ANÁLISIS DE RESPUESTA TRANSITORIA Y DE RÉGIMEN 1. OBJETIVO DE LA PRACTICA •
•
•
Analizar la respuesta transitoria y de régimen régimen de sistemas sistemas dinámicos dinámicos lineales. lineales. Definir los parámetros que definen la calidad de la respuesta de un sistema. Estudiar formas de aproximación de sistemas de orden superior por otros de menor orden, por medio del reconocimiento de los polos, dominantes del sistema.
2. FUND FUNDAM AMEN ENTO TO TEOR TEORIC ICO O Respuest T!"s#t$!# %e S#ste&s %e p!#&e! $!%e". Sea el sistema de primer orden:
G ( s ) =
K
τ s + 1
Los parámetros que definen la calidad de la resp respue uest sta a tran transi sito tori ria a son son la ganancia estática K y la constante de
τ tiempo
.
La respuesta de los sistemas nunca
s es oscilatoria. ara que la respuesta sea rápida, el polo origen.
Respuest T!"s#t$!# T!"s#t$!# %e s#ste&s %e Se'u"%$ O!%e" A#ora, sea sea el sistema de segundo segundo $rden $rden %
G ( s) =
Donde%
wn s 2
2
+ 2ε wn s + wn 2
=−
1
τ de!e estar ale"ado del
wn
= Frecuencia natural no amortiguada
ε
= Coeficiente de amortiguamiento
ara &'(,los polos serán comple"os) caso contrario serán reales. La calidad de la respuesta transitoria está dada por los siguientes parámetros%
t r :
t#e&p$ %e su(#%)Es el inter*alo de tiempo que el sistema demora para ir de
cero a (++ del *alor final, para sistemas su!amortiguados -+&(/.
t p :
T#e&p$ %e P#*$)el tiempo que demora la salida en alcanzar el primer pico de
o*ers#oot.
t p
=
π wn
⋅
1 − ε 2
t s :
T#e&p$ T#e&p$ %e Est(#+#, Est(#+#,*#-" *#-" es el tiempo que el sistema tarda para entrar y permanecer en el rango de 01 del *alor final -referencia/.
t s
=
4 wn ⋅ ε
PO P$!*e"tu+ %e O/e!s0$$tso!re2se3al/
PO = e
−ε ⋅π 2 1−ε
t p
t s or lo general se desea que la respuesta sea rápida ele*ación -$ peque3o/
y
peque3os/ y con poca so!re
S#ste&s %e O!%e" Supe!#$!. 4istemas de orden 5 o mayores pueden ser e*entualmente e*entualmente aproximados por sistemas de orden menor. or e"emplo%
G3 ( s) =
80
G1 ( s ) =
( s + 1) ⋅ ( s + 8) ⋅ ( s + 10)
80
=
1
( s + 1) ⋅ ( 8) ⋅ (10 ) s + 1
y 6ienen respuestas al escalón seme"antes.
Los polos mas próximos al origen son más lentos -tornan al sistema más lento/ y dominan la respuesta. De la misma forma,
G2 ( s ) =
4 s 2
+ 2 s + 4 y
G3 ( s ) =
40
( s + 2 s + 4) ⋅ ⋅( s + 10) 2
poseen respuestas al escalón .Los dos polos comple"os son los dominantes.
A"+#s#s %e R3'#&e" T!"s#t$!#$. Sea el sistema de control mostrado:
78uál es el error del sistema9
lim s →0 s ⋅ E ( s ) Esto equi*ale a decir, As:, E-s/ puede ser o!tenida%
E ( s ) = R ( s ) − Y ( s ) ⋅ H ( s ) Y ( s ) = GC ( s ) ⋅ G ( s ) ⋅ E ( s)
Luego,
E ( s ) =
R( s) 1 + GC ( s ) ⋅ G ( s ) ⋅ H ( s )
or tanto, el error en régimen permanente depende de la entrada ;-s/ y de la <6LA -función transferencia en lazo a!ierto/.
E4e&p+$. 4ean las funciones de transferencia%
G ( s ) =
1 s + 1
Gc ( s ) = K p
+
Ki s
R ( s ) =
G ( s ) ⋅ GC ( s ) El error de en lazo cerrado para una entrada escalón calculado de la siguiente manera%
E ( s) =
1 + Kp +
s ⋅ ( s + 1) ⋅ R( s) = ⋅ R( s) s ⋅ s + 1 + Kp ⋅ s + Ki ⋅ s + 1
1 Ki 1 s
1 s puede ser
e(∞) = lim s→0 s ⋅ E ( s) = lim s →0
s 2 ⋅ ( s + 1)
1
⋅ =0
s ⋅ ( s + 1) + Kp ⋅ s + Ki s
+ sea el error es nulo para una entrada escalón.
R ( s ) =
1 s 2
A#ora, aplicando una entrada rampa
e(∞ ) = lim s→0 s ⋅ E ( s) = lim s →0
al mismo sistema, tenemos%
s 2 ⋅ ( s + 1)
⋅
1
s ⋅ ( s + 1) + Kp ⋅ s + Ki s 2
=
1
Ki
Luego, el error para una entrada rampa es finito y depende de Ki.
3.
DESARROLLO DEL LABORATORIO.
;ealizar en =atla! todos los e"ercicios propuestos por el docente en la!oratorio, compara con las respuestas y analizar los resultados.
Primera parte Sea el sistema masaresorteamortiguador mostrado en la figura
En !atla" tenemos: % PRIMERA PARTE %RESPUESTA TRANSITORIA DE SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN M=10;B=5;K=1.46; n=1;d=[M B K]; G=tfn!d"; f#$&'1" (t')G"!$&#d
Segunda simplificación de funciones.-
parte
#enemos la siguiente funci$n% G3 ( s ) =
80
( s + 1) ⋅ ( s + 8) ⋅ ( s + 10 )
Hallamos la funci$n Gs &'(
G2 ( s) =
80 10 * ⋅( s + 1) ⋅ ( s + 8)
Hallamos la funci$n Gs &)(
G1 ( s) =
En !atla" tenemos: G*=tf+0!),-[/1 /+ /10]"" G=tf+!),-[/1 /+]"" G1=tf1!),-[/1]"" f#$&'"
80 10 * 8 * ( s + 1)
(t')G*!$!G!2!G1!3"!-'$'ndO&#$#n-!S'$nd, ,&d'n!P&#'& ,&d'n"!$&#d
*o +ue reali,a el programa es: G-.tf&/01poly&2) / )03((4 5efine la funci$n de transferencia G- con - polos en el denominador )1 /1 )0 G'.tf&/1poly&2) /3((4 5efine la funci$n de transferencia G' con ' polos en el denominador )1 / G).tf&)1poly&2)3((4 5efine la funci$n de transferencia G) con ) polo en el denominador ) 5a nom"re a la figura step&G)1G'1G-(1legend&6G)616G'616G-6(1grid1s7g Grafica las respuestas de las funciones de transferencia G-1 G' y G)1 con respuesta al escal$n1 donde G- es 8erde fosforescente1 G' es a,ul y G) negro% E9ecutando el programa
En esta grfica podemos o"ser8ar el grado de desfase +ue e;iste entre las funciones1 la funci$n de transferencia de primer orden se encuentra ms cerca del origen +ue la funci$n de transferencia de tercer orden% Como en teor
Se o"ser8a: +ue ya se tiene los parmetros Kp y Ki antes de correr el programa reali,amos los clculos pre8ios para un escal$n unitario4
A) Para el escalón unitario:
5onde se o"ser8a +ue el error es nulo1 por lo +ue no e;iste error%
A) Para la rampa:
Este error es finito y depende del 8alor de Ki1 mientras ms grande sea Ki ms pe+ue=o ser el error y 8ice8ersa% Pregunta Adicional: Ejemplo: Sea el sistema masaresorteamortiguador mostrado en la figura% O"tener el 8alor >K)? para +ue el tiempo de esta"lecimiento de >y)? sea igual a )@ segundos con una so"re ele8aci$n menor +ue @A !.)02Bg34 .@2Dsm34 f&t(.)2D3%
Hallamos la funci$n de transferencia
#ransformando con *a Place
5e la ecuaci$n &)(
*a ecuaci$n &-( en &)(
7ora
Para 7allar K) mane9aremos la funci$n de transferencia de la ecuaci$n &( Entonces:
=? t s = 15[ s] %OP = 5% F = 1[ D ] 2 wn 1⋅1/ m = 5[ D / m / s] = G ( s) = ( m ⋅ s 2 + ⋅ s + K 1 ) ⋅ 1 / m s 2 + 2 ⋅ ε ⋅ wn ⋅ s + wn 2 ! = 10[ Kg ] K 1
1 / ! K ⋅ s + 1 s 2 + ! !
=
wn s 2
2
+ 2 ⋅ ε ⋅ wn ⋅ s + wn uscando seme9an,a:
Por comparaci$n tenemos: !
= 2 ⋅ ε ⋅ wn III%&)(
K 1 !
= wn 2 IIII%&'( −
PO
=
e
ε ⋅π
1
−
ε
2
II%&-( 5e la ecuaci$n &-(
ε =
ln 2 ( PO) ln 2 ( PO) + π 2
=
ln 2 (0.05) ln 2 (0.05) + π 2
= 0.6901 en la ecuaci$n &)(
wn
=
2 ⋅ ! ⋅ ε
=
5 2 ⋅ 10 ⋅ 0.6901
= 0.3623
5e la ecuaci$n &'( K 1
= wn 2 ⋅ ! = ( 0.3623) 2 ⋅ 10 = 1.31
t p
=
π
wn ⋅ 1 − ε
2
=
π
0.3623 ⋅ 1 − ( 0.6901)
t s
=
4 wn ⋅ ε
=
2
= 12[ s ]
4 0.3623 ⋅ 0.6901
= 16[ s]
En !atla" tenemos: M=10; B=5; K=1.*1; n=1; d=[M B K]; G=tfn!d"; f#$&' 1" (t')G"!-'$'ndG"!$&#d
En la grafica podemos confirmar nuestros resultados1 donde son los mismos calculados con anterioridad% 4. CUESTIONARIO.
5 M$st!! 6 e7p+#*! +s '!28#*s %e !espuest + es*+-" p! s#ste&s su(&$!t#'u%$s9 *!:t#*&e"te &$!t#'u%$s 6 s$(!e; &$!t#'u%$s.
Sistema sub amortiguados: En la gráfica se puede o!ser*ar que en un sistema su! amortiguado el régimen transitorio es mayor por ende el tiempo de esta!lecimiento es mayor el $ es mayor para que este sistema ocurra el coeficiente de amortiguamiento *ar:a entre +&(.
Sistema Crítiame!te Amortiguado% El sistema está en amortiguamiento cr:tico, la respuesta al escalón unitario no tiene ning>n so!repaso u oscilación y el tiempo de esta!lecimiento es menor que para un sistema su! amortiguado. ara que el sistema se encuentre cr:ticamente amortiguado el *alor del coeficiente de amortiguamiento de!e ser &?(.
Sistema Sobre"amortiguado: En este tipo de sistema tam!ién *emos que no tiene so!repaso y el tiempo de esta!lecimiento es mayor que
para un sistema cr:ticamente amortiguado para que ocurra este sistema el coeficiente de amortiguamiento de!e ser &'(.
(5 Ve!#8#*! s# + 8t
G ( s ) =
100 s 4
+ 18 s 3 + 97 s 2 + 180 s + 100
Pue%e se! p!$7#&% p$! u" %e &e"$! $!%e".
Para ponerlo en !atla" tenemos la siguiente carpeta% *a guardamos y 7acemos correr el programa1 o"teniendo las funciones de transferencia% *
O"teniendo en command window las funciones de transferencia%
Con la gr:fica o"tenida podemos o"ser8ar +ue puede ser reducida a una de menor orden%1 donde los polos m:s pr$;imos al origen son de la funci$n G)%
*5
G ( s ) =
K ( s + 1) s 2
GC ( s ) = 1
+ 2 s + 1 y
%% p$! El error en régimen permanente es%
?
e(∞) = lim s→0 s ⋅ E ( s)
rimero tengo que #allar la función E-s/%
E ( s) =
R( s) 1 + GC ( s) ⋅ G ( s ) ⋅ H ( s)
=
+ 2 s + 1 * R( s) s 2 + 2 s + 1 + B ( s + 1) 1+ 2 ⋅ (1) 2 1 s s + + R( s) K ( s + 1)
=
s
2
Reemplazando, tenemos: e(∞) = lim s→0 s ⋅ E ( s ) = lim s→0 s ⋅
1 1 + 2 s + 1 ⋅ = s 2 + 2 s + 1 + B ( s + 1) s B + 1
El error en régimen permanente es
s 2
%
Adem#s de$ uestio!ario de $a guía. %ara $as &u!io!es de
tra!s&ere!ia
•
G1 ( s ) =
130 s
3
+ 15 s + 76 s + 130 2
G2 ( s ) =
dadas
'or:
2 s
2
+ 2 s + 2
Ca$u$ar ts( tr( %O usa!do $as e)'resio!es a!a$ítias dadas * mida $os +a$ores +ia simu$ai,!. Com'are $os resu$tados * ome!te. ara @(-s/%
G1 ( s) =
130 ( s + 5) * ( s + 5 + 9 ) * ( s + 5 − 9 ) aproximando por uno de segundo orden
tenemos: G1 ( s) =
130 5 * ( s + 5 + 9 ) * ( s + 5 − 9 )
=
26 ( s + 5 + 9 ) * ( s + 5 − 9 )
=
26 s 2 + 10 s + 26
La anterior función de transferencia comparamos con la siguiente:
G ( s) = t p
=
t s
=
wn s 2
2
+ 2ε wn s + wn 2 π
reem.. wn 2ε wn = 10 → ε = 0.98 ⇒ 2 despe9ando → wn = 5.1 wn = 26
reem..8alores → t p = 3.1 seg 2
wn * 1 − ε 4
ε wn
reem..8alores → t s = 0.8 seg
2 −1 wn * 1 − ε π − β 11.48 o = β = tan donde t r = → ε wn wn * 1 − ε 2 t r = 2.9 seg
PO = e
−
επ 1−ε 2
reem..8alores → PO = 1.91 ;10 − 5
Simulando tenemos: M=1; B=10; K=6; n=6; d=[M B K]; G=tfn!d"; f#$&' 1" (t')G"!-'$'ndG"!$&#d
Para
G2(s):
G2 ( s ) =
2 s 2
+ 2 s + 2
La anterior función de transferencia comparamos con la siguiente: G ( s) = t p
=
t s
=
wn s 2
2
+ 2ε wn s + wn 2 π
reem.. wn 2ε wn = 2 → ε = 0.71 ⇒ 2 despe9ando → wn = 1.41 wn = 2
reem..8alores → t p = 3.16 seg 2
wn * 1 − ε 4
ε wn
reem..8alores → t s = 3.99 seg
2 −1 wn * 1 − ε β = tan π − β = 44.77 o donde t r = → ε wn wn * 1 − ε 2 t r = 2.38 seg
PO = e
−
επ 1−ε 2
reem..8alores → PO = 0.24
Simulando tenemos: M=1; B=; K=; n=; d=[M B K]; G=tfn!d"; f#$&' 1" (t')G"!-'$'ndG"!$&#d
Uti$ie $as e)'resio!es a!a$ítias 'ara obte!er e$ +a$or de 'ara e$ ua$
G( S ) =
K s∗( s + 10 )
tie!e e! $ao errado( ts/0seg *
O%/12 simu$e om'are * ome!te. 2
wn K G LC (S )= 2 comparando conG (S ) = 2 2 s + 10 s + K s + 2 ɛ wn s + w n
{
=10 … … … .. (1 ) wn= K … … … … . ( 2)
2 ɛ wn 2
}
ara ts?(s y $?A.B
t s=1= 0.045
=e
− ɛπ √ 1−ɛ
4 ɛ
wn
2
entonces despejando ɛ tenemos :
ɛ =0.7
;eemplazamos en la ecuación -(/%
;eemplazamos en la ecuación -1/% 4imulando tenemos%
w n=7.14 K =50.97
M=1; B=10; K=50.9:; n=50.9:; d=[M B K]; G=tfn!d"; f#$&' 1" (t')G"!-'$'ndG"!$&#d
En la gráfica podemos o!ser*ar que los *alores #allados teóricamente son aproximados a los *alores comparados con la simulación. Rea$iar e$ e3em'$o de $a guía de$ error e! r4gime! 'erma!e!te. Para una entrada escalón el error es cero:
ara una entrada rampa unitaria el error en régimen es (CDi entonces%
En la gráfica se puede o!ser*ar que los errores en estado estacionario para am!as entradas son las que nos muestran teóricamente para cada caso.
=. BIBLIOGRAFIA. •
=atla!, curso ntroductorio. 8entro Frasile3o de esquisas <:sicas.
•
=anual !ásico de =atla!, apoyo a la n*estigación 8D.
•
Aprenda =atla! G.+ @racia de Halón, Ha*ier) ;odr:guez Hosé .) Iidal Hes>s.
•
4imulin. 6#e =at# Jors nc.
•
ro!lemas de ingenier:a de 8ontrol tilizando =atla! .$gata, Katsu#io.
