PROBABILIDADES La probabilidad describe la posibilidad de que algo ocurra. La teoría de las probabilidades analiza y minimiza minimiza riesgos en situaciones de incertidumbre incertidumbre
EXPERIMENTO ALEATORIO Es un proceso que consiste en la ejecución de una prueba una o más veces donde los resultados de la prueba tienen diferentes posibilidades y dependen del azar EJEMPLOS:
a)
Determinar el tiempo de conexión de un computador a un servidor
b)
Lanzar una moneda y observar el resultado
c)
Lanzar un dado y observar el resultado
d)
La obtención de un contrato por parte de dos empresas A y B
e)
La obtención de dos contratos por parte de dos empresas A y B
f)
Examinar la calidad de un articulo evaluado como Defectuoso (D) o Bueno(B)
g)
Examinar la calidad de tres artículos del mismo tipo como Defectuoso (D) o Bueno(B)
ESPACIO MUESTRAL Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio, a este conjunto se le denota por la letra . EJEMPLOS:
a) Determinar el tiempo de conexión de un computador a un servidor =
<0 , 10>
b) Lanzar una moneda y observar el resultado ={C,S}
c) Lanzar un dado y observar el resultado ={1,2,3,4,5,6}
ESPACIO MUESTRAL c) La obtención de un
contrato por parte de dos empresas A y B ={A,B}
d) La obtención de dos contratos por parte de dos empresas A y B =
?
Para obtener este espacio muestral podemos usar un diagrama del árbol
Por lo tanto ={AA,AB,BA,BB}
ESPACIO MUESTRAL e) Examinar la calidad de un articulo evaluado como Defectuoso (D) o Bueno(B) ={D,B}
f) Examinar la calidad de tres artículos del mismo tipo como Defectuoso (D) o Bueno(B)
=
?
Por lo tanto ={DDD,DDB,DBD,DBB,BDD,BDB,BBD,BBB}
EVENTO
Ω E
Es un subconjunto de un espacio muestral
EJEMPLOS: Determinar
:
el tiempo de conexión de un computador a un servidor sea de menos de 5 minutos
= <0,10>
Lanzar
E=<0,5>
un dado y sacar un número mayor a 4:
entonces El
entonces
={1,2,3,4,5,6}
E={5,6}
primer contrato fue ganado por la empresa B:
={AA,AB,BA,BB}
entonces E={BA,BB} Al
examinar la calidad de tres artículos sacar solo uno defectuoso ={DDD,DDB,DBD,DBB,BDD,BDB,BBD,BBB} entonces E={DBB,BDB,BBD}
Las propiedades de conjuntos son validas en los eventos, e indican la ocurrencia de eventos UNION:
El evento AB describe la ocurrencia del evento A o la ocurrencia del
evento B INTERSECCION: El
evento AB describe la ocurrencia del evento A y la
ocurrencia del evento B Si A B=
los eventos A y B se denominan mutuamente excluyentes
DIFERENCIA: El
evento A – B describe la ocurrencia de A y no B
De acuerdo a las propiedades de conjuntos se tiene que A – B= ABC COMPLEMENTO:
Siendo
El evento Ac indica la ocurrencia contraria al evento A
el espacio muestral se tiene que A AC =
PROBABILIDAD DE UN EVENTO En un experimento aleatorio la probabilidad de un evento E es un numero real que varía entre cero y uno, que indica la posibilidad de que el evento E ocurra este número se define como
=
Donde
E
ó
es el evento
k
casos favorables para E
n
casos posibles
=
() ()
EJEMPLO: Hallar la probabilidad de lanzar un dado y sacar un número mayor a cuatro ={1,2,3,4,5,6}
E: lanzar
un dado y sacar un número mayor a 4 E={5,6}
Entonces =
6
= 0.3333 que equivale al 33.33% de probabilidad
EJEMPLO: Hallar la probabilidad de examinar tres artículos y sacar todos buenos ={ DDD,DDB,DBD,DBB,BDD,BDB,BBD,BBB }
E : Examinar tres artículos y sacar todos buenos E={BBB}
Entonces
=
8
= 0.125
que equivale al 12.5% de probabilidad
AXIOMAS DE PROBABILIDAD Sean A, B son dos eventos del espacio muestral siguientes axiomas: A1.
P(A)
A2.
P() = 1
entonces
se verifican los
0
A3. Si A , B son mutuamente excluyentes entonces P(AB) = P(A) + P(B)
Con estos axiomas se pueden determinar las siguientes propiedades a)
P( ) = 0
b)
Si A
c)
Si A
d)
P(A) = 1 – P(AC)
e)
Si A , B son dos eventos de
B entonces P(A) entonces
0
P(B) P(A)
1
entonces P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)
EJEMPLO: Una firma de consultoría de computadoras ha licitado en tres proyectos.
A1=proyecto 1 otorgado A2=proyecto 2 otorgado A3=proyecto 3 otorgado Supongamos que P(A1)=0.22, P(A2)=0.25, P(A3)=0.28, P(A1A2)=0.11, P(A1A3)=0.05, P(A2A3)=0.07 Calcule la probabilidad de cada evento a) P(A1A2) d) P(A2C) b) P(A1A3) e) P(A1CA2C) c) P(A2A3) f) P(A2CA3C)
EJEMPLO: En un taller de máquinas de una escuela de formación profesional, el 60% de todos los daños a la maquinaria ocurre en tornos y el 15% en taladros. Sean los sucesos: A=”el siguiente daño a una maquina es un torno”, B=”el siguiente daño a una máquina es un taladro”. Calcular las probabilidades de los sucesos Ac, A ∪ B y Ac ∩ Bc , interpretar
EJEMPLO: Una empresa desea mejorar la resistencia de sus computadoras personales que construye, con respecto a fallas en la unidad de disco y en el teclado. En la actualidad el diseño de sus computadoras es tal que las fallas en la unidad de disco significan un tercio de las fallas del teclado, la probabilidad de que se presente una falla en el disco o en el teclado es de 0.05. Si la computadora es 80% resistente a fallas en la unidad de disco o resistente a fallas en el teclado ¿Cuál es la probabilidad de fallas en el disco?
EJEMPLO: Una Encuesta entre suscriptores indico que 45.8% habían rentado un automóvil durante los últimos 12 meses por motivos de negocios, 54 % por motivos personales y 30% por motivos de negocios y motivos personales a la vez
a)
¿Cuál es la probabilidad de que un suscriptor rente un automóvil durante los últimos 12 meses por motivos de negocios o personales?
b)
¿Cuál es la probabilidad de que un suscriptor no rente automóvil durante los últimos 12 meses por motivos de negocios o personales?
EJEMPLO: Si A y B son dos eventos tales que P(A) = 0.53, P(B) = 0.27 hallar
a)
P(AB) , si P(AB) = 0.1
b)
P(AB) , si A , B son mutuamente excluyentes
c)
P(AC)
d)
P(AB) , si P( (AB)C ) =0.65
e)
P(ACBC) ,
si P(AB) = 0.22
