Capítulo 5. Probabilidades Probabilidades Para extender los resultados de la muestra a la población, es necesario utilizar la idea de modelo probabilíst probabilístico. ico. Cuando tomamos una muestra de una población, nuestras conclusiones conclusiones o inferenci inferencias as acerca de la población tienen un grado de incertidumbre. El objetivo de este capítulo es presentar una introducción a la teoría de la probabilidad como fundamento para la inferencia estadística, la que finalmente nos permitirá tomar una decisión sobre nuestro problema. Comprueba tus intuiciones sobre el azar1 Cómo piensas que deberían ser los resultados de lanzar una moneda !" veces seguidas# $erías capaz de escribir !" resultados de lanzar una moneda %sin lanzarla realmente, sino como t& piensas que debieran salir' de forma que otras personas piensen que (as lanzado la moneda en realidad# ), podría otra persona adivinar que estás inventado# *. +amos +amos a comprobar qu tal son tus intuiciones intuiciones respecto a los resultados aleatorios. aleatorios. -bajo -bajo tienes tienes dos cuadrículas. En la primera de ellas escribe !" resultados sin realizar realmente el experimento. En la segunda mitad lanza la moneda !" veces escribe los resultados obtenidos. Pon C para cara $ para sello.
!. Cómo podremos podremos distinguir distinguir una secuencia secuencia realment realmentee aleatoria aleatoria de otra que (emos inventado# inventado# /. Comparemos el el n&mero n&mero de caras en las las secuencias secuencias real simul simulada ada de todos los alumnos alumnos de la clase. Cómo podríamos organizar resumir estos datos# Descripción del lanzamiento de moneda en clase con 66 alumnos de Psicología 2003: edida de resumen
!ntuición
"eal
Promedio 2ediana
*",0! *",""
1,10 *",""
3esviación estándar
*,*4
!,/*
5ango
6,"
*!,"
#allo $ %o&a comparati'o: !ntuición
"eal
4
7 77
8
7
6
7 77
7
9
777777777777
7777777777
1
77777777
7777 777777 7777 7777 7777 7777 7777 7777 7777 7777 7777 7777 7777 777 7
*"
7777 777777 7777 7777 7777 7777 777 7
7777 777777 7777 7777 7777 7777 7777 777 7
**
7777 777777 77
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77777777777
77
*/
777
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7
*4 *8 *6
7
()u* es probabilidad+
*
de :3idáctica de la Estadística; Carmen
ranada (ttp?@@AAA. (ttp?@@AAA.ugr. ugr.es@Bbatanero@ es@Bbatanero@
*
Pensemos:
Está empezando un partido queremos decidir quin parte entre los dos capitanes del equipo. anzamos una moneda :balanceada;. a probabilidad de obtener una :cara; *@!. Cómo determinamos esa probabilidad de obtener :cara;# =saría una moneda o monedas diferentes# Cuántas repeticiones (aría#
!
De,inición ,recuencista de probabilidad: a probabilidad de -ue ocurra un e'ento es la frecuencia relativa con la que puede esperarse que ocurra ese evento, si fuera repetido muc(as veces.
Esta definición ,recuencista o empírica es una de las formas como se calculan las probabilidades pero tambin existen otras aproximaciones como la probabilidad clsica . a probabilidad clásica data del siglo 7+DD en los trabajos de dos matemáticos, Pascal ermat. >ran parte de esta teoría fue creada para intentar resolver problemas relacionados con los juegos de azar asume que los resultados son equiprobables. a probabilidad clásica o Fa prioriF la frecuencia relativa o Fa posterioriF son conocidas como probabilidad ob&eti'a. Existe tambin la probabilidad sub&eti'a o
•
•
El naturalista francs Count
/
/l lengua&e de Probabilidades De,inición: =n eperimento aleatorio es un proceso %repetible' cuo resultado no se conoce de antemano.
$i se repite un experimento aleatorio bajo las mismas condiciones anotamos las frecuencias relativas de un suceso. )bservaremos que estas tienden a estabilizarse alrededor de un n&mero que está entre cero uno. Este valor recibe el nombre de probabilidad. /spacios uestrales $ /'entos $ea el experimento aleatorio K lanzar una moneda tres veces
Podemos contar el n&mero de resultados posibles de este experimento con un diagrama de árbol? o
3 2
o
C
o
1
C S C
C S S C C S
S
C S S
o escribir los resultados como un conjunto?
S K
CCC, CC$, C$C, C$$, $CC, $C$, $$C, $$$Q
De,inición: =n espacio muestral es el conjunto de todos los valores posibles de un experimento aleatorio. 0
Escriba el espacio muestral $ para los siguientes experimentos? a' anzar una moneda se observa el lado visible b' anzar dos dados se registra los n&meros que aparecen en cada dado? K %*,*' %*,!' %*,/' %*,0' %*,4' %!,*' %!,!' %!,/' %!,0' %!,4' %/,*' %/,!' %/,/' %/,0' %/,4' %0,*' %0,!' %0,/' %0,0' %0,4' %4,*' %4,!' %4,/' %4,0' %4,4' %8,*' %8,!' %8,/' %8,0' %8,4' c' anzar dos dados anotar la suma de los valores? S
%*,8' %!,8' %/,8' %0,8' %4,8' %8,8'
Q
d' Gomar una muestra aleatoria de tamaHo *" de un lote de piezas contar cuantas tienen defectos. e' $eleccionar aleatoriamente un estudiante anotar el tiempo que estudió estadística en las <imas !0J (oras. f' El tiempo que espero la llegada de la micro en el paradero 3efinición? =n e'ento es cualquier subconjunto del espacio muestral S . $e dice que un evento - ocurre si cualquiera de los elementos o resultados en - ocurren. Rabitualmente se usan los diagramas de +enn, de la teoría de conjuntos, para visualizar el espacio muestral los eventos. 1 2
.a
.b
Considere el experimento de lanzar dos dados se registra los n&meros que aparecen en cada dado. S
K %*,*' %!,*' %/,*' %0,*' %4,*' %8,*'
%*,!' %!,!' %/,!' %0,!' %4,!' %8,!'
%*,/' %!,/' %/,/' %0,/' %4,/' %8,/'
%*,0' %!,0' %/,0' %0,0' %4,0' %8,0'
%*,4' %!,4' %/,4' %0,4' %4,4' %8,4'
%*,8' %!,8' %/,8' %0,8' %4,8' %8,8'
2arque los resultados que corresponden a los siguientes eventos? a' Evento - K FSo sale seisF b' Evento < K F$ale exactamente un seisF 4
Q
c' Evento C K F$alen exactamente dos seisF d' Evento 3 K :$ale al menos un seis;
8
a unión de dos eventos, representada por : A o B”, se denota por? A F- or
B
1
2 3
a intersección de dos eventos, representado por : A B”, se denota por? A Fbot( - and
B
1
2 3
El complemento de un evento, representado por :no A;, se denota por? AC C
2
1
2
De,inición: 3os eventos - < son disjuntos o mutuamente excluyentes si no tienen elementos en com&n. -sí, si un evento ocurre, el otro no puede ocurrir.
1 3 2
(utuamente eclu$entes+ En cada caso, determine si la siguiente lista de eventos son mutuamente excluentes?
a' =n vendedor (ace una venta? - K :la venta excede T4 mil pesos; < K :la venta excede T4" mil pesos; b' =n vendedor (ace una venta? - K :la venta es de menos de T4 mil pesos; < K :la venta es de entre T*" mil T4" mil pesos; C K :la venta es de más de T*"" mil pesos; "eglas de Probabilidades 6
Para cualquier evento -, le asignamos el n&mero P%-' llamado la probabilidad del e'ento . •
•
e asignamos una probabilidad a cada resultado en el espacio muestral, entre " *, tal que la suma de estas probabilidades es igual a *, a probabilidad de cualquier evento es la suma de las probabilidades de los resultados que (acen aquel evento.
$i los resultados del espacio muestral son equiprobables %igualmente probables', la probabilidad de un evento - es simplemente la proporción de resultados de - en el espacio muestral. Ce. de Caplace ?
n&mero de resultados favorables a A
=
n&mero de resultados posibles
casos favorables casos posibles
Esta le es la definición de Probabilidad a priori o clásica signando Probabilidades a e'entos Experimento K lanzar dos dados. -suma que los /8 puntos en el espacio muestral son equiprobables. Cuál es la probabilidad de los siguientes eventos#
a' Evento - K F So sale seisF S K
(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) %8,*'
(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) %8,!'
(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) %8,/'
(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) %8,0'
(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) %8,4'
b' Evento < K F$ale exactamente un seisF
P%<' K
c' Evento C K F$alen exactamente dos seisF
P%C' K
d' Evento 3 K F$ale al menos un seisF
P%3' K
%*,8' %!,8' %/,8' %0,8' %4,8' %8,8'
e' Compare * J P%-' con P%3' f' Considere la suma de los valores de dos dados? Cuál es la probabilidad de obtener una suma de /# Cuál es la probabilidad de obtener una suma de al menos **#
9
Q
P%-' K
3ado cargado# $e sospec(a que un dado está cargado en el sentido que tienden a salir n&mero grandes. Uueremos docimar la siguiente (ipótesis? H " ? El dado no está cargado %todas las caras tienen la misma probabilidad'.
H *? El dado está cargado (acia los n&meros más grandes.
$uponga que usted obtiene los datos al lanzar dos veces el dado. Entonces el espacio muestral es? S
K %*,*' %!,*' %/,*' %0,*' %4,*' %8,*'
%*,!' %!,!' %/,!' %0,!' %4,!' %8,!'
%*,/' %!,/' %/,/' %0,/' %4,/' %8,/'
%*,0' %!,0' %/,0' %0,0' %4,0' %8,0'
%*,4' %!,4' %/,4' %0,4' %4,4' %8,4'
%*,8' %!,8' %/,8' %0,8' %4,8' %8,8'
Q
$e sugiere la siguiente regla de decisión? rec(azar H " si la suma de los dos dados es ** o más extremo. a' Cuál es la dirección del extremo# b' Cuál es el valorJ p si al tirar los dados suman **# c' Es, ese resultado estadísticamente significativo al 4L# -l *"L# "eglas cuando asignamos probabilidades:
*. Cualquier probabilidad es siempre un valor numrico entre " *. a probabilidad es cero si el evento no puede ocurrir. a probabilidad es uno si el evento es seguro.
" ≤ P % A' ≤ * !. $i sumamos las probabilidades de cada resultado individual en el espacio muestral, la probabilidad total tiene que ser uno. P% S '
=
*
/. a probabilidad de que un evento - ocurra es uno menos la probabilidad de que el evento no ocurra. C P % A' = * − P % A ' 0. 5egla de la suma? a probabilidad de que un evento - o un evento < ocurra es la suma de sus probabilidades individuales menos la probabilidad de la interacción. P % A o B ' = P % A ∪ B' = P % A' + P % B ' − P % A ∩ B '
F- or
1
1
$i los dos eventos - < son dis&untos, es decir, no tienen elementos en com&n, entonces? P % A o B ' = P % A ∪ B ' = P % A' + P % B '
$exo educación $uponga que se registra información sobre sexo nivel de educación de !"" adultos seleccionados al azar entre los residentes de la comuna de Galca eo
Rombre 2ujer
<ásica /9 04
Educación 2edia !9 4"
=niversitaria !! *6
Considere los siguientes eventos? -KFadulto seleccionado tiene educación universitariaF
*"
Probabilidad Condicional En ocasiones, el conjunto de todos los Fresultados posiblesF puede constituir un subconjunto del espacio muestral original. - given <
original sample space
1
B = updated sample space 2 3
De,inición: a probabilidad condicional de que ocurra el evento - dado que el evento < ocurrió está dada por? P % A V B '
=
P % A ∩ B ' P % B '
,
donde P% B' > "
4ota? de esta relación se deduce que podemos escribir la intersección de otra manera usando la regla de la multiplicación: P % A ∩ B ' = P % A' P % B V A' = P % B' P % A V B'
El aHo !""0 la =niversidad de Galca tenía 404/ estudiantes, en la tabla se muestra el detalle de la composición. Pregrado Postgrado #otal
u&eres !08* 86 !4!9
ombres !909 66 !1!4
#otal 4/"1 *00 404/
a' Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido al azar sea un estudiante de postgrado# b' Cuál es la probabilidad de que una mujer elegida al azar sea estudiante de postgrado# c' Es este contexto, d un ejemplo de eventos mutuamente excluentes. Probabilidades condicionales /scenario !
$ea el experimento de lanzar un dado. El espacio muestral es S K*, !, /, 0, 4, 8Q.
a' Cuál es la probabilidad de obtener un dos# b' $uponga que sabemos que el resultado es parI cuál es a(ora la probabilidad de obtener un dos# /scenario !! $ea el experimento de lanzar una moneda dos veces. El espacio muestral es S KCC, $C, C$, $$Q.
a' Cuál es la probabilidad de que salga cara en el segundo lanzamiento# b' Cuál es la probabilidad de que salga cara en el segundo lanzamiento dado que salió cara en el primer lanzamiento# Compare los resultados en los dos escenarios En el segundo caso, la información no cambió la probabilidad buscada, es decir saber que Fsalió cara en el primer lanzamientoF no cambió la probabilidad de Fque salga cara en el segundo lanzamientoF. **
Esto es así porque los lanzamientos de la moneda son eventos independientes. De,inición: 3os eventos - < son independientes si P% AV B ' K P% A' , o
P% BV A' K P% B' .
$i saber que un evento ocurrió no cambia la probabilidad de ocurrencia del otro evento, entonces los eventos son independientes. $i dos eventos - < son independientes, entonces la regla de la multiplicación? P % A ∩ B ' = P % A' P % B '
.
Considere el experimento de lanzar una moneda 8 veces. *. Cuál de las siguientes secuencias tiene maor probabilidad# %a' $C$CC$ !.
%b' CCC$$$
%c' CCCCCC
$i observamos $$$$$$, en el siguiente lanzamiento será más probable que salga una cara o un sello#
$E5S-C realiza una encuesta acerca de la calidad del servicio de reparación de automóviles en 98 talleres? Galler -utorizado So autorizado
-tención
a' Cuál es la probabilidad de que un taller elegido al azar d una buena atención# b' Cuál es la probabilidad de que un taller elegido al azar sea no autorizado# c' Cuál es la probabilidad de que un taller elegido al azar sea no autorizado d una buena atención# d' Cuál es la probabilidad de que los talleres no autorizados den una buena atención# e' $on los eventos Fno autorizadoF Fbuena atenciónF dis&untos# f' $on los eventos F no autorizado F Fbuena atenciónF independientes# g' $i fueran independientes, cuantos talleres no autorizados que dan buena atención esperaría encontrar#
*!
"eglas bsicas de Probabilidad:
*. a probabilidad de que un evento - ocurra se denota por P% A' . Para cualquier evento -, " ≤ P % A' ≤ *. !. a suma de todas las probabilidades de los resultados en el espacio muestral tiene que ser igual a uno? P% S ' = * /. "egla del Complemento? a probabilidad de que un evento ocurra es * menos la probabilidad que el evento no ocurra. P % A' = * − P % A C ' 0. "egla de la uma? a probabilidad de que el evento - o el evento < ocurra es la suma de sus probabilidades individuales menos la probabilidad de la intersección? P % A ∪ B ' = P % A o B' = P % A' + P % B ' − P % A ∩ B ' .
$i - < son eventos mutuamente excluentes %o disjuntos', entonces? P % A o B ' = P % A' + P % B '
.
4. a probabilidad condicional de que ocurra un evento -, dado que ocurrió el evento < está dada por? P % A V B '
=
P % A ∩ B ' P % B '
,
3e aquí sale la regla de la multiplicación?
donde P % B' > " . P % A ∩ B ' = P % A' P % B
V A'
=
P % B ' P % A V B '
.
$i dos eventos no se influencian entre sí, es decir, saber que uno ocurrió no cambia la probabilidad de que el otro ocurra, los eventos son independientes. 3os eventos - < son independientes si P % A V B' = P % A' , o equivalentemente P % B V A' = P % B ' , o equivalentemente P % A ∩ B ' = P % A' P % B ' .
*/
