Solución: (-11) · 25 – (-11) · 17 – (-11) · (-12) = -275 + 187 – 132 = -220

[-(-20) + (-52) – 41] · (-3)

Solución: (-3) · 20 + (-3) · (-52) – (-3) · 41 = -60 + 156 + 123 = 219

2) Extrae factor común y calcula el resultado: Solución: 3 · [2 + (-5)] = 3 · (2 - 5) = 3 · (-3) = -9 a) 3 · 2 + 3 · (-5) b) c) d) e) f)

(-2) · 12 + (-2) · (-6)

Solución: (-2) · [12 + (-6)] = (-2) · (12 - 6) = (-2) · 6 = -12

8·5+8·1

Solución: 8 · (5 + 1) = 8 · 6 = 48

(-3) · (-2) + (-3) · (-5)

Solución: (-3) · [(-2) + (-5)] = (-3) · (-2 - 5) = (-3) · (-7) = 21

(-2) · (-4) – (-3) · (-4)

Solución: (-4) · [(-2) - (-3)] = (-4) · (-2 + 3) = (-4) · 1 = -4

(-6) · 5 + (-6) · 9 – (-6) · (-10) Solución: (-6) · [5 + 9 – (-10)] = (-6) · (5 + 9 + 10) = (-6) · 24 = -144

2.4. División: D : d = c 2.4.1. Definición

Los términos que intervienen en una división se llaman, D, dividendo y, d, divisor. Al resultado, c, lo llamamos cociente. 2.4.2. Tipos de divisiones

1) División exacta: Una división es exacta cuando el resto es cero. D=d·c Ejemplo:

15 = 5 · 3 Gema Isabel Marín Caballero

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2) División entera: Una división es entera cuando el resto es distinto de cero. D=d·c+r Ejemplo:

17 = 5 · 3 + 2 2.4.3. Propiedades

1) El resultado de dividir dos números enteros no siempre es otro número entero . Si D, d

D:d=c

Ejemplos: 2, 6



6 : 2

2, 6



2 : 6

2) No es conmutativa : consiste en que el modo de agrupar los factores no varía el resultado. D : d ≠ d : D

Ejemplo: 6:2≠2:6

3) Cero dividido entre cualquier número da cero . 0:d=0 Ejemplo: 0 : 5 = 0 4) No se puede dividir por 0 . D:0

No se puede

Ejemplo: 5 : 0

2.5. Regla de signos La regla de signos resume el comportamiento del producto o división de números positivos y negativos, y son las siguientes:

Multiplicación + x + = + – x – = + + x – = – – x + = –

División + : + = – : – = + : – = – : + =

+ + – –

3. OPERACIONES COMBINADAS CON NÚMEROS ENTEROS 3.1. Introducción Al resolver expresiones con operaciones combinadas, debemos tener en cuenta las normas del lenguaje matemático . Estas normas aseguran que cada expresión tenga un significado y una solución únicos.


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3.2. Reglas de prioridad Las reglas para realizar las operaciones de números enteros o prioridad de las operaciones son las siguientes:

1) Efectuamos las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves. 2) Calculamos las potencias y raíces . 3) Efectuamos los productos (multiplicaciones) y cocientes (divisiones) de izquierda a derecha. 4) Realizamos las sumas y restas. NOTA: Es importante respetar el orden de las operaciones para obtener el resultado correcto.

4. PROBLEMAS 1) Un emperador romano nació en el año 63 a. C. y murió en el 14 d. C. ¿Cuántos años vivió? Solución: 14 - (-63) = 14 + 63 = 77 años 2) Una bomba extrae el petróleo de un pozo a 975 m de profundidad y lo eleva a un depósito situado a 48 m de altura. ¿Qué nivel supera el petróleo? Solución: 48 - (-975) = 48 + 975 = 1.023 metros 3) ¿Qué diferencia de temperatura soporta una persona que pasa de la cámara de conservación de las verduras, que se encuentra a 4 °C, a la del pescado congelado, que está a −18 °C? ¿Y si pasara de la

cámara del pescado a la de la verdura? Solución: -18 °C - 4 °C = -22 °C 4 °C - (-18 °C) = 4 °C + 18 °C = 22 °C La diferencia de temperatur temperaturaa en valor absoluto es igual en ambos casos. El signo menos del primer caso indica indica que se produce un descenso de la temperatura, y el signo más del segundo un un aumento.

4) La temperatura del aire baja según se asciende en la atmósfera, a razón de 9 °C cada 300 metros. Si la temperatura al nivel del mar en un punto determinado es de 0 °C, ¿a qué altura vuela un avión si la temperatura del aire es de −81 °C?

Solución: |-81| : 9 = 81 : 9 = 9 300 · 9 = 2.700 m

5) En un depósito, hay 800 l de agua. Por la parte superior, un tubo vierte en el depósito 25 l por minuto, y por la parte inferior, infer ior, por otro tubo salen 30 l por minuto. ¿Cuántos litros de agua habrá en el depósito después de 15 minutos de funcionamiento? Solución: 800 + 25 · 15 - (30 · 15) = 800 + 375 - 450 = 1.175 - 450 = 725 7 25 l


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Tema 4. Números enteros

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