Conducción transitoria

Capítulo 5 Conducción Transitoria

Conducción Transitoria • •

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Muchos Much os pro proble blema mas s de trans transfe fere renc ncia ia de de calo calorr son son ttra ransi nsito tori rios os,, ff(t (t)) Camb Ca mbios ios en las condic condicion iones es de op opera eració ción n de de un un sist sistem ema a ocas ocasion iona a variaciones espaciales y temporales de la temperatura dentro de un sólido, hasta que un nuevo estado estacionario sea alcanzado. En este este capí capítu tulo lo se expli explica cara ran n proc procedi edimi mient entos os para para det deter ermi minar nar la variación de la distribución de temperatura con el tiempo Entr Entre e las las té técn cnica icas s de de solu solució ción n se se tie tiene: ne: el mét método odo de la resis resiste tenc ncia ia interna despreciable, soluciones exactas y aproximadas, y el método de diferencias finitas. Nosotros nos concentraremos en el método de la resistencia interna despreciable despreciable y el de las diferencias diferencias finitas finitas (Secciones (Secciones 5.1, 5.2 y 5.9)

Método de la resistencia interna despreciable 

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Consideremos un metal caliente que inicialmente se encuentra a una temperatura uniforme, Ti . En un tiempo t=0 es enfriado por inmersión en un liquido frío de menor temperatura T ∞ La temperatura temperatura del sólido sólido disminuirá disminuirá con el tiempo tiempo t>0, t>0, debido a la la T ∞ transferencia transferencia de de calor por convección convección en la interface interface sólido-líquido. sólido-líquido.

Si la cond conduc ucti tivi vida dad d tér térmi mica ca de dell sól sólid ido o es es muy muy alta alta,, la resistencia de conducción dentro del sólido será pequeña comparada a la resistencia de convección entre el sólido y los alrededores. El grad gradie ient nte e de te temp mper erat atur ura a de dent ntro ro de dell sóli sólido do puede entonces despreciarse. Por lo tanto en  todo instant instante e la temper temperatura atura dentro dentro del del sólido  sólido  será ser á esp espaci acialm alment ente e uniform uniforme. e.

T

T ( x,0) = T i

x

Método de la resistencia interna despreciable Partiendo de un balance de energía en el sólido:

− hAs (T  − T ∞ ) = ρVc

− E & out  = E & st 

dT  dt 

El tiempo necesario para que el sólido alcance la temperatura T es:

t  =

ρVc hAs

θi ln θ

(5.1)

donde θ = T  − T ∞

θi = T i − T ∞

La temperatura del sólido a un tiempo específico t es:

⎡ ⎛  hAs  ⎞ ⎤ θ T  − T ∞ ⎟⎟t ⎥ = = exp ⎢− ⎜⎜ θi T i − T ∞ ⎣ ⎝ ρVc ⎠ ⎦

(5.2)

La energía total transferida, Q, hasta algún tiempo t  es:

Q=

∫

t

0

q dt  = hAS

t 

∫ 

θ dt  =(ρVc )θi [1 − exp(− t  / τt  )]

0

(5.3)

Respuesta Transitoria de la Temperatura Basados en la eq. (5.2), la diferencia entre las temperaturas del sólido y el fluido decrece exponencialmente. Definiendo una constante térmica de tiempo t:

⎛  1  ⎞ ⎟⎟(ρVc) =  Rt C t  τt  = ⎜⎜ ⎝ hAs  ⎠ Rt es la resistencia a la transferencia de calor por convección y Ct la resistencia interna del sólido Vemos que los incrementos en Rt o Ct ocasiona que el cuerpo sólido responda más lentamente requiriendo más tiempo para alcanzar el equilibrio térmico.

Validez del Método

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Este método método es valido valido si el número número de Biot (Bi) es inferior inferior o igual igual a 0,1

hLc

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Donde la longitud característica Lc:  Bi = < 0.1 Lc=V/As= Volumen del sólido/áreak  superficial El número de de Biot proporciona proporciona una medida medida de la caída caída de temperatura temperatura en el sólido en relación con la diferencia de temperatura entre la superficie y el fluido.

∆T  solid ( debido a la conducción)

=

( L /  kA)

=

 R cond 

=

 hL

≡  Bi

Núme Número ros s adi adime mens nsio iona nale le de Bi Biot ot y Fou Fouri rier er Número de Biot:

 Bi

=

 hLc  k

El número de Fourier:

Fo =

αt  2  Lc

“tiempo adimensional”,

Eq. (5.2) queda entonces de la forma:

θ T  − T ∞ = = exp[− Bi ⋅ Fo] θi T i − T ∞

(5.4)

Ejemplo (Prob roblema ema 5.6 5.6 Tex Texto to)

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el coef coefic icie ient nte e de tran transf sfer eren enci cia a de calo calorr pa para ra el aire aire qu que e fluy fluye e alre alrede dedo dorr de un una a esfe esfera ra se de dete term rmin inar ará á me medi dian ante te la ob obse serv rvac ació ión n de la hist histor oria ia de te temp mper erat atur uraa aas s de un una a esfe esfera ra fa fabr bric icad ada a con con cobr cobre e pu puro ro.. La esfe esfera ra,, que qu e tien tiene e 12. 12.7 7 mm de dia diame metr tro, o, está está a 66 66° °C a ant ntes es de de colac colacar arla la en un un fluj lujo de ai aire que esta a un una tem empe perratura ura de 27 27°C. Un Un te termop opa ar en lla a supe superf rfic icie ie exte extern rna a de la esfe esfera ra indi indica ca 55 55° °C, 69 69 s de desp spue ues s qu que e la esfe esfera ra fue inse insert rtad ada a en la corr orrient iente e de aire aire.. Calc Ca lcul ular ar el coef coefic icie ient nte e de tran transf sfer eren enci cia a de calo calorr po porr conv convec ecci ción ón asum asumie iend ndo o qu que e la esf esfera era se com compo port rta a como como un ob obje jeto to espa espaci cial alme ment nte e isot isoter ermi mico co.. Esta Esta hipó hipóte tesi sis s es just justif ific icab able le? ?

Otros problemas de tipo transitorio •

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Cuando Cuand o el mé méto todo do de de resi resist sten encia cia inter interna na des despr prec eciab iable le no no es acep acepta table ble se deben resolver la ecuación general de difusión del calor de forma ya sea analítica o numérica. Exist Existen en en en la lit liter erat atur ura a valor valore e tabul tabulad ados os de de los los coef coefic icie ient ntes es nec neces esar arios ios para resolver este tipo de ecuaciones La dis distr trib ibuci ución ón de de temp temper erat atur ura a tran transit sitori oria a pa para ra sóli sólidos dos semi semi-in -infi finit nitos os es con frecuencia tabulada en los textos de transferencia de calor