Diseño y análisis de la respuesta transitoria y estacionaria mediante el lugar de raíces
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TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO INSTITUTO TECNOLÓGICO DE ORIZABA MATERIA: Control Avanzado de Procesos
DOCENTE: Dr. Eusebio Bolaños Reynoso
EVIDENCIAS DE UNIDAD II: “Diseño y análisis de la respuesta transitoria y estacionaria mediante el lugar de raíces”
ALUMNO: Amantes Cosme, Alejandro
NÚMERO DE CONTROL: 13010559
CLAVE DE GRUPO: 7c2B
CALIFICACIÓN: _________________________ _____________________________________ ____________
Orizaba, Veracruz
a
27 de octubre de 2016
Unidad II
Control Avanzados de Procesos
CONTENIDO INTRODUCCIÓN ...................................................... ............................................................................................................. .................................................................... ............. 1 Especificaciones de comportamiento .................................................. ........................................................................................... ......................................... 1 Diseño mediante el lugar de raíces (Root-locus) (Root-locus) ......................................................................... ........................ ................................................. 1 Compensación del sistema .............................................................................................. ....................................... .................................................................... ............. 1 Compensación en serie y paralelo (o mediante retroalimentación) ............................................. 2 Compensadores Compensadores .......................................................................... ................... ......................................................................................................... .................................................. 2
CONSIDERACIONES PRELIMINARES DE DISEÑO ............................................................ 3 Método del lugar de raíces para el diseño de un sistema de control ............................................ 3 Efectos de la adición de polos ...................................................................................................... .................................................................................................. .... 3 Efectos de la adición de ceros ...................................................................................................... ............................................................. ......................................... 4
COMPENSACIÓN DE ADELANTO ...................................................................................... ................................ .......................................................... .... 4 Compensadores de adelanto ........................................................ ......................................................................................................... ................................................. 4 Técnicas de compensación de adelanto basadas en el método del lugar de raíces ...................... 6
EJEMPLO VISTO EN CLASE .................................................. .................................................................................................... .................................................. 8 Solución analítica mediante el gráfico del lugar de raíces ........................................................... 8 Solución mediante Matlab .................................................. ........................................................................................................ ........................................................ .. 11
COMPENSACIÓN DE RETARDO ............................................................. ........................................................................................... .............................. 17 17 Compensador de retardo usando amplificadores operacionales ................................................ ........................... ..................... 17 Procedimientos de diseño para la compensación de retardo mediante el método del lugar de raíces....................................................... ............................................................................................................. .................................................................................... .............................. 17
COMPENSACIÓN DE RETARDO-ADELANTO .............................................. ................................................................... ..................... 18 18 Técnicas de compensación de retardo-adelanto basadas en el método del lugar de las raíces. . 19
ANÁLISIS DE LA RESPUESTA TRANSITORIA Y ESTACIONARIA .............................. ................... ........... 22 BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................ .......................................................................................................................... .............................. 23 23
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INTRODUCCIÓN La finalidad es presentar los procedimientos para el diseño y la compensación de sistemas de control de una entrada y una salida e invariantes con el tiempo mediante el lugar de raíces. La compensación es la modificación de la dinámica del sistema, realizada para satisfacer las especificaciones determinadas. El diseño de compensadores (controladores) es de gran utilidad cuando el método de Ziegler Nichols no no representa representa la oscilación oscilación del sistema, por ello la gran mayoría mayoría de veces los controladores controladores PID comerciales no funcionan adecuadamente para el proceso o en su caso cuando suelen tener precios bastante bastante elevados elevados y lo más factible económicamente económicamente es hacer el diseño de un compensador.
Especificaciones de comportamiento Los sistemas de control se diseñan para realizar tareas específicas. Los requisitos impuestos sobre el sistema de control se dan como especificaciones de comportamiento. Las especificaciones pueden venir dadas como requisitos en la la respuesta respuesta transitoria transitoria y requisitos requisitos en el estado estacionario, por ello es importante dar las especificaciones de un sistema de control antes de comenzar el proceso de diseño. Por lo general, las especificaciones de comportamiento no deben ser más restrictivas de lo necesario para realizar la tarea definida. Con el fin de obtener un sistema de control óptimo es de gran importancia la precisión en el planteamiento de las especificaciones de comportamiento al momento de diseñar dicho sistema de control.
Diseño mediante el lugar de raíces (Root-locus) Este método se basa en redibujar el lugar de las raíces del sistema añadiendo polos y ceros a la fund6n de transferencia en lazo abierto del sistema y hacer que el lugar de las raíces pase por los polos en lazo cerrado deseados en el plano s. Por lo tanto, el sistema sistema de lazo cerrado posee un par de polos dominantes.
Compensación del sistema Establecer la ganancia es el primer paso para llevar al sistema a un comportamiento satisfactorio. Como ocurre con frecuencia, incrementar el valor de la ganancia mejora el comportamiento en estado estacionario pero produce una estabilidad deficiente o, incluso, inestabilidad. En este caso, es necesario volver a diseñar el sistema (modificando la estructura o incorporando dispositivos o componentes adicionales) para alterar el comportamiento general, de modo que el sistema se comporte como se desea, teniendo las siguientes definiciones: • •
Compensación: es nuevo diseño o adición de un dispositivo dispositivo apropiado. Compensador: elemento insertado en el sistema que satisface las especificaciones.
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Normalmente los compensadores compensadores y controladores controladores utilizados utilizados son los compensadores de adelanto, adelanto, de retardo, de retardo-adelanto y los controladores PID.
Compensación en serie y paralelo (o mediante retroalimentación) Las Figuras 1(a) y 1(b) muestran los diagramas de compensaci6n que suelen utilizarse para los sistemas de control realimentados. La Figura 1(a) muestra la configuración en la que el compensador Gc(s) se coloca en serie con la planta. Este esquema se denomina compensación en serie. Una alternativa a la compensaci6n compensaci6n en serle es la realimentad6n de las señales señales de algunos elementos y la colocación de un compensador en el camino de realimentaci6n interno resultante, tal y como se muestra en la Figura 1 (b). Esta compensaci6n se denomina compensaci6n en paralelo o compensaci6n mediante realimentación.
Figura 1. (a) Compensación en serie; (b) compensación en paralelo o mediante retroalimentación.
Compensadores El diseñador debe realizar un dispositivo físico que tenga incorporada la función de transferencia del compensador. De acuerdo al diseño se tiene las siguientes redes: •
• •
Red de adelanto: es cuando una entrada sinusoidal se aplica a la entrada de una red, y la
salida en estado estacionario (que también es sinusoidal) tiene un adelanto de fase. Red de retardo: se tiene cuando la salida en estado estacionario tiene un retardo de fase. Red retardo-adelanto: se tiene cuando ocurre un retardo como un adelanto de fase en la salida pero en diferentes regiones de frecuencia; el retardo de fase se produce en la región de baja frecuencia y el adelanto de fase en la región de alta frecuencia.
Especificadas las diferentes redes se tienen los compensadores de adelanto, retardo y retardoadelanto y poseen las siguientes características: Página | 2
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El compensador lo diseña el ingeniero químico en base al proceso en específico. El dispositivo físico electrónico como tal es construido por ingenieros en electrónica. Evitan perturbaciones en el proceso. Son más económicos que un controlador PID comercial.
Debido que al diseñar un compensador se requiere ajustar sus parámetros a un modelo matemático que represente el sistema de control, es necesario hacer un proceso de verificación el cual requiere algo de tiempo por lo cual el diseñador debe utilizar una herramienta como Matlab para evitar gran parte del cálculo numérico numérico que requiere dicha dicha verificación.
CONSIDERACIONES CONSIDERACIONES PRELIMINARES DE DISEÑO Método del lugar de raíces para el diseño de un sistema de control Es un técnica gráfica que permite determinar las localizaciones de todos los polos en lazo cerrado a partir de las localizaciones de los polos y ceros en lazo abierto cuando algún parámetro (generalmente la ganancia) varia de cero a infinito. El método proporciona proporciona un indicio claro de los efectos del ajuste del parámetro. Cuando se diseña un sistema de control, si se requiere un ajuste diferente al de la ganancia, se deben modificar los lugares de las raíces originales introduciendo introduciendo un compensador adecuado. adecuado. Una vez comprendidos comprendidos los efectos de la adici6n de de los polos y/o ceros sobre el lugar de las raíces, se pueden determinar con facilidad las localizaciones de los polos y los ceros del compensador para volver a construir el lugar de las raíces como c omo se desee.
Efectos de la adición de polos La adición de un polo a la función de transferencia en lazo abierto tiene el efecto de desplazar el lugar de raíces a la derecha, lo cual tiende a disminuir la estabilidad relativa del sistema y el tiempo de asentamiento de la respuesta. El efecto de la adición de un polo corresponde a la acción integral de un PID convencional. La Figura 2 muestra ejemplos de los lugares de las raíces que presentan el efecto de la adici6n de uno o dos polos a un sistema de un único polo.
Figura 2. (a) Gráfica del lugar de raíces del sistema con un solo polo; (b) gráfica de lugar de raíces de un sistema con dos polos; (c) gráfica del lugar de raíces de un sistema con tres polos.
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Efectos de la adición de ceros La adición de un cero a la función de transferencia en lazo abierto tiene el efecto de desplazar el lugar de las raíces hacia la izquierda, lo cual tiende a hacer el sistema más estable, y se acelera el tiempo de asentamiento de la respuesta. La adición de un cero corresponde a la acción derivativa de un PID convencional. La Figura 3(a) muestra los lugares de las raíces para un sistema estable con una ganancia pequeña, pero inestable con una ganancia grande. Las Figuras 3(b), (c) y (d) muestran las gráficas del lugar de las raíces para el sistema cuando se añade un cero a la función de transferencia en lazo abierto.
Figura 3. (a) Gráfica del lugar de raíces de un sistema con tres polos; (b), (c) y (d) gráficas del lugar de raíces que muestran el efecto de adición de un cero al sistema de tres polos.
COMPENSACIÓN DE ADELANTO Compensadores de adelanto Existen muchas formas de obtener compensadores de adelanto en tiempo continuo (analógicos) como redes electrónicas que usan amplificadores operaciones, redes RC eléctricas y sistemas de amortiguadores mecánicos. La Figura 4 muestra un circuito electrónico que utiliza amplificadores operacionales.
Figura 4. Circuito electrónico que consiste en una red de adelanto si R 1C1>R 2C2 y en una red de atraso si R 1C1
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Donde:
Observando que:
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11 11 1 1 1 1 , , , /
En donde R viene siendo la resistencia y C la la capacitancia.
Esta red tiene una ganancia en continuo de . Se observa que ésta es una red de adelanto si R1C 1>R2C 2 y una red de retardo si R1C 1
•
Es importante recordar que; “los polos son las raíces del denominador, mientras que los ceros son las raíces del numerador”.
Entonces se tiene lo siguiente: • •
1 1 1 1 1 1 0 0 1 1
Sí 0 < α < 1 se tiene un red de adelanto. Sí α > 1 se tiene una red de retardo.
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A continuación la Figura 5 muestra la configuración de polos y ceros para la red de la Figura 4 cuando R 1C1 > R 2C2 y R 1C1 < R 2C2.
Figura 5. Configuraciones de polos y ceros: (a) red de adelanto; (b) red de retardo. Las diferencias de las gráficas es la localización del polo y del cero, para el caso de la red de adelanto el polo va antes del cero, mientras que para la red de retardo es lo contrario, donde: • •
Los polos se representan mediante un X. Los ceros se representan mediante un O.
Técnicas de compensación de adelanto basadas en el método del lugar de raíces El método del lugar de las raíces es muy poderoso en el diseño cuando se incorporan las especificaciones en términos de las cantidades en el dominio del tiempo, tales como el factor de amortiguamiento relativo y la frecuencia natural no amortiguada de los polos dominantes en lazo cerrado, la sobreelongación máxima, el tiempo de levantamiento y el tiempo de asentamiento. Los procedimientos para diseñar un compensador compensador de adelanto para el sistema de la Figura 6 mediante el método del lugar de las raíces se plantean del modo siguiente:
Figura 6. Sistema de control. 1. A partir de las especificaciones de comportamiento, comportamiento, determine la localización deseada para los polos dominantes en lazo cerrado. c errado. Hay que recordar que para un lazo cerrado se tiene la siguiente expresión:
Donde Gp es la función G(s).
1 1
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2. Por medio de una gráfica del lugar de raíces del sistema sin compensar (sistema original), compruebe si el ajuste de la ganancia puede o no por sí solo proporcionar los polos en lazo cerrado adecuados. Si no, calcule la deficiencia del ángulo . Este ángulo debe ser una contribución del compensador de adelanto si el nuevo lugar de raíces va a pasar por las localizaciones deseadas para los polos dominantes en lazo cerrado. 3. Suponga que el compensador de adelanto Gc(s) es:
1 1 1 1 , 0<<1
Donde y T se se determinan a partir de la deficiencia del ángulo, se determina a partir del requisito de la ganancia en lazo abierto. 4. Si no se especifican e specifican las constantes de error estático, determine la localización del polo y del cero del compensador de adelanto, para que el compensador de adelanto contribuya al ángulo necesario. Si no se imponen otros requisitos requisitos sobre el sistema, intente aumentar el valor de lo más que pueda. Un valor más grande de , generalmente, proporciona un valor más grande de , lo que es deseable. (Si se especifica una constante de error estático, generalmente es más sencillo usar el método de la respuesta en frecuencia). 5. Determine la ganancia en lazo abierto del sistema compensado a partir de la condición de magnitud.
Notas a considerar: •
•
• •
Al momento de emplear Matlab y utilizar las herramientas >>rltool y >>sisotool se utiliza la función de lazo laz o abierto o de camino directo (función original). Para que exista la ganancia última y el periodo último, el sistema de lazo cerrado debe ser al menos de tercer orden. Con el valor del ángulo se puede calcular el valor y de T . Tanto Ogata como Sthephanopoulos presentan diferentes métodos para poder encontrar la función de transferencia deseada:
Frecuencia natural no amortiguada
2 Factor de amortiguamiento
ℎ ℎ 21
Frecuencia natural amortiguada
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EJEMPLO VISTO EN CLASE Se realizó el diseño de la red de adelanto del ejemplo 7.1 del libro de Ogata (Ingeniería de Control Moderna 4a Ed.), realizando el gráfico de manera manual del lugar de raíces y también se empleó Matlab como herramienta de trabajo.
Solución analítica mediante el gráfico del lugar de raíces La función de transferencia de lazo abierto o camino directo es la siguiente:
Los polos para lazo abierto son: • •
2 0
4 2
.
.
Tomando en cuenta que G c=1, Gm=1 y Gf =1, =1, la función de transferencia de lazo cerrado se calcula ca lcula mediante:
1 1 4 1 1 2 42 1 3 3 11. 7 321 √ 1 √ 3311.7321 2 2 2 2 ∗2 2 2∗ 2 24 0.5
Ahora, los polos en lazo cerrado son: • •
De la expresión presentada por Ogata para una función de transferencia deseada se tiene que para el lazo cerrado:
Entonces el factor de amortiguamiento amortiguamiento es:
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4 0. 5 4 20.544 23. 4 641 23.4641
Sustituyendo Sustituyendo los valores de
y
, se obtiene la función de transferencia deseada:
Los polos de Gcerr deseada son: • •
Posteriormente procedemos procedemos a realizar la gráfica en el lugar de raíces (Figura 7) y tomamos el polo positivo para para la localización del punto P.
Figura 7. Gráfica del lugar de raíces. Para conocer los valores del polo y del cero, primero se calcula el ángulo de cambio de fase sustituyendo sustituyendo el polo positivo de Gcerr deseada en la función original (lazo abierto): Página | 9
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4 2=−+. 4 23. 23.4641 23. 23.46412 0.250.1443 tan− (((()) tan− [0.00..144325 ]29.9935° ≅ 30°; 2 15° 1 2.9; 2.19 0.345 1 5.4 → 5.14 0.185 → 0.0.138545 0.537 1 9 4 2. 9 ∗ 1 ∗ 4 2 2. ∗ 4 5.4 2 5.42 4 9 =−+. 5.2.42 |0.0.05320.0001 | 1 || 0.0.0532 0.0.0001 1→0. 0 53201
El ángulo es:
Teniendo el valor del ángulo de cambio de fase, se conoce el polo y el cero y por lo tanto, se puede calcular el valor de y :
Zero:
Polo:
Ahora se calcula
:
Donde: •
Se procede a evaluar el polo de la función de lazo cerrado deseada (Gcerr deseada) y se calcula ca lcula el módulo:
Mediante la definición de módulo:
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Por lo tanto:
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0.053201 18.79 4 → 4 18.479 4.69 1 1 1 1 2. 9 4.4.690.0.537 00..138451 4. 6 9 5 1 5. 4 2. 9 2.51 00..138451 4. 6 9 5 1 5.4
Por última paso obtenemos las equivalencias de las funciones de compensación de adelanto:
Solución mediante Matlab >> s=tf('s'); >> Gp=4/(s*(s+2)) Gp=4/(s*(s+2))
Gp =
4 --------s^2 + 2 s
Continuous-time Continuous-time transfer function.
>> pole(Gp)
ans =
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0 -2
Al momento de introducir el comando step (Gp) se nota que el sistema va de 0 a infinito.
>> Gc=4.68*((s+2.9)/(s+5.4)) Gc=4.68*((s+2.9)/(s+5.4))
Gc =
4.68 s + 13.57 -------------s + 5.4
Continuous-time Continuous-time transfer function.
>> Gcerr1=Gp/(1+Gp) Página | 12
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Gcerr1 =
4 s^2 + 8 s ------------------------s^4 + 4 s^3 + 8 s^2 + 8 s
Continuous-time Continuous-time transfer function.
>> Gcerr2=(Gc*Gp)/(1+(Gc*Gp)) Gcerr2=(Gc*Gp)/(1+(Gc*Gp))
Gcerr2 =
18.72 s^4 + 192.8 s^3 + 603.9 s^2 + 586.3 s -----------------------------------------------------------s^6 + 14.8 s^5 + 95.08 s^4 + 352.7 s^3 + 720.5 s^2 + 586.3 s
Continuous-time Continuous-time transfer function.
>> step(Gcerr1,Gcerr2)
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Sistema compensado Sistema no compensado
La comparación entre el sistema compensado y no compensado, se puede notar que el sistema compensado posee un menor tiempo de respuesta llegando a la estabilidad de manera más rápida.
A continuación se situó un polo en 5.4 y un cero en 2.9, se logra apreciar el cambio del sistema al agregar el polo como el cero:
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Localización del cero Localización del polo
Se ajusta el valor de K cα (2.51) y se obtiene la ecuación para el compensador y la respuesta escalón del sistema: K c*α = 2.51
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Mediante la ventana Closed-Loop Pole Viewer se comprueba que los polos obtenidos a través de la función de transferencia de lazo cerrado deseada son correctos:
Polos deseados
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COMPENSACIÓN DE RETARDO Compensador de retardo usando amplificadores operacionales La configuración del compensador de retardo electrónico usando amplificadores operacionales es igual a la del compensador de adelanto de la Figura 4. Si se elige R 2C2 > R 1C1 en el circuito de la Figura 7, éste se convierte en un compensador de retardo.
Figura 7. Circuito electrónico que consiste en una red de atraso si R1C1
̂ 1 1 ̂ 11 , , >1, 0<<1 > 1 0<<1 Donde:
̂
Se utiliza en lugar de en las expresiones anteriores (en el compensador de adelanto se utiliza para indicar la razón R 2C2/R 1C1 que era menor que 1 o ). Siempre se supondrá que y que .
Procedimientos de diseño para la compensación de retardo mediante el método del lugar de raíces EI procedimiento para diseñar compensadores de retardo para el sistema de la Figura 8 mediante el método del lugar de las raíces se plantea del modo siguiente (se supone que el sistema no compensado cumple las especificaciones de la respuesta transitoria mediante un simple ajuste de la ganancia).
Figura 8. Sistema de control. Página | 17
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1. Dibuje la gráfica para el sistema no compensado, cuya función de transferencia en lazo abierto sea G(s). En función de las especificaciones de la respuesta transitoria, situé los polos dominantes dominantes en lazo cerrado en el lugar lugar de las raíces. 2. Suponga que la función de transferencia del compensador de retardo es:
1 1 ̂ 1 ̂ 1
Así, la función de transferencia en lazo abierto del sistema compensado se convierte en Gc(s)*G(s). 3. Calcule la constante de error estático especificada en el problema. 4. Determine el incremento necesario en la constante de error estático para satisfacer las especificaciones. 5. Determine el polo y el cero del compensador de retardo que producen el incremento necesario en la constante de error estático sin modificar apreciablemente los lugares de las raíces originales. (Observe que la razón entre el valor de la ganancia requerido en las especificaciones y la ganancia que se encuentra en el sistema no compensado es la razón entre la distancia del cero al origen y la del polo al origen.) 6. Dibuje una nueva grafica del lugar de las raíces para el sistema no compensado. Localice los polos dominantes en lazo cerrado deseados sobre el lugar de las raíces. (Si la contribución de Angulo de la red de retardo es muy pequeña, es decir, de pocos grados, los lugares de las raíces originales y los nuevos serán casi idénticos. Sin embargo, habrá una ligera discrepancia entre ellos. A continuaci6n localice, sobre el nuevo lugar de las raíces, los polos dominantes en lazo cerrado deseados a partir de las especificaciones de la respuesta transitoria.) 7. Ajuste la ganancia del compensador a partir de la condición de magnitud, para que los polos dominantes en lazo cerrado se encuentren en la localización deseada ( será aproximadamente 1).
COMPENSACIÓN DE RETARDO-ADELANTO La compensación de adelanto básicamente acelera la respuesta e incrementa la estabilidad del sistema. Si se desea mejorar tanto la respuesta transitoria como la respuesta en estado estacionario, deben utilizarse de forma simultánea un compensador de adelanto y un compensador de retardo. Resulta más económico utilizar únicamente un compensador de retardo-adelanto que ambos elementos de forma independiente. El compensador de retardo-adelanto posee dos polos y dos ceros, tal compensación aumenta en dos el orden del sistema, a menos que ocurra una cancelaci6n de polos y ceros en el sistema compensado.
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Técnicas de compensación de retardo-adelanto basadas en el método del lugar de las raíces. La Figura 9 muestra un compensador electrónico de retardo-adelanto que utiliza amplificadores operacionales.
Figura 9. Compensador de retraso-adelanto. De la Figura 9 se desglosan las siguientes expresiones: expresiones:
Donde:
1 1 11 11 1 >1, >1,
Ahora, considere el sistema de la Figura 10 presentado a continuación: continuación:
Figura 10. Sistema de control Supóngase que se utiliza el compensador de retardo-adelanto:
1 1 1 1 1 1 1 Página | 19
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β > 1 y γ > 1. (Supóngase que pertenece a la parte de adelanto del compensador de En el que β > retardo-adelanto). retardo-adelanto). Al diseñar compensadores de retardo-adelanto, se consideran dos casos únicos:
Caso 1
≠
1. A partir de las especificaciones de comportamiento dadas, determine la localización deseada para los polos dominantes en lazo cerrado. 2. Utilice la funci6n de transferencia en lazo abierto sin compensar G(s), para determinar la deficiencia de ángulo si los polos dominantes en lazo cerrado estuviesen en la posici6n deseada. La parte de adelanto de fase del compensador de retardo-adelanto debe contribuir a este ángulo . 3. Suponiendo que después selecciona un T 2 suficientemente grande para que la magnitud de la parte de retardo se acerque a la unidad, de modo que es uno de los polos dominantes en lazo cerrado, elija los valores de T 1 y γ a partir de la siguiente igualdad:
⌊ 1 1 1 l→ím 1 1 l→ím 1 l→ím
La elección de T 1 y γ no es única. (Pueden escogerse muchos conjuntos de valores T y y γ). A continuación determine el valor de a partir de la condición de magnitud:
4. Si se especifica la constante de error estático , determine el valor de β que que satisfaga el requisito para . La constante de error estático e stático de velocidad , se obtiene mediante:
Donde y se determinaron en el paso 3. Por tanto dado el valor de , valor de se determina a partir de esta última ecuación. Después, usando el valor de determinado de este modo, seleccione un valor de tal que: Página | 20
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Caso 2
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11 ≑ 1 1 5°<⌊ 5°< ⌊ 1 < 0
1. A partir de las especificaciones de comportamiento dadas, determine la localización deseada para los polos dominantes en lazo cerrado. 2. El compensador de retardo-adelanto para la figura se modifica a:
1 1 1 1 1 1 1 >1 l→ím l→ím 11 1 1
Donde . La función en lazo abierto del sistema compensado es . Si se especifica la constante de error estático de velocidad , determine el valor de la constante a partir de la siguiente ecuación:
3. Para tener los polos dominantes en lazo cerrado en la localizaci6n deseada, calcule la contribución requerida del ángulo de la parte de adelanto adelanto de fase del del compensador de retardo-adelanto. 4. Para el compensador de retardo-adelanto, seleccione una suficientemente grande, con el fin de que:
Se aproxime a la unidad, de modo que sea uno de los polos dominantes en lazo cerrado. Determine los valores de y a partir de las condiciones de magnitud y de ángulo:
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⌊ 1 11 ≑ 1 1 5°<⌊ 5°< ⌊ 1 < 0°
5. Utilizando el valor de que se acaba de calcular, seleccione
de modo que:
El valor de , la constante de tiempo mayor del compensador retardo-adelanto, no debe ser demasiado grande con el fin de que pueda materializarse físicamente.
ANÁLISIS DE LA RESPUESTA TRANSITORIA Y ESTACIONARIA En el método de la respuesta en frecuencia, se especifica el comportamiento de la respuesta transitoria de una forma indirecta. Es decir, el comportamiento de la respuesta transitoria se especifica en términos del margen de fase, el margen de ganancia y la magnitud del pico de resonancia (que ofrecen una estimaci6n razonable del amortiguamiento amortiguamiento del sistema), la frecuencia de cruce de ganancia, la frecuencia de resonancia y el ancho de banda (que dan una estimaci6n de la velocidad de la respuesta transitoria) y las constantes de error estático (que proporcionan la precisión en estado estado estacionario). estacionario). Aunque Aunque la la correlación entre la respuesta transitoria y la respuesta en frecuencia es indirecta, las especificaciones en el dominio de la frecuencia se cumplen adecuadamente en el método del diagrama de Bode. El diseño en el dominio de la frecuencia es sencillo y directo. La gráfica de la respuesta en frecuencia indica claramente la forma en la que debe modificarse el sistema, aunque no sea posible hacer una predicción cuantitativa exacta de las características de la respuesta transitoria. El método de la respuesta en frecuencia se puede aplicar a sistemas o componentes cuyas características dinámicas están dadas en forma de datos de respuesta en frecuencia. Básicamente Bá sicamente hay dos enfoques de diseño en el dominio de la frecuencia. Uno es el enfoque del diagrama polar y el otro es el enfoque del diagrama de Bode. Cuando se añade un compensador, el diagrama polar no conserva su forma original, por lo que es necesario dibujar un nuevo diagrama polar, lo cual lleva tiempo y, por tanto, no es conveniente.
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Por otra parte, el diagrama de Bode del compensador se puede añadir de forma muy simple al diagrama de Bode original, y, por tanto, representar el diagrama de Bode completo c ompleto resulta sencillo. Un enfoque común del diagrama de Bode es que primero se ajusta a justa la ganancia en lazo abierto para cumplir el requisito sobre la precisión en estado estacionario.
BIBLIOGRAFÍA Ogata, K. (2003). Capítulo 7 "Diseño de sistemas de control mediante el método del lugar de raíces". En Ingeniería de Control Moderna (págs. 416-460). Madrid: Pearson Pretince Hall.
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